MAT 2453 - Cálculo I - POLI - 2011 Resoluç ão de Algumas Questões da 2a Lista de Exerc´ıcios

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MAT 2453 - C´alculo I - POLI - 2011

Resolução de Algumas Quest ões da 2

^a

Lista de Exerc´ıcios

1-) O objetivo desta questão é demonstrar como alei da reflexão planae alei da refra¸cão de Snellius, da Óptica Geométrica, podem ser obtidas como conseq üências doprinc´ıpio de Fermat, segundo o qual “a trajet ória dos raios de luz é aquela que minimiza o tempo de percurso”.

(a) (REFLEXAO˜ PLANA) SejamP= (0,a)eQ= (_b,_c), ondea,b,csão n úmeros reais positivos. Seja M = (x, 0), x ∈ R(vide figura 1). Sejad : R → Rtal que, para todox ∈ R, d(x) é a soma das distânciasd(_P,_M) +_d(_M,_Q). Mostre que a funçãodpossui um único ponto de m´ınimox0 ∈R.

Verifique quex0 ∈(0,b)e queα=_βsex= _x₀. P=(0,a)

α β

M=(x,0) Q=(b,c)

Figura 1: Reflex˜ao Plana

OBSERVAÇ ÃO: Note que, admitindo que a luz se propague com velocidade constante no semi- plano superior, minimizar a soma das distânciasd(_P,_M) +_d(_M,_Q)_{é equi-}

valente a minimizar o tempo que um raio de luz leva para ir dePaQ, refletindo-se no eixo Ox.

(b) (LEI DEREFRAÇ ÃO DESNELLIUS) Sejam P ∈ R² um ponto no semi-plano superior eQ ∈ R² um ponto no semi-plano inferior, fixos (vide figura 2). Uma part´ıcula vai dePa um ponto M = (x, 0)sobre o eixo Ox com velocidade constanteue movimento retil´ıneo; em seguida, vai de M até Q com velocidade constantev, também em movimento retil´ıneo. Seja T : R → R tal que, para todox ∈ R,T(_x)é o tempo de percurso de PaQ. Mostre queTpossui um único ponto de m´ınimox0 ∈R. Verifique quex0 ∈(0,b)e que, sex= x0, então:

sinα

u = ^sin^β v .

(2)

Q=(b,−c) P=(0,a)

α

β M=(x,0)

Figura 2: Refração RESP.: SOLUÇ ÃO DO ITEM“B”

O tempo que a part´ıcula gasta para ir dePaQ, passando porM= (_{x, 0}), ´e dado por^d⁽^P,M_u ⁾ +^d⁽^M,Q_v ⁾. Assim,T:R→R ´e dada por ∀x∈ R

: T(_x) =

√x²+_a²

u +

p(x−b)²+c²

v .

Portanto, pela regra da cadeia,T é duas vezes derivável e suas derivadas primeira e segunda são dadas por, respectivamente, ∀x ∈R

: T⁰(_x) = ¹

u

√ x

x²+_a² + ¹ v

x−b p(x−b)²+c²

T⁰⁰(_x) = ¹ u

√x²+_a²−^√_x^x₂²₊_a₂ x²+_a² + ¹

v

p(_x−b)²+_c²− √⁽^x⁻^b⁾²

(x−b)²+c²

(_x−b)²+_c²

= ¹ u

a²

(_x²+_a²)^3/2 +¹ v

c²

((_x−b)²+_c²)^3/2 ^.

Assim, T⁰⁰(x) > 0 para todo x ∈ R. Como T⁰(0) < 0, T⁰(b) > 0 e T⁰ é cont´ınua, pelo teorema do valor intermediário existex0 ∈ (0,b)tal queT⁰(_x₀) =0; comoT⁰⁰ > 0,T⁰ é crescente e, em particular, injetiva, portantox0 é a única raiz deT⁰. Pelo teste da derivada segunda, conclui-se quex0 é ponto de m´ınimo deT, e é o único ponto de m´ınimo, pois, pelo teorema de Fermat, se houvesse algum outro, também seria ponto cr´ıtico, e já vimos quex0 é a única raiz deT⁰. Então está demonstrado queTpossui um único ponto de m´ınimox0, ex0 pertence ao intervalo(0,b). Além disso, como sinα(_x) = √ ^x

x²+a² e sinβ(_x) =−√ ^x⁻^b

(x−b)²+c² ,T⁰(_x₀) =0 ´e equivalente a ^sin^α_u⁽^x⁰⁾ −^sin^β_v⁽^x⁰⁾ =0.

2-) Deve-se construir uma estrada ligando uma f´abrica Aa uma ferrovia que passa por uma cidadeB.

Assumindo-se que a estrada e a ferrovia sejam ambas retil´ıneas, e que os custos de frete por unidade de distância sejammvezes maiores na estrada do que na ferrovia, encontre o ânguloαa que a estrada deve ser conectada à ferrovia de modo a minimizar o custo total do frete da fábrica até a cidade. Assuma m>1.

RESP.:

Sejam:da distância da fábrica à cidade,ba distância a ser percorrida na rodovia,aa distância a ser percorrida na ferrovia, e ângulos como na figura abaixo.

(3)

α γ

β

d a

b

Denotando porCo custo total do frete e por f o custo do frete por unidade de distˆancia na ferrovia, tem-se:C= _{f a}+m f b. Pelo teorema dos senos, tem-se:

sinβ

b = ^sin^α

d = ^sin^γ a , dondeb= ^d_sin^sin_α^β,a= ^d_sin^sin_α^γ = ^d^sin ^π⁻⁽^α⁺^β⁾

sinα = ^d⁽^sinα^cos_sinα^β⁺^sin^β^cos^α⁾. Portanto, C

f = ^d(sinαcosβ+sinβcosα)

sinα +_m^d^sin^β

sinα =_dcosβ+_dsinβm+cosα sinα . Assim sendo, o problema se reduz a encontrar (caso exista) o(s) ponto(s) de m´ınimo da func¸˜ao:

F: [^π₂,π−β] −→ R

α 7−→ dcosβ+_dsinβ^m⁺_sin^cos_α^α . A referida função é derivável, e sua derivada é dada por ∀α∈ [^π₂ ,π):

F⁰(_α) =_dsinβ−sin²α−cosα(_m+cosα)

sin²α = ^d^sin^β(−1−mcosα)

sin²α .

Tomando g : [^π₂ ,π) → R dada por ∀α ∈ [^π₂ ,π)_g(_α) = −¹−mcosα, g é derivável e ∀α ∈ [^π₂ ,π)_g⁰(_α) = _msinα > 0, logo g é estritamente crescente; como g se anula em arccos(−_m¹ )(note quem > 1 por hip ótese, portanto−_m¹ ∈ dom arccos), segue g < 0 em[^π₂, arccos(−_m¹ ))eg > 0 em (arccos(−_m¹ ),π). Assim: (i) se arccos(−_m¹ )< _π−β, tem-seF⁰ < 0 em[^π₂ , arccos(−_m¹ ))eF⁰ > 0 em (arccos(−_m¹ ),π−β] e, por um corolário do teorema do valor médio, conclui-se que arccos(−_m¹ ) = π−ârccos(_m¹ ) é ponto de m´ınimo de F; (ii) se arccos(−_m¹ ) > π−β, tem-se F⁰ < 0 em[^π₂ ,π−β]e, novamente por um corolário do teorema do valor médio, conclui-se queπ−β é ponto de m´ınimo de F. Assim, o ponto de m´ınimo deF é min{π−ârccos(_m¹ ),π−β}^.

3-) Dois corredores com larguraa >0 eb> 0 intersectam-se em ˆangulo reto. Determine o comprimento m´aximolde uma escada que pode ser transportada horizontalmente de um corredor para o outro.

RESP.:

Sem perda de generalidade, pode-se assumir que a escada de comprimento máximo será transportada de um corredor para o outro de tal forma que suas extremidades se ap óiem sobre as paredes externas, conforme a figura abaixo.

Ao ser feito o transporte, o ângulo α que a escada forma com a parede do corredor de largura b variará de 0 a ^π₂. Para cada α ∈ (0,^π₂ ) fixo, o comprimento máximo L_α da escada que pode ser

(4)

a

α α b Lα

colocada nos corredores, formando um ˆanguloαcom o corredor de largurab, ser´a, conforme a figura,

b

sinα + _cosâ_α. Assim, o transporte será poss´ıvel se, e somente se, o comprimento da escada for menor ou igual aL_α, para todoα ∈ (0,^π₂ ). O máximo comprimento da escada que pode ser transportada será, portanto, o valor m´ınimo (caso exista) da função:

f : (0,^π₂ ) −→ R α 7−→ _sin^b_α + _cosâ_α ^. Tal função é derivável e sua derivada é dada por ∀α∈(0,^π₂ ):

f⁰(_α) =−^b^cos^α

sin²α + ^a^sin^α

cos²α = −bcos³α+_asin³α sin²αcos²α .

Seja g : (0,^π₂ ) → Rdada por ∀α ∈ (0,^π₂ )_g(_α) = −bcos³α+_asin³α. Esta função é derivável e sua derivada é dada por ∀α ∈ (0,^π₂ )_g⁰(_α) = _3bcos²αsinα+_3asin²αcosα, portanto g⁰ > 0 em (0,^π₂ ), donde g é estritamente crescente. Como g se anula em α ∈ (0,^π₂ ) tal que tanα = ³

qb a, i.e.

α = arctan ³ qb

a, segue que g < 0 em (0, arctan ³ qb

a)e g > 0 em (arctan ³ qb

a,^π₂ ). Logo, f⁰ < 0 em (0, arctan ³

qb

a)e f⁰ >0 em(arctan ³ qb

a,^π₂ ). Ent˜ao, pelo teste da derivada primeira, arctan ³ qb

a ´e ponto de m´ınimo de f, logo o valor m´ınimo de f ´e f(arctan ³

qb

a) = (a^2/3+b^2/3)^3/2.

4-) Um corpo de peso P apoiado sobre um plano horizontal deve ser deslocado horizontalmente pela aplicação de uma forçaF. Qual o ânguloαcom a horizontal deve formar a força para que a intensidade da mesma necessária para mover o corpo seja m´ınima, admitindo coeficiente de atritoµ>0 ?

00000000 00000000 00000000 11111111 11111111 11111111

P R

F

α

(5)

RESP.: Para cadaα ∈ [0,^π₂ ]fixo, o valor m´ınimo da forçaF para movimentar o bloco é tal que a diferença entre a componente horizontal de F e a força de atrito R seja positiva, i.e. Fcosα−µ(_P− Fsinα) > 0, ou seja, F > _cos_α₊^µ^P_µ_sin_α. Assim sendo, o problema se reduz a encontrar o(s) ponto(s) de m´ınimo da função cont´ınua:

f : [0,^π₂ ] −→ R α 7−→ _cos_α₊^µP_µ_sinα ^.

A referida função é derivável, e sua derivada é dada por ∀α ∈ [0,^π₂ ] _f⁰(_α) = −^µP₍⁽_cos⁻^sin_α₊^α_µ⁺_sinα^µ^cos₎2^α⁾. Tomando g : [0,^π₂ ] → R dada por ∀α ∈ [0,^π₂ ]_g(_α) = sinα−µcosα, g é derivável e ∀α ∈ [0,^π₂ ]g⁰(_α) = cosα+_µsinα > 0, logo g é estritamente crescente. Como g se anula em arctanµ, segueg < 0 em[0, arctanµ)e g > 0 em (arctanµ,^π₂ ], portanto f⁰ < 0 em [0, arctanµ) e f⁰ > 0 em (arctanµ,^π₂ ]. Assim, pelo teste da derivada primeira, conclui-se que arctanµé ponto de m´ınimo de f. 5-) Deseja-se construir uma esfera e um cubo de modo que a soma das áreas de suas superf´ıcies seja igual

a 2.

(i) Encontre o raio da esfera e o lado do cubo que minimizam a soma de seus volumes.

(ii) Encontre o raio da esfera e o lado do cubo que maximizam a soma de seus volumes.

RESP.:

Sejamr>0 o raio da esfera el>0 o lado do cubo. A soma das ´areas de suas superf´ıcies ´e dada por:

A=6l²+_4πr² =2 Soma dos volumes:

V = ⁴

3πr³+_l³ Fazendo 6l² =2−4πr², temosl=

q2−4πr²

6 . Assim, o problema se reduz a encontrar (caso existam) os pontos de máximo e m´ınimo da funçãoV:[0,^√¹

2π]→Rdada por:

V(_r) = ⁴ 3πr³+

1−2πr² 3

3/2

ComoV ´e cont´ınua e est´a definida no intervalo fechado e limitado[0,^√¹

2π], pelo teorema de Wei- erstrass conclui-se que existem pontos de máximo e de m´ınimo deVno referido intervalo. Além disso, comoV é derivável, segue do teorema de Fermat que, se um destes pontos não for extremidade do intervalo, deverá ser um ponto cr´ıtico deVno interior do mesmo. Conclusão: Vtem pontos de máximo e m´ınimo no intervalo[0,^√¹

2π], e tais pontos pertencem ao conjunto formado pelas extremidades do intervalo e pelos pontos cr´ıticos deVno interior do mesmo.

A func¸˜ao derivada deV,V⁰ :[0,^√¹

2π]→R, ´e dada por:

V⁰(_r) =_4πr²−2πr

r1−2πr²

3 =

=_2πr

2r−

r1−2πr² 3

(6)

Para encontrar os pontos cr´ıticos deV, observe que 2πr

2r−^q¹⁻^2πr₃ ²=0 se, e somente se,r=0 ou 2r =

q1−2πr²

3 , i.e. se, e somente ser = 0 ou r = √ ¹

2π+12. Assim, os pontos cr´ıticos deV s˜ao 0 e r0 =. √ ¹

2π+12 ∈ (0,^√¹

2π).

Além disso, como 0 er0são os únicos zeros deV⁰, e comoV⁰ é cont´ınua, segue do teorema do valor intermediário queV⁰ deve ter sinal constante nos intervalos(0,r0)e(_r₀,^√¹

2π]. MasV⁰(√¹

2π) =2>0, e limr→0

2r−^q¹⁻^2πr₃ ²=−^√¹₃ <0 (portanto 2πr

2r−^q¹⁻^2πr₃ ²tem sinal negativo parar>0 e pr ´oximo de zero), o que nos permite concluir queV⁰tem sinal negativo em(0,r0)e positivo em(r0,^√¹

2π). Logo, pelo teste da derivada primeira,r0 = √ ¹

2π+12 ´e o ponto de m´ınimo deV.

Por outro lado, temos: V(0) = q1

27 eV(^√¹

2π) = ^q₉¹π

2. Comoπ <4, tem-se ^π₂ < 2, logo 9^π₂ < 27, donde ₉¹π

2 > ₂₇¹, o que implicaV(^√¹

2π)>V(0). Assim, ^√¹_2π ´e o ponto de m´aximo deV.