Sistemas Dinˆ
amicos N˜
ao Lineares
Vig´
esima-Sexta Aula
Alexandre Nolasco de Carvalho
A variedade inst´
avel de uma solu¸c˜
ao global hiperb´
olica
Seja X um espa¸co de Banach e considere um processo de evolu¸c˜ao
n˜ao-linear {S (t, τ ) : (t, τ ) ∈ PR} ⊂ C(X ).
A seguir estudaremos o comportamento deste processo de evolu¸c˜ao
Processos de Evolu¸c˜
ao Semilineares
Se f : R × X → X ´e cont´ınua na primeira vari´avel e localmente Lipschitz cont´ınua na segunda vari´avel e {T (t, τ ) : (t, τ ) ∈ PR} ´e
um processo de evolu¸c˜ao linear que satisfaz
L = sup{kT (t, s)kL(X ), 0 6 t − s 6 1} < ∞, (1)
´e f´acil ver que a equa¸c˜ao integral y (t, τ, x ) = T (t, τ )x +
Z t
τ
Se supomos que σ(τ, x ) = +∞ para cada (τ, x ) ∈ R × X e se definimos Sf(t, τ )x = y (t, τ, x ), t ∈ [τ, ∞), ent˜ao
{Sf(t, τ ) : (t, τ ) ∈ P} ´e um processo de evolu¸c˜ao.
Neste caso, nos referiremos a {Sf(t, τ ) : (t, τ ) ∈ P} como o
processo de evolu¸c˜ao semilinear obtido pela perturba¸c˜ao do processo de evolu¸c˜ao linear {T (t, τ ) : (t, τ ) ∈ PR} pela fun¸c˜ao n˜ao-linear f : R × X → X ; isto ´e,
Sf(t, τ )x = T (t, τ )x +
Z t
τ
Solu¸c˜
oes Globais Hiperb´
olicas
Seja f : R × X → X uma fun¸c˜ao continuamente diferenci´avel.
Suponha que f , juntamente com o processo de evolu¸c˜ao linear
{T (t, τ ) : (t, τ ) ∈ PR}, definam um processo de evolu¸c˜ao
semilinear {Sf(t, τ ) : (t, τ ) ∈ P} e que ξ : R → X seja uma
solu¸c˜ao global para {Sf(t, τ ) : (t, τ ) ∈ PR}.
Consideramos o processo de evolu¸c˜ao linear {Lf(t, τ ) : (t, τ ) ∈ PR}
⊂ L(X ) dado por Lf(t, τ ) = T (t, τ ) +
Z t
τ
Definition
Observa¸c˜
ao
ψ(t) − φ(t) = Z t τ T (t, s)Dxf (s, ξ(s))Lf(s, τ )φ(τ ) ds − Z t τ T (t, s)Dxf (s, ξ(s))φ(s) ds + Z t τ Z t s T (t, θ)Dxf (θ, ξ(θ))Lf(θ, s) dθ[f (s, φ(s))−Dxf (s, ξ(s))φ(s)] ds = Z t τ T (t, s)Dxf (s, ξ(s))Lf(s, τ )φ(τ ) ds − Z t τ T (t, s)Dxf (s, ξ(s))φ(s) ds + Z t τ T (t, θ)Dxf (θ, ξ(θ)) Z θ τ Lf(θ, s)[f (s, φ(s))−Dxf (s, ξ(s))φ(s)] ds dθ = Z t τ T (t, s)Dxf (s, ξ(s))[ψ(s) − φ(s)] ds.
Caracteriza¸c˜
ao da solu¸c˜
ao global hiperb´
olica
Suponha que ξ : R → X seja uma solu¸c˜ao global hiperb´olica limitada para {Sf(t, τ ) : (t, τ ) ∈ PR}. Ent˜ao {Lf(t, τ ) : (t, τ ) ∈ PR}
dado por (??) tem dicotomia exponencial com constante M,
expoente ω e proje¸c˜oes {Q(t) : t ∈ R}. De (??), da limita¸c˜ao de
ξ : R → X e da dicotomia de {Lf(t, τ ) : (t, τ ) ∈ PR} temos que,
Lf(τ, t)Q(t)φ(t) = Q(τ )φ(τ )
+
Z t
τ
Lf(τ, s)Q(s)[f (s, φ(s)) − Dxf (s, ξ(s))φ(s)] ds.
Fazendo t → ∞ temos que Q(t)φ(t) = −
Z ∞
t
Lf(t, s)Q(s)[f (s, φ(s)) − Dxf (s, ξ(s))φ(s)] ds,
Semelhantemente, (I −Q(t))φ(t) = Lf(t, τ )(I − Q(τ ))φ(τ ) + Z t τ Lf(t, s)(I − Q(s))[f (s, φ(s))−Dxf (s, ξ(s))φ(s)] ds
fazendo τ → −∞ temos que (I −Q(t))φ(t) =
Z t
−∞
Solu¸coes globais hiperb´
olicas s˜
ao isoladas
Suponha tamb´em que ρ()−→ 0, onde→0
ρ() := sup kxk6 sup t∈R kf (t, ξ(t)+x)−f (t, ξ(t))−Dxf (t, ξ(t))x kX kxkX . (7)
De fato, se φ : R → X ´e uma solu¸c˜ao limitada de (??) satisfazendo supt∈Rkφ(t) − ξ(t)kX 6 sup t∈R kφ(t) − ξ(t)kX 6 2Mρ()ω−1sup t∈R kφ(t) − ξ(t)kX.
Perturba¸c˜
ao de solu¸c˜
oes globais hiperb´
olicas
Seja f : R × X → X uma fun¸c˜ao continuamente diferenci´avel, {T (t, τ ) : (t, τ ) ∈ PR} um processo de evolu¸c˜ao linear. Suponha que f e {T (t, τ ) : (t, τ ) ∈ PR} definam um processo de evolu¸c˜ao semilinear; isto ´e, para todo t > τ e ∀x ∈ X
Sf(t, τ )x =T (t, τ )x +
Z t
τ
T (t, s)f (s, Sf(s, τ )x ) ds. (8)
Assim, o processo de evolu¸c˜ao linear definido por Lf(t, τ ) = T (t, τ ) +
Z t
τ
T (t, s)Dxf (s, ξ(s))Lf(s, τ ) ds.
tem dicotomia exponencial com constante M e expoente ω > 0 e ξ(t) =
Z ∞
−∞
Se supt∈Rkξ(t)kX > M1< ∞ e 0 < < M1− supt∈Rkξ(t)kX, suponha que sup kxk6M1 kf (t, x)kX + kDxf (t, x )kL(X )< ∞, (10) que sup kxk6M1 kf (t, x) − g (t, x)kX+kDxf (t, x ) − Dxg (t, x )kL(X )< ω 4M. (11)
e que g e {T (t, τ ) : (t, τ ) ∈ PR} definam um processo de evolu¸c˜ao semilinear {Sg(t, τ ) : (t, τ ) ∈ PR}. Ent˜ao, {Sg(t, τ ) : (t, τ ) ∈ PR}
tem uma ´unica solu¸c˜ao global limitada η : R → X tal que
sup
t∈R
De fato, se y : R → X ´e uma solu¸c˜ao global limitada de {Sg(t, τ ) : (t, τ ) ∈ PR}, ent˜ao y (t) = Lf(t, τ )y (τ )+ Z t τ Lf(t, s)[g (s, y (s))−Dxf (s, ξ(s))y (s)] ds ξ(t) = Lf(t, τ )ξ(τ )+ Z t τ Lf(t, s)[f (s, ξ(s))−Dxf (s, ξ(s))ξ(s)] ds (12)
e, se definimos φ(t) = y (t) − ξ(t), t ∈ R, temos que φ(t) = Lf(t, τ )φ(τ ) +
Z t
τ
Lf(t, s)˜g (s, (φ(s))) ds. (13)
Projetando (??) com I − Q(t) e tomando o limite quando τ → −∞ temos que (I − Q(t))φ(t) = Z t −∞ Lf(t, s)(I − Q(s))˜g (s, (φ(s))) ds.
Tomando o limite quando t → ∞ obtemos que Q(τ )φ(τ ) = −
Z ∞
τ
Lf(τ, s)Q(s)˜g (s, (φ(s))) ds
Da´ı, existe uma ´unica solu¸c˜ao global limitada de (??) em
B := {φ : R → X : φ ´e cont´ınua e sup
t∈R
kφ(t)kX 6 }
para pequeno se, e somente se, T (φ)(t) = − Z ∞ t Lf(t, s)Q(s)˜g (s, (φ(s)))ds + Z t −∞ Lf(t, s)(I − Q(s))˜g (s, (φ(s)))ds = Z ∞ −∞ Gf(t, s)˜g (s, (φ(s))) ds
Usando a dicotomia exponencial de {Lf(t, τ ) : (t, τ ) ∈ PR} e o
Princ´ıpio da Contra¸c˜ao de Banach obtemos que existe uma ´unica
solu¸c˜ao global limitada de (??) em B. De fato:
kT (φ)(t)kX 6 M Z ∞ −∞ e−ω|t−s|k˜g (s, (φ(s)))kX ds 6 2Mω−1sup t∈R kg (t, y (t)) − f (t, y (t))kX + 2Mω−1 sup kxk6 sup t∈R kf (t, ξ(t) + x) − f (t, ξ(t)) − Dxf (t, ξ(t))x kX kxkX 6 2 + 2Mω −1 ρ(),
onde usamos (??). Escolhendo tal que 2Mω−1ρ() < 2 temos
Usando (??) n˜ao ´e dif´ıcil ver que, para pequeno, kT (φ1)(t) − T (φ2)(t)kX 6
1
Como η = ν + ξ : R → X est´a uniformemente pr´oxima a ξ : R → X , segue de (??) e que, para pequeno,
Lg(t, τ ) = T (t, τ ) + Z t τ T (t, s)Dxg (s, η(s))Lg(s, τ ) ds = Lf(t, τ )+ Z t τ Lf(t, s)[Dxg (s, η(s))−Dxf (s, ξ(s))][Lg(s, τ )−Lf(s, τ )]ds + Z t τ Lf(t, s)[Dxg (s, η(s)) − Dxf (s, ξ(s))]Lf(s, τ ) ds
