QUESTÕES DE SALA
01. (UNICAMP/2017) A figura abaixo exibe três círculos no plano, tangentes dois a dois, com centros em A, B e C e raios de comprimentos a, b e c, respectivamente.
a) Determine os valores de a, b e c, sabendo que a distância entre A e B é de 5 cm, a distância entre A e C é de 6 cm e a distância entre B e C é de 9 cm.
b) Para a = 2 cm e b = 3 cm, determine o valor de c > b de modo que o triângulo de vértices em A, B e C seja retângulo.
02. (FGV) Um canteiro com formato retangular tem área igual a 40 m2 e sua diagonal mede 89 m. O perímetro desse retângulo é:
a) 20 m b) 22 m c) 24 m
d) 26 m e) 28 m
03. (PUC-SP) Abílio (A) e Gioconda (G) estão sobre uma superfície plana de uma mesma praia e, num dado instante, veem sob respectivos ângulos de 30° e 45°, um pássaro (P) voando, conforme é representado na planificação abaixo.
Considerando desprezíveis as medidas das alturas de Abílio e Gioconda e sabendo que, naquele instante, a distância entre A e G era de 240 m, então a quantos metros de altura o pássaro distava da superfície da praia?
a) 60 (√3 + 1) b) 120 (√3 – 1) c) 120 (√3 + 1)
d) 180 (√3 – 1) e) 180 (√3 + 1)
04. (VUNESP) Uma raposa avista um cacho de uvas em uma parreira sob um ângulo de 30º formado com a horizontal. Então, preguiçosamente ela se levanta, anda √3 m em direção à base da parreira e olha para as uvas sob um ângulo de 60º, como mostra a figura abaixo.
Nessas condições, a altura h do cacho de uvas, em metros, é
a) 1,0 b) 1,5 c) 1,7 d) 3,4
05. (IFCE) A altura, baixada sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo, mede 12 cm, e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa diferem de 7 cm. Os lados do triângulo são, em centímetros, iguais a
a) 10, 15 e 20. b) 12, 17 e 22. c) 15, 20 e 25. d) 16, 21 e 26. e) 18, 23 e 28.
TAREFA DO DIA SEGUINTE
T01. (VUNESP) Se em um triângulo os lados medem 9, 12 e 15 cm, então a altura relativa ao maior lado mede: a) 8,0 cm
b) 7,2 cm c) 6,0 cm d) 5,6 cm e) 4,3 cm
T03. (ACAFE/SC) As projeções dos catetos de um triângulo retângulo sobre a hipotenusa medem 9 dm e 16 dm. Neste caso os catetos medem:
a) 15 e 20 b) 10 e 12 c) 3 e 4 d) 8 e 6
T04. (UNIMES) Uma escada de 25 dm de comprimento se apoia num muro do qual seu pé dista 7 dm. Se o pé da escada se afastar mais 8 dm do muro, qual o deslocamento verificado pela extremidade superior da escada?
a) 4 dm b) 5 dm c) 6 dm d) 7 dm e) 8 dm
T05. Os catetos de um triângulo retângulo medem 24 cm e 18 cm. Nessas condições determine:
a) a medida "a" da hipotenusa
b) a medida "h" da altura relativa à hipotenusa.
c) as medidas "m" e "n" das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
T06. (PUC-SP) A figura a seguir mostra a trajetória percorrida por uma pessoa para ir do ponto X ao ponto Y, caminhando em um terreno plano e sem obstáculos.
Se ela tivesse usado o caminho mais curto para ir de X a Y, teria percorrido a) 15 m b) 16 m c) 17 m d) 18 m e) 19 m
T07. (FUVEST) No jogo de bocha, disputado num terreno plano, o objetivo é conseguir lançar uma bola de raio 8 o mais próximo possível de uma bola menor, de raio 4. Num lançamento, um jogador conseguiu fazer com que as duas bolas ficassem encostadas, conforme ilustra a figura a seguir. A distância entre os pontos A e B, em que as bolas tocam o chão, é: a) 8 b) 6√2 c) 8√2 d) 4√3 e) 6√3
T08. (UNESP) Em uma residência, há uma área de lazer com uma piscina redonda de 5 m de diâmetro. Nessa área há um coqueiro, representado na figura por um ponto Q.
Se a distância de Q (coqueiro) ao ponto de tangência T (da piscina) é 6 m, a distância d = QP, do coqueiro à piscina, é: a) 4 m.
b) 4,5 m. c) 5 m. d) 5,5 m. e) 6 m.
T09. (FGV) As bases de um trapézio isósceles medem 20 m e 36 m, e a soma das medidas dos lados não paralelos é 20 m. A medida da altura desse trapézio é:
a) 6 m b) 3 m c) 8 m d) 4 m e) 10 m
T10. (UFSJ) Um triângulo isósceles inscrito em um círculo de raio igual a 8 cm possui um lado que mede 16 cm. A medida dos outros dois lados do triângulo, em cm, é igual a a) 8.
T11. (FGV) Um triângulo tem lados medindo 1 cm, 2 cm e 2,5 cm. Seja h a medida da altura relativa ao maior lado.
O valor de h2 expresso em cm2 é, aproximadamente, igual
a a) 0,54 b) 0,56 c) 0,58 d) 0,60 e) 0,62
T12. (UNILUS) Qual a medida da maior altura de um triângulo de lados 3, 4 e 5? a) 12/5 b) 3 c) 4 d) 5 e) 20/3
T13. (IFCE/2016) Um triângulo retângulo tem catetos medindo 1 e 2. Se um quadrado for construído tendo como lado a hipotenusa desse triângulo, a diagonal do quadrado medirá
a) √5. b) 2√5. c) 5√2.
d) √10. e) √2.
T14.
No triângulo ABC, C = 90º, AC6 cm, BC8 cm. Os pontos
D e E estão sobre os lados AB e BC, respectivamente, e o
ângulo BED = 90º. Se DE4 cm, então BD mede
a) 5. b) 15/2. c) 8.
d) 20/3. e) 16/3.
T15. (IFCE) Um retângulo inscrito em um círculo de raio 5 cm tem um dos lados medindo 2 cm a mais que o outro. A área desse retângulo, em centímetros quadrados, é
a) 30. b) 56. c) 48.
d) 24. e) 40.
T16. (EEAR) Sabe-se que a hipotenusa de um triângulo retângulo tem 5√5 cm de comprimento e a soma dos catetos é igual a 15 cm.
As medidas, em cm, dos catetos são a) 6 e 9
b) 2 e 13 c) 3 e 12 d) 5 e 10
T17. (IFPE) Um fio foi esticado entre as extremidades de duas torres de transmissão. Sabendo que a torre menor tem 16 m de altura, a torre maior tem 21 m de altura e que a distância entre as duas torres é de 12 m, qual é o comprimento do fio?
a) 13 m b) 5 m c) 37 m
d) 12 m e) 10 m
T18. (UEL/2019) Convenciona-se que o tamanho dos televisores, de tela plana e retangular, é medido pelo comprimento da diagonal da tela, expresso em polegadas. Define-se a proporção dessa tela como sendo o quociente do lado menor pelo lado maior, também em polegadas. Essas informações estão dispostas na figura a seguir.
Suponha que Eurico e Hermengarda tenham televisores como dado na figura e de proporção 3 4. Sabendo que o
tamanho do televisor de Hermengarda é 5 polegadas maior
que o de Eurico, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, quantas polegadas o lado maior da tela do televisor de Hermengarda excede o lado correspondente do televisor de Eurico.
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
T19. Um engenheiro deseja projetar uma ponte estaiada para ligar duas cidades vizinhas. Ele precisa instalar 8
cabos de sustentação que ligam uma torre (vertical) à parte
horizontal da ponte, e dispõe de 1.400 metros de cabo para
isso. Os cabos devem ser fixados à mesma distância um do outro, tanto na torre quanto na parte horizontal. Assim, a distância da base da torre ao primeiro ponto de fixação vertical deve ser igual à distância entre dois pontos de fixação vertical consecutivos. Essa mesma distância deve ser utilizada da base da torre ao primeiro ponto de fixação horizontal e entre os pontos de fixação horizontal consecutivos, conforme mostra a figura a seguir:
A distância, em metros, entre dois pontos consecutivos de fixação desses cabos deve ser aproximadamente de a) 49,5. b) 70,0. c) 98,5. d) 100,0.
T20. (EEAR/2019) Se ABC é um triângulo retângulo em A,
o valor de n é a) 22 3 b) 16 3 c) 22 d) 16
T21. (ESPCEX/2019) Os centros de dois círculos distam
25 cm. Se os raios desses círculos medem 20 cm e 15 cm,
a medida da corda comum a esses dois círculos é a) 12 cm.
b) 24 cm.
c) 30 cm.
d) 32 cm.
e) 26 cm.
T22. (VUNESP) A medida da área do triângulo retângulo, representado a seguir, é de 12,5 cm2. Qual é o valor aproximado do seno do ângulo “”? Considere √2 = 1,4.
a) 0,45 b) 0,52 c) 0,61 d) 0,71 e) 0,85
T23. (IFAL) Considere um triângulo retângulo, cujos ângulos agudos e satisfazem à condição cos = 0,8 e cos = 0,6. Determine a área desse triângulo, em cm2, sabendo que o comprimento da hipotenusa é 5 cm.
a) 4,5 b) 6 c) 7,5
d) 8 e) 10
T24. (FGV) A torre de controle de tráfego marítimo de Algés, em Portugal, tem o formato de um prisma oblíquo, com base retangular de área 247 m2. A inclinação da torre é de aproximadamente 76,7º, com deslocamento horizontal de 9 m da base superior em relação à base inferior do prisma.
Dados:
sen cos tg
13,3º 0,23 0,97 0,24
Nas condições descritas, o volume do prisma que representa essa torre, aproximado na casa da centena, é igual a a) 9.300 m3. b) 8.900 m3. c) 8.300 m3. d) 4.600 m3. e) 4.200 m3.
T25. (VUNESP) Determine o perímetro do triângulo ABD, em cm, representado na figura abaixo:
a) 53 + 5
b) 5(2 + 2) (3 + 1) c) 20 + 45
d) 45 e) 50
T27. (IFSP) Uma escada de 10 metros de comprimento está apoiada em uma parede que forma um ângulo de 90 graus com o chão. Sabendo que o ângulo entre a escada e a
parede é de
30 graus, é correto afirmar que o comprimento da escada corresponde, da distância x do “pé da escada” até a parede em que ela está apoiada, a:
a) 145 % b) 200 % c) 155 %
d) 147,5 % e) 152,5 %
T28. (CFTMG) O triângulo ABC é retângulo em ABCˆ e os
segmentos BD e AC são perpendiculares.
Assim, a medida do segmento DC vale
a) 10√3. b) 6√3. c) 15/2. d) 13/2.
T29. (VUNESP) O passeio em teleférico é uma opção turística em várias cidades do mundo. O teleférico mais alto e o segundo mais longo do mundo fica na cidade de Mérida, Venezuela, unindo a cidade ao Pico Espejo, cujo topo está a uma altura de 4.765 metros acima do nível do mar.
O teleférico sai da estação de Barinitas, a 1.577 metros acima do nível do mar, na cidade de Mérida e, depois de se deslocar 12,5 km, atinge o topo do Pico Espejo.
Considere que o cabo do teleférico seja completamente esticado e que seja o ângulo, com vértice na estação de Barinitas, formado pelo cabo do teleférico e a horizontal, conforme a figura.
Nessas condições, o valor aproximado do ângulo é Utilize:
medida
do ângulo seno cosseno tangente
11º 0,191 0,982 0,194 15º 0,259 0,966 0,268 18º 0,309 0,951 0,325 22º 0,375 0,927 0,404 25° 0,423 0,906 0,467 a) 11º. b) 15º. c) 18º. d) 22º. e) 25º.
T30. (UEMG) Em uma de suas viagens para o exterior, Luís Alves e Guiomar observaram um monumento de arquitetura
asiática. Guiomar, interessada em aplicar seus
conhecimentos matemáticos, colocou um teodolito distante 1,20 m da obra e obteve um ângulo de 60°, conforme mostra a figura:
Sabendo-se que a altura do teodolito corresponde a 130
cm, a altura do monumento, em metros, é
aproximadamente
a) 6,86. b) 6,10. c) 5,24. d) 3,34.
T31. (FUVEST) Na figura, tem-se AE paralelo a CD, BC, paralelo a DE, AE2, 45º, 75º. Nessas condições,
a distância do ponto E ao segmento AB é igual a
T32. (UFSJ) O teodolito é um instrumento de medida de ângulos bastante útil na topografia. Com ele, é possível determinar distâncias que não poderiam ser medidas diretamente. Para calcular a altura de um morro em relação a uma região plana no seu entorno, o topógrafo pode utilizar esse instrumento adotando o seguinte procedimento: situa o teodolito no ponto A e, mirando o ponto T no topo do morro, mede o ângulo de 30° com a horizontal; desloca o teodolito 160 metros em direção ao morro, colocando-o agora no ponto B, do qual, novamente mirando o ponto T, mede o ângulo de 60° com a horizontal.
Se a altura do teodolito é de 1,5 metros, é CORRETO afirmar que a altura do morro com relação à região plana à qual pertencem A e B é, em metros:
a) 80 31,5 b) 80 31,5 c) 160 31,5 3 d) 160 31,5 3
T33. (ENEM) Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual a fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2. A figura ilustra essa situação:
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo = 30º e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB = 2000 m. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será
a) 1.000 m. b) 1.000√3 m. c) 2.000√3/3 m. d) 2.000 m. e) 2.000√3 m.
T34. (UFPB) Em parques infantis, é comum encontrar um brinquedo, chamado escorrego, constituído de uma superfície plana inclinada e lisa (rampa), por onde as crianças deslizam, e de uma escada que dá acesso à rampa. No parque de certa praça, há um escorrego, apoiado em um piso plano e horizontal, cuja escada tem 2 m de comprimento e forma um ângulo de 45º com o piso; e a rampa forma um ângulo de 30º com o piso, conforme ilustrado na figura a seguir.
De acordo com essas informações, é correto afirmar que o comprimento (L) da rampa é de:
a) √2 m. b) 2√2 m. c) 3√2 m.
d) 4√2 m. e) 5√2 m.
T35. (FUVEST) Para se calcular a altura de uma torre, utilizou-se o seguinte procedimento ilustrado na figura: um aparelho (de altura desprezível) foi colocado no solo, a uma certa distância da torre, e emitiu um raio em direção ao ponto mais alto da torre. O ângulo determinado entre o raio e o solo foi de = /3 radianos. A seguir, o aparelho foi deslocado 4 metros em direção à torre e o ângulo então obtido foi de radianos, com tg = √3.
É correto afirmar que a altura da torre, em metros, é
a) 4√3 b) 5√3 c) 6√3
d) 7√3 e) 8√3
MICRO-REVISÃO 1
36. (CFTMG/2018) No trator da figura, o raio PS da maior circunferência determinada pelo pneu traseiro é 80 cm, o
raio QR da maior circunferência determinada pelo pneu
dianteiro é 56 cm e as distâncias entre os centros P e Q
Considerando π 3, a distância entre os pontos S e R, em que os pneus tocam o solo plano é
a) igual ao comprimento da circunferência de raio PS. b) maior que o comprimento da circunferência de raio PS. c) um valor entre as medidas dos comprimentos das circunferências de raios PS e QR.
d) maior que o módulo da diferença entre os comprimentos das circunferências de raios PS e QR.
T37. (PUCCamp) Quando a dimensão da tela de uma TV é indicada em polegadas, tal valor se refere à medida da diagonal do retângulo que representa a tela. Considere uma
TV retangular de 16 polegadas e outra de 21 polegadas.
Se as telas das duas TVs são retângulos semelhantes, então, a área da maior tela supera a da menor em, aproximadamente, a) 36%. b) 31%. c) 72%. d) 76%. e) 24%.
T38. (ENEM) Para decorar um cilindro circular reto será usada uma faixa retangular de papel transparente, na qual está desenhada em negrito uma diagonal que forma 30
com a borda inferior. O raio da base do cilindro mede 6cm,
π
e ao enrolar a faixa obtém-se uma linha em formato de hélice, como na figura.
O valor da medida da altura do cilindro, em centímetro, é
a) 36 3 b) 24 3 c) 4 3
d) 36 e) 72
T39. (PUC-RJ) Considere o quadrado ABCD como na Figura.
Sabendo que E é o ponto médio do lado AB, assinale o valor de cos𝐶𝐷𝐸̂ a) 1 2 b) 5 5 c) 2 2 d) 1 5 2 e) 3 2 MICRO-REVISÃO 2
T40. (PUCCamp) Paulo está deitado na cama e assistindo à TV. Na figura, C representa um ponto sobre a cama a partir do qual o controle remoto da TV foi acionado na direção do receptor de sinal indicado por R. A medida do ângulo entre a linha que representa o sinal transmitido e a cama é igual a á. Dados: α 11,3 11,5 12,1 12,4 78,5 senα 0,196 0,199 0,210 0,215 0,980 cosα 0,981 0,980 0,978 0,977 0,199 tgα 0,200 0,203 0,214 0,220 4,915
Sabe-se, ainda, que: - R está a 1,2 m do chão;
- a altura da cama em relação ao chão é de 40 cm;
- C está a 4 metros de distância da parede em que a TV
está fixada;
- a espessura da TV é desprezível.
Nas condições descritas e consultando a tabela, α é igual
a
a) 78,5 b) 11,5 c) 12,1
d) 12,4 e) 11,3
Sabe-se que o segmento BC (pontilhado) representa a única parte que ainda não está pavimentada. Além disso,
os pontos A, B e C estão alinhados.
As medidas dos trechos mostrados no mapa, em decâmetros, são os seguintes:
AB = 10 BC = x CD = x + 2 AD = x + 9
Dessa forma, o trecho BC, ainda não pavimentado, mede
a) 3 dam. b) 4 dam. c) 5 dam. d) 6 dam.
T42. (UECE) Se a razão entre as medidas dos catetos de um triângulo retângulo é igual a 1 ,
2 o valor do seno do
menor dos ângulos internos desse triângulo é
a) 3. 2 b) 3 . 3 c) 2 . 3 d) 2 . 2
T43. (UPF) Considere o triângulo ABC representado na figura. Sabe-se que: AB 8 ˆ ACB 30
Qual das expressões seguintes representa BC, em função
de ?α
a) 16senα b) 8senα c) 4 3 senα
d) 16cosα e) 4 cosα
T44. (UERJ) O raio de uma roda gigante de centro C mede
CACB10 m. Do centro C ao plano horizontal do chão,
há uma distância de 11 m. Os pontos A e B, situados no
mesmo plano vertical, ACB, pertencem à circunferência
dessa roda e distam, respectivamente, 16 m e 3,95 m do
plano do chão. Observe o esquema e a tabela:
θ (graus) senθ 15 0,259 30 0,500 45 0,707 60 0,866
A medida, em graus, mais próxima do menor ângulo ACB corresponde a:
a) 45 b) 60 c) 75 d) 105
MICRO-REVISÃO 3
T45. (CMRJ) A figura abaixo mostra uma rampa de acesso que foi construída adjacente a uma escada existente em uma das entradas de um prédio em uma escola. A rampa foi construída dentro das normas que regulam a inclinação de rampas para pessoas com necessidades especiais (cadeirantes e pessoas com mobilidade limitada).
Para que a rampa fique dentro das normas são necessários mais alguns ajustes, como por exemplo a sinalização com piso tátil para deficientes visuais, em toda a sua extensão até a frente da porta. O custo do piso tátil instalado, de
1,20 m de largura, é 150 reais por metro.
Para sinalizar a rampa, a escola gastará aproximadamente a) 1.780 reais.
T46. (IFPE) Um famoso rei, de um reino bem, bem distante, decide colocar um tampo circular para servir de mesa no
salão de reunião. A porta de entrada do salão tem 1 metro
de largura por 2, 4 metros de altura.
Qual o maior diâmetro que pode ter o tampo circular da mesa para passar pela porta do salão? (Dica: o círculo pode passar inclinado). a) 2,5 m. b) 2,8 m. c) 3,0 m. d) 2,6 m. e) 2,4 m.
T47. (CMRJ) A figura a seguir ilustra uma haste AC
articulada em B com as respectivas medidas horizontais e
verticais referentes a uma das suas possíveis
configurações.
A maior distância possível entre as extremidades A e C,
em decímetros, vale a) 20 2. b) 20 3. c) 24. d) 30. e) 32.
GABARITO - TAREFA DO DIA SEGUINTE
