Mec^anica dos Sólidos Deformáveis Prof. Dr. Marco Lúcio Bittencourt Eng. Wallace Gusm~ao Ferreira 1deJunho de 2001

Prof. Dr. Marco Lucio Bittencourt Eng. WallaceGusm~ao Ferreira

1 Solidos 3

1.1 Introduc~ao. . . 3

1.2 Denic~ao daCinematica . . . 4

1.3 Deformac~ao . . . 5

1.4 Movimento deCorpoRgido. . . 9

1.5 TrabalhoInterno . . . 9

1.6 Princpiodos Trabalhos Virtuais(PTV) . . . 12

1.7 Lei deHookeGeneralizada. . . 13

1.8 Aplicac~ao da Equac~ao Constitutiva . . . 16

1.9 Formulac~ao Empregando Tensores . . . 17

1.9.1 Corpo . . . 17

1.9.2 Vetores . . . 18

1.9.3 Cinematica . . . 19

1.9.4 Deformac~ao . . . 19

1.9.5 Movimentosde Corpo Rgido . . . 27

1.9.6 TrabalhoInterno . . . 29

1.9.7 Aplicac~ao doPTV . . . 33

1.9.8 Aplicac~ao daEquac~aoConstitutiva . . . 33

2 Casos Particulares 35 2.1 Barra . . . 35 2.1.1 Cinematica . . . 35 2.1.2 Deformac~ao . . . 35 2.1.3 TrabalhoInterno . . . 36 2.1.4 PTV . . . 36

2.1.5 Aplicac~ao daEquac~aoConstitutiva . . . 36

2.2 Flex~ao Puraem VigasPrismaticas . . . 37

2.2.1 Cinematica . . . 37

2.2.2 Deformac~ao . . . 38

2.2.3 TrabalhoInterno . . . 38

2.3.2 Deformac~ao . . . 41

2.3.3 TrabalhoInterno . . . 41

2.3.4 PTV . . . 42

2.3.5 Aplicac~ao daEquac~ao Constitutiva . . . 42

2.4 Estado Plano deTens~oes. . . 43

2.5 Estado Plano deDeformac~oes . . . 44

3 Soluc~ao Aproximada 46 3.1 Forma Forte . . . 46

3.2 Forma Fraca . . . 46

3.3 Aproximac~ao . . . 50

4 Aplicac~oes 53 4.1 Metodos Analticos . . . 53

4.1.1 Equac~oesde Compatibilidade . . . 53

4.1.2 Barra - Soluc~ao 3D . . . 56

4.1.3 Torc~ao deEixos CircularesPrismaticos- Soluc~ao 3D . . . 61

4.1.4 Viga - Soluc~ao3D . . . 63

4.2 Metodos Numericos . . . 66

4.2.1 Estudo de Casos . . . 69

Solidos

1.1 Introduc~ao

O proposito deste texto e a apresentac~ao de uma metodologia para o tratamento e analise

de tens~oes e deformac~oes em corpos solidos. Inicialmente sera descrita a cinematica do problema,

pemitindoestabelecer o conceitogeral de deformac~ao. Atraves do conceito de TrabalhoInterno e da

aplicac~aodoPrinc 

ipiodosTrabalhosVirtuaisser~aodeduzidasasequac~oesdiferenciaisparaoequil 

ibrio

tridimensional,aposa introduc~ao do conceito de tens~ao. Finalmenteser~ao deduzidas asequac~oes de

Navier,atravesdasaplicac~aodomodeloconsitutivo(relac~oesentretens~aoedeformac~oesemfunc~aodo

tipodematerial),nessecasoaleideHooke,paramateriaiselasticos,homog^eneose isotropicos. Am

de permitiruma notac~ao mais compacta e generalizada para a formulac~ao dos modelos, asequac~oes

ser~ao reescritasutilizando oconceitomatematico de tensores,seguindo-seosmesmospassosdescritos

anteriormente.

Com o intuito de exemplicar e aplicar os resultados obtidos com a formulac~ao geral para a

analise de tens~oes e deformac~oes em solidos tridimensionais,ser~ao formuladosos modelos

unidimen-sionais de problemas de barra, viga , torc~ao e estados planos (tens~ao e deformac~ao), deduzidos do

modelo maisgeral, levando-seem conta ashipotesescinematicassimplicadoras paracadacaso.

A formulac~ao apresentada sera baseada na mec^anica dos meios cont 

inuos que e o ramo da

mec^anica que trata do estudo de tens~oes em solidos, l 

iquidos e gases, bem como a deformac~ao e o

uxo desses materiais. O termo cont 

inuo aqui utilizado signica que s~ao desconsiderados os efeitos

decorrentes da estrutura molecular da materia, imaginando-a como sendo isenta de vazios e

descon-tinuidades. Doponto de vista matematico isso implicaem dizerque asfunc~oes empregadasna

mod-elagem devemser suaves epossuir derivadascont 

inuas emtodo o dom 

inioanalizado.

O conceito de contnuo permiteo uso de artifcios matematicos do calculo diferencial,

possibil-itandoo estudo de distribuic~oescomplexas e n~ao uniformes de tens~ao e deformac~ao dos corpos e, ao

mesmotempo,denirmodelosfsicosconsideradosaceitaveis nadescric~aodo comportamentomateria

como um todo. Esta metodologia permite que ramos da mec^anica como elasticidade, plasticidade e

mec^anica dos fuidos establecam previs~oes quantitativas bastante razoaveis para uma larga faixa de

problemasde analise de tens~oes, deformac~oese uxomaterial no campo da engenharia.

Considerando-sequeatualmenteousodeferramentascomputacionaiseumarealidadecadavez

maispresenteno cotidianoda engenharia,para asoluc~ao de problemasenvolvendogrande

complexi-dade,comoasoluc~aoanal 

iticadeequac~oesdiferenciais,seraapresentadaumapropostadeaproximac~ao

dasoluc~aodasequac~oesdeequil 

ibrio,permitindoousodeferramentasnumericas,comooja

consagra-do Metodo dos Elementos Finitos (MEF), entre outros. De forma simplicada, o metodo utilizado

plos de aplicac~ao das soluc~oes, de forma anal 

itica, utilizando o equacionamento desenvolvido e de

forma numerica, utilizandoo programa deelementos nitosANSYS.

1.2 Denic~ao da Cinematica

ConsidereumcorpotridimensionalBeumsistemaderefer^enciacartesianoilustradosnaFigura

1.1. SejaP

1

umponto qualquerdo corpoBcomcoordenadas(x;y;z) segundoosistemaderefer^encia

adotado, denotando-se P 1 (x;y;z). Sendo fe x ;e y ;e z

g uma base ortonormal do sistema de refer^encia,

o vetorposic~aor P 1 do ponto P 1 edenidocomo r P 1 =xe x +ye y +ze z .

Suponhaagora queo corpo B sofra umdeslocamento. Neste caso, o ponto P

1

assumea posic~ao nal

P 0 1 (x 0 ;y 0 ;z 0

) e o respectivo vetorposic~aoe dadopor

r P 0 1 =x 0 e x +y 0 e y +z 0 e z .

Figura 1.1: Cinematica deum CorpoSolido

Dene-se o vetor deslocamento u do ponto P

1

como a diferenca entre as suas posic~oes nal

(x 0 ;y 0 ;z 0 ) einicial(x;y;z), ou seja, u =r P 0 1 r P 1 =(x 0 x)e x +(y 0 y) e y +(z 0 z) e z . (1.1) Observa-se que u = (x 0 x), v = (y 0 y) e w = (z 0

z) s~ao, respectivamente, as componentes do

vetor deslocamento u nasdirec~oesx,y e z. Logo, a express~ao anteriorpode serreescrita como

u =ue x +ve y +we z , (1.2) ou emforma matricial, u = 8 > < > : u v w 9 > = > ; . (1.3)

Devido a hipotese de meiocontnuo, o corpo B possuiinnitospontos. Cada umdestes pontos

apresenta um vetor deslocamento u quando o corpo se desloca. Logo, a cinematica de um corpo

solidoe descritaporinnitosvetoresdeslocamentosdo tipo(1.3). Estesinnitosvetoresdenemum

campo vetorial de deslocamento u(x;y;z). Assim, ao se substituir as coordenadas (x;y;z) de um

ponto arbitrario P

1

u(x;y;z)= u(x;y;z)e x +v(x;y;z)e y +w(x;y;z)e z = 8 > < > : u(x;y;z) v(x;y;z) w(x;y;z) 9 > = > ; . (1.4) 1.3 Deformac~ao

Deseja-seagoracaracterizaravariac~aodedist^anciaentredoispontosarbitrariosdocorposolido

antes e depois da ac~ao de deslocamento. Isto permitira deniro que se entende por deformac~ao do

corpo solido. Considere os pontos arbitrarios P

1

(x;y;z) e P

2

(x+
x;y+
y;z+
z) ilustrados na

Figura 1.2e seusrespectivosvetoresposic~ao

r P 1 = xe x +ye y +ze z e (1.5) r P 2 = (x+
x)e x +(y+
y)e y +(z+
z)e z . (1.6)

De acordo com a Figura 1.2, a dist^ancia d entre os pontos P

1 e P

2 

e dada pela diferenca entre

o seusvetoresposic~ao,ou seja,

d =r P 2 r P 1 =
xe x +
ye y +
ze z .

Aposaac~ao dedeslocamento docorpode acordocomacinematica(1.4), ospontosP

1 eP

2

assumem,

respectivamente, as posic~oes nais P 0 1 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) e P 0 2 (x 0 +
x 0 ;y 0 +
y 0 ;z 0 +
z 0 ) com os seguintes vetores posic~ao r P 0 1 = x 0 e x +y 0 e y +z 0 e z e (1.7) r P 0 2 = (x 0 +
x 0 )e x +(y 0 +
y 0 )e y +(z 0 +
z 0 )e z . (1.8)

Portanto, a dist^ancia d 0

entreospontosP

1 e P

2

aposo deslocamento do corpoe dadapor

d 0 =r P 0 2 r P 0 1 =
x 0 e x +
y 0 e y +
z 0 e z .

Figura 1.2: Deformac~ao deum CorpoSolido

A partir da Figura 1.2 e adotando procedimento analogo ao utilizado na obtenc~ao da equac~ao

(1.4), tem-se que osvetores deslocamento dospontosP

1 e P

2

entre ascongurac~oesinicial enal s~ao

dados,respectivamente,por

u(x) = r P 0 1 r P 1 =u(x)e x +v(x)e y +w(x)e z ,

A partirdestasexpress~oes, pode-seescreverosvetoresposic~aodospontosP

1 eP

2

emfunc~ao de

seus vetoresdeslocamento, ou seja,

r P 0 1 = r P 1 +u(x)=[ x+u(x)]e x +[y+v(x)]e y +[z+w(x)]e z , r P 0 2 = r P 2 +u(x 0 )=  x+
x+u(x 0 )  e x +  y+
y+v(x 0 )  e y +  z+
z+w(x 0 )  e z . Portanto, expressa-sed 0 como d 0 =r P 0 2 r P 0 1 =(
x+
u)e x +(
y+
v)e y +(
z+
w)e z , (1.9)

sendo adiferenca dosdeslocamentosentre ospontos P

1 eP

2

nasdirec~oesx,y e z dadospor

u = u(x 0

) u(x)=u(x+
x;y+
y;z+
z) u(x;y;z),

v = v(x 0 ) v(x)=v(x+
x;y+
y;z+
z) v(x;y;z),
w = w(x 0 ) w(x)=w(x+
x;y+
y;z+
z) w(x;y;z).

Finalmente, avariac~ao dedist^ancia
de dadapor

d=d 0 d=
ue x +
ve y +
we z : (1.10)

Considere-se agora os elementos tridimensionais ilustrados na Figura 1.3 cujas diagonais s~ao

dadas, respectivamente, por d e d 0

. O elemento n~ao-deformado e um cubo de dimens~oes
x,
y e

z e suas arestas s~ao linhas retas formando angulos^ retos entre si. Apos o deslocamento, este cubo

se deforma para uma nova congurac~ao entre os pontos P 0

1 e P

0

2

com dimens~oes
x 0

,
y 0

e
z. As

arestassealongameos^angulosentreasarestasdeixamdeserretosapresentandodistorc~oes. Deseja-se

caracterizar estes alongamentos e distorc~oes denindo a deformac~ao em cadaponto do corpo solido.

Parafacilitara apresentac~ao, consideram-seosplanosxy,xz eyz individualmente.

(a)FormaInicial (b)FormaDeformado

Figura1.3: ElementosDiferenciais

AsFiguras1.4ae1.4bilustramasprojec~oesdoselementosn~ao-deformadoedeformadonoplano

xy com os respectivos deslocamentos u e v dos pontos P

1 e P 2 e as distorc~oes 1 e 2 . Analisa-se

inicialmenteapenaso casoemque ocorre somente alongamentosdo elemento nasdirec~oesx ey,

con-formeilustradonaFigura1.4a. Oalongamento nadirec~ao xsera dadopelavariac~ao de comprimento

x 0

x divididopelocomprimento inicial
x,ouseja,

x 0

x

x .

Porsuavez,a partirda Figura 1.4a, tem-seque
x 0 =
x+
u. Logo,
x 0
x
x =
x+
u
x
x =
u
x . (1.11)

Fazendo
x pequeno, tem-se que o ponto P

1

se aproxima de P

2

e dene-se a deformac~ao especca

longitudinaldo ponto P

1

na direc~ao x como olimite para
x tendendoa zero, ou seja,

" xx (x;y;z)= lim
x!0
u
x = lim
x!0

u(x+
x;y+
y;z+
z) u(x;y;z)

x

(c) (d)

(e) (f)

Figura1.4: Deformac~oes doelemento diferencial

Olimiteanterioreapropriadenic~aode derivada parcialpoisodeslocamento udependedas

coorde-nadas(x;y;z) de cadaponto. Portanto,

" xx (x;y;z)= @u(x;y;z) @x . (1.13)

Este mesmo procedimento pode serrepetidopara seobter adeformac~ao especcalongitudinal

de P 1 na direc~ao y,ouseja, " yy (x;y;z)= lim
y!0
v
x = lim
y!0 v(x+
x;y+
y;z+
z) v(x;y;z)
y . (1.14) Portanto, " yy (x;y;z)= @v(x;y;z) @y . (1.15)

1 tan 1 =
v
x . (1.16)

Tomando-se
xpequeno,tem-sequeatangentede

1  eaproximadamenteiguala 1 ,ouseja, tan 1  1

. Logo, a seguinte relac~aoe valida

1 = lim
x!0
v
x = lim
x!0 v(x+
x;y+
y;z+
z) v(x;y;z)
x = @v(x;y;z) @x . (1.17)

Considerandoagora apenasumadistorc~ao

2

,conforme Figura1.4d, nessecaso,

tan 2 =
u
y .

Tomando-se agora
y pequeno,tem-se quetan

2  2 e portanto 2 = lim
y!0
u
y = lim
y!0

u(x+
x;y+
y;z+
z) u(x;y;z)

y

=

@u(x;y;z)

@y

. (1.18)

A distorc~ao totalno planoxy,denotada como 

xy

(x;y;z),e dadapelasomade

1 e 2 ,ouseja,  xy (x;y;z)= 1 + 2 = @v(x;y;z) @x + @u(x;y;z) @y . (1.19)

Analogamenteparaoplanoxz,Figura1.4e, comosrespectivosdeslocamentosu ewdospontos

P 1 eP 2 easdistorc~oes 3 e 4

,efetua-seomesmoprocedimentoanterior,determinando-seadeformac~ao

espec 

icalongitudinaldo ponto P

1 na direc~ao zcomo " zz (x;y;z)= @w(x;y;z) @z (1.20) e adistorc~ao  xz (x;y;z) no plano xz  xz (x;y;z)= 3 + 4 = @u(x;y;z) @z + @w(x;y;z) @x . (1.21)

Finalmente, tomando-seo planoyz,Figura1.4f, tem-se a distorc~ao 

yz (x;y;z) dadapor  yz (x;y;z)= 5 + 6 = @v(x;y;z) @z + @w(x;y;z) @y : (1.22)

As componentes de deformac~ao anteriores podem se reorganizadas numa forma matricial da

seguintemaneira 8 > > > > > > > < > > > > > > > : " xx (x;y;z) " yy (x;y;z) " zz (x;y;z)  xy (x;y;z)  xz (x;y;z)  yz (x;y;z) 9 > > > > > > > = > > > > > > > ; = 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 @ @x 0 0 0 @ @y 0 0 0 @ @z @ @y @ @x 0 @ @z 0 @ @x 0 @ @z @ @y 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 8 > < > : u(x;y;z) v(x;y;z) w(x;y;z) 9 > = > ; , (1.23) ou ainda f" g=[L]fug,

sendo [L]um operadordiferencial.

Assim, tem-se que o estado de deformac~ao em cada ponto de um corpo solidoe caracterizado

por 6 componentes de deformac~ao. Observa-se que as componentes de deformac~ao especcas "

xx , " yy e " zz

s~ao quantidadesadimensionais, asquaisestabelecem umarelac~ao devariac~ao especcadas

componentes de deslocamento ao longo de umadeterminada direc~ao. Porsua vez, asdistorc~oes 

xy ,  xz e  yz

representamdeformac~oes angulareses~ao dadasemradianos.

de doispontosarbitrariosP

1 e P

2

docorposolido. A dist^ancia d entre estespontospode serfeita t~ao

pequenaquanto sequeira,de tal forma quepode-se falar do estado de deformac~aoem P

1 .

1.4 Movimento de Corpo Rgido

Seasnormasdosvetoresded 0

ilustradosnaFigura1.2s~aoiguaisent~aoocorposolidosofreuum

deslocamentor 

igido. Dene-secorpor 

igidocomoaqueleemqueadist^anciaentredoispontosquaisquer

permanece constante para qualquer ac~ao de movimento. Isto implica que todas as componentes de

deformac~ao emcadaponto do corpo s~ao nulas, ouseja,

8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > : " xx (x;y;z)= @u(x;y;z) @x =0 " yy (x;y;z)= @v(x;y;z) @y =0 " zz (x;y;z) = @w(x;y;z) @z =0  xy (x;y;z) = @v(x;y;z) @x + @u(x;y;z) @y =0  xz (x;y;z)= @u(x;y;z) @z + @w(x;y;z) @x =0  yz (x;y;z)= @v(x;y;z) @z + @w(x;y;z) @y =0 . (1.24)

Se a cinematica u(x;y;z) =fu(x;y;z) v(x;y;z) w(x;y;z)g T



e tal que as componentes de

deslocamento u;v e ws~ao constantesparatodosospontosdeB,ent~aotem-se apenasumatranslac~ao

rgida. Nessecaso, ascondic~oesanterioress~aosatisfeitas.

Se agora o corpo apresenta rotac~oes 

x ,

y e 

z

constantesem torno doseixosx, y e z

respecti-vamente, o vetor deslocamentoedadopor

u( x;y;z)=r=det 2 6 4 e x e y e z x y z  x  y  z 3 7 5 =(y z z y )e x +(z x x z )e y +(x y y x )e z ,(1.25) sendo ( y z  z y) = u, ( z x  x z) = v e ( x y  y

z) = w. Novamente, o deslocamento anterior

implicaque ascomponentesde deformac~ao sejamnulas.

Dessa forma,umdeslocamento rgidogerale dadopelasoma de umatranslac~ao e umarotac~ao

rgidada seguinte forma

u( x;y;z)=u 0 +r= 8 > < > : u 0 v 0 w 0 9 > = > ; + 8 > < > : (y z z y ) (z x x z ) (x y y x ) 9 > = > ; ; (1.26) sendo u 0 ,v 0 ,w 0 , x , y e  z

constantes paratodosospontosdo corpo B:

1.5 Trabalho Interno

No casodecorposdeformaveis,emprega-seo conceitodetrabalhointernoparasedeterminaros

esforcos internosassociados asdeformac~oes decorrentes dasac~oes cinematicas impostas ao corpo. O

trabalhointernoassociaasdeformac~oesumconjuntodeesforcosinternoscompat 

iveiscomasproprias

componentesde deformac~ao e coma cinematica do problema.

Assim, associado ascomponentes dedeformac~ao normal"

xx ,"

yy e "

zz

dT i = [ xx " xx + yy " yy + zz " zz + xy  xy + xz  xz + yz  yz ].

O sinal e introduzido apenas por conveni^encia quando da aplicac~ao do Princpio dos Trabalhos

Virtuais.

O trabalhointernototal e obtidoatraves da soma dotrabalho de cadaelemento diferencial, ou

seja, atravesda integral devolume

T i = Z V "  xx (x;y;z)" xx (x;y;z)+ yy (x;y;z)" yy (x;y;z)+ zz (x;y;z)" zz (x;y;z) + xy (x;y;z) xy (x;y;z)+ xz (x;y;z) xz (x;y;z)+ yz (x;y;z) yz (x;y;z) # dV.(1.27)

Fazendoumaanalisedimensionaldoprimeirotermonointegrandodaexpress~aoanterior,sabe-se

quea unidaderesultante deve ser igualatrabalho interno,ou seja,

[ xx (x;y;z)" xx (x;y;z)dV]=  N m 2  m m  [m 3 ]=[Nm]. (1.28)

Logo, associada a deformac~ao "

xx

( x;y;z) , quee umnumero adimensionalpor denic~ao, deve existir

uma func~ao contnua 

xx

(x;y;z) ; representando os esforcos internos normais na direc~ao x, com

di-mens~ao  N m 2 

. Assim, aose realizara integrac~ao no volume docorpoV,expressoem[m 3

],obt^em-se

unidades de trabalho ou energia [Nm]. A func~ao 

xx

(x;y;z) e denominada componente de tens~ao

normalna direc~ao x.

Substituindoascomponentes dedeformac~ao na express~aodo trabalho,tem-se que

T i = Z V 2 6 6 6 6 6 6 4  xx (x;y;z) @u(x;y;z) @x + yy (x;y;z) @v(x;y;z) @y + zz (x;y;z) @w(x;y;z) @z + xy (x;y;z)  @v(x;y;z) @x + @u(x;y;z) @y  + xz (x;y;z)  @u(x;y;z) @z + @w(x;y;z) @x  + yz (x;y;z)  @v(x;y;z) @z + @w(x;y;z) @y  3 7 7 7 7 7 7 5 dV(1.29)

As tens~oes normais representadas por 

xx , 

yy e 

zz

na equac~ao (?? ) s~ao responsaveis pelo

alongamento docorponasdirec~oesx, y ez respectivamente. Porsuavez,astens~oes de cisalhamento

 xy , xz e yz

s~aoresponsaveis pelasdistorc~oesnosplanosxy,xz e yzrespectivamente.

Emgeral,deseja-se obterumaexpress~aoemtermosdascomponentesdodeslocamentodocorpo

e n~ao de suas derivadas, como aparecem na equac~ao (?? ) para o trabalho interno. Considerando

que as componentes de tens~ao e de deslocamento presentes na equac~ao (?? ) s~ao contnuas em todo

o domniodo corpo, pode-se realizar o procedimento de integrac~ao por partes de forma a reduzir a

suaordemde diferenciac~aonas componentes de deslocamento. Deumaforma geral, aintegrac~ao por

partespara func~oescontnuasquaisquerf e g dependentes dex, y e ze denidacomo

8 > > > > > > < > > > > > > : Z V f(x;y;z) @g(x;y;z) @x dV = Z V @f(x;y;z) @x g(x;y;z)dV + Z S f(x;y;z)g(x;y;z)n x dS Z V f(x;y;z) @g(x;y;z) @y dV = Z V @f(x;y;z) @y g(x;y;z)dV + Z S f(x;y;z)g(x;y;z)n y dS Z V f(x;y;z) @g(x;y;z) @z dV = Z V @f(x;y;z) @z g(x;y;z)dV + Z S f(x;y;z)g(x;y;z)n z dS ,(1.30)

sendof(x;y;z)eg(x;y;z)func~oesescalaresecontnuasnodomnioV en

x ,n y en z s~aoascomponentes do vetor n=n x e x +n y e y +n z e z

normal asuperfcieS (contorno deV),verFigura 1.5.

tem-se que 8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > : Z V  xx @u @x dV = Z V @ xx @x udV Z S  xx un x dS Z V  yy @v @y dV = Z V @ yy @y vdV Z S  yy vn y dS Z V  zz @w @z dV = Z V @ zz @w wdV Z S  zz wn z dS Z V  xy ( @u @y + @v @x )dV = Z V @ xy @y udV Z S  xy un y dS+ Z V @ xy @x vdV Z S  xy vn x dS Z V  xz ( @u @z + @w @x )dV = Z V @ xy @z udV Z S  xz un z dS+ Z V @ xz @x wdV Z S  xz wn x dS Z V  yz ( @v @z + @w @y )dV = Z V @ yz @z vdV Z S  yz vn z dS+ Z V @ yz @y wdV Z S  yz wn y dS .(1.31)

Substituindoasexpress~oesanterioresna equac~ao (?? ) e reagrupandoos termos,obtem-se

T i =T V i +T S i , (1.32) sendo T V i = Z V  @ xx @x + @ xy @y + @ xz @z  u+  @ xy @x + @ yy @y + @ yz @z  v (1.33) +  @ xz @x + @ yz @y + @ zz @w  w  dV (1.34) e T S i = Z S [ ( xx n x + xy n y + xz n z )u+(  xy n x + yy n y + yz n z )v (1.35) +(  xz n x + yz n y + zz n z )w]dS. (1.36)

Fazendouma analise dimensionaldosintegrandos dasexpress~oes de T V i e T S i , observa-seque  @ xx @x  =  N m 2 1 m  =  N m 3  , (1.37) [ xx n x ] =  N m 2  : (1.38) Logo, o termo  @ xx @x 

Os objetivosdo PTV s~ao estabelecer osesforcos externoscompatveis comos esforcos internos

edeterminar umaexpress~ao localparao equilbrioentre estesesforcos. Este princpioestabelece que,

seocorpoestaemequilbrio,ostrabalhosexternoeinternos~aoosmesmosparaqualquerac~ao virtual

de movimento ^ u(x;y;z)= 8 > < > : ^ u(x;y;z) ^ v(x;y;z) ^ w(x;y;z) 9 > = > ; , (1.39)

aplicada sobreo corpo,a partirde suacongurac~ao deformada. Otermoac~ao virtual signicaque o

princpioe validopara toda e qualquerac~ao hipotetica de movimento,pequenaougrande,desde que

compatvel coma cinematica doproblema.

Para avaliar intuitivamente o peso de um corpo qualquer a partir de sua congurac~ao de

equilbrio,imp~oe-seumaac~aodemovimento^u(x;y;z)pararetirarocorpodoseuestado deequilbrio.

Dessaforma,peloPTVpode-se concluirque,otrabalhodasforcasexternasnecessarioparafazercom

queocorpoabandonesuacongurac~aodeequilbrioeigualaenergiapotencialgravitacional(trabalho

das forcasinternas, nesse caso o peso) armazenada no corpo na nova congurac~ao de equilbrio. De

maneira simplicada, ergue-se o corpo ate uma altura generica h, realizando um trabalho externo

T

e

. Aplicandoo PTV e possvel concluir que T

e

= Ph, sendo P o peso do corpo em quest~ao. 

E

importantesalientarque,opesoP docorpoesemprepossveldeserdeterminado,independentemente

do valor de numerico de h, por isso que a ac~ao de movimento u(x;^ y;z); que levou o corpo da sua

congurac~ao originalde equilbrioate a alturahe denidacomo virtual.

Dene-se o PTV como T e +T i =0, (1.40) sendoT e eT i

ostrabalhosdasforcasexternaseinternasagindosobreocorpo. Substituindooresultado

da equac~ao (?? ) em(1.40), obtem-se T e = T i = T V i T S i . (1.41)

Para que ocorra equilbrio,e preciso que haja em contrapartida aos esforcos internos, esforcos

externosde volumee superfcie,de tal forma que,

T V e +T S e = T V i T S i , (1.42) sendo T V e e T S e

, respectivamente, o trabalho externo das forcas de corpo e de superfcie necessarios

paragarantir oequilbrio.

Denindob(x;y;z)comosendoadensidadedasforcasexternasporunidadedevolumeet(x;y;z)

como aforca externa distribudana superfciedo solido, tem-se

T e = T V e +T S e (1.43) = Z V b T (x;y;z)^u(x;y;z)dV + Z S t T (x;y;z)^u(x;y;z) dS (1.44) = Z V ( b x ^ u+b y ^ v+b z ^ w)dV + Z S (t x ^ u+t y ^ v+t z ^ w)dS. (1.45)

Para que haja equilbrioentre os trabalhosdos esforcosexternos e internose preciso que para

qualquerac~ao virtual^u(x;y;z)

T V e = T V i , (1.46) T S e = T S i . (1.47)

Substituindoasexpress~oesdostrabalhosdasforcasdevolumeesuperficiedaequac~ao(1.45) em

(1.46) e (1.47) e agrupandoostermos dasintegrais de volumee de superf 

icietem-se que

Z V  @ xx @x + @ xy @y + @ xz @z +b x  ^ u+  @ xy @x + @ yy @y + @ yz @z +b y  ^ v +  @ xz @x + @ yz @y + @ zz @w +b z  ^ w  dV =0 (1.48) e Z S [( xx n x + xy n y + xz n z t x )u^+(  xy n x + yy n y + yz n z t y )^v +( xz n x + yz n y + zz n z t z )w]^ dS=0 (1.49)

Como u(x;^ y;z)=f^u(x;y;z) v(x;^ y;z) w(x;^ y;z)g T



e uma ac~ao de deslocamento virtual

arbi-trariacompatvelcom acinematicadoproblema,pode-seconcluirqueasequac~oes(??)e(1.49)ser~ao

satisfeitassomente quandoasequac~oesdiferenciais

8 > > > > > > < > > > > > > : @ xx @x + @ xy @y + @ xz @z +b x =0 @ xy @x + @ yy @y + @ yz @z +b y =0 @ xz @x + @ yz @y + @ zz @w +b z =0 (1.50)

e ascondic~oes decontorno

8 > < > :  xx n x + xy n y + xz n z t x =0  xy n x + yy n y + yz n z t y =0  xz n x + yz n y + zz n z t z =0 , (1.51)

forem satisfeitas simultaneamente. O conjunto de equac~oes em (1.50) dene o sistema de equac~oes

diferenciais de equilbrioentre as forcas de volume externas e internasvalido em todo o domnio do

corpo solido. O conjundo de equac~oes em (1.51) dene as condic~oes de contorno na superfcie do

solido.

Ossistemasdeequac~oesem(1.50)e(1.51)denemoProblemadeValordeContorno(PVC)para

o equlbrio de solidos em tr^es dimens~oes. Nenhuma hipotese simplicadorafoi introduzida, alem da

continuidadedasac~oescinematicamente possveisedepequenasdeformac~oes. Assim,estaformulac~ao

e valida para qualquer meio contnuo independentemente do tipo de material com o qual o meio e

formado.

1.7 Lei de Hooke Generalizada

Ate omomento, foram estabelecidososconceitos de deformac~ao e tens~ao aplicaveis a qualquer

material em equilbrio que satisfaca as hipoteses de meio contnuo. Agora ser~ao denidas equac~oes,

caracterizandoo comportamento de umdeterminado tipode material e suas respostas dadoum

car-regamento aplicado. Tais equac~oes s~ao denominadas equac~oes constitutivas, pois descrevem o

com-portamento do material emdecorr^encia de suaconstituic~ao interna. Asequac~oes constitutivas

corre-spondem aformulac~ao matematica do modelode comportamento de ummaterial idealizado,visando

aproximarasobservac~oesexperimentaisdocomportamentodomaterialemumadeterminadafaixade

aplicac~ao.

Nessecontexto,dene-seosolidoelastico, linear,homog^eneo eisotropico, queobedeceomodelo

constitutivoconhecidocomoLeideHooke. Porelasticodeve-seentenderqueomaterialretornaasua

forma inicial, ou seja, n~ao existem deformac~oes permanentes apos cessar o carregamento. Linear

outrasdirec~oes. Umexemplo de materiaisque obedecem estaleipara umafaixa denidacomofaixa

elastica, s~aoosmateriais metalicos (aco,alumnio,cobre, etc.) atemperaturaambiente.

Observa-se, atraves de experimentos que,quandoesses materiaiss~ao solicitadosuniaxialmente,

ou seja, tens~oes normaisem umaunica direc~ao,existe uma faixaonde arelac~ao tens~ao versus

defor-mac~ao apresenta umcomportamento linearelastico denidocomo

 xx =E" xx )" xx =  xx E , (1.52)

sendo E denidocomo Modulo de Elasticidade Longitudinal ou Modulo de Young, representando o

comportamento elastico domaterial,quando submetidoa umcarregamento uniaxial.

Percebe-se tambem que tais materiais s~ao isotropicos, na maioria dos casos, apresentando o

mesmo comportamento emtodasas direc~oes. Logo,

 yy = E" yy )" yy =  yy E , (1.53)  zz = E" zz )" zz =  zz E . (1.54)

No caso de umcarregamento unixial,observam-se deformac~oesnasdirec~oesperpendicularesao

carregamento. Considerandoumalongamento "

xx

do corpo na direc~ao x,vericam-se encurtamentos

do corpo nasdirec~oes perpendiculares(neste caso y e z), os quais s~ao proporcionaisao alongamento

na direc~ao x. Porexemplo,para ocasode uma barratracionada na direc~ao longitudinal,ocorre uma

reduc~ao do di^ametro. O inverso ocorre no caso de compress~ao. Assim, no caso de um carregamento

na direc~ao x,tem-se que

" yy =" zz = v" xx )" yy =" zz = v E  xx . (1.55)

Analogamente para asoutrasdirec~oes, considerando aisotropia domaterial

" xx = " zz = v" yy )" xx =" zz = v E  yy , (1.56) " xx = " yy = v" zz )" xx =" yy = v E  zz . (1.57)

A propriedade v e denominada Coeciente de Poisson. Um valor tpico para o aco e v = 0;33. O

sinalde nasequac~oes (1.55) (1.56) e (1.57)eempregado apenaspararepresentaro fen^omeno fsico

observado.

Paracarregamentostriaxiais(tens~oenormaisnasdirec~oesx,yez;simultaneamente)observa-se

queexisteumasobreposic~aodosefeitosdoscarregamentosemcadadirec~ao. Portanto,superpondoos

efeitos vemque

" xx =  xx E v E  yy v E  zz = 1 E [ xx v( yy + zz )], (1.58) " yy =  yy E v E  xx v E  zz = 1 E [ yy v( xx + zz )], (1.59) " zz =  zz E v E  yy v E  xx = 1 E [ zz v( yy + xx )]. (1.60)

Considerandoagora o casode cisalhamento purodo material,verica-seque

 xy = G xy = E 2(1+v)  xy )  xy = 2(1+v) E  xy , (1.61)  xz = G xz = E 2(1+v)  xz ) xz = 2(1+v) E  xz , (1.62)  yz = G yz = E 2(1+v)  yz ) yz = 2(1+v) E  yz . (1.63)

O termo G e denominadoModulo de Elasticidade Transversal. A Figura 1.1 iustra ostipos de

(c) (d)

(e)

Figura1.6: Carregmentosatuando sobre umcorpo tridimensional

Deve-se observar, atraves dasequac~oes(1.61) (1.62) e(1.63), queosefeitosdocisalhamento em

um determinado plano n~ao provocam distorc~oes nos outros planos. Desta forma, 

xy ; xz e  yz s~ao independentes(desacoplados).

Pode-se escrever asrelac~oesanterioresna forma matricial

8 > > > > > > > < > > > > > > > : " xx " yy " zz  xy  xz  yz 9 > > > > > > > = > > > > > > > ; = 1 E 2 6 6 6 6 6 6 6 4 1 v v 0 0 0 v 1 v 0 0 0 v v 1 0 0 0 0 0 0 2(1+v) 0 0 0 0 0 0 2(1+v) 0 0 0 0 0 0 2(1+v) 3 7 7 7 7 7 7 7 5 8 > > > > > > > < > > > > > > > :  xx  yy  zz  xy  xz  yz 9 > > > > > > > = > > > > > > > ; ; (1.64) ou seja,

8 > > > > > > > < > > > > > > > :  xx  yy  zz  xy  xz  yz 9 > > > > > > > = > > > > > > > ; = E (1+v)(1 2v) 2 6 6 6 6 6 6 6 4 1 v v v 0 0 0 v 1 v v 0 0 0 v v 1 v 0 0 0 0 0 0 1 2v 2 0 0 0 0 0 0 1 2v 2 0 0 0 0 0 0 1 2v 2 3 7 7 7 7 7 7 7 5 8 > > > > > > > < > > > > > > > : " xx " yy " zz  xy  xz  yz 9 > > > > > > > = > > > > > > > ; , (1.65) ou emforma compacta fg=[D]f" g.

Expandindoa express~ao para

xx ,tem-se que  xx = E (1+v)(1 2v) " xx + Ev (1+v)(1 2v) (" yy +" zz ). (1.66)

Somando e subtraindo o termo

Ev

(1+v)(1 2v) "

xx

do lado direito da equac~ao (?? ) e rearranjando,

obtem-se  xx = E (1+v) " xx + Ev (1+v)(1 2v) (" xx +" yy +" zz )=2" xx +e, (1.67)

sendo e oscoecientesde Lame dadospor

 = E 2(1+v) , (1.68)  = Ev (1+v)(1 2v) . (1.69)

Otermo erepresentaa dilatac~ao do corpo,ou seja,

e=" xx +" yy +" zz :

Efetuandoomesmoprocedimentoparaasdemaiscomponentesdetens~aonormal,tem-seaonal

asexpress~oesda Leide Hooke generalizadaparaummaterial elastico, linear,homog^eneoe isotropico

8 > > > > > > > < > > > > > > > :  xx =2" xx +e  yy =2" zz +e  zz =2" zz +e  xy = xy  xz = xz  yz = yz . (1.70)

1.8 Aplicac~ao da Equac~ao Constitutiva

As express~oes anteriores fornecem para um solido elastico, linear, homog^eneo e isotropico as

componentesdetens~aoemcadapontodocorpoemfunc~aodasrespectivascomponentesdedeformac~ao.

Substituindoestas relac~oes nas equac~oes de equil 

ibrio (1.50) obt^em-se as condic~oes de equil 

ibrio em

termos dascomponentesde deslocamento.

Paraa primeira equac~ao de (1.50) vem que

@ @x (2" xx +e)+ @ @y ( xy )+ @ @z ( xz )+b x = 0  @e @x +2 @" xx @x + @ @y ( @u @y + @v @x )+ @ @z ( @u @z + @w @x )+b x = 0. (1.71) Observa-seque @ @y ( @u @y + @v @x ) = @ 2 u @y 2 + @ @x ( @v @y )= @ 2 u @y 2 + @" yy @x , (1.72)

@ @z ( @u @z + @w @x ) = @ u @z 2 + @ @x ( @w @z )= @ u @y 2 + @" zz @x . (1.73)

Substituindoestas relac~oes em(1.71), tem-se que

 @e @x +2 @" xx @x + @ @y ( @ 2 u @y 2 + @" yy @x )+ @ @z ( @ 2 u @y 2 + @" zz @x )+b x =0. (1.74) Lembrando-seque e=" xx +" yy +" zz e @" xx @x = @ 2 u @x 2 e reagrupandoostermos (+) @e @x +( @ 2 @x 2 + @ 2 @y 2 + @ 2 @z 2 )u+b x =0. (1.75)

Efetuando o mesmoprocedimento paraasduasoutrasequac~oesem (1.50),obt^em-seao nalas

Equac~oes deNavier emtermos dascomponentesde deslocamento e da dilatac~ao e,ou seja,

8 > > > > > > > < > > > > > > > : (+) @e @x +( @ 2 @x 2 + @ 2 @y 2 + @ 2 @z 2 )u+b x =0 (+) @e @y +( @ 2 @x 2 + @ 2 @y 2 + @ 2 @z 2 )v+b y =0 (+) @e @z +( @ 2 @x 2 + @ 2 @y 2 + @ 2 @z 2 )w+b z =0 . (1.76)

Observa-sequeenquantoasequac~oesdeequilbrio(1.50)s~aovalidasparaqualquermeiocontnuo

tridimensionalem pequenasdeformac~oes, as equac~oes de Navier fornecem o equilbrioem termos de

deslocamentosapenas paraummaterial queobedece aleide Hooke.



E importantesalientarqueasoluc~aoanalticadosistemadeequac~oesem(1.76) pode serobtida

apenasemalgunscasosmuitoparticulares. No casoden~aoexistirumasoluc~aofechadaparaumdado

problema,aplicam-setecnicasde soluc~ao numericacomo oMetodo dos Elementos Finitos(MEF).

1.9 Formulac~ao Empregando Tensores

Aformulac~aoempregadaate agorautilizounumerosescalaresevetorescomoentesmatematicos

basicos. Um outro conceito matematico de grande import^anciano estudo deproblemas de Mec^anica

e o tensor. O seu uso permite apresentar de forma compacta e elegante a formulac~ao de varios

problemas. Umaoutravantagemequeasequac~oesexpressasnaforma tensorials~aoindependentesdo

sistema de coordenadas empregado. Assim,e poss 

ivel concentrar-se apenas nos conceitos envolvidos

nas equac~oes sem se preocupar com detalhes desnecessariossob o ponto de vista da apresentac~ao de

umaformulac~ao. Estesdetalhesser~aoimportantesapenasquandoseadotaumsistemadecoordenadas

espec 

icopara oestudo de umproblema.

Na verdade,o conceitodetensorrepresenta umageneralizac~ao.de escalaresevetores, poisestes

podem ser denidos, respectivamente, como tensores de ordens zero e um. Os tensores de segunda

ordems~aousadosextensivamenteemMec^anica,podendo-secitarostensoresdedeformac~ao,detens~ao

ede inercia. Porsuavez,tensores dequartaordems~aoempregadosparaarepresentac~ao deequac~oes

constitutivasde materiais.

A seguir,formula-seoproblemadecorpossolidosintroduzindooconceitodetensor. Paratanto

ser~ao seguidos os mesmos passos utilizados anteriormente. Antes disso porem, torna-se importante

apresentar umadenic~aopara umcorpo.

1.9.1 Corpo

Oespacogeometrico emconsiderac~aonoestudo daMec^anica doCont 

nenhuma destas regi~oes possa ser associada ao corpo, torna-se conveniente selecionar uma delas,

denominadacongurac~ao de refer^encia B, identicando pontos do corpo com assuas posic~oesem B.

Destamaneira, um corpo B passa a ser umaregi~ao regularde E,sendo ospontos de B denominados

pontos materiais. Qualquersubregi~aoregularlimitadadeBechamadaparte,aqualeindicadaporP.

Os contornosdo corpoB e da parte P s~ao indicados, respectivamente, por@B e @P. Estesconceitos

est~ao ilustradosnaFigura 1.7.

Como umcorpo pode ocupardiferentesregi~oes ao longode ummovimento, torna-se necessario

aintroduc~aodeumpar^ametrot2[t

0 ;t

f

] ,designandoumacertacongurac~aoB

t

docorpo. Observa-se

queem variosproblemastn~aorepresenta necessariamente o tempo.

Figura 1.7: Denic~ao de Corpo

1.9.2 Vetores

Intuitivamente,observa-sequeasomadedoispontosn~aopossuinenhumsignicado. Entretanto,

a diferencaentre doispontosx ey e denidacomo sendo umvetor, ouseja,

v=y x x;y2E: (1.77)

Pode-seent~aocolocaraseguinteimportanteobservac~ao. Umvetoredenidoformalmentecomo

a diferenca de pontos de E. Apenas quando se adota um sistema de coordenadas, pode-se falar das

componentesde umvetor,assim comoda suadirec~ao esentido.

O conjunto de vetores obtidos pela diferenca de pontos de E forma na verdade um espaco de

vetoresou espaco vetorialV. Observa-seainda quea somaentre umponto xe umvetorv deneum

novo ponto y ,istoe,

y=x+v x2E; v2 V . (1.78)

Um sistema de coordendasconsiste de uma baseortonormal fe

1 ;e

2 ;e

3

g e um ponto arbitrario

o de E denominado origem. A partir da, as coordenadas de qualquer ponto x passam a ser dadas

pelovetor posic~ao r=x o emrelac~ao a origemo. Estes conceitos est~ao ilustradosna Figura 1.8

A seguirapresenta-se aformulac~ao desolidointroduzindooconceito detensor. Apesarde uma

dasvantagensdeseempregartensoreseobterexpress~oesgeraisparaqualquersistemadecoordenadas,

utilizam-se a seguir coordenadas cartesianas (x;y;z) para manter compatibilidade com a notac~ao

Figura1.8: Denic~ao deVetores eSistemas de Refer^encia

1.9.3 Cinematica

Como vistona Sec~ao1.2, a cinematica de umcorpo solidoe descritaporum campo vetorialu,

oqualparacadapontodo corpo,comcoordenadas (x;y;z),fornece ascomponentes dedeslocamento

u,vew nasdirec~oese

x ,e

y ee

z

,respectivamente. Logo,acinematicade umsolidotridimensionalem

termos de deslocamento pode serdenotada como

u(x;y;z)= 8 > < > : u(x;y;z) v(x;y;z) w(x;y;z) 9 > = > ; . (1.79) 1.9.4 Deformac~ao

Sejaf(x) umafunc~aoda variavelx: Assim,paracada valor de x,f(x)fornece umnumeroreal

ou escalar. Por exemplo, f(x) pode representar o deslocamento axial num problema de barra, ou

ainda o deslocamento transversal numproblemade ex~ao de vigas. Pode-se expandira func~ao f na

vizinhancade x utilizandoa seriede Taylor, ou seja,

f(y) = f(x)+ df(x) dx d+ 1 2 d 2 f(x) dx 2 d 2 +:::+ 1 n! d (n) f(x) dx (n) d n + 1 (n+1)! d n+1 (1.80) = f(x)+ df(x) dx d+O(d 2 ), (1.81) sendo d =(y x)e O(d 2 ) um termo de ordemd 2

: Issosignica que quando y se aproxima de x, ou

seja, d=(y x)vaipara zero, d 2

tendea zero maisrapidamente. Logo,

lim y!x d 2 y x = lim y!x (y x) 2 y x = lim y!x (y x)=0. (1.82)

Suponha agora que f e uma func~ao que fornece valores escalares, mas depende das variaveis

x;y e z. Pode-se dizer que f depende do vetor posic~ao x=(x;y;z) de um ponto do corpo solido,

denotando-se como f = f(x;y;z) = f(x). Utilizando-se a serie de Taylor, pode-se expandir f em

torno de xda seguintemaneira

f(y )=f(x)+rf T

(x)d+ O(k dk 2

), (1.83)

sendod=(y x)ovetor diferencaentreasposic~oesy=(x 0 ;y 0 ;z 0 )ex=(x;y;z). Anormaeuclidiana de d e indicada por kdk e kdk 2 =(x 0 x) 2 +(y 0 y) 2 +(z 0 z) 2 . Assim, O(kdk 2 ) e umtermo de ordemkdk 2 .

Comof eagoraumafunc~aode3variavies,aprimeiraderivada

dx

em(1.81)esubstitudapelo

vetor gradiente de f,ou seja

f rf(x)g= 8 > > > > > > < > > > > > > : @f(x) @x @f(x) @y @f(x) @z 9 > > > > > > = > > > > > > ; . (1.84)

Por suavez, o termo O(k dk 2

) signicaque o mesmo vaipara zero mais rapidamente do que a

normak dkquando y tendea x; istoe,

lim y !x kdk 2 ky xk = lim y !x ky xk 2 k y xk = lim y !x ky xk=0. (1.85)

Sejaf agoraumafunc~aovetorialdependentedasvariaveisx;yez,ouseja,f =f(x;y;z)=f(x):

Destamaneira, f temcomponentes nasdirec~oesx,y e z:Logo

ff(x) g= 8 > < > : f x (x) f y (x) f z (x) 9 > = > ; . (1.86)

Expandindof em tornodo ponto x, tem-se que

f(y )=f(x)+rf(x)d+ O(kdk 2

). (1.87)

Nessecaso, o gradientede f(x)edadopor

rf(x)=  @f(x) @x @f(x) @y @f(x) @z  . (1.88)

Porsuavez como f eumafunc~ao vetorial,cadaumdoscompnentes dolado direitodaequac~ao

(?? )e umvetor analogo ao daequac~ao(1.84). Expandindocadaumdoscomponentes vemque

[rf(x)]= 2 6 6 6 6 6 6 4 @f x (x) @x @f x (x) @y @f x (x) @z @f y (x) @x @f y (x) @y @f y (x) @z @f z (x) @x @f z (x) @y @f z (x) @z 3 7 7 7 7 7 7 5 , (1.89)

Assim,ogradientedeumafunc~aovetorialf dependentedovetorposic~aox=(x;y;z)eumamatrizde

ordem3. Na verdade aequac~ao (1.89)e arepresentac~ao matricialdotensorrf(x)segundo osistema

cartesiano. Observe queao semultiplicara representac~ao matricialdo tensor rf dadaem(1.89) por

umvetor v comcomponentescartesianas (v

x ;v

y ;v

z

), tem-se como resultadoum outrovetor, ouseja,

2 6 6 6 6 6 6 4 @f x @x @f x @y @f x @z @f y @x @f y @y @f y @z @f z @x @f z @y @f z @z 3 7 7 7 7 7 7 5 8 > < > : v x v y v z 9 > = > ; = 8 > > > > > > < > > > > > > : @f x @x v x + @f x @y v y + @f x @z v z @f y @x v x + @f y @y v y + @f y @z v z @f z @x v x + @f z @y v y + @f z @z v z 9 > > > > > > = > > > > > > ; .

Torna-seimportanteaquiestabeleceroconceitodetensor. Deformaanalogaao casodevetores,

tem-se uma denic~aoformal do conceito de tensor. Apenasquando se utilizaum sistemade

coorde-nadas,pode-sefalardascomponentesdeumtensor. Assim,formalmente,dene-seumtensorTcomo

umatransformac~aolinear do espaco vetorialV em V denotando-secomo

Tu=v . (1.90)

Isto implica que ao se aplicar o tensor T num vetor qualquer u, tem-se como resultado o vetor v .

Comoa tranformac~aoe linear,asseguintespropriedades s~ao validas

sendo  umnumeroescalar.

Asequac~oes(1.90)e(1.92) denemumtensor. Utilizandoumsistemade coordenadascomuma

base fe 1 ;e 2 ;e 3

g, denem-seascomponentes de T como

T ij =e i
Te j .

Desta maneira, em termos de componentes as equac~oes (1.90) e (1.92) s~ao dadas,

respectiva-mente,por 2 6 4 T 11 T 12 T 13 T 21 T 22 T 23 T 31 T 32 T 33 3 7 5 8 > < > : u 1 u 2 u 3 9 > = > ; = 8 > < > : v 1 v 2 v 3 9 > = > ; , 2 6 4 T 11 T 12 T 13 T 21 T 22 T 23 T 31 T 32 T 33 3 7 5 0 B @ 8 > < > : u 1 u 2 u 3 9 > = > ; + 8 > < > : v 1 v 2 v 3 9 > = > ; 1 C A = 2 6 4 T 11 T 12 T 13 T 21 T 22 T 23 T 31 T 32 T 33 3 7 5 8 > < > : v 1 v 2 v 3 9 > = > ; + 2 6 4 T 11 T 12 T 13 T 21 T 22 T 23 T 31 T 32 T 33 3 7 5 8 > < > : u 1 u 2 u 3 9 > = > ; , 2 6 4 T 11 T 12 T 13 T 21 T 22 T 23 T 31 T 32 T 33 3 7 5 0 B @ 8 > < > : u 1 u 2 u 3 9 > = > ; 1 C A = 0 B @ 2 6 4 T 11 T 12 T 13 T 21 T 22 T 23 T 31 T 32 T 33 3 7 5 8 > < > : u 1 u 2 u 3 9 > = > ; 1 C A .

A cinematica de um corpo solido tambem edescrita por umafunc~ao vetorial u dependente do

vetor posic~ao x=(x;y;z) como indicado em (1.79). Expandindou(x) na vizinhanca de x de forma

analoga a equac~ao (1.87) vem que

u(y )=u(x)+ru(x)d+O(k dk 2

), (1.93)

sendo ru(x)ogradientedocampode deslocamentos calculadoem x,cujarepresentac~ao no sistema

cartesianoe dadapor

[ru(x)]= 2 6 6 6 6 6 6 4 @u(x) @x @u(x) @y @u(x) @z @v(x) @x @v(x) @y @v(x) @z @w(x) @x @w(x) @y @w(x) @z 3 7 7 7 7 7 7 5 . (1.94)

Como d=y x; tem-se que y=x+d. Logo, aexpress~ao (1.93) pode serreescrita como

u(x+d)=u(x)+ru(x)d+ O(kdk 2

). (1.95)

Observeque otensor gradientedo campode deformac~ao pode serescrito como

ru(x) = 1 2 ru(x)+ 1 2 ru(x) = 1 2 ru(x)+ 1 2 ru T (x)+ 1 2 ru(x) 1 2 ru T (x) (1.96) = 1 2 [ru(x)+ru T (x)]+ 1 2 [ru(x) ru T (x)]. (1.97)

Neste caso, ru (x) e o tensor transposto de ru(x). Para se obter a representac~ao matricial de

ru T

(x) no sistemacartesiano, basta trocar aslinhaspelas colunasem(1.94), ou seja,

[ru T (x)]= 2 6 6 6 6 6 6 4 @u(x) @x @v(x) @x @w(x) @x @u(x) @y @v(x) @y @w(x) @y @u(x) @z @v(x) @z @w(x) @z 3 7 7 7 7 7 7 5 . (1.98)

Denem-se ostensores de deformac~ao E erotac~ao innitesimais,respectivamente, como

E(x)= 1 2 [ru(x)+ru T (x)], (1.99) (x)= 1 2 [ru(x) ru T (x)]. (1.100)

A representac~ao matricialdotensorde pequenasdeformac~oes Eno sistemacartesianoeobtida

substituindo(1.94) e (1.98) em (1.99). Efetuando asoperac~oesindicadasvem que

[E(x)]= 2 6 6 6 6 6 6 4 @u(x) @x 1 2  @v(x) @x + @u(x) @y  1 2  @w(x) @x + @u(x) @z  1 2  @u(x) @y + @v(x) @x  @v(x) @y 1 2  @w(x) @y + @v(x) @z  1 2  @u(x) @z + @w(x) @x  1 2  @v(x) @z + @w(x) @y  @w(x) @x 3 7 7 7 7 7 7 5 . (1.101)

Observa-se que as componentes cartesianas de E(x) apresentam uma relac~ao direta com as

componentes de deformac~ao deduzidas anteriormente na Sec~ao ?? . Logo, pode-se reescrever (1.101)

como [E(x)]= 2 6 4 " xx (x) 1 2  xy (x) 1 2  xz (x) 1 2  xy (x) " yy (x) 1 2  yz (x) 1 2  xz (x) 1 2  yz (x) " zz (x) 3 7 5 . (1.102) 

E comum escrevero tensorde deformac~ao innitesimalda seguintemaneira

[E(x)]= 2 6 4 " xx (x) xy (x) xz (x) yx (x) " yy (x) yz (x) zx (x) zy (x) " zz (x) 3 7 5 . (1.103)

Ascomponentesdadiagonal principal"

xx (x);"

yy (x) e"

zz

(x) representam asdeformac~oesespeccas

nasdirec~oesx;y ezcalculadasno ponto x. Ascomponentesforadadiagonalprincipals~ao as

compo-nentes dedeformac~ao cisalhanteou distorc~ao. O tensorEesimetrico pois

xy (x)= yx (x) , xz (x)= zx (x) , yz (x)= zy (x) . (1.104)

Emgeral, asimetriade umtensor Te denidacomo

T=T T

. (1.105)

Emtermos de componentes, istoimplicaque

T 12 =T 21 , T 13 =T 31 , T 23 =T 32 , (1.106) ou deforma geral T ij =T ji , i;j=1;2;3 . (1.107)

Lembre-sequeaprimeira letraem

xy

indicaoplano x,enquantoosubscritoy indicaadirec~ao

dadeformac~ao. Analogamente, para

xz e

yz

(veja Figura1.4). Observequeasdistorc~oestotais 

xy ,  xz e  yz

nosplanos xy, xz e yz dadas em (1.23) s~ao duas vezes asrespectivas distorc~oes

xy , xz e yz ,ou seja,  xy (x)=2 xy (x) ,  xz (x)=2 xz (x) ,  yz (x)=2 yz (x) . (1.108)

(1.94) e (1.98) em (1.100). Logo [(x)]= 2 6 6 6 6 6 6 4 0 1 2  @u(x) @y @v(x) @x  1 2  @u(x) @z @w(x) @x  1 2  @u(x) @y @v(x) @x  0 1 2  @v(x) @z @w(x) @y  1 2  @u(x) @z @w(x) @x  1 2  @v(x) @z @w(x) @y  0 3 7 7 7 7 7 7 5 . (1.109)

Pode-se escrever o tensor(x)da seguintemaneira

[(x)]= 8 > < > : 0 z (x) y (x) z (x) 0 x (x) y (x) x (x) 0 9 > = > ; , (1.110) pois x (x) ; y (x) e z

(x) indicam as rotac~oes innitesimais de cada ponto x em torno dos eixos

cartesianos x;y e z respectivamente.

Paravericarqueistoe verdadeiro,considereo elemento diferencialdeummeiosolidosofrendo

umadistorc~ao

1

noplanoxy,conformemostradonaFigura1.9a. Observequeadiagonaldoelemento

apresentaumarotac~ao

1

emtornodoeixoznosentidoanti-horario. Dos^angulosindicadosnaFigura

1.9a, asseguintes relac~oes s~ao validas

2 =2+ 1 ) =a+ 1 2 1 , (1.111) + 1 =a+ 1 . (1.112)

Substituindo() (1.112)vem que

a+ 1 2 1 + 1 =a+ 1 ) 1 = 1 2 1 . (1.113)

Considerando agora que o elemento sofra uma distorc~ao

2

, mostrada na Figura 1.9b, tem-se

que a diagonal doelemento apresenta uma rotac~ao

2

emtorno de z no sentido horario e,portanto,

de valornegativo. DaFigura 1.9b

2 =2+ 2 ) =a+ 1 2 2 , (1.114)  2 =a+ 2 , (1.115) e substituindo(1.114)em(1.115) 2 = 1 2 2 . (1.116)

Paraocasogeral,ondeoelementosofreumadistorc~aototal

1 +

2

(verFigura1.9c),adiagonal

apresenta uma rotac~ao rgidalocal

z (x) dadapor z (x)= 1 + 2 . (1.117)

Substituindo(1.113) e (1.116)em(?? ) e lembrando que

2 = @v @x e 2 = @u @y vemque z (x)= 1 2  @v(x) @x @u(x) @y  . (1.118)

Analogamente,para osdemaisplanos(verFiguras1.9d e1.9e), tem-seque

x (x)= 1 2  @v(x) @z @w(x) @y  , (1.119) y (x)= 1 2  @u(x) @z @w(x) @x  . (1.120)

(c) (d)

(e)

Figura 1.9: Rotac~oes de CorpoRgido

Observe ainda de (1.110) que o tensor (x) e anti-simetrico. De forma geral, um tensor T e

anti-simetricose

T= T

T

. (1.121)

Emtermos de componentes, istoimplicaque

T 12 = T 21 , T 13 = T 31 , T 23 = T 32 , (1.122) T 11 =T 22 =T 33 =0, (1.123)

ou deforma geral, parai;j=1;2;3

T ij = T ji , i6=j ; (1.124) T ij =0 i=j . (1.125)

Substituindo(1.99) e (1.100) em (1.97) tem-se que

anti-simetrico(x): Estadecomposic~aoe validaparaqualquer tensorA. Logo, A=A S +A A , (1.127)

sendo aspartessimetricaA S

e anti-simetrica A A

de Adadas,respectivamente, por

A S = 1 2 (A+A T ), (1.128) A A = 1 2 (A A T ). (1.129)

Diz-se assim que E e representam, respectivamente, as partes simetrica e anti-simetrica do

gradiente de u, denotando-asda seguinteforma

E(x) = r S u(x), (1.130) (x) = r A u(x). (1.131)

Substituindoagora (1.126)em(1.95) vemque

u(x+d)=u(x)+E(x)d+(x)d+ O(kdk 2

). (1.132)

Esta relac~ao e bastante importante, pois mostra que o campo de deslocamnentos de um meio

contnuotridimensional contem umaparcelarelativa adeformac~aoinnitesimal,dadapelotensorE,

e outra compreendendouma rotac~ao inntesimal,dadapelotensor. Logo, apenas ascomponentes

de deformac~ao em E n~ao s~ao sucientes para levar umcorpo da suacongurac~ao original ate a sua

congurac~ao deformada. Uma rotac~ao rgida innitesimal ocorre na vizinhanca de cada ponto do

corpo.

Parailustrareste fatoconsidereaviga embalanco tratadacomo umcorpo,conformeilustrado

na Figura 1.10a. Suponha que a viga seja constru 

ida de chapas unidasatraves de pinos. A Figura

1.10b ilustra a geometria deformada da viga conforme esperado. Removendo os pinos da parte

superiore etindocadachapaseparadamente,observa-seque,searotac~aor 

igidan~aoestiverpresente,

ageometriadeformadaobtidan~aoecorreta(verFigura1.10c),amenosqueexistaumarotac~aor 

igida

dos pontos. Logo, este exemplo simples mostra que a parcela da rotac~ao innitesimal (1.132) esta

sempre presente quandoum corpo sofre umadeformac~ao.

(a) (b) (c)

Figura 1.10: Interpretac~ao da rotac~ao rgidade umaviga.

Considerando agora que os pontos y=x+d e x, ilustrados na Figura 1.11, estejam bem

proximos, tem-se que a norma do vetor d e bem pequena. Assim, na equac~ao (1.132),

despreza-seo termo O(kdk 2

) e obtem-se aseguinte express~ao para o campo de deslocamentos innitesimalna

vizinhancade y=x+d

u(x+d)=u(x)+E(x)d+(x)d, (1.133)

mente relacionadas ao casode pequenasdeformac~oes. Rescreve-se (1.134) como

u(x+d) u(x)=ru(x)d. (1.135)

A partir daFigura 1.11, observa-se que

d 0

=d+u(x+d) u(x).

Substituindo(1.134) na express~ao anteriorvemque

d 0

=d+ru(x)d=[I+ru(x)]d, (1.136)

sendo Io tensoridentidadecujarepresentac~ao matriciale dadapor

I= 2 6 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 7 5 . (1.137) Denominando agora F(x) =I+ru(x), (1.138)

como otensor gradiente de deformac~ao,tem-se que (1.136)assume aseguinteforma

d 0

=F(x)d . (1.139)

Figura 1.11: Deformac~ao de umCorpoSolido

A equac~ao (1.139)permitedeterminara dsist^anciad 0 entreP 0 1 e P 0 2

aposadeformac~ao, atraves

dotensorFedadist^anciainiciald. Paraseobteradeformac~aodo pontoP

1

,bastatomaradiferenca

entreoscomprimentosdosvetoresd 0

e d. Lembre-se queocomprimento kv k 2

deumvetor qualqerv

e obtidopelo produtoescalar comele mesmo,ou seja, k v k 2 =v
v . Logousando (1.139)
d=d 0
d 0 d
d=F(x)d
F(x)d d
d. (1.140)

DadoumtensorA,tem-sequeotranspostoA T

deAeounicotensorcomaseguintepropriedade

u
Av=A T

u
v , (1.141)

paraquaisquervetores u ev .

Com basenesseconceito, a express~ao(1.140)

d = F T (x)F(x)d
d d
d = [F T (x)F(x) I]d
d. (1.142) Denominando E  (x)= 1 2 [F T (x)F(x) I], (1.143)

d=2E 

(x)d
d. (1.144)

Substituindo(1.138)em (1.143), vemque

E  (x)= 1 2 f[I+ru(x)] T [I+ru(x) ] Ig. (1.145)

Dados dois tensores A eB; tem-se que

(A+B) T =A T +B T . (1.146) ComoI T =I,portanto E  (x) = 1 2 f[I+ru T (x)] [I+ru(x) ] Ig = 1 2 [I+ru(x)+ru T (x)+ ru T (x) ru(x) I] = 1 2 [ru(x)+ ru T (x) ]+ 1 2 ru T (x) ru(x) = E(x)+ 1 2 ru T (x) ru(x) . (1.147)

Com base na equac~ao (1.147), pode-se observar que o tensor de Cauchy-Green fornece uma

medida de deformac~ao geral, aplicavel tanto para pequenas quanto para grandes deformac~oes. No

entanto,parapequenasdeformac~oesasnormasdeuerus~aopequenas,ouseja,kuk<"ek ruk<";

com " da ordem de 10 4

por exemplo. Neste caso, o termo n~ao-linear 1 2 ru T (x) ru(x) torna-se desprez  ivele otensorE 

sereduz ao propriotensorde deformac~ao innitesimalE.

1.9.5 Movimentos de Corpo Rgido

Comosesabe,umcorpotridimensionaltem6movimentosr 

igidos,correspondentesas3translac~oes

nasdirec~oesx;y ez e3rotacoesemtornodoseixosx;ye z;conforme Figura1.12. Deseja-severicar

comoasac~oesr 

igidaspodemserrepresentadasutilizandoosconceitosapresentadosnasec~aoanterior.

Figura1.12: Movimentos de Corpo Rgido

Uma deformac~ao e homg^enea se o gradiente do campo de deslocamento ru e constante para

todosospontosxdocorpo,indicando-seru=ru

0

. Nessecaso,aexpress~ao(1.95) simplica-separa

u(x+d)=u(x)+ru

0

Comotodosos pontosdo corposofrem ummesmodeslocamento,ver Figura1.11, logo

u(x+d)=u(x) . (1.149)

Substituindoesta relac~ao em(1.148), tem-se que

ru

0

d=0, (1.150)

Comod e adist^ancia entredois pontos arbitrariosdo corpo,ent~ao a express~aoanteriore nulase

ru

0

=0: (1.151)

Dessa forma, como o gradiente do campo de deslocamentos e nulo, tem-se que o campo de

deslocamentosu

0

paraumatranslac~aoe constantepara todosospontos do corpo,ou seja,

u(x)=u(x+d)=u 0 = 8 > < > : u 0 v 0 w 0 9 > = > ; , (1.152) sendou 0 ;v 0 ew 0

ascomponentesdetranslac~aonasdirec~oesx;yez:Comou

0 ;v 0 ew 0 s~aoconstantes,

asrespectivascomponentesdotensordedeformac~ao Es~aonulas,oquecaracterizaummovimento de

corporgido.

Considere agora uma rotac~ao r 

igidado corpo emtorno do ponto P

1

. Alemdisso, suponhaque

o sistema de refer^encia cartesiano esteja centrado em P

1

, conforme ilustrado na Figura 1.13. Nesse

caso, o deslocamento u(x)do ponto P

1

na equac~ao (1.148) e nulo. Logo,

u(x+d)=(ru)d. (1.153)

Figura 1.13: Rotac~ao RgidaLocal

Comoo movimentoe rgido,a partesimetricaderu,ouseja, otensordedeformac~ao

innites-imalE e nulo. Portanto,

u(x+d)=d. (1.154)

Associado a todotensor anti-simetrico , existeumvetor axial!, talque

v=!v, (1.155)

para todo vetor v=fv

1 v 2 v 3 g T

:Nesse caso, ascomponentes do vetor !;s~ao

x ; y e z ;ou seja,

asrotac~oesrgidasemtornodoseixosx,ye z:Paravericaristo,bastaexpandirosdois lados,istoe,

v= 2 6 4 0 z y z 0 x y x 0 3 7 5 8 > < > : v 1 v 2 v 3 9 > = > ; = 8 > < > : v 3 y v 2 z v 1 z v 3 x v 2 x v 1 y 9 > = > ; , (1.156)

!v= 2 6 4 e x e y e z ! 1 ! 2 ! 3 v 1 v 2 v 3 3 7 5 > < > : v 1 v 2 v 3 > = > ; = > < > : v 3 ! 2 v 2 ! 3 v 1 ! 3 v 3 ! 1 v 2 ! 1 v 1 ! 2 > = > ; . (1.157) Portanto, 8 > < > : ! 1 = x ! 2 = y ! 3 = z . (1.158)

Com basenessesresultados, pode-se escrever

u(x+d)=!d. (1.159)

Logo,ummovimento geraldecorporgidoseradadopelasuperposic~aodosmovimentosdetranslac~ao

e rotac~ao,expressos por(1.152)e (1.159). Assimumaac~ao rgidageralpode serescrita como

u(x)=u

0

+!d, (1.160)

como obtidoanteriormente na Sec~ao1.4.

1.9.6 Trabalho Interno

No caso geral de pequenas deformac~oes num solido, o estado de deformac~ao em cada ponto e

dadopelas 9componentes indicadasem (1.103). Associadasasdeformac~oesnormais"

xx (x), " yy (x) e " zz

(x), tem-se asrespectivas componentes de tenss~ao normal 

xx (x),  yy (x) e  zz (x)representando,

respectivamente, o estado das forcas internas no ponto x nas direc~oes x;y e z. Da mesma maneira,

associadas as distorc~oes

xy (x), yx (x), xz (x), zx (x), yz (x) e zy (x), tem-se as 6 componentes de tens~ao de cisalhamento  xy (x),  yx (x),  xz (x),  zx (x),  yz (x) e  zy

(x), fornecendo o estado das

forcasinternascisalhantes no ponto x segundo os planosxy,xz e yz. Assim, o estado de tens~ao em

cadaponto de umcorpo solidosegundo umsistemacartesianoe dadopelas 9componentes detens~ao

ilustradasemFigura 1.14.

Figura 1.14: Estado deTens~oesem umponto de umcorpo solido.

A partirda,aexpress~aogeraldotrabalhointernoparaumcorpotridimensionaleescrita como

T i = Z V [  xx (x)" xx (x)+ yy (x)" yy (x)+ zz (x)" zz (x) + xy (x) xy (x)+ yx (x) yx (x)+ xz (x) xz (x) (1.161)

xx xx  N m 2  ,tem-se que [ xx (x)" xx (x)]=  N m 2  m m  =  Nm m 3  . (1.163)

Logo, aunidadedo termo

xx (x)"

xx

(x) e dadacomo trabalhoporunidadedevolume.

Denotando port

i

a densidadede trabalhointerno,ou seja,

t i =  xx (x)" xx (x)+ yy (x)" yy (x)+ zz (x)" zz (x) + xy (x) xy (x)+ yx (x) yx (x)+ xz (x) xz (x) + zx (x) zx (x)+ yz (x) yz (x)+ zy (x) zy (x), (1.164)

tem-se quea express~ao(1.162) pode ser reescritacomo

T i = Z V t i dV. (1.165)

Denotam-se ascomponentesdetens~aonopontoxatravesdotensordetens~oesdeCauchyT(x),

cujarepresentac~ao matricialnosistema cartesianoe a seguinte

[T(x)]= 2 6 4  xx (x)  xy (x)  xz (x)  yx (x)  yy (x)  yz (x)  zx (x)  zy (x)  zz (x) 3 7 5 . (1.166)

O tensor de tens~oes de Cauchy T representa o estado interno de tens~oes para cada ponto x de

coordenasdas x;y ez de umsolidotridimensional.

Sabe-se que produto escalar de dois vetoresa(a

1 ;a 2 ;a 3 ) eb( b 1 ;b 2 ;b 3 ) e calculadocomo a
b=a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 . (1.167)

Esteprodutoescalardevetoreseumcasoparticulardo conceitomaisgeralde produto interno,oqual

pode ser aplicado a outrasentidadesmatematicas, taiscomo func~oes e tensores. Observa-se tambem

queo produtointernode vetorese comutativo,ou seja,

a
b=b
a. (1.168)

Tomando-se os tensores de pequenas deformacoes E e de tens~oesT, o produto interno E
Te

denidocomo

E
T=tr(E T

T), (1.169)

sendotr otracodeumtensor,oqualedadopelasomadostermosdadiagonalprincipal. Substituindo

ascomponentes cartesianasde E e Te efetuando o produto

E
T = tr 0 B @ 2 6 4 " xx xy xz yx " yy yz zx zy " zz 3 7 5 T 2 6 4  xx  xy  xz  yx  yy  yz  zx  zy  zz 3 7 5 1 C A =  xx " xx + yy " yy + zz " zz + xy xy + yx yx + xz xz + zx zx + yz yz + zy zy . (1.170)

Comparando este resultadocom (1.164), observa-se que a densidade de trabalho interno t

i  e o

proprioprodutointerno E
T;ou seja,

t

i

=T(x)
E(x) . (1.171)

Assim,pode-se escrever aexpress~ao naldo trabalhointerno da seguinte forma

T i = Z V T(x)
E(x) dV. (1.172)

Uma constatac~ao importante da Mec^anica dos Meios Cont 

inuos e que o tensor de tens~oes de

Cauchye simetrico. A simetriade TeumdosresultadosmaisimportantesdoconhecidoTeorema de

Cauchy. Para vericareste fato, considera-seo trabalhointerno associado aummovimento decorpo

r 

igido. Para ummovimento de corpo r 

queotrabalhointernodedeformac~aoassociadoaumarotac~aodecorporigidodevesernulo,portanto T i = Z V T(x)
E(x)dV + Z V T(x)
(x) dV T i = Z V T(x)
(x)dV =0.

Expandindooprodutointerno indicadotem-se que

T i = Z V f[  yx (x)  xy (x) ] z +[ xz (x)  zx (x) ] y +[  yz (x)  zy (x) ] x gdV =0.

Paraquea express~aoanterior sejaverdadeiratem-se que ointegrandodeve ser nulo, assim

[ yx (x)  xy (x) ] z +[ xz (x)  zx (x) ] y +[  yz (x)  zy (x) ] x =0: Comoascomponentes x ; y e z

s~ao arbitrarias, aexpess~ao anterior soe satisfeita quando

8 > < > :  xy (x)= yx (x)  xz (x)= zx (x)  yz (x)= zy (x) .

Este resultado implica que o tensor de tens~oes de Cauchy T e simetrico, ou seja, T = T T

. Dessa

forma,s~aonecessariasapenas6componentesparaseestabelecerporcompletoo estado detens~oes de

umponto qualquerde umcorpo solido.

UmoutroimportanteresultadoequeoprodutointernodeumtensorsimetricoAporumtensor

antisimetrico Besempre nulo, ouseja,

A
B=0.

Resta agora integrar por partesa express~ao do trabalho interno. Paraisso, denem-seos

con-ceitos dediverg^encia de umvetor ede umtensor.

Dado umvetor v ,dene-se oseu divergente como

divv=tr(rv ). (1.173)

Expandindoaexpress~ao anterior emtermos dascompnentescartesianas de v ( v

1 ;v 2 ;v 3 ),tem-se que divv=tr 0 B B B B B B @ 2 6 6 6 6 6 6 4 @v 1 @x @v 1 @y @v 1 @z @v 2 @x @v 2 @y @v 2 @z @v 3 @x @v 3 @y @v 3 @z 3 7 7 7 7 7 7 5 1 C C C C C C A = @v 1 @x + @v 2 @y + @v 3 @z , (1.174) ou ainda, divv= 8 > > > > > < > > > > > : @ @x @ @y @ @z 9 > > > > > = > > > > > ;
8 > < > : v 1 v 2 v 3 9 > = > ; =r
v .

Porsuavez,a diverg^encia de umtensor Aedenidacomo

(div A)
v=div (A T

v ) . (1.175)

Desenvolvendoo ladodireitoda express~aoanterior

(div A)
v = div 0 B @ 2 6 4 A 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 A 31 A 32 A 33 3 7 5 T 8 > < > : v 1 v 2 v 3 9 > = > ; 1 C A 8 > < A 11 v 1 +A 21 v 2 +A 31 v 3 9 > =

(div A)
v= 8 > > > > > < > > > > > : @ @x @ @y @ @z 9 > > > > > = > > > > > ;
8 > < > : A 11 v 1 +A 21 v 2 +A 31 v 3 A 12 v 1 +A 22 v 2 +A 23 v 3 A 13 v 1 +A 23 v 2 +A 33 v 3 9 > = > ; . (1.177)

Realizando o produtoescalar ecolocandov

1 ;v 2 e v 3 emevid^encia (div A)
v= 8 > > > > > > < > > > > > > : ( @A 11 @x + @A 12 @y + @A 13 @z ) ( @A 21 @x + @A 22 @y + @A 23 @z ) ( @A 31 @x + @A 32 @y + @A 33 @z ) 9 > > > > > > = > > > > > > ;
8 > < > : v 1 v 2 v 3 9 > = > ; . Portanto, divA= 8 > > > > > > < > > > > > > : ( @A 11 @x + @A 12 @y + @A 13 @z ) ( @A 21 @x + @A 22 @y + @A 23 @z ) ( @A 31 @x + @A 32 @y + @A 33 @z ) 9 > > > > > > = > > > > > > ; : (1.178)

Observe que a diverg^encia de um vetore umnumeroescalar, enquanto a diverg^encia de umtensore

umvetor.

Sendo Aum tensore uum vetor,a seguinterelac~aoe valida

A
ru=div(A T

u) (divA)
u. (1.179)

Usando esta relac~ao em(1.172) elembrando que E=r S u e T=T T T i = Z V h div (T T

(x)u(x)) (divT(x))
u(x) i dV = Z V (divT(x))
u(x)dV Z V div (Tu (x))dV. (1.180)

Oteoremadadiverg^encia permitetransformarumaintegralaolongodovolumeV numaintegral

ao longo dasuperfcieS do corpo. Sendovum campo vetorial, esteteorema implicaque

Z V divv (x)dV = Z S v (x)
n(x)dS, (1.181)

sendo no campovetorialdas normaisasuperfcieS:

Aplicandoeste teorema na segundaintegralda equac~ao (1.180) vemque

Z V div(T(x)u(x))dV = Z S (T(x)u(x))
n(x)dS. (1.182)

Usando adenic~ao detensor transposto(1.141) e asimetriade T

Z S u(x)
T T (x)n(x)dS= Z S u(x)
T T (x)n(x)dS = Z S T(x)n (x)
u(x)dS. (1.183)

Substituindoeste resultadoem (1.180), obtem-se

T i = Z V (divT(x))
u(x)dV Z S T(x)n (x)
u(x)dS, (1.184)

Conforme visto na Sec~ao ??, a express~ao do trabalho externo compat 

ivel com (1.184) e dada

por T e = Z V b T (x)^u (x)dV + Z S t T (x)^u (x)dS, (1.185)

sendo b e t; respectivamente, a densidade de forca externa porvolume ea cargaexterna distribu 

ida

na superf 

iciedosolidoeu^ uma dadaac~ao cinematica virtual. Aplicandoo PTV

T

e +T

i

=0, (1.186)

e reagrupandoostermos de forma conveniente, tem-se

Z V (divT(x)+b(x))
u(x)dV^ + Z S ( T(x)n(x)+t(x))
^u(x)dS =0, (1.187)

para todo deslocamento virtual u:^ Para que a express~ao anterior seja nula, considerando que ^u e

arbitrario,ostermos entre par^enteses devemser simult^aneamentenulos,ou seja,

(

divT(x)+b(x)=0

T(x)n(x)=t(x)

. (1.188)

As equac~oes anteriores representam o mesmo Problema de Valor de Contorno (PVC) em

ter-mos de tens~ao, obitido em na Sec~ao ??. No entanto, (1.188) e, sem duvida, uma apresentac~ao mais

compacta e elegante parao problema de equilbriode corpos tridimensionais. Alem disto, a notac~ao

anterioreabstrata,poisevalidaparaqualquersistemadecoordenadasadotado. Comoobservado

an-teriormente,oPVC(1.188)evalidoparaqualquermeiocontnuo(solido, lquidoougas)empequenas

deformac~oes.

1.9.8 Aplicac~ao da Equac~ao Constitutiva

A Lei de Hookegeral dadaem(1.70) na Sec~ao?? , podeser escrita tensorialmente como

T(x)=2E(x)+e(x)I, (1.189)

sendo T o tensor de tens~oes de Cauchy, E o tensor de pequenas deformac~oes, { o tensor identidade,

e(x)=" xx +" yy +" zz

a dilatac~ao e e oscoecientesde Lame.

Para vericarque (1.70) e (1.189) s~ao id^enticas, expande-se(1.189) segundo o sistemade

coor-denadas cartesiano, ou seja,

2 6 4  xx (x)  xy (x)  xz (x)  yx (x)  yy (x)  yz (x)  zx (x)  zy (x)  zz (x) 3 7 5 =2 2 6 4 " xx (x) xy (x) xz (x) yx (x) " yy (x) yz (x) zx (x) zy (x) " zz (x) 3 7 5 +e(x) 2 6 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 7 5 . (1.190) Porexemplo,  xx (x) = 2" xx (x)+e(x),  xy (x) = 2 xy (x),

asquaiss~ao asmesmasexpress~oesques~ao obtidasa partirde (1.70).

O PVC de equil 

ibrioem (1.188) esta dadoem termos das componentes de tens~ao. Paraobter

asequac~oes de Navieremtermos dosdeslocamentos, basta substituir(1.189) em (1.188). Logo

div[2E(x)+e(x)I]+b(x) =0. (1.191)

Comooscoecientesde Lame s~ao constantes, adiverg^enciaeumoperadorlineare Eefunc~aoderu;

pode-se escrever

div ru(x) +div r T

divru(x) = div 2 6 6 6 6 6 6 4 @u @x @u @y @u @z @v @x @v @y @v @z @w @x @w @y @w @z 3 7 7 7 7 7 7 5 = 8 > > > > > > > < > > > > > > > : ( @ 2 u @x 2 + @ 2 u @y 2 + @ 2 u @z 2 ) ( @ 2 v @x 2 + @ 2 v @y 2 + @ 2 v @z 2 ) ( @ 2 w @x 2 + @ 2 w @y 2 + @ 2 w @z 2 ) 9 > > > > > > > = > > > > > > > ; =  @ 2 @x 2 @ 2 @y 2 @ 2 @z 2 
8 > < > : u(x) v(x) w(x) 9 > = > ; =
u(x) , (1.193)

sendo
ooperadorLaplaciano.

Parao segundo termode (1.192), a seguinte express~aoe valida

divr T

u(x)=r(divu(x)): (1.194)

Porsuavez,

divu(x)=tr(ru(x))= @u(x) @x + @v(x) @y + @w(x) @z =" xx (x)+" yy (x)+" zz (x)=e(x). (1.195) Logo, div r T u(x)=re(x). (1.196)

Parao terceirotermode (1.192)observa-seo seguinte

dive(x)I=div 2 6 4 e(x) 0 0 0 e(x) 0 0 0 e(x) 3 7 5 = 8 > > > > > > < > > > > > > : @e(x) @x @e(x) @y @e(x) @z 9 > > > > > > = > > > > > > ; =re(x). (1.197)

Substituindo (1.193), (1.196) e (1.197) em (1.192), tem-se as equac~oes de Navier validas para

umsolidodeHooke emnotac~ao tensorial,istoe,


u(x) +(+)re(x)+b(x)=0. (1.198)

Casos Particulares

Nestecap 

ituloser~aoexemplicadososresultadosobtidoscomaformulac~aogeraldesolidos

tridi-mensionais,considerandoosmodelosunidimensionaisdeproblemasdebarra,vigaetorc~ao,deduzidos

do modelo maisgeral,levando-seemconta ashipotesescinematicassimplicadoraspara cadacaso.

2.1 Barra

Pode-se denircomo barra, umelemento estrutural, cujaprincipal caracter 

istica geometrica e

possuirocomprimentobemmaiorqueasdimens~oesdasec~aotransversal. Nocasodebarrasubmetidas

a esforcos de trac~ao e/oucompress~ao, cosidera-sea barra como sendoum elemento unidimensionale

analisa-seoseucomportamentoaolongodadirec~aoparalelaadimens~aolongitudinal,ouseja, nocaso

do sistemacartesiano, a direc~aodo eixox.

2.1.1 Cinematica

A cinematica do modelo de barra consiste de ac~oes de moviemento axiais, ou seja, as sec~oes

transversaispermanecemperpendicularesaoeixodabarra,aposadeformac~ao. Asac~oesdemovimento

rgidocorrespondem atranslac~oesna direc~aodo eixox; nessecaso

u(x)= 8 > < > : u(x) v(x) w(x) 9 > = > ; )u(x)= 8 > < > : u(x) 0 0 9 > = > ; . (2.1)

Assim, so existem ac~oes cinematicas ao longo do eixo x, sendo agora as componentes v(x) e w(x)

nulase o vetor deslocamento somentedependenteda direc~aox:

2.1.2 Deformac~ao

Com basena hipotesecinematica anterior,o tensorde pequenasdeformac~oesse reduza

[E(x)]= 1 2  ru(x)+r T u(x)  = 2 6 6 4 du(x) dx 0 0 0 0 0 0 0 0 3 7 7 5 , (2.2) ou seja [E(x)]= 2 6 4 " xx (x) 0 0 0 0 0 3 7 5 : (2.3)

Associadaadeformac~ao"

xx

(x)deveexistir,nessecaso, somenteacomponentedetens~aonormal



xx

(x), assimo tensorde tens~oesde Cauchysereduz a

[T(x)]= 2 6 4  xx (x) 0 0 0 0 0 0 0 0 3 7 5 . (2.4)

Consequentemente,a express~aodo TrabalhoInterno parao problemadabarra e dadapor

T i = Z V T
E= Z V  xx (x)" xx (x)dV = Z V  xx (x) du(x) dx dV = Z L 0 Z A  xx (x)dA  du(x) dx dx = Z L 0  xx (x)A du(x) dx dx= Z L 0 N x (x) du(x) dx dx, (2.5)

sendo L o comprimento da barra, A a area da sec~ao transversal, considerada constante ao longo do

comprimento,e N

x

(x)=

xx

(x)A a forca interna normal asuperciedasec~ao transversal.

Integrandoporpartesa express~ao do trabalhointerno,vem

T i = Z L 0 dN x (x) dx u(x)dx N x (L)u(L)+N x (0)u(0): (2.6) 2.1.4 PTV

A mde seavaliarosesforcosexternosagindo sobre abarra, seraaplicado o PTV,assim

T

e +T

i

=0: (2.7)

Portanto, os trabalhoexterno compatvelcom a cinematica da barra, paraqualquer ac~ao cinematica

virtualu(x)^ deveser

T e = Z L 0 p(x)^u(x)dx+P L ^ u(L)+P 0 (0)^u (0),

sendo p(x) acarga externa distribudaporunidadede comprimento axialmente sobre abarra e P

L e

P

0

osesforcosexternosaxiaisconcentrados nasextremidades emx=0 e x=L.

Dessa forma, atraves do equil 

ibrio entre os trabalhos externo e interno, pode-se estabelecer o

problemade valorde contorno paraumabarrasubmetidaacarregamentosaxiaisdaseguintemaneira

8 > > < > > : dN x (x) dx =A d xx (x) dx = p(x) para x2 (0;L) N x (0)=P 0 emx=0 N x (L)=P L emx=L . (2.8)

2.1.5 Aplicac~ao da Equac~ao Constitutiva

Apesar de existirem,para o caso tridimensionalascomponentes de tens~ao 

yy e  yy e as com-ponentes de deformac~ao " yy e " zz

, devidoao efeito de Poisson, no caso unidimensional, esses efeitos

s~ao desconsiderados,dessa forma, parao modelode barra a leide Hooke simplica-separa



xx

=(2+)"

xx

(2.9)

ou,lembrando-se que,

 = E 2(1+v) , (2.10)  = Ev (1+v)(1 2v) , (2.11)