1 O Conjunto dos Números Reais

(1)

1 O Conjunto dos N´

umeros Reais

O primeiro conjunto numérico que consideramos é o Conjunto dos Números Naturais. Este conjunto está relacionado com a opera¸cão de contagem:

N = {0, 1, 2, 3, ...}.

Admitiremos conhecidas as opera¸cões usuais adi¸cão e multiplica¸cão em N bem como os conceitos de números pares, ´ımpares e primos.

O processo de medi¸cão de grandezas f´ısicas nos conduzirá ao conjunto de números reais.

Problema: Medir um segmento AB.

Fixamos um segmento padr˜ao u e vamos chamar sua medida de 1.

Dado um segmento AB , se u couber um número exato de vezes em AB, digamos n vezes, então dizemos que a medida de AB será n.

Claramente isto nem sempre ocorre.

Defini¸cão: Dizemos que um segmento AB e o segmento padrão u são COMENSUR ÁVEIS se existir algum segmento w que caiba n vezes em u e m vezes em AB.

Voltando ao nosso problema de medi¸cão, se o segmento AB e o segmento padrão u forem comensuráveis , conforme a defini¸cão acima, diremos que a medida de AB será m_n. A medida do segmento w será então _n1.

Isto nos motiva definirmos um conjunto num´erico que inclua todas estas poss´ıveis medidas. Chamaremos este conjunto de Conjunto de N´umeros Racionais Positivos: Q+_{= {}m

n|m, n ∈ N, n 6= 0}.

Alguns racionais representam as mesmas medidas. Por exemplo 2₄ e 1₂. De fato, se existe um semento w que cabe 2 vezes no segmento unitário então a metade deste segmento cabe 2 vezes nele e 4 vezes no segmento unitário. Vamos então dizer que 1₂ = 2₄. De um modo geral dizemos que m1

n1 =

m2

n2 se

m1n2= n1m2.

Continuando com o problema da medi¸cão nos deparamos com um grande problema. Nem sempre dois segmentos são comensuráveis. De fato, considere-mos por exemplo a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos iguais a 1. Suponhamos que esta hipotenusa seja comensurável com o segmento unitário padrão u.

Então existiriam naturais n e m tais que a medida da hipotenusa seria igual a m_n. Vamos supor que m e n sejam primos entre si, isto é , é imposs´ıvel simplificarmos mais esta expressão. De acordo com o teorema de Pitágoras ter´ıamos que

12+ 12= m

2

n2.

Assim 2n2 _{= m}2 _{e portanto m}2 _{seria um n´}_{umero par e portanto m tamb´}_{em o}

(2)

n2= 2k2o que implicaria que n também seria par. Note que isto é um absurdo. Este absurdo surgiu do fato de termos suposto que a medida da hipotenusa fosse um número racional.

No entanto esta hipotenusa existe e é muito bem determinada em cima da reta. Ampliamos o conceito de número de tal forma que todos os segmentos possuam uma medida associada. Introduzimos os chamados Números Ir-racionais, de tal modo que , fixando uma unidade de comprimento padrão, qualquer segmento de reta tem uma medida numérica.

1.1 A Reta Real

Fixamos uma reta e um ponto chamamos de origem 0. Escolhemos um outro ponto A, a direita da origem. Fixamos 0A como unidade de comprimento. Facilmente marcamos sobre a reta os n´umeros naturais.

Na semi-reta da esquerda marcamos segmentos, com extremidade na origem, com as mesmas medidas dos segmentos que definem os naturais e associamos `

as suas extremidades esquerdas números com um sinal −. Formamos então o chamado Conjunto dos Números Inteiros:

Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}.

Em seguida marcamos todos os segmentos, com extremidade na origem, comensuráveis com o segmento o segmento padrão 0A. Os que ficarem à direita serão associados aos racionais positivos e os que ficarem à esquerda ganharão um sinal −. Definimos então o Conjunto dos Números Racionais:

Q == {m

n|m ∈ Z, n ∈ N, n 6= 0}.

Como vimos acima esta constru¸cão não ocupa todo o espa¸co existente na reta. Se pararmos por aqui nossa reta ficará com vários ”buracos”. A cada um destes buracos associamos um número, que chamaremos de irracional . Finalmente definimos o Conjunto dos Números Reais:

R = {x|x ∈ Q ou x ´eirracional}.

Existe uma correspondência biun´ıvoca entre os números reais e os pontos da reta. Mais precisamente, a cada número real está associado um e somente um ponto da reta e a cada ponto da reta está associado um e somente um número real. No que segue, não distinguiremos pontos da reta e números reais.

´

E claro que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Dizemos que x ∈ R é positivo, e denotamos x > 0, se x estiver no lado direito da reta; dizemos que x é negativo, e denotaremos x < 0 , se x estiver no lado esquerdo da reta. As nota¸cões ≥ e ≤ indicam, respectivamente maior ou igual e menor ou igual.

Vamos introduzir as opera¸cões adi¸cão e multiplica¸cão em R. Defini¸cão:

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a) Sejam x1∈ R e x2≥ 0. Definimos x1+ x2como o n´umero real associado

a ”ponta final” do segmento, orientado para direita, com extremidade inicial em x1, e com medida igual a medida do segmento associado a x2.

b)Sejam x1 ∈ R e x2 ≤ 0. Marcamos na reta o seguinte ponto: com

ex-tremidade inicial em x1 e orientado para o lado esquerdo, com medida igual

a do segmento associado a x2. O n´umero real associado a ”ponta final” deste

segmento ser´a chamado de x1+ x2.

Defini¸c˜ao:

a) Se x > 0 e y > 0 definimos o produto xy da seguinte forma: Tra¸camos uma reta l formando um ângulo inferior a 90o com a reta real e passando pela origem. Na reta real marcamos a unidade 1 e o número y. Na reta l marcamos o x. Consideramos a reta que passa por 1 e por x e chamamos de s. Da geometria sabemos que existe uma única reta t paralela a s e que passa y. Finalmente marcamos em l o ponto P , iterseçcão desta com t. Com a ponta seca do compasso em 0 e abertura igual a 0P marcamos na reta real o ponto Q. O número real associado a este ponto será chamado de xy.

b) Nos demais casos ´e s´o mudar o sinal xy convenientemente:

x y xy

+ − +

− + −

− − +

Observa¸cão: Se fixarmos nossa aten¸cão para os números racionais veremos que as defini¸cões acima coincidem com as tradicionais:

a b + c d = ad + bc bd a b. c d = ac bd.

O conjunto R munido das opera¸c˜oes definidas acima forma o que chamamos de CORPO. Mais precisamente , satisfaz as seguintes propriedades:

1) Associatividade da Adi¸c˜ao e da Multiplica¸c˜ao: (x + y) + z = x + (y + z), ∀x, y, z ∈ R

(xy)z = x(yz), ∀x, y, z ∈ R 2) Comutatividade da Adi¸c˜ao e da Multiplica¸c˜ao:

x + y = y + x, ∀x, y ∈ R xy = yx, ∀x, y ∈ R

3) Existência de Elemento Neutro para a Adi¸cão e para a Multiplica¸cão: x + 0 = x, ∀x ∈ R

(4)

4) Existˆencia de Oposto para Adi¸c˜ao:

∀x ∈ R, ∃(−x) ∈ R tal que x + (−x) = 0. 5) Existˆencia de Inverso para a Multiplica¸c˜ao:

∀x ∈ R\{0}, ∃y ∈ R tal que xy = 1. 6) Distributividade da Multiplica¸cão em Rela¸cão à Adi¸cão:

x(y + z) = xy + xz, ∀x, y, z ∈ R.

Defini¸c˜ao: Dizemos que x < y se y − x > 0.

Dentro dos reais destacamos o conjunto dos reais positivos: R+= {x ∈ R|x > 0}.

Observe que as seguintes condi¸c˜oes s˜ao satisfeitas:

a) A soma e o produto de elementos positivos s˜ao positivos. Ou seja x, y ∈ R+⇒ x + y ∈ R+ _{e x.y ∈ R}+_.

b) Dado x ∈ R ou x = 0 ou x ∈ R+ _{ou −x ∈ R}+_.

As duas propriedades acima caracterizam o que chamamos de CORPO OR-DENADO.

Como em qualquer outro corpo ordenado, rela¸c˜ao de ordem ” < ” goza das seguintes propriedades:

1) Transitiva:

(x, y, z ∈ R, x < y, y < z) ⇒ x < z. 2) (Tricotomia) Quaisquer que sejam x e y ∈ R :

x < y ou y < x ou x = y. 3) Compatibilidade da Ordem com a Adi¸c˜ao:

(x, y, z ∈ R, x < y) ⇒ x + z < y + z. 4) Compatibilidade da Ordem com a Multiplica¸c˜ao:

(x, y, z ∈ R, x < y, 0 < z) ⇒ xz < yz.

Observa¸cão: Note que as propriedades de corpo e as propriedades de corpo ordenado também são satisfeiras para Q. Vamos agora destacar uma propriedade que é satisfeita por R mas não por Q.

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Defini¸c˜ao:Dado um subconjunto A ⊂ R dizemos que A ´e limitado se existe K > 0 tal que

x ∈ A ⇒ −K < x < K.

Defini¸c˜ao:Dizemos que s ∈ R ´e o supremo de A se s for a menor das cotas superiores de A :

x ≤ s, ∀x ∈ A;

x ≤ c, ∀x ∈ A ⇒ s ≤ c.

Defini¸c˜ao:Dizemos que i ∈ R ´e o ´ınfimo de A se i for a maior das cotas inferiores de A :

x ≥ i, ∀x ∈ A;

x ≥ c, ∀x ∈ A ⇒ i ≥ c. O conjunto R satisfaz a propriedade:

Axioma do Supremo: Todo conjunto limitado e n˜ao vazio de n´umeros reais possui um supremo e um ´ınfimo real.

Observemos que esta propriedade n˜ao ´e satisfeita por Q. Considere o con-junto A = {x ∈ Q|0 < x2_{< 2}.}

O supremo de A é√2 que como vimos antes não é um número racional. A propriedade acima nos diz que o conjunto dos números reais é um CORPO ORDENADO COMPLETO.

Teorema dos Intervalos Encaixantes: Seja [a0, b0] , [a1, b1] , ..., [an, bn] , ...

uma sequˆencia de intervalos satisfazendo: a) [a0, b0] ⊃ [a1, b1] ⊃ ... ⊃ [an, bn] ⊃ ...

b) Para todo r > 0 existe um natural n tal que bn− an< r.

Ent˜ao, existe um ´unico real c tal que para todo natural n an≤ c ≤ bn.

Demonstra¸cão: Temos que A = {a0, a1, ...} é não vazio e limitado

superi-ormente. Seja ent˜ao

c = sup A. ´

E claro que

an≤ c ≤ bn.

Suponhamos que exista d , diferente de c satisfazendo an≤ d ≤ bn.

(6)

Neste caso ter´ıamos

|c − d| < bn− an, ∀n.

Como a distˆancia bn− an aproxima-se de zero , ter´ıamos que c = d.

Para completarmos esta se¸c˜ao vamos provar : Teorema

a) Entre dois números reais distintos sempre existe um número irracional; b) Entre dois números reais distintos sempre existe um número racional. Demonstra¸cão: Provemos a primeira afirma¸cão. Sejam x e y dois números reais distintos. Sem perda de generalidade suponhamos x < y. Assim y − x > 0.

Observe que ´e poss´ıvel encontrarmos n´umeros naturais n, m tais que n (y − x) > 1

m (y − x) > √2

(este fato ´e conhecido como Princ´ıpio de Arquimedes). Desta forma temos que x < x + 1 n < y x < x + √ 2 n < y

e assim se x for irracional, assim ser´a x + _n1 e se x for racional ent˜ao x +

√ 2 n

ser´a irracional. De qual quer forma conseguimos encontrar um irracional entre x e y.

Provemos a segunda afirma¸cão. Sejam x e y dois números reais distintos. Inicialmente observemos que se x < 0 < y então nada temos para provar pois 0 é racional. Suponhamos 0 < x < y. Assim y − x > 0. Novamente aplicando o princ´ıpio de Arquimedes encontramos um natural n tal que

n(y − x) > 1 nx > 1 Seja j tal que

j n ≤ x < j + 1 n Notemos que j + 1 n = j n+ 1 n < x + (y − x) = y Logo basta tomarmos j+1_n .

Se x < y < 0 então 0 < −y < −x e pelo primeiro caso encontramos um racional entre −y e −x. O simétrico deste racional será o racional procurado.

(7)

Exerc´ıcios: As propriedades que destacamos acima s˜ao suficientes para deduzirmos uma s´erie de outras, conforme os exerc´ıcios abaixo.

1) Prove que quaisquer que sejam os reais x, y, z x + z = y + z ⇒ x = y.

2) Prove que quaisquer que sejam os reais x, y, z, w

0 ≤ x ≤ y

0 ≤ z ≤ w ⇒ xz ≤ yw.

3) Prove que quaisquer que sejam os reais x, y, z, w tem-se: a)x < y ⇔ x + z < y + z. b)z > 0 ⇔ z−1> 0. c)z > 0 ⇔ −z < 0. d)z > 0, x < y ⇔ xz < yz. e)z < 0, x < y ⇔ xz > yz. f ) 0 ≤ x < y 0 ≤ z < w ⇒ xz < yw g)0 < x < y ⇒ 0 < y−1< x−1 h)x < y ou x = y ou y < x. i)xy = 0 ⇔ x = 0 ou y = 0.

4) Suponha x ≥ 0 e y ≥ 0. Prove que:

a)x < y ⇒ x2< y2. b)x ≤ y ⇒ x2≤ y2

c)x < y ⇔ x2< y2.

1.2 Sequˆ

encias de N´

umeros Reais

Nesta se¸cão estudaremos fun¸cões reais de uma variável real cujo dom´ınio é um subconjunto do conjunto dos números naturais. Tais fun¸cões recebem o nome de sequências. Não daremos um tratamento anal´ıtico completo ao assunto, apenas iremos introduzir o conceito e provaremos as principais propriedades.

Defini¸cão: Uma sequência de números reais é uma fun¸cão f : A ⊂ N → R

(8)

Nota¸c˜ao: Denotamos (an) onde f (n) = an. Em geral apresentaremos a

sequência pela lei de defini¸cão e consideraremos o dom´ınio como o maior sub-conjunto de N onde tem sentido a lei de defini¸cão.

Exemplos:

1) (an) dada por an =_n1 e a sequˆ´ encia formada pelos n´umeros 1,1₂,1₃, ...

2) (an) dada por an = 2 ´e a sequˆencia constante 2, 2, 2, ...

3) (an) dada por an = (−1) n

´

e a sequˆencia 1, −1, 1, −1,...

Defini¸cão: Diz-se que uma sequência (an) converge para um número L ou

tem limite L se , dado qualquer número ε > 0 , é sempre poss´ıvel encontrar um número natural N tal que

n > N → |an− L| < ε.

Denotamos

lim

n→+∞an= L ou an→ L.

Intuitivamente dizer que (an) converge para L significa dizer que os termos

da sequˆencia aproximam-se de L quando n cresce . Exemplo:

A sequˆencia (an) dada por an =_n1 converge para 0.

De fato, dado ε > 0, tomamos N o primeiro n´umero natural maior que 1_ε e temos que n > N → n > 1 ε → 1 n < ε.

Defini¸cão: Quando uma sequência não converge diz-se que ela diverge ou que é divergente.

Exemplos:

1) A sequˆencia (an) dada por an= (−1) n

´

e divergente. De fato, seus termos oscilam entre −1 e 1.

2) A sequˆencia (an) dada por an = n ´e divergente. De fato, seus termos

crescem indefinidamente.

Defini¸cão: Uma sequência (an) é dita limitada se existir um número real

K > 0 tal que

|an| ≤ K, ∀n.

Exemplos:

1) As sequências dadas por an= _n1 , an= cos n são exemplos de sequências

limitadas.

2) A sequência (an) dada por an= n2não é limitada.

Observa¸cão: Ser limitada não é o mesmo que ter limite. Se uma sequência for convergente então ela será limitada mas nem toda sequência limitada é con-vergente. De fato, considere por exemplo a sequência (an) dada por an= (−1)

n

(9)

Defini¸c˜ao:

1) Se a1< a2< a3< ... então (an) é dita MON ÓTONA CRESCENTE.

2) Se a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... então (an) é dita MON ÓTONA N ÃO

DECRES-CENTE.

3) Se a1> a2> a3> ... então (an) é dita MON ÓTONA DECRESCENTE.

4) Se a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ ... então (an) é dita MON ÓTONA N ÃO

CRES-CENTE.

Teorema: Toda sequência monótona limitada é convergente.

Demonstra¸cão:Vamos provar que toda sequência não decrescente e limi-tada converge para seu extremo superior e deixaremos os demais casos como exerc´ıcio.

Seja K > 0 tal que

a1≤ a2≤ a3≤ ... ≤ K

Assim temos que o conjunto

{an|n ∈ N }

´e limitado superiormente.Pela propriedade do supremo temos que existe L ∈ R tal que

L = sup{an|n ∈ N }.

Afirmamos que

L = lim

n→+∞an.

De fato , dado ε > 0 temos que L − ε n˜ao ´e uma cota superior de {an|n ∈ N }

e assim exite N > 0 tal que

aN > L − ε

e portanto

n > N → L − ε < aN ≤ an< L < L + ε → |an− L| < ε.

Uma importante aplica¸c˜ao: O n´umero e Vamos provar que:

1) A sequˆencia dada por

an=

1 + 1

n n

´e crescente e limitada e portanto convergente. 2) Sendo (an) convergente, escrevemos

e = lim

(10)

e provamos que 2 < e < 3. 1)

Inicialmente mostremos que a sequˆencia ´e crescente. Vamos provar que , para todo n temos

an+1 an > 1. Temos 1 + 1 n+1 n+1 1 + 1_nn = n+2 n+1 n+1 n+1 n n = n+2 n+1 n+1 n+1 n n+1 n n+1 = = n+2 n+1 n n+1 n+1 n n+1 = n2+2n (n+1)2 n+1 n n+1 = = _(n+1)2₋₁ (n+1)2 n+1 n n+1 = 1 − _(n+1)1 2 n+1 n n+1 = ∗ Aplicando a desigualdade de Bernoulli em ∗ temos

∗ > 1 + (n + 1)_(n+1)−1 2 n n+1 = 1 − 1 n+1 n n+1 = 1. Logo a sequˆencia ´e crescente.

Provemos agora que a sequˆencia ´e limitada. Temos 1 + 1 n n = 1 + n.1 n+ n(n − 1) 2 . 1 n2 + ... + n (n − 1) ... (n − (k − 1)) k! 1 nk + ... + 1 nn = = 1 + 1 +1 2 1 − 1 n + ... + 1 k!(1 − 1 n)(1 − 2 n)... 1 −k − 1 n + ... + 1 n!(1 − 1 n)(1 − 2 n)... 1 −n − 1 n

Por indu¸cão é fácil provar que 1 n! ≤ 1 2n−1, ∀n ∈ N. Assim 1 + 1 n n ≤ 1 + 1 +1 2 + .... + 1 2n = 1 + 1 − 1 2 n 1 − 1 2 < 3. Conclu´ımos que 2 < 1 + 1 n n < 3.

(11)

2)

Como 1 +_n1n ´e convergente escrevemos

e = lim n→∞ 1 + 1 n n .

2 Limites de Fun¸

c˜

oes Reais Definidas em

Inter-valos

2.1 Introdu¸

c˜

ao

Neste cap´ıtulo introduziremos o conceito de limite. Restringiremos nosso es-tudo para as fun¸cões reais definidas em intervalos. Deixaremos para o curso de Análise Matemática o estudo de limites quando as fun¸cões estão definidas em um subconjunto qualquer da reta.

Todas as fun¸cões que consideraremos neste cap´ıtulo são do tipo f : I → R onde I é uma união de intervalos.

Defini¸c˜ao: Dizemos que f : I → R est´a definida em uma vizinhan¸ca de p, exceto possivelmente em p, se existir algum r > 0 tal que

(p − r, p) ⊂ I e

(p, p + r) ⊂ I. Exemplos:

1) Uma fun¸c˜ao definida em um intervalo aberto f : (a, b) → R est´a definida em uma vizinhan¸ca de p, qualquer que seja p ∈ (a, b).

2) Uma fun¸cão definida em um intervalo fechado f : [a, b] → R está definida em uma vizinhan¸ca de p, qualquer que seja p ∈ (a, b). Note que f não está definida em uma vizinhan¸ca de a e nem em uma vizinhan¸ca de b. O mesmo permanece válido para qualquer outra combina¸cão de ( ou [.(verifique isso).

3) Consideremos f : R\{1} → R dada por f (x) = x_x−12−1 . Observe que f est´a definida em uma vizinhan¸ca de 1, exceto no ponto 1.

2.2 Defini¸

c˜

ao de Limite

Defini¸cão: Seja f : I → R uma fun¸cão definida em uma vizinhan¸ca de p, exceto possivelmente em p. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender a p é igual a L ∈ R se para qualquer ε > 0 existir δ > 0 tal que para 0 < |x − p| < δ tem-se |f (x) − L| < ε. Denotamos

lim

(12)

Intuitivamente a defini¸c˜ao acima est´a nos dizendo que a medida que x aproxima-se de p temos que f (x) aproxima-se de L :

∀ε > 0, ∃δ > 0, 0 < |x − p| < δ ⇒ |f (x) − L| < ε Exemplos:

1) Seja k ∈ R uma constante e p ∈ R. Provemos que lim

x→pk = k. De fato,

dado ε > 0 existe δ = 1 tal que

0 < |x − p| < 1 ⇒ |k − k| = 0 < ε. 2) Provemos que lim

x→3(2x − 4) = 2. De fato, dado ε > 0 existe δ = ε

2 tal que

0 < |x − 3| < ε

2 ⇒ |2x − 6| < ε ⇒ |(2x − 4) − 2| < ε.

3) Observe que o valor que a fun¸c˜ao assume no ponto p n˜ao influencia seu limite ao x tender a p. Seja f : R → R dada por f (x) =

−x + 4, se x 6= 1 7, se x = 1 . Temos que lim

x→1f (x) = 3. De fato, dado ε > 0 existe δ = ε tal que

0 < |x − 1| < ε ⇒ |−x + 4 − 3| < ε ⇒ |f (x) − 3| < ε.

4) Seja f : R\{−4} → R dada por f (x) = 16−x_x+42. Temos que para x 6= −4,

16−x2

x+4 = 4 − x e assim lim_x→−4f (x) = lim_x→−4(4 − x) = 8. De fato , dado ε > 0

tomamos δ = ε e temos

0 < |x − (−4)| < ε ⇒ 0 < |x + 4| < ε ⇒ |4 − x − 8| = |x + 4| < ε.

Podemos caracterizar o limite de fun¸cões reais utilizando sequências de números reais.

Teorema : Sejam f uma fun¸c˜ao definida em uma vizinhan¸ca de p ∈ R exceto possivelmente em p e L ∈ R . Vale que lim

x→pf (x) = L se e somene se

∀ (xn) tal que xn→ p , xn 6= p , tem-se f (xn) → L.

Demonstra¸c˜ao: Suponhamos que lim

x→pf (x) = L. Seja xn tal que xn → p.

Provemos que f (xn) → L.

Seja ε > 0. Ent˜ao existe δ > 0 tal que

0 < |x − p| < δ → |f (x) − L| < ε. Como xn→ p, xn6= p temos que exite N natural tal que

(13)

Reciprocamente, suponhamos que

∀ (xn) tal que xn→ p , xn 6= p , tem-se f (xn) → L.

Provemos que lim

x→pf (x) = L.

Se isto n˜ao fosse verdade existiria ε > 0 tal que para qualquer δ > 0 existiria x tal que

0 < |x − p| < δ e |f (x) − L| > ε. Tomando δ = 1

n existiria xn tal que

0 < |xn− p| <

1

n e |f (xn) − L| > ε.

Mas da´ı ter´ıamos xn → p, xn 6= p e no entanto f (xn) n˜ao estaria convergindo

para L. Logo

lim

x→pf (x) = L.

2.3 Unicidade, Conserva¸

c˜

ao de Sinal e Limita¸

c˜

ao

Come¸caremos esta se¸c˜ao provando a unicidade do limite.

Teorema: Seja f uma fun¸c˜ao definida em uma vizinhan¸ca de p ∈ R exceto possivelmente em p. Se existe L ∈ R tal que lim

x→pf (x) = L então L é único.

Demonstra¸c˜ao:Suponhamos que lim

x→pf (x) = M .Vamos provar que L = M.

Suponhamos que L 6= M. Sem perda de generalidade podemos supor L < M. Tomemos ε = M −L₂ . Assim existe δ1> 0 tal que

0 < |x − p| < δ1⇒ |f (x) − L| <

M − L

2 ⇒ f (x) < M + L

2 . Por outro lado existe δ2> 0 tal que

0 < |x − p| < δ2⇒ |f (x) − M | <

M − L

2 ⇒ f (x) > M + L

2 . Tomando δ = min{δ1, δ2} temos que

0 < |x − p| < δ ⇒ M + L 2 < f (x) < M + L 2 e isto ´e um absurdo. Logo L = M.

A seguir provaremos que a existˆencia de lim

x→pf (x) implicar´a na limita¸c˜ao da

(14)

Teorema: Seja f uma fun¸c˜ao definida em uma vizinhan¸ca de p ∈ R exceto possivelmente em p. Se existe L ∈ R tal que lim

x→pf (x) = L ent˜ao existem δ > 0

e M > 0 tais que

0 < |x − p| < δ ⇒ |f (x)| < M.

Demonstra¸c˜ao: Tomando ε = 1 na defini¸c˜ao de limite temos que ∃δ > 0, 0 < |x − p| < δ ⇒ |f (x) − L| < 1

Da desigualdade triangular temos

|f (x)| − |L| ≤ |f (x) − L| e portanto

|f (x)| ≤ 1 + |L| .

Logo basta tomarmos M = 1 + |L| e δ como acima.

Vamos provar agora o teorema da conserva¸cão do sinal. Em suma o teorema irá nos dizer que o limite tem que ter o mesmo sinal da fun¸cão em uma vizinhan¸ca do ponto ou ser nulo.

Teorema: Sejam f uma fun¸c˜ao definida em uma vizinhan¸ca de p ∈ R, exceto possivelmente em p, e L ∈ R tais que lim

x→pf (x) = L.

a) Se L > 0 ent˜ao existe δ > 0 tal que

0 < |x − p| < δ ⇒ f (x) > 0. b) Se L < 0 ent˜ao existe δ > 0 tal que

0 < |x − p| < δ ⇒ f (x) < 0.

Demonstra¸c˜ao: Vamos provar a) e deixaremos como exerc´ıcio a prova de b).

Tomamos ε = L₂ e temos que existe δ > 0 tal que 0 < |x − p| < δ ⇒ |f (x) − L| < L

2. Segue que f (x) > L₂ _{> 0.}

(15)

2.4 C´

alculo de Limites

Nesta se¸cão demonstraremos algumas propriedades operacionais que facilitarão o cálculo de limites.

Teorema: Sejam f e g fun¸c˜oes definidas em uma vizinhan¸ca de um ponto p ∈ R , exceto possivelmente em p;L , M ∈ R tais que lim

x→pf (x) = L e

lim

x→pg(x) = M e k uma constante real.

Ent˜ao: a) Existe lim x→p(f (x) + g(x)) e limx→p(f (x) + g(x)) = L + M. b) Existe lim x→p(f (x) − g(x)) e x→plim(f (x) − g(x)) = L − M. c) Existe lim x→p(f (x).g(x)) e limx→p(f (x).g(x)) = L.M . d) Existe lim x→pkf (x) e x→plimkf (x) = kL. e) Se M 6= 0, existe lim x→p f (x) g(x) e _x→plim f (x) g(x) = L M. Demonstra¸c˜ao:

a) Seja ε > 0. De acordo com nossa hip´otese temos que existem δ1 > 0 e

δ2> 0 tais que 0 < |x − p| < δ1⇒ |f (x) − L| < ε 2, 0 < |x − p| < δ2⇒ |g(x) − M | < ε 2. Tomando δ = min{δ1, δ2} temos que

0 < |x − p| < δ ⇒ |f (x) + g(x) − (L + M )| < < |f (x) − L| + |g(x) − M | < ε

2+ ε 2 = ε. b) Deixamos como exerc´ıcio.

d) Se k = 0 então é trivial. Suponhamos k 6= 0. Seja ε > 0. Da nossa hipótese temos que existem δ > 0 tal que

0 < |x − p| < δ ⇒ |f (x) − L| < ε |k|. Assim temos ∃δ1 = δ > 0 tal que 0 < |x − p| < δ1⇒ |kf (x) − kL| = |k| |f (x) − L| < |k| ε |k|= ε.

(16)

c) Inicialmente observemos que f (x).g(x) = 1₄[(f (x)+g(x))2−(f (x)−g(x))2_].

Provemos que, dada uma fun¸c˜ao h definida em uma vizinhan¸ca de p, exceto possivelmente em p, e satisfazendo lim

x→ph(x) = N temos limx→ph(x)

2 _{= N}2_{. De}

fato, de acordo com o teorema da limita¸c˜ao, temos ∃δ1 > 0, ∃K > 0 tais que

0 < |x − p| < δ1⇒ |h(x)| < K.

Al´em disso, dado ε > 0, temos ∃δ2 > 0 tal que

0 < |x − p| < δ2⇒ |h(x) − N | <

ε K + |N |. Tomamos δ satisfazendo δ = min{δ1, δ2} temos

0 < |x − p| < δ ⇒ h(x) − N2= |h(x) − N | |h(x) + N | < < (|h(x)| + |N |) ε K + |N | < (K + |N |) ε K + |N | = ε. Desta forma lim x→p(f (x).g(x)) = limx→p 1 4[(f (x) + g(x)) 2 − (f (x) − g(x))2] = ∗ Pela propriedade d) temos

∗ = 1 4x→plim[(f (x) + g(x)) 2_{− (f (x) − g(x))}2_{] = ∗∗} e pela propriedade b) ∗∗ = 1 4x→plim(f (x) + g(x)) 2₋1 4x→plim(f (x) − g(x)) 2_{= ∗ ∗ ∗}

e aplicando o que acabamos de provar ∗ ∗ ∗ =1 4( limx→p(f (x) + g(x))) 2 −1 4( limx→p(f (x) − g(x))) 2_{= ∗ ∗ ∗∗}

e voltando a aplicar a) e b) finalmente temos ∗ ∗ ∗∗ = 1

4[(L + M )

2

− (L − M )2] = LM. e) Para provarmos e) ´e suficiente provarmos que lim

x→p 1 g(x) = 1 M. De fato f (x) g(x) = f (x). 1

g(x) e sabemos operar o produto por d).

Seja ε > 0. Como lim

x→pg(x) = M 6= 0 temos que ∃δ1 > 0 tal que 0 < |x − p| < δ1⇒ |g(x) − M | < |M | 2 ⇒ |g(x)| > |M | 2

(17)

Por outro lado

∃δ2 > 0 tal que

0 < |x − p| < δ2⇒ |g(x) − M | <

|M |2 2 ε Tomando δ = min{δ1, δ2} temos

0 < |x − p| < δ ⇒ 1 g(x)− 1 M = |g(x) − M | |g(x)| |M | < < 2 |M |2|g(x) − M | < 2 |M |2 |M |2 2 ε = ε

O Teorema do Confronto (” Teorema do Sandu´ıche”): Sejam f, g, h fun¸c˜oes definidas em uma vizinhan¸ca de p, exceto possivelmente em p, satis-fazendo:

a) f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), para todo x nesta vizinhan¸ca, b) Existem os limites lim

x→pf (x), limx→ph(x) e

c) lim

x→pf (x) = limx→ph(x) = L.

Ent˜ao existe lim

x→pg(x) e limx→pg(x) = L.

Demonstra¸c˜ao: Seja ε > 0. Por c) temos: ∃δ1 > 0 tal que

0 < |x − p| < δ1⇒ |f (x) − L| < ε

e

∃δ2 > 0 tal que

0 < |x − p| < δ2⇒ |h(x) − L| < ε

Tomamos δ = min{δ1, δ2} e temos

0 < |x − p| < δ ⇒ L − ε < f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) < L + ε ⇒ ⇒ |g(x) − L| < ε

Exerc´ıcio: Prove que lim

x→pf (x) = 0 ⇔ limx→p|f (x)| = 0.

Exemplo: lim

x→0x cos x = 0.

De fato, vamos mostrar que lim

x→0|x cos x| = 0.

Temos que

0 ≤ |x cos x| ≤ |x| e pelo teorema do confronto segue o resultado.

(18)

2.5 Limites Laterais

Nesta se¸c˜ao iremos estudar limites quando x aproxima-se de um ponto p assu-mindo somente valores maiores (ou menores) que p.

Defini¸c˜ao:

a)Dizemos que f : I → R est´a definida em uma vizinhan¸ca `a direita de p, exceto possivelmente em p, se existir algum r > 0 tal que (p, p + r) ⊂ I.

b)Dizemos que f : I → R est´a definida em uma vizinhan¸ca `a esquerda de p, exceto possivelmente em p, se existir algum r > 0 tal que (p − r, p) ⊂ I.

Exemplos:

1) Uma fun¸cão definida em um intervalo aberto f : (a, b) → R está definida em uma vizinhan¸ca à direita de p e em uma vizinhan¸ca à esquerda de p, qualquer que seja p ∈ (a, b).

2) Uma fun¸cão definida em um intervalo fechado f : [a, b] → R está definida em uma vizinhan¸ca à direita de p, qualquer que seja p ∈ [a, b) e está definida em uma vizinhan¸ca à esquerda de p, qualquer que seja p ∈ (a, b]. Note que f não está definida em uma vizinhan¸ca à esquerda de a e nem em uma vizinhan¸ca `

a direita de b. O mesmo permanece v´alido para qualquer outra combina¸c˜ao de ( ou [.(verifique isso).

3) É imediato verificarmos que uma fun¸cão f está definida em uma vizinhan¸ca de p se e somente se está definida em uma vizinhan¸ca à esquerda de p e em uma vizinhan¸ca à direita de p.

Defini¸c˜ao:

a) Seja f : I → R uma fun¸cão definida em uma vizinhan¸ca à direita de p, exceto possivelmente em p. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender a p pela direita é igual a L ∈ R se para qualquer ε > 0 existir δ > 0 tal que para x ∈ (p, p + δ) tem-se |f (x) − L| < ε. Denotamos lim

x→p+f (x) = L.

b) Seja f : I → R uma fun¸cão definida em uma vizinhan¸ca à esquerda de p, exceto possivelmente em p. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender a p pela esquerda é igual a L ∈ R se para qualquer ε > 0 existir δ > 0 tal que para x ∈ (p − δ, p) tem-se |f (x) − L| < ε. Denotamos limx→p−f (x) = L.

Observa¸cão: Todas as propriedades provadas nas se¸cões anteriores com rela¸cão a unicidade, conserva¸cão de sinal e limita¸cão permanecem válidas para limites laterais, com as devidas altera¸cões.Também permanecem válidas as pro-priedades operacionais provadas na se¸cão anterior.

(19)

Teorema: Seja f : I → R uma fun¸c˜ao definida em uma vizinhan¸ca de um ponto p exceto possivelmente em p. Vale que

∃ lim

x→pf (x) ⇔ ∃ limx→p+f (x), ∃ lim_x→p−f (x) e _x→plim−f (x) = lim_x→p+f (x).

Deixamos a prova do resultado acima como exerc´ıcio.

2.6 Limites no Infinito

Nesta se¸cão iremos estudar o comportamento de algumas fun¸cões quando a variável assume valores arbitrariamente grandes.

Defini¸c˜ao:

a) Dizemos que uma fun¸c˜ao f : I → R est´a definida em uma vizinhan¸ca de +∞ se existir a ∈ R tal que (a, +∞) ⊂ I.

b) Dizemos que uma fun¸c˜ao f : I → R est´a definida em uma vizinhan¸ca de −∞ se existir a ∈ R tal que (−∞, a) ⊂ I.

Exemplos:

a) Qualquer fun¸c˜ao f : R → R est´a definida em vizinhan¸cas de +∞ e de −∞.

b) Qualquer fun¸cão f : [b, +∞) → R ou f : (b, +∞) → R está definida em uma vizinhan¸ca de +∞ mas não está definida em uma vizinhan¸ca de −∞.

c) Qualquer fun¸cão f : (−∞, b] → R ou f : (−∞, b) → R está definida em uma vizinhan¸ca de −∞ mas não está definida em uma vizinhan¸ca de +∞.

Defini¸c˜ao:

a) Seja f : I → R uma fun¸c˜ao definida em uma vizinhan¸ca de +∞. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender a +∞ ´e L ∈ R e denotamos lim

x→+∞f (x) = L

se para todo ε > 0 existir x0> 0 tal que

x > x0⇒ |f (x) − L| < ε.

b) Seja f : I → R uma fun¸c˜ao definida em uma vizinhan¸ca de −∞. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender a −∞ ´e L ∈ R e denotamos lim

x→−∞f (x) = L

se para todo ε > 0 existir x0< 0 tal que

x < x0⇒ |f (x) − L| < ε.

Exemplo: Vamos provar que lim

x→+∞ 1 x= 0.

De fato, dado ε > 0 tomamos x0=1_ε e temos

x > x0⇒ x > 1 ε ⇒ 0 < 1 x < ε ⇒ 1 x < ε.

(20)

Exerc´ıcio: Sejam f : I → R uma fun¸c˜ao definida em uma vizinhan¸ca de +∞ e L ∈ R tal que lim

x→+∞f (x) = L. Prove que existem x0 > 0 e M > 0 tais

que

x > x0⇒ |f (x)| < M.

A seguir estabelecemos algumas propriedades operacionais dos limites no infinito.

Teorema: Sejam f e g fun¸c˜oes definidas em uma vizinhan¸ca de +∞ ; L , M ∈ R tais que lim

x→+∞f (x) = L ex→+∞lim g(x) = M e k uma constante real.

Ent˜ao: a) Existe lim x→+∞(f (x) + g(x)) e x→+∞lim (f (x) + g(x)) = L + M. b) Existe lim x→+∞(f (x) − g(x)) e x→+∞lim (f (x) − g(x)) = L − M. c) Existe lim x→+∞(f (x).g(x)) e x→+∞lim (f (x).g(x)) = L.M . d) Existe lim x→+∞kf (x) e x→+∞lim kf (x) = kL. e) Se M 6= 0, existe lim x→+∞ f (x) g(x) e _x→+∞lim f (x) g(x) = L M. Demonstra¸c˜ao:

a) Seja ε > 0. De acordo com nossa hip´otese temos que existem x1 > 0 e

x2> 0 tais que x > x1⇒ |f (x) − L| < ε 2 x > x2⇒ |g(x) − M | < ε 2 Tomando x0= max{x1, x2} temos que

x > x0⇒ |f (x) + g(x) − (L + M )| <

< |f (x) − L| + |g(x) − M | < ε 2+

ε 2 = ε. b) Deixamos como exerc´ıcio.

d) Se k = 0 ent˜ao ´e trivial. Suponhamos k 6= 0.

Seja ε > 0. Da nossa hip´otese temos que existem x0> 0 tal que

x > x0⇒ |f (x) − L| < ε |k|. Assim temos x > x0⇒ |kf (x) − kL| = |k| |f (x) − L| < |k| ε |k| = ε.

(21)

Provemos que, dada uma fun¸c˜ao h definida em uma vizinhan¸ca de +∞, e satisfazendo lim

x→+∞h(x) = N temosx→+∞lim h(x)

2_{= N}2_{. De fato, pelo exerc´ıcio}

acima,

∃x1 > 0, ∃K > 0 tais que

x > x1⇒ |h(x)| < K

Al´em disso, dado ε > 0, temos ∃x2 > 0 tal que

x > x2⇒ |h(x) − N | <

ε K + |N | Tomamos x0 satisfazendo x0= max{x1, x2} temos

x > x0⇒ h(x) − N2= |h(x) − N | |h(x) + N | < < (|h(x)| + |N |) ε K + |N | < (K + |N |) ε K + |N | = ε. Desta forma lim x→+∞(f (x).g(x)) =x→+∞lim 1 4[(f (x) + g(x)) 2_{− (f (x) − g(x))}2_{] = ∗}

Pela propriedade d) temos ∗ = 1 4x→+∞lim [(f (x) + g(x)) 2 − (f (x) − g(x))2] = ∗∗ e pela propriedade b) ∗∗ =1 4x→+∞lim (f (x) + g(x)) 2₋1 4x→+∞lim (f (x) − g(x)) 2_{= ∗ ∗ ∗}

e aplicando o que acabamos de provar ∗ ∗ ∗ =1

4( limx→+∞(f (x) + g(x))) 2₋1

4( limx→+∞(f (x) − g(x)))

2_{= ∗ ∗ ∗∗}

e voltando a aplicar a) e b) finalmente temos ∗ ∗ ∗∗ = 1

4[(L + M )

2_{− (L − M )}2_{] = LM}

e) Para provarmos e) ´e suficiente provarmos que lim

x→+∞ 1 g(x) = 1 M. De fato f (x) g(x) = f (x). 1

g(x) e sabemos operar o produto por d).

Seja ε > 0. Como lim x→+∞g(x) = M 6= 0 temos que ∃x1 > 0 tal que x > x1⇒ |g(x) − M | < |M | 2 ⇒ |g(x)| > |M | 2

(22)

Por outro lado

∃x2 > 0 tal que

x > x2⇒ |g(x) − M | <

|M |2 2 ε Tomando x0= max{x1, x2} temos

x > x0⇒ 1 g(x)− 1 M =|g(x) − M | |g(x)| |M | < < 2 |M |2|g(x) − M | < 2 |M |2 |M |2 2 ε = ε

Observe que o resultado acima continua v´alido se considerarmos x → −∞.

2.7 Limites Infinitos

Nesta se¸c˜ao estudaremos os limites infinitos. Neste caso os valores de f (x) ´e que assumem valores arbitrariamente grandes a medida que x aproxima-se de algum ponto p ou de ±∞.

Defini¸c˜ao:

a) Seja f : I → R uma fun¸cão definida em uma vizinhan¸ca à direita de p ∈ R. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender à p pela direita é igual a +∞ e denotamos

lim

x→p+f (x) = +∞

se para todo M > 0 existir um δ > 0 tal que

x ∈ (p, p + δ) ⇒ f (x) > M.

b) Seja f : I → R uma fun¸cão definida em uma vizinhan¸ca à direita de p ∈ R. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender à p pela direita é igual a −∞ e denotamos

lim

x→p+f (x) = −∞

x ∈ (p, p + δ) ⇒ f (x) < −M.

c) Seja f : I → R uma fun¸cão definida em uma vizinhan¸ca à esquerda de p ∈ R. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender à p pela esquerda é igual a +∞ e denotamos

lim

x→p−f (x) = +∞

se para todo M > 0 existir um δ > 0 tal que x ∈ (p − δ, p) ⇒ f (x) > M.

(23)

d) Seja f : I → R uma fun¸cão definida em uma vizinhan¸ca à esquerda de p ∈ R. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender à p pela esquerda é igual a −∞ e denotamos

lim

x→p−f (x) = −∞

x ∈ (p − δ, p) ⇒ f (x) < −M.

e) Seja f : I → R uma fun¸cão definida em uma vizinhan¸ca de +∞. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender à +∞ é igual a +∞ e denotamos

lim

x→+∞f (x) = +∞

se para todo M > 0 existir um N > 0 tal que x > N ⇒ f (x) > M.

f ) Seja f : I → R uma fun¸cão definida em uma vizinhan¸ca de +∞. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender à +∞ é igual a −∞ e denotamos

lim

x→+∞f (x) = −∞

se para todo M > 0 existir um N > 0 tal que x > N ⇒ f (x) < −M.

g) Seja f : I → R uma fun¸cão definida em uma vizinhan¸ca de −∞. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender à −∞ é igual a +∞ e denotamos

lim

x→−∞f (x) = +∞

se para todo M > 0 existir um N > 0 tal que x < −N ⇒ f (x) > M.

h) Seja f : I → R uma fun¸cão definida em uma vizinhan¸ca de −∞. Dizemos que o limite de f (x) ao x tender à −∞ é igual a −∞ e denotamos

lim

x→−∞f (x) = −∞

se para todo M > 0 existir um N > 0 tal que x < −N ⇒ f (x) < −M. Exemplos:

1) Provemos que lim

x→0+

1

(24)

De fato, dado M > 0 existe δ = _M1 tal que x ∈ (0, 1

M) ⇒ 1 x > M. 2) Provemos que lim

x→1−

1

x−1 = −∞. De fato, dado M > 0 tomamos

δ = min{ 1 M, 1} e temos x ∈ (1 − δ, 1) ⇒ x − 1 ∈ (−δ, 0) ⇒ 1 x − 1 < − 1 δ < −M.

A seguir apresentamos a ”aritmética do infinito” isto é , estabelecemos as rela¸cões entre os limites infinitos e as opera¸cões. Deixamos a prova do teorema como exerc´ıcio.

Teorema: Sejam f, g : I → R definidas numa vizinhan¸ca de p ∈ R , exceto possivelmente em p . Valem as seguintes tabelas:

TABELA I lim x→pf (x ) x→plimg(x ) x→plim(f (x ) + g(x ) +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ +∞ −∞ indetermina¸cão α ∈ R +∞ +∞ α ∈ R −∞ −∞ TABELA II lim x→pf (x ) x→plimg(x ) x→plimf (x ).g(x ) +∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ −∞ +∞ 0 +∞ indetermina¸cão 0 −∞ indetermina¸cão α > 0 +∞ +∞ α > 0 −∞ −∞ α < 0 −∞ +∞ TABELA III lim x→pf (x ) x→plimg(x ) x→plim f (x) g(x) α ∈ R +∞ 0 α ∈ R −∞ 0 +∞ +∞ indetermina¸cão +∞ −∞ indetermina¸cão α > 0 0+ _+∞ α > 0 0− −∞ α < 0 0+ _−∞ α < 0 0− +∞

(25)

Observa¸cão: Indetermina¸cão significa que nada se pode afirmar sobre o limite em questão. Depende de f e g em cada caso particular.

O teorema continua v´alido para

vizinhan¸ca `a direita de p x → p+ vizinhan¸ca `a esquerda de p x → p−

vizinhan¸ca de +∞ x → +∞

vizinhan¸ca de −∞ x → −∞

2.8 Limite de Fun¸

c˜

oes Compostas

Para encerrarmos este cap´ıtulo veremos como procedermos o calculo de limite de compostas de fun¸c˜oes.

Teorema: Sejam f : I1 → R e g : I2 → R fun¸c˜oes definidas em uma

vizinhan¸ca de p ∈ R e a ∈ R , respectivamente, satisfazendo: a) f (I1) ⊂ I2;

b) lim

x→pf (x) = a;

c) lim

u→ag(u) = L;

d) Existe r > 0 tal que f (x) 6= a para 0 < |x − p| < r. Ent˜ao lim

x→pg(f (x)) = limu→ag(u) = L.

Demonstra¸c˜ao: Seja ε > 0. Como lim

u→ag(u) = L temos que existe δ1 > 0

tal que

0 < |u − a| < δ1⇒ |g(u) − L| < ε.

Al´em disso, como lim

x→pf (x) = a existe δ2> 0 tal que

0 < |x − p| < δ2⇒ |f (x) − a| < δ1.

Tomando δ = min{δ2, r} temos

0 < |x − p| < δ ⇒ 0 < |f (x) − a| < δ1⇒ |g(f (x)) − L| < ε.

O teorema acima permanece v´alido para limites laterais, com as devidas adapta¸c˜oes. Fa¸ca isso como exerc´ıcio.

Exemplo: Observe a importˆancia da hip´otese d). Consideremos o seguinte exemplo: f (x) = 1, ∀x ∈ R g(u) = u + 1, u 6= 1 3, u = 1

(26)

Temos lim x→1f (x) = 1 lim u→1g(u) = 2 e no entanto lim

x→1g(f (x)) = 3 6= limu→1g(u).

Teorema: Sejam f : I1 → R e g : I2 → R fun¸c˜oes definidas em uma

vizinhan¸ca do +∞ e em uma vizinhan¸ca de a ∈ R (exceto possivelmente em a), respectivamente, e L ∈ R satisfazendo:

a) f (I1) ⊂ I2;

b) lim

x→+∞f (x) = a;

c) Existe N1> 0 tal que para x > N1 tem-se f (x) 6= a.

d) lim

u→ag(u) = L.

Ent˜ao lim

x→+∞g(f (x)) = limu→ag(u) = L.

Demonstra¸c˜ao: Seja ε > 0. Como lim

u→ag(u) = L temos que existe δ > 0

tal que

0 < |u − a| < δ ⇒ |g(u) − L| < ε. Como lim

x→+∞f (x) = a existe N2> 0 tal que

x > N2⇒ |f (x) − a| < δ.

Tomando N = max{N1, N2} temos

x > N ⇒ 0 < |f (x) − a| < δ ⇒ |g(f (x)) − L| < ε.

O teorema permanece v´alido considerarmos x → −∞.

3 Continuidade de Fun¸

c˜

oes Reais de Vari´

avel

Real

3.1 Defini¸

c˜

ao de Continuidade

Neste cap´ıtulo introduziremos o conceito de continuidade. Restringiremos nosso estudo para as fun¸cões reais definidas em intervalos. Deixaremos para o curso de Análise Matemática o estudo da continuidade quando as fun¸cões estão definidas em um subconjunto qualquer da reta.

Todas as fun¸cões que consideraremos neste cap´ıtulo são do tipo f : I → R onde I é uma união de intervalos.

(27)

Defini¸c˜ao:

a) Uma fun¸c˜ao f : I → R ´e dita cont´ınua em p ∈ I se para todo ε > 0 existir δ > 0 tal que

x ∈ I ∩ (p − δ, p + δ) ⇒ |f (x) − f (p)| < ε.

b) Uma fun¸c˜ao f : I → R ´e dita cont´ınua se o for em todos os pontos de seu dom´ınio.

c) Uma fun¸cão f : I → R é dita descont´ınua em p ∈ I se f não é cont´ınua em p.

Observa¸cões: A verifica¸cão da continuidade de fun¸cões definidas em inter-valos (a, b) ou [a, b] é um pouco mais simples:

1) De acordo com a defini¸c˜ao acima , temos que f : (a, b) → R ´e cont´ınua se existir lim

x→pf (x) , para todo p ∈ (a, b) e ainda limx→pf (x) = f (p). Em particular,

usando a caracteriza¸cão de limites por sequências ter´ıamos que f é cont´ınua em p se e somente se

∀ (xn) tal que xn → p tem-se f (xn) → f (p) .

2) De acordo com a defini¸c˜ao acima , temos que f : [a, b] → R ´e cont´ınua se: a) Existe lim

x→pf (x) , para todo p ∈ (a, b) e limx→pf (x) = f (p);

b) Existe lim

x→a+f (x) e lim_x→a+f (x) = f (a);

c) Existe lim

x→b−f (x) e lim_x→b−f (x) = f (b).

3.2 Opera¸

c˜

oes com Fun¸

c˜

oes e Continuidade

Os resultados que obteremos nesta se¸cão são demonstrados da mesma forma que os análogos para limites.

Teorema: Sejam f : I → R, g : I → R fun¸c˜oes cont´ınuas em p ∈ I e k ∈ R uma constante. Ent˜ao:

a) f + g é cont´ınua em p. b) f − g é cont´ınua em p. c) f.g é cont´ınua em p.

d) Se g(p) 6= 0 então f_g é cont´ınua em p. e) kf é cont´ınua em p.

Uma consequência imediata do resultado acima é: Corolário:

a) Toda fun¸cão polinomial é cont´ınua. b) Toda fun¸cão racional é cont´ınua. Demonstra¸cão:

(28)

a) De fato, se f é polinomial então existe um polinômio p(x) = a0+ a1x + ... + anxn

tal que f (x) = p(x), para todo x ∈ R.

Como as fun¸c˜oes dadas por xm_{, m ∈ N, s˜}_{ao cont´ınuas, segue do teorema}

acima que as fun¸cões dadas por ajxj, j ∈ {0, 1, ..., n}, também o são. Como

soma de fun¸cões cont´ınuas é cont´ınua , segue que toda fun¸cão polinomial é cont´ınua.

b) De fato, se f é uma fun¸cão racional , então existem polinômios p, q tais que f (x) =p(x)_q(x).

Como o quociente de fun¸cões cont´ınuas é cont´ınua, desde que o polinômio do denominador não se anule, segue que toda fun¸cão racional é cont´ınua pois o ´_{e em todos os pontos de seu dom´ınio.}

Teorema: Sejam f : I1→ R e g : I2→ R satisfazendo que f (I1) ⊂ I2 , f

é cont´ınua em p ∈ I1e que g é cont´ınua em f (p). Então g ◦ f é cont´ınua em p.

Demonstra¸c˜ao: Seja ε > 0. Como g ´e cont´ınua em f (p) temos que existe δ1> 0 tal que

u ∈ I2∩ (f (p) − δ1, f (p) + δ1) ⇒ |g(u) − g(f (p))| < ε.

Como f ´e cont´ınua em p temos que existe δ > 0 tal que x ∈ I1∩ (p − δ, p + δ) ⇒ f (x) ∈ I2, |f (x) − f (p)| < δ1⇒

⇒ f (x) ∈ I2∩ (f (p) − δ1, f (p) + δ1) ⇒ |g(f (x)) − g(f (p))| < ε.

3.3 Algumas Propriedades das Fun¸

c˜

oes Cont´ınuas

Nesta se¸cão provaremos alguns resultados sobre a conserva¸cão de sinal e sobre a continuidade de fun¸cões monótonas .

Teorema: Seja f : I → R uma fun¸c˜ao cont´ınua em p ∈ I . Se f (p) > 0 ent˜ao existe δ > 0 tal que

x ∈ I ∩ (p − δ, p + δ) ⇒ f (x) > 0.

Demonstra¸c˜ao: Como f (p) > 0, tomamos ε = f (p)₂ e temos que existe δ > 0 tal que x ∈ I ∩ (p − δ, p + δ) ⇒ |f (x) − f (p)| < f (p) 2 ⇒ f (x) > f (p) 2 > 0.

(29)

Teorema: Seja f : I → R uma fun¸c˜ao cont´ınua em p ∈ I . Se f (p) < 0 ent˜ao existe δ > 0 tal que

x ∈ I ∩ (p − δ, p + δ) ⇒ f (x) < 0.

Demonstra¸c˜ao: Como f (p) < 0, tomamos ε = −f (p)₂ e temos que existe δ > 0 tal que x ∈ I ∩(p−δ, p+δ) ⇒ |f (x) − f (p)| < −f (p) 2 ⇒ f (x) < f (p)− f (p) 2 = f (p) 2 < 0.

Teorema: Se f : I → R for crescente (ou decrescente) e além disso tanto a imagem quanto o dom´ınio de f forem intervalos então f é cont´ınua.

Demonstra¸c˜ao: Sem perda de generalidade vamos supor que f ´e crescente. Dado p ∈ I, provemos a continuidade de f em p.

Seja ε > 0. Suponhamos também que f (p) não seja extremidade do intervalo que é a imagem.

Como f (I) ´e um intervalo ent˜ao existem x1, x2∈ I tais que f (x1) = f (p) − ε

e f (x2) = f (p) + ε .

Assim basta tomarmos δ = min{p − x1, x2− p} e temos

|x − p| < δ ⇒ f (p) − ε = f (x1) < f (x) < f (x2) = f (p) + ε.

Deixamos como exerc´ıcio o caso geral.

Corolário: As fun¸cões trigonométricas inversas são cont´ınuas.

Demonstra¸cão: É imediato pelo teorema acima, visto que localmente todas as trigonométricas inversas são crescentes ou decrescentes e seus dom´ınios e imagens s˜_{ao intervalos.}

3.4 O Teorema do Valor Intermedi´

ario

Nesta se¸cão estudaremos o principal teorema relativo a continuidade. O seu enunciado é bastante simples mas as consequências são extremamente impor-tantes.

Imagine uma fun¸cão que seja cont´ınua em um intervalo [a, b]. Suponhamos que d está entre f (a) e f (b). Como a fun¸cão é cont´ınua o seu gráfico pode ser desenhado sem que soltemos o lápis. De fato, a continuidade impede que o gráfico apresente saltos. Desta forma não tem como sairmos de (a, f (a)) e chegarmos em (b, f (b)) sem que no caminho passemos por um ponto que tenha ordenada d. Logo conclu´ımos que deve existir algum ponto c em [a, b] tal que f (c) = d. Esta é a conclusão do Teorema do Valor Intermediário.

Vamos enunciar este teorema.

Teorema do Valor Intermedi´ario: Sejam f : [a, b] → R cont´ınua e d entre f (a) e f (b). Ent˜ao existe c ∈ [a, b] tal que f (c) = d.

(30)

Demonstra¸c˜ao : Dividiremos a prova em dois casos. 1oCaso:

Suponhamos que f (a) < 0 e que f (b) > 0 e mostremos que existe c ∈ [a, b] tal que f (c) = 0.

Fa¸camos a0= a e b0= b. Consideremos c0 o ponto m´edio de [a0, b0].

Calcu-lamos f (c0). Se f (c0) < 0 ent˜ao definimos a1= c0 e b1= b0( se f (c0) = 0 n˜ao

temos mais o que provar e se f (c0) > 0 ent˜ao definimos a1= a0 e b1= c0).

Em seguida consideramos c1o ponto m´edio de [a1, b1] e repetimos o processo

acima.

Prosseguindo com este racioc´ınio, construiremos uma sequˆencia de intervalos encaixantes

[a0, b0] ⊃ [a1, b1] ⊃ ... ⊃ [an, bn] ⊃ ...

tais que f (an) < 0 e f (bn) > 0.

Al´em disso bn− an aproxima-se de zero quando n cresce indefinidamente.

O Teorema dos Intervalos Encaixantes nos que diz que existe um ´unico c ∈ R tal que , para todo n, an ≤ c ≤ bn.

A continuidade da f nos garante que f (c) = 0 pois se fosse diferente de zero o teorema da conserva¸c˜ao do sinal implicaria que f (an) e f (bn) teriam o mesmo

sinal para n suficientemente grande, j´a que a distˆancia de an a bn tende a zero.

Da mesma forma, se f (a) > 0 e f (b) < 0 existe c ∈ [a, b] tal que f (c) = 0. Logo, se f for cont´ınua em [a, b] e se f (a) e f (b) tiverem sinais contrários, então existirá pelo menos um c em [a, b] tal que f (c) = 0.

2o_{Caso: Caso Geral.}

Sem perda de generalidade, suponhamos que f (a) < d < f (b). Consideremos a fun¸c˜ao g(x) = f (x) − d.

Obviamente g ´e cont´ınua e g(a) < 0, g(b) > 0. Pelo 1o

caso existe c ∈ [a, b] tal que g(c) = 0. Logo f (c) = d. Exemplos:

1) Prove que x3− 4x + 8 = 0 tem pelo menos uma raiz real. Considere f : [−3, 0] → R dada por f (x) = x3− 4x + 8.

Como f é polinomial segue que f é cont´ınua. Além disso, f (−3) = −7 < 0, f (0) = 8 > 0.

Logo pelo Teorema do Valor Intermedi´ario, ∃c ∈ [−3, 0] tal que f (c) = 0. Logo o polinˆomio acima admite uma raiz real.

2) Todo polinˆomio de grau ´ımpar admite uma raiz real. De fato, seja p(x) = anxn+ an−1xn−1+ ... + a1x + a0

com n ´ımpar. Suponhamos, sem perda de generalidade, que an> 0.

Provemos inicialmente que lim

(31)

Temos lim x→±∞p(x) = x→±∞lim (anx n_{+ a} n−1xn−1+ ... + a1x + a0) = = lim x→±∞anx n_{(1 +}an−1 anx + .... + a1 anxn−1 + a0 anxn ) = = ±∞.

Logo existem a e b tais que p(a) < 0, p(b) > 0. Aplicando o TVI em [a, b] segue o resultado.

3.5 O Teorema de Weierstrass

Nesta se¸cão demonstraremos outra importante propriedade das fun¸cões cont´ınuas. Provaremos que se uma fun¸cão for cont´ınua em um intervalo fechado [a, b] então ela assumirá um valor máximo e um valor m´ınimo.

Teorema da Limita¸cão: Se f : [a, b] → R é cont´ınua então existe M > 0 tal que

|f (x)| < M, ∀x ∈ [a, b].

Demonstra¸cão: Suponhamos que não exista um M > 0 satisfazendo o que é desejado.

Chamamos a1= a, b1= b.

Deve ent˜ao existir x1∈ [a1, b1] tal que |f (x1)| > 1.

Seja c1 o ponto m´edio de [a1, b1].

Como f não é limitada em [a1, b1] então f não será limitada em [a1, c1] ou

em [c1, b1].

Sem perda de generalidade, suponhamos que f n˜ao ´e limitada em [c1, b1].

Chamamos a2= c1, b2= b1.

Como f n˜ao ´e limitada em em [a2, b2] existe x2∈ [a2, b2] tal que |f (x2)| > 2.

Prosseguindo com este racioc´ınio constru´ımos uma sequˆencia [a1, b1] ⊃ ... ⊃ [an, bn] ⊃ ...

satisfazendo que a distˆancia bn−anest´a se aproximando de zero quando n cresce

e que, para todo natural n, existe xn∈ [an, bn] com |f (xn)| > n.

Pelo T. I. Encaixantes, existe c, o ´unico real tal que c ∈ [an, bn], para todo

n ∈ N. ´

E claro que xn est´a convergindo para c e que |f (xn)| est´a divergindo para

o infinito. Pela continuidade de f ter´ıamos que lim

x→c|f (x)| = +∞. Observemos

que isto ´e um absurdo. Logo existe M > 0 tal que |f (x)| < M, ∀x ∈ [a, b].

(32)

Teorema de Weierstrass: Se f : [a, b] → R ´e cont´ınua existem x1 e x2

em [a, b] tais que f (x1) ≤ f (x) ≤ f (x2), para qualquer x ∈ [a, b].

Demonstra¸c˜ao : Sendo f cont´ınua em [a, b], pelo teorema anterior f ser´a limitada em [a, b]. Assim o conjunto A = {f (x)|x ∈ [a, b]} admite supremo e ´ınfimo.

Sejam M = sup A, m = inf A. Est´a claro que m ≤ f (x) ≤ M.

Resta-nos provar que existem x1 e x2tais que f (x1) = m e f (x2) = M.

Observe que se f (x) < M para todo x ent˜ao a fun¸c˜ao dada por g(x) = 1

M − f (x), x ∈ [a, b]

seria cont´ınua mas n˜ao seria limitada. Logo existe x2 tal que f (x2) = M.

Analogamente provamos a existˆencia de x1.

3.6 Potˆ

encias Irracionais

Na se¸c˜ao 1.3 lembramos algumas propriedades das potˆencias racionais. Dado m_n ∈ Q, a > 0 definimos

b = amn ⇔ m

√ bn_{= a.}

O objetivo desta se¸c˜ao ´e definirmos ax_{, x ∈ R.}

O que significa 3

√ 2_?

Sabemos que os racionais não ocupam todo o espa¸co da reta mas mesmo assim eles estão presentes em qualquer intervalo, por menor que seja. Assim em qualquer intervalo contendo√2 existem racionais e nestes sabemos calcular as potências. Seria natural então definirmos 3

√

2 _{como o limite de 3}r_{, r ∈ Q, ao r}

tender a√2.

A d´uvida que sobra ´e se esse limite realmente existe.

O teorema que iremos enunciar a seguir nos garantirá que existe uma única fun¸cão cont´ınua em R tal que f (r) = 3r, para qualquer r ∈ Q. Em outras palavras, existe uma única maneira de completarmos o pontilhado do gráfico acima e obtermos uma fun¸cão cont´ınua. Assim iremos definir

3

√

2_{= f (}√_{2) = lim} x→√2

f (x).

Teorema: Dado a > 0, a 6= 1 temos que existe uma ´unica fun¸c˜ao cont´ınua definida em R tal que

f (r) = ar, ∀r ∈ Q.

(33)

Lema 1: Seja a > 1 um real dado. Ent˜ao para todo ε > 0, existe um natural n tal que

an1 − 1 < ε

Demonstra¸c˜ao: Pela desigualdade de Bernoulli (1 + ε)n≥ 1 + nε. Basta tomarmos n > a−1_ε _.

Lema 2: Sejam a > 1 e x dois reais dados. Para todo ε > 0 existem racionais r e s , com r < x < s tais que

as− as_{< ε.}

Demonstra¸c˜ao: Tomamos t > x, racional; assim, para qualquer racional r < x, tem-se ar_{< a}t_{.Pelo lema 1, existe n natural tal que}

atan1 − 1

< ε.

Se escolhermos racionais r e s com r < x < s e satisfazendo s − r < 1_n teremos as− ar_{= a}r_(as−r_{− 1) < a}t_a1

n − 1

< ε.

Lema 3: Seja a > 1 um real dado. Ent˜ao , para todo x real dado , existe um ´unico real γ tal que

ar< γ < as

para quaisquer que sejam os racionais r e s, com r < x < s. Demonstra¸c˜ao: Como o conjunto

{ar_{|r racional , r < x}}

´e n˜ao vazio e limitado superiormente por todo as, s racional, tal conjunto admite um supremo que indicamos por γ. Segue que

ar< γ < as.

Falta provarmos que tal γ ´e ´unico. De fato, se γ1 for tal que

ar< γ1< as

quaisquer que sejam os racionais r e s, com r < x < s ter´ıamos |γ − γ1| < as− ar

e pelo lema 2 ter´ıamos que

(34)

e da´ı γ = γ1.

Prova do Teorema: Inicialmente vamos supor a > 1. Com rela¸c˜ao ao lema anterior , se x for racional ent˜ao γ = ax_{. O ´}_{unico γ ser´}_{a indicado por f (x) . Fica}

constru´ıda, assim, uma fun¸c˜ao f definida em R, e tal que f (r) = ar _{para todo}

racional r. Antes de provarmos a continuidade de f provemos que f ´e crescente. Sejam x1< x2. Temos ar1 _{< f (x} 1) < as1 e ar2_{< f (x} 2) < as2

quaisquer que sejam os racionais r1, s1, r2e s2 tais que

r1< x1< s1 e r2< x2< s2.

Assim , sendo s um racional com x1< s < x2 temos

f (x1) < as< f (x2)

o que prova que f ´e crescente.

Vamos provar a continuidade de f . Seja p ∈ R. Pelo lema 2 dado ε > 0 existem racionais r e s com r < p < s tais que

as− ar_{< ε.}

Para todo x ∈ (r, s) temos

|f (x) − f (p)| < as− ar< ε

o que prova a continuidade da f em p. Segue que f ´e cont´ınua em R. Finalmente se 0 < a < 1 basta considerarmos a fun¸c˜ao dada por

f (x) = 1 a

−x .

A fun¸c˜ao f : R → R dada por f (x) = ax_{, a > 0, a 6= 1 ´}_{e chamada de}

FUNC¸ ˜AO EXPONENCIAL.

4 Derivadas de Fun¸

c˜

oes Reais de Vari´

avel Real

4.1 Introdu¸

c˜

ao e Defini¸

c˜

ao de Derivada

Defini¸cão: Seja f : I → R, uma fun¸cão definida em I ⊂ R uma união de intervalos abertos.

a) Dizemos que f ´e deriv´avel em p ∈ I se existe o limite lim

h→0

f (p + h) − f (p)

(35)

Neste caso chamamos tal limite de derivada da f em p e denotamos: f0(p) = lim

h→0

f (p + h) − f (p)

h .

b) Dizemos que f é derivável em I se o for em todos os pontos de I. Observa¸cões:

1) Dizer que existe a derivada de uma fun¸cão f em um ponto p significa geo-metricamente que seu gráfico apresenta uma reta tangente no ponto (p, f (p)) . Isto significa que o gráfico não pode apresentar uma quina neste ponto.

2) Observe que f0(p) = lim h→0 f (p + h) − f (p) h = limx→p f (x) − f (p) x − p .

De fato basta considerarmos a mudan¸ca de vari´avel x = p + h. Assim para o c´alculo da derivada podemos escolher um dos limites acima.

Defini¸cão: Dado uma fun¸cão derivável f : I → R definimos a fun¸cão derivada f0 : I → R por

f0(x) = lim

h→0

f (x + h) − f (x)

h .

Teorema: Seja f : I → R, uma fun¸cão definida em I ⊂ R uma união de intervalos abertos. Se f é derivável em p ∈ I então f é cont´ınua em p.

Demonstra¸c˜ao: Basta provarmos que lim x→pf (x) = f (p). De fato, temos lim x→pf (x) = f (p) ⇔ limx→p(f (x) − f (p)) = 0 e lim x→p(f (x) − f (p)) = x→plim (f (x) − f (p)) (x − p) . (x − p) = = f0(p) .0 = 0.

Observa¸cão: Ser derivável é condi¸cão suficiente para ser cont´ınua e ser cont´ınua é condi¸cão necessária para ser derivável isto é

deriv´avel ⇒ cont´ınua.

A rec´ıproca é falsa, isto é, ser derivável não é necessário para ser cont´ınua e ser cont´ınua não é suficiente para ser derivável isto é

cont´ınua ; deriv´avel.

De fato, considere por exemplo a fun¸cão f : R → R dada por f (x) = |x| . Temos que f é cont´ınua em x = 0 mas não é derivável em x = 0.

(36)

4.2 Regras de Deriva¸

c˜

ao

Nesta se¸cão calcularemos a derivada da soma, da diferen¸ca, do produto e do quociente de fun¸cões. Em seguida estudaremos a derivada da composta de duas fun¸cões.

Teorema : Sejam I ⊂ R, uma união de intervalos abertos, f, g : I → R fun¸cões deriváveis em p ∈ I e k ∈ R uma constante real. Temos:

a) (f ± g) é derivável em p e (f ± g)0(p) = f0(p) ± g0(p) . b) (kf ) é derivável em p e (kf )0(p) = kf0(p) . c) (f g) é derivável em p e (f g)0(p) = f (p)g0(p) + f0(p) g (p) . d) Se g0_{(p) 6= 0 ent˜}_ao f g é derivável em p ef_g 0 (p) =g(p)f0(p)−f (p)g0(p) g(p)2 . Demonstra¸cão:

a) A prova se reduz ao c´alculo do limite (f ± g)0(p) = lim h→0 (f ± g) (p + h) − (f ± g) (p) h = = lim h→0 f (p + h) ± g (p + h) − f (p) ∓ g (p) h = = lim h→0 f (p + h) − f (p) h ± g (p + h) − g (p) h = = f0(p) ± g0(p) .

b) Deixamos como exerc´ıcio.

c) A prova se reduz ao cálculo do limite (f.g)0(p) = lim h→0 (f.g) (p + h) − (f.g) (p) h = = lim h→0 f (p + h) .g (p + h) − f (p) .g (p) h = = lim h→0 f (p + h) .g (p + h) − f (p) g (p + h) + f (p) g (p + h) − f (p) .g (p) h = = lim h→0 g (p + h) f (p + h) − f (p) h + f (p) g (p + h) − g (p) h = ∗ Como g é derivável em p então g é cont´ınua em p e portanto

lim

h→0g (p + h) = g (p) .

Assim temos

∗ = f (p)g0(p) + f0(p) g (p) . d) Vamos inicialmente provar que

1 g 0 (p) = −g 0_(p) g (p)2 .

(37)

De fato, calculemos o limite 1 g 0 (p) = lim h→0 1 g (p + h) −1_g(p) h = = lim h→0 1 g(p+h)− 1 g(p) h = = lim h→0 g(p)−g(p+h) g(p+h)g(p) h = = lim h→0 ₋₁ g (p + h) g (p) g (p + h) − g (p) h = = −g 0_(p) g (p)2 .

Para obtermos o caso geral basta aplicarmos c) e o que provamos acima. Teorema (REGRA DA CADEIA):Sejam f : I → R e g : J → R satisfazendo que f (I) ⊂ J. Se f é derivável em p e g é derivável em f (p) então g ◦ f : I → R é derivável em p e (g ◦ f )0(p) = g0(f (p)) .f0(p) . Demonstra¸cão: Calculemos o limite (g ◦ f )0(p) = lim h→0 (g ◦ f ) (p + h) − (g ◦ f ) (p) h = = lim h→0 g (f (p + h)) − g (f (p)) h = ∗

Para simplificarmos nosso c´alculo vamos supor que existe δ > 0 tal que 0 < |h| < δ ⇒ f (p + h) 6= f (p) . Assim temos k = f (p + h) − f (p) ∗ = lim h→0 g(f (p) + k) − g (f (p)) k . f (p + h) − f (p) h = = g0(f (p)) .f0(p) .

4.3 Derivada da Fun¸

c˜

ao Inversa

Nesta se¸c˜ao aprenderemos como derivar a inversa de uma dada fun¸c˜ao.

Teorema: Seja f : I → R uma fun¸cão invers´ıvel , com fun¸cão inversa f−1: f (I) → R. Se f for derivável em q = f−1(p) , com f0(q) 6= 0 e se f−1

(38)

for cont´ınua em p, então f−1 será derivável em p e f−10

(p) = 1 f0_(q).

Demonstra¸c˜ao: Temos f−1_{(x) − f}−1_(p) x − p = f−1_{(x) − f}−1_(p) f (f−1_{(x)) − f (f}−1_(p)) = = 1 f (f−1_{(x))−f (f}−1_(p)) f−1_(x)−f−1_(p) , para x 6= p.

Fazendo u = f−1(x), pela continuidade de f−1 em p temos que u → q para x → p e lim x→p f−1(x) − f−1(p) x − p = limu→q 1 f (u)−f (q) u−q = 1 f0_(q).

5 O Teorema do Valor M´

edio e Aplica¸

c˜

oes

Estudaremos um dos principais teoremas do Cálculo: O Teorema do Valor Médio. A partir deste teorema poderemos fazer uma análise detalhada do gráfico de fun¸cões reais de variável real. Para provarmos este teorema precisamos ini-cialmente estudar máximos e m´ınimos.

5.1 M´

aximos e M´ınimos: O Teorema de Fermat

Lembremos que o Teorema de Weierstrass garante que se f : I → R for cont´ınua, e I for um intervalo fechado [a, b] ent˜ao existem x1e x2 em [a, b] tais que

f (x1) ≤ f (x) ≤ f (x2) , ∀x ∈ [a, b] .

f (x1) ´e chamado de m´ınimo e f (x2) de m´aximo de f.

Nesta se¸cão estudaremos máximos e m´ınimos de fun¸cões f : I → R onde I é um intervalo qualquer da reta. Utilizaremos a derivada para tal estudo.

Proposi¸cão: Sejam f : I → R e c ∈ I um ponto onde f é derivável. a) Se f0(c) > 0 então existe δ > 0 tal que para

c − δ < x1< c < x2< c + δ

tem-se

f (x1) < f (c) < f (x2) .

b) Se f0(c) < 0 ent˜ao existe δ > 0 tal que para c − δ < x1< c < x2< c + δ

(39)

tem-se

f (x1) > f (c) > f (x2) .

Demonstra¸c˜ao:

Vamos provar a) e deixaremos b) como exerc´ıcio. Se f0(c) > 0 ent˜ao temos

lim

x→c

f (x) − f (c) x − c > 0. Logo existe δ1> 0 tal que

c < x < c + δ1⇒

f (x) − f (c)

x − c > 0 ⇒ f (c) < f (x) . Da mesma forma, existe δ2> 0 tal que

c − δ2< x < c ⇒

f (x) − f (c)

x − c > 0 ⇒ f (x) < f (c) . Tomando δ = min{δ1, δ2} temos

c − δ < x1< c < x2< c + δ ⇒ c − δ2< x1< c e c < x2< c + δ1⇒

⇒ f (x1) < f (c) < f (x2) .

Defini¸c˜ao: Seja f : I → R.

a) Dizemos que c ∈ I é um ponto de máximo de f e f (c) é um valor máximo de f se

f (x) ≤ f (c) , ∀x ∈ I.

b) Dizemos que c ∈ I ´e um ponto de m´ınimo de f e f (c) ´e um valor m´ınimo de f se

f (x) ≥ f (c) , ∀x ∈ I.

c) Dizemos que c ∈ I ´e um ponto de m´aximo local de f se existir δ > 0 tal que

|x − c| < δ ⇒ f (x) ≤ f (c) .

d) Dizemos que c ∈ I ´e um ponto de m´ınimo local de f se existir δ > 0 tal que

|x − c| < δ ⇒ f (c) ≤ f (x) .

Teorema de Fermat: Seja f : I → R uma fun¸cão derivável em c ∈ I, um ponto interior de I. Se c é ponto de máximo ou m´ınimo local de f então f0(c) = 0.

Demonstra¸c˜ao:

Suponhamos que f0(c) 6= 0. Sem perda de generalidade podemos supor f0(c) > 0 e que c ´e ponto de m´aximo local.

(40)

Pela proposi¸c˜ao anterior, existe δ1> 0 tal que para

c − δ1< x1< c < x2< c + δ1

tem-se

f (x1) < f (c) < f (x2) .

Como c ´e ponto de m´aximo local, existe δ2> 0 tal que

|x − c| < δ2⇒ f (x) ≤ f (c) .

Tomando δ = min{δ1, δ2} e x2satifazendo c < x2< c + δ segue que

c < x2< c + δ1 e |x2− c| < δ2

e portanto

f (c) < f (x2) e f (x2) ≤ f (c) .

Esta contradi¸c˜ao implica que f0_{(c) = 0.} Observa¸c˜oes:

1) Observe que o teorema de Fermat dá uma condi¸cão necessária aos pontos de máximo e m´ınimo locais de f. A condi¸cão não é suficiente. Considere por exemplo f (x) = x3_.

Temos que f0(0) = 0 e no entanto 0 não é ponto de máximo local nem de m´ınimo local.

2) Dada uma fun¸cão f : I → R, podem ocorrer pontos de máximo e m´ınimo em pontos onde f não é derivável. Considere por exemplo f (x) = |x| .

Observe que 0 é um ponto de m´ınimo local e no entanto não existe f0(0) . Defini¸cão:c é um ponto cr´ıtico de f : I → R se f0(c) = 0 ou se não existe f0(c) .

Teorema: Seja f : [a, b] → R cont´ınua. Os valores m´aximo e m´ınimo de f s˜ao assumidos ou nos pontos cr´ıticos de f ou nos extremos do intervalo.

Demonstra¸c˜ao: O Teorema de Weierstrass garante a existˆencia de x1 e x2

pontos de m´aximo e m´ınimo de f.

Se x1 e x2 ∈ {a, b} nada temos a provar. Se um deles pertencer a (a, b)

então em tal ponto f é ou não derivável. Se não for derivável então o ponto será cr´ıtico e se for derivável então o teorema de Fermat garante que a derivada em tal ponto se anulará, ou seja o ponto ser´_{a cr´ıtico.}

Teorema: Sejam f : I → R deriv´avel e a, b ∈ I, a < b. Se f0(a) .f0(b) < 0 ent˜ao existe x0∈ (a, b) tal que f0(x0) = 0.

Demonstra¸cão: Pelo teorema de Weierstrass existem α, β ∈ [a, b] tais que f (α) e f (β) são os valores máximo e m´ınimo de f em [a, b] .

Se α = β então f é constante em [a, b] e o teorema é trivialmente satisfeito. Se α 6= β então temos 3 possibilidades:

(41)

a) Se pelo menos um dos dois está em (a, b) então o Teorema de Fermat aplica-se a tal ponto e o teorema está provado.

b) Se α = a e β = b ent˜ao f0 a+ = lim x→a+ f (x) − f (a) x − a ≤ 0 f0 b− = lim x→b− f (x) − f (b) x − b ≤ 0 e isto contraria a hip´otese que f0(a) .f0(b) < 0.

c) Se α = b e β = a ent˜ao f0 a+ = lim x→a+ f (x) − f (a) x − a ≥ 0 f0 b− = lim x→b− f (x) − f (b) x − b ≥ 0 e isto contraria a hip´otese que f0(a) .f0_{(b) < 0.}

Teorema (Propriedade do Valor Intermediário para Derivadas): Sejam f : I → R derivável e a < b ∈ I. Se k ∈ R satisfaz f0(a) < k < f0(b) então existe x0∈ (a, b) tal que f0(x0) = k.

Demonstra¸c˜ao: Basta aplicar o teorema anterior para F (x) = f (x) − kx.

Corolário: Sejam f : I → R derivável e a < b ∈ I. Se f0(x) 6= 0 em [a, b] então f0 tem sinal constante em [a, b] .

Demonstra¸c˜ao: Se existissem x1 e x2 tais que f0(x1) < 0 e f0(x2) > 0

ent˜ao existiria x0 tal que f0(x0) = 0.

5.2 Os Teoremas de Rolle e do Valor M´

edio

Nesta se¸c˜ao provaremos o TVM (Teorema do Valor M´edio) a partir da prova de um caso particular (Teorema de Rolle).

Teorema (Teorema de Rolle): Seja f : [a, b] → R cont´ınua em [a, b] e deriv´avel em (a, b) . Se f (a) = f (b) ent˜ao existe c ∈ (a, b) tal que f0(c) = 0.

Demonstra¸cão: Se f for constante em [a, b] então f0(x) = 0, para todo x ∈ (a, b) e neste caso nada temos para provar. Se f não for constante então, pelo Teorema de Weierstass, existem x1 e x2 em [a, b] , x16= x2, tais que x1 é ponto

de máximo e x2é ponto de m´ınimo. Como f (a) = f (b) então necessariamente

um dos dois está em (a, b) . De fato, caso contrário f seria constante. Sem perda de generalidade, suponhamos que x1∈ (a, b) . Como f é derivável em x1segue,