Física e Tecnologia dos Plasmas
Difusão e mobilidade
em plasmas fracamente ionizados
Mestrado em Engenharia Física Tecnológica
Instituto Superior Técnico
Instituto de Plasmas e Fusão Nuclear
As perguntas fundamentais
Difusão e mobilidade
•
Estudámos ondas em meios idealizadosinfinitos e homogéneos
•
Qualquer situação mais realista envolve gradientes de densidade•
Plasma tende a difundir para as regiões de menor densidade•
Começamos por estudar o caso B=0...As perguntas fundamentais
Plasmas fracamente ionizados
•
As colisões com os neutros são dominantes•
Temos uma distribuição não-uniforme de electrões e iões sobre um fundo de neutros•
Plasma difunde em resultado das forças de pressão e eléctrica, num processofortemente colisional
•
Os parâmetros de colisão são para colisões entre partículas carregadas e o gás neutroAs perguntas fundamentais
Parâmetros de colisão
Secção eficaz
•
Toda a dinâmica da colisão está contida nasecção eficaz diferencial de colisão, σ(θ,φ),
que pode ser calculada se conhecermos o potencial de interacção
•
A secção eficaz total obtém-se integrando σ(θ,φ) nos ângulos•
Tem dimensões de áreaAs perguntas fundamentais
Parâmetros de colisão
Secção eficaz
•
No modelo de esferas rígidas, σTot=πd2•
Podemos definir uma secção eficaz para atransferência de momento
⇥m = Z
As perguntas fundamentais
Parâmetros de colisão
Livre percurso médio
•
Consideremos um feixe de electrões com uma dada velocidade, incidente num alvo de área A e espessura dx, com n átomos porunidade de volume, cada um com secção
eficaz total σ, colocado ortogonalmente ao feixe
-
O número de átomos na fatia é nAdx-
A probabilidade de um electrão colidir ao atravessar a fatia é (nAdx)σ/A=nσdx= 1 n⇥
As perguntas fundamentais
Parâmetros de colisão
Livre percurso médio
-
Se N electrões incidirem no alvo, onúmero N’ dos que atravessam o alvo sem colidir é
N’=N(1-nσdx)
dN=-Nnσdx
⇥ = ⌅ 1 = v = n⇤v
As perguntas fundamentais
Parâmetros de colisão
Livre percurso médio e frequência de colisão
•
Um electrão tem uma probabilidade razoável de fazer uma colisão após ter percorrido uma distância igual ao livrepercurso médio λ
•
O tempo médio entre colisões é•
A frequência de colisão é⇥ = v
As perguntas fundamentais
Parâmetros de colisão
Livre percurso médio e frequência de colisão
•
Em geral•
Temos ainda•
A frequência média obtém-se integrando ν(v) na distribuição de velocidades doselectrões (frequentemente uma Maxwelliana):
= (v) = 1
n⇥(v) = (v) = n⇥(v)v
As perguntas fundamentais
Parâmetros de difusão
Difusão e mobilidade•
A equação da força é•
Assumimos:-
ν = cte-
regime colisional (v pequeno e/ou νgrande): um elemento de fluido não se
move para zonas de E e ∇P diferentes no
tempo de colisão mn d~v
s = nsvs = ±µsnsE Ds⇥ns
µ = |q| m
As perguntas fundamentais
Parâmetros de difusão
Difusão e mobilidade
-
Regime estacionário-
Plasma isotérmico (γ=1)•
Nestas condições, d/dt = 0 e obtemos ofluxo
D
µ =
kT |q|
As perguntas fundamentais
Parâmetros de difusão
Difusão e mobilidade
•
A mobilidade e o coeficiente de difusão relacionam-se pela relação de EinsteinD = kT m e o coeficiente de difusão é
•
Esta abordagem corresponda à aproximação de deriva-difusãoAs perguntas fundamentais
Parâmetros de difusão
Difusão e mobilidade
•
A mobilidade e o coeficiente de difusãopodem calcular-se usando a teoria cinética, a partir de integrais sobre a função de
distribuição
•
A energia característica, uk=eD/μ, correspondea kT no caso duma distribuição Maxwelliana e a se ν for independente de v(1/3)m v2
⇤ = D⇤⇥n
As perguntas fundamentais
Parâmetros de difusão
Lei de Fick
•
Se E=0 e/ou as partículas não tiverem carga,obtemos a lei de Fick
•
A difusão é um processo de tipo “random walk”•
Nos plasmas podemos ter comportamentos colectivos, caso em que o processo deAs perguntas fundamentais
Decaimento de um plasma
Difusão ambipolar
Queremos saber como decai um plasma limitado, por difusão para as paredes do contentor
•
Electrões e iões recombinam quando chegam às paredes•
A densidade de espécies carregadas junto às paredes é aproximadamente zero•
Consideramos a aproximação de deriva-difusãons
t + ⌅⇥ · ⌅ s = 0
⇧ s = ±µsnsE⇧ Ds⇤n⇧ s
As perguntas fundamentais
Decaimento de um plasma
Difusão ambipolar
Se L≫λD
•
o plasma é quase neutro, ni≈ne•
Γi≈Γe (hipótese de congruência)‣
As taxas de difusão dos electrões e iões “ajustam-se” de modo a serem iguais!As perguntas fundamentais
Decaimento de um plasma
Difusão ambipolar
Fisicamente, o que se passa é o seguinte:
•
os electrões, mais leves (vt maior) chegamprimeiro à parede
•
os iões positivos ficam para trás•
estabelece-se um campo ambipolar, quetende a retardar o movimento dos electrões em direcção à parede e a acelerar o dos iões
⇤ = Da⇥n⇤ Da = µiDe + µeDi µi + µe n t = Da 2n
As perguntas fundamentais
Decaimento de um plasma
Difusão ambipolar
Obtém-se
Da ' Di + µi µe De = Di ✓ 1 + Te Ti ◆
As perguntas fundamentais
Decaimento de um plasma
Difusão ambipolar
Como μe≫μi
As perguntas fundamentais
Decaimento de um plasma
Modos próprios de difusão
•
A difusão num sistema finito faz-se segundo vários modos próprios, cada um deles com um tempo de decaimento característico•
O modo próprio fundamental é o que tem o tempo de decaimento mais longo•
Dada uma densidade electrónica inicialarbitrária, ao fim de algum tempo o plasma está a decair segundo o modo próprio
n
t Dar
2n = S(⇥r)
As perguntas fundamentais
Soluções estacionárias
•
Para o plasma se manter e termos umasituação estacionária é preciso haver fontes de ionização e/ou injecção de plasma.
•
A equação da continuidade tem que incluir o termo de criação de novos electrões, S(r):D r2n = S(r)
r2n = n i Da
As perguntas fundamentais
Soluções estacionárias
Frequência de ionização constante
•
Em muitos casos a ionização é asseguradapor electrões rápidos na cauda da função de distribuição
•
A taxa de ionização é dada por nνi•
νi é a frequência de ionização, obtidaintegrando a respectiva secção eficaz
As perguntas fundamentais
Soluções estacionárias
Frequência de ionização constante
‣
Os perfis espaciais estacionárioscorrespondem ao perfil do modo próprio fundamental de difusão!
•
Tem que haver uma fonte de energia exterior que mantenha a temperaturaelectrónica constante e compense as perdas por difusão
r2n = 0
As perguntas fundamentais
Soluções estacionárias
Fontes localizadas
•
Para fontes de ionização localizadas no espaço é necessário resolver a equaçãoválida em todos os pontos excepto sobre as fontes
As perguntas fundamentais
Soluções estacionárias
Recombinação em volume
•
Pode também haver perda de cargas em volume, por recombinação electrão-ião•
Tem que haver uma terceira partículaenvolvida para conservar o momento da colisão, que pode ser
-
um fotão emitido (recobinação radiativa) M+ + e ! M + hM + + M + e ! M + M
AB+ + e ! A + B
As perguntas fundamentais
Soluções estacionárias
Recombinação em volume
-
uma partícula neutra (recobinação a 3 corpos)-
um produto de dissociação (no caso de gases e iões moleculares - recombinação dissociativa)As perguntas fundamentais
Soluções estacionárias
⇥n
⇥t = n
2
As perguntas fundamentais
Soluções estacionárias
Recombinação em volume
•
Em qualquer dos casos há um termo de perda proporcional a nine=n2•
Na ausência de difusão, a equação da continuidade éonde α é o coeficiente de recombinação em volume [m3/s]
1
n(t, ⇥r) =
1
n0(⇥r) + t
As perguntas fundamentais
Soluções estacionárias
Recombinação em volume•
A solução é com c1=1/n0 ou n(t) = 1 t + c1onde n0(r) é a distribuição inicial
•
Para tempos grandes, o quen(t) / 1 tAs perguntas fundamentais
Soluções estacionárias
As perguntas fundamentais
Soluções estacionárias
⌥ z = ±µnEz D ⇥n ⇥z
As perguntas fundamentais
Difusão num campo magnético
•
A difusão altera-se na presença de um campo magnético•
O movimento na direcção paralela a B (uz)não é afectado
•
Se não houvesse colisões não haveria difusão na direcção perpendicular a B (partícula giraAs perguntas fundamentais
Difusão num campo magnético
•
As colisões fazem as partículas migrar através das linhas de B!•
A fase do movimento de rotação muda abruptamente (e o raio de Larmor podetambém variar), num processo aleatório do tipo “random walk”
•
A partícula vai difundir na direcçãoperpendicular a B no sentido oposto a ∇n
v = ±µ E D ⇤ n
n +
vE + vD 1 + ⇥2/⇤2
c
As perguntas fundamentais
Difusão num campo magnético
‣
Podemos diminuir a difusão através do campo magnético diminuindo rL, i.e.,aumentando B
•
Assumindo (como anteriormente) umplasma isotérmico (γ=1) e uma frequência de colisão ν suficientemente elevada para podermos negligenciar dv⊥/dt,
As perguntas fundamentais
Difusão num campo magnético
•
A velocidade perpendicular tem duas componentes:-
Há as derivas usuais (ExB e diamagnética),nas direcções perpendiculares aos
gradientes do potencial e da densidade
-
Estas derivas são mais lentas do que na ausência de colisões, por um factor 1+(ν/ω)2As perguntas fundamentais
Difusão num campo magnético
-
Há derivas paralelas aos gradientes de potencial e da densidade-
São semelhantes ao caso B=0, mas oscoeficientes de difusão e mobilidade são reduzidos dum factor 1+(ω/ν)2
•
O factor ω/ν=ωτ=μB≈λm/rL é relevante:-
ωτ≪1, B não afecta a difusão-
ωτ≫1, B retarda significativamente a difusãoD kBT m 1 ⇤c2⇥2 = kBT m⇤c2
As perguntas fundamentais
Difusão num campo magnético
•
No caso ωτ≫1, temosD m 1/2; D m1/2
D 1; D⇥
•
Comparando como caso B=0-
a dependência com ν é inversaAs perguntas fundamentais
Difusão num campo magnético
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Electrões difundem mais rapidamente que os iões na direcção paralela, mas difundem mais lentamente na direcção perpendicularD 2 m ⇥ ; D rL2 ⇥
•
Finalmente,o que mostra que temos processos de
As perguntas fundamentais
Difusão num campo magnético
Difusão ambipolar
•
A difusão ambipolar na presença de umcampo magnético é um assunto complexo :)
•
As perdas totais por difusão têm que ser “ambipolares”, mas as perdas de cada uma das componentes (∥ ou⊥) não!•
Por exemplo, os iões podem perder-seessencialmente por difusão radial ⊥ a B e os electrões por difusão ao longo de B
