Assimetria do ciclo de carregamento Regra de Palmgreen-Miner Sensibilidade ao entalhe. Deformação-Vida ( x N)

Contagem de ciclos em carregamento de

Amplitude Variável: método Rainflow

Prof. Dr. José Benedito Marcomini

Deformação-Vida ( x N)

Assimetria do ciclo de carregamento

Regra de Palmgreen-Miner

DEFINIÇÕES E CONCEITOS Descrição do Ciclo de Carregamento

Tensão, 



_max



_min Tensão média,



_m Amplitude de Tensão,σ_a Intervalo de Tensão, 

_a = (_max - _min )/2 _m = (_max + _min )/2  = (_max - _min ) R = σ_min / σ_max

A = _a / _m

Repetição ou Variação de Carga

Tempo Cargas em solo T ensão Média em terra Vôo médio Carregamento em vôo

Estudo do Espectro de Tensão Aplicada Stress Nível de Tensão S₁ Nível de Tensão S₂ Nível de Tensão S₃ Nível de tensão S₄

Efeito da Assimetria do Ciclo

J. D. Morrow e verificada por R. Landgraf (1970)

Frequência dos Níveis de tensão Aplicados n₁ Ciclos de níveis S₁ n₂ ciclos de níveis S₂ n_i ciclos de níveis S_i n₃ ciclos de níveis S₃

Dados S - N para vários níveis de tensão

N₁ Números de ciclos para falhar se o componente é submetido a somente S₁ e assim por diante, sendo N_i Números de ciclos para falhar se o componente é submetido a somente S_i

Nível de T

ensão

Núm. De ciclos para falhar, N N₁

S₁

N_i S_i

O dano acumulado total devido a uma história de tensão aplicada

Assim, a fração de dano causado por S_i em 01 ciclo

D_i = 1 N_i k k 3 3 2 2 1 1 i i 1 i N n + ... N n N n N n = N n D D + + + = =



n



A falha irá acontecer se

1

N

n

D

i i



=



Regra de Palmgren – Miner

Comentários sobre a regra de MINER

- Modelo linear de dano acumulado;

- Não leva em conta a sequência de aplicação de cargas ou

tensões;

Exemplo: A regra de Miner prediz o mesmo dano para sequências de alta para baixa tensões e de baixa para alta tensões. Na prática, estas histórias de carregamentos apresentam diferentes danos.

-Prediz que a taxa de dano acumulado é independente do nível

de tensão.

Em altas amplitudes de tensão, a nucleação de trincas ocorrerá em poucos ciclos e em baixas amplitudes de tensão, quase toda vida é gasta para nucleação.

Efeitos da regra de Miner sobre a curva S-N

n₁

N´₁ N₁

S₁

Ciclos para falhar (escala log)

Ampl. de T ensã o (escala lo g) Curva S-N original

Curva S-N após a aplicação das tensões S₁ por n₁ ciclos

N´₁= (N₁ -n₁) é o novo valor de vida no nível S₁ após ter sido submetido a n₁ ciclos.

N´₂ N₂ S₂

Ciclos para falhar, (escala log)

Ampli tude de tensão (escala lo g) Curva S-N original

Curva S-N após a aplicação de S₁ por n₁ ciclos

Se o nível S₂ é aplicado, o componente falhará em N´₂ ciclos, ao invés de N₂.

Implementação da regra de Miner

1. Estabeleça a história de carregamento/tensão para a estrutura;

2. Espectro de tensão:

Nível de tensão(Tensão alternada e média) versus o número de ocorrências em uma unidade de operação (tal como dia, hora, ano, vôos, etc.)

3. Analise a geometria do componente para K_t , etc.;

4. Obtenha os dados S-N para o material correspondente ao K_t e níveis de tensão.

5. Calcule o dano acumulado por unidade de operação usando a regra de Miner.

Teoria do Dano Não Linear

Para superar os problemas na regra de Miner

-As teorias não lineares exigem constantes adicionais do material e de geometria que devem ser obtidas a partir de ensaios.

- A teoria não linear leva em conta o efeito da história. Cálculo pode ser trabalhoso.

- Elas fornecem uma melhor previsão do que a regra de Miner em alguns históricos de carregamentos simples, mas não é garantia de que ela funciona melhor do que a aplicação real da historia de carregamento real.

Descricão geral das teorias não lineares

D

=

n

N













p

O exponente, p, é função do nível de tensão. Geralmente, 0 < p < 1

Alta - Baixa Da no, D 0 1 0 1 Razão de ciclos, n/N S₁ S₂ • • • n₁/N₁ n₂/N₂ A B Baixa - Alta D_B D_B Da no, D 0 1 0 1 Razão de ciclos, n/N S₁ S₂ • • • n₁/N₁ n₂/N₂ A B

Dano D_B no final dos blocos de carregamentos são diferentes.

S₂ • • n₁ n₂ 0 A _B S₁ t • • S₂ • • n₂ n₁ 0 A B S₁ t (c)

Efeito de Entalhes – Fator Concentrador de Tensão

• K_t é um fator teórico dependente da geometria • K_t depende do modo de carregamento

• K_t não depende da magnitude do carregamento • K_t não depende das propriedades do material

S max _S

Tensão máxima local

S

max t

K =



S – tensão nominal (baseada na área da seção )

Os resultados dos ensaios com peças contendo entalhes podem ser comparados à curva S/N obtida com corpos de prova polidos e a relação entre as tensões nominais correspondentes à vida em fadiga define o chamado fator de concentração de tensão em

fadiga, ou fator de entalhe à fadiga K_f, dado pela equação, onde σ_fe e σ_fu são os valores da tensão (para um determinado número de ciclos) das peças com e sem entalhe, respectivamente.

Uma das formas de se avaliar o efeito do entalhe é definir a

“sensibilidade ao entalhe” em fadiga (q). O máximo efeito possível,

de modo que K_f = K_t, então q = 1. Se iguala a zero quando K_f = 1, ou

seja, o entalhe não tem efeito sobre a resistência à fadiga. O valor de

q varia com a severidade e tipo do entalhe, com o tamanho do corpo-de-prova e com a forma do carregamento e, portanto, não é

uma constante do material. A sensibilidade ao entalhe aumenta com a

resistência à tração, ou seja, se a dureza ou resistência de um material

for aumentada por meio de tratamentos térmicos, é possível que seu desempenho piore em termos da sensibilidade ao entalhe:

Relação Empírica (Peterson, 1974)

A constante de Peterson, a, depende da resistência do material e dutilidade obtidas experimentalmente

S

u

 0.5 BHN

Usando a aproximação,

pol

10

0.5BHN

300

1.8

_

_-3









=



( )

ksi

10

pol.

S

300

1.8 _-3 u















=



Para ligas ferrosas_{Su> 550MPa ou}

Su>80 ksi

1

1





+

=

q

mm ) ( 2070 025 , 0 _       = MPa

S

u 

• De maneira geral:

• α=0,51 mm (0,02”) para ligas de Al

• α=0,25 mm (0,01”) para aço carbono recoz. ou norm.

• α=0,064 mm (0,0025”) para aços temperados e revenidos. Combinando as equações tem-se que:

      + − + =   1 1 1

k

k

t f 001103 , 0 309 , 1 654 , 2 log



=

₁₀

−7



2 −

₁₀

−3



+ u u x x

Relação Empírica (Neuber)

(4.9)

/

1

1

K

1

K

_f t





+

−

+

=

ρ – é o raio do entalhe

β - é uma constante do material

Relacionando à sensibilidade ao entalhe

(4.10)

/

1

1

q





+

=

CONTAGEM DE CICLOS PARA HISTÓRICO DE

CARREGAMENTOS IRREGULARES

Fadiga controlada pela deformação, fadiga de baixo ciclo deformação-vida.

A apresentação dos dados de fadiga em termos da amplitude de deformação apareceu na literatura técnica pela primeira vez no início da década de 1950.

O número de ciclos para a fratura pode ser calculado pela equação

de Coffin-Manson, onde ε’_f é o coeficiente de ductilidade à fadiga e c é o expoente de ductilidade à fadiga.

Deformação - Vida Vs. Tensão Vida

100 ₁₀3 ₁₀6 _N

Tensão

Metodologia

Def. - Vida _Metodologia

Tensão - Vida Fadiga de

baixo ciclo(FBC)

Fadiga de alto ciclo FAC

Def. de Eng. & Def. Verdadeira

Comparação entre Tensão – Def. Verd. e de Eng.

T en s ão de Eng . , S T ens ão V er d. ,  S_y Def. de Eng. , e Def. Verd. ,  E=S/e x x Falha Emp. acontece em S_u Eng. S-e Verd. - _f   = ln 1+ e

( )

 = S A0 A = S 1+ e

( )

_ f

Relação Monotônica entre Tensão-Def.

Descarregamento. elástico E E • P  



_p



e



_t

Def. total 

_t

Def. Elast. 

_e

Def. Plast. 

_p



_t

= 

_e

+ 

_p



_e

=/E

Deformação Plástica

1.0 H n Log T ensã o V erd, (log  )

Log Def. Plast, (log_p)

H – Coeficiente de resistência n - Expoente de encruamento

( )

( )

p n n p

n

H

H

or

H













log

log

log

1 p

+

=

=

=

Deform. Elástica, Plástica & Total

( )

p e t p e















+

=

=

=

Total

H

Plástica

E

Elástica

n 1 n 1

H

E













+

=







_t Relação tensão – Def.

Comportamento Cíclico dos Materiais

Laço de histerese

Resposta do Material a carregamentos cíclicos inelásticos

_a =/2 = amplitude de def. _a = /2 amplitude de tensão _e - parte elástica _p – parte plástica





2

=





_e

2

+





_p

2

;





_e

= 



E

_p e   E  

Comportamento Transiente – Encruamento +

-

Tempo 1 2 3 4 5

(a) Amplitude de deform. Const.





1 3 5 2 4 Tempo 1 2 3 4 5 +

-

(b) Resposta da tensão

(aumentando o nível de tensão)

Comportamento Transiente – Amolecimento +

-

Tempo 1 2 3 4 5 Tempo



1 2 3 4 5





1 2 3 4 5

(a) Ampl. De def. cíclica

(b) Resposta Tensão

(diminuindo o nível de tensão)

Materiais com alta energia de falha de empilhamento (EFE) apresentam mais facilidade de ocorrência do deslizamento cruzado. Isso facilita a formação de subestruturas celulares (Contornos de grão de baixo ângulo: Linhas de discordâncias). Esses contornos podem ter a densidade de discordâncias reduzidas por processos de aniquilação, levando ao amolecimento como no caso de deformação a frio, cujas paredes celulares são densas. Exemplos: Cu, Al, Ni, Fe, aços carbono. Os de baixa EFE, nos quais é dificil ocorrer o deslizamento cruzado e não há formação de contorno de baixo ângulo.Ex: ligas Cu-Zn, Fe-Si, aços austeníticos.

A ocorrência de amolecimento ou endurecimento cíclico depende da

estrutura inicial de LDs e sua evolução, presença de precipitados, microestrutura.

Encruamento Vs. Amolecimento

(

)

(

)

amolece

te

ciclicamen

material

0,1

n

ou

12

,

1

/

Se

endurece

te

ciclicamen

material

0,2

n

ou

4

,

1

/

Se

u





















y y u









Postulado de Manson: Baseado em observações experimentais. Utilizando as propriedades estáticas do material (limite de resist. e de escoamento e expoente de encruamento, n), pode ser previsto se o material irá encruar ou amolecer.

n 1

H

E













+

=







_t

Laço de Histerese do Cobre

Laço de Histerese estabiliz. em  =0.0084

Material exibe endureci-mento na condição de recozido.

Laço de histerese

estabilizado em  =0.0078

Material exibe amolecimento Cíclico na condição

parcialmente recozido

Laço de histerese estab. em  =0.0099

Material exibe amolecimento cíclico na cond. de traba-lhado a frio.



- Aplicar uma amplitude de def. de /2.

- O transiente de tensão é seguido de um laço de histerese estabilizado

- Estabeleça o laço de histerese estabilizado para este nível de def.

- Repetir o procedimento com uma diferente amplitude de def.

- Unir as pontas dos laços de histerese estabilizados.

- A CURVA TENSÃO DEF. do Material.

RELAÇÃO TENSÃO-DEFORMAÇÃO CÍCLICA

( )

1n

H'

Plast,

Def.

E

,

Elast.

Def.

Total

Def.



=

=

+

=

=

















p e p e t

( )

n p

'





=

H

H' – Coef. de Resist. cíclica

n' - Expoente de encruamento cíclico.

n 1

H'

E

que

maneira

De















+

=







_t

1.0 H' n' Log T ens ão cíc lica, (log  )

Log Def. Ciclica, (log_p)

( )

( )

p n p

ou













log

n

H'

log

log

H'

H'

n 1 p



+

=

=

=



CURVA DE HISTERESE ESTABILIZADA

O processo tende à saturação (geralmente dentro de 10 a 20% da vida em fadiga) quando os laços de histerese tornam-se

coincidentes, ou a variação do comportamento

tensão-deformação diminui com o aumento do número de ciclos:

comportamento tensão-deformação cíclico estável. Hipótese de Masing:

-Para materiais exibindo comportamento simétrico em tração e compressão.

-Curva de histerese pode ser ESTIMADA a partir da curva Tensão - Def. cíclica estabilizada.

Segundo a hipótese de Masing: Dada uma curva tensão – def. cíclica,

obter o ponto B sobre a curva dobrando o valor correspondente ao ponto A na curva tensão - deformação cíclica, estabilizada e deslocar para a esquerda.





Curva tensão - def. cíclica estabilizada 0.002 270 A (a)   540 0.004 0 Curva de histerese estabilizada B (b)   =0.004  = 540 0 Laço de histerese estabilizada B (c)

EQUAÇÕES PARA O LAÇO DE HISTERESE

Seguindo a hipótese de Masing:

n 1

H'

E

Relembre















+

=

=









_t  = 2  = 2   = /2_{ = /2} Equação da Histerese n 1 n 1 2H' 2 E 2H' 2E 2 que maneira De          +  =         +  =       

Curvas Deformação-Vida

Conforme já visto, usando a amplitude de tensão verdadeira

(/2), os dados Tensão-vida (S-N) podem ser plotados linearmente na escala log-log,

(

2N

)

2

b f f



=





_

ciclo) 2 1 reverso um ( falhar para reversos 2N_f = = f f

resist.

verdadeir

a

a

fadiga,

















=

=



fadiga

a

resist.

de

expoente

b

fadiga

a

resist.

de

coef.

f



_{Propriedade de fadiga} do material

Manson & Coffin encontraram que os dados def.-vida (_p-N) podem ser, também, linearizados na coord. log-log.

(Coffin-Manson)

( )

2N

_f

2

c f p

=









plástica

def.

de

amplitude

2

p

=













=

=



fadiga

em

e

dutillidad

de

expoente

c

fadiga.

em

dutilidade

de

coef.

f



_{Propriedade de} Fadiga do material



_f







_f ciclo) 2 1 reverso um ( falhar para reversos 2N_f = = Curvas Deformação-Vida

Como podemos relacionar a vida à Ampl. De Def. Total /2? (2.39) 2E 2 2 2 2 Relembre, e p e











 =   +  =  Relação Def-vida

(

)

(

2N

)

(

2N

)

(2.41) E 2 (2.40) 2N E 2 2.39 & 2.37 De c f f b f f b f f e  +  =   =       elástica plástica Curvas Deformação-Vida

As equações apresentadas são lineares no plano log-log

(

)

b f f e _2N E 2 '  =   2N_f 100 E f'  b 2 e   f

(

f

)

c p N 2 2 =  '   2N_f 100 ' f  c 2 p  

Relação Tensão – Vida Total

2 e   2 p   ₂ _e/2 _p/2 /2 2N_f

(

)

b f f e _2N E 2 '  =  

(

)

c f f p N 2 2 =  '  

(

)

(

)

c f f b f f _{2N 2N} E 2 ' '  +  =  

Vida de Transição Plástica _e/2 _p/2 /2 2N_f Dominante Elástica Dominante plástica Total Elástica 2N_t 

2

2

:

2N

2N

Em

_f

=

_t





e

=





p



_f

'

E

( )

2N

t b

=



_f

' 2N

( )

_t c

 2N

_t

=



f

' E



_f

'













1 b−c

Def. Total Def. Elástica Def. Plástica 600 100 106 100 2N t Aços BHN Duro→ 2N_t é pequena – mais de 2N_f é elástica

Mole → 2N_t é grande – mais de 2N_f é plástica 2N_t

_e/2 _p/2 /2

Resistência e Dutilidade

Normalizado (material dútil)

Temperado (material duro) Dútil tem melhor vida em alto 

Duro tem melhor vida em baixo  2N_f , log  /2, log 100 ₁₀8 100 10-4

Na ausência de “dados cíclicos”, os parâmetros de fadiga podem ser obtidos por estimativas grosseiras a partir das “propriedades

monotônicas”

_f´  _f _f  S_u + 50 ksi para aços com BHN < 500 Su+345 [MPa]

b varia com – 0,05 a – 0,12 com uma média de – 0,085 ( a mesma que nós temos no modelo tensão-vida)

_f´  _f

RA

-1

1

ln

onde



_f

=

c varia entre – 0.5 to – 0.7

Para metais mutio dútil c  - 0.6 Para metais muito resist. c  - 0.5

Exemplo

A partir dos dados monotônicos e ciclicos de tensão-Def.Determine as constantes cíclicas de tensão-def & def. – vida)

Dados monotônicos: S_y=158 ksi E = 28.4103 ksi S_u=168 ksi _f = 228 ksi

50 68 122 256 350 488 1,364 1,386 3,540 3,590 9,100 35,200 140,000 162.5 162 155 143.5 143.5 136.5 130.5 126.5 121 119 114 106 84.5 0.0393 0.0393 0.02925 0.01975 0.0196 0.01375 0.00980 0.00980 0.00655 0.00630 0.00460 0.00360 0.00295 Reversos para Falhar, 2N_f Ampl. De tensão /2 (ksi) Ampl. de Def. Total, /2

Ampl. Def. Plástica, _p/2* 0.0336 0.0336 0.0238 0.0147 0.0145 0.00894 0.00521 0.00534 0.00229 0.00211 0.00059 0.00000 0.00000







p

2

=





2

−





_e

2

=





2

−





2E

 2 = f' 2N

(

f

)

b 



_p 2 =



f' 2N

( )

f c _f' = 222 ksi b = - 0.076 _f' = 0.811 c = - 0.732 c log 2N_f log  p /2 b log 2N_f log  /2

Para determinar H´ e n´ (Dois métodos)

( )

n' p p H' 2 plástica, def. ampl. a e 2 entre, potência de curva uma ajuste (A)      =    H´ = 216 ksi n´=0,094 y = 0,0939x + 2,6081 2,32 2,34 2,36 2,38 2,4 2,42 2,44 2,46 2,48 2,5 2,52 2,54 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 Série1 Linear (Série1) n 1 H' 2 1 2E 2         +  =   

( )

(

0,811

)

227

ksi

222

H'

0,104

0,732

-0,076

-b/c

n'

'

'

H'

Relembre

(B)

0,104 n' f f

=

=

=

=

=

=





0,0001 0,001 0,01 0,1 1 1 100 10000 1000000 Def. Elástica Def. Plástica Def. Total Potência (Def. Plástica) Potência (Def. Elástica)

Reversos para falhar, 2N_f

Ampl. de De f. ,  /2

EXEMPLO

Em um local de interesse em um componente aeronáutico feito de uma liga de Ti-6Al-4V da Tabela abaixo; o material é repetidamente carregado uniaxialmente com uma história de carregamento da figura abaixo. Estime o número de repetições necessárias para causar a falha do componente.

Constantes para a curva S-N para materiais estruturais

-CPS ensaiados com tensão média igual a zero e sem entalhe e carregamento axial(Ref: Dowling)

S = 'f (2Nf)b = A(Nf)b a=C+D logNf Materiais Sy Su 'f A b C D Aços AISI 1015 (N) Man-Ten (HR) RQC-100 (R Q&T) AISI 4142 (Q&T, 450 HB) AISI 4340 (qualidade aeronáutica) 227 322 683 1584 1103 415 557 758 1757 1172 976 1089 938 1937 1758 886 1006 897 1837 1643 -0.14 -0.115 -0.0648 -0.0762 -0.0977 545 703 780 1529 1247 -69.6 -83.0 -68.9 -148 -137 Liga de Al 2024-T4 303 476 900 839 -0.102 624 -69.9 Liga de Ti Ti-6Al-4V (Solubilizada e envelhecida) 1185 1233 2030 1889 -0.104 1393 -157

(N) Normalizada, (HR) laminado a quente. Sy, Su , 'f, A,C e D estão em MPa. Os dados são para fadiga de alto ciclo 103 < N < 106

• A contagem de ciclos inicia no primeiro ponto no nível A e termina quando a história retorna a este ponto, em A’. Considerando os eventos:

• A1-B1-A2 um ciclo é contado neste nível. • A2-B2-A3

• A3-B3-A4

• O próximo evento A4-C1-D1 será considerado mas não contado.

• C1-D1-C2 outro ciclo de outro nível e assim por diante até 100 ciclos serem formados.

• Neste ponto todos os ciclos foram considerados menos os ciclos A4, E e A’. Estes foram o maior ciclo que pode ser formado.

Ciclo j N_j _min MPa _max MPa _a MPa N_fj N_j/N_fj A-B C-D A-E 1 2 3 3 100 1 130 -140 -250 950 560 950 410 350 600 4,21X104 1,14X106 6,75X103 7,12X10-5 8,74X10-5 1,481X10-4 S=3,068 x10-4

As constantes ’_f e b para a liga de Ti-4Al-4V e a equação de SWT

b f a f b f f a

N

N

/ 1 max max max 2 1 ) 0 .( ... ) 2 (         =  =



















A estimativa do número de repetições pode ser obtida para :

repetições 3259 3,068x 1 1 N n D

10

B

f -4 i i = = = =

_B



f

Uma história de carregamento é apresentada a seguir, sendo o carregamento uniaxial aplicado em um CP não entalhado fabricado de um aço AISI 4340. Estime o número de repetições necessárias para falhar o CP.

j Nj _min _max _a _m Nfj Nj/Nfj 1 2 1 10 0 220 800 800 400 290 400 510 1,36 x 105 1,54 x 106 7,37 x 10-6 6,51 x 10-6 b m f a f m a N / 1 min max min max 2 1 2 ... ... 2         − = + = − =  _         repetições x N B N N B f j _fj j f B .. 000 . 72 388 , 1 / 1 1 ₁₀ 5 1 = =  =         ₋ =  ’_f= 1758 MPa e b = -0,0977

Considere a história de carregamento anterior e:

a) Estime a vida usando o método da tensão equivalente com amplitude constante.

b) Se para esta história de tensões é esperada 1000 repetições, qual o fator de segurança em vida e em tensão?

j Nj _min _max _a _m _arj Nj x (_arj)-1/b 1 2 1 10 0 220 800 800 400 290 400 510 517,8 408,5 6,036 x 1027 5,330 x 1027

( )

x MPa b k j B b arj j aq

N

N

[1,137 /11] 435,8 ) 0977 , 0 ( 28 1 / 1

10

= =       = − − − = −



_



( )

000 . 72 11 300 . 792 300 . 792 1758 8 , 435 2 1 2 1 2 0977 , 0 / 1 / 1 = = = =       =         =  =    −











f f f b f aq f b f f aq N B N N

Substituindo este valor em e calculando Nf:

O fator de segurança pode ser calculado como:

52 , 1 0 , 72 1000 11 300 . 792

72

ˆ

0977 , 0 2 = = = = = = − −

X

X

N

N

X

b N S f N x