Professor Mauricio Lutz

PROGRESSÃO ARITMÉTICA 1 DEFINIÇÃO

Progressão aritmética (P.A.) é uma seqüência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado com um número fixo, chamado razão da progressão.

Exemplo:

(

2,5,8,11,14,...

)

ï ï þ ï ï ý ü + = + = + = + = 3 11 14 3 8 11 3 5 8 3 2 5

Nesta seqüência, 3 é a razão da P.A.

2 CLASSIFICAÇÃO DE UMA P.A.

Uma progressão aritmética pode ser: crescente, decrescente ou constante.

Exemplos:

a) Seja a P.A.

(

3,4,5,6,7

)

determine a razão e classifique-a: 1 1 3 4- = \ = = r r

Como r=1>0 logo a P.A. é crescente.

b) Seja a P.A.

(

10,8,6,...

)

determine a razão e classifique-a: 2 2 10 8- =- \ = -= r r

Como r=-2<0 logo a P.A. é decrescente.

c) Seja a P.A.

(

4,4,4,4,4,4

)

determine a razão e classifique-a: 0 0 4 4- = \ = = r r

Como r=0 logo a P.A. é constante.

3 REPRESENTAÇÃO DE UMA P.A.

A representação matemática de uma progressão aritmética (P.A.) é:

(

a₁,a₂,a₃,...,a_n,a_n+1,...

)

Logo : a2 -a1 =a3 -a2 =...=an+1 -an =r ou an+1 =an +r * N Î " n

Exemplo: Calcular “r” e “a5” na P.A.

(

3,9,15,21,...

)

. 6 3 9 1 = + = + = + r r r a an n 27 6 21 5 5 4 5 = + = + = a a r a a Observação:

razão (r) = termo qualquer – termo anterior

4 FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A.

Neste item demostraremos uma fórmula que permite encontrar qualquer termo de uma progressão aritmética sem precisar escrevê-la completamente.

Seja a P.A.

(

a1,a2,a3,...an-1,an

)

de razão ”r”.

(

2

)

(

1

)

a 4 3 3 2 2 1 0 1 1 1 n 1 1 4 5 1 1 3 4 1 1 2 3 1 2 1 1 -+ = + -+ = + = = = = + = + + = + = + = + + = + = + = + + = + = + = + = - r a n r r a r n a r a r r a r a a r a r r a r a a r a r r a r a a r a a r a a n M M M M

(

1

)

1 + -=a r n an

Onde: a_n é o enésimo termo (termo geral); a é o primeiro termo; 1

r é a razão;

n é o número de termos. Exemplos:

a) Encontrar o termo geral da P.A.

(

4,7,...

)

.

n n r a1 =4; =7-4=3; =

(

)

(

)

1 3 3 3 4 1 3 4 1 1 + = Þ -+ = -+ = Þ -+ = n a n a n a n r a a n n n n

b) Determine o número de termos da P.A.

(

-3,1,5,...,113

)

.

( )

(

)

(

)

30 4 120 4 4 3 113 1 4 3 113 1 4 3 1 3 1 1 = Þ = Þ -+ -= -+ -= Þ -+ = = + = -= n n n n n r a a r n

c) Achar o número de múltiplos de 5 compreendidos entre 21 e 623.

620 ; 25 623 , 620 ,..., 30 , 25 , 21 1 = an = a

Aplicando-se a fórmula do termo geral, vem:

(

)

(

)

120 5 600 5 5 25 620 1 5 25 620 1 1 = Þ = Þ -+ = -+ = Þ -+ = n n n n n r a a_n Exercícios

1. Encontre o termo geral de P.A.

(

2,7,...

)

.

2. Qual é o décimo quinto termo da P.A.

(

4,10,...

)

? 3. Ache o quinto termo da P.A.

(

a+b,3a-2b,...

)

.

4. Ache “a ” numa P.A., sabendo que 1 r= 1₄ e a17 =27.

5. Calcule o número de termos da P.A.

(

5,10,...,785

)

.

6. Quantos são os números naturais menores que 98 e divisíveis por 5.

Gabarito

1. an=5n-3; 2. a15=88; 3. a5=9a-11b; 4. a1=23; 5. n=157; 6. n=19.

5 INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA

Neste item vamos aprender a intercalar números reais entre dois números dados, de tal forma que todos passem a constituir uma P.A.

Exemplos:

a) Interpolar cinco meios aritméticos entre 6 e 30.

(

1

)

30 6 6 24 6 4 30 ; 6 30 ___, ___, ___, ___, ___, , 6 1 1 = \ = Þ + = Þ -+ = = = r r r n r a a a a n n Logo

(

6,10,14,18,22,26,30

)

.

b) Quantos meios aritméticos devemos interpolar entre 100 e 124 para que a razão seja 4?

(

)

(

)

7 4 28 4 4 100 124 1 4 100 124 1 1 = \ = Þ -+ = -+ = Þ -+ = n n n n n r a a_n

Como n=7 é o número total de termos, devemos interpolar 7-2=5 meios.

Exercícios

1. Insira 6 meios aritméticos entre 100 e 184.

2. Quantos termos aritméticos devemos interpolar entre 2 e 66 para que a razão da interpolação seja 8?

Gabarito

1. r=12; 2. n=7.

6 FÓRMULA DA SOMA DOS “n” TERMOS DE UMA P.A. FINITA

a) Propriedade

Consideremos a P.A. finita

(

6,10,14,18,22,26,30,34

)

e nela podemos destacar 6 e 34, que são os extremos.

ï þ ï ý ü 22 18 26 14 30 10 e e e

são termos eqüidistantes dos extremos

Verifica-se facilmente, que: Þ

= +34 40

6 (soma dos extremos)

ï þ ï ý ü = + = + -+ 40 22 18 40 26 14 40 30 10

(soma de dois termos eqüidistantes dos extremos)

Daí a propriedade:

Numa P.A. finita, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos.

Temos: n n n n a a a a a a a a + = + + = + -1 2 3 1 1 2 b) Fórmula

Sejam a P.A. finita

(

a1,a2,a3,...,an-2,an-1,an

)

e “Sn” a soma dos termos

dessa P.A. 1 2 3 2 1 1 2 3 2 1 ... ... a a a a a a S a a a a a a S n n n n n n n n + + + + + + = + + + + + + + = -) ( ) ( ) ( ... ) ( ) ( ) ( 2Sn = a1+an + a2 +an-1 + a3 +an-2 + + an-2 +a3 + an-1+a2 + an +a1

Como a e ₂ a_n-1, a₃ e a_n-2 são eqüidistantes dos extremos, suas somas

são iguais a (a₁ +a_n), logo:

) ( ) ( ) ( ... ) ( ) ( ) ( 2Sn = a1+an + a2 +an-1 + a3 +an-2 + + an-2 +a3 + an-1+a2 + an +a1 n a a S_n ( _n) 2 = ₁ + 2 ) (a₁ a n S n n + = Onde: a é o primeiro termo; 1

an é o enésimo termo;

n é o número de termos;

Sn é a soma dos “n” termos.

Exemplos:

a) Achar a soma dos 30 primeiros termos da P.A.

(

2,5,...

)

. 30 ; 3 ; 2 1 = r= n= a Calculo de an

(

1

)

₃₀ 2 3

(

30 1

)

₃₀ 2 87 89 ₃₀ 89 1 + - Þ = + - Þ = + = \ = =a r n a a a a_n Calculo de Sn 1365 2 30 ). 89 2 ( 2 ) ( 30 30 1 + Þ = + Þ = = a a n S S Sn n

b) resolver a equação 1+7+...+x=280, sabendo-se que os termos do primeiro membro formam uma P.A.

Na P.A., temos: 6 280 x; ; 1 1 = a = S = r= a _{n n}

Vamos calcular “n”, usando a fórmula geral:

(

1

)

1 6

(

1

)

1 6 6 1 + - Þ = + - Þ = + -=a r n x n x n a_n 6 5 5 6n=x+ Þn= x+

Vamos substituir na fórmula da soma:

2 6 5 5 280 2 6 5 ). 1 ( 280 2 ) ( 2 1 x x x x x n a a S n n + + + = Þ + + = Þ + = 0 3355 6 2 + x- = x

Vamos resolver a equação x2 + x6 -3355=0

î í ì -= = ± -= = + = D 61 55 2 116 6 13456 13420 36 2 1 x x x

Como a P.A. é crescente, podemos dizer que x=55 } 55 { = S Exercícios

1. Ache a soma dos 40 primeiros termos da P.A.

(

8,2,...

)

.

2. Os dois primeiros termos de uma seqüência são 2 e ½, calcule a soma dos 20 primeiros termos, supondo que se trata de uma progressão aritmética.

3. Ache a soma dos múltiplos de 3 compreendidos entre 50 e 300.

4. Se x=(1+3+...+49) é a soma dos ímpares de 1 a 49, e se y=(2+4+...+50) é a soma dos pares de 2 a 50, calcule x- y.

Gabarito

Exercícios 1. O 10º termo da P.A. ÷ ø ö ç è æ ,... 2 3 , a a é igual a

a) 11a/2 b) 9a/2 c) 7a/2 d) 13a/2 e) 15a/2

2. Numa P.A., o 2º termo é 5 e o 6º termo é 17. A razão da P.A. é

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3. Sabendo que numa P.A., o 4º termo é 8 e o 10º termo é 50, o valor do 13º termo é

a) 51 b) 31 c) 20 d) 42 e) 71

4. A razão para inserir 7 meios aritméticos entre 3 e 99 é

a) 16 b) 12 c) 8 d) 17 e) nenhuma resposta anterior

5. Numa P.A. temos î í ì = + = + 35 29 7 4 6 3 a a a a o 1º termo da P.A. é a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8

6. A quantidade de múltiplos de 5 existentes entre 8 e 101 é a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21

7. O número de múltiplos de 7 entre 50 e 1206 é

a) 53 b) 87 c) 100 d) 165 e) 157

8. A quantidade de números compreendidos entre 1 e 5000 que são divisíveis por 3 e 7, é

a) 138 b) 238 c) 137 d) 247 e) 157

9. O valor de “a” na P.A.

(

2a,4a+2,8a+6

)

é

10. O termo geral de uma progressão é an = n5 -3. A soma dos 15 primeiros termos é

a) 72 b) 375 c) 555 d) 615 e) 1080

11. Em uma progressão aritmética, a soma dos termos é 70, o primeiro termo é 10 e a razão é 5. O números de termos é

a) 10 b) 8 c) 4 d)12 e)16 12. O 24º termo de P.A. ÷ ø ö ç è æ ,... 2 7 , 2 , 2 1 é: a) 35 b) 45 c) 28 d) 38 e) 25/2

13) Numa P.A. limitada em que o 1º termo é 3 e o último termo é 31, a soma de seus termos é 136. Então, essa P.A. tem:

a) 8 termos b) 10 termos c) 16 termos d) 26 termos e) 52 termos

Gabarito