ATIVIDADE PEDAGÓGICA COMPLEMENTAR – APC13
Atividade elaborada para o período de Distanciamento Social (de 05/10/2020 a 30/10/2020) em virtude do COVID-19 (Corona Vírus)
Lembrete ao aluno – ao receber esta atividade, entre em contato com o seu líder de turma para
confirmação do recebimento.
Disciplina: Matemática
Professor(a): Emerson de Lima Garcia Turmas: 3M
Competências e habilidades: Compreender o conjunto dos números complexos; Saber calcular as
operações básicas, soma, subtração multiplicação e divisão de números complexos; Aplicar a fórmula de Moivre para calcular potencias de números complexos.
Conteúdo: Números complexos
Metodologia: Os alunos poderão ler a teoria descrita nesta APC e também poderão assistir as vídeo
aulas que estarão disponíveis no google classroom para que possam estar resolvendo os exercícios que foram propostos nesta APC.
E-mail do professor ou Classroom: emersonlimagarcia@gmail.com
Horário de atendimento a dúvidas: Quarta e Quinta das 19:00 as 21:00 hrs Valor da atividade: 5,0
Período para realização: 05/10/2020 a 09/10/2020;
de 19/10/2020 a 23/10/2020; e de 26/10/2020 a 30/10/2020.
Prazo de entrega: 30/10/2020.
Conjunto dos n´
umeros complexos (C)
O conjunto C ´e um conjunto cujos os elementos - os n´umeros complexos - devem ser tais que possam ser somados e multiplicados, e tamb´em possibilitem a extra¸c˜ao da raiz quadrada de um n´umero negativo. Logicamente, os numero reais R precisam ser elementos desse conjunto C, e as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao realizadas com os n´umeros reais no conjunto C devem ser as mesmas ja conhecidas.
Forma alg´
ebrica
Todo n´umero complexo Z pode ser escrito de maneira ´unica na forma: Z = a + bi (a ∈ R, b ∈ R e i2 = −1)
Essa ´e a forma alg´ebrica ou forma binomial de escrever um n´umero complexo. Ob-servemos que um n´umero complexo escrito nessa forma tem duas partes:
i ´e a unidade imaginaria, tal que i2 = −1.
A existˆencia do i ´e o que permite que no conjunto C exista raiz de ´ındice par de n´umeros negativos, n˜ao definida no conjunto R.
Exemplo: Se x ∈ C e x2 = −25, ent˜ao x = ±5i, pois:
−25 = (−1) · 25 = (i2) · 25 = i2 · 52 = (5i)2
Se o n´umero complexo possui a unidade imagin´aria (ou seja, se b 6= 0), ele ´e tamb´em chamado imagin´ario. Devemos observar tamb´em que, se b = 0, temos z = a (n´umero real); e se a = 0 e b 6= 0, temos z = bi, que ´e um n´umero imagin´ario puro.
Exemplo:
a) Em z = 2 + 3i, temos Re(z) = 2 e Im(z) = 3.
c) Em z = −2i, temos Re(z) = 0 e Im(z) = −2. Portanto z ´e um n´umero imagin´ario puro.
Usando a forma alg´ebrica, as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao, subtra¸c˜ao e multiplica¸c˜ao s˜ao in-tuitivas. Na multiplica¸c˜ao, por exemplo, basta aplicar a mesma propriedade distributiva usada na multiplica¸c˜ao de binˆomios por´em observando que i2 ´e um n´umero real e vale −1. N˜ao h´a necessidade de decorar f´ormulas.
Exemplo:
a) (2 + 3i) + (−3 + 4i) = (2 − 3) + (3 + 4)i = −1 + 7i
b) (1 + 2i) · (2 − 3i) = 1 · 2 + 1 · (−3i) + 2i · 2 + 2i · (−3i) = 2 − 3i + 4i − 6i2 = 2 + i − 6 · (−1) = 2 + i + 6 = 8 + i
Conjugado de um n´
umero complexo
A propriedade do inverso multiplicativo pode ser escrita da seguinte maneira: se z 6= 0, existe um ´unico n´umero complexo
1
z tal que z · 1 z = 1. Como podemos determinar o n´umero 1
z na forma alg´ebrica?
Para isso, precisamos definir o que vem a ser o conjugado de um n´umero complexo. O conjugado de um n´umero complexo z = a + bi ´e o n´umero complexo ¯z = a − bi
Exemplo:
a) Se z = 2 + 3i, ent˜ao ¯z = 2 − 3i. b) Se z = −3 − 4i, ent˜ao ¯z = −3 + 4i. c) Se z = 2, ent˜ao ¯z = 2.
d) Se z = 5i, ent˜ao ¯z = −5i.
Divis˜
ao de n´
umeros complexos
O quociente z1 z2
entre dois n´umeros complexos, com z2 6= 0, ´e dado por: z1
z2
= z1· ¯z2 z2· ¯z2
Representa¸
c˜
ao geom´
etrica dos n´
umeros complexos
Conforme foi dito anteriormente, os n´umeros complexos podem ser representados de varias formas. At´e agora vimos a forma alg´ebrica a + bi. Outra maneira de representa um complexo z ´e por meio de um par ordenado de n´umeros reais. Assim, se z = a + bi, podemos escrever que z = (a, b). (Gauss s´o usava essa nota¸c˜ao).
Tamb´em sabemos que a cada par de n´umeros reais (a, b) est´a associado um ´unico ponto do plano. Logo, podemos associar a cada n´umero complexo z = a + bi o ponto P do plano de coordenadas a e b, isto ´e P (a, b).
O plano cartesiano no qual est˜ao representados os n´umeros complexos ´e denominado plano complexo ou plano de Argand-Gauss. Dizemos que o ponto P (a, b) ´e o afixo do n´umero complexo a + bi.
Exemplo: Observe a representa¸c˜ao geom´etrica dos seguintes n´umeros complexos: z1 = 3 − 2i, z2 = 5, z3 = −2i, z4 = 2 + i e z5 = −2 + i. • z1 = 3 − 2i ⇒ (3, −2) • z2 = 5 ⇒ (5, 0) • z3 = −2i ⇒ (0, 5) • z4 = 2 + i ⇒ (2, 1) • z5 = −2 + i ⇒ (−2, 1) Observa¸c˜ao:
1. Os n´umeros complexos reais pertencem ao eixo x, mantendo a correspondˆencia segundo a qual para cada n´umero real existe um ponto da reta.
2. Os n´umeros imagin´arios puros pertencem ao eixo y.
3. Os demais n´umeros complexos (a + bi, com a 6= 0 e b 6= 0) pertencem aos v´arios quadrantes, de acordo com os sinais de a e b.
4. Para cada n´umero complexo existe um ´unico ponto do plano e vice-versa.
Interpreta¸
c˜
ao geom´
etrica do conjugado
Geometricamente, o conjugado ¯z de z ´e representado pelo sim´etrico de z em rela¸c˜ao ao eixo x.
m´
odulo de um n´
umero complexo
Geometricamente, o modulo de um n´umero complexo ´e a distancia da origem do sistema de coordenadas O ao afixo de z.
Aplicando o teorema de Pit´agoras no triangulo OAP , temos: |z|2 = a2+ b2 ⇒ |z| =√a2+ b2
Observemos que essa igualdade vale tamb´em para os pontos situados nos eixos e nos demais quadrantes. Ent˜ao podemos dizer que, dado um n´umero complexo z + a + bi, chama-se m´odulo de z e indica-se por |z| o n´umero real positivo ou nulo dado por:
|z| =√a2 + b2
Observa¸c˜ao: Uma conex˜ao interessante com a geometria anal´ıtica ´e que, pensando nos complexos z e w como pontos no plano, o m´odulo da diferen¸ca ´e a distancia entre os dois pontos |z − w| = d(z, w).
Forma trigonom´
etrica dos n´
umeros complexos
Sabemos que um n´umero complexo z = a + bi ´e representado por um ponto do plano, de coordenadas (a, b). Essas s˜ao as coordenadas cartesianas do ponto z. Veremos agora que esse mesmo ponto pode ser representado por suas coordenadas polares, que s˜ao:
1. O m´odulo do vetor −Oz, indicado por |z| ou ρ, representando a distancia do ponto→ P `a origem do plano (supondo |z| 6= 0).
2. O angulo θ em que 0 ≤ θ < 2π, que o vetor −Oz forma com o eixo x. Esse angulo θ→ ´
z = a + bi, z 6= 0 |z| = ρ = √a2+ b2
arg(z) = θ J´a vimos em trigonometria que:
cos θ = a |z| sin θ = b
|z| (com 0 ≤ θ < 2π)
Essas igualdades levam a:
cos θ = a
|z| ⇒ a = |z| · cos θ sin θ = b
|z| ⇒ b = |z| · sin θ Substituindo esses valores em z = a + bi, temos:
z = a + bi = |z| · cos θ + |z| · sin θi = |z|(cos θ + i · sin θ) Portanto:
|z|(cos θ + i · sin θ)
Multiplica¸
c˜
ao e divis˜
ao de n´
umeros complexos na forma
trigo-nom´
etrica
Consideremos os n´umeros complexos z1 e z2, dados na forma trigonom´etrica: z1 = |z1|(cos θ1+ i · sin θ1)
z2 = |z2|(cos θ2+ i · sin θ2) O produto de z1· z2 ´e dado pela f´ormula:
z1z2 = |z1||z2|[cos(θ1+ θ2) + i · sin(θ1+ θ2)]
Assim, o produto de dois n´umeros complexos escritos na forma trigonom´etrica ´e o n´umero complexo cujo m´odulo ´e igual ao produto dos m´odulos dos fatores e cujo argumento ´e igual `a soma dos argumentos dos fatores, reduzida `a primeira volta (0 ≤ arg(z1z2) < 2π).
Observa¸c˜ao: A f´ormula da multiplica¸c˜ao de dois n´umeros complexos, segundo a qual basta multiplicar os m´odulos e somar seus argumentos, ´e valida para um n´umero qualquer finito de valores. Isso nos leva a potencia¸c˜ao de n´umeros complexos.
Dados os n´umeros complexos z1 e z2 na forma trigonom´etrica: z1 = |z1|(cos θ1+ i · sin θ1)
z2 = |z2|(cos θ2+ i · sin θ2) podemos obter o quociente z1
z2 , para z2 6= 0, assim: z1 z2 = |z1| |z2| [cos(θ1− θ2) + i · sin(θ1− θ2)]
Assim o quociente de dois n´umeros complexos na forma trigonom´etrica, com o segundo n´umero diferente de 0, ´e o n´umero complexo cujo m´odulo ´e o quociente dos m´odulos e cujo argumento ´e a diferen¸ca dos argumentos dos dois n´umeros na ordem dada, reduzida ` a primeira volta 0 ≤ arg z1 z2 < 2π .
Potencia¸
c˜
ao de n´
umeros complexos na forma trigonom´
etrica - a
primeira f´
ormula de De Moivre*
A potencia zn, n ∈ N∗, ´e dada por zn= z · z · ... · z.
Assim, se um n´umero complexo z est´a escrito na forma trigonom´etrica z = |z|(cos θ + i · sin θ), temos:
⇒ zn = |z|n[cos(nθ) + i · sin(nθ)] Est´a ´e a f´ormula de De Moivre.
Para n = 0, temos:
z0 = |z|0[cos(0 · θ) + i · sin(0 · θ)] = 1(cos 0 + i · sin 0) = 1(1 + 0) = 1.
Assim, podemos dizer que a potencia de ordem n de um n´umero complexo escrito na forma trigonom´etrica ´e o n´umero complexo cujo m´odulo ´e igual ao m´odulo do n´umero elevado a n e cujo argumento ´e igual ao argumento do n´umero multiplicado por n, reduzido `
a primeira volta (0 ≤ arg(zn) < 2π).
Radicia¸
c˜
ao - ra´ızes en´
esimas de n´
umeros complexos
Defin¸c˜ao: Ra´ızes en´esimas de z ´e um n´umero complexo ω tal que ωn= z Exemplo:
a) 2, −2, 2i e −2i s˜ao ra´ızes quartas do n´umero complexo 16. 2, pois 24 = 16
−2, pois (−2)4 = 16
2i, pois (2i)4 = (24· i4) = (16 · 1) = 16
−2i, pois (−2i)4 = [(−2)4· i4] = (16 · 1) = 16
b) i e −i s˜ao ra´ızes quadradas do n´umero complexo −1. i, pois i2 = −1
Exerc´ıcios
1. Dados os n´umeros complexos z1 = 1 + 2i, z2 = −1 + 3i e z3 = 2 − 2i, calculem: a) z1+ z2 b) z1− z2 c) z1z2 d) (z1+ z2)z3 2. Efetuem: a) i9 b) i60 b) i99 d) 1035 3. Determine ¯z para: a) z = 1 + 5i b) z = 2i c) z = 3 + 3i d) z = √2 − 2i
4. Encontre z tal que ¯z + 2zi − 1 = 2. 5. Efetuem as divis˜oes indicadas
a) 2 + 3i 1 + 2i b) 1 3 + 2i c) 1 + 3i 1 − i d) 1 − i 1 + i
6. Escreva os n´umeros complexos correspondentes aos pontos A, B, C, D, E e F do plano:
7. Determine o m´odulo de cada um dos seguintes n´umeros complexos: a) z = 1 + i b) z = 3 − 2i c) z = −7 d) z = √3 −√2i e) z = 3 + 4i
8. Passe os n´umeros complexos, que est˜ao na forma alg´ebrica, para a forma trigo-nom´etrica e os n´umeros complexos na forma trigonom´etrica passe para a forma alg´ebrica. a) 6i b) 2 + 2i c) 2cosπ 6 + i · sin π 6 d) 4(cos π + i · sin π)
9. Usando a f´ormula de De Moivre, calculem as potˆencias: a) (1 − i)3
a) (1 +√3i)4
10. Determine as ra´ızes quadradas dos seguintes n´umeros complexos e deem sua repre-senta¸c˜ao geom´etrica
a) −4 b) 1 − i