ATIVIDADE PEDAGÓGICA COMPLEMENTAR APC13

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ATIVIDADE PEDAGÓGICA COMPLEMENTAR – APC13

Atividade elaborada para o período de Distanciamento Social (de 05/10/2020 a 30/10/2020) em virtude do COVID-19 (Corona Vírus)

Lembrete ao aluno – ao receber esta atividade, entre em contato com o seu líder de turma para

confirmação do recebimento.

Disciplina: Matemática

Professor(a): Emerson de Lima Garcia Turmas: 3M

Competências e habilidades: Compreender o conjunto dos números complexos; Saber calcular as

operações básicas, soma, subtração multiplicação e divisão de números complexos; Aplicar a fórmula de Moivre para calcular potencias de números complexos.

Conteúdo: Números complexos

Metodologia: Os alunos poderão ler a teoria descrita nesta APC e também poderão assistir as vídeo

aulas que estarão disponíveis no google classroom para que possam estar resolvendo os exercícios que foram propostos nesta APC.

E-mail do professor ou Classroom: [email protected]

Horário de atendimento a dúvidas: Quarta e Quinta das 19:00 as 21:00 hrs Valor da atividade: 5,0

Período para realização: 05/10/2020 a 09/10/2020;

de 19/10/2020 a 23/10/2020; e de 26/10/2020 a 30/10/2020.

Prazo de entrega: 30/10/2020.

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Conjunto dos n´

_{umeros complexos (C)}

O conjunto C é um conjunto cujos os elementos - os números complexos - devem ser tais que possam ser somados e multiplicados, e também possibilitem a extra¸cão da raiz quadrada de um n´_{umero negativo. Logicamente, os numero reais R precisam ser elementos} desse conjunto C, e as opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão realizadas com os números reais no conjunto C devem ser as mesmas ja conhecidas.

Forma alg´

ebrica

Todo n´umero complexo Z pode ser escrito de maneira ´unica na forma: Z = a + bi _{(a ∈ R, b ∈ R e i}2 = −1)

Essa é a forma algébrica ou forma binomial de escrever um número complexo. Ob-servemos que um número complexo escrito nessa forma tem duas partes:

i ´e a unidade imaginaria, tal que i2 _{= −1.}

A existˆencia do i ´_{e o que permite que no conjunto C exista raiz de ´ındice par de} n´umeros negativos, n˜_{ao definida no conjunto R.}

Exemplo: Se x ∈ C e x2 = −25, ent˜ao x = ±5i, pois:

−25 = (−1) · 25 = (i2) · 25 = i2 · 52 = (5i)2

Se o número complexo possui a unidade imaginária (ou seja, se b 6= 0), ele é também chamado imaginário. Devemos observar também que, se b = 0, temos z = a (número real); e se a = 0 e b 6= 0, temos z = bi, que é um número imaginário puro.

Exemplo:

a) Em z = 2 + 3i, temos Re(z) = 2 e Im(z) = 3.

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c) Em z = −2i, temos Re(z) = 0 e Im(z) = −2. Portanto z é um número imaginário puro.

Usando a forma algébrica, as opera¸cões de adi¸cão, subtra¸cão e multiplica¸cão são in-tuitivas. Na multiplica¸cão, por exemplo, basta aplicar a mesma propriedade distributiva usada na multiplica¸cão de binômios porém observando que i2 é um número real e vale −1. Não há necessidade de decorar fórmulas.

Exemplo:

a) (2 + 3i) + (−3 + 4i) = (2 − 3) + (3 + 4)i = −1 + 7i

b) (1 + 2i) · (2 − 3i) = 1 · 2 + 1 · (−3i) + 2i · 2 + 2i · (−3i) = 2 − 3i + 4i − 6i2 ₌ 2 + i − 6 · (−1) = 2 + i + 6 = 8 + i

Conjugado de um n´

umero complexo

A propriedade do inverso multiplicativo pode ser escrita da seguinte maneira: se z 6= 0, existe um ´unico n´umero complexo

1

z tal que z · 1 z = 1. Como podemos determinar o n´umero 1

z na forma alg´ebrica?

Para isso, precisamos definir o que vem a ser o conjugado de um número complexo. O conjugado de um número complexo z = a + bi é o número complexo ¯z = a − bi

Exemplo:

a) Se z = 2 + 3i, então ¯z = 2 − 3i. b) Se z = −3 − 4i, então ¯z = −3 + 4i. c) Se z = 2, então ¯z = 2.

d) Se z = 5i, ent˜ao ¯z = −5i.

Divis˜

ao de n´

umeros complexos

O quociente z1 z2

entre dois n´umeros complexos, com z2 6= 0, ´e dado por: z1

z2

= z1· ¯z2 z2· ¯z2

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Representa¸

c˜

ao geom´

etrica dos n´

umeros complexos

Conforme foi dito anteriormente, os números complexos podem ser representados de varias formas. Até agora vimos a forma algébrica a + bi. Outra maneira de representa um complexo z é por meio de um par ordenado de números reais. Assim, se z = a + bi, podemos escrever que z = (a, b). (Gauss só usava essa nota¸cão).

Também sabemos que a cada par de números reais (a, b) está associado um único ponto do plano. Logo, podemos associar a cada número complexo z = a + bi o ponto P do plano de coordenadas a e b, isto é P (a, b).

O plano cartesiano no qual estão representados os números complexos é denominado plano complexo ou plano de Argand-Gauss. Dizemos que o ponto P (a, b) é o afixo do número complexo a + bi.

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Exemplo: Observe a representa¸cão geométrica dos seguintes números complexos: z1 = 3 − 2i, z2 = 5, z3 = −2i, z4 = 2 + i e z5 = −2 + i. • z1 = 3 − 2i ⇒ (3, −2) • z2 = 5 ⇒ (5, 0) • z3 = −2i ⇒ (0, 5) • z4 = 2 + i ⇒ (2, 1) • z5 = −2 + i ⇒ (−2, 1) Observa¸cão:

1. Os números complexos reais pertencem ao eixo x, mantendo a correspondência segundo a qual para cada número real existe um ponto da reta.

2. Os n´umeros imagin´arios puros pertencem ao eixo y.

3. Os demais n´umeros complexos (a + bi, com a 6= 0 e b 6= 0) pertencem aos v´arios quadrantes, de acordo com os sinais de a e b.

4. Para cada n´umero complexo existe um ´unico ponto do plano e vice-versa.

Interpreta¸

c˜

ao geom´

etrica do conjugado

Geometricamente, o conjugado ¯z de z é representado pelo simétrico de z em rela¸cão ao eixo x.

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m´

odulo de um n´

umero complexo

Geometricamente, o modulo de um n´umero complexo ´e a distancia da origem do sistema de coordenadas O ao afixo de z.

Aplicando o teorema de Pit´agoras no triangulo OAP , temos: |z|2 = a2+ b2 ⇒ |z| =√a2_{+ b}2

Observemos que essa igualdade vale também para os pontos situados nos eixos e nos demais quadrantes. Então podemos dizer que, dado um número complexo z + a + bi, chama-se módulo de z e indica-se por |z| o número real positivo ou nulo dado por:

|z| =√a2 _{+ b}2

Observa¸cão: Uma conexão interessante com a geometria anal´ıtica é que, pensando nos complexos z e w como pontos no plano, o módulo da diferen¸ca é a distancia entre os dois pontos |z − w| = d(z, w).

Forma trigonom´

etrica dos n´

umeros complexos

Sabemos que um número complexo z = a + bi é representado por um ponto do plano, de coordenadas (a, b). Essas são as coordenadas cartesianas do ponto z. Veremos agora que esse mesmo ponto pode ser representado por suas coordenadas polares, que são:

1. O m´odulo do vetor −Oz, indicado por |z| ou ρ, representando a distancia do ponto→ P `a origem do plano (supondo |z| 6= 0).

2. O angulo θ em que 0 ≤ θ < 2π, que o vetor −Oz forma com o eixo x. Esse angulo θ→ ´

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z = a + bi, z 6= 0 |z| = ρ = √a2_{+ b}2

arg(z) = θ J´a vimos em trigonometria que:

cos θ = a |z| sin θ = b

|z| (com 0 ≤ θ < 2π)

Essas igualdades levam a:

cos θ = a

|z| ⇒ a = |z| · cos θ sin θ = b

|z| ⇒ b = |z| · sin θ Substituindo esses valores em z = a + bi, temos:

z = a + bi = |z| · cos θ + |z| · sin θi = |z|(cos θ + i · sin θ) Portanto:

|z|(cos θ + i · sin θ)

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Multiplica¸

c˜

ao e divis˜

ao de n´

umeros complexos na forma

trigo-nom´

etrica

Consideremos os n´umeros complexos z1 e z2, dados na forma trigonom´etrica: z1 = |z1|(cos θ1+ i · sin θ1)

z2 = |z2|(cos θ2+ i · sin θ2) O produto de z1· z2 ´e dado pela f´ormula:

z1z2 = |z1||z2|[cos(θ1+ θ2) + i · sin(θ1+ θ2)]

Assim, o produto de dois números complexos escritos na forma trigonométrica é o número complexo cujo módulo é igual ao produto dos módulos dos fatores e cujo argumento é igual à soma dos argumentos dos fatores, reduzida à primeira volta (0 ≤ arg(z1z2) < 2π).

Observa¸cão: A fórmula da multiplica¸cão de dois números complexos, segundo a qual basta multiplicar os módulos e somar seus argumentos, é valida para um número qualquer finito de valores. Isso nos leva a potencia¸cão de números complexos.

Dados os n´umeros complexos z1 e z2 na forma trigonom´etrica: z1 = |z1|(cos θ1+ i · sin θ1)

z2 = |z2|(cos θ2+ i · sin θ2) podemos obter o quociente z1

z2 , para z2 6= 0, assim: z1 z2 = |z1| |z2| [cos(θ1− θ2) + i · sin(θ1− θ2)]

Assim o quociente de dois números complexos na forma trigonométrica, com o segundo número diferente de 0, é o número complexo cujo módulo é o quociente dos módulos e cujo argumento é a diferen¸ca dos argumentos dos dois números na ordem dada, reduzida ` a primeira volta 0 ≤ arg z1 z2 < 2π .

Potencia¸

c˜

ao de n´

umeros complexos na forma trigonom´

etrica - a

primeira f´

ormula de De Moivre*

A potencia zn_{, n ∈ N}∗, ´e dada por zn= z · z · ... · z.

Assim, se um número complexo z está escrito na forma trigonométrica z = |z|(cos θ + i · sin θ), temos:

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⇒ zn = |z|n[cos(nθ) + i · sin(nθ)] Está é a fórmula de De Moivre.

Para n = 0, temos:

z0 = |z|0[cos(0 · θ) + i · sin(0 · θ)] = 1(cos 0 + i · sin 0) = 1(1 + 0) = 1.

Assim, podemos dizer que a potencia de ordem n de um número complexo escrito na forma trigonométrica é o número complexo cujo módulo é igual ao módulo do número elevado a n e cujo argumento é igual ao argumento do número multiplicado por n, reduzido `

a primeira volta (0 ≤ arg(zn_{) < 2π).}

Radicia¸

c˜

ao - ra´ızes en´

esimas de n´

umeros complexos

Defin¸cão: Ra´ızes enésimas de z é um número complexo ω tal que ωn_{= z} Exemplo:

a) 2, −2, 2i e −2i s˜ao ra´ızes quartas do n´umero complexo 16. 2, pois 24 _{= 16}

−2, pois (−2)4 _{= 16}

2i, pois (2i)4 _{= (2}4_{· i}4_{) = (16 · 1) = 16}

−2i, pois (−2i)4 _{= [(−2)}4_{· i}4_{] = (16 · 1) = 16}

b) i e −i s˜ao ra´ızes quadradas do n´umero complexo −1. i, pois i2 _{= −1}

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Exerc´ıcios

1. Dados os n´umeros complexos z1 = 1 + 2i, z2 = −1 + 3i e z3 = 2 − 2i, calculem: a) z1+ z2 b) z1− z2 c) z1z2 d) (z1+ z2)z3 2. Efetuem: a) i9 b) i60 b) i99 d) 1035 3. Determine ¯z para: a) z = 1 + 5i b) z = 2i c) z = 3 + 3i d) z = √2 − 2i

4. Encontre z tal que ¯z + 2zi − 1 = 2. 5. Efetuem as divis˜oes indicadas

a) 2 + 3i 1 + 2i b) 1 3 + 2i c) 1 + 3i 1 − i d) 1 − i 1 + i

6. Escreva os n´umeros complexos correspondentes aos pontos A, B, C, D, E e F do plano:

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7. Determine o m´odulo de cada um dos seguintes n´umeros complexos: a) z = 1 + i b) z = 3 − 2i c) z = −7 d) z = √3 −√2i e) z = 3 + 4i

8. Passe os números complexos, que estão na forma algébrica, para a forma trigo-nométrica e os números complexos na forma trigonométrica passe para a forma algébrica. a) 6i b) 2 + 2i c) 2cosπ 6 + i · sin π 6 d) 4(cos π + i · sin π)

9. Usando a f´ormula de De Moivre, calculem as potˆencias: a) (1 − i)3

a) (1 +√3i)4

10. Determine as ra´ızes quadradas dos seguintes números complexos e deem sua repre-senta¸cão geométrica

a) −4 b) 1 − i