Módulo VII. 25/12/1642, Wolsthorpe, Inglaterra 20/03/1727, Kensington, Inglaterra

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Módulo VII

Neste módulo estudaremos o Binômio de Newton que foi desenvolvido em 1667, por Isaac Newton. O Binômio de Newton trata dos números binomiais em forma de coeficiente de um polinômio do tipo

(

a + b

)

2. Segundo o Teorema, pode-se desenvolver qualquer potência inteira de um binômio dado, tendo diversas aplicações, principalmente na Análise Combinatória.

Mas antes de iniciar nosso estudo, vamos percorrer a história para sabermos um pouco sobre este brilhante cientista físico, matemático e astrônomo inglês Isaac Newton .

25/12/1642, Wolsthorpe, Inglaterra 20/03/1727, Kensington, Inglaterra

Em Princípios Matemáticos da Filosofia Natural, Newton lançou as bases da

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Quando criança, Newton não foi um aluno brilhante, mas gostava de inventar e construir objetos. Graças a um tio, estudou em Cambridge, onde desenvolveu um recurso matemático, o binômio de Newton. Na época de sua formatura, foi obrigado a se refugiar na fazenda da mãe, devido à peste que assolava a Inglaterra. Permaneceu lá por cerca de dois anos (1665-1667).

As reflexões dessa época o levaram a formular importantes teorias. Ao observar uma maçã caindo de uma árvore, Newton começou a pensar que a força que havia puxado a fruta para a terra seria a mesma que impedia a Lua de escapar de sua órbita. Descobriu a lei da gravitação universal. Foi a primeira vez que uma lei física foi aplicada tanto a objetos terrestres quanto a corpos celestes. Ao firmar esse princípio, Newton eliminou a dependência da ação divina e influenciou profundamente o pensamento filosófico do século 18, dando início à ciência moderna.

Quando retornou a Cambridge, redigiu o princípio que trata da atração dos corpos, mas só o retomou em 1682. Nos anos iniciais de sua carreira, desenvolveu o cálculo infinitesimal e descobriu a aceleração circular uniforme (embora não tenha conseguido a comprovação dessa teoria, que exigia conhecer a medida do raio terrestre).

Em 1669 o cientista formulou sua teoria das cores, sobre a refração da luz. Quando um raio de sol atravessa um prisma de vidro, sai do outro lado como um feixe de luzes de diferentes cores, como um arco-íris. Newton fez o feixe colorido passar por um segundo prisma, onde as cores voltaram a se juntar em outro feixe, de luz branca, igual ao inicial.

Com essa descoberta, percebeu que o fenômeno da refração luminosa limitava a eficiência dos telescópios da época. Inventou, então, um

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telescópio refletor, em que a concentração da luz era feita por um espelho parabólico e não por uma lente.

Em 1671, o cientista assumiu o cargo de professor catedrático de Matemática da Universidade de Cambridge e, no ano seguinte foi eleito para a Royal Society. Nos anos posteriores, tratou das propriedades da luz, explicou a produção das cores por lâminas delgadas e formulou a teoria corpuscular da luz.

Newton recebeu, em 1684, a visita do astrônomo Edmond Halley, que queria interrogá-lo sobre o movimento dos planetas, observado pelos astrônomos. Newton retomou, então, suas reflexões sobre a mecânica celeste. O resultado foi sua obra "Princípios Matemáticos da Filosofia Natural", que propõe três princípios básicos: o da inércia, o da dinâmica e o da ação e reação.

Este trabalho obteve grande repercussão internacional. Newton foi eleito para o Parlamento em 1687, e nomeado para a Superintendência da Casa da Moeda em 1696, quando se mudou para Londres. Tornou-se presidente da Royal Society em 1703 e, dois anos depois, sagrado cavaleiro, passou a ser chamado de Sir Isaac Newton.

Fonte: http://educacao.uol.com.br/biografias/ult1789u549.jhtm

Binômio de Newton

Denomina-se Binômio de Newton, a todo o binômio

(

a + b

)

n, sendo n um número natural.

(4)

Exemplo:

(

)

4

4 3

C= x− y → onde a=4x, b= −3y e n=4 (grau do binômio).

Exemplos de desenvolvimento de Binômios de Newton:

a)

(

)

2 2 2 2 a b+ =a + ab b+ b)

(

a b+

)

3 =a3+3a b2 +3ab2+b3 c)

(

)

4 4 3 2 2 3 4 4 6 4 a b+ =a + a b+ a b + ab +b d)

(

)

5 5 4 3 2 2 3 4 5 5 10 10 5 a b+ =a + a b+ a b + a b + ab +b

Então, temos a seguinte fórmula:

0 1 1 ( ) . . . . ,0 ,1 n n n x a C x a C x a n n − + = + + _. 2 2_. _. 3 3_. ,2 ,3 n n C x a C x a n − + n − + 4 4 0 . . _, . . ,4 n n C x a C_{n n} x a n − + + Exemplos: a)

(

x+1

)

7 = Solução: 7 0 7 1 1 7 2 2 7 3 3 7 4 4 7,0 1 7,1 1 7,2 1 7,3 1 7,4 1 C ⋅ ⋅ +x C ⋅x − ⋅ +C ⋅x − ⋅ +C ⋅x − ⋅ +C ⋅x − ⋅ 7 5 5 7 6 6 7 7 7 7,5 1 7,6 1 7,7 1 C x − C x − C x − + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

(5)

(

)

7,0 7! 7! 0! 7 0 ! C = = − 1 7!⋅ =1

(

)

7,1 7! 7! 7 6! 1! 7 1 ! 1!6! C = = = ⋅ − 1 6!⋅ =7

(

)

7,2 7! 7! 7 6 5! 2! 7 2 ! 2!5! C = = = ⋅ ⋅ − 2 1 5!⋅ ⋅ =21

(

)

7,3 7! 7! 7 6 3! 7 3 ! 3!4! C = = = ⋅ − 5 4! ⋅ ⋅ 6 4!⋅ =35

(

)

7,4 7! 7! 7 6 5 4! 4! 7 4 ! 4!3! C = = = ⋅ ⋅ ⋅ − 4!3 2⋅ =35

(

)

7,5 7! 7! 7 6 5! 5! 7 5 ! 5!2! C = = = ⋅ ⋅ − 5!2 1⋅ =21 7,6 7! 7 6! 6!1! C = = ⋅ 6!⋅1=7 7,7 7! C = 7!1!=1 Substituindo: 0 6 5 4 3 2 1 1⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =7 x 1 21 x 1 35 x 1 35 x 1 21 x 1 7 x 1 1 x 1 6 5 4 3 2 1 7x 21x 35x 35x 21x 7x = + + + + + +

(6)

b)

(

2 3

)

6 2 a b + = Solução:

( )

6 5 4 2 3 0 2 3 1 2 3 2 6,0 6,1 6,2 3 2 1 0 2 3 3 2 3 4 2 3 5 2 3 6 6,3 6,4 6,5 6,6 2 2 2 2 2 2 2 C a b C a b C a b C a b C a b C a b C a b ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

(

)

6,0 6! 1 0! 6 0 ! C = = − 6,1 6! 6 5! 1!5! C = = ⋅ 1 5!⋅ =6 6,2 6! 6 5 4! 2!4! C = = ⋅ ⋅ 2 1 4!⋅ ⋅ =15 6,3 6! 6 3!3! C = = ⋅ ⋅ ⋅5 4 3! 3! 6 =20 6,4 6! 6 5 4! 4!2! C = = ⋅ ⋅ 4!2 1⋅ =15 6,5 6! 6 5! 5!1! C = = ⋅ 5!1 =6 6,6 6! 1 6!0 C = =

(7)

(

)

(

)

(

)

( )

12 18 10 5 8 12 6 9 4 6 2 3 6 12 18 10 15 8 12 6 9 4 6 2 3 1 1 6 2 15 4 20 8 15 16 6 32 1 1 2 12 60 160 240 192 64 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = = + + + + + + Fonte: http://www.portuguelandia.com.br/imagens/56.asp

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Fórmula do termo geral de um Binômio de Newton

Um termo genérico 1 T p+ do desenvolvimento de

(

)

n a b+ , sendo p um número natural, é dado por:

T ₁ n an p bp p _p   ₋ = ⋅ ⋅ + _{ } Onde

(

!

)

, ! ! n n Cn p p p n p   = =   −

  é denominado Número Binomial

Cn p⋅ é o número de combinações simples de n elementos de taxa p.

Este número é também conhecido como Número Combinatório.

Exercícios Resolvidos:

1. Determine o 0

7 termo do binômio

(

2x+1

)

9, desenvolvido segundo as potências decrescentes de x.

Solução:

Vamos aplicar a fórmula do termo geral de

(

a b+

)

n, onde a=2x, b=1 e 9

n= . Como queremos o sétimo termo, fazemos p=6 na fórmula do termo geral e efetuamos os cálculos indicados. Temos então:

( ) ( )

9 6 6

₍

₎

( )

3 ₃ 6 1 7 9,6 9! 9 8 7 6! 2 1 . 2 1 8 3 2 1 6! 9 6 ! 6! T₊ = =T C ⋅ x − ⋅ = x ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ x ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅    

(9)

3 3

84 8⋅ x =672x . Portanto o sétimo termo procurado é 672x3.

2. Qual o termo médio do desenvolvimento de

(

2x+3y

)

8? Solução:

Temos a=2x, b=3y e n=8. Sabendo que o desenvolvimento do binômio terá 9 termos, porque n=8. Ora sendo T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7

8

T T9 os termos do desenvolvimento do binômio, o termo do meio (termo médio) será o T5 (quinto termo). Logo, o nosso problema resume-se ao cálculo do T5. Para isto, basta fazer p=4 na fórmula do termo geral e efetuar os cálculos decorrentes.

Teremos:

( ) ( )

8 4 4

₍

₎

_{( ) ( ) (}

4 4

₎

₄ ₄ 4 1 5 8,4 8! 8 7 6 5 4! 2 3 2 3 16 81 4! 4 3 2 1 8 4 ! 4! T₊ = =T C ⋅ x − ⋅ y = ⋅ x ⋅ y = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ x ⋅ y ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅    

Fazendo as contas vem:

4 4 4 4

5 70 16 81 90720

T = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅x y = x y , que é o termo médio procurado.

3. Desenvolvendo o binômio

(

2x−3y

)

3n, obtemos um polinômio de 16 termos.

Qual o valor de n?

Solução:

Ora, se o desenvolvimento do binômio possui 16 termos, então o expoente do binômio é igual a 15.

Logo, 3n=15 de onde conclui-se que n=5.

(10)

a)

(

2x−3y

)

12? Resposta: 1 b)

(

x−y

)

50? Resposta: 0 Solução:

a) basta fazer x=1 e y=1. Logo, a soma S procurada será:

(

) ( )

12 12

2 1 3 1 1 1

S= ⋅ − ⋅ = − = .

b) Analogamente, fazendo x=1 e y=1, vem

( )

50 50

1 1 0 0

S = − = = .

5. Determine o termo independente de x no desenvolvimento de 6 1 x x +       . Solução:

Sabendo que o termo independente de x é aquele que não depende de x, ou seja, aquele que não possui x.

Temos no problema dado: a=x, b 1 x

= e n=6.

Pela fórmula do termo geral, podemos escrever:

1 6 6 6 2 1 6, 6, 6, p p p p p T C x C x x C x p p _x p p   − − − − = ⋅ ⋅  = ⋅ ⋅ = ⋅ + _{ } .

Ora, para que o termo seja independente de x, o expoente desta variável deve ser zero, pois 0

1

x = . Logo, fazendo 6 2− p=0, obtemos p=3. Substituindo então p por 6, teremos o termo procurado. Temos então:

(11)

(

6!

)

6 5 4 3! 0 ₂₀ 3 1 4 6,3 6,3 _{6 3 ! 3!} _{3! 3 2 1} T ₊ =T =C ⋅x =C = = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅     .

Logo, o termo independente de x é o T₄ (quarto termo) que é igual a 20.

Observações:

1) o desenvolvimento do binômio

(

a b+

)

n é um polinômio. 2) o desenvolvimento de

(

a b+

)

n possui n+1 termos.

3) os coeficientes dos termos eqüidistantes dos extremos, no desenvolvimento de

(

a b+

)

n são iguais.

4) a soma dos coeficientes de

(

a b+

)

n é igual a 2n.

Socorro!!!!!!!!!!