TOMCSÁNYI PÉTER • VARGA ANTAL
J
/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / . -F, -F2Panem-Akkord
F I Z I K A
Ennyit kell(ene) tudnodF IZ IK A
Ennyit kell(ene) tudnod
Lektorálta: dr. Honyek Gyula, dr. Fejős Csaba A borítót tervezte: Vaisz György Felelős szerkesztő: Koloszár Olga
Műszaki szerkesztő: Érdi Júlia
Gulyás János, Rácz Mihály, Tomcsányi Péter, Varga Antal, 1994 Ez a könyv az Akkord Kiadó Kft. és a Panem Kft. közö^ kiadásában készült
A kiadásért felel a Panem Kft. ügyvezetője Budapest, 1995
A PANEM-könyvek megrendelhetők a 06-30/488-488 hívószámú W ESTEL 900 GSM mobiltelefonon,
illetve az 1385 Budapest, Pf. 809 levélcímen is. Postacím: Panem Kft.
1385 Budapest, Pf. 809 ISBN 963 545 046 X
TARTALOM
Bevezetés... ... 11
1. Mechanika... ... 13
1.1. A tömegpont kinem atikája ... 13
1.1.1. A mozgások leírása ...13
1.1.2. Az egyenes vonalú egyenletes mozgás ...15
1.1.3. Az egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás . 18 1.1.4. A szabadesés ...20
1.1.5. N em nulla kezdősebességű, egyenes vonalú egyenletesen változó m ozgás ...22
1.2. A tömegpont dinam ikája... ...24
1.2.1. Erőmérő készítése ...25
1.2.2. Newton I. törvénye ...26
1.2.3. Newton II. törvénye ...27
1.2.4. Newton III. törvénye ...29
1.2.5. Nevezetes eróliatások. ...30
1.2.6. Súrlódási jelenségek ...32
1.2.7. Az impulzus ...33
1.3. Összetett mozgások ...34
1.3.1. Az egyenes vonalú egyenletes mozgások összetétele ...34 1.4. Munka és az energia ...43 1.4.1. A munka fogalma ...43 1.4.2. Speciális munkavégzések ...46 1.4.3. A teljesítmény ...49 1.4.4. Az energia ...50 1.4.5. A hatásfok ...53
1.5. A pontrendszerek mozgásának leírása ...53
1.5.2. A pontrendszer impulzusa, az impulzusmegmaradás té te le ... 55 1.5.3. A pontrendszer tömegközéppontja... 58 1.5.4. Ütközések... 60 1.5.5. Munkatétel a pontrendszerre... 63 1.6. A tömegvonzás... 64 1.6.1. Kepler törvényei... 64
1.6.2. A bolygómozgás dinamikai leírása... 66
1.6.3. Az általános tömegvonzás törvénye... 68
1.6.4. A tehetetlen és súlyos tö m e g ... 70
1.6.5. A gravitációs erőtérben mozgó test... 71
1.7. Merev testek egyensúlya... 71
1.7.1. A merev test fogalma... 71
1.7.2. A forgatónyomaték... 72
1.7.3. Merev testre ható erők összegzése... 73
1.7.4. Merev test egyensúlyának feltétele... 77
1.7.5. Egyszerű g é p e k ... 79
1.7.6. Egyensúlyi helyzetek... 84
1.8. A forgómozgás... 86
1.8.1. Rögzített tengely körül forgó merev te s t... 86
1.8.2. A forgómozgás alaptörvénye... 89
1.8.3. A forgási energia... 91
1.8.4. A p erd ü let... 92
1.8.5. A haladó és a forgómozgás analógiája... 93
1.9. Deformálható testek mechanikája... 93
1.9.1. Rugalmas nyújtás és összenyomás... 94
1.9.2. Hajlítás, nyírás, csavarás... 96
1.10. Folyadékok és gázok m echanikája... 99
1.10.1. A nyomás egyenletes terjedése folyadékokban ... 99
1.10.2. A hidrosztatikai nyomás... 101
1.10.3. A felhajtóerő és Arkhimédész törvénye... 102
1.10.4. Folyadékok és gázok áram lása... 105
1.10.5. A közegellenállás... 109
1.11. A rezgőmozgás... 111
1.11.1. A rezgőmozgás kitérés-idő függvénye, kapcsolat a körmozgással... 111
1.11.2. Egyirányú rezgések összetétele... 114
1.11.4. A rezgőmozgás dinamikai leírása ...119 1.11.5. A csillapított rezgés ...124 1.11.6. A kényszerrezgés és a rezonancia... ...125 1.11.7. Csatolt rezgések ...128 1.12. Hullámok... ...128 1.12.1. Mechanikai hullámok ...128 1.12.2. ÁllóhuUámok ...142 1.12.3. A hang ...144 2. Hőtan ...147
2.1. A hőmérséklet fogalma és m érése ...147
2.1.1. Hőmérők, hőmérsékleti skálák, hőtágulás ...148
2.2. Gáztörvények...149
2.2.1. Gay-Lussac első törvénye ...150
2.2.2. Gay-Lussac második törvénye ...151
2.2.3. Boyle-Mariotte törvény ...152
2.3. Általános gáztörvény, ideális gázok állapotegyenlete.. .... 153
2.4. Ideális gázok állapotváltozásai .... 156
2.5. A kinetikus gázelmélet .... 158
2.6. A hőmérséklet molekuláris értelmezése, a gázok belső energiája ... .... 161
2.7. A termodinamika első fő tétele .... 163
2.8. A hő mértéke, a hőmennyiség, a hőkapacitás .... 165
2.9. Halmazállapot-változások, fázisátalakulás .... 168
2.10. A hőfolyamatok iránya, a termodinamika második és harmadik főtétele... 169
3. Elefctromágnességtan ...173
3.1. Az elektromos m ező 173 3.1.1. Alapjelenségek 173 3.1.2. Az elektromos tér és a térerősség... 178
3.1.3. Kapacitás, kondenzátorok .... 184
3.1.4. Az elektromos áram fogalma, az áramerősség — 190 3.1.5. A vezetők ellenállása, Ohm törvénye 192 3.1.6. Feszültségforrás, rövidzárási áram 196 3.1.7. Az elektromos munka és a teljesítmény 198 3.2. A mágneses m ező...: ... 200
3.2.1. A m ágnesség... .... 200
3.2.2. Mágneses törvények és összefüggések... 207
3.2.3. A váltakozó á ra m ... .... 209
3.2.4. A feszültségrezonancia... .... 221
3.2.5. Az áram rezonancia... .... 223
3.2.6. A rezgőkörök vizsgálata... .... 224
3.3. A változó elektromos m ező... 226
3.4. Elektromágneses hullámok...228
3.4.1. Geometriai o p tik a ...230
3.4.2. H ullám optika... ....246
4. Atom- és m agfizika...252
4.1. Atomfizika... ....252
4.1.1. Az atomos felépítésre utaló megfigyelések...252
4.1.2. Az elektron felfedezése... ....254
4.1.3. Az energiakvantum megjelenése... ....260
4.1.4. Az elektromágneses hullám adagossága...262
4.1.5. Az elektron mint hullám...265
4.1.6. A részecske-hullám kettősség... ....265 4.1.7. Atommodellek...267 4.1.8. Kémiai kötések...270 4.2. Magfizika... ....272 4.2.1. Az atommag létezése... ....272 4.2.2. Az atommag felépítése...273 4.3. Energiaviszonyok a m agban... ....277 4.3.1. A tömegdefektus...277 4.3.2. A héjmodell (1934)... ....279 4.3.3. A cseppmodell (1936)... ....280
4.3.4. A fajlagos kötési energia... ....281
4.4. A radioaktivitás... ....282
4.4.1. A radioaktív sugárzás... ....282
4.4.2. A radioaktív sugárzások jellemzői... ... 283
4.4.3. A természetes radioaktivitás... ... 284
4.4.4. Az indukált radioaktivitás... ... 286
4.5. A magenergia felhasználása... ... 287
4.5.1. A hasadásos re a k to r... 287
5. Részecskefizika... .290
5.1. Az elemi részecskék term észete... ...290
5.1.1. Hullám és részecske... ...290
5.1.2. Vizsgálati eljárások... ...291
5.2. A nagy energiák... ...292
5.3. Az első részecskék felfedezése...294
5.3.1. Az elektron és a fo to n ...294 5.3.2. A p ro to n ... ...294 5.3.3. A n eu tro n ... ... ...295 5.3.4. A kozmikus sugárzás... -...295 5.3.5. Antirészecskék...296 5.3.6. M ezonok... ...297 5.4. Részecskegyorsítók... ...298 5.5. A felfedezések sokasága... ...300 5.6. A rendszerezés lehetősége... ...303 6. Relativitáselmélet... ...305 6.1. A klasszikus relativitás... ...306 6.2. A fénysebesség állandóságának e lv e ... ...307 6.3. Az egyidejűség relativitásának e lv e ...308
6.4. A speciális relativitás elmélete... ...311
6.5. A speciális relativitás néhány követelménye...313
6.6. Az energia és a tömeg ekvivalenciája...314
6.7. Az általános relativitáselmélet a la p ja ...315
7. Csillagászat... ...319
7.1. A csillagászat rövid története...319
7.2. A Naprendszer...324
7.3. A Nap, a legközelebbi csillag...330
7.4. A csillagok keletkezése és fejlődése...335
7.5. Galaxisunk és szomszédai...338
BEVEZETÉS
Ebben a könyvben a középiskolában oktatott fizikai ismeret- anyag tömör összefoglalását kívánjuk közreadni. A szigorúan vett törzsanyag mellett kitérünk olyan kiegészítésekre, elméleti megfontolásokra is, amelyek a felsőfokú intézményekbe jelent kező, illetve az átlagosnál jobban érdeklődő diákok igényeit is kielégítik.
Fontosnak tartjuk a középiskolai tananyagból való kitekin tést is, éppen az igényesebb olvasók érdekében. Az ismeret- anyagot ugyanakkor a kísérleti fizika szemszögéből dolgozzuk fel, így olvasmányosabb, szemléletesebb, közérthetőbb a tár gyalás. Az elméleti levezetések főleg magyarázatként, hipoté zisként szerepelnek.
A könyv segítséget kíván nyújtani mind a nappali, mind az es ti, illetve a levelező középiskolai tanulóknak az aktuális órai anyag megtanulásához, a korábban tanult ismeretek felfrissíté séhez, valamint az érettségi és felvételi vizsgára való felkészü léshez, sőt az elsőéves főiskolai és egyetemi hallgatók i§ hasznát vehetik.
A kötet jellege megkövetelte, hogy a kísérleti és gyakorlati előzményeket, a hozzákapcsolódó definíciókat, törvényeket tö mören fogalmazzuk meg.
A kísérleteket E , a definíciókat [5], a törvényeket [t] , a pél
dákat B, a levezetéseket B jelöléssel láttuk el. A definíciók, a tételek és a levezetések mellett függőleges vonal található.
1. MECHANIKA
A mechanika a mozgások jelenségeivel foglalkozik. Két fő ré sze a KINEMATIKA és a DINAMIKA.
A kinematika a mozgások leírásával, a dinamika pedig a moz gások megvalósulásának feltételeivel foglalkozik. A statika, amely az egyensúly feltételeit tárgyalja, a dinamika speciális eseteként fogható fel.
Először a pontszerű, majd a kiterjedt testek mozgását vizsgál juk.
I
® Egy testet pontszerűnek tekintünk, ha a mozgás leírásakor lényeges távolságokhoz képest a test mérete elhanyagolható.[E A Föld pontszerűnek tekinthető, ha a Nap körüli keringé sét vizsgáljuk, saját forgása szempontjából viszont kiterjedt test ként kell kezelnünk.
A pontszerű testet szokás tömegpontnak vagy anyagi pontnak is nevezni.
1.1. A TÖMEGPONT KINEMATIKÁJA
1.1.1. A MOZGÁSOK LEÍRÁSA
A mozgások leírásához vonatkoztatási rendszert használunk, amelyben megadjuk a test helyét az időben.
[H Mozgásról akkor beszélünk, ha a test helye változik az idő ben. Egy test mozgását akkor ismerjük, ha bármely pillanat ban meg tudjuk adni a helyét.
Mozgása során a test a vonatkoztatási rendszer különböző pontjaiban található. Ezek a pontok alkotják a test mozgásának pályáját.
I
[d] a mozgás pályája az a görbe, amelyen a test mozgása során halad.
Legyen a mozgás során a test egy adott pillanatban a pálya
A pontjában, míg Aí idő múlva a pálya B pontjában.
I
I
[U Az A pontból a B pontba mutató vektort a test As elmoz
dulásának nevezzük.
1] A megtett út a pályagörbe egy adott darabjának í hosszú sága (1.1. ábra).
A mozgásokat a pálya alakjától, illetve időbeli lefolyásuktól függően különböző csoportokba soroljuk, pl.: egyenes vonalú, periodikus, egyenletes, harmonikus stb. mozgások.
Az elmozdulás és az út hosszúság dimenziójú fizikai mennyi ségek. Mértékegységük nemzetközi megegyezések alapján a méter (m). A hosszúság mérésére - a nagyságtól függően - kü lönböző mérőeszközeink vannak. A legközismertebb a méter rúd, a mérőszalag, a tolómérő és a csavarmikrométer.
Az idő a természetben szabályosan ismétlődő jelenségek alapján mérhető. Ilyenek például a Föld forgása vagy az inga lengése. Az idő alapegysége a másodperc (s), de használjuk a percet, az órát, a napot és az évet is.
1.1.2. AZ EGYENES VONALÚ EGYENLETES
MOZGÁS
[k] a Mikola-cső vízzel töltött, megdöntött zárt üvegcső (1.2. ábra), amelyben egy légbuborék mozog. Ha megmérjük a bubo rék által megtett utat és a megté teléhez szükséges időt, azt tapasztaljuk, hogy hányadosuk állandó,, tehát egyenesen arányo sak. A Mikola-csőben a légbubo rék egyenes vonalú egyenletes mozgást végez.
’'T 7 7 7 7 7 7 ^ y7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 /
1.2. ábra
dl Egyenes vonalú egyenletes mozgást végez egy test, ha moz gáspályája egyenes, és az általa megtett út egyenesen arányos az út megtételéhez szükséges idővel.
A megtett út és a megtételéhez szükséges idő hányadosa ál landó, amely a buborék mozgására jellemző adat.
I
® A megtett út (s) és a megtételéhez szükséges idő (t) hánya dosa a sebesség, jele v.s
Mértékegységét a hosszúság és idő alapmennyiségeiből szár maztatjuk, ezért dimenziója hosszúság/idő. A gyakorlatban használt néhány sebességmértékegység:
1 m /l 8 = 1 m /s 1 k m /l h = 1 km /h 1 k m /l s = 1 km/s A sebesség mérőszáma megmutatja az egységnyi idő alatt megtett út hosszát. Egyik mértékegységből a másikba a követ kező példa szerint válthatunk át:
72 km /h = 72-1 km /h = 72(1000 m/3600 s) = = 72(1/3.6) m /s = 20 m /s
A mozgások matematikai leírásakor elengedhetetlenül fon tos, hogy ismerjük a test (testek) mozgásállapotát (helyét, se bességét) az időmérés kezdetén, a í = 0 időpontban.
I
® A kezdeti feltételek megadása azt jelenti, hogy megadjuk a test mozgásállapotát a í = 0 időpontban.Ha a kezdeti feltételek szerint a v sebességű egyenes vonalú egyenletes mozgást végző test a í = 0 időpontban az s = íq he lyen van, akkor mozgását áz
S - So + v t
összefüggés íija le. Ennek speciális esete, ha az időmérés kezde tekor a test az origóban van, vagyis sq = 0- Ekkor az előbbi ösz- szefüggés az
s — vt
alakra egyszerűsödik.
A fizikában éppúgy, mint a matematikában, a függvénykap csolatban lévő mennyiségek közötti viszony grafikus ábrázolás
sal tehető szemléletessé. Egyenes vonalú egyenletes mozgás
esetén az út-idő grafikont az 1.3.a ábra mutatja, míg a sebesség
idő diagram az 1.3.b ábrán látható. Az út-idő diagram egyenesé
nek meredeksége a test sebességének felel meg. A sebesség-idő diagramon látható, hogy a görbe és az időtengely által határolt terület a test által megtett út nagyságát adja meg. Érdemes megjegyeznünk, hogy ez a megállapítás bármely mozgás sebes ség-idő .diagramja esetén érvényes.
Az átlag- és a pillanatnyi sebesség
A környezetünkben létrejövő mozgások gyakran nem egyen letesek, a sebességük változó. A nem egyenletes, változó moz gások indokolják az átlag- és a pillanatnyi sebesség bevezetését.
I
m A mozgást végző test t idő alatti átlagsebessége a t idő alatt megtett teljes út és a t idő hányadosa:^ö;
t
Az átlagsebesség az a sebesség, amellyel a testnek mozognia kellene ahhoz, hogy egy adott utat adott idő alatt, egyenletesen mozogva fusson be.
Igen fontos kiemelni, hogy az átlagsebességet általában nem a
sebességek átlaga adja.
Mozgás közben a test sebessége változhat, ezért a fizikában használatos a pillanatnyi sebesség, mint a mozgás egyik jellemző mennyisége (ezt mutatja pl. az autó sebességmérő műszere).
A pillanatnyi sebesség általánosságban a következő módon adható meg, nem csak egyenes vonalú mozgásokra szorít kozva.
A változó mozgást végző test a t időpil lanatban pályájának A pontjában talál ható, míg Aí idővel később a B pontban. 1.4. ábra Ezen idő dlatt elmozdulása As (1.4. ábra). m Az A pontbeli pillanatnyi sebességet a
As
V = -7-A t
hányados adja, ha a Aí tart 0-hoz.
A definícióból következik, hogy a pillanatnyi sebesség vek tormennyiség, amely a pálya érintőjével párhuzamos.
1.1.3.
AZ EGYENES VONALÚ
EGYENLETESEN VÁLTOZÓ MOZGÁS
[k] Vizsgáljuk egy lejtőn legördülő golyó mozgását! Ha nyu
galmi helyzetből indítva, a különböző hosszúságú utakat és a megtételükhöz szükséges időket mérjük, azt tapasztaljuk, hogy a megtett út és a megtételéhez szükséges idő négyzetének há nyadosa állandó, tehát egyenesen arányosak.
^ =,áll, 111. s ~
Azt is megfigyelhetjük, hogy a golyó egyre gyorsabban mo zog. A lejtő hajlásszögét változtatva azt tapasztaljuk, hogy na gyobb hajlásszögnél gyorsabban változik a sebesség, és az s/f' hányados értéke is nagyobb.
Változó mozgásról lévén szó, vizsgáljuk meg a pillanatnyi se bességet az idő függvényében!
E Jelölje A az s / f hányados értékét! így a t és a t+At idő kö zötti elmozdulás nagysága;
As = «2 — si = A (t — At)^ — At^ Ebből
As = A(2í Aí + Aí^) A Aí/Aí nagysága:
As
V = — = A{2t + At)
Mivel Aí tart nullához.
v ^ 2 A t
Láthatjuk, hogy a pillanatnyi sebesség nagysága arányos az eltelt idővel. Ennek alapján könnyen meggyőződhetünk arról, hogy a Av sebességváltozás és a közben eltelt idő is egyenesen arányosak:
A v ~ A t
m Egyenes vonalú egyenletesen változó mozgásról beszélünk, ha a mozgás pályája egyenes és a sebességváltozás nagysága egyenesen arányos a közben eltelt idővel.
Láttuk, hogy az egyenes vonalú egyenletesen változó moz gást végző test pillanatnyi sebessége változik az időben. A se bességváltozás gyorsaságának mértékéül vezetjük be a gyorsu lást.
[H Az
Av Aí hányados a gyorsulás.
A definícióból következik, hogy a gyorsulás vektormennyi
ség. Mértékegysége a sebesség és az idő mértékegységéből szár maztatható: m/s^.
Alkalmazva a definíciót, a pillanatnyi sebességre kapott 2A állandó
A v 2A(t + At) - 2 A t „ , a = — = — ^ --- = 2A
A t At
a test gyorsulásával egyenlő.
A kapott eredményeket fölhasználva a megtett útra, a sebes ségre és a gyorsulásra, a következő összefüggésekhez jutunk:
CL n
s = - t ] V = at] a = konstans
Megjegyzendő, hogy ezek az összefüggések csak akkor iga zak, ha a kezdeti feltételek a í 0 időpontban: í = 0 és v = 0. A nem nulla kezdősebességű esettel később foglalkozunk. Az út-idő, sebesség-idő és gyorsulás-idő grafikonok az 1.5. ábrán láthatók.
1.5. ábra
A gyorsulás-idő grafikon görbéje és a t tengely által bezárt te rület a t idő alatt elért sebesség, míg a sebesség-idő grafikon gör béje és a t tengely által bezárt terület a t idő alatt megtett út számértékét adja (1.6. ábra).-A sebesség-idő grafikon egyenesé nek meredeksége a gyorsulás értékével egyezik meg.
1.6. ábra
1.1.4. A SZABADESÉS
I Hl A nyugalmi állapotban elengedett testek tömegvonzás okozta mozgása a szabadesés.
A szabadesés az egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás
I
H] Ha nem lenne légellenállás, a különböző testek a Föld egy adott pontján azonos gyorsulással esnének a Föld felé.Ma már tudjuk, hogy ez nemcsak a Földön, hanem minden égitesten igaz. A Földön szabadon eső test gyorsulását nehézsé
gi gyorsulásnak nevezzük, jele: g. Értéke függ a földrajzi helytől
és a tengerszint feletti magasságtól. Például Budapesten
g = 9.808 m/s^. Feladatok megoldása során gyakran 10 m/s^-re kerekítjük, bár helyesebb lenne a g = 9.8 m/s^.
Galilei foglalkozott először helyesen a szabadon eső testek
mozgásával, és megállapította, hogy a szabadon eső testek által az egymást követő azonos időtartamok alatt befutott utak úgy aránylanak egymáshoz, mint az egymást követő páratlan szá mok. Ez kísérletileg könnyen igazolható egy ejtőzsínór se gítségével.
1] Az ejtőzsinór egy kb. 2 m hosszú vékony zsineg, amelyre egymástól egyszeres, háromszoros, ötszörös stb. távolságokra apró, nehéz tárgyakat kötöttünk (1.7. ábra). Ha az ejtőzsinórt úgy emeljük föl, hogy az alsó vége érintkezzék a talajjal, majd elengedjük, azt tapasztaljuk, hogy a leeső tárgyak egyenletes ritmusban kopognak, amikor a talajra esnek. Galilei ezen állítása igaz az összes nulla kezdősebességű egyenes vonalú egyenletesen változó mozgást végző testre. A sebesség-idő gra fikonnal kapcsolatban említettek alapján Galilei megállapítása egyszerűen ellenőrizhető (1.8. ábra).
V77777777777. 1.7. ábra v=ot
y \ K
/ /
/
1.8. ábraA nehézségi gyorsulás mérésére különböző niódszereket dol goztak ki, amelyek közül az egyik nagyon szellemes módszert röviden ismertetjük. Mivel szabadesésnél nagyon rövid időtar tamokat kell mérnünk, ezért minden esetben az időmérés okoz problémát. Ebben a kísérletben egy lengő lécet, mint ingát használunk óraként.
Megmérjük az inga lengésidejét, majd az 1.9. ábrának megfelelően összeállítjuk az eszközt. A lengő részre két papírt ragasztunk, közöt tük indigóval. A fonalat elégetve a golyó leesik, a lengő rész pedig ne kicsapódik, így a golyó nyomot hagy az indigós papíron. A golyó ál tal hagyott nyomból tudjuk megha tározni az általa megtett utat, míg
az inga lengésidejének negyede ad- _________________ ja meg az esési időt, amelyekből g VZ77777777777777777Z^V/
értéke számítható. 1-9- ábra
1.1.5.
NEM NULLA KEZDŐSEBESSÉGŰ,
EGYENES VONALÚ EGYENLETESEN VÁLTOZÓ
MOZGÁS
Az egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló mozgás vizsgálatá ra szolgáló kísérletben vegyük fel az út-idő diagramot általános kezdeti feltételek mellett úgy, hogy az órát akkor indítjuk, ami kor a test már sq utat megtett és már vq sebességgel mozog. Az út-idő és sebesség-idő diagram felvétele szempontjából ez azt jelenti, hogy a koordinátarendszer origóját illesztjük máshová
(1.10. ábra).
A mozgás fizikai lényegét tekintve ugyanaz, mint a nulla kez dősebességű, egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló mozgás, csak a megfigyelés kezdetének „eltolódása” miatt a vonatkozta tási rendszerben a görbék is „eltolódnak”.
1.10. ábra
Ennek megfelelő helyzettel a mindennapi gyakorlatban ak kor találkozhatunk, ha a megfigyelés kezdete nem az indulás pillanata, például, ha a gépkocsi előzésbe kezd vagy sportverse nyen ún. repülőrajttal indulnak.
Ilyen esetekben a v -t diagram nem egyenes arányt, hanem li neáris függvénykapcsolatot mutat az 1.10. ábra szerint, ahol az egyenes meredekségének számértéke most is a gyorsulás ér tékével egyezik meg. Az ábráról leolvasható a sebesség időfüg gése.
A megtett utat a sebességgrafikon egyenese és a í tengely ál tal bezárt terület adja (1.11. ábra):
A megtett utat és a sebességet megadó összefüggések tehát a következők:
a 9
s = Voí + - r ; v = Vo + aí
A sebesség és a gyorsulás vektormennyiség. Az egyenes vo nalú mozgásoknál irányukat a megfelelő előjelek alkalmazásá val vesszük figyelembe az elólíbi egyenletekben.
1.2. A TÖMEGPONT DINAMIKÁJA
A fizika által vizsgált kölcsönhatásokban rendszeresen ta pasztaljuk, hogy a testeket valamilyen eróTiatás éri. Két elektro mosan töltött test vonzza vagy taszítja egymást, a mágnesek esetében ugyancsak megfigyelhetünk vonzó- vagy taszítóerőt. Egy összenyomott rugó mozgásba hozhat egy tárgyat vagy egy mozgó tárgy összenyomhat egy rugót. Számtalan példát sorol hatnánk a fizikai jelenségek közül, amikor testek között vala milyen eróTiatás lép föl. Valahányszor egy testet eróTiatás ér, megfigyelhető, hogy a test alakja, mozgásállapota, esetleg mind kettő megváltozik. Az eróTiatás tulajdonképpen a kölcsönhatá sok kísérője, amelynek mértéke az erő.
in Azt a fizikai hatást, amely a külcsönhatásban lévő test mozgásállapotát vagy alakját megváltoztatja, erőhatásnak ne-
vezzük.'Az erő az erőhatás mértéke.
Az erő jele; F
A továbbiakban nem különböztetjük meg az erőt és az erőha tást, hanem csak erőről beszélünk.
Ahhoz hogy az erőknek és a mozgásoknak a kapcsolatát leírhassuk, valamilyen módon mérnünk kell az erőt. Erre kétfé le lehetőség kínálkozik:
a) A z erő hatására bekövetkező mozgásállapot-változásból
definiálhatjuk az erő mértékét.
b) A z erő hatására bekövetkező alakváltozást fölhasználva
adhatunk mérési eljárást.
Mi a második módszer szerint járunk el.
Az erő vektormennyiség, mindkét hatása alapján erre követ keztetünk.
1.2.1. ERŐMÉRŐ KÉSZÍTÉSE
Erőmérő készítéséhez valamilyen rugalmas anyagot haszná lunk, mely az erőhatás megszűnte után visszanyeri eredeti alak ját. Tapasztalatból tudjuk, hogy nagyobb erőhatással nagyobb alakváltozás idézhető elő. Ez a két tulajdonsága teszi alkalmas sá a rugalmas anyagokat az erő mérésére. Könyvünkben a ru gós erőmérő elvét ismertetjük, amelynek skálája lineáris. Ter mészetesen készíthető nem lineáris skálájú erőmérő is.
[k] Felfüggesztünk egy spirálrugót és az al jára azonos méretű azonos anyagból készült testeket akasztunk. A rugó mellé egy skálát helyezünk, hogy mérni tudjuk a megnyúlást (1.12. ábra).
Azt tapasztaljuk, hogy bármelyik testet akasztjuk föl, a rugó minden esetben ugya nannyit nyúlik meg.
Az egy test által kifejtett erőt önkényesen erőegységnek választhatjuk. Ha két, három vagy több testet akasztunk föl, a rugó meg nyúlása mindig annyiszorosa az egy test által előidézett meg nyúlásnak, ahány testet a rugóra akasztottunk. Azt mondhat juk, hogy két test kétszer, három test háromszor, n db test n- szer akkora erővel húzza a rugót. Itt az erőhatások függetlensé gének elvét használjuk ki, amellyel késól^b foglalkozunk részle tesen.
m Ha két különböző erő a rugót azonos mértékben nyújtja meg, a két erő nagysága megegyezik.
I
I
[d] Ha egy erő a rugót n-szer akkor mértékben nyújtja meg, mint az egységnyi erő, akkor az erő nagysága az egység n-szerese. Az előzőek ismeretében már tudunk erőt mérni. Az erő mé résének definíciójából következik, hogy a rugót megnyújtó erő és a rugó megnyúlása egyenesen arányos, azaz hányadosuk ál landó. Ezen állandó jelölésére mind a k, mind a D betű használatos, és rugóállandónak vagy direkciós erőnek nevezik. A ru góállandó megmutatja, hogy egy adott rugó mennjdre kemény, milyen nehéz megnyújtani vagy összenyomni.
E Az
F = kx vagy F = D \
összefüggés a rugó erőtörvénye, ahol x a rugó megnyúlása az F erő hatására.
1.2.2. NEWTON I. TÖRVÉNYE
[k] Végezzük el a következő gondolatkísérletet!Egy, a jégkorongozásban használt korongot lökjünk meg adott sebességgel, először egy park sétaútján, majd sima aszfalt- úton, végül a Balaton tükörsima jegén. Mindenki érzi, hogy a korong leghamarabb a sétaúton fog megállni, míg a Balaton je gén jut a legmesszebb. Folj^atva ezt a gondolatmenetet: ha lét re tudnánk hozni olyan felületet, amelyen nem lenne súrlódás és légellenállással sem kellene számolnunk, akkor a korong nem állna meg, hanem egyenes vonalú egyenletes mozgást vé gezne. Ebből az következik, hogy az erő nem a mozgásállapot fenntartásához, hanem a megváltoztatásához szükséges.
I
[HA testeknek az a tulajdonsága, hogy mozgásállapotuk csak erő hatására változik meg, a testek tehetetlensége.E Newton I. törvénye, a tehetetlenség törvénye:
Minden test megmarad a nyugalom vagy az egyenes vonalú egyenletes mozgás állapotában mindaddig, amíg valamilyen erőhatás ennek elhagyására nem kényszeríti.
Mivel a bennünket körülvevő világban nincs olyan test, amelyre semmilyen erő nem hat, ezért ezt a törvényt kísérleti leg nem lehet igazolni. Ehelyett olyan körülményeket teremthe tünk, hogy a testre ható erólc eredője nagy pontossággal nulla legyen. Tapasztalataink szerint ekkor szintén nem változik a tö megpont mozgásállapota.
I
a tehetetlenség törvénye, [d] A z olyan vonatkoztatási rendszereket, amelyekben teljesül inerciarendszereknek nevezzük.Nem minden vonatkoztatási rendszer inerciarendszer. Például
a hirtelen induló vagy a fékező járművekben az az utas, aki nem kapaszkodik, „magára van hagyva”, nagyon könnyen eleshet, azaz a buszhoz mint vonatkoztatási rendszerhez képes változik a mozgásállapota. Az ilyen rendszereket gyorsuló vonatkoztatá si rendszereknek nevezzük.
Az inerciarendszerek jelentősége az, hogy megadják a New- ton-törvények érvényességi körét. A Newton-törvények csak
inerciarendszerekben érvényesek. Könnyen belátható, ha egy
vonatkoztatási rendszer inerciarendszer, akkor minden más, hozzá képest egyenes vonalú egyenletes mozgást végző vonat koztatási rendszer is inerciarendszer.
1.2.3. NEWTON II. TÖRVÉNYE
[k] Az1.13. ábra szerinti kísérleti összeállításban mérjük a kis kocsira ható erőt és a kiskocsi gyorsulását!
1.13. ábra
A mérési eredmények azt mutatják, hogy állandó erő állandó gyorsulást hoz létre. Változtatva az erő nagyságát, a gyorsulás is változik, mégpedig az erő nagyságával egyenesen arányosan.
H] Newton II. törvénye: a dinamika alaptörvénye:
A tömegpontot a fellépő erő a saját irányába gyorsítja, a lét rejövő gyorsulás egyenesen arányos az erővel.
A testre ható erő és a gyorsulás hányadosát a test tehetetlen
tömegének nevezük, jele: m. A tömeg alapmennyiség, önkénye
sen választott mértékegysége az 1 kg, amely a Párizs melletti Sevre-ben található platina-irídium ötvözetből készült minta henger tömege.
A mindennapi életben megfigyelt mozgások esetén a testek tehetetlen tömege állandó, de a fénysebességhez közeli sebessé gének esetén a tömeg megnövekszik.
Newton II. törvényéből kapjuk az erő fizikában használatos mértékegységét:
Az szorzata
^z erő mértékegysége a tömeg és a gyorsulás egységének rzata, 1 kg • 1 m/s = 1 N (newton)
I m 1 N az az erő, amely az 1 kg tömegű testet 1 m/s^ gyorsu lással mozgatja.
A dinamika alapegyenlete
Az erőmérő készítésénél láttuk, hogy az erő deformáló hatá sánál az egyes erők egymástól függetlenül hatnak.
Hl Elvégezhető a következő kísérlet: gyorsítsunk egy testet különböző erőlckel különböző irányokba (1.14. ábra)!
Először az egyes erők külön-külön, majd egyszerre hassanak a testre. Megmérve az egyes erők által létrehozott gyorsuláso kat, majd azokat vektoriálisan összegezve azt a gyorsulást kap juk, amit akkor mérünk, amikor az erők egyszerre hatnak a
testre. A kísérlet alapján mondhatjuk ki a következő törvénye ket.
I
[T] A testre ható erők egymástól függetlenül fejtik ki hatásu kat.[t]A tömegpontra ható erők eredője egyenlő a test tömegé nek és gyorsulásának szorzatával. A gyorsulás az eredő erő irányába mutat.
SF = ma Ez a tétel a dinamika alapegyenlete.
(A görög szigma: S jel, amit szummának ejtünk, az összegzést jelenti.)
1.2.4. NEWTON III. TÖRVÉNYE
E Tegyünk mindkét végén alátámasztott hajlékony lemezre egy vízzel töltött léggömböt! A lemez lehajlik, a léggömb bela pul (1.15. ábra).
1.15. ábra
Nagyon sok hasonló kísérletet mutathatunk be annak szem léltetésére, hogy a kölcsönhatásban részt vevő mindkét test erő vel hat a másikra.
H] Newton III. törvénye, a hatás-ellenhatás törvénye
Ha az egyik test erőt fejt ki a másikra, a másik is erőt fejt ki az előzőre, tehát az erők mindig párosával lépnek fel. Ezek az erők egyenlő nagyságúak és ellentétes irányúak. Az erő és az ellenerő mindig más-más testre hat.
A törvényből következik, hogy erőhatás létrejöttéhez mindig két test és a közöttük létrejövő kölcsönhatás szükséges. Nem mindig nyilvánvaló azonban a másik test jelenléte, amint ezt kö vetkező példánk is mutatja.
[p] Adjuk meg a talajon nyugvó ládára ható erőket és azok el- lenerejeit!
Az 1.16. ábrán N jelöli a nehézségi erőt, míg F a talaj által a ládára kifejtett nyomóerőt. Az F ellenereje az az erő, amivel a láda nyomja a talajt. Mi az ellen ereje a nehézségi erőnek? Az N erő a Föld vonzásából származik, tehát ellen ereje a Földre hat, ugyanis a test is vonz za a Földet. Az erő-ellenerő párokat, te hát mindig a kölcsönhatás természete alapján találhatjuk meg.
1.16. ábra
1.2.5. NEVEZETES ERŐHATÁSOK
A nehézségi erő
A szabadon eső test gyorsulását a testre ható nehézségi erő hozza létre, amely a test és a Föld között föllépő gravitációs erő következménye. Newton II. törvénye szerint a nehézségi erő
F„e/t = mg
A test tömege állandó, g értéke a földrajzi helytől függően változhat. Budapesten az 1 kg tömegű testre ható nehézségi erő közelítőleg 9,81 N.
A súly és a súlytalanság
Ha egy testet felfüggesztünk vagy egy vízszintes felületre he lyezünk, akkor az egy függőlegesen ható erőt fejt ki a felfüg gesztésre, ill. az alátámasztásra.
dl A test súlya az az erő, amellyel a test a hozzá képest nyu galomban lévő felfüggesztést húzza vagy a vízszintes alátá masztást nyomja.
Jele: G
Egy test súlya nem állandó. Például a liftben álló ember a lift fölfelé indulása kor nehezebb, míg lefelé indulásakor könnyebb. Ha az 1.17. ábrának megfele lően berajzoljuk a rá ható erőket és alkal mazzuk a dinamika alapegyenletét, a súly nagyságára a következő eredményt kap juk: G = m(g H- a) ha fölfelé indul, G = m(g - a) ha lefelé indul. 1.17. ábra
Látható, hogy ha a test szabadon esik, akkor a súlya nulla. Ez az állapot a súlytalanság.
A kényszererő
A kényszererők általános definíciója nagyon bonyolult, meg haladja ennek a könyvnek a kereteit, így csak néhány példát vizsgálunk.
A felfüggesztett testre a felfüggesztés, az alátámasztott testre az alátámasztás fejt ki erőt. Ezek az erők mindig olyan nagysá gúak és irányúak, hogy megakadályozzák a testnek a felfüggesz
téshez, ill. az alátámasztáshoz képesti elmozdulását. Minden ilyen típusú erőt kényszererőnek nevezünk. Kényszererő pél dául a kötélerő, ami mindig kötélirányú, az alátámasztás által kifejtett nyomóerő vagy a tapadási súrlódási erő. A kényszer- eró"knek van egy maximuma, pl. amit egy kötél szakadás nélkül kibír, és a legtöbb esetben nem lehet akármilyen az irányuk sem, mert pl. az alátámasztás nem tudja húzni a testet.
1.2.6. SÚRLÓDÁSI JELENSÉGEK
A csúszási súrlódási erő
A csúszási súrlódási erő két egymással érintkező, egymáshoz képest mozgó felület között lép föl.
Iránya ellentétes a relatív sebességek irányával, nagysága a felületek simaságától és az őket összenyomó erő nagyságától függ. Nem függ az érintkező felületek és a relatív sebességek nagyságától. Jele: Fg. Nagyságát az
ny
összefüggés adja meg, ahol fj. a csúszási súrlódási együttható, a felületek minőségére jellemző állandó. Az összefüggésből látha tó, hogy a |U dimenzió nélküli mennyiség.
A tapadási súrlódási erő
A tapadási súrlódási erő két egymással érintkező, egjmáshoz képest nyugvó felület között lép föl abban az esetben, ha vala milyen erő a felületeket el akaija mozdítani. Iránya párhuza mos a felületekkel és ellentétes a felületeket elmozdítani akaró erő irányával, nagysága pedig azzal egyenlő. A tapadási súrló dási erő kényszererő. A tapadási súrlódási erő maximuma a fe lületek simaságától és a felületeket összenyomó erő nagyságá tól függ. Jele F jo , az
Fso ~ összefüggés alapján számítható.
Ha az elmozdító erő nagysága meghaladja a tapadási erő ma ximumát, a felületek csúszni kezdenek, és ekkor már a csúszási súrlódási erő lép fel. Két feltilet között egys7erre nem léphet fel tapadási és csúszási súrlódási erő.
1.2.7. AZ IMPULZUS
B Egy test sebességét a reá ható erólí t idő alatt változtassák vi-ről V2-re. A gyorsulás definíciója és a dinamika alapegyen lete miatt igazak a következők:
Av V2- V1 . ^
a = = — T---- es * = ma
A t A t
Rendezés után az
FAí = my^—rnyi
egyelethez jutunk. Az egyenlet bal oldalán a testre ható erők eredőjének és az erőhatás idejének a szorzata áll, ami függet len a testtől és a pillanatnyi sebességtől, lévén más testektől származó erőhatás, míg a jobb oldalon az mv szorzat a testhez tartozó mennyiség, amelyre más testek erővel hatottak.
[1 Az F Aí szorzatot erőlökésnek, az mv szorzatot impulzus
nak (lendület) nevezzük.
Az impulzus jele I vagy p. Mértékegysége kgm/s. Előző egyenletünket az impulzussal fölírva az
^ AI F = —
A t
egyenlethez jutunk.
E A tömegpontra ható erőlc eredője és az erőhatás idejének szorzata egyenlő a tömegpont impulzusának megváltozásá val. Az impulzusváltozás iránya megegyezik az eredő erő irá nyával. Rövidebben: a test impulzusváltozása egyenlő az őt érő erőlökéssel. Ez az impulzustétel, ami Newton II. törvé nyének egy másik megfogalmazása. Az impulzus fogalmát ő
vezette be, és törvényét is annak segítségével fogalmazta meg:
„...Az impulzus megváltozása arányos a mozgatóerővel és amaz egyenes irányában megy végbe, amelynek mentén ez az erő hat...”
1.3. ÖSSZETETT MOZGÁSOK
1.18. ábra
1.3.1. AZ EGYENES VONALÚ EGYENLETES
MOZGÁSOK ÖSSZETÉTELE
El Egy csónak halad a folyóban a vízhez képest vi sebesség gel. A folyónak a parthoz képesti sebessége V2. Hogyan riiozog a csónak a parthoz képest?
Az 1.18. ábra mutatja a Aí idő alatt bekövetkező elmozduláso kat, Si a csónaknak a vízhez ké pesti, S2 a víznek a parthoz ké pesti elmozdulása, míg a két elmozdulás s összege a csónak parthoz képesti elmozdulását ad ja:
S = Si + S2 S Si S2
Az egyenletet Aí-vel osztva a sebességeket kapjuk. Eredményünket a következő tételben foglalhatjuk össze: E Ha ismerjük az A test B testhez képesti sebességét és is mert B sebessége a C testhez képest, akkor A sebességét C- hez képest két sebesség vektori összege adja.
Az egyenletet átrendezve:
azt kapjuk, hogy ha ismerjük két test sebességét ugyanahhoz a testhez képest, akkor az egymáshoz viszonjatott sebességük a két sebességvektor különbségeként adódik.
A függőleges hajítás
A függőleges hajítás a nem nulla kezdősebességű egyenes vo nalú egyenletesen változó mozgások egy speciális esete. így a mozgást leíró összefüggések ugyanazok, mint az 1.1.5. fejezet ben bemutatottak. Mutasson vonatkoztatási rendszerünk y ten gelye a hajítás egyenesében fölfelé, ha a hajítás fölfelé történik. A mozgást leíró összefüggések;
9 2
y = yo + v o t - - t ^ ; v = v o - g - t
ahol yo az elhajítás magassága, vo a kezdősebesség.
A függőleges fölfelé hajítás esetén szokás megadni az emel kedés idejét és magasságát, ami:
í • h
Ha a hajítás lefelé történik, az y tengely mutasson lefelé. Ekkor az összefüggések:
g n
?/ = 2/o + i^oí + 2Ín ; U =
Sebesség és gyorsulás
görbe vonalú pályán
Tartózkodjon a test a t pillanatban a pálya A pontjában, majd
At idővel később a B pontban (1.19.a ábra). Az A pontba muta
tó helyvektort jelölje ri, a B pontba mutatót t2. A test A pont
beli sebességét úgy kapjuk meg, ha a At idővel tartunk nullához. Ekkor azonban a Ar vektor és ezáltal a Ar/At sebességvektor tart az A pontbeli érintőhöz (1.19.b ábra). Azt mondhatjuk, hogy:
I
H] Görbe vonalú pályán mozgó test sebessége a pálya érintő jének irányába mutat.Jelölje a görbe vonalú pályán mozgó test sebességét az A
pontban vi, és A t idővel később a B pontban V2 (1.20.a ábra). Mivel a két sebességvektor nem egyenlő, a Av = V2-V1 nem nul la (1.20.b ábra), tehát a test gyorsul.
1.20. a ábra
A görbe vonalú pályán mozgó test gyorsulását két komponensre bontva adjuk meg (1.21. ábra).
V2
1.20.b ábra
1.21. ábra
[H A pályára merőleges komponens a normális, míg a pálya érintőjének irányába mutató komponens a tangenciális gyor
sulás.
A normális gyorsulás a sebesség irányának, a tangenciális komponens pedig a'sebesség nagyságának megváltozását okoz
A vízszintes hajítás
A vízszintesen elhajított test mozgását egy vízszintes, állandó sebességű mozgás és egy szabadesés összegeként íquk le. Ezt azért tehetjük meg, mert a függőleges nehézségi gyorsulás a vízszintes kezdősebesség nagyságát nem változtatja meg, a le eső golyónak pedig nincs kezdősebessége. Állításunk a követ kező kísérlet elvégzésével bizonyítható.
IS Az 1.22. ábrán látható eszköz egyszerre indít egy golyót szabadeséssel, egy másikat pedig valamilyen Vq kezdősebesség gel vízszintes irányba.
Gumiszál
—Lengő kar, amit meglökünk
Lyuk
i
1.22. ábra
A kísérletet elvégezve azt tapasztaljuk, hogy a két golyó egy szerre koppan a talajon. Ha a vízszintesen ellökött golyót kü lönböző sebességekkel indítjuk, ugyanúgy, egyszerre koppan- nak, csak a golyó más-más távolságokra repül.
A leíráshoz koordináta-rendszerünket úgy vesszük fel, hogy az origó az elhajítás helye, míg az y tengely függőlegesen lefelé, az X tengely pedig a hajítás irányába mutasson (1.23. ábra).
függvények adják meg. A sebesség vízszintes és függőleges komponense:
V x = V0 ; Vy = gt
A hely-idő függvényekből az időt kiküszöbölve, a hajítás pá lyáját kapjuk:
A pályát megadó másodfokú függvény egy parabola egyenle te, tehát a vízszintesen elhajított test pályája parabola.
A ferde hajítás
A ferde hajításnál ugyanúgy járunk el, mint a vízszintes hajítás leírásánál. A mozgást egy vízszintes, állandó sebességű mozgásra és egy függőleges hajításra bontjuk. Kooidináta-rend- szerünk kezdőpontja legyen az
elhajítás helye, y tengelye mutasson fölfelé, X tengelye pedig az elhajítás irányába. A test kezdősebességét bontsuk fel vízszintes és függőleges komponensekre (1.24. ábra).
Lefelé hajításnál ugyanígy járunk el, csak az összefüggések fölírásánál Vyo előjele negatív. A test helyét ‘
megadó függvények: ^ 24. ábra
g «
X = V{)COsa ' t ; y = t;oSÍna • t — - t Zi
A vízszintes és függőleges sebességek:
Vx = Vocosa Vy — uosina — gt^
A helyet megadó függvényekből az időt kiküszöbölve a pálya egyenletét kapjuk:
Eredményül ismét parabolapályát adó másodfokú függvényt kaptunk.
Megjegyzés: a valóságban a légellenállás miatt a pálya ún. ballisztikus görbe, aminek leírása meghaladja e könyv kereteit.
A ferdén elhajított test pillanatnjd sebességének nagyságát a
Pitagorasz-tétel segítségével számíthatjuk:
irányát pedig a komponensek alkotta derékszögű háromszög szögei adják meg (1.25. ábra).
A körmozgás
Hl Körmozgást végez egy tömegpont akkor, ha a pályája kör.
Körmozgás esetén a megtett út a körpályán befutott ív.
ái
A görbe vonalú pályákkal kap
csolatban már láttuk, hogy a se bességvektor minden pillanatban a pálya érintőjébe esik. Ez a kör pályán is teljesül. Körmozgás esetén ezt kerületi sebességnek nevezzük. A körmozgás jól jelle mezhető a mozgó ponthoz húzott sugár elfordulásának szögével, amelyet radiánban mérünk (1.26. ábra).
Ekkor a befutott ív Aj hosszúsága és az Aa szögelfordulás kö zött a következő egyszerű összefüggés érvényes:
A i = rA a
Az Aí időre vonatkozó átlagos kerületi sebesség a At idő alatt befutott Ai ívhossz és a megtételéhez szükséges idő hányadosa:
A i ^ " ^ A t
Ha At elegendően kicsiny, akkor v a pillanatnyi kerületi se besség.
Helyettesítsük a Ai ívhosszat a sugárral és a hozzátartozó kis szögelfordulással;
r • A a A a = r
A t A t
[H A Aoí/At hányados a szögsebesség. Jele: co, dimenziója: l/idő, mértékegysége: l/s.
Képlettel kifejezve;
A a Aí
amivel a kerületi sebesség nagysága és a szögsebesség kapcso latára a
V = r ■ w
összefüggés adódik.
Mivel a körpályán mozgó test sebessége változik, ezért biz tos, hogy van gyorsulása.
[U A körpályán mozgó test gyorsulásának normális kompo nense a centripetális (középpontba mutató), tangenciális gyor sulása a kerületi gyorsulás.
A kerületi gyorsulás a körmozgást végző test sebességének nagyságát változtatja, így a pillanatnyi sebesség és a kerületi gyorsulás kapcsolatát a
v = vo±afc-í
összefüggés adja. A negatív előjelet akkor használjuk, ha a se besség és az érintő irányú gyorsulás ellentétes irányú.
[l] a centripetális gyorsulás meghatározásához tekintsük a ke rületi sebesség nagyságát állandónak.
Az 1.27.a ábra alapján a vi vektorra merőleges sugár és a \ 2
vektorra merőleges sugár szöge Aa, ezért a vi és V2 vektorok szöge is Aa. A két vektort közös kezdőpontból fölrajzolva, (1.27.b ábra) a V1V2AV háromszög és az rir2As háromszögek hasonlók. Ezért a megfelelő oldalak arányára igaz a
Av V As r egyenlet. Rendezve; A ^ A Au = - As r
Majd mindkét oldalt Aí-vel osztva, a
A v V A s A s r A t
összefüggést kapjuk.
Mivel Af tart nullához a As/Aí a pillanatnyi sebesség, a Av/Aí pedig a gyorsulás nagyságát adja meg. így a centripetális gyor
sulás nagysága:
V2
acp = —
r
Az egyenletes körmozgás
Hl Egyenletes körmozgásról beszélünk, ha a pálya kör, és a mozgó test által befutott ív arányos a befutáshoz szükséges idővel.
A definícióból következik, hogy a kerületi sebesség, a szögse besség és a centripetális gyorsulás állandó, a kerületi gyorsulás pedig nulla. így a mozgást leíró összefüggések a következők:
i — vt a = wt
Az egyenletes körmozgás leírásához még két mennyiséget definiálunk;
I
® A körpálya egyszeri teljes befutásához szükséges időt keringési időnek nevezzük és T-vel jelöljük. szám, jele: n.
I [d] Az egységnyi idő alatt befutott körök száma a
fordulat-A két definícióból következik, hogy e két mennyiség egymás
reciproka:
T = -n
A szögsebességet a keringési idővel és a fordulatszámmal ki fejezve:
27T „
w = — = ZTrn T
Mivel az egyenletes körmozgás során a test gyorsulása meg egyezik a centripetális gyorsulással, ezért a dinamika alap egyenlete szerint az egyenletes körmozgást végző testre ható erők eredője a kör középpontjába mutat, nagysága:
SF = m — r
Ez az egyenletes körmozgás dinamikai feltétele,
I
[d] Azt az eredő erőt, amely a tömegpontot körpályára kényszeríti, centripetális erőnek nevezzük.
1.4. A MUNKA ÉS AZ ENERGIA
1.4.1. A MUNKA FOGALMA
Hétköznapi értelemben munka, ha egész nap egy számítógép előtt íilve dolgozunk, ha egy nehéz szatyrot hazacipelünk a kö zértből, vagy amikor építkezés során már negyedszer rakjuk ar rébb a téglákat.
I
® A fizikában egy erő munkája az erő és az erő irányában történő elmozdulás szorzata.E definíció szerint munkát végzünk, amikor fölemelünk egy testet, ha megnyújtunk egy rugót vagy amikor felgyorsítunk egy testet, de nem végzünk munkát, ha egy testet a kezünkben tar tunk.
Munkavégzésünk nagysága attól függ, hogy mekkora erővel és milyen hosszú úton mozgatunk egy testet. Abban az esetben, ha az erő és a test elmozdulása egyirányú, a munkán az F erő és az s elmozdulás szorzatát értjük.
ahol W a munka jele. Fontos megjegyezni, hogy ez a meghatáro zás - tulajdonképpen megállapodás - önkényes, de indokolt, mert célszerű. Természetesnek érezzük, hogy több munkát vég zünk, ha nehezebb tárgyat emelünk fel ugyanolyan magasra, il letve, ha ugyanazt a testet magasabbra visszük.
á
mgB Ha vízszintes úton hazaviszünk egy teli bevá sárlószatyrot, hétköznapi értelemben munkát végez tünk, azonban a szó fizikai értelmében nem történt . munkavégzés. Ez a művelet ugyanolyan erőkifejtést ^ igényel, mintha a terhet egy helyben tartanánk (1.28.
ábra).
Mivel a test függőlegesen nem mozog, ezért az F = mg
erő irányában nincs elmozdulás, tehát a függőleges F erő nem végez munkát, ha a test csak vízszintesen mozog. Mégis úgy érezzük, hogy dolgoztunk, izmaink munkát végeztek. A bioló giai munkavégzés magyarázata az, hogy miközben a terhet tart juk, izomkötegeink egymást váltva összehúzódnak és elemyed- nek. Az erő és az elmozdulás egyirányú, tehát van munka végzés. Ezért fáradunk el akkor is, ha az általunk kifejtett F erőnek fizikai értelemben nincs munkavégzése.
Általánosítva kimondhatjuk, hogy az elmozdulásra merőle ges erő nem végez munkát.
A munka mértékegysége a definíció alapján az erő és elmoz dulás esség én ek szorzata, 1 N • 1 m = 1 kg • m/s^ • 1 m = 1 kg • m^s^ = 1 joule (ejtsd; zsul), jele: J.
A munka definíciójának általánosítása
Abban az esetben, ha az erő és az elmozdulás nem egyirányú, az erőt felbontjuk elmozdulás irányú és arra merőleges összete vőkre (1.29. ábra).
A merőleges komponens munkája nulla, míg az elmozdulás irányú |Fi| = |F| cosa komponens munkája
ahol a az erő- és az elmozdulásvektorok által bezárt szög.
Mivel az erő és az elmozdulás is vektor, kifejezésünk nem más, mint a két vektor skaláris szorzata.
M ^=|F||s|
Ha a munkavégzés során az erő nem állandó, akkor a test mozgását olyan elemi s elmozdulásokra bontjuk, hogy azon az erőt már állandónak tekinthessük, és ezen elemi elmozduláso kon végzett munkák összegeként számítjuk a munkát.
Eddig egy erő munkájával foglalkoztunk, a későbbiekben lát ni fogjuk, hogy több erő esetén különösen fontos az eredő erő munkájának kiszámítása.
B H a egy tömegpontra több erő hat, akkor az eredő erő munkája egyenlő az egyes erők munkáinak algebrai összegé vel.
Ugyanis
Fe = F i + F 2 + . . . + F „ As elmozdulás esetén a munka
W = FeAs = FiAs + FaAs + ... + FnAs
Ha ismerjük az erő-elmozdulás függvényt (természetesen itt az erőn az elmozdulás irányú erólcomponenst értjük), akkor a függvénygörbe és az elmozdulástengely által határolt terület a munka mérőszámát adj a (1.30 ábra).
Ebben az esetben az elmozdulástengelyen csak az elemi el mozdulások nagysága szerepelhet, algebrai összegük a megtett utat adja.
1.4.2. SPECIÁLIS MUNKAVÉGZÉSEK
Az emelési munka
Számítsuk ki, mennyi munkával lehet egy m tömegű testet lassan, egyenletesen
h magasságba vinni (1.31. ábra)! Az
egyenletes emelés azt jelenti, hogy a test gyorsulása nulla. Ebből viszont követke zik, hogy a testre ható erők eredője is nulla, azaz: F - mg.
mgl
'/ / / / / / / 7 / / / / / / / 7 Z
1.31. ábra így az F erő munkája már kiszámítható:
Wp = Fh — mgh
Érdemes megvizsgálni a nehézségi erő munkáját is. Az mg erő iránya ellentétes az elmozdulással, így a = 180°, azaz cosa = -1 . Tehát:
W^g = - mgh
Ha a testet lefelé engedjük, ez előjelek felcserélésétől elte kintve ugyanerre az eredményre jutunk:
Wp = — mgh ; Wmg = mgh
A súrlódási munka
Vízszintes talajon gyakran mozognak a testek állandó erő ha tására állandó sebességgel. Ilyenkor a húzóerő a súrlódási erő ellenében végez munkát (1.32. ábra).
TTT^T^.TTTTTTTTTTTTTTTTTTZ^^/T/.
mg"
y / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /
S
1.32. ábra
Állandó sebesség esetén a testre ható erők eredője nulla:
mg = F„y és F — Fs — fimg
így az F húzóerő munkája a következő alakban írható:
Wp — Fs = fímgs A súrlódási erő munkája:
Wf, — — límgs
Ha a pálya nem egyenes, a munka számításához a megtett utat kell használni, mivel a súrlódási erő ellentétes a pillanatnyi sebességgel, azaz az erő iránjm elmozdulás megegyezik a meg tett úttal.
A gyorsítási munka
A testek gyorsításához a dinamika alaptörvénye szerint nullá tól különböző eredő erő szükséges. Állandó F erő hatására a test egyenletes gyorsulással mozog. Számítsuk ki, mennyi a test re ható erólc eredőjének munkája, amikor vízszintes talajon, egyenes úton, álló helyzetből v sebességre gyorsul a test (1.33. ábra).
A dinamika alaptörvénye szerint: F = ma, további kinetikai összefüggésekből a gyorsítási munka:
h - í
M
/779' / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / A ^ 5 f // 133. ábra Wf, = FeS ^ m a ^ t l = = ^ m v lA kapott eredmény érdekessége, hogy a munkavégzés kizá rólag a test adataitól - tömegétől, sebességétől - függ, sem a hú zóerő sem az út nem szerepel a végső összefüggésben. Az kifejezés a test mozgási energiája (lásd bővebben a következő fejezetben).
Érdemes még arra is figyelni, hogy a talaj által a testre kifej tett nyomóerő munkája nulla. Ezt a nyomóerőt kényszererőnek nevezzük. Általánosan érvényes, hogy az elmozdulásra merőle ges kényszererők nem végeznek a testen munkát.
A rugó megnyújtása során végzett munka
A munka kiszámításához a rugó erőtörvényét és az erő-el mozdulás függvény grafikonjáról a fejezet első pontjában említetteket használjuk. Nyújtatlan helyzetből kiindulva, növel jük meg egy D rugóállandójú rugó hosszát x-szel! Ábrázoljuk a megnyújtóerőt a megnyúlás függvényében (1.34. ábra)!Az ábra jelöléseit felhasználva a végzett munka:
D x x 1 ^ 9
1.4.3. ATEUESfTMÉNY
A munkavégzés szempontjából fontos, hogy az mennyi idő alatt megy végbe. A munkavégzés gyorsaságát a teljesítmény méri. Jele: P
[d] Valamely erő munkájának átlagos teljesítménye az erő
munkájának és a munkavégzés idejének hányadosa.
Mértékegysége a munka és az idő mértékegységének hánya dosa, 1 J/l s = 1 watt, jele: W.
Mivel a munkavégzés gyorsasága nem feltétlenül állandó, ezért definiálnunk kell a pillanatnyi teljesítményt is.
[U A pillanatnyi teljesítmény az adott időpont környezetében nagyon rövid Aí időre számított átlagteljesítmény:
„ A W
Aí
|t] Számítsuk ki a pillanatnyi teljesítményt változó sebességű mozgás során! A test Aí idő alatti elmozdulása a gyorsítás során As. Az őt gyorsító F erő munkája ez alatt
W" = FAs így a teljesítmény
,As
Pá = F
A pillanatnjd sebesség definíciójából ^ % így a
P = | F | M
összefüggéshez jutunk. Azt mondhatjuk, hogy egy erő pillanat nyi teljesítménye az erő és a pillanatnyi sebesség skaláris szor zata.
1.4.4. AZ ENERGIA
A megnyújtott vagy összenyomott rugó munkát végezhet, gyorsítva egy testet. A mozgó test viszont összenyomhat egy ru gót. A testek, ha megfelelő állapotba hozzuk ólcet, munkavég zésre képesek, azt mondjuk, hogy energiával rendelkeznek. Számtalan energiaformát ismerünk; az energia az egyik legálta lánosabb fizikai fogalom.
Hl Az energia mint munkavégző képesség definiálható, az energia eltárolt munka, amely megfelelő körülmények mel lett ismét szabaddá válik.
A munka és az energia nagyon szoros kapcsolatban lévő fo galmak, mégis lényegesen különböznek egymástól. Az energia a
test egy adott állapotát jellemzi, míg a munka két állapot közti folyamatot ír le.
A mozgási energia
Az állandó F erő gyorsítsa az m tömegű testet s úton! Az egy szerűség kedvéért az erő legyen mindig elmozdulás irányú! Ezalatt a test sebessége vi-ről V2-re változik. Vizsgáljuk az ere dő erő munkáját s úton. Az F = ma egyenletet és az ismert kine matikai összefüggéseket fölhasználva
TiA n v \ - v \ 1 ^ l 2 W = r s = más = m —---- = -mv% — -m u í
2s 2 ^ 2 ^
A végeredmény csak a test mozgásállapotától függő mennyi ségeket tartalmaz, tehát munkavégzésünk a test mozgásállapo tára jellemző mennyiség megváltozásával egyenlő.
mennyiség a test mozgási energiája. Mértékegysége: J.
A mozgási energia a sebességet négyzetesen tartalmazza, ezért a sebesség irányától, előjelétől független, értéke nem le het negatív. Megjegyezzük, hogy egymáshoz képest mozgó vo natkoztatási rendszerekben a sebesség nagysága, így tehát a mozgási energia is különböző lehet.
A mozgási energia fogalmának ismeretében előző eredmé nyünk a következőképpen foglalható össze;
H] A testre ható erők eredőjének munkája egyenlő a test moz gási energiájának megváltozásával.
Ez a tömegpontra vonatkozó munkatétel, amely röviden így is írható:
= A E m
Megjegyzés: bár felhasználtuk, hogy a mozgás egyenletesen
változó, belátható, hogy a munkatétel más mozgásoknál is érvé nyes.
A helyzeti energia
A súrlódási erő munkája függ attól, hogy milyen úton mozog a test. A nehézségi erő munkája viszont független az útvonaltól, csak a test függőleges elmozdulásának nagyságától függ.
I
[d] A z olyan erőket, amelyek munkája független az útvonal tól, konzervatív erőknek nevezzük.Ilyenek pl. a gravitációs erő, az elektrosztatikus erő vagy a ru góerő.
H a konzervatív erőtérben egy tömegpontot az A-hó\ a B pontba viszünk, munkavégzésünk csak a pontok elhelyezkedé sétől függ. Ez lehetővé teszi számunkra, hogy a test egy adott
állapotát jellemezzük azzal a munkával, amit akkor végzünk, ha a testet egy önkényesen megválasztott pontból (referenciapont) a tér egy tetszőleges pontjába visszük.
[U A konzervatív erőtér egy pontjában a test potenciális (helyzeti) energiája egyenlő azzal a munkával, amivel a testet a referenciapontból az adott pontba juttattuk.
Az m tömegű testet a talajról emeljük föl
h magasságba (1.35. ábra)!
Ha referenciapontnak a talajszintet vá lasztjuk, munkavégzésünk W = mgh, ami a test helyzeti energiájával egyenlő.
Vízszintes elmozdulás esetén a munka végzés nulla, hiszen az F erő és az elmozdu lás egymásra merőlegesek.
'Rugó esetén a rugó megnyújtatlan állapo
ta a referenciapont, így a rugó energiája x 777^7^77777777?.
megnyúlás esetén 1-35. ábra
E r =
^Dx^
amit rugalmas energiának nevezünk.
A konzervatív erőtérben mozgó testnek tehát van potenciális és mozgási energiája. Ha csak konzervatív erők hatnak rá, ak
kor mozgása során, ha csökken a potenciáhs energiája, növek szik a mozgási energia, vagyis a potenciális és a mozgási ener giák megváltozásainak összege nulla:
AEmozg + AEpot = 0
Ez a mechanikai energia megmaradásának tétele.
U] Ha egy testre csak konzervatív erők hatnak, a test helyzeti és mozgási energiájának összege állandó.
1.4.5. A HATÁSFOK
A valóságos jelenségeknél a végzett munka ill a teljesítmény egy része veszteségként jelentkezik, pl. a súrlódás és a közegel lenállás miatt. Egy ilyen folyamat - pl. egy test fölgyorsítása adott sebességre - hatékonysága a munkavégzés hatásfokával jellemezhető.
[H A munkavégzés hatásfoka a hasznos és az összes befekte tett munka hányadosa
Wh o
A hatásfok jele: r|. A definícióból látható, hogy dimenzió nél-
küU mennyiség; nulla és egy közé eső szám, amelynek 100-szo- rosa százalékban adja meg a hatásfok értékét.
1.5. A PONTRENDSZEREK
MOZGÁSÁNAK LEÍRÁSA
1.5.1. A PONTRENDSZER
A fizikán belül gyakran találkozunk olyan problémákkal, ahol egymással valamilyen kölcsönhatásban lévő tömegpontok mozgását kell leírnunk. Ilyen pl. két ütköző golyó, a Föld és a körülötte keringő Hold vagy az egész Naprendszer mozgásának leírása.
I
[d] A z egymással kölcsönhatásban lévő tömegpontokból álló rendszer a pontrendszer.A pontrendszer mozgásának,leírásához vizsgáljuk meg a kö
vetkező egyszerű elrendezést.
E Vízszintes asztalon két játékautó áll, amelyeket hozzájuk képest elhanyagolható tömegű és nyújthatatlan fonál köt össze.
1
^2
I---
1
I---y / / / I---y / ^ / / / / / / / / / / / ^ / / ^ / / / / / / / / / / A
1.36. ábra
Az 1.36. ábrának megfelelően az első autót a vízszintes F erővel húzzuk. Mekkora az autók gyorsulása?
A megoldást az egyes autókra ható erők berajzolásával kezd jük, majd külön-külön alkalmazzuk ezekre a dinamika alaptör vényét. Csak a vízszintes irányú erőkkel foglalkozunk, mert nem lévén függőleges irányú gyorsulás, az egyes testekre ható függőleges erők összege nulla (1.37. ábra).
F
\ rn2 I--- *--- 1 "’i I--- *■ ’TT^^^^TTTTTTTTPTTZt^T^TTTTTTTTTT/
Fs2 '^Sl
1.37. ábra
A következő mozgásegyenletek írhatók fel: F — K — Fsi = mi a i ;
K - Fs2 — m2a2
ahol 3i az mi tömegű test, míg 82 az m2 tömegű test gyorsulása. Megjegyezzük, hogy az 1.37. ábra jelölésében már felhasználtuk azt a tényt, hogy szabad, elhanyagolható tömegű fonalakban a feszítőerő állandó, így mindkét testre ugyanakkora K kötélerő hat.
Mivel a fonalakat nyújthatatlannak tekintjük, ezért az autók együtt mozognak, azaz gyorsulásaik egyenlők:
dl = Ci2 — CL
Tehát a következő egyenletrendszerhez jutottunk:
F - K - F s i — m i a i ;
K - Fs2= m2a2 ;
