= 120. Observa-se também que os segmentos DE e FG são perpendiculares à base BC.

LEI DOS SENOS E LEI DOS COSSENOS

1. Seja um triângulo inscrito em uma circunferência de raio

R.

Se esse triângulo tem um ângulo medindo 30 ,° seu lado oposto a esse ângulo mede

a)

R

2

b)

R

c)

2R

d)

2R

3

2. O projeto de madeiramento é fundamental para a construção de um bom telhado em uma residência.

Na figura, temos a vista frontal do madeiramento de um telhado. O triângulo ABC é isósceles de base BC tal que

ˆA 120 .

=

°

Observa-se também que os segmentos

DE

e FG são perpendiculares à base BC.

De acordo com os dados acima, a medida do ângulo é BEDˆ é a) 30° b) 45° c) 60° d) 75°

3. Um triângulo possui lados iguais a

6, 9

e

11.

O cosseno do maior ângulo interno desse triângulo é:

a)

11

.

15

b)

1

.

27

−

c)

26

.

33

d)

2

.

27

−

e)

−

1.

4. João está procurando cercar um terreno triangular que ele comprou no campo. Ele sabe que dois lados desse terreno medem, respectivamente,

10 m

e

6 m

e formam entre si um ângulo de 120 .° O terreno será cercado com três voltas de arame farpado. Se o preço do metro do arame custa

R$ 5,00,

qual será o valor gasto por João com a compra do arame? Dados:

3

sen de 120

2

° =

1

cos de 120

2

° = −

a)

R$ 300,00

b)

R$ 420,00

c)

R$ 450,00

d)

R$ 500,00

e)

R$ 520,00

5. Num mapa, uma estrada retilínea passa sucessivamente pelas cidades

A, B

e C e uma cidade D, distante

120 km

de A, está localizada de tal forma que o ângulo

DAB

µ

mede

36 .° Um viajante fez o trajeto

AB, BD

e DC, percorrendo em cada trecho a mesma distância. Se ele tivesse ido diretamente de

A

até C, teria percorrido uma distância de: a)

120 km

b)

60 3 km

c)

(120 cos 36 ) km

⋅

°

d)

120

km

cos 36°

e)

140 km

6. Certo fabricante vende biscoitos em forma de canudinhos recheados, de diversos sabores. A caixa em que esses biscoitos são vendidos tem a forma de um prisma hexagonal. A parte de cima dessa caixa tem a forma de um hexágono, com as medidas indicadas na figura:

Considerando a aproximação racional 1,7 para o valor de

3,

a área da parte de cima dessa caixa, em centímetros quadrados, mede a) 49,6. b) 63,2. c) 74,8. d) 87,4.

7. Os drones 1 e 2 (veículos aéreos não tripulados) saem em missão de um mesmo ponto geográfico

P

às

20 h.

Conforme a figura abaixo, o drone 1 tem sua rota dada na direção 60° nordeste, enquanto o drone 2 tem sua rota dada na direção 15° sudeste. Após 1 minuto, o drone 1 percorreu

1,8 km

e o drone 2 percorreu

1km,

ambos em linha reta.

A distância aproximada, considerando

2

e

3

aproximadamente 1,4 e 1,7, respectivamente, em quilômetros, entre os dois drones, após 1 minuto, é igual a: a)

1,8 km.

b)

2,2 km.

c)

2,6 km.

d)

3,4 km.

e)

4,7 km.

8. Em certa cidade, a igreja está localiza no ponto A, a prefeitura no ponto B, e a livraria no ponto C, como mostra os pontos a seguir. Sabendo-se que a distância da igreja à prefeitura é de 10 metros, a distância da prefeitura à livraria corresponde a 15 metros, e que o ângulo formado por essas duas direções é 60 ,° a distância da livraria à igreja é

a)

17 5 m

b)

5 7 m

c)

25 7 m

d)

7 5 m

9. Dois navios deixam um porto ao mesmo tempo. O primeiro viaja a uma velocidade de 16 km/h em um curso de 45° em relação ao norte, no sentido horário. O segundo viaja a uma velocidade 6 km/h em um curso de 105° em relação ao norte, também no sentido horário. Após uma hora de viagem, a que distância se encontrarão separados os navios, supondo que eles tenham mantido o mesmo curso e velocidade desde que deixaram o porto?

a) 10 km. b) 14 km. c) 15 km. d) 17 km.

10. Um professor de geografia forneceu a seus alunos um mapa do estado de São Paulo, que informava que as distâncias aproximadas em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Campinas e entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Guaratinguetá eram, respectivamente, 80km e 160km. Um dos alunos observou, então, que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Campinas e Sorocaba formavam um triângulo equilátero. Já um outro aluno notou que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Guaratinguetá e Campinas formavam um triângulo retângulo, conforme mostra o mapa.

Com essas informações, os alunos determinaram que a distância em linha reta entre os pontos que representam as cidades de Guaratinguetá e Sorocaba, em km, é próxima de a)

80

⋅

2 5

+ ⋅

3

b)

80

⋅

5 2

+ ⋅

3

c)

80

⋅

6

d)

80

⋅

5 3

+ ⋅

2

e)

80

⋅

7

⋅

3

11. A caminhada é uma das atividades físicas que, quando realizada com frequência, torna-se eficaz na prevenção de doenças crônicas e na melhora da qualidade de vida.

Para a prática de uma caminhada, uma pessoa sai do ponto A, passa pelos pontos B e C e retorna ao ponto A, conforme trajeto indicado na figura.

Quantos quilômetros ela terá caminhado, se percorrer todo o trajeto? a) 2,29. b) 2,33. c) 3,16. d) 3,50. e) 4,80.

12. Quadros interativos são dispositivos de interface humana que permitem ao usuário interagir com as imagens projetadas sobre uma tela grande, geradas por um computador. O uso desses quadros é cada vez mais comum em instituições de ensino, substituindo o quadro para giz ou o quadro branco.

Uma das tecnologias que possibilita essa interação funciona a partir de um sensor instalado em um dos cantos da tela onde a imagem é projetada, e de uma caneta eletrônica especial que, ao ser acionada, emite dois sinais simultâneos: um pulso sonoro (ultrassom) e um pulso luminoso (infravermelho). O pulso de ultrassom é usado para calcular a distância da ponta da caneta até o sensor, enquanto o pulso de infravermelho indica ao sistema o ângulo entre a base da tela e o segmento de reta que une o sensor à ponta da caneta.

Considere um quadro interativo de 3 metros de largura por 2 metros de altura, representado no primeiro quadrante de um plano cartesiano, com o sensor instalado na origem. Um usuário aciona a caneta em três pontos distintos da tela, gerando as leituras de distância e de ângulo apresentadas na tabela:

Ponto Distância Ângulo

A 2 m 60°

B 2 m 30°

C 1 m 30°

O triângulo com vértices nos pontos A, B e C é: a) escaleno.

b) equilátero.

c) isósceles de base BC. d) isósceles de base AB. e) retângulo em A.

13. Uma praça circular de raio R foi construída a partir da planta a seguir:

Os segmentos

AB,

BC

e

CA

simbolizam ciclovias construídas no interior da praça, sendo que

AB 80 m.

=

De acordo com a planta e as informações dadas, é CORRETO afirmar que a medida de R é igual a:

a)

160 3

m

3

b)

80 3

m

3

c)

16 3

m

3

d)

8 3

m

3

e)

3

m

3

14. Na figura estão posicionadas as cidades vizinhas A, B e C, que são ligadas por estradas em linha reta. Sabe-se que, seguindo por essas estradas, a distância entre A e C é de 24 km, e entre A e B é de 36 km.

Nesse caso, pode-se concluir que a distância, em km, entre B e C é igual a a)

8 17.

b)

12 19.

c)

12 23.

d)

20 15.

e)

20 13.

15. No dia 11 de março de 2011, o Japão foi sacudido por terremoto com intensidade de 8,9 na Escala Richter, com o epicentro no Oceano Pacífico, a 360 km de Tóquio, seguido de tsunami. A cidade de Sendai, a 320 km a nordeste de Tóquio, foi atingida pela primeira onda do tsunami após 13 minutos.

(O Estado de S.Paulo, 13.03.2011. Adaptado.)

Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que cosα ≅0,934, onde

α

é o ângulo Epicentro-Tóquio-Sendai, e que

2 3 93,4 215 100

8

⋅

2

⋅

≅

, a velocidade média, em km/h, com que a 1ª onda do tsunami atingiu até a cidade de Sendai foi de:

a) 10. b) 50. c) 100. d) 250. e) 600.

Gabarito:

Resposta da questão 1:

[B]

Seja

l

a medida do lado do triângulo que é oposto ao ângulo de 30 .° Pela Lei dos Senos, tem-se que

2R

R.

sen30

°

=

⇔ =

l

_l

Resposta da questão 2: [C]

Como o triângulo ABC é isósceles e o ângulo

BAC 120 ,

ˆ

=

°

os ângulos

ABC ACB 30 .

ˆ

=

ˆ

=

°

Logo, como

ABC 30

ˆ

=

°

e os segmentos

DE

e FG são

perpendiculares à base

BC,

ou seja, formam um ângulo reto entre a base e os segmentos, o ângulo BDEˆ oposto pelo vértice

DE,

também é reto e vale 90 .°

Desta maneira, para obter o valor de

x,

deve-se somar todos ângulos do triângulo

BDE :

ˆ

ˆ

x BDE EBD 180

x 90 30 180

x 60 .

+

+

=

°

+

+

=

⇒

=

°

Resposta da questão 3: [B]

Note que um triangulo com tais lados não forma um triangulo retângulo, para comprovar basta aplicar o Teorema de Pitágoras.

2 2 2

2 2 2

hip

cat

cat

11

6

9

121 36 81

=

+

=

+

≠

+

Nesse sentido, para obter o valor do cosseno desejado, basta aplicar a lei dos cossenos sobre os três lados. Seja θ o ângulo relativo ao lado de maior medida e

a, b, c

os lados do triângulo. Logo: 2 2 2 2 2 2

a

b

c

2 b c cos( )

11

9

6

2 9 6 cos( )

121 117 108 cos( )

1

cos( )

27

θ

θ

θ

θ

=

+

− ⋅ ⋅ ⋅

=

+

− ⋅ ⋅ ⋅

=

−

⋅

−

=

Resposta da questão 4: [C]

Pela lei dos cossenos:

2 2 2 2

1

2

a

10

6

2 10 6 cos 120

a

136 120

a

196

a 14

2

Perímetro 10 6 14 30 m

3 voltas 90 m

custo 5 90 450 reais

⎛

⎞

=

+

− ⋅

⋅ ⋅

° ⇒

=

−

⋅ −

_⎜

_⎟

⇒

=

→

=

⎝

⎠

=

+ +

=

=

⇒

= ⋅

=

Resposta da questão 5: [A] Teremos:

BA BD

DAB ADB BDC 36

2 36 ABD 180

ABD 108

DBC BCD 72

=

→

=

=

=

°

⋅

+

=

° →

=

° →

=

=

°

Logo:

ADC ACD 72

=

=

→

AC AD 120 km

=

=

Resposta da questão 6: [C]

Como cada um dos triângulos laterais que formam o hexágono são triângulos isósceles, pode-se deduzir que, se seu maior ângulo é

120 ,

°

então os dois menores ângulos serão iguais a 30 .°

Considerando

x

como sendo a base do triângulo isósceles, pela lei dos senos tem-se:

x

4

x

4

x

4

sen 120

sen 30

sen 2 60

sen 30

2 sen 60 cos 60

sen 30

x

3 1

8

x

4 3

2

2 2

=

→

=

→

=

°

°

⋅

°

°

⋅

° ⋅

°

°

= ⋅

⋅

→

=

Assim, a área total do hexágono será igual a soma das áreas dos dois triângulos isósceles e do retângulo, ou seja:

total total 2 total total

S

2 S S

4 4 3 sen 30

16 3

S

2

9 4 3

36 3

2

2

S

44 3

S

74,8 cm

= ⋅

+

⋅

⋅

°

= ⋅

+ ⋅

=

+

=

→

V X

;

Resposta da questão 7: [A]

O ângulo entre as direções das duas rotas é de 60° +15° =75 .° Logo, desde que

cos75

cos(30

45 )

cos30 cos 45

sen30 sen 45

3

2

1

2

2

2

2 2

2

( 3 1)

4

1,4

_{(1,7 1)}

4

0,245,

° =

° +

°

=

°

° −

°

°

=

⋅

−

⋅

=

⋅

−

≅

⋅

−

≅

e sendo d a distância pedida, pela Lei dos Cossenos, obtemos

2 2 2

d

1

1,8

2 1 1,8 cos75

1 3,24 3,6 0,245

3,358,

=

+

− ⋅ ⋅

⋅

°

= +

−

⋅

=

o que implica em

d

=

3,358 1,8km.

≅

Resposta da questão 8: [B]

Colocando graficamente as informações dadas no enunciado:

Aplicando-se a Lei dos Cossenos, tem-se que a distância “a” entre os pontos

A

e C será:

2 2 2 2 2 2 2 2

a

b

c

2 b c cos A

a

10

15

2 10 15 cos60

a

325 300 0,5

a

175

a

175

5 7 m

=

+

− ⋅ ⋅ ⋅

=

+

− ⋅

⋅

⋅

°

=

−

⋅

→

=

=

=

Resposta da questão 9: [B]

Depois de uma hora de viagem o navio 1 (N1) terá percorrido

16 km e o navio 2 (N2) terá percorrido 6 km.

Temos, então, a seguinte figura:

Sendo d a distância entre os navios, temos:

2 2 2 2 2

d

16

6

2 16 6 cos60

1

d

256 36 192

2

d

196

d 14km

=

+

− ⋅

⋅ ⋅

⎛ ⎞

=

+

−

_{⋅ ⎜ ⎟}

⎝ ⎠

=

=

o Resposta da questão 10: [B]

Sejam

S,P, G

e C, respectivamente, os pontos que representam as cidades de Sorocaba, São Paulo, Guaratinguetá e Campinas.

Sabendo que

SPC 60

$

₌

_°

e

CPG 90 ,

$

=

°

vem

SPG 150 .

$

₌

_°

Logo, aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo SPG, encontramos

$

2 2 2 2 2

SG

SP

PG

2 SP PG cosSPG

80

160

2 80 160 cos150

3

6400 25600 2 12800

2

6400 (5 2

3)

=

+

− ⋅

⋅

⋅

=

+

− ⋅

⋅

⋅

°

⎛

⎞

⎜

⎟

=

+

− ⋅

⋅ −

⎜

⎟

⎝

⎠

=

⋅

+ ⋅

Portanto,

SG 80 5 2 3 km.

=

⋅

+ ⋅

Resposta da questão 11: [D]

Pela Lei dos Cossenos, obtemos:

µ

2 2 2 2 2

BC

AC

AB

2 AC AB cosBAC

(0,8)

1

2 0,8 1 cos150

3

0,64 1 2 0,8

2

1,64 0,8 1,7

3.

=

+

− ⋅

⋅

⋅

=

+

− ⋅

⋅ ⋅

°

⎛

⎞

⎜

⎟

=

+ − ⋅

⋅ −

⎝

⎠

≅

+

⋅

≅

Logo,

BC 1,7

≅

e, portanto, o resultado é 1 0,8 1,7 3,5.+ + =

Resposta da questão 12:

[A]

Considere a figura.

Sabendo que

OA 2 m,

=

OB 2 m

=

e

OC 1m,

=

temos que

BC OB OC 1m.

=

−

=

Além disso, o triângulo OAB é isósceles de base AB. Logo,

OBA OAB 75 .

$

≡

µ

=

°

2 2 2 2 _{2 2} 2

3

AB

OA

OB

2 OA OB cos30

AB

2

2

2 2 2

2

AB

8 4 3

AB ( 6

2) m.

=

+

− ⋅

⋅

⋅

° ⇔

=

+

− ⋅ ⋅ ⋅

⇔

=

−

⇒

=

−

Como AC é mediana do triângulo ABO, vem

2 2 2 2 2

1

AC

2 (OA

AB ) OB

2

1

_{2 (2}

_{8 4 3) 2}

2

1

_{4 (5 2 3)}

2

5 2 3 m.

=

⋅

⋅

+

−

=

⋅

⋅

+ −

−

=

⋅

⋅

−

=

−

Portanto, como

AB AC BC,

_≠

_≠

segue que o triângulo ABC é escaleno.

Resposta da questão 13:

[B]

Pela Lei dos Senos, segue que:

AB

80

80

3

80 3

2R

2R

R

m.

sen60

3

3

3

3

2

=

⇔

=

⇔

=

⋅

=

°

Resposta da questão 14: [B]

Aplicando a Lei dos Cossenos, obtemos

µ

2 2 2 2 _{2 2} 2

BC

AB

AC

2 AB AC cosBAC

1

BC

36

24

2 36 24

2

BC

1296 576 864

BC

2736 12 19 km.

=

+

− ⋅

⋅

⋅

⇔

⎛

⎞

=

+

− ⋅

⋅

⋅ −

⎜

⎟

⇔

⎝

⎠

=

+

+

⇒

=

=

Resposta da questão 15: [E] Considere a figura.

Sabendo que

ET 360km,

=

ST 320km,

=

cosα ≅0,934

8 2 2 2 2 2 _{2 2} 2 _{2 2 5} 2 _{8 2} 2

ES

ET

ST

2 ET ST cos

ES

360

320

2 360 320 0,934

ES

129600 102400 2 2 3 2 93,4

ES

232000 2 3 93,4

ES

232000 215100

ES

16900

ES 130km.

=

+

− ⋅

⋅

⋅

α ⇒

=

+

− ⋅

⋅

⋅

⇒

=

+

− ⋅

⋅

⋅

⋅

⇔

=

−

⋅

⋅

⇒

=

−

⇒

=

⇔

=

Portanto, como

13min

13

h,

60

=

temos que a velocidade média pedida é dada por

130

600km h.

13

60