Números mágicos

(1)

Modelos Nucleares

- Evidência dos “números mágicos”

- Modelo do Gás de Fermi (incompleto)

- Modelo Em camadas

- Referência a rotações e vibrações;

modelo colectivo (incompleto)

Evidência para uma estrutura não contínua

Números mágicos

São várias as manifestações de que certos números de nucleões (2, 8, 20, 28, 50, 82 e 126) garantem estabilidade especial aos sistemas que formam: - abundância dos elementos

- número de nuclidos estáveis para dado valor de N ou Z - energias de ligação do “último” nucleão

- secção eficaz de captura de neutrões - defeito de massa

- raio nuclear

Por semelhança com a física atómica, toda esta evidência faz crer que a estabilidade nuclear seja determinada por um modelo nuclear em camadas

(2)

Números “Mágicos” e Estrutura em Camadas

Números “Mágicos” e Estrutura em Camadas -- EvidênciasEvidências Números “Mágicos” e Estrutura em Camadas

Números “Mágicos” e Estrutura em Camadas -- EvidênciasEvidências

3

Números “Mágicos” e Estrutura em Camadas

Números “Mágicos” e Estrutura em Camadas -- EvidênciasEvidências Números “Mágicos” e Estrutura em Camadas

Números “Mágicos” e Estrutura em Camadas -- EvidênciasEvidências

Energia das partículas alfa emitidas por nuclídeos de Rn

Variações de raio com ∆∆∆∆N=2

4 Secção eficaz de captura de neutrões

(3)

Evidência para uma estrutura não contínua

Virtudes

Virtudese e defeitosdefeitosdo do modelomodelo dada gotagota líquidalíquida

5 Apesar de permitir

-- previsõesprevisões valiosasvaliosas de de massasmassas, e , e energiasenergias de de ligaçãoligação -- intuirintuir característicascaracterísticas fundamentaisfundamentais dada interacçãointeracção NN--NN, , ficam por explicar coisas como…

-- spin e spin e paridadeparidade dos dos estadosestados nuclearesnucleares -- existênciaexistência de de momentosmomentos magnéticosmagnéticos -- númerosnúmeros mágicosmágicos

-- valoresvalores dos dos coeficientescoeficientes dada FSEMFSEM -- densidadedensidade nuclearnuclear

Modelo em Camadas

Modelo em Camadas -- fundamentosfundamentos Modelo em Camadas

Modelo em Camadas -- fundamentosfundamentos

“Keep it simple !”

Cada nucleão sente um POTENCIAL MÉDIO

Tal potencial deve poder representar-se por um poço

Nesse potencial cada partícula ocupa um estado (uma “órbita”) - Proponha-se um potencial simples adequado

- Resolva-se a equação de Schroedinger

- Preencham-se os sucessivos níveis com Z“p” e (A-Z)“n” - Será que vamos encontrar os números mágicos ???

(4)

O Modelo em Camadas revela

O Modelo em Camadas revela--sese--nos !nos ! O Modelo em Camadas revela

O Modelo em Camadas revela--sese--nos !nos ! Apesar da simplicidade (… ou graças a ela ?)

7

Ppequeno

Ppequeno desvio: desvio: O modelo do Gás de O modelo do Gás de FermiFermi

Ppequeno

Os Ns são fermiões (s=1/2) sujeitos a um campo médio comum mas não interagem entre si.

• Matematicamente é resolúvel de forma exacta; resolve-se o problema para uma partícula e vão-se juntando sucessivas partículas no estado onde caibam (Pauli)

• Fisicamente descreve de forma aceitável um sistema no estado fundamental (todos os estados possíveis preenchidos até EF)

INGREDIENTES

• Poço de potencial (cúbico) de extensão R • V (r<R) = - V0; V (r≥≥≥≥R) = 0

• Parede de altura infinita (impenetrável) em r=R • Dentro do cubo, fermiões livres

(5)

Ppequeno

• Eq de Schroedinger independente de t • A uma dimensão • Solução geral • Condições fronteiras 9 2 2 2 2 2 2 i i E E m m x  _{∂ Ψ} − ∆Ψ = Ψ ⇔ −  = Ψ ∂ 

∑

 ℏ ℏ 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 X EX com r X x Y y Z z m x ∂ − = Ψ = ⋅ ⋅ ∂ ℏ exp( ) exp( )

(cos( ) sin( )) (cos( ) sin( ))

2 / X A ik x B ik x A k x i k x B k x i k x com k mE λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ = + − = = + + − = ℏ ( ) ( ) ( ) 0 / 2 X x =Y y =Z z = para x= = = ±y z a Ppequeno

Ppequeno

• Soluções para a direcção xx’ 1 cos( ) cos( ) 2 2 1, 3, 5,... 0, 2, 4,... i X k x X k x a a com k e a λ λ λ λ λ πλ λ λ + + − − ± ± + − = = = = = • Energias

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 De 2 / 1 1, 2, 3,... 2 2 2 1 2 x x x y z x y z k mE E k m m a E E E E m a p m λ λ π λ λ π _λ _λ _λ =   = =   = =   = + + =   =   + +   ℏ ℏ ℏ ℏ

(6)

Ppequeno

O resto do tratamento do Modelo do Gás de Fermi do núcleo

encontra-se no livro Física Nuclear, de Teo Mayer Kuckuk, pags. 61- 69

11

Ppequeno

• Eq de Schroedinger independente de t

(7)

Modelo em Camadas

Modelo em Camadas –– de novo os princípiosde novo os princípios Modelo em Camadas

Modelo em Camadas –– de novo os princípiosde novo os princípios

Cada nucleão sente um POTENCIAL MÉDIO em que ocupará “uma órbita” e “não sente” os outros

Forma possível do potencial

13 - Só possível perante

i) respeito pelo princípio de Pauli,

ii) todos os sucessivos estados com Ei<Emaxocupados

V(r) =

V(r) = -- V(0)/(1 + e

V(0)/(1 + e

(r (r –– R)/aR)/a

₎

_{) [}

_Potencial

_{Potencial de Saxon}

_{de Saxon--Woods}

_Woods

_]

com V(0) ~ 60 MeV, R ~ 1.25 x A1/3_fm, _{a ~ 0.65 fm}

(OBS.: valores retirados da análise de experiências de scattering) Tal potencial, a separação de ΨΨΨΨ=Rnl(r) Ylm(θθθθ,ϕϕϕϕ), e a introdução no

potencial de um termo centrífugo no potencial, levam à escrita de

… etc.

Este capítulo segue o Williams, Nucl. and Particle Physics, mcap.8 (pp. 131-157)

Nestas condições, a resolução (… aproximada, para potencial rectangular) da eq de Schroedinger leva à seguinte sequência de estados

Claramente os “números mágicos” que procurávamos eram bastante diferentes…

2, 8, 20, 28, 50, 82 e 126

E a diferença não é atenuada com a correcção da forma do potencial … Estado 1s 1p 1d 2s 1f 2p 1g 2d 3s

2(2+1) 2 6 10 2 14 6 18 10 2

Total 2 8 18 20 34 40 58 68 70 Modelo em Camadas

Modelo em Camadas –– os primeiros resultadosos primeiros resultados Modelo em Camadas

(8)

15 Sabemos as características a exigir ao potenciais

O de Woods-Saxon tem decerto virtudes: - Profundidade finita

- Reproduz a interacção N-N de curto alcance

i) um valor médio a evoluir como a densidade ii) plano no meio (nucleões rodeados por outros) iii) sobe nos bordos (para lá da fronteira, nada!)

Modelo em Camadas Modelo em Camadas Modelo em Camadas Modelo em Camadas R≈ raio nuclear d≈ espessura da parede 16 Sabemos separar as variáveis …

E lembrando a relação dos nºs quânticos l e m (associados aos esféricos harmónicos ) entre si [l = 0, 1, 2 …; lz<m ; -l<m<l ; L2∴l(l+1)ħ2] resulta para U(r)

Modelo em Camadas Modelo em Camadas Modelo em Camadas Modelo em Camadas ( ) ( ) m( , ) [ ( ) / ] m( , ) l l r R r Y θ ϕ U r r Y θ ϕ Ψ = = 2 2 2 2 2 ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) 2 2 U r l l V r U r E U r M r Mr   ∂ + − _∂ + +  =   ℏ ℏ Notar a “barreira de momento angular” e observar na figura ao lado as suas consequências . A função U(r)=rR(r) (cujo quadrado dá a densidade de probabilidade radial) aparece representada a tracejado

(9)

Oct 2006, Lectures 4&5 17

• Também sabemos resolver o problema para potenciais diferentes “clássicos”, obtendo diferentes resultados ... não satisfatórios

Coulomb

Quadrado de

paredes infinitas Harmónico V(r)=1/2M ω2_r2 Nos mágicos 2 8 20 28 50 82 126 Modelo em Camadas Modelo em Camadas Modelo em Camadas Modelo em Camadas

Nas distribuições anteriores notamos

- Nomenclatura espectroscópica (nl): l=0,1,2,3,… s,p,d,f,… - Unidades arbitrárias para paredes infinitas e oscilador harmónico - Degenerescências em n, típicas do potencial de Coulomb

- 1s, 1p e 1d como níveis mais baixos em paredes infinitas e oscil. harm. - Separação de ħωentre níveis sucessivos, de acordo com E_nl=(2n+l+1/2)ħħħħωωωω

- … Mas os números acumulados de nucleões são insatisfatórios.

- De acordo com observaçães anteriores a propósito da “barreira centrífuga”, parece que, ao empurrar para fora os estados de l superior, acaba por fazê-los subir em energia; a cura para tal passará por truncar o potencial, permitindo que as f.d.o. penetrem (um pouco) na barreira, baixando os correspondentes níveis de energia, tanto mais quanto maiores sejam os respectivos l;

- Esta evolução está representada no esquema da página seguinte.

Modelo em Camadas Modelo em Camadas Modelo em Camadas Modelo em Camadas

(10)

19

Nem mesmo o pot.

W-S (“reasonable”) acerta os nos_mágicos!

Para além do acerto

em energia, é preciso criar mais estados de elevado

Ideia: spin-orbit

coupling “à la atomic”

Mas um acoplamento

magnetico será decerto muito fraco...

O potencial N-N tem

uma componente spin-orbital

Dentro do núcleo os

efeitos dos pares anulam-se Na periferia o efeito será máximo Quanto maior L, maior o splitting! Modelo em Camadas Modelo em Camadas Modelo em Camadas Modelo em Camadas 20 Modelo em Camadas

Modelo em Camadas –– termo LStermo LS Modelo em Camadas

Modelo em Camadas –– termo LStermo LS

Só em 1949 é que Maria Goeppert Mayer e Johannes Jensen (Prémio

Nobel 1963, c/ Eugene Wigner) propuseram acrescentar ao potencial

um termo de “spin-orbit coupling“, da forma V(r).s que é:

- atractivo para j = l+ 1/2 (le s paralelos)

(11)

21 Alterações:

i) Efeito maior na periferia, onde o potencial varia mais depressa:

ii) Acrescentar ao potencial a correcção spin-orbital

i) Acontece que W(r) deve ser negativo, para reproduzir as observações,

resultanto o nível j=l+1/2 abaixo de j=l-1/2

π → +   = −     = = −   + _ _   = ≈ ≈ = 2 LS LS 1 `3 0 0 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) com: ( ) V V ( ) 1 ( ) (Woods-Saxon) 1 exp ; 1.2 ; 0.75 "espessura da casca" LS nucleão V r V r W r L S dV r W r V m c r dr E V r r a d a R A R fm d fm i ℏ 1 ( ) ( )

dV r

W r

r

dr

∼ Modelo em Camadas

Modelo em Camadas –– termo LStermo LS

• “Bons” números quânticos antes do termo LS: – l, l_z& s=½ , s_zdos operadores L2_{, L}

z, S2, Sz

– Eigenvalues : l(l+1)ħ2_{, s(s+1)}_ħ2_{, l} zħ, szħ

• Termo LS exige operadores que comutem com o novo hamiltoniano, H – J=L+S & J_z=L_z+S_zcom os números quânticos j, j_z, l, s

• Para fermiões, s=½, resulta j=l+½ ou j=l-½ (l ≠0) • Eigenvalues de LS [Notar que LS= ½ (L+S)2_-L2_-S2 _]

– ½[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)]ħ2

• Consequências para o potencial:

– V(r) + ½lħ2 _W(r) _{para j=l+½}

– V(r) - ½(l+1) ħ2 _W(r) _{para j=l -½}

OBS.: Nota-se este splitting assimétrico no slide 19 (... não é evidente!) Modelo em Camadas

(12)

23 Notas:

1 – Não haverá um mas sim dois poços de potencial distintos: para neutrões e para protões

2 – A forma do poço depende do tamanho do núcleo

- daí resultarão desvios à medida que se vão adicionando nucleões; …

- é pouco prático (embora possível) desenvolver um poço diferente (um potencial diferente) parta cada núcleo…

3 - Assim, é mais significativa a previsão dos números mágicos do que a exacta localização dos níveis de energia

4 – Bastante seguro é també, observar propriedades dos estados fundamentais, bem como os casos de núcleos com “camadas fechadas” (simplesmente – só N ou só Z mágico – ou duplamente fechadas – N e Z mágicos)

Modelo em Camadas

Modelo em Camadas –– que resultados?que resultados? Modelo em Camadas

Modelo em Camadas –– que resultados?que resultados?

24 O momento angular total dum núcleo designa-se por SPIN NUCLEAR = Jtot

Regras para obterJtot

i) Dois nucleões idênticos num mesmo nível (n,l,j) emparelham os spins

de modo a resultar J_par= 0. Consequentemente:

• Jtot(par-par, no estado fundamental) = 0

• J_tot(A_ímpar, portanto c/ 1 nucleão desemparelhado) = = J(nucleão desemp.)

Obs.:É necessário dispor dum modelo em camadas suficientemente preciso par prever o nível que ocupa o nucleão desemparelhado…

ii) Não há regra para combinar os spins de dois nucleões desemparelhados, mas observa-se

|Jn_desemp.-Jp_desemp.| < Jtot(ímpar-ímpar) < Jn_desemp. +Jp_desemp.

Modelo em Camadas

Modelo em Camadas –– SpinSpin Nuclear (previsões) Nuclear (previsões) Modelo em Camadas

(13)

25 Modelo em Camadas

Modelo em Camadas –– Paridade (previsões)Paridade (previsões) Modelo em Camadas

Modelo em Camadas –– Paridade (previsões)Paridade (previsões)

OPERAÇÃO PARIDADE ( ) ( )

OPERADOR PARIDADE ( ) ( )

Funcão PAR ( ) ( )

Funcão ÍMPAR ( ) ( )

Paridade da f.d.o. de partícula única (-1) Paridade da f.d.o. dum sistema de partículas

i l i sistema A nuc r r P r r P r r P r r P P Ψ = ± Ψ − Ψ = Ψ − Ψ = + Ψ Ψ = − Ψ Ψ = Ψ intrinseca 1, 1, intrinseca 1, ( ) ( )

Paridade intrínceca dos nucleões ( ) 1

Consequentemente (-1)i leões i i i i A i A i l sistema A nucleões i A P nucleão P nucleão P nucleão P = = = Ψ = Ψ = + =

∏

Previsões:

P(par-par, estado fundamental) = +1 ⇐pares de nucleões em todos os níveis P(A_ímpar, estado fundamental) = P(nucleão desemparelhado) ... desde que

conhecido

P(ímpar-ímpar) = ?(não previsível)(*) Ex.: 147N, j=0 ou 1; Paridade é +1

Modelo em Camadas

Modelo em Camadas –– LIMITAÇÕESLIMITAÇÕES Modelo em Camadas

Modelo em Camadas –– LIMITAÇÕESLIMITAÇÕES

• Não prever spin e paridade dos núcleos ímpar-ímpar significa não ser

um modelo acabado da interacção spin-orbital

• Por isso, dá maus resultados a respeito dos momentos magnéticos

nucleares

• Como

–

usa um “poço” de potencial para todos os núcleos

–

Ignora existirem protões e neutrões em “poços” distintos, com

formas diferentes

não consegue prever com precisão os níveis de energia

• Consequentemenmte faz previsões grosseiras (de configurações e

energias de excitação) que pouco mais são do que “educated guesses”

feitas a partir das configurações dos estados excitados de energia

mínima.

(14)

27 Modelo em Camadas

Modelo em Camadas –– Estados excitadosEstados excitados Modelo em Camadas

Modelo em Camadas –– Estados excitadosEstados excitados

• A vida (do modelo) não é simples...

Há soluções mais “baratas” do que a excitação de um nucleão único; p.ex., um par de nucleões ! 28 Modelos …

Modelos … –– outras situações exigem outros pressupostos outras situações exigem outros pressupostos Modelos …

Modelos … –– outras situações exigem outros pressupostos outras situações exigem outros pressupostos

• A vida (do modelo em camadas) não é simples...

Afinal os núcleos esféricos rodam; e não como um corpo rígido - o desvio depende de J ! ... E mais: os núcleos também vibram !! Williams, págs.151-157)