Instituto Politécnico de Bragança Escola Superior de Educação
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Professores do Ensino Básico - Variante de Educação Física
Disciplina: Matemática Data: _______________
Ficha de trabalho: 2
• Conteúdos: produto cartesiano de dois conjuntos, noção de relação binária; representação de relações binárias; propriedades das relações binárias, classificar e seriar
1. Considere os seguintes conjuntos: M = {Filipe, Pedro, Paulo} F = {Ana, Raquel}
1.1. Determine o produto cartesiano entre M e F.
2. Utilizando os conjuntos E e F a seguir definidos, verifique se o produto cartesiano é comutativo, ou seja, E × F = F × E.
E = {a, b} F = {c, d, e}
3. Considere um prédio de quatro pisos com dois apartamentos por piso. Sabendo que cada apartamento pode ter a porta “numerada” pelas letras A, B, determine o conjunto formado por todas as possíveis indicações dos apartamentos, utilizando pares ordenados.
4. Seja E = {1, 2, 3, 4}. Determine o produto cartesiano E × E.
5. Considere definida em I = {Sofia, Josefa, Ana, Ivo, Isidro} a relação ℛ traduzida por: “x tem mais letras do que y”.
5.1. Represente ℛ através de um conjunto de pares ordenados. 5.2. Represente ℛ através de um diagrama sagital.
5.3. Classifique, justificando, a relação ℛ quanto à reflexividade, à simetria e à transitividade. 6. Considere definidas no conjunto S = {9, 14, 15, 32} as relações ℛ e ℱ dadas por:
x ℛ y ⇔ x + y > 27
ℱ: x é menor do que y
6.1. Represente cada uma das relações num diagrama sagital. 6.2. Classifique, justificando,
(a) ℛ relativamente à simetria e à transitividade. (b) ℱ relativamente à reflexividade e à transitividade.
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7. Considere o seguinte conjunto A = {2, 3, 4, 5, 8, 9}
e as relações ℒ : “x é igual a y” ℛ : “x é múltiplo de y”
7.1. Represente cada uma das relações apresentadas através de um conjunto de pares ordenados. 7.2. Classifique, justificando, cada uma das relações quanto à reflexividade, à simetria, à
transitividade e à dicotomia.
7.3. Das relações anteriores indique as que são de equivalência, de ordem parcial, de ordem total. 8. Considere o seguinte conjunto
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e as relações
ℌ : “x é metade de y” ℐ : “x é o dobro de y”
8.1. Represente cada uma das relações apresentadas através de um conjunto de pares ordenados. 8.2. Classifique, justificando, cada uma das relações quanto à reflexividade, à simetria, à
transitividade e à dicotomia.
9. Considere o seguinte conjunto A = {2, 3, 4, 5, 10, 15, 20} e as relações
ℬ : “x divide y”
ℳ : “x é divisível por y”
9.1. Represente cada uma das relações apresentadas através de um conjunto de pares ordenados. 9.2. Classifique, justificando, cada uma das relações quanto à reflexividade, à simetria, à
transitividade e à dicotomia.
9.3. Das relações anteriores indique as que são de equivalência, de ordem parcial, de ordem total. 10. Considere a relação a ℱ definida no conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} tal que
x ℱ y ⇔ 2x + y < 8
10.1. Represente ℱ por um diagrama.
10.2. Verifique se ℱ é uma relação de equivalência.
11. Considere a relação a N definida no conjunto A = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} tal que x N y ⇔ y ≤ x2
11.1. Represente N por um conjunto de pares ordenados.
11.2. Verifique se N é uma relação de equivalência.
12. Considere a relação a D definida no conjunto A = {-2, -1, 0, 1, 2} tal que x D y ⇔ x = y2
12.1. Represente D por um conjunto de pares ordenados.
12.2. Represente D por um diagrama.
13. Considere a relação W definida no conjunto T = {x ∈ ℕ: 1 ≤ x < 4} tal que x W y ⇔ x + y é múltiplo de 3
13.1. Represente a relação através de um diagrama sagital.
13.2. Classifique, justificando a relação quanto à reflexividade, à simetria, à transitividade e à dicotomia.
13.3. A relação W é uma relação de equivalência? Justifique.
14. No conjunto
M = {Fev, Mar, Abr, Mai} Estabeleceu-se a relação
x ℳ y : x tem tantos dias como y, com x, y ∈ M.
14.1. Represente ℳ por um diagrama.
14.2. Mostre que ℳ é uma relação de equivalência.
14.3. Represente em extensão e em compreensão cada uma das classes de equivalência da relação ℳ.
15. Considere a relação ℋ definida em A = {0, 1, 2, 3} tal que (x, y) ∈ ℋ ⇔ x – y é múltiplo de 2. 15.1. Mostre que ℋ é uma relação de equivalência.
15.2. Represente em extensão e em compreensão cada uma das classes de equivalência da relação ℋ.
15.3. Determine o conjunto quociente.
16. Considere a relação W definida em B = {0, 1, 2, 3} tal que
(x, y) ∈ W ⇔ x + y é múltiplo de 3. Verifique se W é uma relação de equivalência.
17. Considere a relação ℬ definida em C = {0, 1, 2, 3, 4, 5} tal que (x, y) ∈ ℬ ⇔ x – y é múltiplo de 5. 17.1. Mostre que ℬ é uma relação de equivalência.
17.2. Represente em extensão e em compreensão cada uma das classes de equivalência da relação ℬ.
17.3. Determine o conjunto quociente. 18. Considere as seguintes relações binárias.
18.1. 18.2. 18.3. 18.4.
18.5. 18.6. 18.7. 18.8.
18.9. 18.10. 18.11. 18.12.
18.13. 18.14. 18.15. 18.16.
Complete o seguinte quadro, assinalando a(s) resposta(s) correcta(s).
18.1 18.2 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 18.10 18.11 18.12 18.13 18.14 18.15 18.16 Reflexiva Anti-Reflexiva Não Reflexiva Simétrica Anti-Simétrica Transitiva Não Transitiva Dicotómi ca Não Dicotómi ca ___________________________________________ 4/5
19. Seja E = {1, 2, 3, 4} e considere as seguintes relações: x R y ⇔ x + y ≤ 6 x T y ⇔ x divide y x G y ⇔ x + y é múltiplo de 2 x M y ⇔ 2x + y > 7 x N y ⇔ x - y é divisor de 3
19.1. Represente cada uma das relações através de um conjunto de pares ordenados. 19.2. Represente cada uma das relações através de um diagrama.
19.3. Classifique-as, justificando, quanto à reflexividade, à simetria, à transitividade e à dicotomia.
20. O conjunto T é formado por 6 crianças da turma da Maria: a Sara, a Rita, o André, a Cristina, o António e o Daniel. As alturas destas crianças são respectivamente: 130 cm, 125 cm, 130 cm, 125 cm, 115 cm, 130 cm.
Considere definida em T a relação F: “é mais alto que”.
20.1. Diga justificando se a relação F é uma relação de equivalência.
20.2. Verifique se F é uma relação de ordem estrita.
20.3. A relação F é de ordem total ou parcial? Justifique.
21. Num curso de professores verificaram-se as alturas dos alunos, em centímetros, e representaram-se no seguinte conjunto:
A = {163, 170, 176, 160, 155, 162} Serie as alturas.
22. Serie os seguintes apelidos:
Gonçalves, Paulo, Andrade, Moreno, Alcino, Rodrigues, Lucas.
23. Observe a seguinte tabela:
Nome Aniversário Nome Aniversário
Paula Dezembro Carlos Maio
Zulmira Maio Filipe Agosto
Dilma Dezembro Susana Janeiro
Telmo Janeiro Margarida Dezembro
Joaquim Fevereiro Rute Agosto
23.1. Classifique os nomes de acordo com o mês de aniversário. 23.2. Serie os nomes.
23.3. Serie os meses abordados, não considerando as repetições. 24. Observe a seguinte tabela:
Nome Cor dos olhos Nome Cor dos olhos
Delfim Verdes Manuel Castanhos
Norberto Castanhos António Pretos
Plácido Azuis Cristina Azuis
Bibá Verdes Tito Castanhos
Isolda Castanhos Zita Castanhos
24.1. Classifique os nomes de acordo com a cor dos olhos. 24.2. Serie os nomes.
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