Modelação e Simulação Problemas - 3

Modelação e Simulação

Problemas - 3

P1. Para cada uma das funções de transferência seguintes esboce qualitativamente a

resposta no tempo ao escalão unitário usando (sempre que aplicável) informações sobre: Ganho estático, valor inicial e final da resposta e da sua derivada e posição dos polos e zeros.

a) b) c) d)

e) f)

P2. Considere o sistema linear e invariante no tempo descrito pela função de

transferência

a) Determine o ganho desta função de transferência à frequência nula. b) Qual o valor final da resposta ao escalão deste sistema.

Atenção: Determine os polos do sistema.

P3. O bloqueio neuromuscular é uma das componentes da anestesia geral, que visa

privar o paciente, sujeito a uma cirurgia, de movimentos voluntários ou reflexos. Para tal, é injetada no paciente, ao longo do tempo, uma dose de fármaco que tem como efeito bloquear a junção neuromuscular. Deste modo, os sinais de comando dos nervos não se transmitem aos músculos o que impede que estes se mexam.

Um dos problemas que se põe ao anestesista é o de determinar a dose de fármaco para atingir o nível de bloqueio neuromuscular desejado. A partir dos anos 80, foram desenvolvidas várias técnicas, conhecidas genericamente como TCI (do Inglês Target Control Infusion) para fazer este cálculo automaticamente, algumas das quais estão disponíveis comercialmente (o primeiro recebeu o nome comercial de Diprifusor). Este problema mostra como calcular a dose a partir do inverso do ganho estático do modelo do bloqueio neuromuscular. Repare-se que este cálculo constitui

A figura seguinte mostra um diagrama de blocos do modelo que relaciona a dose de

fármaco (expresso em ) administrada com o nível de

bloqueio neuromuscular r(t) (expresso em percentagem, com

correspondendo a uma atividade muscular normal e correspondendo à

paralisia total). Equação de Hill 1 2 3

u(t)

c

(t)

c

(t)

r(t)

s+



s+



_s+

_

a

a

+



Este modelo consiste numa parte linear dinâmica (blocos 1 e 2), que permite calcular as concentrações plasmática, , e de efeito, C_e(t), e numa parte não linear estática descrita pela equação de Hill. Esta, permite calcular o nível de bloqueio neuromuscular r(t) em função da concentração de efeito Ce(t) através da expressão

algébrica:

em que C50 e são constantes que dependem de paciente para paciente.

a) Mostre que é o valor da concentração de efeito que faz com que o

nível de bloqueio neuromuscular r(t) seja de 50%.

b) Tendo em conta o modelo da figura, determine um valor para a dose tal

que, se esta for mantida constante neste valor, r(t) se aproxima de um valor de equilíbrio especificado. A dose deve ser expressa nos parâmetros do modelo e no nível de r(t) desejado. Por outras palavras, pretende-se o inverso do ganho estático do sistema. Tenha em conta, no entanto, que este sistema tem uma parte não linear.

P4. Considere os gráficos de resposta ao escalão unitário que se mostram nas figuras

seguintes e as funções de transferência de sistemas de 2ª ordem que se indicam a seguir aos gráficos. Indique a que função de transferência corresponde cada gráfico. Sugestão: Determine e em cada caso e tenha em atenção a existência de zeros.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Tempo [s]

a)

Tempo [s]

b)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Tempo [s]

c)

Tempo [s]

d)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Tempo [s]

e)

Tempo [s]

f)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Tempo [s]

g)

Tempo [s]

h)

P5. As figuiras seguintes representam a resposta em frequência numa banda de

frequências significativas e dois pedaços da resposta no tempo ao escalão, partindo de condições iniciais nulas, (respectivamente no início e perto do fim do ensaio) de uma função de transferência. 10-0.2 10-0.1 100 100.1 -180 -135 -90 -45 0 P h a s e ( d e g ) Bode Diagram Frequency (rad/sec) -5 0 5 10 M a g n itu d e ( d B ) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 25 25.5 26 26.5 27 27.5 28 28.5 29 29.5 30 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Diga justificadamente a que função de transferência, de entre as hipóteses seguintes, pertencem estes troços de resposta.

P6. Considere o sistema autónomo (sem entrada), descrito pela equação de estado

homogénea

em que

a) Recorrendo à decomposição modal, escreva a solução desta equação de estado quando a condição inicial é

b) Resolva a mesma equação quando a condição inicial é

P7. Considere o sistema autónomo (sem entrada), descrito pela equação de estado

homogénea

em que

a) Indique uma condição inicial tal que o estado tenda para zero.

b) Indique uma condição inicial tal que o estado seja uma única exponencial crescente.

c) Esboce o retrato de fase com base nos valores próprios e vetores próprios da matriz .

P8. Considere os modelos de estado homogéneos, cujas matrizes da dinâmica são

dadas por

Para cada um deles, escreva a solução da equação de estado com condições iniciais dadas por

com Responda sucessivamente às seguintes perguntas:

a) Calcule os valores próprios e os vetores próprios da matriz .

b) Com base nos valores próprios e nos vetores próprios escreva a solução da equação diferencial quando a condição inicial é

c) Indique uma condição inicial tal que o estado do sistema tenda para zero quando o

tempo .

d) Esboce graficamente o retrato de fase do sistema representado pela equação diferencial.

P10. Considere as figuras seguintes, que correspondem a trajetórias no espaço de

estado de quatro sistemas lineares de 2ª ordem, diferentes, com equação

Estes retratos de fase estão identificados de a) a d) no topo de cada figura.

-10 -5 0 5 10 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 x 1 x 2 a)

-10 -5 0 5 10 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 x 1 x 2 b) -10 -5 0 5 10 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 x 1 x2 c) -10 -5 0 5 10 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 x 1 x2 d)

Considere ainda as respostas temporais das duas componentes do estado partindo de uma dada condição inicial (que pode variar de figura para figura).

0 2 4 6 8 10 -10 -5 0 Tempo x1 T1 0 2 4 6 8 10 -10 -8 -6 -4 -2 0 Tempo x2 0 2 4 6 8 10 -10 -5 0 5 10 Tempo x1 T2 0 2 4 6 8 10 -10 -5 0 5 10 15 Tempo x2

0 2 4 6 8 10 -20 -10 0 10 20 Tempo x1 T3 0 2 4 6 8 10 -20 -10 0 10 20 Tempo x2 0 2 4 6 8 10 -10 -5 0 Tempo x1 T4 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 Tempo x2

Finalmente, considere as seguintes matrizes da dinâmica

a) Diga qual das matrizes corresponde a qual retrato de fase. Deve justificar a sua resposta com base nos valores próprios e vetores próprios (calcule os vetores próprios apenas quando necessário). Pode ainda utilizar outros argumentos se a resposta baseada nos valores próprios e vetores próprios não for suficiente.

b) Diga qual das respostas temporais corresponde a qual retrato de fase. Justifique.

P11. Considere as figuras seguintes, que correspondem a trajetórias no espaço de

estado de 4 sistemas lineares de 2ª ordem, diferentes, com equação

-10 -5 0 5 10 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 x₁ x2 a) -10 -5 0 5 10 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 x₁ x2 b) -10 -5 0 5 10 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 x₁ x2 c) -10 -5 0 5 10 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 x₁ x2 d)

Considere ainda as seguintes matrizes da dinâmica

a) Diga qual das matrizes corresponde a qual retrato de fase. Deve justificar a sua resposta com base nos valores próprios e vetores próprios (calcule os vetores próprios apenas quando necessário).

b) Calcule a resposta quando a matriz da dinâmica é a matriz do problema

anterior, e a condição inicial é .

c) Indique uma condição inicial não nula tal que o estado do sistema com matriz da dinâmica tenda para zero quando o tempo aumenta.

P12. A Teoria do Conflito de L. F. Richardson

Bibliografia: Braun, M. (1978). Differential Equations and Their Applications, Springer-Verlag, 374-381.

A praça Plekszy-Gladz em Szohôd, capital da Bordúria

A Sildávia e a Bordúria são dois países dos Balcãs que, embora pouco conhecidos da generalidade dos portugueses, estão ligados a um capítulo notável da história da tecnologia. Com efeito, foi da Sildávia que partiu o primeiro foguete que levou à Lua, e trouxe sãos e salvos de regresso, os primeiros seres humanos e um cão. Embora partilhem muitos traços comuns da sua cultura, em particular na alimentação, a história nem sempre registou relações pacíficas entre estes dois estados vizinhos. São estas relações, potencialmente conflituosas, que se pretendem analisar neste problema através de uma teoria devida a L. F. Richardson (que, tal como eu, nunca conheceu pessoalmente Plekszy-Gladz).

Sejam e , respetivamente, a quantidade de armamento da Sildávia e da Bordúria. Richardson admitiu que a sua evolução no tempo se faz de acordo com o modelo:

em que é o termo que traduz o medo do adversário (quanto mais armado estiver,

da taxa de armamento pelas “questões mal resolvidas do passado”. Analogamente, a taxa de crescimento da Bordúria satisfaz:

a) Determine o ponto de equilíbrio do nível de armamentos;

b) Considere a situação em que os termos de “defesa” predominam, tendo-se

Determine as soluções deste sistema de equações diferenciais e conclua o que acontece a longo prazo

c) Dê condições para a a instabilidade do ponto de equilíbrio no caso geral. Interprete.

1

P13. Os modelos de combate de Lanchester

Bibliografia: Braun, M. (1978). Differential Equations and Their Applications, Springer-Verlag, 381-390.

Durante as Guerras do Alecrim e Manjerona, a Brutópia enfrentou a República da Bananuela numa série de combates entre forças convencionais. A evolução do número de combatentes foi predita com notável precisão pelo modelo de Lanchester, depois aplicado na batalha de Iwo Jima, ocorrida na 2ª Guerra Mundial. Seja o número de

combatentes da Brutópia e o número de combatentes da República da Bananuela.

Num combate entre forças convencionais, admite-se que cada um dos elementos de cada uma das forças de combate está ao alcance da força inimiga. Quando um dos elementos é morto, o fogo é concentrado nos combatentes remanescentes. Deste modo, admite-se que a taxa de perdas de é igual a para uma cosntante . Se não houver reforços durante a batalha, o número de combatentes é então modelado por:

em que e são constantes. Considera-se que uma força de combate vence a batalha se se atingir uma situação em que o número de combatentes da força oponente é zero e o da sua própria diferente de zero.

Mostre que

i) Se então a força 2 ganha;

ii) Se então a força 1 ganha;

Isto mostra que, para ganhar, uma força tem de concentrar inicialmente combatentes em número suficientemente elevado.

P14. (Construção do modelo estado linear por linearização em torno de um ponto de

equilíbrio – Franklin and Powell) Considere o circuito elétrico que se representa na fig. P14-1.

Fig. P14-1 – Problema P14. Circuito elétrico não linear A característica da condutância G é não linear, sendo definida por As equações de estado são

1”). Determine os outros dois pares de e que conduzem ao equilíbrio quando a entrada toma o mesmo valor.

b) Obtenha os modelos linearizados em torno dos três pontos de equilíbrio que determinou.

c) O que pode dizer sobre a estabilidade de cada um dos pontos de equilíbrio?

P15. Considere o modelo de estado não linear

a) Determine os pontos de equilíbrio (pense numa interpretação geométrica) e os sistemas linearizados em torno de cada um desses pontos.

b) Classifique em termos de estabilidade o sistema em torno dos pontos de equilíbrio. Desenhe qualitativamente o “retrato de fase” do sistema não linear a partir dos sistemas linearizados e dos sinais das derivadas.

P16. Foi recentemente descoberta na Melanésia uma ilha habitada apenas por duas

novas espécies de herbívoros, a que foram dados os lindos nomes de Necs e Plaks. Após aturados estudos de uma competente equipa de biólogos concluiu-se que estas duas espécies competem entre si pelo alimento disponível, podendo o número médio dos seus efetivos ser modelado pelo sistema de equações diferenciais não lineares:

em que é o número de Necs e é o número de Plaks. Estes números são normalizados pelo que, para obter os valores das populações é necessário multiplicá-los por 1000. Determine se é possível as duas espécies coexistirem a longo prazo. Sugestão: Comece por mostrar que é um ponto de equilíbrio do sistema não linear e estude o que acontece às populações se este equilíbrio for ligeiramente perturbado.

P17. Considere o seguinte modelo para a competição entre duas espécies com efetivos

e dado pelo sistema de equações diferenciais:



(

)

(

)



(

)

)

(

)

(

)

(

t

N

t

N

t

N

t

N

t

N

dt

d

₌

_

₋

_

₋

_

₊





_

_

_

a) Determine os pontos de equilíbrio do sistema.

b) Linearize o sistema em torno de cada um dos pontos de equilíbrio e discuta o comportamento local com base nestas linearizações.

c) A partir dos resultados das alíneas anteriores e dos sinais da derivada, esboce aproximadamente o retrato de fase do sistema.

P18. Considere o sistema autónomo (isto é, sem entrada), de 2ª ordem, descrito pelo

sistema de equações não lineares

Mostre que a origem é um ponto de equilíbrio do sistema. Obtenha as equações do sistema linearizado em torno da origem. Classifique a origem em termos dos valores próprios do sistema linearizado. Diga o que pode concluir daqui sobre o comportamento em torno da origem do sistema não linear.

P19. Considere o modelo epidemiológico simplificado em que representa a população sã e a população infetada, e e são parâmetros positivos:

Recorrendo aos sinais da derivada esboce qualitativamente o retrato de fase deste sistema.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 50 100 150 200 250 300

Y[mm]

Q

[m

3

/h

]

P[bar]

7

6

5

4

3

Fig. P20-1. Característica estática da válvula.

P20. A fig. P20-1 (acima) representa a característica estática de uma válvula. O

comportamento estático da válvula é descrito por 3 variáveis:

• = deslocamento do veio de abertura da válvula.

• = pressão na descarga (isto é, à saída da válvula).

• = caudal na descarga.

Considere o ponto de trabalho definido por e . Por

linearização da característica, obtenha graficamente os coeficientes e no modelo linearizado