2.6 Divisão Ideias básicas:
Repartir igualmente (nesta ideia, queremos saber quantos objetos ficam em cada conjunto quando repartimos algo em vários conjuntos);
Medida ou quantas vezes uma quantidade cabe em outra (nesta ideia, queremos saber quantos conjuntos com a mesma quantidade de objetos podemos formar).
Exm. 1 (repartir igualmente): O professor Alberto quer repartir entre 6 equipes de alunos 84 folha de papel sendo que todos os grupos devem receber a mesma quantidade. Quantas folhas receberá cada equipe?
Para responder, precisamos efetuar a divisão 84 : 6.
D U D U D U
8 4 6 8 4 6 8 4 6
-6 1 -6 1 -6 1 4
D U 2 D U 2 4 D U
Repartimos igualmente 8 dezenas por 6.
Dá 1 dezena para cada equipe e restam 2 dezenas.
Então, trocamos 2 dezenas por 20 unidades; com mais 4 unidades que tínhamos passamos a ter 24 unidades.
D U D U 8 4 6 Dividendo 8 4 6 Divisor -6 1 4 -6 1 4 Quociente 2 4 D U Resto 2 4 D U -2 4 -2 4 0
Por fim, repartimos igualmente as 24 unidades por 6. Dá 4 unidades para cada equipe e resta 0.
No total, 14 folhas para cada equipe (1 dezena + 4 unidades). Assim, cada equipe receberá 14 folhas!
Exm. 2 (ideia básica de medida ou quantas vezes uma quantidade cabe em outra): Uma professora reparte 84 folhas de papel por grupos de alunos e cada grupo recebe 14 folhas. Quantos grupos de alunos existem?
Para responder, precisamos efetuar a divisão 84 : 14.
D U D U D U
8 4 14 8 4 14 8 4 14
-0 0 -0 0 -0 0
D U 8 D U 8 4 D U
Tentamos repartir igualmente 8 dezenas por 14, por não ser possível trocamos 8 dezenas por 80 unidades; com mais 4 unidades que tínhamos passamos a ter 84 unidades.
D U ⏞ 14 -8 4 0 6 0 D U
Por fim, repartimos igualmente as 84 unidades por 14. Dá 6 unidades para cada grupo e resta 0.
Deduzimos que são 6 grupos de alunos que recebem 14 folhas.
Para confirmar se a conta acima está correta, podemos fazer .
Podemos perguntar: “Quantos grupos de 14 ‘cabem’ em um grupo de 84”. Isso significa que estou medindo o grupo de 84, tendo como unidade um grupo de 14. É o mesmo principio de quando pergunto: “Quantos palmos ‘cabem’ no comprimento do quadro negro?” Neste exemplo, estou medindo esse comprimento tendo o palmo como unidade.
Exm. 3 (ideia básica de medida ou quantas vezes uma quantidade cabe em outra): Numa granja, os ovos são colocados em caixas de 1 dúzia. Quantas caixas são necessárias para embalar 195 ovos?
Sendo que 1 dúzia = 12 ovos, então, queremos saber quantos grupos de doze ovos cabem em 195 ovos. Devemos fazer:
C D U C D U C D U C D U 1 9 5 12 ̂ 5 12 ̂ 5 12 ̂ 5 12 -0 0 -12 0 1 -12 0 1 -12 0 1 1 C D U C D U 0 7 C D U 0 7 5 C D U C D U C D U 1 9 5 12 Dividendo 1 9 5 12 Divisor -12 0 1 6 -12 0 1 6 Quociente 0 7 5 C D U Resto 0 7 5 C D U -7 2 -7 2 0 0 3
Como ñ podemos repartir igualmente 1 centena em 12 de modo a obter centena, trocamos 1 centena por 10 dezenas e, com as 9 que já tínhamos, passamos a ter 19
dezenas. Repartimos igualmente 19 dezenas em 12, dando 1 dezena para cada uma e restando 7 dezenas. Trocando 7 dezenas por 70 unidades e unindo com as 5 que tínhamos, passamos a ter 75 unidades. Repartindo igualmente as 75 unidades por 12. Dá 6 unidades para cada uma e restam 3 unidades.
Podemos concluir que são necessárias 16 caixas de ovos e restam 3 ovos para serem colocados numa outra caixa.
Para confirmar se a conta acima está correta, podemos fazer , ou seja:
quociente divisor + resto = Dividendo D d
q d + r = D r q
Podemos perguntar: “Quantos grupos de 12 ‘cabem’ em um grupo de 195”. Isso significa que estou medindo o grupo de 195, tendo como unidade um grupo de 12.
2.6.1 Restos na Divisão
Quando uma divisão é efetuada e Ñ DEIXA RESTO, dizemos que a divisão É EXATA. Quando EXISTE RESTO, a divisão Ñ É EXATA! O RESTO das divisões NUNCA pode ser MAIOR que o DIVISOR. Ele também nos diz quanto falta para o dividendo ser exatamente
dividido pelo divisor. Assim: 12 – 3 = 9. Logo, 195 + 9 é divisível20 por 12 e 195 – 3 também é divisível por 12.
2.6.2 Zero na Divisão
O ZERO pode ser DIVIDIDO QUALQUER Nº; É IMPOSSÍVEL DIVIDIR POR 0;
Quando tentamos DIVIDIR ZERO POR ZERO dizemos que é INDETERMINADO. 2.6.3 Ausência de Propriedades Ñ é comutativa: 6 : 2 = 3 2 : 6 ≠ 3 Ñ é associativa: 12 : (6 : 3) = 12 : 2 = 6 (12 : 6) : 3 = 2 : 3 ≠ 6 (12 : 3) : 6 = 4 : 6 ≠ 6 Ñ têm elemento neutro: 5 : 1 = 5 1 : 5 ≠ 5
Assim como vimos que 60 – 24 – 12 – 8 pode ser feito somando os números que estão sendo subtraídos {60 – (24 + 12 + 8)}, logo, podemos fazer 60 : 5 : 4 : 3 da seguinte forma {60 : ( )}.
2.6.4 Algoritmo das Estimativas
Digamos que queremos dividir 697 por 17:
Estimamos que 20 vezes 17 cabe em 697 e fazemos 17 20 = 340. 697 – 340 = 357.
Quantas vezes 17 ‘cabe’ nos 357 que sobraram? Estimamos 20 vezes e fazemos 17 20 = 340. 357 – 340 = 17. 17 ‘cabe’ uma vez em 17. Logo, somando 20 + 20 + 1 = 41, então 17 cabe 41 vezes em 697 e o resto é zero.
2.6.5 Média Aritmética
Exm.: Um pai queria dar dinheiro aos seus 2 filhos dependendo do desempenho deles no colégio. Soube que suas notas por trimestre foram 80, 50, 40, 90, 100 e 60. O pai pensou que se as notas tivessem a mesma pontuação seriam iguais a ...
Para facilitar, vamos agrupar as notas:
80 + 50 + 40 + 90 + 100 + 60 = 50 + 80 + 90 + 60 + 40 + 100 = 50 + (170 + 100 + 100) =
50 + 370 = 420
Agora, basta dividir essa pontuação pelo total de notas. Ou seja, 420 : 6. 42 0 6
-42 00 0
70
Logo, cada filho podia ter tirado 70 em cada trimestre e a soma, 420 pontos, seria a mesma. Podemos dizer, então, que a média (ou média aritmética) de notas dos filhos é de 70 pontos. A média aritmética é calculada somando todos os valores do tipo que queremos calcular a média e dividindo o resultado pela quantidade de “coisas” somadas.
2.6.6 Divisores
‘Divisores’ é o conjunto de nºs
que divide exatamente outro nº. 108 é divisível por 6?
1 0 8 6
Divisão exata Resto zero
Como a divisão é exata podemos afirmar que: 108 é divisível por 6 108 é múltiplo de 6 6 é divisor de 108 -6 0 4 8 - 4 8 0 18
A palavra ‘múltiplo’ significa o mesmo que a palavra ‘divisível’. E 108 por 5?
1 0 8 5
Divisão ñ exata
Resto maior que zero
Então: 108 ñ é divisível por 5 108 ñ é múltiplo de 5 5 ñ é divisor de 108 -1 0 0 08 - 0 5 3 21
Exm.: Os divisores de 12 são:
D(12): {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
Podemos descobrir os nºs do conjunto lembrando que a multiplicação do primeiro com o último, do segundo com o penúltimo, do terceiro com o antepenúltimo ... sempre será o nº do qual estamos buscando seus divisores.
Exm.: 1) Os divisores de 36 são:
D(36): {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}. 1 36 = 36 2 18 = 36 3 12 = 36 4 9 = 36 6 6 = 36 2) Os divisores de 75 são: ⏞ ⏞ ⏞ . 1 75 = 75 3 25 = 75 5 15 = 75 2.6.7 Critérios de Divisibilidade
Outra maneira de descobrir os divisores de um nº é sabendo os critérios de divisibilidade:
Para dividir um nº por 2, ele deve ser par;
Para dividir um nº por 5, ele deve terminar em 0 ou 5; Para dividir um nº por 10, ele deve terminar em 0;
Para dividir um nº por 3, a soma dos algarismos do nº deve resultar em 3, 6 ou 9. Se a soma resultar em 12, por exemplo, somando-se 1 + 2, ou seja, repetindo o processo de soma, encontramos o nº 3. Logo, o nº que somou 12 será divisível por 3. Também podemos dizer que um nº natural é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos é divisível por 3; Para dividir um nº por 9, a soma dos algarismos que compõem o nº deve
resultar em 9 ou em algum nº divisível por 9;
Para dividir um nº por 6, ele deve ser divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo, isto é, ser par e a soma dos algarismos que compõem o nº deve resultar em 3, 6 ou 9;
Para dividir um nº por 4, os dois últimos algarismos, juntos, devem ser divisíveis por 4; Exm.: 1052 é divisível por 4 pois 52 é divisível por 4. Para dividir um nº por 11, a soma dos algarismos das ordens pares do nº
menos a soma dos algarismos das ordens ímpares deverá resultar em um nº divisível por 11;
Para dividir um nº por 22, o nº deve ser par e a soma dos algarismos das ordens pares do nº menos a soma dos algarismos das ordens ímpares deverá resultar em um nº divisível por 11, isto é, ser divisível por 2 e por 11 simultaneamente;
Para dividir um nº por 15, o nº deve ser divisível por 3 e por 5 ao mesmo tempo. 2.7 Primos
Nº composto é o nº que conseguimos obter por multiplicações. Exm.: 6 é um nº composto, pois o obtemos fazendo 3 2.
Os nºs que ñ conseguimos obter por multiplicações (a ñ ser que um fator seja 1 e o outro o próprio nº) são chamados de PRIMOS. Destes, sabemos que eles tem apenas dois divisores: o nº 1 E ELE MESMO. Podemos observar, também, que esses nºs só são vistos em suas tabuadas e na do 1.
Fazendo21 o Crivo de Eratóstenes (uma tabela que cortamos todos os múltiplos de primos) descobrimos todos os primos até o último número escrito na tabela.
Lembre-se: um primo ñ é composto, e composto são aqueles que são resultados em mais de uma tabuada.
Podemos verificar se um nº é primo pensando:
1º - Qual é o quadrado perfeito mais próximo menor que esse nº? 2º - Qual é a raiz quadrada desse quadrado perfeito?
3° - O nº é divisível por algum dos primos menor que a raiz quadrada? Se for, esse nº não é primo.
Exm. 1: *101 é primo? *101 > 100
*Raiz quadrada de 100 é 10.
*2, 3, 5 e 7 são os primos até 10 e não dividem 101. Então, 101 é primo. Exm. 2: *117 é primo?
*117 > 100
*Raiz quadrada de 100 é 10.
*3 é primo e menor que 10 e divide 117. Então, 117 não é primo. 2.8 Fatoração
É um processo simples; basta escrever o nº que será “fatorado”, uma linha vertical ao lado dele e, depois dela, os divisores. Ñ existe nenhuma regra para decidir qual divisor será utilizado primeiro (a ordem dos fatores não altera o produto), mas, é indicado começar pelos mais baixos e que eles sejam primos.
Exm.: 44 000 10 4 400 100 44 11 4 2 2 2 1
2.8.1 Quantidade de divisores que um nº tem. 780 2 390 2 195 5 39 3 13 13 1
Para descobrirmos quantos divisores um nº tem, fatoramos esse nº usando, APENAS, nº primos. Depois, reescrevemos esse nº como uma multiplicação desses
fatores primos com suas potências ( ). Como sabemos, se o fator primo só aparece uma vez, sua potencia é 1. .
Para sabermos quantos são os divisores, ficamos atentos só às potencias. Assim, somamos 122 a cada expoente e multiplicamos todos os resultados das somas. Os
resultados das multiplicações será a quantidade de divisores.
Então, 780 tem 24 divisores.
2.9 Potências
Exm.: Imagine uma campanha para obter alimentos para doação em que uma pessoa doa 2 quilos de alimento e precisa convidar mais duas pessoas para doarem 2 quilos de alimento. Essas duas pessoas também tem de convidar outras duas para doarem mais 2 quilos de alimento e, assim, sucessivamente. Para calcular quantos quilos de alimentos foram doados podemos multiplicar 2 por 2 por 2 ... Essas sucessivas multiplicações do mesmo nº são chamadas de POTÊNCIA.
O algoritmo da potência considera quantos fatores iguais estão sendo multiplicados e os reúne em um único número que será à base da potência e que será elevado em outro número que é o expoente.
⏟ ⏟ ⏞
Quando o expoente é 2, dizemos que a base está elevada ao quadrado. Quando o expoente é 3, dizemos que está elevada ao cubo. Quando é 4, dizemos que foi elevada a quarta potência. Quando é 5, dizemos que foi elevada a quinta potência. E segue assim.
2.9.1 Definição:
2.9.2 Propriedades das potências:
Na MULTIPLICAÇÃO de uma mesma base, conserva-se a base e SOMA os expoentes.
22 Pq somamos 1? Veja: que divide 780; que divide 780;
que divide 780; que divide 780... Assim, sempre temos que lembrar da possibilidade do expoente de um dos primos ser zero.
Na DIVISÃO de uma mesma base, conserva-se a base e se SUBTRAI os expoentes.
A potência do produto é igual ao produto das potências.
( )
A potência do quociente é igual ao quociente das potências.
Na potência da potência, conserva-se a base e multiplica-se os expoente. 2.10 Radiciação
Seguindo a ideia de que cada operação encontra outra que desfaz a que ela faz, precisamos de uma operação que desfaça o trabalho da potência. O nome de uma23 dessas operações é a radiciação.
Para extrairmos a raiz de um nº, seja quadrada, cúbica ou qualquer outro expoente, podemos usar o processo de fatoração.
√
⏟
⏞
Obs.: Quando não aparece índice, entendemos que ele vale 2. 2.10.1 Definição: √ ⁄ √ 2.10.2 Propriedades: √ √ ( ) √ √ √ √ √ √√ (√ ) ( ) √ √ √ √ √ ( ) √ √
23 Existem duas operações que desfazem o que a potência faz: a radiciação, diz qual a base que foi
elevada tantas vezes até dar o radicando, e o logaritmo, diz qual o expoente que elevou uma base até dar o logaritmando.
2.11 Fechamento dos Naturais
O que acontece quando fazemos uma soma e uma subtração de um mesmo valor, uma seguida da outra? O valor inicial não é alterado!
O que acontece quando fazemos uma multiplicação e uma divisão usando um mesmo valor, uma seguida da outra? O valor inicial não é alterado!
O que acontece quando fazemos uma potenciação e extraímos a raiz dessa potenciação, uma seguida da outra? O valor inicial não é alterado!
Já deu para perceber como as operações, dependendo do processo realizado, tem sempre alguma outra operação que anula seu resultado nos naturais. Só que o fato da subtração não ter a propriedade comutativa levou os humanos a criarem os números negativos.24 Esses números, juntamente com os naturais, formam o conjunto dos números inteiros, que veremos mais tarde.
Mas, muito antes da criação e aceitação dos números inteiros a humanidade sentiu falta dos números que são resultados de divisões não exatas (por causa de medições geométricas dos egípcios). Assim, criamos as frações e os números decimais, nesta ordem. A junção desses nºs deu origem ao conjunto dos números racionais. 25
3. Resolvendo Problemas de Matemática
COMPREENDER o problema; Algumas perguntas podem ajudar: “Que informações posso usar?” e “Quais perguntas preciso resolver?”
PLANEJAR a solução; Qual estratégia vais usar? (Tentativa e erro? Fazendo desenhos ou diagramas? Dramatizando a situação? Fazendo uma tabela ou um gráfico? Etc.)
EXECUTAR o que planejou;
VERIFICAR se resolveu corretamente o problema; É comum fazer a prova real, nesta etapa, caso se tenha utilizado operações matemáticas para calcular a resposta. RESPONDER à pergunta do problema; Esta etapa é muito importante! A grande
maioria das pessoas acredita que em um problema de matemática, e de algumas outras áreas de conhecimento, o problema está resolvido depois da execução do planejado. Isso não é verdade! Um problema está resolvido quando seu “resolvedor” entende o que significa o resultado dos seus cálculos e pensamentos. 4. Expressões Numéricas
No colégio é comum, depois de aprendermos todas as operações com os naturais, aprendermos as expressões numéricas. Tais expressões são apresentadas como se ñ existissem em situações cotidianas, mas, de fato, elas estão muito mais envolvidas em problemas do que suas contas isoladas.
24
10 - 5 = 5; 5 – 10 = por não existir nos naturais, forçou os humanos a inventarem os números inteiros.
Muitos alunos acham que estes símbolos são inventados ou enfiados em contas pelos professores. Na verdade, eles são ferramentas que podem e devem ser usadas pelos alunos para ñ fazerem confusões de contas que devem realizar primeiro.
Como já realizamos algumas resoluções com expressões numéricas, vamos apenas relembrar algumas regras para resolvê-las.
Quando apresentarem parênteses, resolvemos primeiro o que estiver dentro dos parênteses, depois resolvemos o que estiver dentro de colchetes e, por último, dentro das chaves. Pode ser que algumas expressões apresentem apenas parênteses. Para resolvermos essas, pensemos em ir de dentro para fora, ou seja, sempre eliminando as contas que estão dentro dos parênteses mais interno até chegar ao mais externo.
Exm. 1: { – [ ] } – [ ] – Exm. 2: ( )
Quando as expressões apresentarem só somas ou só multiplicações, podemos fazer na ordem que quisermos, pela propriedade associativa.
Exm. 1: ⏟ OU ⏟ Exm. 2: ⏟ OU ⏟
Se houver uma mistura de operações temos uma ordem a seguir: Potências e raízes, na ordem que aparecerem;
Multiplicação e divisão, na ordem que aparecerem; adição e subtração, na ordem que aparecerem. Exm.: √
É preciso tomar cuidado com a calculadora para resolvermos expressões numéricas. Se digitarmos as operações em uma ordem na qual elas devem ser efetuadas, a calculadora ajuda, caso contrário, ela atrapalha o processo e informa coisas erradas.
Exm.: A expressão
5. Números racionais
Exm.: A largura de um terreno foi dividida em 5 partes iguais. Se um herdeiro tem 3 pedaços desta largura e o outro 2, sabemos que o primeiro tem 3/5 da largura e o outro 2/5. Essas comparações de medidas são conhecidas como razões. Assim, os Nos Racionais recebem esse nome, pois, inicialmente, foram obtidos através de razões.
Agora, imagine que você tem uma régua, tal como a reta numérica dos Nos Naturais, que só tem os nos 0, 1, 2, 3 etc. Você decide usar essa régua para medir alguma distância e, de repente, descobre que tal distância para entre os nos da régua. Isso significa que precisamos dividir o espaço entre os nos naturais para nos aproximarmos da real medida que queremos. Os números que surgem dessas divisões (frações e decimais), juntos, formam o conjunto dos nos racionais e recebem o símbolo .
5.1 Decimais
Já vimos, na tabuada de divisão, que toda vez que dividimos um no por 10 colocamos uma vírgula e um algarismo para trás dela. Esses nos que têm um algarismo atrás da vírgula, ou que são uma única divisão por 10, são conhecidos como nos decimais. Este algarismo atrás da vírgula está na posição de décimo.
No decimal com uma casa atrás da vírgula:
Porém, o mais comum é vermos os centésimos em nosso cotidiano, ou seja, dois nos atrás da vírgula. Os centésimos consistem em duas divisões por 10, ou então, em uma divisão por 100.
Dezena Unidade Vírgula Décimo Centésimo
7 8 , 6 4
Outra quantidade comum de ser vista são os milésimos, ou seja, 3 algarismos atrás da vírgula e, como diz o seu nome, é uma divisão por 1000.
Unidade Vírgula Décimo Centésimo Milésimo
0 , 6 4 9
Para comparar os nos decimais começamos comparando as ordens anteriores à vírgula. Caso elas sejam iguais, olhamos para os seus décimos. Se também forem iguais, olhamos para o centésimos; depois, para os milésimos e, assim, sucessivamente até encontrarmos algarismos diferentes numa mesma ordem. Será maior o no que tiver o algarismo maior naquela ordem.
Ex.:
13.653,4163 13.653,4136958
Podemos ver que na terceira casa decimal, o no de cima é maior.
O ruim é concluírmos que nos racionais não há como saber quem é o menor número antes de algum outro.
Exm.:
Podemos dizer que 0,512 tem o nome de “quinhentos e doze milésimos”, “cinquenta e um centésimos e dois milésimos” e “cinco décimos, um centésimo e dois milésimos”. Existem mais casas decimais para trás da vírgula, mas os nomes mais conhecidos e falados são os dessas três.
Por fim, o problema dos nos decimais está nas contas de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Elas trazem muitas regras que confundem muito, da mesma maneira que a soma e subtração com eles são mais fáceis do que com as frações. Assim, vamos ver depois as frações para aprendermos a unir as facilidades de cada forma.
5.1.1 Zeros antes de um no natural e depois da vírgula.
Nos naturais, zeros à esquerda não têm valor e nem mudam o valor do no. Para depois da vírgula, o “zero à direita” do último algarismo significativo26 não altera o valor.
Exm.:
Mas cuidado com zeros no meio de outros algarismos: Exm.: 5.1.2 Operações com racionais
Na matemática, precisamos rever coisas quando conseguimos avançar algum ponto. Como estamos trabalhando com o conjunto dos nos racionais e já vimos como escrevê-los e compará-los, então, precisamos ver como fazer as quatro operações básicas com eles.
Soma e Subtração
Imitamos o algoritmo para soma e subtração com os nos naturais, apenas ressalvando que precisamos colocar ordem embaixo de ordem e, agora, VÍRGULA EMBAIXO DE VÍRGULA. 14,20 27,5 27,50 + 20,04 - 12,28 - 12,28 34,24 15,22
Multiplicação
Multiplica-se os nos normalmente e conta-se quantos algarismos estavam antes da vírgula nos fatores. Depois, conta-se os algarismos do produto, de trás para a frente, e coloca-se a vírgula.
13,1567
} 6 algarismos depois das vírgulas 0,5
131567 25 2631340 + 100 65783500 ⏟ +131567000 200, ⏟ Potenciação
Para as potências, voltamos a considerar quantas casas estão atrás da vírgula e, tal como na multiplicação, contamos quantas casas existem nos fatores reposicionando, de trás para frente, no resultado e acrescentando zeros à esquerda dos algarismos significativos até completar a quantidade de casas atrás da vírgula.
Exm.: ;
Divisão
Para a divisão, precisamos analisar quem é o divisor e o dividendo.
Se estivermos dividindo dois nos naturais e o dividendo é menor que o divisor, acrescentamos a vírgula no quociente e fazemos a divisão colocando zeros no dividendo até que a divisão seja possível.
Se estivermos dividindo um no decimal por um no natural colocamos uma vírgula atrás do no natural divisor e tantas casas decimais quanto houver no dividendo. Daí, seguimos a divisão naturalmente.
Exm.:
Se o no decimal estiver no divisor, acrescentamos uma vírgula no dividendo e zeros atrás dela até completar o no de casa atrás da vírgula que tem no divisor, depois seguimos a divisão como se fossem dois naturais.
