Modelos lineares mistos na estimação do dispêndio energético em adultos

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Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

Modelos Lineares Mistos na estimação do dispêndio

energético em adultos

Laetitia da Costa Teixeira

Licenciada em Matemática – ramo científico da Matemática Aplicada pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto

Dissertação submetida para satisfação parcial dos requisitos do grau de mestre em Estatística Aplicada e Modelação

Dissertação realizada sob a supervisão da Professora Doutora Denisa Maria de Melo Vasques de Mendonça

do Instituto de Ciências Biomédicas Abel Salazar e do Professor Doutor José Carlos Rodrigues Dias Ribeiro

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Resumo

A Actividade Física assume um papel fundamental na manutenção da Saúde da população em geral, sendo por isso cada vez mais recomendada. O conceito de Actividade Física envolve várias dimensões, destacando-se a intensidade. A intensidade de qualquer tipo de actividade pode ser representada através do dispêndio energético, que se traduz na quantidade de energia convertida aquando da realização de qualquer actividade por unidade de tempo.

O objectivo do presente trabalho é a utilização de Modelos Lineares Mistos na estimação do dispêndio energético em função da frequência cardíaca e de outros factores que possam influenciar a relação entre estes.

Para alcançar o objectivo proposto, foi realizado um estudo que incidiu sobre jovens e adultos, na faixa etária 19-45 anos de ambos os sexos. Os 32 sujeitos que participaram no estudo foram submetidos a um protocolo de corrida com a duração máxima de 15 minutos, onde eram registados os valores de frequência cardíaca e dispêndio energético minuto-a-minuto. Também foram recolhidos os dados relativos ao sexo, idade, frequência cardíaca de repouso, peso e altura dos participantes. Foram utilizados os Modelos Lineares Mistos para estimar o dispêndio energético em função da frequência cardíaca ajustando para as variáveis relevantes em análise. Dos modelos testados, o que se revelou mais adequado para os dados em estudo foi o que continha como variáveis de efeitos fixos a frequência cardíaca, a frequência cardíaca de repouso, o peso e a idade e como variável de efeito aleatório apenas a intercepção de cada sujeito. A reduzida dimensão amostral, não permitiu a avaliação de modelos válidos mais complexos considerando, por exemplo um declive aleatório. Os resultados obtidos estão em conformidade com outros trabalhos já realizados em outros países, sendo este o primeiro estudo a ser realizado em Portugal que se tenha conhecimento.

Dada a associação existente entre o dispêndio energético e a frequência cardíaca, esta torna-se um bom estimador do dispêndio energético permitindo encontrar um modelo preditivo do dispêndio energético que poderá ter aplicações na área da Saúde e do Desporto.

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Abstract

Physical activity has an important role on attainment or maintenance of population health, therefore, it is increasingly recommended. The concept of physical activity involves many dimensions. This research focuses in one of these dimensions, the intensity. The intensity of any activity can be calculated through energy expenditure, which is the amount of energy converted when carrying out any activity per unit of time.

The purpose of this study was to estimate energy expenditure according to heart rate considering also the influence of other factors, through the application of the Mixed Linear Models.

To achieve this objective, we performed a study that focused on youth and adults, aged 19-45 years. A total of 32 subjects were submitted to a protocol running with the maximum of 15 minutes, where the values of the cardiac frequency and the energy expenditure were measured and registered systematically minute-by-minute. In addition, data related to sex, age, cardiac frequency at rest, weight and height of the participants were also collected. Mixed Linear Models were applied to estimate energy expenditure according to cardiac frequency adjusted for the relevant variables. The suitable model, among all tested, was the one that contained as variables with fixed effects the cardiac frequency, the cardiac frequency at rest, the weight and height and as random variable the interception of each subject. The relatively small sample involved precludes the analysis of more complex models. Our findings corroborate results from several similar studies carried out on other countries, to the best of our knowledge this is the first study in this area carried out in Portugal.

Given the association between the energy expenditure and the cardiac frequency, that becomes a good estimator of energy expenditure, which enables a predictive model that can be used in Medicine and Sports.

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Índice

1 Introdução 10

1.1 Objectivos do estudo 12

1.2 Estrutura da dissertação 12

2 Actividade Física e Dispêndio Energético – Revisão Bibliográfica 14

2.1 Introdução 14

2.2 Dispêndio energético 16

2.3 Métodos de avaliação do dispêndio energético 18

3 Modelos Lineares Mistos 29

3.1 Introdução 29

3.2 Modelos Lineares Mistos 34

3.3 Tipos de factores 36

3.4 Formulação 38

3.5 Estruturas de covariância para as matrizes Ri e D 41

3.6 O Modelo Linear Marginal 47

3.7 Estimação dos parâmetros do Modelo Linear Misto 48

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3.9 Diagnóstico dos pressupostos do modelo 56 3.10 Esquema de análise utilizando Modelos Lineares Mistos 57 4 Uma aplicação dos Modelos Lineares Mistos na estimação do dispêndio

energético 61

4.1 Introdução 61

4.2 Material e Métodos 68

4.3 Resultados 70

4.4 Discussão dos resultados 92

5 Conclusão 96

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Lista de Figuras

Figura 1: Métodos de estimação do dispêndio energético de acordo com precisão e facilidade de avaliação (Fonte: Ulf Ekelund (2004) [29]). 19 Figura 2: Estrutura hierárquica de um estudo com medidas repetidas no tempo. 30

Figura 3: Protocolo de teste. 73

Figura 4: Comportamento da frequência cardíaca (FC) e do dispêndio energético

(DE), segundo o sexo. 75

Figura 5: Gráficos de dispersão dispêndio energético vs frequência cardíaca. 76 Figura 6: Gráficos de perfis para o sexo masculino e feminino. 76 Figura 7: Diagrama de dispersão do dispêndio energético observado vs estimado. 89

Figura 8: Bland-Altman. 90

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Lista de Tabelas

Tabela 1: Quadro resumo dos estudos que utilizam a FC para estimar o DE. 27

Tabela 2: Estrutura de dados longitudinais. 33

Tabela 3: Protocolo de teste. 69

Tabela 4: Análise descritiva da amostra. 71

Tabela 5: Percentagem de participantes que cumprem cada minuto de prova, de

acordo com o sexo. 71

Tabela 6: Coeficientes de correlação de Pearson entre medidas repetidas do

dispêndio energético. 74

Tabela 7: Modelo para predição do dispêndio energético. 78

Tabela 8: Resumo dos modelos lineares mistos construídos. 78

Tabela 9: Modelo 0. 79

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Introdução

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1 Introdução

A actividade física habitual é um comportamento de grande importância para a promoção de uma vida saudável, tanto na infância e juventude, como na idade adulta [1, 2]. Segundo a Organização Mundial de Saúde (OMS) [3], uma má alimentação e o sedentarismo estão entre as principais causas de doenças não transmissíveis, tais como doenças cardiovasculares, diabetes e alguns tipos de cancro, para além de contribuírem, a uma escala mundial, para um aumento da morbilidade, mortalidade e de incapacidade. Além disso, considera a actividade física como um meio fundamental de melhorar a saúde física e mental dos indivíduos.

A actividade física é um comportamento complexo, variável e multidimensional. As principais dimensões que compõem a actividade física são a duração (minutos ou horas), a frequência (vezes por semana ou por mês) e intensidade [kcal/min, equivalentes metabólicos (MET’s) ou frequência cardíaca (FC)] [4]. Assim, um único instrumento não pode avaliar adequadamente todas as dimensões da actividade física, sendo a escolha feita de acordo com os objectivos pretendidos [5].

O dispêndio energético quantifica a energia convertida aquando da realização de qualquer actividade por unidade de tempo e é expressa em quilocalorias/minuto (kcal/min). Assim, através do cálculo do dispêndio energético é possível quantificar a

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Introdução

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Dado que o dispêndio energético se refere à quantidade de energia utilizada numa determinada actividade, a quantificação deste pode ser obtida de acordo com diferentes parâmetros, sendo um desses parâmetros a frequência cardíaca. Este

método preenche muitos dos critérios para estimação do dispêndio energético (contínuo, directo e objectivo), sendo relativamente barato, simples de usar, robusto e versátil, não-invasivo, estável e bem tolerado pelos sujeitos, podendo ser utilizado por qualquer faixa etária [6-8].

Estudos anteriores revelaram que a relação entre frequência cardíaca e dispêndio energético é do tipo linear para intensidades elevadas de actividade física. Assim, conhecendo a relação entre estas duas variáveis é possível, através da frequência cardíaca, fazer a estimativa do dispêndio energético e, consequentemente, obter uma estimativa da intensidade da actividade física realizada [1].

Dada a importância do estudo do dispêndio energético como indicador da actividade física e, consequentemente, de saúde, já são vários os estudos que estudaram a relação entre frequência cardíaca e dispêndio energético. O projecto ADEmobile (Avaliação Móvel do Dispêndio Energético) foi criado com o objectivo principal de obter um método de avaliação do dispêndio energético que possa ser integrado em roupa inteligente e “vestível” (Vital Jacket®_{). A Vital Jacket}® _{é uma}

camisola concebida para monitorizar a frequência cardíaca, podendo ser utilizada em diversos contextos (saúde, lazer, desporto, etc). Das instituições envolvidas neste projecto destacam-se o Instituto de Engenharia Electrónica e Telemática de Aveiro (IEETA) da Universidade de Aveiro, o Instituto de Engenharia de Sistemas e Computadores do Porto (INESC), a Biodevices e o Centro de Investigação em Actividade Física, Saúde e Lazer (CIAFEL) da Faculdade de Desporto da Universidade do Porto (FADEUP).

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Introdução

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1.1 Objectivos do estudo

O objectivo do presente trabalho é a aplicação de modelos matemáticos na estimação do dispêndio energético através de valores da frequência cardíaca ao longo de uma prova de corrida.

1.2 Estrutura da dissertação

A dissertação é constituída por 6 capítulos. No Capítulo 1 faz-se uma breve introdução ao tema em estudo e são apresentados os objectivos do estudo.

No capítulo 2 apresenta-se a revisão bibliográfica relativamente ao dispêndio energético, onde são apresentadas as definições e descrições dos métodos existentes para a estimação do mesmo.

No Capítulo 3 apresentam-se os conceitos teóricos sobre a metodologia utilizada na modelação estatística de dados de medidas repetidas. Procede-se à formulação dos Modelos Lineares Mistos.

No Capítulo 4 é apresentada uma aplicação dos Modelos Lineares Mistos na estimação do dispêndio energético, iniciando-se com a descrição de outros estudos similares ao apresentado neste trabalho, bem como a descrição do Material e Métodos. A apresentação dos resultados inicia-se com uma breve descrição da amostra, seguindo-se a aplicação dos modelos lineares mistos.

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2. Actividade Física e Dispêndio Energético –

Revisão Bibliográfica

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Actividade Física e Dispêndio Energético – Revisão bibliográfica

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2 Actividade Física e Dispêndio Energético –

Revisão bibliográfica

2.1 Introdução

A actividade física é um comportamento muito importante na promoção de uma vida saudável, qualquer que seja a faixa etária [1, 2]. Segundo a Organização Mundial de Saúde (OMS) [3], a actividade física é um meio fundamental na melhoria da saúde física e mental da população. Segundo a mesma, uma alimentação inadequada e o sedentarismo estão entre as principais causas de doenças não transmissíveis, tais como doenças cardiovasculares, diabetes e alguns tipos de cancro, contribuindo no aumento da morbilidade, mortalidade e de incapacidade.

Deste modo, a actividade física começa a estar incluída nas recomendações para a promoção da saúde. A Fundação Portuguesa de Cardiologia (FPC) e a OMS destacam os benefícios da actividade física na prevenção das doenças cardiovasculares, pois esta interfere no controlo de diversos factores de risco deste tipo de doenças, como por exemplo no caso da hipertensão arterial, tabagismo, stress, excesso de peso/obesidade, diabetes tipo II e hipercolesterolémia, redução de certos tipos de cancro (como o da mama e o do cólon) e prevenção e tratamento da obesidade [3, 9].

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o bem-estar físico, psíquico e social das populações, com particular ênfase nos países mais industrializados [9], onde se verifica uma acentuada redução da actividade física, que se traduz por custos individuais e sociais elevados [10]. As recomendações, segundo a American Heart Association (AHA) [11] e a OMS [3], são para a prática de pelo menos 30 minutos de actividade física moderada de preferência todos os dias, ao longo de toda a vida, de modo a diminuir o risco de doenças cardiovasculares, de diabetes e de cancro do cólon e da mama. Para Haskell (2007) [12], as recomendações são da prática de um mínimo de 30 minutos de actividade física moderada em 5 dias da semana ou um mínimo de 20 minutos de actividade física vigorosa em 3 dias de cada semana por adultos saudáveis entre os 18 e os 65 anos, de modo a promover e manter a saúde.

De facto, segundo Lopes e Maia [10], “O sedentarismo é, na realidade, um problema de saúde pública, sendo a actividade física entendida como um “medicamento” de eficácia comprovada”.

A actividade física é um comportamento complexo, variável e multidimensional. As principais dimensões que compõem a actividade física são a duração (minutos ou horas), a frequência (vezes por semana ou por mês) e intensidade [kcal/min, equivalentes metabólicos (MET’s) ou frequência cardíaca (FC)] [4]. Assim, um único instrumento não pode avaliar adequadamente todas as dimensões da actividade física, sendo a escolha feita de acordo com os objectivos pretendidos [5].

De modo a melhor compreender a relação existente entre actividade física e saúde, é necessário desenvolver métodos quantitativos e objectivos de avaliação da actividade física na vida quotidiana do homem, da mulher e da criança [4, 13].

Utilizando a definição proposta por Caspersen et al (1985) [14], define-se actividade física como qualquer movimento corporal produzido pelos músculos esqueléticos que resulte em dispêndio energético. O que esta definição destaca como importante é a tradução da actividade física em gasto energético, não importando o

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tipo de actividade física nem o contexto da sua realização [10]. Assim, através da estimação do dispêndio energético é possível obter-se uma quantificação da actividade física realizada. Dos métodos existentes para a quantificação do dispêndio energético destacam-se a calorimetria directa e indirecta, a água duplamente marcada, o método da frequência cardíaca, os sensores de movimentos e os questionários.

O principal interesse na avaliação da actividade física numa população reside na necessidade de estabelecer o estado habitual da actividade física dessa mesma população e determinar se esta se encontra dentro dos critérios adequados e fundamentais que levam a um óptimo estado de saúde [2].

2.2 Dispêndio energético

Através da definição de actividade física escolhida, podemos definir o dispêndio energético como a energia necessária para a realização de uma qualquer actividade [15]. Esta definição traz uma grande vantagem pois consegue traduzir a actividade física em termos de dispêndio energético, independentemente do tipo de actividade ou contexto da sua realização (lazer, trabalho, desporto, etc) [10]. Esta quantificação da actividade física em termos de dispêndio energético deve-se ao facto do organismo humano obedecer à lei da conservação da energia e de que, toda a energia utilizada para a actividade física é retirada dos alimentos ingeridos [4]. De facto, o homem é incapaz de consumir energia, restituindo a energia retirada dos alimentos ao meio externo de modo imediato ou retardado, de modo idêntico e, portanto, químico (ureia, creatinina, por exemplo) ou de modo diferente (energia mecânica e térmica)

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O dispêndio energético é constituído por 3 componentes: o dispêndio basal (ou de repouso), o dispêndio da actividade física e o efeito térmico dos alimentos. O dispêndio basal, que corresponde entre 60% a 75% do dispêndio energético total, corresponde ao dispêndio energético mínimo para o funcionamento e manutenção do organismo, não sofrendo grandes alterações com a alimentação. O efeito térmico da transformação dos alimentos corresponde a aproximadamente 10% do gasto diário total e está associado ao custo do armazenamento dos alimentos. Finalmente, o dispêndio energético associado à actividade física representa entre 15% a 30% dos custos totais, sendo esta a componente com maior variabilidade inter-individual. Este dispêndio corresponde a todo o dispêndio energético para além do dispêndio basal que seja provocado por algum tipo de movimento, seja em actividades da vida quotidiana ou em exercício físico mais intenso [16-18].

Apesar das noções de actividade física e dispêndio energético estarem intimamente relacionadas, não podemos considerar estes dois termos como sinónimos [18]. Os motivos que levam à sua distinção são o facto de apenas uma das componentes do dispêndio energético estar relacionada com a actividade física e da necessidade de ter em conta a massa corporal para a estimação do dispêndio energético de um determinado indivíduo, dado que para a mesma actividade física, um sujeito com maior massa muscular despende maior quantidade de energia [10].

O dispêndio energético é extremamente variável de pessoa para pessoa. Este factor é muito importante aquando da definição das necessidades energéticas individuais. Relativamente à fatia que corresponde à actividade física, esta é a que apresenta maior variabilidade pois esta depende do tipo e intensidade do exercício (sendo que um aumento na frequência e intensidade da actividade física provoca um aumento do dispêndio energético) [17, 19]. Características como o sexo, a idade, a altura, o peso e a composição corporal também são factores que levam à variabilidade do dispêndio energético [20-22], sendo por isso necessário ter em

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consideração estas características aquando da estimação do dispêndio energético associado à actividade física.

A estimação do dispêndio energético traz informações importantes sobre o comportamento dietético e da actividade física em diferentes grupos de indivíduos com diferentes interesses. Na área do desporto, a necessidade da prescrição do exercício [21] e da estimação adequada do aporte calórico a ser administrado (especialmente para atletas que necessitam controlar o peso) [23] faz da estimação do dispêndio energético uma ferramenta essencial nesta área. Ao nível da saúde, ela pode ajudar nos programas de redução de peso [23], sendo também importante no estudo de diversos distúrbios metabólicos [24].

2.3 Métodos de avaliação do dispêndio energético

Segundo Wareham & Rennie (1998), citado por Rennie (2000) [25], o desenvolvimento de métodos válidos e objectivos para avaliar o dispêndio energético tem um papel importante em estudos populacionais. Estes métodos pretendem ser úteis no estudo da forte relação que existe entre actividade física e saúde, podendo ser aplicados na monitorização das alterações do dispêndio energético de uma população ao longo do tempo, na descrição de eventuais diferenças culturais, na avaliação de intervenções com objectivos de incrementar a actividade física e na monitorização dos custos energéticos de qualquer actividade humana.

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medição do dispêndio energético tem que ter em conta o objectivo pretendido e possuir as seguintes características [26, 27]: fiável, preciso, reprodutível, que não interfira (ou que interfira pouco) com o quotidiano do sujeito (free-living), socialmente aceite e de custo razoável. Em estudos de avaliação do dispêndio energético em populações, também é necessário ter em conta aspectos como o número de participantes e o tempo e orçamento disponível para o estudo [28].

A calorimetria directa, a calorimetria indirecta, a água duplamente marcada, a frequência cardíaca, os sensores de movimento e os questionários são alguns dos métodos mais abordados na literatura para a estimação do dispêndio energético. Na Figura 1 estão representados os diferentes métodos de avaliação do dispêndio energético em função da precisão e da facilidade de avaliação [29].

Figura 1: Métodos de estimação do dispêndio energético de acordo com precisão e facilidade de avaliação (Fonte: Ulf Ekelund (2004) [29]).

• Calorimetria directa

A calorimetria directa é o método mais preciso para o cálculo do dispêndio energético e tem por base o Princípio da Conservação da Energia. Segundo este

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princípio, o dispêndio de uma quantidade fixa de energia resultará sempre na produção da mesma quantidade de calor. Assim, pode-se deduzir que a energia utilizada durante a actividade física é aproximadamente igual ao calor produzido pelo corpo [23]. Por isso, a calorimetria directa requer uma câmara altamente sofisticada, que permite medir o calor libertado pelo corpo, tal como o vapor de água libertado pela respiração e pela pele [30]. Sabendo que o aumento de 1ºC por quilograma de água equivale a 1kcal de energia, pode-se deste modo estimar o dispêndio energético através do calor libertado pelo organismo, calculando o aumento de temperatura da água que circunda a câmara [23]. A calorimetria directa é altamente precisa, de grande importância teórica e ideal para estudos controlados, porém a sua utilização é limitada [23, 31]. O custo deste equipamento é muito elevado e não é apropriado para determinar o dispêndio energético na maioria das actividades desportivas, recreativas e ocupacionais, dado que o avaliado deve permanecer na câmara durante o período da avaliação, não podendo por isso ser utilizado em estudos populacionais [18, 23, 30].

• Calorimetria Indirecta

A calorimetria indirecta baseia-se no princípio de que a oxidação dos substratos energéticos pode ser avaliada através das trocas gasosas do organismo com o meio ambiente e que esta oxidação está associada quase na sua totalidade a uma produção de energia. A utilização do termo indirecta justifica-se pelo facto da produção de energia ser calculada a partir dos equivalentes calóricos do oxigénio consumido e do dióxido de carbono produzido, ao contrário do que acontece com a calorimetria directa que tem como fundamento a transferência de calor do organismo para o meio ambiente [17, 32]. Assim, os aparelhos de calorimetria indirecta medem o consumo

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Os estudos efectuados por calorimetria mostraram que são libertados aproximadamente 4,82kcal quando é “queimada” uma mistura de hidratos de carbono, gorduras e proteínas num litro de oxigénio. Mesmo com grandes variações da mistura metabólica, verifica-se uma oscilação ligeira deste valor calórico do oxigénio. Na maioria dos casos, é utilizado o valor aproximado de 5,0kcal por litro de oxigénio para estimar o dispêndio energético [18].

A grande vantagem relativamente à calorimetria directa é o facto de existirem métodos portáteis, que possibilitam efectuar estudos fora do laboratório [31]. Contudo, o embaraço social e as restrições impostas pelo equipamento podem trazer mudanças comportamentais e conduzir a alterações nos valores de dispêndio energético medidos [33].

• Método da água duplamente marcada

O método da água duplamente marcada é uma medida de calorimetria indirecta, e considerada por muitos como o ”gold-standard” nos métodos para estimação do dispêndio energético [25, 28, 30]. Este método consiste na ingestão de uma água marcada por oxigénio (18_{O) e hidrogénio (deutério). O oxigénio é eliminado mais}

rapidamente do que o deutério e esta diferença na velocidade de eliminação depende da produção de CO2. A medida da diferença de eliminação do deutério e do oxigénio

18 na urina permite o cálculo da produção de CO2 e, consequentemente, do dispêndio

energético [16]. Apesar de ser um método muito preciso e objectivo na quantificação do dispêndio energético e permitir determinar o dispêndio energético total nas condições habituais de vida, o custo elevado dos isótopos, a necessidade de pessoal e equipamento especializado e a não identificação das actividades isoladamente limita o seu uso em estudos mais amplos [28, 30, 31].

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• Sensores de movimento

Os sensores de movimento são instrumentos utilizados para quantificar uma generalidade de movimentos realizados no quotidiano, possibilitando a estimação do respectivo dispêndio energético de modo objectivo e preciso. Esta quantificação tem por base a medição do movimento ou aceleração corporal, isto é, a componente dinâmica da actividade física [15, 34] . Os acelerómetros e os pedómetros são exemplos de sensores de movimento.

Os pedómetros são instrumentos desenvolvidos especificamente para avaliar o comportamento do indivíduo durante a marcha, estimando a distância percorrida através do registo do número de passos [35]. A vantagem da utilização deste aparelho é a possibilidade de registar dados num largo período de tempo, permitindo a avaliação da actividade física num ou mais dias. No entanto, apesar de a contagem dos passos ser precisa, não é possível fazer a distinção entre corrida e marcha, assumindo que o sujeito gasta a mesma quantidade de energia por cada passo [15]. Estes aparelhos têm vindo a ser melhorados, existindo já modelos que, à semelhança dos acelerómetros, diferenciam intensidades de exercício.

Ao contrário dos pedómetros, os acelerómetros medem a variação da aceleração do corpo durante o movimento. Assim, fornecem medidas directas, objectivas e detalhadas sobre frequência, intensidade e duração da actividade física [34, 36]. Das vantagens na utilização dos acelerómetros para a estimação do dispêndio energético destacam-se a possibilidade de ser utilizado em qualquer escalão etário, em condições reais de vida, pelo facto de não interferir com as actividades do quotidiano, a grande capacidade de armazenamento de dados e a capacidade de avaliar a actividade física durante períodos específicos, possibilitando a análise da frequência, intensidade e duração [15, 34]. No entanto, possui algumas

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de peso onde o aumento da carga de trabalho não implica um aumento de dispêndio energético, é uma das principais desvantagens na utilização deste método [15].

• Questionários

A utilização de questionários é dos métodos mais utilizados para estudar a relação entre actividade física e variáveis da saúde. Este método é relativamente barato, fácil de administrar, não-invasivo e versátil e são muitas as informações acerca da actividade física que se podem obter através de um questionário ou de uma entrevista. Aquando do uso deste método, os participantes do estudo são questionados acerca da prática de actividade física durante um determinado período (por exemplo, um dia, uma semana ou um mês) ou sobre comportamentos habituais de actividade.

Os questionários diferem entre si relativamente ao seu tamanho e complexidade. Dada a grande diversidade de questionários, a sua escolha para um determinado estudo tem que ter em conta vários factores, como por exemplo a população a que se destina e se pretende resumir comportamentos ou calcular um índice relativo a alguma dimensão da actividade física. As limitações deste método estão associadas à interpretação subjectiva dos questionários, que pode resultar em informação enviesada dada pelos inquiridos, e à falta de precisão para medir uma componente da actividade física (como, por exemplo, o dispêndio energético) [36, 37].

• Método da frequência cardíaca

Na tentativa de desenvolver uma técnica possível de ser aplicada em vastos estudos epidemiológicos, nos quais a simplicidade e rapidez de medição são

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importantes [38], surgiu a necessidade de serem exploradas técnicas de predição do dispêndio energético usando a frequência cardíaca.

A frequência cardíaca tem sido usada como um método objectivo de avaliar a actividade física dado que existe uma associação forte e positiva entre a frequência cardíaca e o dispêndio energético durante o exercício. Sob condições laboratoriais, existe uma relação linear entre a frequência cardíaca e o consumo de oxigénio (VO2)

para uma vasta gama de intensidades de exercícios, particularmente para frequência cardíaca entre os 110 batimentos/minuto (bpm) e os 150 bpm [18, 31, 36]. Se essa relação precisa for conhecida, a frequência cardíaca do exercício poderá ser usada para estimar a captação de oxigénio e, consequentemente, o dispêndio energético durante as formas semelhantes de actividade física [18].

Este método preenche muitos dos critérios para estimação do dispêndio energético (contínuo, directo e objectivo), sendo relativamente barato, simples de usar, robusto e versátil, não-invasivo, estável e bem tolerado pelos sujeitos, podendo ser utilizado por qualquer faixa etária [6-8].

Dado que o método da frequência cardíaca não mede directamente a actividade física mas sim a resposta fisiológica do indivíduo ao exercício, existem factores que podem influenciar a relação entre frequência cardíaca e dispêndio energético [36]. Segundo Berggren & Christensen (1950), citado por Zakeri (2008) [39], é necessário ter em conta factores como o sexo, a idade, a composição corporal e o nível de aptidão física pois estes afectam a relação linear entre a frequência cardíaca e o dispêndio energético. Também alguns factores externos, como temperatura ambiental, emoções, ingestão prévia de alimentos, posição corporal, grupos musculares exercitados e continuidade do exercício [18] podem influenciar a resposta da frequência cardíaca ao exercício. Outra limitação é o facto da monitorização da frequência cardíaca não ser um bom preditor do dispêndio energético para níveis

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Existem diversos equipamentos que possibilitam a monitorização da frequência cardíaca, sendo que os que utilizam eléctrodos são considerados válidos e fiáveis em condições desgastantes, tanto física como mentalmente [6]. A evolução destes equipamentos permite uma recolha simples e precisa da frequência cardíaca durante um teste de esforço ou durante o dia-a-dia, sem interferência com as actividades habituais [40]. Com o desenvolvimento de monitores de frequência cardíaca portáteis com transmissão de dados através de redes sem fios (“wireless”), a frequência cardíaca torna-se o método mais utilizado para obter indicação sobre a intensidade do exercício no “campo”, incluindo actividades aquáticas, possibilitando o uso os dados de frequência cardíaca para ajustar a intensidade do exercício no momento em que for necessário [6]. Os monitores de frequência cardíaca também são capazes de recolher informação acerca dos padrões de actividade física e das várias componentes, incluindo frequência, intensidade e duração [36].

Várias técnicas podem ser utilizadas para usar os dados da frequência cardíaca na estimação do dispêndio energético. O método mais simples determina o número de minutos despendidos dentro de zonas definidas de frequência cardíaca para fornecer uma estimativa da quantidade de tempo dispensado em actividades de várias intensidades. Payne et al. (1971) [41] utilizaram a pulsação média como preditora do dispêndio energético. Uma melhoria relativamente a estas abordagens é determinar o número de minutos gastos acima de certas percentagens da frequência cardíaca de reserva (FCR), que se obtém subtraindo a frequência cardíaca de repouso (FCrepouso) à frequência cardíaca máxima (FCmáxima) (FCR=FCmáxima-FCrepouso). O método

da frequência cardíaca de reserva permite comparações entre indivíduos de diferentes níveis de fitness considerando que a percentagem da FCR (%FCR) pode ser directamente validada pela percentagem de VO2 de reserva.

Outro método proposto para estimação do dispêndio energético utilizando dados de frequência cardíaca é designado pelo método “Flex HR”. Este método deriva as curvas de calibração individuais de FC-VO2 em laboratório para cada um dos

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participantes. A relação entre a frequência cardíaca e VO2 é linear num vasto conjunto

de intensidades de exercício, excepto para intensidade baixas. Dada a dificuldade em estabelecer uma simples equação de regressão que se aplique a todos os indivíduos, a técnica “Flex HR” produz uma curva de calibração individual para cada participante através da medição simultânea da frequência cardíaca e consumo de oxigénio em diferentes condições (durante exercícios de intensidades distintas e nas posições deitada, sentada e de pé). O declive da recta de regressão encontrada para actividades sedentárias é significativamente diferente daquele obtido em exercício, definindo-se o “Flex HR” como o ponto onde os dois declives divergem. O método “Flex HR” é o mais preciso para estimar o dispêndio energético com dados de frequência cardíaca, mas possui limitações. A regressão linear utilizada na calibração individual em ambiente laboratorial é específica da performance de actividade, e pode não estar a ser cuidadosamente representada pela resposta cardiovascular associada à actividade sob condições de vida quotidiana, para além de ser um método muito moroso [7, 13, 25, 36, 38, 42-46].

Na Tabela 1 estão descritos alguns estudos que utilizam as diversas técnicas de utilização dos dados de frequência cardíaca para estimação do dispêndio energético. Diferentes estudos utilizam outras técnicas como a regressão linear (simples e múltipla) utilizando como preditora do dispêndio energético a média da frequência cardíaca [8, 21, 40, 47-50], as redes neuronais [51] e a utilização de análise de dados de medidas repetidas [1, 39, 52-54] têm sido utilizados para encontrar modelos de predição do dispêndio energético em função da frequência cardíaca. O método de avaliação refere-se ao método de avaliação do dispêndio energético adoptado em cada estudo.

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Tabela 1: Quadro resumo dos estudos que utilizam a FC para estimar o DE. Autor Método Método validação Amostra

Payne et al (1971) [41] Regressão linear (Pulsação média)

Equações de predição

174 adultos de ambos os sexos Spurr et al (1988) [46] Regressão linear (“Flex

HR”) Calorimetria indirecta 22 adultos de ambos os sexos Ceesay et al (1989) [38]

Regressão linear (“Flex

HR”) Calorimetria indirecta 20 adultos de ambos os sexos Livingstone et al (1990)[45]

HR”) Água duplamente marcada 14 adultos de ambos os sexos Livingstone et al (1992) [44]

HR”) Água duplamente marcada 36 crianças de ambos os sexos Livingstone et al (2000) [7]

HR”) Calorimetria indirecta 7 crianças do sexo masculino Rennie et al (2000) [25]

HR”)

Calorimetria indirecta

8 adultos de ambos os sexos.

Grund et al (2000) [43] Regressão linear (“Flex

HR”) Calorimetria indirecta 40 crianças de ambos os sexos Rennie et al (2001) [13]

HR”) Calorimetria indirecta 97 adultos de ambos os sexos Ekelund et al (2002) [42]

HR”)

Água duplamente marcada

8 adolescentes do sexo masculino

Meyer et al (1995) [40] Regressão linear Calorimetria

indirecta

20 adultos do sexo masculino Brage et al (2004) [48] Regressão linear (“Flex

HR”)

12 adultos do sexo masculino Brage et al (2007) [52] Modelos lineares

mistos

51 adultos de ambos os sexos. Zakeri et al (2008) [39] “Cross-sectional time

series” Calorimetria directa 109 crianças e adolescentes de ambos os sexos Firsbeat Tecnologies Ltd. (2007) [51] Redes neuronais Calorimetria indirecta 32 adultos de ambos os sexos Dutra et al., 2007 [21] Regressão linear Calorimetria

indirecta 30 adultos de ambos os sexos Machado et al., 2008 [50] Regressão linear Calorimetria indirecta 19 adultos do sexo masculino Hiilloskorpi et al., 2003 [1] Modelos lineares generalizados Calorimetria indirecta 89 adultos de ambos os sexos Keytel et al., 2005 [54] Modelos lineares

mistos

115 adultos de ambos os sexos Dugas et al., 2005 [53] Modelos lineares

mistos

65 adultos de ambos os sexos

Brage et al., 2006 [47] Regressão linear - 24 adultos de ambos

os sexos Eston et al., 1998 [49] Regressão linear Calorimetria

indirecta

30 crianças de ambos os sexos Strath et al., 2000 [8] Regressão linear Calorimetria

indirecta

61 adultos de ambos os sexos

(28)

(29)

Modelos Lineares Mistos

_____________________________________________________________________________________________

3 Modelos Lineares Mistos

3.1 Introdução

Os dados de medidas repetidas têm sido amplamente utilizados em diversas áreas de investigação, assumindo um papel cada vez mais importante relativamente aos dados transversais. Referimo-nos a dados longitudinais quando múltiplas observações são efectuadas no mesmo sujeito ou unidade de análise ao longo do tempo. Medidas repetidas podem envolver medições efectuadas na mesma unidade de análise ao longo do tempo, ou alterando as condições experimentais ou de observação. Medições efectuadas para a mesma variável no mesmo sujeito são provavelmente correlacionadas. Os modelos construídos para dados longitudinais ou de medidas repetidas envolvem a estimação dos parâmetros de covariância de modo a ter em conta essa correlação [55].

Note-se que em muitos casos, quando a variável dependente é medida ao longo do tempo, torna-se difícil classificar os dados como longitudinais ou de medidas repetidas. No contexto de análise de dados usando Modelos Lineares Mistos, esta distinção não é crítica. O facto importante a ter em conta neste tipo de dados é a variável dependente ser medida mais do que uma vez para cada unidade de análise, com as medidas repetidas provavelmente correlacionadas. Portanto, a utilização dos termos “dados de medidas repetidas” ou “dados longitudinais” pode ser efectuada sem perda de generalidade [55]. Um dado a ter em atenção é a distinção entre dados

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longitudinais de uma série temporal. Enquanto que uma série temporal é a observação de uma única unidade amostral ao longo de muitos instantes no tempo, os dados longitudinais referem-se à medição de várias unidades amostrais em poucos instantes [56].

Visto que os dados de medidas repetidas apresentam estrutura hierárquica, uma vez que estas se encontram aninhadas dentro do indivíduo [57], Maia et al (2005) [58] propõem outra definição de dados de medidas repetidas, como sendo um conjunto de informações com planos hierárquicos ou multinível de grandezas diferentes. Assim, considerando a situação com apenas 2 níveis, as medidas repetidas no tempo (1º nível) estão dependentes dos sujeitos (2º nível), tal como sugere a Figura 2:

Figura 2: Estrutura hierárquica de um estudo com medidas repetidas no tempo. (Fonte: Maia et al (2005) [58]).

A possível existência de dependência entre os dados de medidas repetidas exige a estimação da matriz de covariância dos dados de modo a captar essa correlação [55, 59, 60]. O fenómeno de “tracking” é uma consequência prática da existência desta dependência. Segundo este conceito, os sujeitos com níveis de resposta mais altos (ou mais baixos) no início do estudo tendem a manter as suas posições relativas ao longo

(31)

_____________________________________________________________________________________________

Os dados de medidas repetidas podem ser classificados de acordo com o esquema de recolha de dados adoptado. Assim, podem ser considerados dois tipos de dados: dados balanceados e dados não balanceados. Quando todos os sujeitos são observados nos mesmos instantes (igualmente espaçados ou não) ou em situações distintas em análise, os dados são designados de balanceados. Pelo contrário, os dados são ditos não balanceados quando se verifica uma das três situações seguintes: diferentes sujeitos são observados em conjuntos distintos de instantes, os dados são recolhidos de modo irregular no tempo ou, apesar de serem do tipo balanceado, existem dados omissos [56].

A presença de medida de baseline em dados de medidas repetidas é uma particularidade que os caracteriza [61]. Na maioria dos estudos com medidas repetidas, o principal objectivo é avaliar mudanças globais ou individuais ao longo dos momentos, possibilitando a realização de uma avaliação directa dessas alterações e identificando possíveis factores que influenciam essas mudanças [56].

Uma das vantagens na utilização de dados de medidas repetidas é a possibilidade de observar a variável resposta nos sujeitos em análise, considerando níveis constantes para outras covariáveis que possam influenciá-la. É também importante notar que alguns parâmetros dos modelos estatísticos subjacentes podem ser estimados de forma mais eficiente sob planeamentos longitudinais do que sob planeamentos transversais com o mesmo número de observações [56].

Apesar das diversas vantagens da utilização de dados de medidas repetidas, também existem algumas desvantagens. A maior desvantagem de um estudo com dados de medidas repetidas é o elevado custo que este pode implicar para garantir a observação das unidades amostrais nos instantes pretendidos ou pelo período do estudo ser muito longo. A nível de tratamento estatístico destes dados, é necessário ter em conta a sua estrutura de modo a escolher o método adequado e que tem em conta as suas características específicas [56, 61].

(32)

_____________________________________________________________________________________________

Seja Yij a variável resposta (ou dependente) para o sujeito i

(

i=1,...,N

)

no

instante j

(

j =1,...,ni

)

onde N representa o número total de sujeitos que constituem

a amostra e ni o número de observações para o i -ésimo sujeito. Assim, para o sujeito

i, podemos agrupar as ni variáveis resposta num único vector de dimensão ni×1:

N i Y Y Y i in i i i , 1, , 2 1 K M =               = Y (1)

Este vector também é conhecido como “perfil individual de resposta”. Assume-se que os N vectores de resposta

(

Y₁,K,Y_N

)

_{são independentes uns dos outros.}

Seja Xij o vector de covariáveis associado a Yij, para o i -ésimo sujeito no

instante j e p o número de covariáveis em análise:

i ijp ij ij ij i N j n X X X , , 1 , , , 1 , 2 1 K K M = =               = X (2)

(33)

Modelos Lineares Mistos _____________________________________________________________________________________________

,N

,

i

X

p in in in p i i i p i i i i i i

K

L

M

O

M

L

1 ,

2 1 2 22 21 1 12 11

=













=

i

X

₍₃₎

O vector Xij pode incluir variáveis do tipo contínuo ou categórico e estas

podem ser classificadas de acordo com a sua variação no tempo. Assim, variáveis que variam dentro de cada sujeito são designadas de covariáveis dependentes do tempo e covariáveis que apenas variam entre unidades amostrais são designadas de covariáveis independentes do tempo.

A Tabela 2 tenta ilustrar a estrutura de dados de medidas repetidas:

Tabela 2: Estrutura de dados longitudinais.

Variáveis explicativas Sujeito Momento 1 2 K p Variável resposta 1 X₁₁₁ X₁₁₂ K X₁₁_p Y₁₁ 2 X₁₂₁ X122 K X12p Y12 M M M O M M 1 i n X1n_i1 X1n_i2 K X1n_ip Y1n_i 1 X₂₁₁ X212 K X21p Y21 2 X₂₂₁ X₂₂₂ K X₂₂_p Y₂₂ M M M O M M 2 i n X2ni1 X2ni2 K p ni X₂ i n Y₂ M M M M K M M 1 X_N₁₁ X_N₁₂ K X_N₁_p Y_N₁ 2 X_N₂₁ X_N₂₂ K X_N₂_p Y_N₂ M M M O M M N i n XNni1 XNni2 K p Nni X i Nn Y

(34)

_____________________________________________________________________________________________

A análise de dados de medidas repetidas exige uma metodologia adequada que permite estimar a variável dependente em termos das covariáveis, independentemente do momento. Existem alguns métodos robustos para analisar dados de medidas repetidas, sendo essencialmente constituídos por duas componentes. A primeira componente consiste num modelo de regressão para a resposta média ao longo dos momentos, ajustada ao efeito das covariáveis. A segunda componente traduz-se num modelo para a matriz de covariância ou correlações entre medidas repetidas. Para cada componente do modelo, é necessário estimar um conjunto de parâmetros de acordo com os dados [62]. Um dos métodos estatísticos que permite modelar dados de medidas repetidas são os Modelos Lineares Mistos.

3.2 Modelos Lineares Mistos

Os procedimentos de análise de dados mais familiares, como a correlação de Pearson, o Teste t para medidas independentes, a Análise de Variância (ANOVA) ou a Regressão Linear, são métodos que não se adequam aos dados de medidas repetidas pois estes baseiam-se no pressuposto de que as observações são independentes, ao contrário do que acontece neste tipo de dados [63]. O facto dos dados de medidas repetidas serem definidos como a observação de um mesmo sujeito ao longo de momentos ou situações distintas leva à independência entre sujeitos e à possível dependência entre observações para o mesmo sujeito.

Um modelo estatístico que é uma extensão do Modelo de Regressão Clássico, que permite analisar dados de medidas repetidas, balanceados ou não, e que tem em conta a dependência e a estrutura de correlação dos erros é o Modelo Linear de

(35)

_____________________________________________________________________________________________

Os modelos lineares mistos apresentam vantagens relativamente a outros procedimentos mais tradicionais de tratamento de dados de medidas repetidas, como os modelos lineares gerais para medidas repetidas. Em primeiro lugar, os modelos lineares mistos permitem que os sujeitos possuam dados em falta, ao contrário da ANOVA de medidas repetidas que elimina por inteiro um sujeito no caso de em algum momento se verificar, por algum motivo, um dado omisso. Para além disso, os modelos lineares mistos possibilitam a introdução de covariáveis variantes no tempo no modelo [55], a análise de dados correlacionados e desigualdade de variâncias [64].

Relativamente à estimação dos parâmetros, os modelos lineares mistos são baseados no método da máxima verosimilhança ou método da máxima verosimilhança restrita, enquanto que os modelos lineares gerais para medidas repetidas baseiam-se na análise de variância (ANOVA). A ANOVA produz um óptimo estimador (variância mínima) para dados balanceados, e os métodos de máxima verosimilhança e máxima verosimilhança restrita produzem estimadores assimptóticos eficientes para dados balanceados ou não. Assim, estes apresentam uma clara vantagem relativamente à ANOVA de medidas repetidas na modelação de dados reais, onde os dados são maioritariamente não balanceados [64].

Os Modelos Lineares Mistos são modelos lineares paramétricos que pretendem quantificar a relação entre a variável dependente contínua e variáveis preditoras. O nome “Modelo Linear Misto” provém do facto destes modelos serem lineares nos parâmetros, portanto nas variáveis independentes, e poderem incluir juntamente variáveis de efeitos fixos (associados a uma ou mais covariáveis) e variáveis de efeitos aleatórios (associados a um ou mais factores aleatórios). Efeitos fixos podem ser associados a covariáveis contínuas ou categóricas. Efeitos fixos são parâmetros constantes desconhecidos associados ás respectivas variáveis contínuas ou aos níveis das covariáveis categóricas no modelos misto. A estimação destes parâmetros é geralmente o principal interesse de estudo, dado que estes indicam a relação entre as covariáveis com a variável dependente. Quando os níveis dos factor em estudos são

(36)

_____________________________________________________________________________________________

apenas constituídos por uma amostra de todos os níveis possíveis, e em que cada nível particular não tem um interesse intrínseco, os efeitos associados aos níveis desses factores podem ser modelados como efeitos aleatórios nos modelos lineares mistos. Ao contrário dos efeitos fixos, que são representados por parâmetros constantes, os efeitos aleatórios representados por variáveis aleatórias, que usualmente se assume terem uma distribuição normal. [55].

3.3 Tipos de factores

Tal como já foi referido, os modelos lineares mistos são modelos lineares paramétricos para dados longitudinais ou de medidas repetidas que quantifica a relação entre uma variável dependente contínua e várias variáveis preditoras. Estes modelos podem incluir parâmetros de efeitos fixos, associados a uma ou mais covariáveis contínuas ou categórica, e efeitos aleatórios, associados a um ou mais factores aleatórios. Assim, os parâmetros de efeitos fixos descrevem a relação entre as covariáveis e a variável dependente para o total da população, efeitos aleatórios são específicos dos sujeitos dentro da população. Consequentemente, efeitos aleatórios são directamente usados na modelação da variação aleatória na variável dependente [55].

A distinção entre factores fixos e factores aleatórios e os seus efeitos na variável dependente são um ponto essencial nos modelos lineares mistos.

O conceito de efeitos fixos é usualmente utilizado na análise de variância (ANOVA) ou análise de covariância (ANCOVA). Define-se factor fixo como uma variável categórica, para a qual se inclui todos os níveis (ou condições) que têm

(37)

_____________________________________________________________________________________________

Uma variável categórica é um factor aleatório quando os níveis considerados são uma amostra aleatória dos níveis possíveis para o total da população, isto é, todos os níveis possíveis para um factor aleatório não estão presentes no conjunto dos dados.

Efeitos fixos, chamados de coeficientes de regressão ou parâmetros de efeitos fixos, descrevem a relação entre a variável dependente e as variáveis preditoras para os elementos de análise da população ou para um número relativamente pequeno de subpopulações definidas por níveis do factor fixo. Factores fixos podem descrever diferenças entre níveis do factor fixo em termos de resposta média para a variável dependente contínua, ou podem descrever o efeito de uma covariável contínua na variável dependente. Os efeitos fixos são assumidos como sendo quantidades fixas desconhecidas. Efeitos aleatórios são valores aleatórios associados a níveis de um factor aleatório (ou factores) em modelos lineares mistos. Estes valores, que são específicos de um dado nível do factor aleatório, usualmente representam os desvios aleatórios da relação descrita pelos efeitos fixos [55]. Assim, os efeitos fixos permitem obter os valores esperados das observações e os efeitos aleatórios a variância e covariância das observações [60].

No modelo linear misto, os efeitos aleatórios apenas contribuem para a estrutura de covariância dos dados. Assim, os efeitos fixos são na maioria das vezes o principal interesse dos estudos, sendo necessário ajustar para a estrutura de covariância dos dados. O procedimento dos modelos lineares mistos fornece ferramentas necessárias para estimar os efeitos fixos e aleatórios num mesmo modelo [64].

(38)

_____________________________________________________________________________________________

3.4 Formulação

Uma das particularidades dos modelos lineares mistos, que são modelos de regressão para dados de medidas repetidas, é o facto dos coeficientes de regressão poderem variar entre os sujeitos. Deste modo, podem ser diferenciadas duas componentes: a componente intra-sujeito e a componente inter-sujeito. A componente intra-sujeito descreve as mudanças individuais ao longo das observações enquanto que a componente inter-sujeitos refere-se à variação entre sujeitos dada a sua heterogeneidade. Dado que a correlação entre medidas repetidas para o mesmo sujeito é positiva, a variabilidade das diferenças intra-individuais são sempre menores do que a variabilidade das diferenças inter-individuais [61].

Considere-se o seguinte Modelo Linear Misto:

ij ijq iq ij i ijp p ij ij ik ijk k ijk ij e Z b Z b X X e b Z X Y + + + + + + + = + + = K K 1 1 1 1 0 ' '

β

(4)

onde Y_ij representa a variável dependente (contínua) para o i-ésimo sujeito no instante j

(

i=1,K,N e j =1,K,ni

)

. Assume-se que o modelo envolve dois conjuntos

de covariáveis. As covariáveis Xijk, associadas aos efeitos fixos β1,...,βp, e as

(39)

_____________________________________________________________________________________________

estão associados os p parâmetros β de efeitos fixos e às q covariáveis de efeitos aleatórios os q parâmetros bi de efeitos aleatórios, que variam com o sujeito. As p

covariáveis podem ser variantes ou invariantes no tempo, isto é, podem assumir o mesmo valor para cada instante (invariante no tempo) ou, para cada momento, podem assumir um valor distinto (variante no tempo) [55].

Cada parâmetro β representa o efeito fixo para a mudança de uma unidade na respectiva covariável X no valor médio na variável dependente Y , assumindo as restantes covariáveis constantes. Estes parâmetros β são efeitos fixos que se pretende estimar e a combinação linear com as covariáveis X definem a componente fixa do modelo. Os efeitos das covariáveis Z na variável de resposta são representados na componente aleatória do modelo pelos q efeitos aleatórios,

qi

i b

b ,...,₁ associados ao sujeito i [55].

Finalmente, eij representa os resíduos associados à j-ésima observação do

indivíduo i. Assume-se que para cada sujeito, os resíduos são independentes dos efeitos aleatórios. Visto que os dados de medidas repetidas são provavelmente correlacionados, em alguns casos não é possível assumir a independência dos resíduos entre observações do mesmo indivíduo [64].

Outra forma mais simples de representar o Modelo Linear Misto é através da sua representação na forma matricial. Deste modo, vem:

i i i i i Xβ Zb e Y = + + (5) onde b ~N

( )

0,D e e ~N

(

0,R

)

.

(40)

_____________________________________________________________________________________________

As matrizes D e Ri representam as matrizes de variância e covariância dos

parâmetros de efeitos aleatórios e dos resíduos, respectivamente. Os elementos da diagonal principal da matriz D representam as variâncias de cada efeito aleatório bi

e os elementos fora da diagonal principal representa a covariância entre os dois efeitos aleatórios correspondentes. Dado existirem q efeitos aleatórios no modelo, associados ao i-ésimo sujeito, D é uma matriz q×qsimétrica e definida positiva:

( )

              = = ) ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ( 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 qi i qi i qi qi i i i i qi i i i i i b Var b b Cov b b Cov b b Cov b Var b b Cov b b Cov b b Cov b Var Var K M O M M K K b D (6)

Os elementos da matriz D são definidos como funções de um conjunto pequeno de parâmetros de covariância armazenados num vector

θ

D.

O vector ei é o vector dos resíduos, no qual cada elemento denota o resíduo

associado à resposta observada na ocasião j para o sujeito i. Ao contrário dos modelos lineares standard, os resíduos associados a observações repetidas para o mesmo sujeito em modelos lineares mistos podem estar correlacionados. Assume-se que os resíduos associados aos diferentes sujeitos são independentes uns dos outros. Também se assume a independência entre os resíduos e os efeitos aleatórios. No entanto, se se ignorar a possível correlação existente entre as medidas repetidas e, consequentemente, nos resíduos poderá levar a conclusões incorrectas [64]. A matriz

(41)

Modelos Lineares Mistos _____________________________________________________________________________________________

( )

              = = ) ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ( 2 1 2 2 2 1 1 2 1 1 i n i n i i n i i n i i i i i n i i i i i i i i i i i e Var e e Cov b e Cov e e Cov e Var e e Cov e e Cov e e Cov e Var Var K M O M M K K e R (7)

Os elementos da matriz Ri são definidos como funções de outro pequeno

conjunto de parâmetros de covariância armazenados num vector

θ

R. Assim, o vector

θ engloba todos os parâmetros de covariância contidos nos vectores

θ

D e

θ

R.

Em alguns estudos com dados de medidas repetidas, pode-se verificar a existência de heterogeneidade de variância ao longo do tempo, permitindo que os elementos da diagonal principal da matriz de covariância sejam distintos entre si. Outra característica da matriz D é o facto dos elementos fora da diagonal principal serem diferentes de zero, visto que para dados de medidas repetidas são esperadas correlações positivas, esperando-se, por vezes, um decréscimo dessa correlação com o aumento da separação temporal entre medidas repetidas [61].

Dada a distribuição e as características das variáveis b_i e e_i, tem-se que β

X Yi)= i

(

E e Vi =V(Yi)=ZiDZ′i +Ri, onde Vi é não singular. Logo,

(

i i i i

)

i Xβ ZDZ R

Y ~N , ′+ .

3.5 Estruturas de covariância para as matrizes

R_i

e

D

Aquando da utilização dos Modelos Lineares Mistos, a escolha das estruturas para as matrizes R_i e D tem que ser adequada de modo a melhorar a representação

(42)

_____________________________________________________________________________________________

dos dados, sejam eles independentes, dependentes, correlacionados ou que apresentem qualquer outro tipo de relação que não seja explicada utilizando a estrutura da matriz de covariância usual. Em geral, esta escolha deve depender do modo como as observações foram obtidas e do conhecimento sobre o mecanismo gerador das observações. A escolha correcta da estrutura de covariância assegura uma melhor estimação dos parâmetros do modelo e dos seus erros padrões. Outro aspecto importante é, na presença de dados omissos, uma modelagem correcta da matriz de covariância é muitas vezes um requerimento essencial para obter estimativas válidas dos parâmetros de regressão. Genericamente, a má escolha da estrutura de covariância entre medidas repetidas pode resultar em estimativas incorrectas, podendo levar a erros de inferência [60].

Apresentam-se de seguida algumas das estruturas de covariância mais utilizadas, exemplificando a sua matriz considerando n=4.

• Identidade

Esta é a estrutura mais simples, que se caracteriza por possuir variância constante e correlações iguais a zero, isto é, assume que as medidas repetidas são independentes entre si.

            1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2