DESENVOLVIMENTO E APLICAÇÕES DO MÉTODO DA FUNÇÃO DE GREEN LOCAL MODIFICADO À EQUAÇÃO DE HELMHOLTZ
DISSERTAÇÃO SUBMETIDA À UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA
CARLO GIUSEPPE FILIPPIN
DESENVOLVIMENTO E APLICAÇÕES DO MÉTODO DA FUNÇAO DE GREEN LOCAL MODIFICADO À EQUAÇAO DE HELMHOLTZ
CARLO GIUSEPPE FILIPPIN
ESTA DISSERTAÇÃO FOI JULGADA PARA A OBTENÇAO DO TÍTULO DE
MESTRE EM ENGENHARIA
ESPECIALIDADE ENGENHARIA MECANICA AREA DE CONCENTRAÇÃO PROJETO E APROVADA EM SUA FORMA FINAL PELO
CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
/IS SPERB, DE BAW^ELEtJT^nPh.D. CLOVIS O rien tad o B E R ™ W O EIJ^R - Dr. Ing. C o o rd e n ad o r do C u rso BANCA EXAMINADORA CLOVIS SPERB DE - Ph.D. P resic ARCANJO LENZI -VPh.D. Membro
EDISON DA RO^A - Dr. Eng. Membré
U m
RENATO BARBIERI - Dr. Eng. Membro
"S e v o cê c o n s tr u i r c a ste lo s no a r , s e u tra b a lh o n ão e s tá p e rd id o ; é a li q u e e le s devem fic a r. A gora coloque o s a lic e rc e s debaixo d e les."
A o ^ me-CLó p a M ó , B J i u n o
c R oza, e
À-Junã., C tu d L a ..PeA
E JLoJL& a,c o n
a m o K e .e co n
t a t t e . t e , ^ t e J t J L e . d e J L c ^ e J t o .AGRADECIMENTOS
A gradeço ao P ro f. Cio v is S p e rb de B arcellos p ela o rie n ta ç ã o , form ação, in te r e s s e e p a ciê n c ia em p en h ad as d u r a n te a realização d e s te tra b a lh o .
A g rad eço ao P ro f. R enato B a rb ie ri q ue, a tu a n d o inform alm ente como co - o rie n ta d o r, m uito me auxiliou e c o n trib u iu p a r a o d esen v o lv im en to d e s te tra b a lh o .
A g rad eço a R o b erto D alledone, M arcelo, A genor e Pablo p elas c o n trib u iç õ e s d a d a s a e s te tra b a lh o .
A g rad eço a to d o s os co leg as e am igos q u e p ro p o rcio n a ra m um am b ien te de tra b a lh o in c e n tiv a d o r e a g ra d á v e l, esp e c ialm en te a Á lvaro, Iso le n e (S ula), Jucélio, M arco A ntonio (Ip ira ), R icardo B o rg es, R ogério (Rato) e T an cred o .
E x p re sso m eus a g ra d e c im e n to s à CAPES pelo s u p o r te fin a n c e iro d e stin a d o a e s ta p e sq u is a .
ÍNDICE LISTA DE FIGURAS ix LISTA DE TABELAS xi RESUMO xiii ABSTRACT xiv 1 INTRODUÇÃO 1 1.1 FORMULAÇÕES NUMÉRICAS 2
1.2 O MÉTODO DA FUNÇÃO DE GREEN LOCAL MODIFICADO (MLGFM) 2
1.3 DESENVOLVIMENTOS E APLICAÇÕES DO MLGFM 3
1.4 OBJETIVO DO TRABALHO 5
1.5 MELHORAMENTOS APLICADOS AOS MÉTODOS NUMÉRICOS MAIS UTILIZADOS
PARA A RESOLUÇÃO DO AUTOPROBLEMA DINÂMICO 6
1.5.1 In v e s tig a ç õ e s no M étodo de Elem entos F initos 6
1.5.2 In v e s tig a ç õ e s no M étodo de Elem entos d e C ontorno 7
2 O MÉTODO DA FUNÇÃO DE GREEN LOCAL MODIFICADO 9
2.1 FORMULAÇÃO DO MÉTODO DA FUNÇÃO DE GREEN LOCAL MODIFICADO
(MLGFM) 10
2.2 FORMALISMO DO MLGFM 11
2.3 FORMULAÇÃO NUMÉRICA 15
2.3.1 D is c re tiz a ç ã o e Aproximação N um érica 15
2.3.2 D eterm inação d a s P ro je ç õ e s d a F u n ção de G reen 20
3 IMPLEMENTAÇÃO DO MLGFM PARA EQUAÇÕES HIPERBÓLICAS 28
3.1 PARTICULARIZAÇÃO DO MÉTODO DA FUNÇÃO DE GREEN LOCAL MODIFICADO
(MLGFM) PARA EQUAÇÃO DE HELMHOLTZ 29
3.1.1 O Problem a de V ibrações L iv re s 29
3.1.2 E quações G o v e rn an tes 30
3.1.3 O Problem a de V ibrações L iv re s em M embranas 32
3.2 APLICAÇÕES DO MLGFM AO PROBLEMA DE VIBRAÇÕES LIVRES EM
MEMBRANAS E CAVIDADES ACUSTICAMENTE RÍGIDAS 34
3.3 FORMULAÇÕES NUMÉRICAS 37
3.3.1 D iscretiz a çã o e Aproximação N um érica 37
3.3.2 Aproximação D ire ta d a s M atrizes de G reen 40
3.4 IMPOSIÇÕES DE CONDIÇÕES DE CONTORNO 44
3.4.1 Condições de C o n to rn o de D iric h le t Homogêneas 44
3.4.2 C ondições de C ontorno de Neumann Hom ogêneas 45
3.4.3 Condições de C o n to rn o M istas Hom ogêneas 47
4 RESULTADOS NUMÉRICOS 48
4.1 ELEMENTOS FINITOS E DE CONTORNO 49
4.2 O PROBLEMA DE AUTOVALOR/AUTOVETOR 52
4.3 APLICAÇÕES 53
4.3.1 G en eralid ad es 53
4.3.2 M embranas E lástic as com B o rd as Fixas 53
Aplicação 01: Avaliação d a In flu ê n c ia do P a râ m e tro ko 54 Aplicação 02: Avaliação d a In flu ê n c ia d a D isto rç ão d e Malha 56
Aplicação 03: M embrana R e ta n g u la r 58
ApHcação 04: M embrana em "L" 62
Aplicação 05: M embrana E líp tica 63
Aplicação 06: M embrana em "H" 65
Aplicação 07: M embrana C irc u la r com B ordas Fixas 66
Aplicação 08: M embrana Q u a d rad a 68
ApHcação 09: M embrana T ria n g u la r 72
ApUcação 10: M embrana Rômbica 73
4.3.3 C avidades A custicam ente R ígidas 78
A plicação 11: C avidade R e ta n g u la r 79
ApHcação 12: C avidade C irc u la r 86
ApHcação 13: Tubo de Im p edân cia 87
ApHcação 14: Cavidade T rap e z o id al 92
4.3.4 M embrana E lástic a com B ord as Fixas e B o rd as L iv re s 95
Aplicação 16: M embrana C irc u la r 95
Aplicação 17: M embrana R e ta n g u la r com uma B orda L iv re 97 Aplicação 18: M embrana R e ta n g u la r com uma B orda Fixa 101 A plicação 19: M embrana R e ta n g u la r com d u a s B ordas O postas
L iv re s e d u a s Fixas 105
Aplicação 20: M embrana R e ta n g u la r com d u a s B o rdas A d jacen tes
L iv re s e d u a s Fixas 109
A plicação 21: M embrana Rômbica com d u a s b o rd a s o p o s ta s liv re s e
d u a s Fixas 113
A plicação 22: M embrana r e ta n g u la r com o rifício r e ta n g u la r 118
4.4 CONCLUSÕES 119
5 ANÁLISE EXPERIMENTAL DE CONVERGÊNCIA 120
5.1 ANÁLISE DE CONVERGÊNCIA 121
5.2 RESULTADOS NUMÉRICOS 121
5.2.1 Membrana E lástic a 121
5.2.2 C avidade A custicam en te R ígida 128
6 CONCLUSÕES E SUGESTÕES 135
REFERÊNCIAS 138
LISTA DE FIGURAS
F ig u ra 2.1 : D isc re tiz a ç ã o do Domínio 17
F ig u ra 4.1 : Elem ento Is o p a ra m é tric o e Elem ento "M estre" 50 F ig u ra 4.2 : Sistem a N atu ral de C o o rd e n ad a s U nidim ensional 51 F ig u ra 4.3 : Elem ento In s o p a ra m é tric o Q u a d rático [73] 51
F ig u ra 4.4 : A plicação 01 56
F ig u ra 4.5 : Aplicação 02: D isto rção d a M alha 57
F ig u ra 4.6 : Aplicação 03: M embrana R e ta n g u la r 58
F ig u ra 4.7 : Modos 1, 2, 3 e 4 p a r a M embrana R e ta n g u la r 59 F ig u ra 4.8 : Modos 5, 6, 7 e 8 p a ra M embrana R e ta n g u la r 60 F ig u ra 4.9 : Modos 9 e 10 p a ra M embrana R e ta n g u la r 61
F ig u ra 4.10: Aplicação 04: M embrana em "L" 63
F ig u ra 4.11: Aplicação 05: M embrana EK ptica 64
F ig u ra 4.12: Aplicação 06: M embrana em "H" 66
F ig u ra 4.13: A plicação 07: M embrana C irc u la r 67
F ig u ra 4.14: ApHcação 08: M embrana Q u a d rad a 69
F ig u ra 4.15: Modos 1, 2, 3, 4 e 5 p a r a M embrana Q u a d rad a 70 F ig u ra 4.16: Modos 6, 7, 8, 9 e 10 p a r a M embrana Q u a d rad a 71
F ig u ra 4.17: ApHcação 09: M embrana T ria n g u la r 73
F ig u ra 4.18: ApHcação 10: M embrana Rômbica 78
F ig u ra 4.19: ApHcação 10: C avidade R e ta n g u la r 80 F ig u ra 4.20: Modos 1, 2, 3 e 4 p a r a C avidade R e ta n g u la r 81 F ig u ra 4.21: Modos 5, 6 e 7 p a r a C avidade R e ta n g u la r 82 F ig u ra 4.22: Modos 8, 9, 10 e 11 p a r a C avidade R e ta n g u la r 83 F ig u ra 4.23: Modos 12, 13 e 14 p a ra C avidade R e ta n g u la r 84 F ig u ra 4.24: Modos 15, 16 e 17 p a r a C avidade R e ta n g u la r 85
F ig u ra 4.25: ApHcação 12: Cavidade C irc u la r 86
F ig u ra 4.26: ApHcação 13: Tubo d e Im p ed ân cia 88
F ig u ra 4.27: Modos 2, 3 e 4 p a ra T ubo d e Im p ed ân cia 89
F ig u ra 4.28: Modos 5, 6 e 7 p a ra T ubo d e Im p ed ân cia 90 F ig u ra 4.29: Modos 8, 9 e 10 p a ra T ubo d e Im p ed ân cia 91
F ig u ra 4.30: ApHcação 14: Cavidade T ra p e z o id a l 92
F ig u ra 4.31: ApHcação 15: Cavidade R e ta n g u la r 94
F ig u ra 4,32: ApHcação 16: M embrana C irc u la r 96
F ig u ra 4,33: ApHcação 17: M embrana R e ta n g u la r com uma B orda L iv re 97 F ig u ra 4,34: Modos 1 e 2 p a ra M embrana com uma B o rd a L iv re 98 F ig u ra 4,35: Modos 3, 4, 5 e 6 p a ra M embrana com uma B orda L iv re 99 F ig u ra 4,36: Modos 7, 8, 9 e 10 p a r a M embrana com uma B o rda L iv re 100
N
F ig u ra 4.40: Modos 7, 8, 9 e 10 p a ra M embrana com um a B orda Fixa 104 F ig u ra 4.41: Aplicação 19: M embrana R e ta n g u la r com Duas B ordas O postas L iv res
e Duas Fixas 105
F ig u ra 4.42: Modos 1 e 2 p a ra M embrana com d u a s B o rd as O postas L iv res e d u a s
Fixas 106
F ig u ra 4.43: Modos 3, 4, 5 e 6 p a ra M embrana com d u a s B ord as O p o stas L iv res e
d u a s Fixas 107
F ig u ra 4.44: Modos 7, 8, 9 e 10 p a r a M embrana com d u a s B o rd as O postas L iv res
e d u a s Fixas 108
F ig u ra 4.45: A plicação 20: M embrana R e ta n g u la r com d u a s B ordas A d ja ce n te s
L iv re s e d u a s Fixas 109
F ig u ra 4.46: Modos 1 e 2 p a ra M em brana com d u a s B o rd as A d ja ce n te s L iv re s e
d u a s Fixas 110
F ig u ra 4.47: Modos 3, 4, 5 e 6 p a r a M embrana com d u a s B o rd as A d ja c e n te s
L iv res e d u a s Fixas 111
F ig u ra 4.48: Modos 7, 8, 9 e 10 p a r a M embrana com d u a s B ordas A d ja ce n te s
L iv re s e d u a s Fixas 112
F ig u ra 4.49: Aplicação 21: M embrana Rômbica com d u a s B o rd as O postas A d ja ce n te s
L iv re s e d u a s Fixas 113
F ig u ra 4.50: Aplicação 22: M embrana r e ta n g u la r com o rifício R e ta n g u la r 118
F ig u ra 5.1 : C o n v erg ên c ia p - (1x1 - 5x5) 124 F ig u ra 5.2 : C o n v erg ên c ia p - (6x6 -10x10) 125 F ig u ra 5.3 : C o n v erg ên cia h - (p = l - p=5) 126 F ig u ra 5.4 ; C o n v erg ên c ia h - (p=6 - p=10) 127 F ig u ra 5.5 : C o n v erg ên cia p - (1x1 - 5x5) 131 F ig u ra 5.6 : C o n v erg ên cia p - (6x6 - 10x10) 132 F ig u ra 5.7 : C o n v erg ên cia h - 133
LISTA DE TABELAS
T abela 4.1 : Elem entos F initos e de C o n to rn o 60
T abela 4.2 : V erificação de In flu ê n c ia do P a râ m e tro ko 64
T abela 4.3 : D isto rç ão d a M alha 67
T abela 4.4 : F re q u ê n c ia s N atu rais ( r a d / s ) - M embrana R e ta n g u la r 69 T abela 4.5 : F re q u ê n c ia s N a tu ra is ( r a d / s ) - M embrana em "L" 71
T abela 4.6 : M embrana E líp tica 73
T ab ela 4.7 : M embrana em Form a d e "H" ( r a d / s ) 74
T abela 4.8 : M embrana C irc u la r ( r a d / s ) 76
T ab ela 4.9 : M embrana Q u ad rad a ( r a d / s ) 78
T abela 4.10: M embrana T ria n g u la r ( r a d / s ) 80
T abela 4.11: A u to v alo res de M embrana Rômbica com 0 = 15° ( r a d /s ) 74 T abela 4.12: A u to v alo res de M embrana Rômbica com 0 = 30° ( r a d /s ) 74 T abela 4.13: A u to v alo res de M embrana Rômbica com 0 = 45° ( r a d /s ) 75 T abela 4.14: A u to v alo res d e M embrana Rômbica com 0 = 60° ( r a d /s ) 76 T abela 4.15: A u to v alo res d e M embrana Rômbica com 0 = 75° ( r a d /s ) 77 T abela 4.16: F re q u ê n c ia s N atu rais (Hz) - C avidade R e ta n g u la r 83 T abela 4.17: C avidade C irc u la r - F re q u ê n c ia s n a tu r a is (Hz) 85 T abela 4.18: Tubo de Im pedância - F re q u ê n c ia s n a tu r a is (Hz) 86
T ab ela 4.19: C avidade T rap ezo id al - F re q u ê n c ia s n a tu ra is (Hz) 88
T abela 4.20: C avidade R e ta n g u la r - F re q u ê n c ia s n a tu r a is (Hz) 89 T abela 4.21: M embrana C irc u la r - F re q u ê n c ia s n a tu r a is (Hz) 92 T abela 4.22: M embrana R e ta n g u la r com um a B orda liv re - F re q u ê n c ia s
n a tu r a is ( r a d /s ) 93
T abela 4.23: M em brana R e ta n g u la r com um a B orda Fixa 96
T abela 4.24: M embrana R e ta n g u la r com Duas B o rd as O p o stas L iv res e Duas Fixas
F re q u ê n c ia s n a tu ra is ( r a d / s ) 97
T abela 4.25: M embrana R etan g u la r com Duas B ordas A d ja ce n te s liv r e s e Duas Fixas
F re q u ê n c ia s n a tu ra is ( r a d / s ) 98
T abela 4.26: A u to v alo res de M embrana Rômbica com d u a s B ordas L iv re s e d u a s
Fixas com 0 = 15° ( r a d / s ) 114
T abela 4.27: A u to v alo res de M embrana Rômbica com d u a s B ordas L iv re s e d u a s
Fixas com 0 = 30° ( r a d / s ) 114
T abela 4.28: A u to v alo res de Membrana Rômbica com d u a s B ordas L iv re s e d u a s
Fixas com 0 = 45° ( r a d / s ) 115
T abela 4.29: A u to v alo res d e Membrana Rômbica com d u a s B ordas L iv re s e d u a s
Fixas com 0 = 60° ( r a d / s ) 116
T abela 4.30: A u to v alo res d e M embrana Rômbica com d u a s B ordas L iv re s e d u a s
n a tu r a is ( r a d / s ) 100
T ab ela 5.1 : C o n v erg ên c ia p - e h - p a ra M embranas E lá stic a s 105 T ab ela 5.2 : C o n v e rg ê n c ia p - e h - p a ra C avidades A cu sticam ente R ígidas 112
RESUMO
Todo m étodo n u m érico n e c e s s ita d e um c o n s ta n te d esen v o lv im en to e a p rim o ram en to p a ra e s t a r a tu a liz a d o com a s n o v as fo rm u laçõ es te ó ric a s d e se n v o lv id a s e novos r e c u r s o s de " h a rd w a re " . A p re s e n ta -s e , e n tão , aqu i, o d esen v o lv im en to e a p lic aç ão do Método d a F u n ção de G reen Local M odificado p a ra a re so lu çã o da equação de Helmholtz, e q u ação d a o n d a. T em -se, com isso , mais uma e ta p a na im plem entação d e s te novo método n u m érico p a ra a solu ção de p ro b lem as do co n tín u o .
0 M étodo d a F un ção d e G reen Local M odificado é um m étodo novo, p o d en d o s e r v is to como uma e x te n sã o do M étodo d e Elem entos d e C o n to rn o de G alerkin. Porém , não h á n e c e s s id a d e do conh ecim en to d e uma solução fu n d a m e n ta l de form a explícita, v isto q u e a fu n ç ã o d e G reen é aproxim ada pelo M étodo d e Elem entos
F in ito s. P o rta n to , é um m étodo h íb rid o n a s u a co n cepção.
A ap licação do M étodo d a Função d e G reen Local M odificado à eq uação de Helmholtz vem re s o lv e r p ro blem as d e v ib ra ç ão U vre em m em branas e em cav idad es a c u stic a m e n te ríg id a s , d e s d e q u e a p lic a d a s a s c o n d içõ es de c o n to rn o de D iric h le t e Neumann, re s p e c tiv a m e n te ; o p ro b lem a d e v ib ra ç ão U vre de uma m em brana com uma p o rç ã o do c o n to rn o H vre e o u tr a fix a p o d e s e r re so lv id o com a im posição de condição d e c o n to rn o m ista. E s te s p ro b lem as j á foram e x te n sa m e n te e stu d a d o s a tra v é s dos M étodos de Elem entos d e C on to rn o e de E lem entos F in ito s. São m o stra d o s re s u lta d o s co m p arad o s com so lu çõ es a n a lític a s bem como com r e s u lta d o s o b tid o s p o r o u tr a s té c n ic a s nu m éricas. É fe ita uma a n á lise e x p erim en tal de c o n v e rg ê n c ia , ta n to p - como h -, m o stra n d o a s te n d ê n c ia s d a so lução m ediante e s te s tip o s de re fin a m e n to da d is c re tiz a ç ã o ap licad a.
ABSTRACT
N um erical m ethods n e ed c o n tin u e d developm ent and im p ro v em en t to b e u p d a te d w ith new th e o re tic a l fo rm u latio n s a n d new h a rd w a re fe a tu r e s . T hen, h e re a r e p r e s e n te d b o th d ev elo p m en t a n d a p p lic a tio n s o f Modified Local G re en ’s F u n c tio n M ethod to so lv e th e Helm holtz’s e q u a tio n (wave eq u atio n ). So, on e has p e rfo rm e d an a d d itio n a l s te p on th e im plem entation o f th is new num erical m ethod to so lv e c o n tin u u m ’s problem s.
Modified Local G reen ’s F u n c tio n M ethod can be see n a s an ex ten sio n o f th e G alerk in B o u n d ary Elem ent M ethod, b u t avoiding th e re q u ire m e n t of th e know ledge o f th e ex p licit form o f a fu n d a m e n ta l so lu tio n , s in c e th e G reen’s fu n c tio n is a p p ro x im ated by th e F in ite Elem ent M ethod, a n d th e e v alu a tio n o f s in g u la r in te g ra ls .
A pplications o f Modified Local G reen ’s F u n ctio n Method to Helm holtz’s e q u a tio n so lv e s m em branes f r e e v ib ra tio n p ro b lem s a n d aco u stic ally h a rd cavities wave p ro p a g a tio n pro b lem s, w hen D iric h le t a n d Neumann b o u n d a ry co n d itio n s a r e appH ed, re s p e c tiv e ly . F re e v ib ra tio n p ro b lem s o f a m em brane which has a b o u n d a ry p o rtio n f r e e a n d a n o th e r b o u n d a ry p o rtio n fix ed can b e so lv ed by ap p ly in g mixed b o u n d a ry c o n d itio n s. T h e se p rob lem s w ere h a rd ly s tu d ie d by B o u n d ary Element Method a n d F in ite Elem ent M ethod. R esu lts a r e show n a n d co m p ared w ith a n ality ca l so lu tio n s a n d w ith o th e r s n u m erical te c h n iq u e s r e s u lts . An ex p erim en tal p - an d h - c o n v e rg e n c e a n a ly s is is made sh o w in g th e so lu tio n te n d e n c ie s o f th e s e ty p e s o f re fin e m e n t.
A m aioria dos problem as re a is d a m ecânica do meio co n tín u o , fo rm u lad o s em te rm o s d e um c o n ju n to de e q u a ç õ e s d ife re n c ia is so b co n d içõ es de c o n to rn o e c o n d içõ e s iniciais a p ro p ria d a s , sã o c a r a c te riz a d o s p o r um a com plexidade geom étrica e d e constituição material, ap re se n ta n d o , em a lg u n s casos, não -lin earid ad es geom étrica e m aterial. Portanto, soluções analíticas d e sse s problem as são praticam ente im p o ssív eis d e serem o b tid a s, p ro p ic ia n d o o d e se n v o lv im e n to d e m étodos num éricos p a ra a determ inação de uma solução aproxim ada do problem a, E ssa solução aproxim ada s e r á tã o mais p r e c is a q u a n to mais próximo d a re a lid a d e e s te ja o m odelo m atem ático u tiliz a d o p a r a a c o n s tru ç ã o do m étodo num érico. Um m étodo n u m érico é do tip o d ife re n c ia l ou in te g ra l, ou s e ja , de form ulação f r a c a ou f o r te , d e p e n d e n d o da form ulação n u m érica, s e e s ta p re c e d e ou s e g u e a in te g ra ç ã o d a s e q u a ç õ e s g o v e rn a n te s .
Os m étodos n u m érico s mais u tiliz a d o s são o Método de D ife re n ç a s F in ita s (FDM) [33,16], o M étodo de E lem entos F in ito s (FEM) [24,27,13,21,12] e o Método d e E lem entos d e C o n to rn o (BEM) [17,4,15]. Os m étodos FDM e FEM são do tip o d ife re n c ia l, e n q u a n to o BEM é do tip o in te g ra l. 0 FDM tra n s fo rm a a s eq u ações d ife re n c ia is em e q u a ç õ e s a lg é b ric a s, v á lid a s em um c o n ju n to d e p o n to s no domínio. O FEM d e s c re v e o domínio como um c o n ju n to d e subdom ínios ou elem entos fin ito s, conectados a tra v é s de nós e rep rod u zin d o , aproxim adam ente, o comportamento daquela p o rç ã o do dom ínio p e la s a tisfa ç ã o , n a m édia, d a s e q u aç õ e s d e equ ilíb rio ou movimento e a te n d e n d o c o n d içõ es de co m p atib ilid ad e d e d e slo c a e n to s n a s in te rfa c e s dos elem en to s. O BEM , como o FEM, r e q u e r uma d is c re tiz a ç ã o do meio, porém a p e n a s do s e u c o n to rn o , re d u z in d o , p o rta n to , a dim ensão do problem a em uma u n id a d e e, c o n se q u e n te m e n te , o n ú m ero de e q u aç õ e s n e c e s s á ria s é sen siv e lm e n te m enor. Quando a s fu n ç õ e s in c ó g n ita s q u e a p arec em n a form u lação in te g r a l são re la cio n a d a s com a s v a riá v e is fís ic a s do problem a, o m étodo d e elem entos d e c o n to rn o é d ito d ire to ; a lte rn a tiv a m e n te , a s e q u a ç õ e s in te g r a is podem s e r fo rm u lad as em term o s de fu n ç õ e s in c ó g n ita s a n á lo g a s a um a form a fr a c a , fo rn e c e n d o o m étodo se m i-d ire to . Quando as equações in te g ra is são ex p ressas em term os d e uma solução fundam ental das equações d ife re n c ia is o rig in a is , d is tr ib u íd a em um a d e n sid a d e e sp e c ífic a so b re o s c o n to rn o s d a re g iã o d e in te r e s s e , o m étodo é d ito in d ire to . Logo, o e sta b e lec im e n to d e form ulações in te g ríiis r e q u e r o conh ecim en to p ré v io de um a so lu ção fu n d a m e n tal do o p e ra d o r d ife re n c ia l do problem a, no caso do m étodo in d ire to , ou d e um a re la çã o de re c ip ro c i d a d e , no d ire to .
P a ra le lam en te ao d e sen v o lv im en to d e c a d a m étodo num érico em si, p ro c u ra n d o m e lh o ra r s u a s c a r a c te r ís tic a s e s u p r i r s u a s deficiêncieis, d esen v o lv em - s e e s t r u t u r a s v is a n d o a u n ificação dos m étodos d e elem entos fin ito s e d e c o n to rn o , p e la in v e s tig a ç ã o d e fo rm u laçõ es in te g r a is q u e sejam com pactas e q u e a p re se n te m a p e n a s s in g u la rid a d e s f r a c a s . Com e s s e in tu ito fo i d e se n v o lv id o o M étodo d a F u n ção d e G reen Local M odificado (Modified Local G reen F u n c tio n M ethod - MLGFM).
1.2 O MÉTODO DA FUNÇÃO DE GREEN LOCAL MODIFICADO (MLGFM).
O Método d a Função d e Green Local Modificado (MLGFM) s u rg e com o s tra b a lh o s d e BARCELLOS & SILVA (1987)[11] e SILVA (1988)[71], como uma e x te n s ã o do m étodo d e elem entos d e c o n to rn o d e Geilerkin [8]. O m étodo foi e s tr u tu r a d o cora b a s e no Método d a Função d e G reen Local (LGFM), d ese n v o lv id o e a p ü c a d o p o r BURNS (1975)[20j, HORAK & DORNING (1977)[47], LAWRENCE (1979)[56], HORAK (1980)[46] e DORNING (1981)[29]. B u rn s apHcou o LGFM p a ra o problem a m ultidim ensional d e d ifu s ã o d e n ê u tro n s ; H orak d e se n v o lv e u o LGFM p a ra a solução d e p rob lem as d e c o n d u çã o d e c a lo r e de esco am en to s in c o m p re ssív e is e L aw ren ce
p ro b lem a em um o p e ra d o r d ife re n c ia l o rd in á rio , a s fo rm u laçõ es ficam r e s t r i t a s a domínios q ue possuam contornos q u e coincidam com ü n h a s de coordenadas ortogonais.
B arcello s e S ilva m odificaram o LGFM, g e ra n d o o MLGFM, com o o p e ra d o r a d ju n to do problem a e a a p licação do M étodo d e Elem entos F in ito s (FEM) como m étodo re s id u a l, p a r a ap ro x im ar de fo rm a d ir e ta a s m a triz e s r e s u lta n t e s d a tra n sfo rm a ç ã o d os o p e ra d o re s in te g r a is em o p e r a d o r e s d is c r e to s , m a triz e s d e G reen, sem o conhecimento prév io de uma solução fundam ental, no caso, d a função d e Green. O btém -se, assim , v a lo re s n o d ais d a s p ro je ç õ e s d a fu n ç ã o de G reen n a b a se do e sp a ç o d e elem entos fin ito s. P o r e s s a fo rm u lação , a s fu n ç õ e s d e G reen e m p re g a d a s não n e ce ssita m s e r d isp o n ív e is a n a litic a m e n te e podem s e r re so lv id o s p ro b lem as p a r a os q u a is não existam so lu çõ es fu n d a m e n ta is. Com a s p ro je ç õ e s d a fu n ç ã o d e G reen, valores d a função nos pontos nodais, o problem a de con to rn o é resolvido pelo Método d e Elem entos d e C o n to rn o de G alerk in. A d is c re tiz a ç ã o do domínio e do c o n to rn o p ro d u z in te g r a is su fic ie n te m e n te r e g u la r e s , sem s in g u la rid a d e s , o n d e p ro c e s s o s co n v en cio n ais d e in te g ra ç ã o n u m é ric a podem s e r a p lic ad o s, como a in te g ra ç ã o g a u s s ia n a [54,1]. Em e ssê n c ia , o M étodo d a F u n ção d e G reen Local M odificado é um método in te g ra l q u e utiliza o Método de Elementos Finitos p a ra d eterm in ar autom atica m ente p ro je ç õ e s d a fu n ç ã o de G reen p a r a um siste m a d e e q u a ç õ e s d e c o n to rn o e de domínio.
1.3 DESENVOLVIMENTOS E APLICAÇÕES DO MLGFM.
A prim eira aplicação do MLGFM foi a p re se n ta d a no tra b a lh o de B arcellos & S ilva (1987), o n d e fo i re s o lv id o o p ro b lem a d e p o te n c ia l, e q u a ç ã o de P o isso n , re p r e s e n ta d o p o r m em branas e lá s tic a s , q u a d ra d a s e c ir c u la r e s , so b c o n d içõ es d e c o n to rn o d e D iric h le t e misteu Foram u tiliz a d o s elem entos q u a d rá tic o s is o p a r a m étrico s de 8 n ós p a r a o b te r a s m a triz e s d e G reen e elem en to s d e c o n to rn o iso p a ra m é tric o s q u a d rá tic o s p a ra ap ro x im a r a s e q u a ç õ e s in te g r a is , ótim o s r e s u lta d o s , ta n to p a ra potencial q u an to p a ra fluxo, foram obtid o s u tilizan d o -se malhas g ro sse ira s. Em se g u id a , S ü v a (1988) utilizo u o MLGFM p a r a re s o lv e r o p ro b lem a d e h a s te s d e lg a d a s e o d e v ig a s de BernouU i, so b s itu a ç õ e s d iv e r s a s , como s o b c a r g a s co n centradas, desco n tin u idad e de rig id ez e v á ria s condições de contorno, a p re s e n ta n do ótim os re s u lta d o s com parados com so lu çõ es a n a lític a s . N estes c a s o s , fo i e m p reg ad o o método de colocação p a ra a obtenção d as m atrizes d e Green, j á q u e p a ra os modelos unid im en sio n ais o s c o n to rn o s ficam re d u z id o s a p o n to s. Silva d e se n v o lv e u , também, o MLGFM p a ra o e s tu d o d e m em branas e lá s tic a s não hom ogêneas. Os re s u lta d o s n u m érico s foram o b tid o s e m p re g a n d o -se elem en to s fin ito s q u a d rá tic o s is o p a ra m é tric o s d e 8 nós, no domínio, e elem entos q u a d rá tic o s is o p a ra m é tric o s u n id im e n sio n ais, no c o n to rn o . E sses re s u lta d o s foram co m p arad o s com r e s u lta d o s o b tid o s p o r elem entos
fin ito s e elem en to s de c o n to rn o , bem como com so lu çõ es a n a lític a s , m o stra n d o boa p re c isã o .
R ecentem ente, BARBIERI & BARCELLOS (1991)[9] a p re s e n ta ra m uma re v is ã o do form alism o do m étodo, re s o lv e n d o o pro b lem a p o te n c ia l p a r a domínios bidim ensionais e trid im en sio n a is. BARCELLOS & BARBIERI (1991) [10] ilu s tra ra m a a p lic ab ilid ad e do MLGFM p a ra a so lu ção de p ro blem as d e p o te n cial em dom ínios qu e a p re se n ta m s in g u la rid a d e s . P a ra e s s e tip o de problem a, foram usadeis m alhas com elem entos c o n v en cio n ais, elem entos la g ra n g e a n o s q u a d rá tic o s p a r a o domínio e elem entos q u a d rá tic o s u n idim en sion ais p a r a o c o n to rn o . Próximo à s in g u la rid a d e , a m alha d e s e n v o lv ia -s e em p ro g r e s s ã o g eo m étrica. BARBIERI & BARCELLOS (1991) [8] descreveram , também, como re so lv e r problem as d e potencial em meios não homogêneos, q u e não podem s e r re so lv id o s d ire ta m e n te pelo m étodo d e elem en to s de co n to rn o , devido a in e x is tê n c ia de um a so lu ção fu n d a m e n ta l d isp o n ív e l. R e su lta d o s n u m érico s foram com parados com os do FEM. P a ra o b te r-s e uma com paração com o BEM foi resol vido um problem a onde as p ro p ried a d e s do meio eram d esco n tín u as p o r p a rte s , j á que e s te tip o d e pro b lem a tem so lu ção v ia BEM, d e m o n stra n d o n o tá v e l sem elh an ça de re s u lta d o s . Foram u s a d a s fu n ç õ e s d e in te rp o la ç ã o q u a d rá tic a s , ta n to no domínio q u a n to no c o n to rn o . BARBIERI & BARCELLOS (1991)[7] e x te n d e ra m o MLGFM p a ra o modelo d e p la ca d e MindUn, m o stra n d o q u e o fenôm eno de "lo c k in g " não o c o rre . Os resu ltad o s, obtidos a p a r tir d e elem entos isoparam étricos q u a d rá tico s e cúbicos, foram com parados com re s u lta d o s e n c o n tra d o s pelo FEM e BEM m o stra n d o b oa c o n c o rd â n c ia . MACHADO & BARCELLOS (1992) [57] investigaram a aplicabilidade do MLGFM p a ra placas lam inadas o rto tró p ic a s , u sa n d o elem entos la g ra n g e a n o s q u a d rá tic o s no domínio e elem entos de c o n to rn o q u a d rá tic o s , e n o v am en te não fo i o b s e rv a d o "lo ck in g ". R esu ltad o s n u m érico s foram com parados com o s do FEM, m o s tra n d o -s e p re c is o s . FILIPPIN, BARBIERI & BARCELLOS (1992)[31] a p re s e n ta ra m o d e se m p e n h o do MLGFM p a ra p ro b lem as d e p o ten cial, ta n to e s tá tic o q u a n to dinâm ico (a n á lise modal), v e rific a n d o ex p erim en talm en te a s ta x a s d e c o n v e rg ê n c ia . P a ra a a n á lis e e s té tic a foram em pregados elem entos de a té 25 nós (q u a rta ordem ), e p a ra a anáHse dinâm ica a té 81 n ós (oitava ordem ).
Finalmente, BARBIERI (1992) [6] desenvolveu e apHcou o MLGFM p a ra uma v a s ta gam a d e p ro b lem as d a m ecânica do co n tín u o . P a r a p ro b lem as de p o ten cial foram u s a d o s elem entos la g ra n g e a n o s q u a d ra n g u la r e s d e 4, 8, 9 e 16 n ós e tr ia n g u la r d e 3 nós. C o rre s p o n d e n te s elem entos de c o n to rn o fo ram e m p re g ad o s. Problem as de p o te n c ia l p a r a meios hom ogêneos foram re s o lv id o s e o s re s u lta d o s com parados com o u tr a s té c n ic a s nu m éricas, bem como ta x a s e x p e rim e n ta is de c o n v erg ên c ia , ta n to h - q u a n to p - , foram d e te rm in a d a s. Foram re s o lv id o s, também, problem as s in g u la re s , problem as em meio não hom ogêneo, p ro b lem as d e escoam ento potencial, problem as axissim étricos e de to rsão de eixos; foram fe ita s com parações com r e s u lta d o s a n te r io r e s do MLGFM. O m étodo "HRZ" (COOK (1989)[24]), um p ro ced im en to e fe tiv o p a ra p r o d u z ir uma m atriz m assa d iagonal, u s a n d o so m en te os te rm o s d a d iag o n al d a m a triz m assa c o n s is te n te esc a lo n ad o s d e modo q u e a m a ssa to ta l do
re s o lv id o s u tü iz a n d o -s e elem en to s h e x aé d ric o s iso p a ra m é tric o s q u a d rá tic o s no domínio e elem entos q u a d r a n g u la r e s is o p a ra m é tric o s q u a d rá tic o s no c o n to rn o . N o ta-se su p erco n v e rg ê n cia nodal de fluxo e potencial. B arbieri realizou as prim eiras aplicações do MLGFM p a r a r e s o lv e r p ro b lem as d a e la s tic id a d e bidim ensional. P o rta n to , f e z - s e a a n á lise de v ig a s em balanço, ta n to r e ta s como c u rv a s , d e tu b o s d e p a re d e e s p e s s a e d e p laca r e ta n g u la r com f u r o c irc u la r , e m p re g a n d o -se elem entos q u a d ra n g u la r e s is o p a ra m é tric o s q u a d rá tic o s e c ú b ico s. Os re s u lta d o s foram co m p arad o s com so lu çõ es analíticas e num éricas. D eterm inou-se, também, o fa to r de in te n sid ad e de te n sõ e s p a ra trin c a s, u tü iz a n d o -se malhas em p ro g ressã o geom étrica. Problem as axissim étricos foram a n a lisa d o s, com a so lu ção d os p ro b lem as de p laca c irc u la r com c a rre g a m e n to unifo rm em ente d is trib u íd o e d e c a s c a s e s f é ric a s , e s p e s s a s e s e m i-e s p e s s a s , com p re s s ã o in te r n a . N estas ap lic aç õ es tam bém s e v e rific o u s u p e r c o n v e rg ê n c ia n o dal de deslo cam en tos e e s fo rç o s . O MLGFM im plem entado p a ra o modelo d e p laca d e MindUn também d e m o n stro u s u p e r c o n v e rg ê n c ia nodal d e deslocam ento e e sfo rç o s . Foi n o ta d a a in e x is tê n c ia do fenôm eno d e trav am en to ("lo ck in g ") e re d u z id a s e n s ib ilid a d e à distorção de malha. Taxas experim entais de co n verg ên cia h - e p - foram determ inadas. P a ra a s a p lic aç õ es n u m é ric as foram em p reg ad o s elem entos la g ra n g e a n o s q u a d rá tic o s d e 4, 9, 16 e 25 n ó s. E lem entos d e c o n to rn o c o rre s p o n d e n te s foram u tiliz a d o s; to d o s o s elem entos seg u e m fo rm u laçõ es d e d eslo cam en to s. B a rb ie ri a p re s e n to u exem plos de p la ca e n g a s ta d a e d e p la ca sim p lesm en te ap o iad a; de v ig a em b alanço re s o lv id a com elem entos de placa; d e placa sim plesm ente apoiada com carregeimento senoidal; de placa c ir c u la r e n g a s ta d a e d e p la c a d e M orley. Em to d a s a s a p lic aç õ es re a liz a d a s com o MLGFM, foram em pregados nós duplos nos pontos de desco n tin u id ad e de condições de c o n to rn o e /o u d a norm al, n a m alha r e p r e s e n ta tiv a d a d is c re tiz a ç ã o do c o n to rn o .
1.4 OBJETIVOS DO TRABALHO.
D a n d o -se c o n tin u id a d e ao d esen v o lv im en to e a p lic a ç õ e s do M étodo d a F u n ção d e G reen Local M odificado, o p r e s e n te tra b a lh o tem p o r o b je tiv o d e se n v o lv e r e e m p re g a r o MLGFM p a r a a a n á lise dinâm ica d e e s t r u t u r a s , e sp e c ific a m en te m em branas e lá s tic a s e cav id ad es a c ú s tic a s , .sob o p o n to d e v is ta d a anáH se modal, ou seja, re so lv en d o -se um problem a de a u to v a lo r/a u to v e to r p a ra a determ inação d a s fre q u ê n c ia s e modos n a tu r a is d e v ib ração . P rim eiram en te é a p r e s e n ta d a uma rev isão d etalh ad a do formalismo do método; em seguida, o método é im plem entado p a ra e q u a ç õ e s h ip e rb ó lic a s, m o s tra n d o -s e a o b te n ç ã o d a s m a triz e s d e in é rc ia p a r a a s equações in te g ra is, bem como a montagem do problem a algébrico de a u to v a lo r/a u to v e to r . P a ra ta n to , sã o c o n s id e ra d a s t r ê s s itu a ç õ e s q u a n to à s co n d içõ es d e c o n to rn o : condição d e c o n to rn o d e D iric h le t hom ogênea, condição de c o n to rn o d e Neum ann hom ogênea e co n d ição d e c o n to rn o m ista hom ogênea. O MLGFM é, e n tão , a p lic a d o à
c o n to rn o im p o sta s. A nálise e x p erim en tal d e c o n v e rg ê n c ia , ta n to h - q u a n to p - é re a liz a d a . P a ra ta l, im plem en ta-se elem entos la g ra n g e a n o s q u a d r a n g u la r e s d e p rim eira à décima ordem , ou seja, de 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 e 121 nós. 0 problem a de a u to v a lo r /a u to v e to r é re so lv id o pelo m étodo d e ite ra ç ã o s u b e s p a c ia l, v is to q u e to d a s a s m a triz e s e n v o lv id a s são p o s itiv a d e fin id a s e sim é tric a s. A n a lisa -se , ain d a, o com portam ento do m étodo q u a n to à d is to rç ã o de m alha e v e r if ic a - s e a c o n stâ n c ia de r e s p o s ta com a v a ria ç ã o do p a râ m e tro in tr ín s e c o à form ulação. Os re s u lta d o s num éricos são co m parad o s com so lu çõ es a n a lític a s e com re s u lta d o s o b tid o s pelos m étodos d e elem entos fin ito s e de elem en to s d e c o n to rn o .
1.5 MELHORAMENTOS APLICADOS. AOS MÉTODOS NUMÉRICOS MAIS UTILIZADOS
PARA A RESOLUÇÃO DO AUTOPROBLEMA DINÂMICO.
1.5.1 In v e s tig a ç õ e s no M étodo d e Elem entos F in ito s.
A a n á lise dinâm ica d e e s t r u t u r a s pelo m étodo d e elem entos fin ito s co n v en c io n a l in tro d u z im p rec isõ es ad icio n ais n a so lu ção, q u e não e stã o p r e s e n te s n a a n á lis e e stá tic a . E sta s im p rec isõ es provêm d a fo rm u lação do elem ento e devido à c o n d e n sa ç ã o e stá tic a . Os e r r o s , em am bos os c aso s, sã o c a u sa d o s p ela d e sc o n s id e ra ç ã o d e te rm o s d e p e n d e n te s d a fr e q u ê n c ia n a s fu n ç õ e s q u e relacionam o s deslocam entos em c a d a p o n to d a e s t r u t u r a com os d eslo cam en to s em c e r to s p o n to s fixos, nós n a fo rm u lação do elem ento fin ito e n ós " m e stre s " n a c o n d e n sa ç ã o e s tá tic a .
GUPTA (1973-84) [38-44] d e se n v o lv e u um a form ulação d e elem ento fin ito p a r a a n á lise modal d e e s t r u t u r a s o n d e as fu n ç õ e s d e interpolaçêlo dependem d a f r e q ü ê n c ia n a tu ra l d e v ib ra ç ão . Is to r e s u lta em m a triz e s d e in é rc ia e de rig id e z d e p e n d e n te s d a fre q u ê n c ia , q u e não é co n h ec id a a p rio rL A m a triz d as funções de interpolação é, então, expandida em séries, re su ltan d o em um problem a de a u to v a lo r/a u to v e to r q u a d rá tic o , p a r a o c aso d e v ib ra ç õ es liv r e s , q u e pode s e r reso lv id o p e la com binação de se q u ê n c ia d e S tu rm com té c n ic a s d e ite ra ç ã o in v e rs a . K ecentem ente, GMUER (1990)[36] a p re s e n to u um a té c n ic a d e ite r a ç ã o s u b e s p a c ia l in v e r s a p a r a a so lu ção d e ss e tip o d e au to p ro b lem a. FRICKER (1983) [35], u sa n d o a ex p an são d as fu n ç õ e s d e in te rp o la ç ã o d e p e n d e n te s d a f r e q u ê n c ia d e v ib ração em s é rie s , im plem entou um a co n d en sação u sa n d o m a triz e s de rig id e z d in âm icas c alc u la d as em fre q u ê n c ia s fix as, sem elh an te à c o n d e n sa ç ã o e s tá tic a . MILSTED & HUTCHINSON (1974)[60] a p re s e n ta ra m a solução de p ro blem as de v ib ra ç ão em membraneis com o u so d e elem entos fin ito s, o n d e o deslocam ento t r a n s v e r s a l d e um elem ento q u a d r ü a te r a l a r b itr á r io é aproxim ado p o r um polinómio d e q u a tro te rm o s m ais um núm ero a r b itr á r io de te rm o s trig o n o m étrico s. LADEVEZE & PELLE (1989) [55] p ro p u s e ra m üm
fo rm u lação , form u lação e s tá tic a , p a r a um p ro b lem a de a u to v a lo r, b a s e a d a em um novo q u o c ie n te Rs, denom inado " q u o c ie n te d e R ayleigh e stá tic o " , c o n s tr u íd o a p a r t i r de um o p e ra d o r d e G reen.
1.5.2 In v e s tig a ç õ e s no Método d e Elem entos de Ctontorno.
O m étodo d e elem en to s d e c o n to rn o tem sid o e m p re g a d o com s u c e s s o n a so lu ção d e p ro b le m a s ta n to em regim e p e rm a n e n te q u a n to em reg im e tr a n s ie n t e . BESKOS (1987)[14] fe z um a re v is ã o do BEM p a r a a so lu ção d e p ro b lem as dinâm icos d a e la s tic id a d e lin e a r, bem como de o u tro s m étodos de elem en to s d e con to r n o não co n v en c io n a is, como o e sq u e m a h íb rid o q u e r e s u lta d e um a com binação d e elem entos fin ito s com elem en to s d e c o n to rn o . Q uando ap licad o à so lu ção d e p ro b lem as d e v ib ra ç ão liv re , o BEM p o d e s e r c la s s ific a d o em d u a s c a te g o ria s : m étodo d a s ra íz e s de d e te rm in a n te e m étodo d a tra n s fo rm a ç ã o in te g ra l de domínio. A m aio ria dos tra b a lh o s d e ap licação do BEM p a r a p ro b lem as d e a u to v a lo r s itu a - s e n a c a te g o ria do m étodo das ra íz e s d e d e te rm in a n te , como o s tra b a lh o s de TAI & SHAW (1974)[74], VIVOLI & FILIPPI (1974)[75], DeMEY (1976)[25,26], HUTCHINSON (1978,1985) [48,49] e SHAW (1979)[69], p a r a a e q u a ç ã o d e H elm holtz. O m aior in c o n v e n ie n te d e s ta c a te g o ria d e ap licação do BEM é o fa to d e q u e a s so lu çõ es fu n d a m e n ta is s ã o com plexas, en v o lv en d o fu n ç õ e s d e H ankel com a fr e q u ê n c ia d e v ib ra ç ão como a rg u m e n to , p ro d u z in d o p ro blem as d e a u to v a lo r n ão alg éb rico s. Is s o o c o rre p o rq u e a a n á lis e de v ib ra ç õ e s liv r e s tem sid o f e ita d a mesma m a n e ira q u e p a r a v ib ia ç õ e s fo r ç a d a s , p e la s u c e ssiv a apUcação de d ife re n te s fre q ü ê n c ia s fo rçad as a um sistem a sem am ortecim en to a té q u e o c o r r a re s s o n â n c ia . O u s o c!e so lu çõ es fu n d a m e n tais re a is n ão é e fe tiv o p o rq u e e s ta s so lu ç o “.s não s a tisfa z e m a con d ição d e ra d ia ç ã o d e Som m erfeld.
Na c a te g o ria d e m étodo d a tra n sfo rm a ç ã o in te g r a l, a in te g r a l d e domínio d a eq u ação é tra n s fo rm a d a em in te g r a l de c o n to rn o p e la a p lic a ç ã o do teo rem a d a d iv e rg ê n c ia . Como to d a s a s in te g r a is d a eq u ação são, a g o ra , re la c io n a d a s ao c o n to rn o , a e q u ação in te g r a l é re d u z id a a um problem a d e a u to v a lo r /a u to v e to r algéb rico. E ste m étodo fo i p ro p o s to p o r NARDINI & BREBBIA (1982)[62] e BREBBIA & NARDINI (1985) [18], onde a s equações in te g ra is som ente precisam s e r com putadas on d e e s ta s são in d e p e n d e n te s d a fr e q u ê n c ia . E sse p ro ced im ento , denom inado "Dual R ec ip ro c ity M ethod (DRM)", u tiliz a so lu çõ e s fu n d a m e n ta is e s tá tic a s , in d e p e n d e n te s d a fre q u ê n c ia . O m étodo a p r e s e n ta d o p o r AHMAD & BANERJEE (1986)[2] tem alg u m a sim ila rid a d e cora aq u ele p ro p o s to p o r N ard in i e B rebbia. E ste, " P a r tic u la r I n te g r a l M ethod (PIM)", u tiliz a um a fu n ç ã o d e n s id a d e fic tíc ia p a r a ap ro x im ar a s f o r ç a s d e in é rc ia e, en tão , u sa o c o n c e ito d e fu n ç õ e s com plem entares e in te g r a is p a r tic u la r e s p a r a re s o lv e r a s e q u aç õ e s d ife re n c ia is r e s u lta n te s . D epois, BANERJEE, AHMAD & WANG (1988)[5] im plem entaram a fo rm ulação com elem entos is o p a ra m é tric o s a v an ç a d o s com
in te g ra ç ã o a u to - a d a p ta tiv a com c o n tro le autom ático d e e r r o . Porém , o s m étodos DRM e PIM requerem a in v e rs ã o d e uma m atriz p a ra a obtenção do problem a d e autovalor. ALI, RAJAKUMAR & YUNUS (1991)[3] p ro p u se ra m uma té c n ic a q u e elim ina a in v e rs ã o de m a triz n e s s e s m éto d o s. Com b a s e no m étodo p ro p o s to p o r N a rd in i e B reb b ia, KANARACHOS & PROVATIDIS (1991)[51] discutiram form ulações d ife re n te s p a ra a m atriz m assa p a r a o BEM, m a triz m a ssa " c o n s is te n te " e " in c o n s is te n te " , o n d e a fo rm u lação " c o n s is te n te " u tü iz a a s m esm as fu n ç õ e s de in te rp o la ç ã o e fu n ç õ e s p e so ta n to p a r a os term o s e s tá tic o s q u a n to p a r a o s dinâm icos.
KATSIKADELIS & SAPOUNTZAKIS (1988)[52] d e te rm in a ra m a s fr e q u ê n c ia s e m odos d e v ib ra ç ã o d e m em branas p o r um m étodo q u e c o n s is te n a d eterm in ação n u m é ric a d a fu n ç ã o d e G reen p a ra a e q u ação d e L ap lace u tü iz a n d o o BEM, e s u b s e q u e n te m e n te n a d e d u ç ã o d a re p re s e n ta ç ã o in te g r a l d a so lu çã o do problema, q ue envolve um potencial desconhecido n a in te g ra l d e domínio. E m pregando in te g ra ç ã o g a u s s ia n a p a r a a in te g r a l d e domínio e um a té c n ic a d e colocação, é o b tid o um siste m a hom ogêneo d e e q u a ç õ e s a lg é b ric a s lin e a re s com r e s p e ito à s d e fle x õ es nos p o n to s de G auss. A in te g r a ç ã o d e dom ínios com fo rm as a r b i t r á r i a s é f e ita p o r um método denom inado " F in ite S e c to r M ethod (FSM)". NOWAK (1988)[63], BREBBIA (1989)[19] e NOWAK & BREBBIA (1989)[64] d e se n v o lv e ra m o "M ultiple R ec ip ro c ity M ethod (MRM)" no m étodo d e elem en to s d e c o n to rn o p a r a c o n v e r te r in te g r a is d e domínio em c o r r e s p o n d e n te s in te g r a is d e co n to rn o , u tiliz a n d o s o lu ç õ e s fu n d a m e n ta is d e a lta ordem do o p e r a d o r d e L aplace. O m étodo fo i ap licad o p a f a a n á lis e tr a n s ie n t e de tr a n s f e r ê n c ia d e c a lo r e à e q u a ç ã o de Poisson e d e H elmholtz. D epois, KAMIYA & ANDOH (1991) [50] a p re se n ta ra m um novo e ro b u sto esquem a d e elem entos d e contorno p a ra a n a lis a r o p ro b lem a d e a u to v a lo r /a u to v e to r o riu n d o d a e q u a ç ã o d e Helmholtz, b asead o n a com binação do m étodo MRM, d a eq u ação c a r a c te r ís tic a e d e um a té c n ic a e fic ie n te p a r a a d e te rm in a ç ã o d e a u to v a lo re s . HONG (1991 )[45] a p r e s e n to u um m étodo de elem entos d e c o n to rn o m odificado, "M odified B o u n d ary E lem ent M ethod (MBEM)", no qual o contorno é dividido em p a rte s re g u la re s e irre g u la re s , e a fu n ção d e Green é fo rç a d a a s a tis f a z e r a s m esm as co n d içõ es de c o n to rn o ho m o g ên eas q u e a fu n ç ã o p o te n cial s a tis fa z no c o n to rn o r e g u la r . 0 in te rv a lo d e in te g ra ç ã o d a s e q u a ç õ e s é re d u z id o aos c o n to rn o s ir r e g u la r e s .
LOCAL MODIFICADO
A fo rm u lação a b s t r a t a do MLGFM, com o formaKsmo m atem ático e fo rm u lação v a ria c io n a l, p a rtin d o d e um a re la ç ã o d e re c ip ro c id a d e g e n é ric a , p o d e s e r e n c o n tr a d a no tra b a lh o d e SUva (1988)[71] e, meiis d e ta lh a d a m e n te , no d e B a rb ie ri (1992) [6], o n d e sã o d is c u tid a s a s c o n d içõ es d e e x istê n c ia e u n ic id a d e d a so lu çã o e o formaHsmo p a r a a im plem entação n u m érica. Porém , f a z - s e n e c e s s á rio , a q u i, q u e s e e sp e c ifiq u e e c a r a c te r iz e o e sp a ç o o n d e o m étodo é d e fin id o p a r a q u e s e p o s sa d e se n v o lv e r o form alism o do m étodo, v e n d o -s e com tr a n s p a r ê n c ia to d o o r ig o r m atem ático envolvido, s a b e n d o q u e e s te s e s itu a f o r a do esco p o do p r e s e n te tra b a lh o .
2.1 FORMULAÇÃO DO MÉTODO DA FUNÇÃO DE GREEN LOCAL MODIFICADO (MLGFM).
D e n o ta -se p o r Q um domínio a b e rto , lim itado, no e sp a ç o 81", com c o n to rn o 3Q s u fic ie n te m e n te re g u la r, ou s e ja , um c o n to rn o q u e adm ite a e x istê n c ia do v e to r norm al em q u a s e to d o s os p o n to s, exceto, p o ssiv elm en te, em c o n ju n to s d e m edida n u la.
A form ulação d e Elem entos de C o n to rn o [17], u tü iz a fu n ç õ e s d e fin id a s em e s p a ç o s d e H ilb ert H “ (Q) com v a lo re s no c o n to rn o . E s te s v a lo re s são u s a d o s p a r a d e te rm in a r o s do domínio. E ntão, os e sp a ç o s d e fu n ç õ e s a p ro p ria d a s devem p e rm itir e x te n s õ e s ao c o n to rn o , is to é, devem p o s s u ir a p ro p r ie d a d e do tra ç o . Um e sp a ç o de H ilb e rt H ” (Q) tem a p ro p rie d a d e do tr a ç o s e s a tis f iz e r a s s e g u in te s co n d içõ es, [65]:
(i) H “ (Q) e s ti v e r d e n so e c o n tin u a m en te c o n tid o em C/(Q) e L/(Q) tiv e r um a to p o lo g ia m ais f r a c a q u e /T ”* (Q), H'^ (Q) c Í7(Q);
(ü) t/(Q) f o r um e sp a ç o p iv o tal, ou s e ja , ^ ( Q ) c Í7(Q ) = U\Çk) c
o n d e U\Q) e H \ü ) são o s e sp a ç o s d u a is topológicos d e U{Q) e //(Q) re sp e c tiv a m e n te , is to é, os e sp a ç o s d os fu n c io n a is H n eares co n tín u o s so b re U{Q) e H{Q), [66];
(iü) e x is tir um m apeam ento lin e a r y://(Q)-» dfí{Q), o n d e o o p e ra d o r lin e a r Y m apeia o e sp a ç o H{Q) s o b re o u tro e sp a ç o d e H ü b e rt dH{Q), ta l q u e o n ú cleo de y, H o ,s e ja d e n so em U, ou sejei,
H = ker(Y) (2.2a)
H ^ c : U = U ' c h ' (2-2b)
se n d o £is in c lu s õ e s d e n s a s e continueis.
O e sp a ç o dH{Q.) c o rre s p o n d e a um e sp a ç o d e v a lo re s de c o n to rn o , com o o p e ra d o r y le v an d o o s elem entos d e H{Q), d e fin id o s em Q, p a r a 6Q. O o p e ra d o r y é denom inado " o p e ra d o r tra ç o " . P a ra um a fu n ç ã o u(x) d e fin id a em um e sp a ç o d e H ilb e rt H “ (Q), o o p e ra d o r tra ç o é d efin id o p o r
(2.3) dn^
V xe3Q, u(x)eQ, 0 < j < m-1
e e s s e s c o m p o n en tes sã o a s d e riv a d a s norm ais em 5Q d e o rd em m enor q u e m, onde n é a norm al ao c o n to rn o 3Q no p o n to x. E ntão, y j é um m apeam ento lin e a r e co n tín u o d e / í “ (fí) em H (ÕQ)
com m p o d en d o a s s u m ir v a lo re s in te iro s ou fra c io n á rio s [64].
2.2 FORMALISMO DO MLGFM.
S e ja o pro b lem a Linear g e n é ric o , um siste m a d e eq u açõ es d ife re n c ia is , n a form a
A[«(x)] =
H x)
(2.6)em Q, com co n d içõ e s d e c o n to rn o p r e s c r i ta s e c o n to rn o 3Q su fic ie n te m e n te re g u la r, o n d e e x iste um a so lu ção ú n ic a q u e d e p e n d e c o n tin u a m e n te d a s c o n d içõ es de c o n to rn o e d a ex citação , c a r a c te riz a n d o um problem a bem p o sto . N esta r e p re s e n ta ç ã o , A{' ) é um o p e ra d o r d ife re n c ia l lin e a r, u(x) é um v e to r d eslo cam en to g e n e ra liz a d o e b(x) é um v e to r fo r ç a g e n e ra liz a d o .
O MLGFM é um m étodo in te g r a l com e s t r u t u r a se m e lh a n te à do m étodo d e elem en to s d e c o n to rn o in d ir e ta , porém com a s v a riá v e is d ire ta m e n te re la c io n a d a s a fenôm enos físic o s. T em -se, e n tão , um p ro b lem a a d ju n to c o r re s p o n d e n te p a ra uma ex citação do tip o fu n ç ã o D elta d e D irac^ Ô(P,Q), n a form a
A 'l G ( P m
= » ( P .® !com I como o te n s o r id e n tid a d e , 6(P,Q) a fu n ç ã o D elta d e D irac e G(P,Q) o te n s o r solução fu n d a m e n ta l, o n d e G r e p r e s e n ta o d eslo cam en to g e n e ra liz a d o n a d ire ç ã o i de um p o n to QeQ, d e v id o a um a fo r ç a g e n e ra liz a d a u n itá r ia apH cada n a d ire ç ã o j no p o n to PeQ, & A * {•) é o o p e ra d o r a d ju n to d e A{' ).
M ultipH cando-se a e q u aç ã o (2.6) p o r G(P,Q) * e a e q u a ç ã o (2.7) p o r u * (x), te m -se :
G(P.®M[i.(i)] = G(Í>,®'K»)
<2«)
b'(i M '[ G (p,(?)] = i i '( i ) a ( i > , o ) i = d ( í ’,<?)»'(*) <2.9) S u b tr a in d o - s e a e q u aç ã o (2.8) do tr a n s p o s to d a e q u aç ã o (2.9), re s u lta : [A
■lG(P,Q)iru(.x)-G(P,Q)'Alu(x)]
=u(x)l,(P,Q)-GÍP,QfKx)
< 2‘'» q u e r e a r r a n ja d a fica: u (x )ô (p ,(? ) = G (p ,(? m x )+ [A w ,< ? )]r« ( x )-G (p ,< ? )* [ ^ [tt( x )]] (2.1 1) L o c a liz a n d o -se um siste m a d e c o o rd e n a d a s no p o n to QeQ, a in te g ra ç ã o d a e q u ação (2.1 1) no dom ínio, a g o ra £2 p fo rn e c e a so lu ção , como sen d o :ju (F )H P ,Q )d a
, .
f G ( P ,( ffK F ) d a ,^ j^ [ A \ a fm Y « i P ) d a ,
- f G { P , Q f \ A l u i P ) V a fq u e le v a n d o -s e em c o n ta a s p ro p r ie d a d e s d a fu n ç ã o D elta de D irac, fica:
- f & P M l M u i m a ,
(
2.
12)
(2.13)
A p lic an d o -se o teo rem a de G auss [30] à s d u a s ú ltim a s ;p a rc e la s d a eq u ação (2.13), re s u lta :
f [A
W,<?)Ol»WQp =
- f [N*[G(pmVu(p)ddCi
(2.14) j G { P .Q n A [u { F m d Q ^ = - / G (p,çy[iV [»(p)]M aQ 6Q^ B{G{P,Q)MF))
(2.15)o n d e 5(u,G) é a form a b ilin e a r a s s o c ia d a ao o p e ra d o r A ( '), e d6Qp r e p r e s e n t a um elem ento in fin itesim al d e c o n to rn o 3Q com o p o n to pe3Q e N ( ‘) e TV* ( • ) sã o os o p e ra d o re s d e Neumann a sso c ia d o s a A ( - ) e A* (•), re s p e c tiv a m e n te . S u b s titu in d o a s eq u açõ es (2.14) e (2.15) n a e q u ação (2.13), vem:
» « ? ) “ f^ G iP ,Q ) 'H F ) d a ,*
- f jN - lG ( p ,Q ) ] ) ''‘(p)daa^*B(,u(.P),G(,P,Q))*
f 2 ‘ 6) tf^ a < p .Q Y lN lu m V d Q , -B(.G(,p,Q)Mfí)
Com a d efin ição de o p e r a d o r a d ju n to [23], ou s e ja ,
( r / , s ) - ( / ,« • ) s e n d o T um o p e ra d o r so b re um c o n ju n to D em um e sp a ç o W, q u e m apeia D em 81, e n tão g * = T* g e T* é o o p e ra d o r a d ju n to de T, te m -se : í ( f e ) = ( r / 8 ) =
(f,T- g)
E ntão, B i u ( P ) ,G ( P m = B (G (P ,Q )M P y) (2.19) p o rta n to :U(Q>
= f& P ,Q fH P )d a
,-(
2
.
20
)
- f j l f i a < p , Q f f f > ‘(P)d3a,*
/^G<p,0'[W [li(p)]]d3Q,
o te n s o r G(P,Q.) r e p r e s e n ta um a so lu ção fundam entêil d a equ ação (2.7). A eq u aç ã o (2.20) r e p r e s e n ta um a fo rm u lação d ir e ta d e elem entos d e c o n to rn o (form ulação in te g r a l) , [17]. P o rta n to , o te n s o r G(P,Q), como so lu ção fu n d am en tal, a p r e s e n ta ir r e g u la r id a d e no c ê l s o u n id im en sio n al e s in g u la rid a d e n os c aso s bidim ensio
n a is e trid im e n sio n a is, d ific u lta n d o o cálculo n u m érico d a s in te g r a is d a e q u ação (2.20), mesmo q u e s e ja c o n h ec id a a e x p re s s ã o m atem ática d e G(P,Q). A s in g u la rid a d e d e s s a s in te g r a is é a g ra v a d a p e la p re s e n ç a do o p e r a d o r d e Neum ann, apLLcado so b re G(p,Q). P a ra c o m p actar e m e lh o ra r a re g u la rid a d e d a so lu ção, to rn a n d o o p ro c e s s o num érico m ais e fic ie n te , [71], tra n s fo rm a -s e a so lu ção fu n d a m e n ta l G(P,Q) em um a fu n ç ã o de G reen, q u e é a so lu ção d a e q u ação (2.7) a te n d e n d o a a p ro p ria d a s con d içõ es d e c o n to rn o p re v ia m e n te e s ta b e le c id a s . P o rta n to , p a r a um a m aior co n v en iê n c ia, so m a-se e s u b tr a i- s e a q u a n tid a d e
fa o " '■ — ... ~P* (2.22)
G(p,Qy[N'lu(p)]\
“íN'[G(p,Q)]Vu(p)
(2
.2 1
) n a e q u a ç ã o (2.20). Logo,«(O ‘
fjB(P.Q)'»(,P)da^-}j(.N'*N')lG(p.Q)V!u(p)dda,
* f ^ G ( p , Q y m * N ) i u m d d a ^ q u e é a e x p re ss ã o d e o n d e p a r te a c o n cep ção do MLGFM. Uma fo rm a a p ro p ria d a p a ra o o p e ra d o r N’é a de um o p e ra d o r c o n s ta n te , ou s e ja N ' = (2.23)o n d e ki é um a c o n s ta n te r e a l n ão n u la, com kj p o den d o ou não s e r d if e r e n te de kj, p a r a ii*j. É mais c o n v e n ie n te u tiliz a r - s e kj = k j Os v a lo re s num éricos p a r a ki devem s e r a r b itr a d o s d e fo rm a a m a n te r um bom condicionam ento num érico do siste m a fin a l d e e q u aç õ e s.
P a ra s e a tin g ir o o b je tiv o de tra n s fo rm a r G(P,Q) em um a fu n ção d e G reen f a z - s e n e c e s s á rio o e sta b e le c im e n to de co n d içõ es de c o n to rn o . A condição d e c o n to rn o m ais a p r o p r ia d a é a co n d ição de c o n to rn o hom ogênea p a ra a fu n ç ã o d e G reen:
(N*+N^G(p,Q)
= 0 (2-24)P o rta n to , a so lu ção u(Q) fica:
» « a =
j^G(.P,Q)'HF)dQ^*f^a(pmiN*N')lumV3a,,
<2-25)
Porém , a in te g r a l d e c o n to rn o n a e q u ação (2.25) a p r e s e n ta d e riv a d a s d e u (p ) no s e n tid o do tra ç o , in c o n v e n ie n te s p a r a a anáH se n um érica. D e fin e -se , e n tão , um a n o v a q u a n tid a d e F(p) como:
F (p) = (N + N )[u(py\ (2-26)
Logo, a so lu ção u(Q), em uma form a m ais a p ro p ria d a , sem d e riv a d a s d a fu n ç ã o d e G reen e d e u (p ), fica:
» ( ® = fjS i P ,Q f H P ) d Q ,* f ^ G ( p ,Q f F ( p ) d d a ^ (2.27)
a so lu ção do p ro b lem a no domínio. Como as fu n ç õ e s e n v o lv id a s no p ro b lem a foram d e fin id a s em e sp a ç o s de H ilb e rt q u e perm item e x te n s õ e s ao c o n to rn o , ou s e ja , q ue p o ssu em a p ro p r ie d a d e do tra ç o , is to é:
u{q) = lim uiQ ) (2.28)
(M
o b té m -s e a e q u a ç ã o in te g r a l q u e d e fin e o problem a no c o n to rn o 3Q:
m = f ^ 0 ( , P 4 ) 'K F ) d a , + / ^ G ( p ,4) 'F ( p ) d a Q , (2.29)
As e q u a ç õ e s (2.27) e (2.29) compõem o siste m a d e e q u aç õ e s in te g r a is q u e re p re s e n ta m o p ro b lem a com pletam ente. As c o n d içõ es d e c o n to rn o são in c lu íd a s a tra v é s do o p e ra d o r de D iric h le t e d a q u a n tid a d e F (p). As co n d içõ es de c o n to rn o d e D iric h le t sã o a u to m a tica m e n te in c lu íd a s n a d efin ição do e sp a ç o d as fu n ç õ e s a d m issív e is, e sp a ç o d e H ü b e rt com a p ro p r ie d a d e do tra ç o , [66], As con d içõ es d e c o n to rn o d e Neum ann, C au ch y -R o b in e m istas são r e p r e s e n ta d a s p e la q u a n tid a d e F (p ), [6]. C o n tu d o , F(p) = (AFt-iV’)u (p ) r e p r e s e n ta a " re a ç ã o /flu x o " r e a l do problem a, A\x(p), e um a " re a ç ã o /flu x o " fic tíc ia , ^ u ( p ) . Q uando e x istire m p o rç õ e s do c o n to rn o com co n d içõ es e s s e n c ia is ho m ogêneas, é c o n v e n ie n te d e fin ir v a lo re s d e a p e n a s n e s ta s p o rç õ e s, p a r a e v ita r um p ó s -p ro c e s s a m e n to d os r e s u lta d o s . Nos dem ais c a so s de co n d içõ es d e c o n to rn o d e v e s e r e fe tu a d o um sim ples p ó s -p ro c e s s a m e n to .
2.3 f o r m u l a ç ã o NUMÉRICA.
2.3.1 DISCRETIZAÇÃO E APROXIMAÇÃO NUMÉRICA.
A fo rm u lação o rig in a l do MLGFM p ro p o s ta p o r S ü v a [71], p ro p u n h a a p a rtiç ã o do dom ínio em subdom ínios e o m étodo e r a d e se n v o lv id o p a ra a p e n a s um subdom ínio. BARBIERI (1992) [6] tam bém c o n s id e ra a p a rtiç ã o d e domínio, porém , apH ca o m étodo p a r a to d o o domínio, ou s e ja , p a r a to d o s os su b dom ínios sim u ltan eam en te. P o rta n to , o domínio Q po d e s e r s u b d iv id id o em m su b d o m ín io s, ,
k= l,...,m e
Q = ( J Q (2.30)
*-l
__*
Û 'P I Q/ = 0 (2.31) Como o M étodo d e Elem entos F initos é em p reg ad o p a r a s e o b te r a aproxim ação d a fu n ç ã o d e G reen no domínio, c a d a subdom ínio é d is c r e tiz a d o em f elem en to s fin ito s. As i n te r f a c e s dos su b d om ín io s devem t e r a mesma d is c re tiz a ç ã o , ou s e ja , o mesmo n ú m ero d e elem en to s e fu n ç ã o d e in te rp o la ç ã o de mesmo g ra u . P o rta n to , é p o s sív e l s e in te r p o la r q u a lq u e r q u a n tid a d e y, q u e te n h a co m p o rtam en to su av e, s o b re o subdom ínio £2*^ com fu n ç õ e s d e in te rp o la ç ã o locais do Método d e Elem entos F in ito s, como:
y
= [TK ).)
(2-32)
o n d e yj r e p r e s e n ta o v a lo r d a q u a n tid a d e y m edida no nó i d a m alha d e elem en to s fin ito s , com i= l,...,n d , s e n d o n d o n ú m ero to ta l d e nós d a m alha d e elem en to s fin ito s do subdom ínio, e [T ] é a m a triz deis fu n ç õ e s d e in te rp o la ç ã o de domínio,
m - [«I ^2
- 1 -J
(2-33)
P a ra a re s o lu ç ã o do siste m a d e eq u açõ es in te g r a is , d iv id e -s e o c o n to rn o d e c a d a sub d o m ín io £2*^ em c elem entos de c o n to rn o . As fu n ç õ e s d e interpolaçÊLO de c o n to rn o , 0j , são o tr a ç o d a s fu n ç õ e s d e in te rp o la ç ã o d e dom ínio, Uma q u a n tid a d e y é in te rp o la d a no c o n to rn o como
y
= [*JM
(
2
-
34
)
o n d e yj r e p r e s e n ta o v a lo r d a q u a n tid a d e y m edida no nó i d a m alha d e e lem en to s de c o n to rn o , com i= l,...,n c e n c é o n ú m ero to ta l d e nós d a m alha d e e lem en to s d e c o n to rn o do subdom ínio, e [í>] é a m a triz d a s fu n ç õ e s de in te rp o la ç ã o d e c o n to rn o ,
[ * ] - » , *2 <l>, • W
(2-35)
A m alha d e elem en to s d e c o n to rn o em preg a, s e n e c e s s á rio , n ós d u p lo s em p o n to s q u e a p re s e n ta m d e s c o n tin u id a d e d e condições d e c o n to rn o e /o u de g eo m etria, ou s e ja , d a norm al. E s ta m alha u tiliz a elem entos d e c o n to rn o c o r r e s p o n d e n t e s aos elem entos fin ito s u tiliz a d o s n a m alha d is c r e tiz a d o ra do domínio, is to é, elem en to s com fu n ç õ e s d e in te rp o la ç ã o d e mesmo g ra u . P a ra a v a riá v e l d e cam po u (p ) é n e c e s s á rio q u e h a ja e s ta c o rre s p o n d ê n c ia , e n tr e a o rd em d a s fu n ç õ e s d e in te rp o la ç ã o d a m alha d e elem en to s fin ito s, m alha de domínio, com a m alh a d e elem ento s d e c o n to rn o , m alha d e c o n to rn o . C ontudo, a v a riá v e l de fluxo f(p ) p o d e s e r e x p r e s s a em te rm o s d e um o u tr o c o n ju n to d e fu n ç õ e s de in te rp o la ç ã o K n earm en te in d e p e n d e n te s , c a so s e ja mais v a n ta jo so .
Q=Q*, a p e n a s um subdom ínio ( F ig u ra 2.1), E x p an d em -se, e n tã o , a s q u a n tid a d e s u(Q), u (q ), b(P) e F(p) p e las fu n ç õ e s d e in te rp o la ç ã o , como no FEM:
« « ? ) = [Y « ?)] [ u ] ^
HF) =
[Y(iO] [b]
F(p) =
u(q)
= (2.36) (2.37) (2.38) (2.39)com {u} ° e {u} ^ re p r e s e n ta n d o os v a lo re s n o d a is d e d eslo cam en to g e n e ra E z a d o u no dom ínio e no c o n to rn o , re s p e c tiv a m e n te ; {b} e {f} re p r e s e n ta n d o v a lo re s n o d ais de fo r ç a s d e c o rp o g e n e ra liz a d a s e de re a ç õ e s g e n e ra liz a d a s , re s p e c tiv a m e n te .
d is c re tiz a d o o domínio, fic a r e e s c r ita como:
+ /^G (p.® '[*0>)](/}d3Q ,
(2.40) Como os v a lo re s {b} e {f} sã o v a lo re s n o d a is, p o rta n to c o n s ta n te s , não n e c e s sita m e s t a r su b m etid o s ao o p e ra d o r in te g ra l. Então:
(2.41) A eq u aç ã o (2.41) r e p r e s e n ta a so lu çã o do p ro b lem a d e form a aproxim ada, j á q u e to d a s a s q u a n tid a d e s e n v o lv id a s fo ram e x p a n d id a s em um núm ero fin ito d e nós, ou s e ja , em um núm ero fin ito d e g r a u s d e lib e rd a d e . P o rta n to , a e x p re s s ã o (2.41) a p r e s e n ta um re s íd u o , R. ü tü iz a n d o - s e um m étodo d e re s id u o s p o n d e ra d o s, f a z - s e com q u e e s te re s íd u o s e ja nulo no s e n tid o d a m édia. A p lican d o -se o M étodo d e G alerk in [19,76], f a z - s e uma p ro je ç ã o o rto g o n a l do re s íd u o so b re um c o n ju n to d e fu n ç õ e s lin e a rm e n te in d e p e n d e n te s , a s fu n ç õ e s d e in te rp o la ç ã o d e elem en to s fin ito s i^i, a p lic a n d o o p ro d u to in te rn o d efin id o no e sp a ç o d e H ilb ert. P o rta n to , f a z - s e a p ro je ç ã o o rto g o n a l d e
u(Q)
so b re[T(Q)j.
E ntão:+ / [ í ( ® l '/ „ G ( p , e ) '[ » ( p ) ] < í 3 Q / Q e W
(2.42)
o n d e
E s c re v e n d o em uma form a s in te tiz a d a , fica;
A i u f ^ B ( f l *
Cti>)
<2‘'3)
A = f j t m p i m v Q g (2 ‘t‘t)
B
= / ^ [ T ( ® rf j S ( p ,Q y
[*(p)]< fôQ /Q ç (2.45)C =
