IMPOSIÇÃO DE CONDIÇÕES DE CONTORNO.

3.4.1 C ondições d e C o n to rn o de D iric h le t Hom ogêneas.

Como a s c o n d içõ e s d e c o n to rn o d e D iric h le t sã o a u to m a tica m e n te in c lu íd a s n a d efin ição do e sp a ç o d e fu n ç õ e s ad m issív e is, e sp a ç o d e H ilb e rt com a p ro p rie d a d e do tra ç o , e s ta s sã o im p o sta s ao pro b lem a d e a u to v a lo r /a u to v e to r j á m ontado, te n d o o d eslo cam en to w(Q) como arg u m e n to .

E ntão, re s o lv e n d o - s e o siste m a form ado p e las e q u a ç õ e s (3.108) e (3.109) p o r s u b s titu iç ã o , is o la -s e a s fo rç a s d e re a ç ã o n a e q u ação <3.109), como:

{/} = E ~ ^ D { w ] ^ - (3-110)

e s u b s tit u i- s e n a e q u ação (3.108), o b te n d o -s e :

A { w ] °

B E - ^ D [ w f -

ex p an d id a de m a n eira q u e te n h a a mesm a dim ensão d a m atriz A, com a in c lu sã o de lin h a s e co lu n as com z e ro s, e fa z e n d o a m atriz

L = B E ~ ^ F (3.113)

a eq u ação (3.111) fica:

{[A - / ] + <o2[C - L ] } { w } ^ = {0} (3.114) E ste é o problem a d e a u to v a lo r /a u to v e to í g e n e ra liz a d o c o rre s p o n d e n te ao problem a de v ib ração liv r e em uma m em brana ho m o g ên ea sob te n sã o c o n s ta n te com a s b o rd a s fix as. Sua so lu ção fo rn e c e o s q u a d r a d o s d a s fr e q ü ê n c ia s n a tu r a is d e v ib ra ç ã o ^ e os c o rre s p o n d e n te s modos d e v ib ra ç ã o , , com i= l,nd - nc e j= í,n ^ , o n d e n^ r e p r e s e n ta o núm ero de n ós em q u e fo i d is c re tiz a d o o domínio e nc o n ú m ero d e nós em q u e foi d is c re tiz a d o o c o n to rn o .

As co n d içõ e s d e c o n to rn o de D iric h le t são im p o sta s e sp e c ific a n ­ d o -s e {w}^ nulo n a s p o siçõ es c o r r e s p o n d e n te s aos n ós do c o n to rn o . P ra tic a m e n te , s ig n ific a elim inar a s e q u aç õ e s do a u to p ro b le m a c o rre s p o n d e n te s a e s s e s nós. E ssa s eq u açõ es são lin h a s e c o lu n as d a s m a triz e s do auto p ro blem a, e e s tã o o rd e n a d a s se g u n d o a num eração da d is c r e tiz a ç ã o d e domínio. P o rta n to , os a u to v e to re s som ente te rã o com ponentes não n u la^ nos n ó s in te r n o s , is to é, n a q u e le s q u e nâío p e rte n c e m ao co n to rn o .

3.4.2 C ondições d e C o n to rn o d e Neumann Hom ogêneas.

As c o n d içõ e s d e c o n to rn o d e Neumann sã o a p lic a d a s a tra v é s d a q u a n tid a d e F(p), v isto q u e e s ta q u a n tid a d e r e p r e s e n ta as re a ç õ e s /flu x o s r e a is e fic tíc io s do problem a. Na e x p re s s ã o p a r a F(p),

J = BE~^D

P (p ) = k^w (p) + ^ ( P ) (3.115)

ap H ca-se a condição d e re a ç ã o /flu x o n u lo no c o n to rn o , co n d ição d e Neum ann hom ogênea, fa z en d o

^ = 0 (3.116)

Como o p a râ m e tro ko so m en te d e v e s e r e sp e c ific ad o em n ós do c o n to rn o so b co n d ição d e D iric h le t hom ogênea, k ^ d e v e ria , aq u i, s e r nulo, re s u lta n d o em

F(p) = 0

(3-117)

Porém , e s ta im posição a c a r r e t a em p ro b lem as de mau co n d icion am ento nu m érico, j á q u e v á rio s códigos c o m p u ta cio n a is p a ra a so lu ção de p ro b lem as de a u to v a lo r /a u to v e to r não d e tec ta m o m ovim ento d e c o rp o ríg id o , q u e é o modo com fr e q ü ê n c ia d e v ib ra ç ã o nula, q u e o c o rre sob e s te tip o d e cond ição de co n to rn o , q u e não a p r e s e n ta u n ic id a d e de solução, n e c e s s ita n d o d e um a con d ição de o rto g o n a lid a d e p a ra q u e a so lu çã o s e ja d efin id a. P o rta n to , f a z - s e n e c e s s á rio q u e s e e sp e c ifiq u e um v a lo r p a r a ko em to d o s o s ríós do c o n to rn o , q u a n d o e s te esti"ver, a p e n a s , sob condiçêk) d e Neumann hom ogênea. O v a lo r p a r a e s te p a râ m e tro , n e s ta situ a ç ã o , d e v e s e r tã o p e q u e n o q u a n to p o ssív e l, d a o rd em d e 10"°®, p a r a q u e não o c o rra um a d e s c a ra c te riz a ç ã o d a co n d ição d e c o n to rn o do p roblem a. Mesmo assim o problem a n u m érico não fic a m uito bem condicionado, ex ig in d o a u tiliz a çã o de p re c isã o ex p an d id a . O fa to d a e sp e c ific a ç ã o de um p a râ m e tro a r b i t r á r i o n e s te c a so não c a r a c te r iz a um a d e p e n d ê n c ia p a ra m é tric a , v is to q u e ap ó s e s ta b e le c id o o v a lo r p a r a e s te p a râ m e tro não h á n e c e s s id a d e d e a l te r á - lo p a ra o u tro s p ro b lem as so b m esm as co n diçõ es d e c o n to rn o . Logo, a co n d ição de co n to rn o d e N eum ann hom ogênea fic a im p o sta fa z e n d o -s e :

{ / ) = ( 3 1 1 8 )

S u b s titu in d o a e q u a ç ã o (3.118) n a eq u aç ã o (3.109), vem:

D { w ] ^ = k ^ E { w f + (3.119)

ou

(3.120) S u b s titu in d o a eq u aç ã o (3.118) n a e q u ação (3.108), vem:

A f w p = (3.121)

A gora, s u b s titu in d o a e q u aç ã o (3.120) n a eq u ação (3.121), o b té m -se;

A { w } " = B[Z) - Jt^£]"‘F í w p + í o * C { w p (3.122) ou

Fazendo

te m -s e

[A - W^PIÍW}® = {0} (3125)

q u e é o pro b lem a d e a u to v a lo r/a u to v e to r g e n e ra liz a d o c o rre s p o n d e n te ao problem a de v ib ração liv re em um a cavidade a c u stic a m e n te ríg id a , ou s e ja , com a s p a re d e s im perm eáveis ao fluxo so n o ro . A so lu ção fo rn e c e os a u to v a lo re s como os q u a d ra d o s das fre q ü ê n c ia s n a tu re d s de v ib ração , , e os c o rre s p o n d e n te s a u to v e to re s como os modos d e vibraçâío, w^j, com i j = l,n d > o n d e n^ r e p r e s e n t a o núm ero d e n ó s em q u e fo i d is c re tiz a d o o domínio. V ê-se q u e a s co n d içõ es d e c o n to rn o foram au to m aticam en te im p o stas a tra v é s d a q u a n tid a d e {f}.

3.4.3 C ondições d e C ontorno M istas H om ogêneas.

As co n d içõ es d e c o n to rn o m istas hom ogêneas re p re s e n ta m s itu a ç õ e s o n d e p a r te do c o n to rn o e s tá s u je ita a co n d içõ es d e D iric h le t h o m o gên eas e p a r te a co n d içõ es d e Neumann hom ogêneas. P o rta n to , a m an eira como e s ta s co nd içõ es são im p o stas é sim ilar à d a s a n te r io r e s , ou s e ja , o n d e h o u v e r co n dição d e c o n to rn o e ss e n c ia l e s ta s e r á au to m aticam en te in c lu íd a n a d efin ição do e sp a ç o d e fu n ç õ e s ad m issív eis; o n d e h o u v e r condição d e c o n to rn o n a tu ra l, e s ta s e r á im p o sta a tra v é s d a q u a n tid a d e {f}. D e v e-se , e n tão , e f e tu a r uma p a rtiç ã o do c o n to rn o p a r a q u e s e p o ssa t r a t a r c a d a p o rç ã o d e m an eira a d e q u a d a . E s ta p a rtiç ã o s e r e f le te n a s e q u aç õ e s g o v e rn a n te s como, também, um a p a rtiç ã o d a s m a triz e s e n v o lv id a s. C ada eq u ação m a tric ia l é desm em brada em d u a s, uma r e p r e s e n ta n d o a p o rç ã o do c o n to rn o sob condição d e c o n to rn o D iric h le t e o u tr a re p r e s e n ta n d o a p o rç ã o so b co n d ição de c o n to rn o d e Neum ann. Após a s d e v id a s m anip u laçõ es, o b té m -se um a u to p ro b le m a g e n e ra liz a d o q u e j á t r a z implíciteis to d a s as in fo rm açõ es p e r tin e n te s à s c o n d içõ es de c o n to rn o . P o rta n to , s u a so lu ção fo rn e c e , como a n te s , a s fr e q u ê n c ia s e m odos n a tu ra is d e v ib ração d a e s t r u t u r a . Todo o d esen v o lv im en to d e s te p ro c e ss o d e p á rtic io n a m e n to pode s e r e n c o n tra d o com d e ta lh e s no A pêndice.

Da m an eira còmo fo i fo rm u lad a, a im posição de c o n d içõ e s de c o n to rn o m ista pod e s e r re a liz a d a nó a nó, is to é, é p o ssív e l e s p e c if ic a r - s e uma condição de c o n to rn o d ife re n te , e ss e n c ia l ou n a tu ra l, p a r a c ad a nó do c o n to rn o . D ev e- se , porém , u tiliz a r nós d u p lo s q u an d o h o u v e r m u d an ça d a s co n d içõ es de c o n to rn o .