0 d e se n v o lv im e n to do M étodo d a F u n ção de G reen Local Modificado p a ra a e q u ação d e Helmholtz foi a p rim e ira a p licação do m étodo p a ra an álise dinâm ica, p a rtic u la rm e n te p a r a a anáH se m odal. Os re s u lta d o s o b tid o s validam o pro ced im en to e enfatizam a p re s e n ç a de s u p e r c o n v e rg ê n c ia nodal p a r a os a u to v a lo re s (f re q u ê n c ia s n a tu r a is ) , como j á a c o n te c e n a a n á lise e s tá tic a . E s ta s u p e rc o n v e rg ê n c ia p re c is a , a in d a , s e r e x p lo ra d a e n e c e s s ita d e um e s tu d o m atem ático meds a p ro fu n d a d o .
O u tra c a r a c te r ís tic a p e rc e b id a n a a n á lise dos re s u lta d o s é o fa to d e qu e o re fin a m e n to d a m alha, ta n to p - como h -, m elh o ra se n siv e lm e n te os re s u lta d o s . Não h á um a form ulação m atem ática p a r a a e stim a tiv a d e e r r o p a r a o M étodo da Função de G reen Local M odificado, porém o s v a lo re s o b tid o s p a ra a anáH se ex p erim en tal d e c o n v e rg ê n c ia su g e re m ta x as sem e lh a n te s ou m elh o res q u e a q u e la s a p re s e n ta d a s pelo Método d e E lem entos F initos.
Um a s p e c to p e r tin e n te à form ulação do m étodo, q u e tam bém a p a re c e n a a n á lise dinâm ica, é a p o s sib ilid a d e de s u a ap licação em meios o n d e não e x iste solução fu n d a m e n ta l, d e modo q u e o Método d a F u n ção de G reen Local Modificado tem uma g r a n d e a p lic a ç ã o o n d e o Método de Elem entos de C o n to rn o t r a d i cional a in d a não s e ap lica.
A s e n s ib ilid a d e à d isto rç ã o dos elem entos d a m alha s e faz p re s e n te , sen d o , porém , a m en izad a com o em prego de elem entos d e m aior ordem , que, p ela ex istên c ia d e s u p e r c o n v e r g ê n c ia nodal, compensam a lig e ira p e r d a d e p re c is ã o dev id o à d isto rç ã o . D e v e -se , e n tr e ta n to , e v ita r a e x c e ssiv a d is to rç ã o p a r a q u e não se in c o rra em s u b in te g ra ç ã o m uito a c e n tu a d a do elem ento, devido ao Ja c o b ia n o t o r n a r - s e uma fu n ção d e ordem e le v a d a . O e m p re g o d e elem entos lin e a re s não fo r n e c e r e s u lta d o s m elhores q u e a q u e le s o b tid o s pelo M étodo de Elem entos F in ito s. P o rta n to a s u a u tilização não é reco m en d ad a.
A o b te n ç ã o d a s fr e q u ê n c ia s n a tu ra is d e v ib ra ç ã o em g eo m etrias q u e a p re se n ta m c e r ta s p e c u lia rid a d e s , como c a n to s r e e n t r a n t r e s , p o r exemplo, a p re se n ta m algum a d ific u ld a d e p a r a a so lu ção pelo Método d e E lem entos F in ito s ou pelo Método de Elem entos d e C o n to rn o , n e c e s s ita n d o d e c e r to s a rtifíc io s p a r a a s u a aplicação. E m pregando o M étodo d a F u n ç ã o de G reen Local M odificado e s te s p ro b lem as são tra ta d o s de m an eira s e m e lh a n te a q u e le s mais re g u la re s , sem q u e e s ta s p e c u lia rie - d ad es a p re se n te m d ific u ld a d e .
O bom d ese m p e n h o do m étodo p a ra a so lu ção d e p ro b lem as sob condição de c o n to rn o m ista a u x iü a n a re so lu ç ã o de problem as d e a n á lise dinâm ica (anáHse modal) o n d e o c o n to rn o a p r e s e n te e s te tip o d e condição, com a lg u n s g r a u s de lib e rd a d e so b condição de c o n to rn o d e D iric h le t e o u tro s sob co n d ição de c o n to rn o de Neumann, como o c o rre em v ib ra ç ã o d e p lacas e c asc as.
Como s u g e s tõ e s , p o d e -s e e n u m e ra r a lg u n s tó p ic o s a serem d esen v o lv id o s q u e podem s e b a s e a r n e s te tra b a lh o :
-v ib ra ç ã o liv re em p ro b lem as d a e la s tic id a d e bidim ensional e trid im en sio n a l; -v ib ra ç ã o liv r e em p la c a s e c a s c a s ;
-v ib ra ç ã o fo rç a d a e in c lu s ã o d e am ortecim ento; -a n á lis e tr a n s ie n te ;
-p ro p a g a ç ã o d e o n d a s em dom ínios tri-d im e n sio n a is; -p ro p a g a ç ã o d e o n d a s em meios não-hom ogêneos; -v ib ra ç ã o liv re em p la c a s lam inadas;
-e m p re g o de fu n ç õ e s d e in te rp o la ç ã o de b a se h ie rá rq u ic a ; -ap lic aç ã o de té c n ic a s a d a p ta tiv a s ;
-d e sen v o lv im en to d e s u b e s tr u tu r a ç ã o .
Há, a in d a , in ú m e ro s tem as a serem a b o rd a d o s pelo M étodo d a Função de G reen Local M odificado, como anáU se p lá stic a e e la s to -p lá s tic a , a n á lise de n ã o -Iin e a rid a d e s g e o m étric a e d e m a te ria l, ap licaçõ es em m ecânica d os flu id o s, e n tr e o u tro s .
M odificado é um a té c n ic a e fic ie n te , e qu e a p r e s e n ta um g ra u de d esen v o lv im en to qu e p ro p ic ia o se u c re sc im e n to como m étodo num érico e o s e u ap erfeiço a m e n to p a ra que p o s s a s e r e m p re g ad o com mais ê n fa se n a q u e le s p o n to s o n d e os dem ais falham . E sse m étodo, q u e te o ric a m e n te po d e s e r em p reg ad o a to d o s os problem as do meio co n tín u o , foi a p e n a s ap licad o a c e r to s meios não te n d o a té o momento fa lh a d o em nen h u m caso.
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APENDICE
A im posição de co n d içõ es de c o n to rn o m istas hom ogêneas é fe ita em c a d a porção do c o n to rn o de m a n eira c o rre s p o n d e n te ao tip o da condição a que e s ta porção e s tá s u je ita . Assim, a p a r te do c o n to rn o so b con d ição de D iric h le t tem a condição de c o n to rn o au to m aticam en te in c lu íd a n a d e fin iç ão do e sp a ç o de fu n ç õ e s ad m issív eis; a condição de c o n to rn o d e Neumann é im posta, n a p a r te do c o n to rn o c o rre s p o n d e n te , a tra v é s d a q u a n tid a d e {f}. O c o n to rn o é p a rtic io n a d o , n u m ericam ente, em d u a s p a rte s : uma re la tiv a à con d ição de c o n to rn o de D iric h le t e o u tr a à condição de co n to rn o de Neumann, mesmo q u e fisic am en te o c o n to rn o te n h a mais de d u a s p o rçõ es com co n d içõ es de c o n to rn o não c o n tíg u a s. Is s o s ig n ific a q u e c a d a nó é tr a ta d o de m an eira in d e p e n d e n te ; a s d u a s p a r te s em q u e foi d iv id id o o c o n to rn o contêm todos os nós do c o n to rn o su b m etid o s à s m esm as co n d içõ es, re s p e c tiv a m e n te . Porém , cad a vez qu e o c o rre uma m ud an ça de con d ição de c o n to rn o , o nó q u e s e s itu a n a in te rfa c e e n tr e os dois tre c h o s d e v e s e r tr a ta d o como nó duplo. T r a ta - s e , e n tã o .
a s eq u açõ es g o v e rn a n te s do problem a, e q u aç õ e s (3.108) e ( 3,109), desm em bradas em d u a s, uma p a ra os nós sob con d ição d e c o n to rn o d e D iric h le t e o u t r a p a r a nós sob con dição de c o n to rn o de Neumann. E s c re v e -s e a s m a triz e s en v o lv id a s n a s e q u aç õ e s n a form a o n d e m xn r e p r e s e n ta a dim ensão d a m a triz [M], com m ,n a ssu m in d o os sím bolos d p a r a r e p r e s e n ta r um a dim ensão c o rre s p o n d e n te ao núm ero d e nós s u je ito s à condição de D irich let, n p a r a condição de Neumann, re p r e s e n ta n d o o núm ero to ta l d e nós no domínio e m c ° núm ero to ta l d e nós no c o n to rn o . P a ra o v e to r {u}, a d o ta - s e as le tr a s p e d p a r a id e n tific a r v a lo re s p r e s c r ito s e d e sc o n h e c i dos, re sp e c tiv a m e n te . Como o v e to r F (p ) é e s c rito conform e a e q u a ç ã o (2.26),
P(p) = ( N * N ') t « ( » l
q u a n d o se impõe co n d içõ es de c o n to rn o de Neumann tem -se:
N[u(p)} = 0
(A.1)
(A.2)
Como o o p e ra d o r N* so m ente é a p ü c a d o n a s p o rç õ e s do c o n to rn o so b co n d içõ es de c o n to rn o de D iric h le t, d e v e r - s e - ia t e r
F(p) = 0
(A.3)Porém , com e s ta im posição, q u e é te o ric a m e n te c o rre ta , o c o rre mau co ndicionam ento d as m a triz e s do auto p ro b lem a. P a ra c o n to rn a r e s s e in c o n v e n ie n te , a d o ta - s e um v a lo r p a ra N ’ su fic ien tem e n te p eq u en o , d e modo q u e o au to p ro b lem a p o s sa s e r re so lv id o sem a lte r a r su b sta n c ia lm e n te os re s u lta d o s . P o rta n to ,
E ntão, têm -se:
F(P) = N'{uJ
(A.4) C { P é h m^xm^ « e I» , (A.5) 'dxm. - (ú {«} i^nxntjM i líía / t^2ld!t(m^-d) D m ^nta { ií^ } ( m ^ - á ) •"d (A.6) {P'Jd>d - 0) [G il'dxmj 1“ )^ ,
Da p rim eira p a r te d a e q u ação (A.5), vem:
" [ ^ 2 U (« .In -
iso la n d o -se {F ^ ^ tem -se:
[F ,)4 = [ E . l i [[i> ,W i-‘p h " l “ í ) . - [E Jío . W ' +
* W . W , (“ 1”; Da s e g u n d a p a rte , vem: P s l « . { « .} . - = [^3] « . ~ (A.7) (A.8) (A.9)
S u b s titu in d o -s e a e q u ação (A,8) n a eq u ação (A.9), tem -se:
~ ■*■ í^2^£Ú7t (A.IO) q u e re a g ru p a d a fica: ] nxn - [ E J * . N ' i u j , * [ f f , ] ^ M i ) * [ E J „ N ' ( « , ) , - ( «1; ( - [£5] ^ [ £ , ] Í [ [ D J ^ - N ' [ £ J ^ ] - N ' [ £ J ^ ) l u j , = = [£3} ^ u o . u (“, b * “ 'f f f i i * . , ( « l í ; - < ''• " )
-
t“p). - “"[ffj», i“i».
[ ^ i W t^2^í&(mj-d) { “ p ) . D {K á }(W rf-á ) ma (A.6) { F Jd>d - (Ù
Da p rim e ira p a r te d a equação (A.5), vem:
{íí}D * ^^T^dxn t^2líío« í “ííU - {«}«, (A.7) (A.8) (A.9) iso la n d o -se {F ^ ) a te m -se :
^ 4 h ‘ C [B .]^ { « ,) , + [ O j U ( “.(1. *
* ( «i S;
Da s e g u n d a p a rte , vem:
S u b s titu in d o - s e a eq u ação (A.8) n a eq u ação (A.9), te m -se:
^ C^slnaí ^ 1 ^ 2 ^ í “ dín
- [^ 2 U
N ' { u j „. co^
{ u f „ ).
iV' {u,}„ - 0^
{«}J
que r e a g ru p a d a fica:t [OJnxn -
[ E s i ^[^1]^ [[^ 2]^ -
1^2]^ -
[^4]^ } {«.}„ =
= [Esl,:^ Í Í D , ] ^ {u^ } , ^ { u ) l ) - (A.li;
- í« }».
Is o la n d o -s e {u ^ „ vem:
= í[^ 4 l« n - [^3]««/ í^xrÀ i i í D , ] ^ - - N '
{ [ ^ u m { ^ O -
- i ^ h - <»" [ ^ 2 U , í “ i í ;
S u b s titu in d o -se , a g o ra , a eq u aç ã o (A. 12) n a eq u ação (A.8), vem:
{Pé)é = IE,TÀ, t [» ,U
N' (£J J [[D J^
- - [E J „ . [ £ .C n O J ^ N ' [EJ J -N '
[(£3
] ^ [ £ j i ■ (A.13)• [[».u (“,tí •
(
“)-; - [í>si.^ (“,tí -
- [ » a U ( « I » ; + [ H i l i - (“ l» ,l F a z -se: [W J™ - [ [ O J ^ - [ £ , ] « [ [ 0 , U [ « l U - f f ' vem:- [ií.U
[E.C
l í í j « ■ [ « . l i - N ' [ E J J [WJ™, = [ E . ) i - N ' ( W , US u b s titu in d o -se a s e q u a ç õ e s (A. 14 - A. 17) n a e q u ação (A. 12),
(A.15)
í« .)n = m n ^ í “p}. - [^aln^í í« } " . ~
- [ M j] _ [ ^3] ^ í “, } . - [ M i U [ ^2U
(A.18)
(A.19) {«.}„ = [[A ^2U - W n x n " - [ ^ l U C ^ 2 U 1 { « l í . F a z -s e , ag o ra: [<?.]», ■ [ » . U - [ J Í . U t B , ] ^ (A-^O) i f f i W - i w . U [ «2U , (A-21) P o rta n to , s u b s titu in d o - s e a s e q u aç õ e s (A.20) e (A.21) na eq u ação (A.19), vem:
( “.1 , = [ Ç . U (“,(.< [< ? 2 U , ( “ l» .
S u b s titu in d o , a g o ra , as e q u aç õ e s (A.14 - A.17) n a equ ação (A.13), vem: \ F , h - [ E j i [ i ) , U ^ [ 0 . 1 « * * [M3U t v ) . - - [ M J ^ * 0.» t E , C [ « . U , {“ 1°, ou melhor; [ F ,) , - U £ , ] i [ f , ] ^ * [ O , ] « - [ M J ^ [ D J J iu ^ ) , * (A.24) - - [ A Í J ^ . [E ,]2 , { u ] l 'd F az-se: [Ç3] « - ( E . 1 Í [ » l U * [ » í j U [ o . U - l D , l ^ •-1 ” ” (A.26)
S u b s titu in d o -s e a s eq u açõ es (A.25) e (A.26) na eq u ação (A.24);
^F,\, =
{«,1, + CO^ [<?4l^^
(A.2')
S u b s titu in d o -s e , a g o ra , as e q u aç õ e s (A.22) e (A.27) n a equ ação (A.6), vem:Í^Ama-d)x(ma-d)_mjcntj - o>2 " [Ç2U , í < Wc t^2Í(m^-d)OTi^ ijn^OTe (A.28) 'mjanj R e a rra n ja n d o , fica: D [■®l]úÈaí t^ 2 Jíioi mjm^ (A.29) ^ ^ ■ ^ d x d ^ ^ À \d x m j t “ A - 0 ) 2 N ' N ' i » ^ d + r o ^ d * m ^ t ^ 2 Í ( m ^ < j ) x m j {«}«