08-c.AED.ÁrvoresBináriaBusca

(1)

ALGORITMOS E

ESTRUTURA DE DADOS

Árvore Binária de Busca

(2)

Árvore Binária de Busca

Propriedade fundamental da árvore binária de busca

Valor da chave da raiz é

Maior do que o valor da chave da subárvore da esquerda (SAE) Menor do que o valor da chave da subárvore da direita (SAD)

A subárvore da esquerda e subárvore da direita obedecem a

propriedade fundamental

Todos < x Todos ≥ x

Esquematicamente:

Exemplo:

(3)

Árvore Binária de Busca

Tipos de dados e funções e procedimentos já criados que podem

ser aproveitadas para a árvore binária de busca:

tipo R = ref NO;

tipo NO = reg ( R : ESQ, tipot : X, R : DIR ); R : RAIZ;

funcao INICIALIZA:R; inicio

INICIALIZA = nil; fim;

funcao VAZIA(R: ARV):logico; inicio

se ARV = nil entao

VAZIA ←←←_{← verdadeiro;} senao VAZIA ←←←_{← falso;} fim-se; fim; Procedimentos de caminhamentos

(4)

Árvore Binária de Busca

As operações que são interessantes em analisar em detalhes são:

busca: função que busca um elemento na árvore;

insere: função que insere um novo elemento na árvore; retira: função que retira um elemento da árvore.

pois exploram a propriedade de ordenação das árvores binárias de busca.

(5)

Árvore Binária de Busca

Busca “simplificada“

Compara-se o valor com a raiz Se igual, achou

Se maior, então buscar na subárvore da direita (SAD) Se menor, então buscar na subárvore da esquerda (SAE)

(6)

Busca detalhada

Chamada para buscar um valor a partir do nó raiz

Comparação com valor do nó raiz. Se igual, achou:

Retornar verdadeiro

Se valor é menor que o valor do nó da raiz e

possui SAE:

chamada recursiva para nó raiz de SAE.

não possui SAE:

retornar falso

Se valor é maior que o valor do nó da raiz e

possui SAD:

chamada recursiva para nó raiz de SAD

não possui SAD:

(7)

Exemplo: Busca

2

nil ₁ nil ₅

nil ₃ nil nil ₆ nil

Qual o caminho percorrido para a chave 6?

(8)

Busca em uma árvore binária de busca

função BUSCA(RAIZ, CHAVE):log; tipo R = ref NO;

tipo NO = reg ( R : ESQ, tipot : X, R : DIR ); R : RAIZ; tipot: CHAVE;

início

se RAIZ = nil então {elemento não encontrado} BUSCA ← falso;

senão se RAIZ↑.X = CHAVE entao

BUSCA ← verdadeiro; {elemento está na raiz} senão se CHAVE < RAIZ↑.X entao

{procura elemento na sub-árvore da esquerda} BUSCA ← BUSCA(RAIZ↑.ESQ, CHAVE);

senão se CHAVE > RAIZ↑.X entao

{procura elemento na sub-árvore da direita} BUSCA ← BUSCA(RAIZ↑.DIR, CHAVE);

fim-se; fim-se; fim-se; fim-se;

fim-função; {BUSCA}

Função recursiva que verifica se uma dada chave (valor a ser localizado) se encontra numa árvore de busca binária.

(9)

Exercício 3 - Busca

A partir da árvore binária a seguir, apresentar os caminhos

percorridos para encontrar os nós:

18 9 33 35 7 20 10 30 25 33 8 15 6 9 14 18

Complexidade: o número de comparações é proporcional a altura h da árvore: O(h). A altura da árvore é dada por log₂N. Portanto, o número de operações é O(log₂N), onde N é o número de nós da árvore.

(10)

Inserção

Inserir chave em novo nó no filho do nó folha mantendo a

propriedade da árvore binária de busca

r x T nil nil raiz Nó folha

Chave menor que chave do nó folha

Chave maior que chave do nó folha r x T nil r x T nil y y

(11)

Exemplo de inserção

Inserir chaves 15, 4, 20, 17, 19

15 15 4 15 4 20 15 4 20 17 15 4 20 17 19

(12)

Inserção - Nó

procedimento INSERE(RAIZ, CHAVE); tipo R = ref NO;

tipo NO = reg ( R : ESQ, tipot : X, R : DIR ); R : RAIZ; tipot: CHAVE;

se RAIZ = nil então {insere elemento como filho de uma folha} aloque(RAIZ); RAIZ↑.X ← CHAVE; RAIZ↑.ESQ ← nil; RAIZ↑.DIR ← nil; senao

se CHAVE < RAIZ↑.X entao

INSERE(RAIZ↑.ESQ, CHAVE); senao INSERE(RAIZ↑.DIR, CHAVE); fim-se; fim-se fim-procedimento; {INSERE}

Procedimento recursiva para inserir um nó na árvore binária de busca, cujo valor do nó a ser inserido é a variável CHAVE.

(13)

Exercício 4 - Inserção

Construir a árvore binária de busca correspondente à inserção

das seguintes chaves:

(14)

Remoção

Na remoção de um nó da árvore binária de busca, o nível de

complexidade depende da posição do nó a ser removido da

árvore, pois após a remoção a árvore deve preservar sua

propriedade fundamental.

Mais difícil remover nó que tem duas sub-árvores do que remover

nó folha.

Há três casos possíveis, o:

1) nó é uma folha (não tem filhos) 2) nó tem 1 filho 3) nó tem 2 filhos 15 15 4 15 4 20

Caso 1 Caso 2 15 Caso 3

(15)

Caso mais fácil de tratar.

O ponteiro apropriado de seu nó pai é ajustado para nil e o nó

é removido por desaloque (apagado da memória).

Exemplo: remover nó com conteúdo 19:

1) Remover nó folha

15 4 20 17 19 15 4 20 17 19 _{Libera espaço} 1 1

(16)

Procedimento para remover nó sem folha:

1) Remover nó folha

procedimento REMOVE_FOLHA(RAIZ) tipo R = ref NO;

tipo NO = reg ( R : ESQ, tipot : X, R : DIR ); R : RAIZ;

se RAIZ↑.ESQ = nil e RAIZ↑.DIR = nil então

{remove um nó sem filho (folha)}

desaloque(RAIZ); RAIZ ←←←_{← nil;}

senao

imprima(“Erro: nó tem filho(s)”);

fim-se

(17)

Libera espaço

2) Remover nó com 1 filho

Ponteiro do pai do nó a ser removido é reajustado para apontar

para o filho do nó a ser removido.

Ou seja, o pai vai apontar para o neto (que passa a ser filho).

Desse modo:

Filhos do nó são elevados em 1 nível

Bisnetos perdem um grau de descendência em suas designações de parentesco.

Exemplo: Remover nó 4

15 4 20 17 19 1 15 20 17 19 1 4

(18)

2) Remover nó com 1 filho

Procedimento para remover nó com um filho:

procedimento REMOVE_1FILHO(ref RAIZ) tipo R = ref NO;

tipo NO = reg ( R : ESQ, tipot : X, R : DIR ); R : RAIZ; R: AUX;

se RAIZ↑.ESQ = nil então {só tem filho à direita}

AUX ←←←_{← RAIZ;}

RAIZ ←←←_{← RAIZ↑}↑↑_↑.DIR;

desaloque(AUX);

senao se RAIZ↑.DIR = nil então

{só tem filho à esquerda}

AUX ←←←_{← RAIZ;}

RAIZ ←←←_{← RAIZ↑}↑_↑.ESQ;↑

desaloque(AUX);

senao

imprima(“Erro: nó tem 2 filhos”);

fim-se; fim-se

(19)

3) Remover nó com 2 filhos

50 25 15 5 20 35 30 40 Deseja-se excluir o nó 25 50 15 5 20 35 30 40 Somente substituir com a raiz da sub-árvore resolve o problema?

(20)

3) Remover nó com 2 filhos

Nó a ser removido tem dois filhos

Remover fazendo junção (merge). Não será visto. Remover fazendo cópia.

Remoção por cópia (Thomas Hibbard e Donald Knuth)

Substituir o nó pelo menor nó à direita e ajustar ponteiros

Busca do substituto:

ir para direita

procurar elemento mais à esquerda (menor filho à esquerda) guardar antecessor, para descobrir pai do substituto

Se a direita estiver nula, o substituto será o próximo à esquerda (Continua...)

(21)

3) Remover nó com 2 filhos

Ajuste dos ponteiros

ajustes no campo "esq" do pai do substituto e no campo "dir" do substituto (dispensáveis se nó à direita do removido é exatamente o substituto)

campo que referencia nó removido conterá substituto encontrado campo "esq" do substituto aponta para SAE do nó removido

(22)

Função que retorna uma ref para o menor elemento da

sub-árvore da direita da sub-árvore RAIZ:

funcao MENOR_SUBARV_DIREITA(RAIZ):R tipo R = ref NO;

tipo NO = reg ( R : ESQ, tipot : X, R : DIR ); R : RAIZ; R: AUX;

se RAIZ↑.ESQ ≠ nil e RAIZ↑.DIR ≠ nil então

{Nó tem 2 filhos}

AUX ←←←_{← RAIZ↑}↑↑_↑.DIR;

enquanto(AUX↑↑↑_{↑.ESQ ≠}≠≠_{≠ nil)}

AUX ←←←_{← AUX↑}↑_↑.ESQ;↑

fim-enquanto;

MENOR_SUBARV_DIREITA ← AUX; senao

imprima(“Erro: nó RAIZ não tem 2 filhos”);

fim-se

fim-funcao; {MENOR_SUBARV_DIREITA}

3) Remover nó com 2 filhos

Acha o elemento mais à esquerda da sub-árvore à direita de RAIZ (menor)

AUX ou tem apenas um filho à direito ou não tem filho algum

(23)

Procedimento para remover nó com 2 filhos:

procedimento REMOVE_NO(RAIZ, V) tipo R = ref NO;

tipo NO = reg ( R : ESQ, tipot : X, R : DIR ); R : RAIZ; R: AUX; tipot: V;

se RAIZ = nil entao

imprima(“Árvore vazia ou ”,V,”não encontrado”); senao se V < RAIZ↑.X entao

REMOVE_NO(RAIZ↑↑_{↑.ESQ, V); {recursão:subarv. esquerda}}↑ senao se V > RAIZ↑.X entao

REMOVE_NO(RAIZ↑↑_{↑.DIR, V); {recursão:subarv. direita}}↑ senao {achou o nó a ser removido, RAIZ↑.X = V}

se RAIZ↑.ESQ = nil e RAIZ↑.DIR = nil então REMOVE_FOLHA(RAIZ);{RAIZ é uma folha}

senao se RAIZ↑.ESQ=nil ou RAIZ↑.DIR=nil então REMOVE_1FILHO(RAIZ); {RAIZ tem um filho} senao {RAIZ tem dois filhos}

AUX ←←←_{← MENOR_SUBARV_DIREITA(RAIZ);}

RAIZ↑↑_{↑.X ←}↑ ←←_{← AUX↑}↑↑_↑.X; _{{troca as informações}} AUX↑↑_{↑.X ←}↑ ←←_{← V;}

REMOVE_NO(RAIZ↑↑↑_{↑.DIR, V);{recursão:subarv. direita}} fim-se;

fim-se;

fim-procedimento; {REMOVE_NO}

(24)

3) Remover nó com 2 filhos

50 25 15 5 20 35 30 40 Deseja-se excluir o nó 25 _{Vamos para o} filho direito do nó original Depois partimos sempre para a esquerda Sucessor!!! 50 15 5 20 30 40 35 Agora o problema está resolvido

(25)

3) Remover nó com 2 filhos

E quando chegarmos ao filho direito do nó original e ele não

tiver filhos do lado esquerdo?

50 25 15 5 20 35 40 Deseja-se excluir o nó 25 _{Vamos para o} filho direito do nó original Ele não possui filhos na esquerda! Sucessor!!! 50 15 5 20 35 40 Agora o problema está resolvido

(26)

14

Exemplo - Remoção

Remover 10

20 10 30 25 33 8 17 6 9 14 18 20 14 30 25 33 8 17 6 9 18 Nó 14 é o menor nó à direita do nó 10 e

não tem filho à direita.

(27)

16

Remover 10

14

Exemplo - Remoção

20 10 30 25 33 8 17 6 9 14 18 Nó 14 é o menor nó à direita do nó 10 e

tem filho à direita.

16 20 10 30 25 33 8 17 6 9 18 14 16

(28)

Exemplo - Remoção

Considere a seguinte árvore binária de busca

20

10 30

25 33 8 15

(29)

Exemplo - Remoção

Remover 14

20 14 30 25 33 8 15 6 9 18 20 15 30 25 33 8 18 6 9

(30)

Exemplo - Remoção

Remover 15

20 18 30 25 33 8 6 9 20 15 30 25 33 8 18 6 9

(31)

Exemplo - Remoção

Remover 18

20 30 25 33 8 6 9 20 18 30 25 33 8 6 9

(32)

Exemplo - Remoção

Remover 6

20 30 25 33 8 9 20 30 25 33 8 6 9

(33)

Exercício 5 – Remoção

A partir da árvore binária de busca construída no exercício de

inserção, contendo as chaves 40, 30, 15, 50, 45, 13, 80, 71, 20,

executar as operações. Apresente a árvore resultante após a

execução de cada operação.

Remover 50 Remover 30 Remover 13 Inserir 50 Remover 71

(34)

Exercícios

1. Fazer uma função para encontrar, e retornar, o maior elemento de uma árvore binária de busca.

2. Fazer uma função para encontrar, e retornar, o menor elemento de uma árvore binária de busca.

3. Fazer um procedimento para remover o maior elemento de uma árvore binária de busca.

4. Fazer um procedimento para remover o menor elemento de uma árvore binária de busca.

5. Alterar o(s) procedimento(s) de remoção de nó com dois filhos considerando, agora, o maior elemento da sub-árvore à esquerda como o elemento a ser “trocado” com o nó a ser removido.

(35)

Exercícios

6. Uma árvore binária de busca é considerada balanceada se sua altura h é próxima de log₂(n). Fazer uma função para verificar se uma dada árvore binária de busca está balanceada. Considere uma