Álgebra Linear I

(1)

Notas de Aula

´

Algebra Linear I

Rodney Josu´

e Biezuner

1

Departamento de Matem´atica

Instituto de Ciˆencias Exatas (ICEx)

Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)

Notas de aula da disciplina ´Algebra Linear I

dos cursos de gradua¸cão em Matemática e Matemática Computacional, ministrado durante o segundo semestre de 2008.

20 de novembro de 2008

(2)

Sum´

ario

1 Espa¸cos Vetoriais 3

1.1 Defini¸c˜ao . . . 3

1.2 Exemplos . . . 6

1.3 Bases e Dimens˜ao . . . 6

1.3.1 Conjuntos Linearmente Dependentes e Independentes . . . 6

1.3.2 Conjuntos Geradores e Bases . . . 7

1.3.3 Coordenadas de Vetores em Rela¸c˜ao a uma Base . . . 9

1.4 Subespa¸cos Vetoriais . . . 9

1.5 Somas de Subespa¸cos Vetoriais . . . 11

2 Matrizes 14 2.1 Defini¸c˜ao . . . 14

2.2 Opera¸c˜oes com Matrizes . . . 14

2.3 Mudan¸ca de Base . . . 20

2.4 Matrizes Especiais . . . 22

2.4.1 Matrizes Diagonais . . . 22

2.4.2 Matrizes Triangulares . . . 22

2.4.3 Matrizes Sim´etricas e Anti-sim´etricas . . . 23

2.4.4 Matrizes Nilpotentes . . . 24

3 Transforma¸c˜oes Lineares 25 3.1 Defini¸c˜ao . . . 25

3.2 Representa¸cões de Transforma¸cões Lineares através de Matrizes . . . 27

3.3 Exemplos de Operadores Lineares . . . 28

3.3.1 Operadores Lineares no Plano R2 _{. . . .} ₂₈

3.3.2 Operadores Lineares no Espa¸co R3 _{. . . .} ₃₂

3.3.3 Operadores Lineares em Espa¸cos de Dimens˜ao Infinita . . . 32

3.3.4 Funcionais Lineares . . . 32

3.4 Composi¸c˜ao de Transforma¸c˜oes Lineares . . . 32

3.5 Isomorfismos . . . 34

3.6 Teorema do N´ucleo e da Imagem . . . 37

3.7 Teorema do Posto . . . 40

3.8 Mudan¸ca de Base e Semelhan¸ca de Matrizes . . . 41

4 Espa¸cos com Produto Interno 43 4.1 Produto Interno . . . 43

4.2 Norma . . . 45

4.3 Bases Ortonormais e Proje¸c˜oes Ortogonais . . . 49

4.4 Operador Adjunto . . . 52

4.5 Operadores Unit´arios e Isometrias . . . 56 1

(3)

5 Determinantes 59

5.1 Defini¸c˜ao . . . 59

5.2 Existˆencia . . . 60

5.3 Unicidade . . . 61

5.3.1 Permuta¸c˜oes . . . 61

5.3.2 Demonstra¸c˜ao da Unicidade da Fun¸c˜ao Determinante . . . 63

5.3.3 Fórmula do Determinante através de Permuta¸cões . . . 65

5.4 Propriedades . . . 66

5.5 Regra de Cramer . . . 68

6 Diagonaliza¸c˜ao de Operadores 70 6.1 Polinˆomios . . . 70

6.2 Autovalores, Autovetores e Autoespa¸cos . . . 74

6.3 Operadores Diagonaliz´aveis . . . 76

6.4 Ideais de Polinˆomios . . . 79

6.5 Polinˆomio M´ınimo e o Teorema de Cayley-Hamilton . . . 80

6.6 Polinômio M´ınimo e Operadores Triangularizáveis e Diagonalizáveis . . . 83

(4)

Cap´ıtulo 1

Espa¸cos Vetoriais

1.1 Defini¸c˜

ao

Intuitivamente, um espa¸co vetorial é um conjunto de elementos, que chamamos vetores, com os quais podemos efetuar combina¸cões lineares, isto é, somas de elementos e multiplica¸cão de elementos por n´umeros, que chamamos escalares.

Matematicamente falando, os escalares são elementos de um conjunto munido de uma estrutura algébrica chamada corpo. Grosseiramente, um corpo nada mais é que um conjunto de elementos que podem ser somados e multiplicados, a ordem em que estas opera¸cões são realizadas não tendo importância para o resultado, onde todo elemento possui um inverso aditivo, existe um elemento neutro na adi¸cão chamado zero (0), existe um elemento neutro na multiplica¸cão chamado identidade (1), todo elemento possui um inverso multiplicativo com exce¸cão do zero e existe uma rela¸cão entre as duas opera¸cões. Exemplos de corpos são o conjunto dos números reais R e o conjunto dos números complexos C. Neste curso, serão os únicos corpos que consideraremos.

1.1 Defini¸c˜ao. Um corpo F é um conjunto munido de duas opera¸cões binárias F × F −→ F, adi¸cão e

multiplica¸c˜ao que satisfazem as seguintes propriedades:

Adi¸c˜ao:

1. Comutatividade: para todos α, β ∈ F

α + β = β + α.

2. Associatividade: para todos α, β, γ ∈ F

α + (β + γ) = (α + β) + γ.

3. Existˆencia de Elemento Neutro: existe um elemento 0 ∈ F tal que para todo α ∈ F temos

α + 0 = 0 + α = α.

4. Existˆencia de Inverso: para todo α ∈ F existe −α ∈ F tal que

α + (−α) = 0.

Multiplica¸c˜ao:

1. Comutatividade: para todos α, β ∈ F

αβ = βα.

(5)

2. Associatividade: para todos α, β, γ ∈ F

α (βγ) = (αβ) γ.

3. Existˆencia de Elemento Neutro: existe um elemento 1 ∈ F tal que para todo α ∈ F temos

α1 = 1α = α.

4. Existˆencia de Inverso: para todo α ∈ F existe α−1 _{∈ F tal que} αα−1_{= 1.}

Distributividade: 1. Para todos α, β, γ ∈ F

α (β + γ) = αβ + αγ.

Como mencionado acima, sempre que nos referirmos ao corpo F, fica subentendido que F pode se referir tanto ao corpo dos reais R, quanto ao corpo dos complexos C.

1.2 Defini¸c˜ao. Um espa¸co vetorial sobre um corpo de escalares F é um conjunto V munido de duas opera¸cões, adi¸cão de vetores V × V −→ V e multiplica¸cão por escalar F × V −→ V que satisfazem as seguintes propriedades:

Adi¸c˜ao:

1. Comutatividade: para todos v, w ∈ V

v + w = w + v.

2. Associatividade: para todos v, w, u ∈ V

v + (w + u) = (v + w) + u.

3. Existˆencia de Elemento Neutro: existe um elemento 0 ∈ V tal que para todo v ∈ V temos

v + 0 = 0 + v = v.

4. Existˆencia de Inverso: para todo v ∈ V existe −v ∈ V tal que

v + (−v) = (−v) + v = 0.

Multiplica¸c˜ao por Escalar:

1. Existˆencia de Elemento Neutro: para todo v ∈ V vale 1v = v.

2. Associatividade: para todos α, β ∈ F e para todo v ∈ V vale

α (βv) = (αβ) v.

Distributividade:

1. Distributividade em rela¸c˜ao `a soma: para todos v, w ∈ V e para todo α ∈ F

(6)

Rodney Josué Biezuner 5 2. Distributividade em rela¸cão à multiplica¸cão por escalar : para todo v ∈ V e para todos α, β ∈ F

(α + β) v = αv + βv.

Quando F = R, o espa¸co vetorial ´e chamado um espa¸co vetorial real, enquanto que se F = C, o espa¸co vetorial ´e chamado um espa¸co vetorial complexo.

Das propriedades (ou axiomas) que definem um espa¸co vetorial, seguem algumas conseqüências simples: 1.3 Proposi¸c˜ao. As seguintes afirmativas são válidas:

(i) α0 = 0. Prova: Temos α0 = α (0 + 0) = α0 + α0, logo α0 + (−α0) = α0 + α0 + (−α0) , donde 0 = α0. (ii) 0v = 0. Prova: Temos 0v = (0 + 0) v = 0v + 0v, logo 0v + (−0v) = 0v + 0v + (−0v) , donde 0 = 0v. (iii) Se α 6= 0 e v 6= 0, ent˜ao αv 6= 0.

Prova: Suponha que exista α ∈ F, α 6= 0, tal que αv = 0 para algum v ∈ V , v 6= 0. Ent˜ao

α−1_{(αv) = α}−1_{0 = 0} logo _¡ α−1_α¢_{v = 0,} donde 1v = 0, ou seja, v = 0, contradi¸c˜ao.

(i), (ii) e (iii) juntas implicam que αv = 0 se e somente se α = 0 ou v = 0. (iv) (−1) v = −v. Prova: Temos 0 = 0v = [1 + (−1)] v = 1v + (−1) v = v + (−1) v, logo −v + 0 = −v + v + (−1) v, donde −v = (−1) v.

(v) Unicidade do vetor nulo. Prova:

(7)

1.2 Exemplos

1.4 Exemplo. Rn _{sob as opera¸cões usuais é um espa¸co vetorial real, enquanto que C}n _{sob as opera¸cões}

usuais ´e um espa¸co vetorial complexo. Ou seja, quando definimos a soma de n-uplas de n´umeros reais ou n´umeros complexos por

(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) := (x1+ y1, . . . , xn+ yn)

e a multiplica¸c˜ao por escalares por

α (x1, . . . , xn) := (αx1, . . . , αxn) .

1.5 Exemplo. O conjunto Mm×n(R) das matrizes reais m × n sob as opera¸c˜oes usuais ´e um espa¸co vetorial

real. O conjunto Mm×n(C) das matrizes complexas m × n sob as opera¸c˜oes usuais ´e um espa¸co vetorial

complexo.

1.6 Exemplo. O conjunto Pn(R) dos polinômios (com coeficientes) reais de grau menor que ou igual a n sob as opera¸cões usuais é um espa¸co vetorial real. O conjunto P (R) de todos os polinômios reais

também é um espa¸co vetorial real. O conjunto Pn(C) dos polinômios (com coeficientes) complexos de

grau menor que ou igual a n sob as opera¸cões usuais é um espa¸co vetorial complexo. O conjunto P (C) de todos os polinômios complexos também é um espa¸co vetorial complexo.

1.7 Exemplo. O conjunto FR das fun¸cões reais é um espa¸co vetorial real. O conjunto FC é um espa¸co

vetorial complexo.

1.8 Exemplo. O conjunto C0_{([0, 1]) das fun¸c˜oes reais cont´ınuas definidas no intervalo [0, 1], o conjunto}

Ck_{([0, 1]) das fun¸cões reais com k derivadas cont´ınuas definidas no intervalo [0, 1], e o conjunto} C∞_{([0, 1]) das fun¸cões reais infinitamente diferenciáveis definidas no intervalo [0, 1] são espa¸cos}

ve-toriais reais.

1.3 Bases e Dimens˜

ao

1.3.1 Conjuntos Linearmente Dependentes e Independentes

1.9 Defini¸c˜ao. Seja S ⊂ V um subconjunto qualquer de um espa¸co vetorial V sobre o corpo F. Uma combina¸c˜ao linear de elementos de S ´e uma soma finita

α1v1+ . . . + αkvk

com α1, . . . , αk∈ F e v1, . . . , vk∈ S.

1.10 Defini¸c˜ao. Dizemos que um conjunto S ⊂ V ´e linearmente dependente se existir um n´umero finito de elementos v1, . . . , vk ∈ S e escalares α1, . . . , αk ∈ F n˜ao todos nulos tais que

α1v1+ . . . + αkvk = 0.

Caso contr´ario, dizemos que S ´e linearmente independente.

Em outras palavras, S é linearmente dependente se o vetor nulo pode ser escrito como uma combina¸cão linear não-trivial de elementos de S. Da defini¸cão segue que um subconjunto linearmente independente não pode conter o vetor nulo.

1.11 Lema. Um subconjunto S ⊂ V ´e linearmente dependente se e somente se algum elemento de S puder

(8)

Rodney Josué Biezuner 7 Prova. Se S é linearmente dependente, então existem vetores v1, . . . , vk ∈ S e escalares α1, . . . , αk não

todos nulos tais que

α1v1+ . . . + αkvk= 0.

Suponha αi 6= 0. Ent˜ao podemos escrever vi=α1 αiv1+ . . . + αi−1 αi vi−1+ αi+1 αi vi+1+ . . . + αk αivk,

isto é, vi é combina¸cão linear de outros elementos de S.

Reciprocamente, se v0, v1, . . . , vk ∈ S e α1, . . . , αk ∈ F s˜ao tais que

v0= α1v1+ . . . + αkvk,

ent˜ao

v0− α1v1− . . . − αkvk= 0

é uma combina¸cão linear não-trivial de elementos de S. ¥

1.3.2 Conjuntos Geradores e Bases

1.12 Defini¸c˜ao. Dizemos que um conjunto S ⊂ V gera o espa¸co V se para todo v ∈ X existirem v1, . . . , vk∈

S e escalares α1, . . . , αk∈ F tais que

v = α1v1+ . . . + αkvk.

1.13 Defini¸c˜ao. Dizemos que um conjunto B ⊂ V ´e uma base para o espa¸co V se:

• B gera V.

• B ´e linearmente independente.

1.14 Defini¸c˜ao. Dizemos que V ´e um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita se V possui uma base com um n´umero finito de elementos ou se V = {0}.

O n´umero de elementos nas bases de um espa¸co vetorial ´e um invariante do espa¸co vetorial:

1.15 Teorema. Todas as bases de um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita possuem o mesmo n´umero de

elementos.

Prova. A demonstra¸c˜ao deste resultado segue do seguinte lema:

1.16 Lema. Suponha que S = {v1, . . . , vk} gera o espa¸co vetorial V e que S0= {w1, . . . , wl} ´e um

subcon-junto linearmente independente de V . Ent˜ao

l 6 k.

Prova. Suponha por absurdo que l > k. Como S gera V e S0 _{´e linearmente independente (em particular,}

n˜ao cont´em o vetor nulo) temos

w1= α1v1+ . . . + αkvk

para alguns escalares α1, . . . , αkn˜ao todos nulos. Podemos supor α16= 0, reordenando os ´ındices se necess´ario.

Afirmamos que podemos ent˜ao substituir v1por w1, isto ´e, que o conjunto S1= {w1, v2, . . . , vk} gera V . De

fato, podemos escrever

v1= 1 α1 w1− α2 α1 v2− . . . − αk α1 vk,

(9)

de modo que se v = β1v1+ β2v2+ . . . + βkvk, ent˜ao v = β1 α1 w1+ µ β2− β1α2 α1 ¶ v2+ . . . + µ βk− β1αk α1 ¶ vk.

Agora, como S1gera V e S0 ´e linearmente independente, temos

w2= α1w1+ α2v2+ . . . + αkvk

para alguns escalares α1, . . . , αk, com α2, . . . , αk não todos nulos (caso contrário, w2 seria um múltiplo

escalar de w1). Supondo α2 6= 0, reordenando os ´ındices se necess´ario, usamos o mesmo argumento acima

para concluir que podemos substituir v2 por w2, de modo que o conjunto S2 = {w1, w2, v3, . . . , vk} gera

V . Repetindo este procedimento sucessivamente, conclu´ımos que podemos substituir todos os vi’s por um n´umero equivalente de wi’s (já que, por hipótese de absurdo, l > k), e obter que o subconjunto próprio

Sk = {w1, . . . , wk}

de S0 _{gera V . Mas ent˜ao, por defini¸c˜ao de conjunto gerador, existem escalares α}

1, . . . , αk tais que

wk+1= α1w1+ . . . + αkwk

contrariando o fato que S0 _{´e linearmente independente. ¥}

Sejam B1 = {v1, . . . , vk} e B2 = {w1, . . . , wl} duas bases do espa¸co vetorial de dimens˜ao finita V .

Aplicando o Lema 1.16 ao conjunto gerador B1e ao conjunto linearmente independente B2conclu´ımos que

l 6 k; aplicando o Lema 1.16 ao conjunto gerador B2e ao conjunto linearmente independente B1 conclu´ımos

que k 6 l. Portanto, k = l. ¥

1.17 Defini¸cão. O n´umero de elementos de uma base qualquer de um espa¸co vetorial de dimensão finita V é chamada a dimens˜ao do espa¸co e denotada dim V . Se V = {0}, então definimos dim V = 0. 1.18 Teorema. Todo espa¸co vetorial não-nulo gerado por um subconjunto finito possui uma base finita. Prova. Suponha que S seja um subconjunto finito que gera o subespa¸co vetorial não-nulo V . Se S for linearmente independente, então S é a base procurada e não precisamos fazer nada. Caso contrário, se S é linearmente dependente, podemos retirar um elemento de S e o conjunto resultante ainda gerará V (retire um elemento que seja combina¸cão linear dos demais). Se o conjunto restante for linearmente independente, então ele será uma base finita para V . Caso contrário, repetimos o procedimento, até obter um conjunto linearmente independente. ¥

1.19 Lema. Se dim V = n, ent˜ao todo subconjunto de V com mais de n vetores ´e linearmente dependente. Prova. Segue imediatamente do Lema 1.16. ¥

1.20 Lema. Seja S um subconjunto linearmente independente de um espa¸co vetorial V . Suponha que w ´e

um vetor de V que não é gerado por S. Então S ∪ {w} é linearmente independente.

Prova. Suponha que v1, . . . , vk∈ S e existem escalares α1, . . . , αk, β tais que α1v1+ . . . + αkvk+ βw = 0.

Ent˜ao β = 0, caso contr´ario

w = α1

β v1+ . . . + αk

β vk,

o que implicaria que w é gerado por V , contrariando a hipótese. Mas então

α1v1+ . . . + αkvk= 0,

(10)

Rodney Josu´e Biezuner 9 1.21 Teorema. Todo subconjunto linearmente independente de um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita pode

ser completado at´e uma base do espa¸co.

Prova. Suponha que S = {v1, . . . , vk} seja um subconjunto linearmente independente de V . Se S n˜ao

é uma base para V , ou seja, se k < n := dim V , então existe um vetor vk+1 ∈ V tal que vk+1 não é

uma combina¸c˜ao linear de elementos de S. Segue do Lema 1.20 que o conjunto S1 = {v1, . . . , vk, vk+1} ´e

linearmente independente. Se k + 1 < n, repetimos o processo. Continuamos este argumento, repetindo o processo n − k vezes at´e encontrar um subconjunto Sn−k = {v1, . . . , vk, vk+1, . . . , vn} que ´e uma base para

V . ¥

1.3.3 Coordenadas de Vetores em Rela¸c˜

ao a uma Base

1.22 Proposi¸c˜ao. Seja V um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita e B = {v1, . . . , vn} uma base para V .

Então todo vetor em V se escreve de maneira única como uma combina¸cão linear de vetores de B.

Prova. Suponha que v ∈ V pode ser representado por duas combina¸c˜oes lineares de vetores de B:

v = α1v1+ . . . + αnvn, v = α0 1v1+ . . . + α0nvn. Ent˜ao (α1− α01) v1+ . . . + (αn− α0n) vn= 0, donde α1= α01, . . . , αn = α0n. ¥

1.23 Defini¸c˜ao. Seja V um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita e B = {v1, . . . , vn} uma base ordenada para

V . Dado v ∈ V , se

v = α1v1+ . . . + αnvn,

a n-upla (α1, . . . , αn) é chamada as coordenadas de v com rela¸cão à base B, e denotada por

[v]_B= (α1, . . . , αn) .

As coordenadas de um vetor dependem da base escolhida. No pr´oximo cap´ıtulo, veremos como as coordenadas de um vetor em rela¸c˜ao a uma base mudam quando mudamos de base.

1.4 Subespa¸cos Vetoriais

1.24 Defini¸c˜ao. Seja V um espa¸co vetorial sobre um corpo F. Um subespa¸co de V ´e um subconjunto

W ⊂ V que é ele próprio um espa¸co vetorial sobre F com as opera¸cões de soma e multiplica¸cão escalar

induzidas de V .

1.25 Proposi¸c˜ao. Um subconjunto não-vazio W ⊂ V é um subespa¸co de V se e somente se ele é fechado

com rela¸cão às opera¸cões de soma e multiplica¸cão por escalar. Em outras palavras, W ⊂ V é um subespa¸co de V se e somente se αv + βw ∈ W para todos v, w ∈ V e para todos α, β ∈ F.

Prova. Suponha que W ⊂ V , W 6= ∅, é fechado com rela¸cão às opera¸cões de soma e multiplica¸cão por escalar. Como as opera¸cões de soma e multiplica¸cão por escalar definidas em W são herdadas das opera¸cões definidas em V , comutatividade, associatividade e distributividade são imediatamente válidas e 1v = v para todo v ∈ W . Basta apenas verificar as duas propriedades seguintes:

• 0 ∈ W : pois se v ∈ W é qualquer vetor (lembre-se que W 6= ∅), então 0 = 0v ∈ W . • Se v ∈ W , então −v ∈ W : pois −v = (−1) v ∈ W.

(11)

A rec´ıproca é óbvia, pois V é um espa¸co vetorial sobre F e W ⊂ V é um espa¸co vetorial sobre F com as opera¸cões de soma e multiplica¸cão escalar induzidas do próprio V . ¥

1.26 Teorema. A interse¸c˜ao de qualquer fam´ılia de subespa¸cos de um espa¸co vetorial V ´e um subespa¸co

de V .

Prova. Seja {Wλ}_λ∈Λ uma cole¸c˜ao de subespa¸cos de V e W = T

λ∈Λ

Wλ sua interse¸c˜ao. Como cada Wλ

contém o vetor nulo, segue que W também contém o vetor nulo e podemos usar a Proposi¸cão 1.25 para provar que W é um subespa¸co. Dados quaisquer v, w ∈ W , temos que v, w ∈ Wλ para cada ´ındice λ ∈ Λ

(por defini¸cão de interse¸cão de conjuntos), logo αv + βw ∈ Wλ para todos α, β ∈ F (pela Proposi¸cão 1.25,

pois cada Wλ´e um subespa¸co de V ), portanto αv + βw ∈ W para todos α, β ∈ F (novamente, pela defini¸c˜ao

de interse¸cão de conjuntos). Segue da Proposi¸cão 1.25 que W é um subespa¸co. ¥

Segue do Teorema 1.26 que, dado um subconjunto de um espa¸co vetorial, existe um menor subespa¸co que o cont´em:

1.27 Defini¸c˜ao. Seja V um espa¸co vetorial sobre um corpo F e S um subconjunto de V . O subespa¸co gerado por S é a interse¸cão de todos os subespa¸cos de V que contém S. Denotaremos o subespa¸co gerado por S por hSi.

1.28 Proposi¸c˜ao. O subespa¸co gerado por um subconjunto n˜ao-vazio S de um espa¸co vetorial V ´e o

con-junto de todas as combina¸c˜oes lineares de elementos de S.

Prova. Denote por W o subespa¸co gerado por S e por W0 _{o conjunto de todas as combina¸c˜oes lineares}

de elementos de S. Pela Proposi¸c˜ao 1.25, como S ⊂ W , segue que W0 _{⊂ W . Por outro lado, tamb´em pela}

Proposi¸cão 1.25 o conjunto W0_{é um subespa¸co de V , logo W ⊂ W}0 _{por defini¸cão (pois W}0 _{é um subespa¸co}

de V que cont´em S). Assim W0_{= W . ¥}

1.29 Lema. Seja W um subespa¸co de um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita V . Ent˜ao todo subconjunto

linearmente independente de W ´e finito e pode ser completado at´e uma base de W .

Prova. Seja S um subconjunto linearmente independente de W com k elementos e suponha que dim V = n. Como S é também um conjunto linearmente independente de V , segue do Lema 1.16 que S é finito; mais ainda, que k 6 n. Para completar S até uma base de W seguimos um procedimento semelhante ao usado no Teorema 1.21: se S não gera W , obtemos um vetor w1 ∈ W tal que W não é gerado por S. Segue do

Lema 1.20 que S1 = S ∪ {w1} é linearmente independente. Se S1 gera W , então ele é uma base para W .

Caso contrário, existe um vetor w2 ∈ W que não é gerado por S1. Novamente pelo Lema 1.20, o conjunto

S2 = S1 ∪ {w2} = S ∪ {w1, w2} ´e linearmente independente. Continuando desta forma, eventualmente

encontraremos um conjunto Sl= S ∪ {w1, . . . , wl}, com l 6 n − k, que deve ser uma base para W . De fato,

suponha por absurdo que Sl possui n elementos e não gera W . Então existe um vetor w ∈ W que não é

gerado por Sl, o que implica pelo Lema 1.20 que Sl∪ {w} ´e um conjunto linearmente independente em W ,

e portanto também em V , com n + 1 elementos, o que é uma contradi¸cão. ¥

1.30 Teorema. Se W é um subespa¸co próprio de um espa¸co vetorial de dimensão finita V , então W também

tem dimens˜ao finita e dim W < dim V .

Prova. O resultado é óbvio se W é o subespa¸co nulo. Se W não é o subespa¸co nulo, seja v ∈ W , v 6= 0. Pelo Lema 1.29, existe uma base de W contendo v. Como esta base de W é em particular um subconjunto linearmente independente de V , ela não pode conter mais que dim V elementos. Portanto, dim W 6 dim V . Por outro lado, como W é um subespa¸co próprio de V , existe um vetor w ∈ V tal que w /∈ W . Adicionando w a qualquer base de W , obtemos pelo Lema 1.20 um conjunto linearmente independente de V . Isso implica

(12)

Rodney Josu´e Biezuner 11

1.5 Somas de Subespa¸cos Vetoriais

1.31 Defini¸c˜ao. Sejam S1, . . . , Sk subconjuntos de um espa¸co vetorial V . Definimos a soma dos

subcon-juntos S1, . . . , Sk como sendo o conjunto

k

X

i=1

Si= S1+ . . . + Sk= {v1+ . . . + vk: vi∈ Si para i = 1, . . . k} .

1.32 Proposi¸c˜ao. Se W1, . . . , Wksão subespa¸cos de um espa¸co vetorial V , então a sua soma W1+. . .+Wk também é um subespa¸co vetorial de V e contém cada um dos subespa¸cos Wi, i = 1, . . . k.

Prova. Pois se

v = w1+ . . . + wk,

w = w10 + . . . + w0k,

s˜ao dois vetores quaisquer de W1+ . . . + Wk com wi, wi0 ∈ Wi para cada i e α, β s˜ao escalares quaisquer,

segue que

αv + βw = (αw1+ βw10) + . . . + (αwk+ βw0k) ∈ W1+ . . . + Wk.

A última afirma¸cão do enunciado é óbvia, pois o vetor nulo esta em cada um dos subespa¸cos. ¥

1.33 Teorema. Se W1, W2são dois subespa¸cos de dimensão finita de um espa¸co vetorial V , então W1+W2

tamb´em tem dimens˜ao finita e

dim (W1+ W2) = dim W1+ dim W2− dim (W1∩ W2)

Prova. Pelo Teorema 1.30, W1∩ W2 tem uma base finita

{v1, . . . , vn} .

Pelo Teorema 1.21, esta ´e parte de uma base

B1= {v1, . . . , vn, w1, . . . , wk}

para W1 e parte de uma base

B2= {v1, . . . , vn, u1, . . . , ul}

para W2. O subespa¸co W1+ W2´e gerado pelo conjunto

B = {v1, . . . , vn, w1, . . . , wk, u1, . . . , ul} .

Basta provar que B é L.I. para terminar a demonstra¸cão, pois então B será uma base para W1+ W2 e

portanto

dim W1+ dim W2= (n + k) + (n + l) = (n + k + l) + n

= dim (W1+ W2) + dim (W1∩ W2) .

De fato, suponha que

n X i=1 αivi+ k X i=1 βiwi+ l X i=1 γiui= 0. Escrevendo u := l X i=1 γiui= − n X i=1 αivi− k X i=1 βiwi,

(13)

vemos que u ∈ W1tamb´em (certamente u ∈ W2). Em particular, existem escalares δ1, . . . , δn tais que u = n X i=1 δivi.

Logo, subtraindo as duas express˜oes para u, obtemos

n X i=1 δivi− l X i=1 γiui= 0,

e como {v1, . . . , vn, u1, . . . , ul} ´e L.I., conclu´ımos que

δ1= . . . = δn= γ1= . . . = γl= 0. Mas ent˜ao n X i=1 αivi+ k X i=1 βiwi = 0 e como {v1, . . . , vn, w1, . . . , wk} ´e L.I., segue que

α1= . . . = αn= β1= . . . = βk= 0.

¥

1.34 Defini¸c˜ao. Sejam W1, W2 dois subespa¸cos de um espa¸co vetorial V . Dizemos que o subespa¸co W =

W1+ W2´e a soma direta dos subespa¸cos W1 e W2se W1∩ W2= {0}. Neste caso, denotamos

W = W1⊕ W2.

1.35 Proposi¸c˜ao. Se W = W1⊕ W2, ent˜ao

dim W = dim W1+ dim W2.

Prova. Segue imediatamente do Teorema 1.33 quando se observa que W1∩ W2= {0}. ¥

1.36 Proposi¸c˜ao. W = W1⊕ W2 se e somente se todo elemento w ∈ W se escrever de maneira ´unica

como uma soma w = w1+ w2, w1∈ W1 e w2 ∈ W2 (em outras palavras, W1 e W2 s˜ao linearmente

independentes).

Prova. Assuma que W1∩ W2= {0}. Seja w ∈ W e suponha que

w = w1+ w2 w = w0 1+ w20 w1, w01∈ W1 e w2, w02∈ W2. Ent˜ao (w1− w01) + (w2− w02) = 0, donde (w1− w10) = − (w2− w02) .

Mas ent˜ao, (w1− w01) ∈ W1∩ W2e (w2− w20) ∈ W1∩ W2, logo w1− w01= 0 e w2− w02= 0, ou seja, w1= w10

e w2= w02.

Reciprocamente, assuma que todo elemento w ∈ W se escreve de maneira ´unica como uma soma w =

(14)

Rodney Josu´e Biezuner 13 0 = v + (−v) ´e um vetor de W que se escreve pelo menos de duas maneiras como a soma de vetores de W1

e W2:

0 = v + (−v) , 0 = 0 + 0. ¥

1.37 Teorema. Seja V um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita. Ent˜ao todo subespa¸co W ⊂ V possui um

complemento em V , isto ´e, existe um subespa¸co Z ⊂ V tal que V = W ⊕ Z.

Prova. Se W = {0} ou W = V , tome Z = V ou Z = {0}. Caso contr´ario, seja {v1, . . . , vk} uma base para

W . Complete esta base at´e uma base para V : {v1, . . . , vk, w1, . . . , wl}. Ent˜ao tomamos como Z o subespa¸co

gerado pelos vetores w1, . . . , wl. De fato, se W ∩ Z 6= {0}, tomando um vetor n˜ao-nulo u ∈ W ∩ Z, ter´ıamos

escalares n˜ao todos nulos α1, . . . , αk, β1, . . . , βltais que

u = k X i=1 αivi, u = l X i=1 βiwi, donde k X i=1 αivi− l X i=1 βiwi = 0

seria uma combina¸c˜ao linear n˜ao trivial produzindo o vetor nulo, contradizendo o fato que {v1, . . . , vk, w1, . . . , wl}

(15)

Cap´ıtulo 2

Matrizes

2.1 Defini¸c˜

ao

2.1 Defini¸c˜ao. Uma matriz m × n A sobre o corpo F ´e uma fun¸c˜ao A : [1, m] × [1, n] −→ F.

O conjunto das matrizes m × n sobre F ser´a denotado por Mm×n(F) e por Mn(F) se n = m. Se F = R

dizemos que a matriz ´e real, e se F = C dizemos que a matriz ´e complexa.

A imagem A (i, j) é chamado uma entrada ou elemento da matriz e denotada por Aij ou aij. A matriz A também é denotada freqüentemente por A = (aij) e o sub´ındice m × n pode ser usado para denotar

o que chamamos o tamanho da matriz.

Representamos A como uma tabela de m × n escalares de F dispostos em m linhas e n colunas:

A =      a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n .. . ... . .. ...

am1 am2 . . . amn

    . A i-´esima linha de A ´e a matriz 1 × n

£

ai1 ai2 . . . ain ¤,

onde 1 6 i 6 m, enquanto que a j-´esima coluna de A ´e a matriz m × 1      a1j a2j .. . amj     ,

onde 1 6 j 6 n. Uma matriz n × n ´e chamada uma matriz quadrada de tamanho n.

2.2 Opera¸c˜

oes com Matrizes

Se¸c˜oes 3.1-3.2 do livro-texto

Sobre o conjunto Mm×n(F) das matrizes m × n definimos as opera¸c˜oes a seguir.

2.2 Defini¸cão. A soma de matrizes é a opera¸cão binária Mm×n(F)×Mm×n(F) −→ Mm×n(F), (A, B) 7→ A + B definida por

(A + B)_ij = Aij+ Bij.

(16)

Rodney Josu´e Biezuner 15 2.3 Proposi¸c˜ao. A soma de matrizes satisfaz as seguintes propriedades:

(i) Comutatividade: para todas A, B ∈ Mm×n(F) temos A + B = B + A.

Prova:

(A + B)_ij= Aij+ Bij = Bij+ Aij = (B + A)ij.

¥

(ii) Associatividade: para todos A, B, C ∈ Mm×n(F) temos

A + (B + C) = (A + B) + C. Prova: [A + (B + C)]_ij = Aij+ (B + C)_ij = Aij+ (Bij+ Cij) = (Aij+ Bij) + Cij = (A + B)_ij+ Cij = [(A + B) + C]_ij. ¥

(iii) Existˆencia de Elemento Neutro: a matriz nula 0 ∈ Mm×n(F) definida por 0ij = 0 satisfaz A + 0 = 0 + A = A

para toda A ∈ Mm×n(F). Prova:

(A + 0)_ij= Aij+ 0ij= Aij+ 0 = Aij

e a outra express˜ao segue por comutatividade. ¥

(iv) Existˆencia de Inverso: para toda A ∈ Mm×n(F) existe −A ∈ Mm×n(F) tal que A + (−A) = (−A) + A = 0. Prova: Defina (−A)_ij = − (Aij) . Ent˜ao [A + (−A)]_ij= h Aij+ (−A)_ij i = [Aij+ (− (Aij))] = 0 = 0ij. ¥

2.4 Defini¸cão. A multiplica¸c˜ao de uma matriz por um escalar é a opera¸cão binária F×Mm×n(F) −→

Mm×n(F), (α, A) 7→ αA definida por

(αA)_ij = αAij.

(17)

(i) Existˆencia de Elemento Neutro: para todo A ∈ Mm×n(F) temos

1A = A. Prova:

(1A)_ij= 1Aij= Aij.

¥

(ii) Associatividade: para todos α, β ∈ F e para toda A ∈ Mm×n(F) temos α (βA) = (αβ) A.

Prova:

[α (βA)]_ij = α (βA)_ij= α (βAij) = (αβ) Aij.

¥

2.6 Proposi¸c˜ao. A soma de matrizes e a multiplica¸c˜ao de uma matriz por um escalar satisfazem as seguintes

propriedades:

(i) Distributividade em rela¸c˜ao `a soma: para todas A, B ∈ Mm×n(F) e para todo α ∈ F temos α (A + B) = αA + αB.

Prova:

[α (A + B)]_ij= α (A + B)_ij = αAij+ αBij = (αA)ij+ (αB)ij = [αA + αB]ij.

¥

(ii) Distributividade em rela¸cão à multiplica¸cão por escalar: para toda A ∈ Mm×n(F) e para todos α, β ∈ F temos

(α + β) A = αA + βA. Prova:

[(α + β) A]_ij= (α + β) Aij = αAij+ βAij = (αA)_ij+ (βA)_ij= (αA + βA)_ij.

¥

As Proposi¸cões 2.3, 2.5 e 2.6 juntas provam que as opera¸cões de soma de matrizes e multiplica¸cão de uma matriz por um escalar transformam o conjunto Mm×n(F) em um espa¸co vetorial sobre o corpo F.

2.7 Defini¸cão. O produto de matrizes é a opera¸cão binária Mm×p(F) × Mp×n(F) −→ Mm×n(F),

(A, B) 7→ AB definida por

(AB)_ij =

p

X

k=1

AikBkj.

A motiva¸cão para definir o produto de matrizes desta forma é dada pela sua utilidade na resolu¸cão de sistemas de equa¸cões lineares.

(18)

Rodney Josu´e Biezuner 17 (i) Associatividade: para todas A ∈ Mm×p(F) , B ∈ Mp×q(F) , C ∈ Mq×n(F) temos

A (BC) = (AB) C. Prova: [A (BC)]_ij = p X k=1 Aik(BC)_kj= p X k=1 Aik Ã _n X l=1 BklClj ! = p X k=1 n X l=1 AikBklClj = n X l=1 p X k=1 AikBklClj= n X l=1 Ã _p X k=1 AikBkl ! Clj= n X l=1 (AB)_ilClj = [(AB) C]_ij. ¥

(ii) Existˆencia de Elemento Neutro: a matriz identidade In ∈ Mn(F) definida por

(In)ij = δij= ½ 1 se i = j, 0 se i 6= j, isto ´e, In =      1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 .. . ... . .. ... 0 0 . . . 1     , satisfaz AIn= ImA = A para toda A ∈ Mm×n(F). Prova: (AIn)ij = n X k=1 Aikδkj= Aij, (ImA)_ij = m X k=1 δikAkj= Aij. ¥

(iii) Distributividade em rela¸c˜ao `a soma de matrizes: para todas A ∈ Mm×p(F) , B, C ∈ Mp×n(F) temos

A (B + C) = AB + AC.

Prova: Exerc´ıcio. ¥

Quando for claro do contexto o valor de n, escreveremos simplesmente I para denotar a matriz identidade. Diferentemente da opera¸cão de adi¸cão, a opera¸cão de produto de matrizes não possui uma inversa para cada matriz. Não apenas a matriz nula não possui um inverso multiplicativo (o que também ocorre em um corpo), como existe um número de matrizes que não possuem inversas:

2.9 Exemplo. Seja A = · 1 1 1 1 ¸ .

(19)

Suponha que B = · x y z w ¸ satisfa¸ca AB = · 1 1 1 1 ¸ · x y z w ¸ = · 1 0 0 1 ¸ = I. Ent˜ao        x + z = 1 y + w = 0 x + z = 0 y + w = 1

e este sistema n˜ao possui solu¸c˜ao. O mesmo argumento mostra que qualquer matriz da forma ·

α α α α

¸

qualquer que seja o escalar α ∈ F n˜ao possui inverso multiplicativo. ¤ 2.10 Defini¸c˜ao. Seja A ∈ Mn(F). Se existir uma matriz A−1∈ Mn(F) tal que

AA−1_{= A}−1_{A = I}

dizemos que A ´e invert´ıvel e chamamos A−1 _{de a inversa de A.}

Observe que a inversa de uma matriz ´e ´unica, pois se B e C s˜ao duas matrizes tais que

AB = BA = I, AC = CA = I,

ent˜ao

B = BI = B (AC) = (BA) C = IC = C.

2.11 Proposi¸c˜ao. Se A e B são matrizes invert´ıveis, então AB também é e (AB)−1 = B−1A−1. Prova: (AB)¡B−1_A−1¢_{= A}¡_BB−1¢_A−1_{= AIA}−1_{= AA}−1_{= I,} ¡ B−1A−1¢(AB) = B−1¡A−1A¢B = B−1IB = B−1B = I. ¥

2.12 Exerc´ıcio. Se A e B são duas matrizes tais que o produto AB é invert´ıvel, é verdade que A e B também são invert´ıveis?

2.13 Teorema. Se AB = I ent˜ao BA = I.

Prova: Se AB = I, então a única solu¸cão do sistema BX = 0 é a solu¸cão trivial, pois X = IX =

ABX = A0 = 0. Em particular, isso implica que a matriz B ´e equivalente por linhas `a matriz identidade I,

(20)

Rodney Josué Biezuner 19 à matriz identidade significa que existem matrizes elementares E1, . . . , Ek (correspondentes às opera¸cões

elementares sobre as linhas da matriz B) tais que

Ek. . . E1B = I.

Como as matrizes elementares são invert´ıveis (porque a inversa de uma opera¸cão elementar é também uma opera¸cão elementar), segue que

B = E1−1. . . Ek−1.

Portanto, B é o produto de matrizes invert´ıveis, logo é invert´ıvel. Seja C tal que BC = I. Para terminar a demonstra¸cão deste teorema, resta apenas provar que C = A. E, de fato, multiplicando a equa¸cão

AB = I

`a direita por C, segue que

(AB) C = IC donde

A (BC) = C ⇒ AI = C ⇒ A = C.

¥

O produto de matrizes não é comutativo: 2.14 Exemplo. Sejam A = · 1 0 0 0 ¸ e B = · 0 1 0 0 ¸ . Então AB = · 1 0 0 0 ¸ · 0 1 0 0 ¸ = · 0 1 0 0 ¸ , BA = · 0 1 0 0 ¸ · 1 0 0 0 ¸ = · 0 0 0 0 ¸ . ¤

O fato de existirem matrizes que não possuem inversas e do produto de matrizes não ser comutativo faz com que muitas propriedades satisfeitas pelos números reais e complexos não serem satisfeitas pelas matrizes. 2.15 Exerc´ıcio. Determine se as afirmativas a seguir são falsas ou verdadeiras. Se a afirmativa for

verda-deira, prove; se a afirmativa for falsa, dê um contraexemplo e determine se existe alguma situa¸cão onde a afirmativa é válida:

1. (Lei do Cancelamento) Se AB = AC, ent˜ao B = C.

2. Se A, B s˜ao matrizes quadradas, ent˜ao (A + B)2= A2_{+ 2AB + B}2_.

3. Se A, B s˜ao matrizes quadradas, ent˜ao (A − B)2= A2_{− B}2_.

4. Se AB = 0, ent˜ao A = 0 ou B = 0. 5. Se AB = 0, ent˜ao BA = 0.

6. Se A2_{= 0, ent˜ao A = 0.}

¤

2.16 Defini¸c˜ao. A transposta de uma matriz m × n A ∈ Mm×n(F) ´e a matriz n × m AT ∈ Mn×m(F)

definida por _¡

AT¢

(21)

2.17 Proposi¸c˜ao. A transposta de matrizes satisfaz as seguintes propriedades: (i) ¡AT¢T _{= A.}

(ii) (A + B)T = AT _{+ B}T_.

(iii) (αA)T = αAT_.

(iv) (AB)T = BT_AT_. (v) ¡A−1¢T ₌¡_AT¢−1_. Prova de (iv): h (AB)T i ij = (AB)ji= p X k=1 AjkBki= p X k=1 £ AT¤_kj£BT¤_ik= p X k=1 £ BT¤_ik£AT¤_kj=£BTAT¤_ij

Prova de (v): Por (iv), segue que

I = IT ₌¡_AA−1¢T ₌¡_A−1¢T_AT_.

¥

2.3 Mudan¸ca de Base

Se¸c˜ao 7.11 do livro-texto

Sejam B = {v1, . . . , vn} e B0= {w1, . . . , wn} duas bases para o espa¸co vetorial V . Suponha que um vetor

v ∈ V se escreve na forma v = x1v1+ . . . + xnvn = n X i=1 xivi

como combina¸c˜ao linear dos vetores da base B, ou seja,

v = (x1, . . . , xn)

são as coordenadas de v em rela¸cão à base B, isto é,

[v]_B=    x1 .. . xn    ,

convencionando representar as coordenadas de vetores em rela¸cão a uma base como matrizes-coluna. Como obter as coordenadas de v em rela¸cão à base B0_?

Sabemos que existem escalares pji∈ F tais que vi= n X j=1 pjiwj para i = 1, . . . , n. Ent˜ao v = n X i=1 xivi = n X i=1 xi   n X j=1 pjiwj   = n X i=1 n X j=1 xipjiwj= n X j=1 Ã _n X i=1 xipji ! wj = n X j=1 Ã _n X i=1 pjixi ! wj.

(22)

Rodney Josu´e Biezuner 21 Assim, yj= n X i=1 pjixi. Portanto, se P = (pij) =      p11 p12 . . . p1n p21 p22 . . . p2n .. . ... . .. ... pm1 pm2 . . . pmn     , segue que    y1 .. . yn    =      p11 p12 . . . p1n p21 p22 . . . p2n .. . ... . .. ... pm1 pm2 . . . pmn         x1 .. . xn    ou seja, [v]_B0 = P [v]_B.

Em outras palavras, as coordenadas do vetor v em rela¸cão à base B0 _{são obtidas através de multiplicar as}

coordenadas de v em rela¸cão à base B pela matriz P , cujas colunas são as coordenadas dos vetores da base

B em rela¸cão à base B0_{. P é chamada a matriz de mudan¸ca de base da base B para a base B}0_.

2.18 Proposi¸c˜ao. A matriz de mudan¸ca de base é invert´ıvel. Prova: Pois a única solu¸cão de

P X = 0

é a solu¸cão identicamente nula, porque o único vetor que tem coordenadas nulas em rela¸cão a qualquer base é o vetor nulo. ¥

Em particular, segue que

[v]_B= P−1_[v] B0,

isto ´e, a matriz de mudan¸ca de base da base B0 _{para a base B ´e a inversa P}−1_.

2.19 Exemplo. Obtenha as coordenadas do vetor v = (1, 2, 3) ∈ R3_{em rela¸c˜ao `a base B}0_{= {(1, 1, 0) , (1, 0, 1) , (0, 1, 1)} .}

Temos que a matriz de mudan¸ca de base ´e

P =   1 1 0_{1 0 1} 0 1 1   −1 =   1 2 12 −12 1 2 −12 12 −1₂ 1₂ 1₂   . Logo as coordenadas de v em rela¸c˜ao a B0 _s˜ao

  1 2 12 −12 1 2 −12 12 −1₂ 1₂ 1₂     12 3   =   01 2   .

(23)

Observe que   1 2 12 −12 1 2 −12 12 −1 2 12 12     1₁ 0   =   1₀ 0   ,   1 2 12 −12 1 2 −12 12 −1 2 12 12     1₀ 1   =   0₁ 0   ,   1 2 12 −12 1 2 −12 12 −1 2 12 12     0₁ 1   =   0₀ 1   ,

pois estas são as coordenadas dos vetores da base em rela¸cão a ela própria. ¤

2.4 Matrizes Especiais

2.4.1 Matrizes Diagonais

2.20 Defini¸c˜ao. Dizemos que uma matriz quadrada D ∈ Mn(F) ´e uma matriz diagonal se aij = 0 para

todo i 6= j.

Uma matriz diagonal tem a forma

D =      a11 0 . . . 0 0 a22 . . . 0 .. . ... . .. ... 0 0 . . . ann     ,

isto é, todos os elementos fora da diagonal principal são nulos. O conjunto das matrizes diagonais Dn(F) é

um subespa¸co vetorial de dimens˜ao n.

2.4.2 Matrizes Triangulares

2.21 Defini¸c˜ao. Dizemos que uma matriz quadrada T ∈ Mn(F) é uma matriz triangular superior se aij = 0 para todo i > j. Dizemos que T é uma matriz triangular inferior se aij = 0 para todo i < j. Uma matriz triangular superior ou inferior, é também chamada simplesmente uma matriz

triangular.

Uma matriz triangular superior tem a forma

T =           a11 a12 a13 . . . . . . a1n 0 a22 a23 . . . . . . a2n 0 0 a33 . . . . . . a3n 0 0 0 . .. ... ... .. . ... ... . .. an−1,n−1 an−1,n 0 0 . . . . . . 0 ann           ,

(24)

Rodney Josué Biezuner 23 isto é, todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, enquanto que uma matriz triangular inferior tem a forma T =           a11 0 0 . . . . . . 0 a21 a22 0 . . . . . . 0 a31 a32 a33 . .. . . . 0 .. . ... ... . .. 0 ... an−1,1 . . . . . . . . . an−1,n−1 0

an1 . . . . . . . . . an,n−1 ann

          ,

isto é, todos os elementos acima da diagonal principal são nulos. Ambos os conjuntos de matrizes trian-gulares superiores Un(F) e de matrizes triangulares inferiores Ln(F) são subespa¸cos vetoriais de dimensão n (n + 1) /2. Além disso, Mn(F) = Un(F) + Ln(F), mas esta soma não é direta.

2.4.3 Matrizes Sim´

etricas e Anti-sim´

etricas

2.22 Defini¸c˜ao. Dizemos que uma matriz quadrada A ∈ Mn(F) ´e uma matriz sim´etrica se AT = A.

Dizemos que A ´e uma matriz anti-sim´etrica se AT _{= −A.}

2.23 Proposi¸c˜ao. Os conjuntos das matrizes simétricas S e das matrizes anti-simétricas A são subespa¸cos

vetoriais de Mn(F). Al´em disso,

Mn(F) = S ⊕ A.

Prova: Sejam A, B duas matrizes simétricas e α, β escalares. Então, usando a Proposi¸cão 2.17, temos que (αA + βB)T = αAT_{+ βB}T _{= αA + βB}

e portanto αA + βB é simétrica. Analogamente, se A, B são anti-simétricas, então (αA + βB)T = αAT + βBT = α (−A) + β (−B) = − (αA + βB) e αA + βB é portanto anti-simétrica.

Para escrever uma matriz A ∈ Mn(F) como a soma de uma matriz sim´etrica e uma matriz anti-sim´etrica,

defina B = A + A T 2 , C = A − A T 2 .

Claramente, A = B + C. Por outro lado, da Proposi¸cão 2.17 vemos que a matriz B é simétrica e a matriz

C ´e anti-sim´etrica, pois

BT ₌ µ A + AT 2 ¶T = A T ₊¡_AT¢T 2 = AT _{+ A} 2 = B, CT = µ A − AT 2 ¶T = A T ₋¡_AT¢T 2 = AT _{− A} 2 = −C.

Falta apenas provar que a única matriz que é ao mesmo tempo simétrica e anti-simétrica é a matriz nula. De fato, se A ∈ S ∩ A, então

aij= aji

porque A ´e sim´etrica, e

aij= −aji

(25)

2.24 Proposi¸c˜ao. Se uma matriz é simétrica e invert´ıvel, então sua inversa também é simétrica. Se uma

matriz é anti-simétrica e invert´ıvel, então sua inversa também é anti-simétrica.

Prova: Seja A uma matriz simétrica, então da Proposi¸cão 2.17 (v) segue que ¡

A−1¢T =¡AT¢−1= A−1.

Analogamente se A ´e uma matriz anti-sim´etrica, temos que ¡

A−1¢T ₌¡_AT¢−1_{= (−A)}−1_{= −}¡_A−1¢_.

¥

2.25 Proposi¸c˜ao. Se A é uma matriz qualquer, então AAT _{e A}T_{A são matrizes simétricas.}

Prova: Temos _¡

AAT¢T ₌¡_AT¢T_AT _{= AA}T_.

Analogamente se prova que¡AT_A¢T _{= A}T_{A. ¥}

2.4.4 Matrizes Nilpotentes

2.26 Defini¸c˜ao. Dizemos que uma matriz quadrada A ∈ Mn(F) ´e uma matriz nilpotente se Ak= 0 para

algum k.

O conjunto das matrizes nilpotentes não é um subespa¸co vetorial, já que a soma de matrizes nilpotentes em geral não é uma matriz nilpotente.

2.27 Exemplo. A matriz A = · 0 1 0 0 ¸

´e nilpotente, pois A2_{= 0. A matriz}

B =     0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0    

tamb´em ´e nilpotente, pois B3_{= 0. ¤}

2.28 Proposi¸c˜ao. Se A é uma matriz nilpotente com Ak _{= 0, então I − A é invert´ıvel e}

(I − A)−1= I + A + . . . + Ak−1_.

Prova: Temos

(I − A)¡I + A + . . . + Ak−1¢_{= I + A + . . . + A}k−1_{− A − . . . − A}k−1_{− A}k _{= I.}

(26)

Cap´ıtulo 3

Transforma¸c˜

oes Lineares

3.1 Defini¸c˜

ao

Se¸c˜oes 6.1 e 9.3 do livro-texto

Definida uma estrutura matemática sobre conjuntos, é importante o estudo das fun¸cões entre estes conjuntos que preservam a estrutura.

3.1 Defini¸c˜ao. Sejam V e W dois espa¸cos vetoriais sobre um mesmo corpo F. Uma fun¸cão T : V −→ W é chamada uma transforma¸cão linear se

T (αv + βw) = αT (v) + βT (w) (3.1)

para todos v, w ∈ V e α, β ∈ F.

Transforma¸cões lineares preservam as opera¸cões que definem um espa¸co vetorial, soma e multiplica¸cão por escalar. Em outras palavras, elas preservam combina¸cões lineares.

3.2 Proposi¸c˜ao. Seja T : V −→ W uma transforma¸c˜ao linear entre dois espa¸cos vetoriais. Ent˜ao T (0V) =

0W.

Prova: Observe que estamos usando nota¸c˜oes diferentes para os vetores nulos de cada espa¸co por motivos de clareza. Temos

T (0V) = T (00V) = 0T (0V) = 0W.

¥

O seguinte resultado ajuda a entender o significado de uma transforma¸c˜ao linear:

3.3 Proposi¸c˜ao. Seja T : V −→ W uma transforma¸c˜ao linear entre dois espa¸cos vetoriais. Se U ´e um

subespa¸co de V , então T (U ) é um subespa¸co de W com dimensão menor ou igual a U . Reciprocamente, se Z é um subespa¸co de W , então T−1_{(Z) é um subespa¸co de V com dimensão maior ou igual a Z.}

Prova: Seja U ´e um subespa¸co de V . Como 0 ∈ U , temos T (U ) 6= ∅. Sejam w1, w2∈ T (U ). Ent˜ao existem

u1, u2∈ U tais que T (u1) = w1, T (u2) = w2. Para todos α, β ∈ F segue que

αw1+ βw2= αT (u1) + βT (u2) = T (αu1+ βu2) ,

e como αu1+ βu2∈ U , conclu´ımos que αw1+ βw2∈ T (U ). Temos dim T (U ) 6 dim U porque se u1, . . . , uk

geram U ent˜ao T (u1) , . . . , T (uk) geram T (U ), mas enquanto que u1, . . . , ukpodem ser L.I., isso n˜ao implica

necessariamente que T (u1) , . . . , T (uk) ser˜ao L.I.

(27)

Reciprocamente, seja Z ´e um subespa¸co de W . Sejam v1, v2 ∈ T−1(Z). Ent˜ao T (v1) =: z1, T (v2) =:

z2∈ Z. Para todos α, β ∈ F segue que

T (αv1+ βv2) = αT (v1) + βT (v2) = αz1+ βz2∈ Z,

logo conclu´ımos que αv1+ βv2∈ T−1(Z). ¥

Em outras palavras, uma transforma¸cão linear é uma aplica¸cão que leva subespa¸cos vetoriais de V em subespa¸cos vetoriais de W de dimensão menor ou igual que o subespa¸co original. Uma transforma¸cão linear leva retas em retas ou no vetor nulo, planos em planos, retas ou no vetor nulo, e assim por diante. Esta conclusão vale mesmo para subespa¸co afins, isto é, para conjuntos obtidos pela transla¸cão de subespa¸cos vetoriais, definidos por

Ux= U + x0= {x + x0: x ∈ U } (3.2)

onde U é um subespa¸co vetorial de V ; exemplos são retas e planos que não passam pela origem. Uma transforma¸cão linear leva subespa¸cos afins em subespa¸cos afins de dimensão menor que ou igual, pois

T (Ux) = T (U ) + T (x0) . (3.3)

3.4 Exemplo. Sejam V e W dois espa¸cos vetoriais sobre um mesmo corpo F de dimens˜ao finita, BV = {x1, . . . , xn} uma base para V , BW = {y1, . . . , ym} uma base para W e A uma matriz de tamanho

dim W × dim V sobre F. Ent˜ao a aplica¸c˜ao

[T v]_B_W = A [v]_B_V define uma transforma¸c˜ao linear T de V em W . ¤

3.5 Teorema. Uma transforma¸c˜ao linear do espa¸co vetorial de dimens˜ao finita V para o espa¸co vetorial

W ´e completamente determinada pelos valores que ela toma em uma base qualquer de V .

Prova: Sejam T : V −→ W uma transforma¸c˜ao linear e B = {x1, . . . , xn} uma base para V . Dado um vetor

v ∈ V , ele se escreve como uma combina¸c˜ao linear

v = α1x1+ . . . + αnxn.

Ent˜ao

T v = T (α1x1+ . . . + αnxn) = α1T (x1) + . . . + αnT (xn) .

¥

Podemos dizer ainda mais: para definir uma transforma¸c˜ao linear T : V −→ W basta estipular os seus valores em uma base:

3.6 Teorema. Sejam V um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita, B = {x1, . . . , xn} uma base para V e

y1, . . . , yn vetores quaisquer de um espa¸co vetorial W . Então existe uma única transforma¸cão linear

T : V −→ W tal que

T xi= yi (3.4)

para i = 1, . . . , n.

Prova: Como todo vetor v ∈ V se escreve como uma combina¸c˜ao linear dos vetores de B de maneira ´unica

v = α1x1+ . . . + αnxn,

basta definir

(28)

Rodney Josu´e Biezuner 27 De fato, para todos os vetores

x = α1x1+ . . . + αnxn,

y = β1x1+ . . . + βnxn,

de V e para todos escalares a, b ∈ F, temos

T (ax + by) = T Ã a n X i=1 αixi+ b n X i=1 βixi ! = T Ã _n X i=1 (aαi+ bβi) xi ! = n X i=1 (aαi+ bβi) yi= a n X i=1 αiyi+ b n X i=1 βiyi = aT (x) + bT (y) . A unicidade de T decorre do teorema anterior. ¥

3.2 Representa¸c˜

oes de Transforma¸c˜

oes Lineares atrav´

es de

Matri-zes

Seja T : V −→ W uma transforma¸c˜ao linear entre espa¸cos vetoriais de dimens˜ao finita. Escolha bases

BV = {x1, . . . , xn} para V e BW = {y1, . . . , ym} para W . Então, cada vetor x ∈ V se escreve com rela¸cão à

base BV na forma x = α1x1+ . . . + αnxn= n X i=1 αixi,

para alguns escalares α1, . . . , αn. Da´ı, segue que

T x = T Ã _n X i=1 αixi ! = n X i=1 αiT (xi) . Escreva os vetores T x1, . . . , T xn em rela¸c˜ao `a base BW na forma

T (xi) =

m

X

j=1

ajiyj, (3.5)

isto ´e, na forma de matriz coluna:

T (xi) =      a1i a2i .. . ami      (3.6)

A matriz A = (aij)_m×né chamada a representa¸c˜ao matricial da transforma¸cão linear T com rela¸cão às

bases BV e BW. Esta representa¸cão de T também será denotada por

(29)

3.3 Exemplos de Operadores Lineares

Se¸c˜oes 6.1-6.2 do livro-texto

Nesta se¸cão, as transforma¸cões lineares são definidas a partir de suas matrizes com rela¸cão à base canônica de Rn_.

3.7 Defini¸c˜ao. Uma transforma¸cão linear T : V −→ V , isto é, de um espa¸co vetorial nele próprio, é chamada um operador linear.

3.3.1 Operadores Lineares no Plano R

2

Rota¸cões. A rota¸c˜ao de ângulo θ em torno da origem no sentido anti-horário é definida por

Rθ= · cos θ − sen θ sen θ cos θ ¸ . (3.8) Observe que Rθ(e1) = · cos θ sen θ ¸ e Rθ(e2) = · − sen θ cos θ ¸ .

A inversa de uma rota¸cão de ângulo θ é uma rota¸cão de ângulo −θ (isto é, a rota¸cão de ângulo θ em torno da origem no sentido horário), pois

RθR−θ = · cos θ − sen θ sen θ cos θ ¸ · cos θ sen θ − sen θ cos θ ¸ = ·

cos2_{θ + sen}2_{θ cos θ sen θ − sen θ cos θ}

sen θ cos θ − cos θ sen θ cos2_{θ + sen}2_θ

¸ = · 1 0 0 1 ¸ .

Rota¸cões são operadores que preservam a norma de vetores e o produto escalar entre vetores (e portanto o ângulo entre eles):

hRθ(v) , Rθ(w)i = hv, wi (3.9) e kRθ(v)k = kvk . (3.10) De fato, hRθ(v) , Rθ(w)i = ¿· cos θ − sen θ sen θ cos θ ¸ · v1 v2 ¸ , · cos θ − sen θ sen θ cos θ ¸ · w1 w2 ¸À = ¿· cos θv1− sen θv2 sen θv1+ cos θv2 ¸ , · cos θw1− sen θw2 sen θw1+ cos θw2 ¸À

= cos2θv1w1− cos θ sen θv1w2− sen θ cos θv2w1+ sen2θv2w2

+ sen2θv1w1+ cos θ sen θv1w2+ sen θ cos θv2w1+ cos2θv2w2

= v1w1+ v2w2 = hv, wi . Da´ı, kRθ(v)k =phRθ(v) , Rθ(v)i = p hv, vi = kvk .

Note ainda que

det Rθ= 1, (3.11)

(30)

Rodney Josué Biezuner 29 Reflexões. A reflex˜ao em rela¸cão à reta passando pela origem que faz ângulo θ com o eixo x positivo é

definida por Hθ= · cos 2θ sen 2θ sen 2θ − cos 2θ ¸ . (3.12) Observe que Hθ(e1) = · cos 2θ sen 2θ ¸ e Hθ(e2) = · sen 2θ − cos 2θ ¸ .

A inversa de uma reflexão é ela própria, pois

H2 θ = · cos 2θ sen 2θ sen 2θ − cos 2θ ¸ · cos 2θ sen 2θ sen 2θ − cos 2θ ¸ = ·

cos2_{2θ + sen}2_{2θ cos 2θ sen 2θ − sen 2θ cos 2θ}

sen 2θ cos 2θ − cos 2θ sen 2θ cos2_{2θ + sen}2_2θ

¸ = · 1 0 0 1 ¸ .

Reflexões são também operadores que preservam a norma de vetores e o produto escalar entre vetores (e portanto o ângulo entre eles):

hHθ(v) , Hθ(w)i = hv, wi (3.13) e kHθ(v)k = kvk . (3.14) De fato, hRθ(v) , Rθ(w)i = ¿· cos θ − sen θ sen θ cos θ ¸ · v1 v2 ¸ , · cos θ − sen θ sen θ cos θ ¸ · w1 w2 ¸À = ¿· cos θv1− sen θv2 sen θv1+ cos θv2 ¸ , · cos θw1− sen θw2 sen θw1+ cos θw2 ¸À = cos2_θv

1w1− cos θ sen θv1w2− sen θ cos θv2w1+ sen2θv2w2

+ sen2_θv

1w1+ cos θ sen θv1w2+ sen θ cos θv2w1+ cos2θv2w2

= v1w1+ v2w2 = hv, wi . Da´ı, kRθ(v)k =phRθ(v) , Rθ(v)i = p hv, vi = kvk .

Note ainda que

det Hθ= −1, (3.15)

de modo que reflexões também preservam áreas.

Uma reflexão especial é a reflexão em torno da origem, definida por

H = · 0 −1 −1 0 ¸ . (3.16)

Ela tem as mesmas propriedades das outras reflex˜oes.

Contra¸cões e Dilata¸c˜oes. Uma homotetia de razão k é definida por

T = · k 0 0 k ¸ , (3.17)

(31)

ou seja,

T (x, y) = (kx, ky) . (3.18)

Se 0 6 k < 1, T é chamada uma contra¸cão, e se k > 1, T é chamada uma dilata¸c˜ao. Os operadores de homotetia não preservam nem a norma, nem o produto escalar de vetores, pois

hT (v) , T (w)i = hkv, kwi = k2_{hv, wi} _(3.19)

e

kT (v)k = kkvk = k kvk , (3.20)

mas preservam o ˆangulo entre vetores:

] (T (v) , T (w)) = ] (v, w) (3.21) pois ] (T (v) , T (w)) = arccos hT (v) , T (w)i kT (v)k kT (w)k = arccos hkv, kwi k kvk k kwk = arccos k 2_{hv, wi} k2_{kvk kwk} = arccos hv, wi kvk kwk = ] (v, w) . A inversa de uma contra¸cão é uma dilata¸cão e vice-versa. Temos

det T = k2_,

de modo que homotetias também não preservam áreas.

Compressões e Expansões. Uma compress˜ao horizontal de razão k e uma expans˜ao horizontal de razão k são definidas por

T = · k 0 0 1 ¸ (3.22) se 0 6 k < 1 no primeiro caso e se k > 1 no segundo caso, ou seja,

T (x, y) = (kx, y) . (3.23)

Do mesmo modo, uma compress˜ao vertical de razão k e uma expansão vertical de razão k são definidas por T = · 1 0 0 k ¸ (3.24) se 0 6 k < 1 no primeiro caso e se k > 1 no segundo caso, ou seja,

(32)

Rodney Josué Biezuner 31 Cisalhamentos. Um cisalhamento horizontal de razão k é definido por

T = · 1 k 0 1 ¸ , (3.26) ou seja, T (x, y) = (x + ky, y) . (3.27)

Um cisalhamento vertical de raz˜ao k ´e definido por

T = · 1 0 k 1 ¸ , (3.28) ou seja, T (x, y) = (x, kx + y) . (3.29)

Compressões, expansões e cisalhamentos não preservam nem normas, nem produtos escalares, nem ângulos entre vetores. Cisalhamentos preservam áreas, já que seu determinante é igual a 1. Cisalhamentos transformam quadrados em paralelogramos de mesma área.

Todas os operadores lineares considerados acima s˜ao bijetivos. Vamos considerar agora alguns operadores n˜ao bijetivos.

Proje¸c˜oes. A proje¸c˜ao ortogonal sobre o eixo x ´e definida por

P = · 1 0 0 0 ¸ (3.30) ou seja, P (x, y) = (x, 0) . (3.31)

A proje¸c˜ao ortogonal sobre o eixo y ´e definida por

P = · 0 0 0 1 ¸ (3.32) ou seja, P (x, y) = (0, y) . (3.33)

Em geral, a proje¸c˜ao ortogonal sobre a reta que passa pela origem e faz ˆangulo θ com o eixo x positivo ´e definida por

Pθ= ·

cos2_{θ sen θ cos θ}

sen θ cos θ sen2_θ

¸

. (3.34)

Para deduzir a ´ultima express˜ao, note que

Pθv − v =1 2(Hθv − v) , logo Pθv =1 2(Hθv + v) = 1 2(Hθ+ I) v, de modo que Pθ= 1 2 µ· cos 2θ sen 2θ sen 2θ − cos 2θ ¸ + · 1 0 0 1 ¸¶ =    1 + cos 2θ 2 sen 2θ 2 sen 2θ 2 1 − cos 2θ 2    = ·

cos2_{θ sen θ cos θ}

sen θ cos θ sen2_θ

¸

(33)

3.3.2 Operadores Lineares no Espa¸co R

3

Como exerc´ıcio, obtenha as express˜oes matriciais para os correspondentes operadores lineares em R3_.

3.3.3 Operadores Lineares em Espa¸cos de Dimens˜

ao Infinita

3.8 Exemplo. Express˜oes lineares envolvendo derivadas s˜ao operadores lineares em P [x] ou Ck_{(X; R) .}

3.3.4 Funcionais Lineares

3.9 Defini¸c˜ao. Um funcional linear ´e uma transforma¸c˜ao linear f : V −→ F.

3.10 Exemplo. A proje¸cão na i-ésima coordenada é um funcional linear, isto é, πi: Fn −→ F definida por πi(x1, . . . , xn) = xi.

3.11 Exemplo. A integral ´e um funcional linear em C0_{(X; R):}

I (f ) =

Z

X f.

3.4 Composi¸c˜

ao de Transforma¸c˜

oes Lineares

3.12 Proposi¸c˜ao. A composta de transforma¸cões lineares é uma transforma¸cão linear.

Prova: Sejam V, W, Z espa¸cos vetoriais e T : V −→ W, S : W −→ Z transforma¸c˜oes lineares. Ent˜ao

S ◦ T : V −→ Z satisfaz

(S ◦ T ) (α1v1+ α2v2) = S [T (α1v1+ α2v2)] = S [α1T (v1) + α2T (v2)] = α1S [T (v1)] + α2S [T (v2)]

= α1(S ◦ T ) (v1) + α2(S ◦ T ) (v2) .

¥

3.13 Teorema. Sejam V , W e Z espa¸cos vetoriais de dimens˜ao finita com bases BV = {x1, . . . , xn},

BW = {y1, . . . , ym} e BZ = {z1, . . . , zp}, respectivamente. Sejam T : V −→ W e S : W −→ Z

transforma¸c˜oes lineares. Ent˜ao

[S ◦ T ]_B_V_,B_Z = [S]_B_W_,B_Z[T ]_B_V_,B_W.

Prova: Sejam

[T ]_B_V_,B_W = B = (bij)m×n,

(34)

Rodney Josu´e Biezuner 33 Temos (S ◦ T ) (xi) = S [T (xi)] = S  Xm j=1 bjiyj   =Xm i=1 bjiS (yj) = m X i=1 bji p X k=1 akjzk= p X k=1 Ã _m X i=1 bjiakj ! zk = p X k=1 Ã_m X i=1 akjbji ! zk = p X k=1 (AB)_kizk. ¥

3.14 Defini¸c˜ao. Sejam V e W espa¸cos vetoriais sobre um corpo F. Denote o conjunto das transforma¸cões lineares de V em W por L (V, W ). Definimos as opera¸cões de soma e multiplica¸cão por escalar de elementos de L (V, W ) por

(T + S) (v) := T (v) + S (v) , (αT ) (v) := αT (v) , para todo v ∈ V .

Se V = W , denotamos L (V, W ) simplesmente por L(V ). 3.15 Proposi¸c˜ao. L (V, W ) ´e um espa¸co vetorial sobre F.

3.16 Proposi¸c˜ao. Se V tem dimensão n e W tem dimensão m, então L (V, W ) tem dimensão nm. Prova: Sejam BV = {x1, . . . , xn} e BW = {y1, . . . , ym} bases ordenadas de V e W respectivamente. Para

cada par de ´ındices ji, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m, defina Eji: V −→ W como sendo a ´unica transforma¸c˜ao

linear que satisfaz

Eji(xk) = δikyj, k = 1, . . . , n,

onde δik´e o delta de Kronecker. Em outras palavras, Eji(xk) =

½

yj se i = k, 0 se i 6= k.

Observe que com esta defini¸cão, a matriz que representa Eji em rela¸cão às bases BV e BW é a matriz que

tem 1 na entrada ji e 0 nas demais entradas. Afirmamos que

B = {Eji: i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m}

formam uma base para L (V, W ). Como este conjunto tem nm elementos, isto provar´a o resultado. Para provar que B ´e L.I., suponha que

X

i=1,...,n j=1,...,m

αjiEji= 0

é uma combina¸cão linear dos Eij produzindo a transforma¸cão nula (que é o vetor nulo em ). Então, para

cada k = 1, . . . , n temos _  n X i=1 m X j=1 αjiEji   (xk) = 0 (xk) = 0.