EXISTENCIA DE SOLUÇÃO PARA PROBLEMAS ENVOLVENDO O OPERADOR p-LAPLACIANO.

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(1)˜ o - UFMA Universidade Federal do Maranha ˆncias Exatas e Tecnologia - CCET Centro de Cie ´ s-Graduac ˜ o em Matema ´ tica - PPGMAT Programa de Po ¸a ˜ o de Mestrado Dissertac ¸a. William Lu´ıs Lima Pereira. ˆ ˜ para PROBLEMAS EXISTENCIA de SOLUC ¸ AO ENVOLVENDO o OPERADOR p-LAPLACIANO. São Lu´ıs - MA 2018.

(2) William Lu´ıs Lima Pereira. ˆ ˜ para PROBLEMAS EXISTENCIA de SOLUC ¸ AO ENVOLVENDO o OPERADOR p-LAPLACIANO. Disserta¸caõ. de. Mestrado. apresentada. ao. Colegiado da Pós-Gradua¸caõ em Matemática da Universidade Federal do Maranhão como requisito parcial para obten¸caõ do t´ıtulo de Mestre em Matemática.. Orientadora: Profa. Dra. Sandra Imaculada Moreira Neto. São Lu´ıs - MA 2018.

(3) Ficha gerada por meio do SIGAA/Biblioteca com dados fornecidos pelo(a) autor(a). Núcleo Integrado de Bibliotecas/UFMA. Pereira, William Luís Lima. Existência de solução para problemas envolvendo o operador p-laplaciano / William Luís Lima Pereira. - 2018. 59 f. Orientador(a): Sandra Imaculada Moreira Neto. Dissertação (Mestrado) - Programa de Pós-graduação em Matemática/ccet, Universidade Federal do Maranhão, São Luís, 2018. 1. Equações Diferencias Parciais. 2. Operador plaplaciano. 3. Teorema do Passo da Montanha. I. Moreira Neto, Sandra Imaculada. II. Título..

(4) William Lu´ıs Lima Pereira. ˆ ˜ para PROBLEMAS EXISTENCIA de SOLUC ¸ AO ENVOLVENDO o OPERADOR p-LAPLACIANO. Disserta¸caõ. de. Mestrado. apresentada. ao. Colegiado da Pós-Gradua¸caõ em Matemática da Universidade Federal da Maranhão como requisito parcial para obten¸caõ do t´ıtulo de Mestre em Matemática, aprovada em 16 de Julho de 2018.. BANCA EXAMINADORA:. Profa. Dra. Sandra Imaculada Moreira Neto (Orientadora) Universidade Estadual do Maranhão - UEMA. Prof. Dr. Marcos Antônio Ferreira de Ara´ ujo Universidade Federal do Maranhão - UFMA. Prof. Dr. Rônei Sandro Vieira Instituto Federal do Esp´ırito Santo - IFES.

(5) Aos meus pais, Yvana e Roberval e à minha irmã Karla Raquel que estiveram ao meu lado em todos os momentos. Aos meus familiares e amigos..

(6) AGRADECIMENTOS Agrade¸co, primeiramente, à Deus por ter me dado discernimento para fazer as escolhas corretas e colocar as pessoas certas no meu caminho para que eu não me desviasse dos meus objetivos. ` minha orientadora profa. Dra. Sandra Imaculada pela dedica¸caõ, empenho, A ajuda e muita paciência que teve para comigo na constru¸caõ e finaliza¸caõ deste trabalho. A todos os professores que muito contribu´ıram para a minha forma¸caõ acadêmica e profissional, em especial, ao prof. Dr. Marcos Ara´ ujo, visto que, sem ele, talvez não estivesse concluindo mais esta etapa. Aos professores que compuseram a` banca, principalmente ao prof. Dr. Rônei Vieira, pelas valiosas corre¸cões que foram imprescind´ıveis para a finaliza¸caõ deste trabalho. ` minha fam´ılia, que desde cedo me mostrou que o caminho para uma vida de A sucesso é o conhecimento e o estudo, pois sem eles não se pode alcan¸car voos tão altos. E principalmente por me apoiar e incentivar a correr atrás dos meus sonhos e objetivos. Aos meus amigos que durante esse tempo ficaram ao meu lado dando o apoio necessário e que foram indispensáveis para a minha forma¸cão acadêmica e pessoal, em especial, aos amigos Luiz Rocha, Rayana Gomes, Francisco J´ unior, aos amigos que me acompanham desde a gradua¸cão como Andréia Tereza, Erica Reis e Zaqueu Guimarães, e aos amigos que me acompanharam no mestrado, Carla Santos, Daylanne Ribeiro, Felipe Ferreira e Márcio Gomes com quem dividi todos os momentos de decep¸cões, tensão, ang´ ustia, mas principalmente, os de alegrias, brincadeiras e descontra¸cão, durante esses dois anos. E a todos que contribu´ıram direta ou indiretamente para a minha forma¸caõ, muito obrigado. Finalmente, o meu agradecimento a` Funda¸cão de Amparo a` Pesquisa e ao Desenvolvimento Cient´ıfico e Tecnológico do Maranhão - FAPEMA - pelo apoio financeiro..

(7) Na maior parte das ciências, uma gera¸caõ põe abaixo o que a outra construiu, e o que a outra estabeleceu a outra desfaz. Somente na Matemática é que cada gera¸caõ constrói um novo andar sobre a antiga estrutura. (Hermann Hankel).

(8) RESUMO Neste trabalho, estabelecemos a existência de solu¸caõ para uma classe de problemas envolvendo o operador p-laplaciano. Para isso, usamos resultados clássicos de Análise Funcional e Equa¸co˜es Diferenciais Parciais, a fim de aplicar o consagrado Teorema do Passo da Montanha.. Palavras-chave: Operador p-laplaciano, Equa¸co˜es Diferencias Parciais, Teorema do Passo da Montanha..

(9) ABSTRACT In this work, we establish the existence of a solution to the class of problems involving the p-Laplacian operator. For this, we use classic results of Functional Analysis and Partial Differential Equations, in the order the established Mountain Pass Theorem.. Keywords: p-Laplacian operator, Partial Elliptic Differential, Mountain Pass Theorem..

(10) ˜ NOTAC ¸ AO Abaixo seguem todas as nota¸cões utilizadas neste trabalho. • ∆u =. N X ∂ 2u i=1. ∂x2i. denota o operador laplaciano da fun¸cão u;. • ∆p u = div (|∇u|p−2 ∇u) denota o operador p-Laplaciano de uma fun¸caõ u; ∂u ∂u • k∇uk = denota o gradiente da fun¸caõ u; , ..., ∂x1 ∂xn • h , i denota o produto de dualidade; • BR (x) denota a bola aberta centrada em x e com raio R; • E ∗ representa o dual topológico do espa¸co de Banach E ; p. • ⋆ representa W −1, p−1 (RN ), o dual topológico de W 1,p (RN ); Z p p N N • L (R ) = f : R → R mensurável; |f | dx < +∞ , 1 ≤ p < ∞, denota o RN. espa¸co de Lebesgue; ∂ϕ 1,p N p N p N • W (R ) = u ∈ L (R ); ∈ L (R ), i = 1, ..., n denota o espa¸co de Sobolev; ∂xi Z p p N N |f | dx < +∞ , onde K ⊂ RN é • Lloc (R ) = f : R → R mensurável; K. um conjunto compacto e 1 ≤ p < ∞, denota o espa¸co das fun¸cões localmente integráveis; • C 1 (RN ) é o espa¸co das fun¸co˜es cont´ınuas; • C0∞ (RN ) é o espa¸co das fun¸co˜es infinitamente diferenciáveis com suporte compacto; • Ω é o subconjunto limitado de RN ; 1. • kςkp = (|x|p + |y|p ) p denota a norma p em R2 ; • kuk0,p =. Z. p. RN. |u| dx. p1. é a norma da fun¸caõ u no espa¸co em Lp (RN );.

(11) • kuk1,p = • kuk =. Z. Z. p. RN. p. (|∇u| + |u| )dx p. p1. p. (|∇u| +V (x)|u| )dx RN. é a norma da fun¸caõ u no espa¸co W 1,p (RN );. p1. é uma norma equivalente da fun¸caõ u no espa¸co. W 1,p (RN );. • supp v denota suporte da fun¸caõ v; • (C)c denota a condi¸cão de Cerami no n´ıvel c; • ⇀ denota a convergência fraca, quando n → ∞; • → denota a convergência forte, quando n → ∞; • ֒→ denota a imersão cont´ınua; c. • ֒→ denota a imersão compacta; • I’ representa a derivada de Gâteaux do funcional I ; • q.t.p. significa “quase todo ponto”;    N p , se N ≥ p; N −p • p∗ = denota o expoente cr´ıtico de Sobolev;   ∞, se 1 ≤ N ≤ p. • on (1) denota sequências que convergem a zero quando n → ∞..

(12) ´ SUMARIO. ˜ 1 INTRODUC ¸ AO. 11. 2 PRELIMINARES. 13. 2.1. Principais Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. 2.2. Espa¸cos de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. 2.3. 2.2.1. Imersões de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. 2.2.2. Propriedades do Espa¸co de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. Funcionais Diferenciáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. 3 ESTUDO DO PROBLEMA (P). 20. 3.1. Formula¸caõ Variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25. 3.2. Existência de Solu¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2.1. 3.3. Geometria do Passo da Montanha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26. Resultado Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29. A Formula¸c˜ ao Fraca do Problema (P). 39. B Estudo do Funcional Associado a (P). 41. ˆ REFERENCIAS. 57.

(13) ˜ 1 INTRODUC ¸ AO O objetivo principal deste trabalho é estudar a solu¸cão de uma classe de problemas envolvendo o operador p-Laplaciano com potencial periódico e não linearidade subcr´ıtica via teorema do Passo da Montanha, versão de Cerami. Assim, estudaremos a solu¸caõ proposta no artigo de Gongbao Li e Chunhua Wang [20] para o seguinte problema em RN :.   −∆ u + V (x)|u|p−2 = h(u), em RN p  u ∈ W 1,p (RN ),. (P). onde ∆p u = div(|∇u|p−2 ∇u), 1 < p < N é o operador p-Laplaciano, V (x) é um potencial. periódico Hölder localmente cont´ınuo, limitado e h é uma fun¸caõ de classe C 1 (R+ , R), superlinear e subcr´ıtica, como veremos no cap´ıtulo 3. ´ bem conhecido que o caso quaselinear p > 1 surge em muitas aplica¸co˜es nas E a´reas da Matemática Aplicada, F´ısica e Mecânica como, por exemplo, na teoria de elasticidade não-linear, no processamento de imagem, flu´ıdos não-newtonianos, flu´ıdos pseudoplásticos, e em algumas rea¸cões de difusão, conforme pode ser visto em [2] e [18]. Usaremos o método variacional que consiste em associar um funcional energia ao problema (P ) e encontrar seus pontos cr´ıticos. Para isso, precisamos assegurar a limita¸caõ das sequências de Cerami desse funcional. Um modo de fazer isso, em muitos dos trabalhos sobre equa¸co˜es el´ıpticas, é assumir a condi¸cão superlinear de Ambrosetti e Rabinowitz (AR): existe uma constante θ > 0 tal que. com t 6= 0, x ∈ RN. 0 < (p + θ)F (x, t) ≤ tf (x, t), Z t f (x, s)ds. No entanto, essa condi¸cão é muito restrie F (x, t) = 0. tiva e elimina muitas não linearidades interessantes e importantes. Ao longo dos anos, muitos autores utilizaram diversas estratégias para desenvolver resultados de existência de solu¸cões para problemas de não linearidade tentando eliminar a condi¸caõ (AR) como, por exemplo, no artigo [6], os autores usaram a condi¸caõ: f (s)s − pF (s) ≥ a|s|µ > 0, para todo s ∈ R\{0}..

(14) 12. Para este trabalho, tivemos aux´ılio para as realiza¸co˜es dos cálculos as disserta¸co˜es de [2], [3], [17] e [18] e as teses de [9], [13] e [19], assim como foram modelo e base para a estrutura e organiza¸cão do mesmo. O trabalho está dividido da seguinte forma: No Cap´ıtulo 2, apresentamos alguns resultados preliminares que serão imprescind´ıveis para o entendimento e dinâmica deste trabalho. Com o propósito de deixar a leitura do texto mais agradável, apenas enunciamos os resultados, com suas respectivas referências para poss´ıveis consultas das demonstra¸co˜es. Nesse cap´ıtulo enfatizamos três resultados clássicos que serão recorrentes em quase todo o trabalho, a saber, a Desigualdade de Hölder, o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue e as Imersões de Sobolev. No Cap´ıtulo 3, iniciamos com a formula¸caõ fraca do problema ((P)), em seguida apresentamos a Geometria do Passo da Montanha, em que mostramos, primeiro, que qualquer sequência de Cerami associada ao funcional I é limitada. Finalizamos este cap´ıtulo, apresentando o principal resultado desse trabalho, ou seja, a garantia da existência de solu¸caõ para o problema (P ), sob as condi¸co˜es de V e h. As principais dificuldades em mostrar esse resultado se dão em virtude da fun¸cão h não satisfazer a tradicional condi¸caõ de Ambrosetti-Rabinowitz (AR) (por isso precisamos usar o Teorema do Passo da Montanha na versão de Cerami), e da perda da compacidade, pois estamos estudando problemas em RN . Para contornar esta u ´ltima dificuldade usamos uma adapta¸caõ do Lema de Lions [7]. E por fim, temos o apêndice, que se encontra dividido em duas se¸co˜es. No Apˆ endice A, mostramos com mais detalhes a obten¸cão da formula¸caõ fraca da classe do problema (P ). No Apˆ endice B, é feito o estudo do funcional associado a esse problema..

(15) 2 PRELIMINARES Neste cap´ıtulo elencamos algumas defini¸co˜es e resultados essenciais para o desenvolvimento e entendimento deste trabalho.. 2.1. Principais Resultados. Defini¸c˜ ao 2.1. Uma fun¸caõ f : RN → R é Hölder cont´ınua com expoente α, 0 < α < 1, se existe C > 0 tal que para todo x, y ∈ RN , |f (x) − f (y)| < C|x − y|α . Teorema 2.1. (Teorema do Valor M´ edio de Lagrange - [11], p´ ag. 123) Seja f : U → R definida num aberto U ⊂ RN . Suponhamos que o segmento de reta [a, a + v] = {a + tv; 0 ≤ t ≤ 1} esteja contido em U , que a restri¸caõ f |[a,a+v] seja cont´ınua e que exista a derivada direcional. ∂f (x), ∂v. segundo v, em todo ponto x ∈ (a, a + v). Ent˜ ao existe. θ ∈ (0, 1) tal que f (a + v) − f (a) =. ∂f (a + θv). ∂v. Teorema 2.2. (Regra da Cadeia - [11], p´ ag. 256) Sejam U ⊂ RM , V ⊂ RN abertos, f : U → RN diferenci´ avel no ponto a, com f (U ) ⊂ V , e g : V → RP , diferenci´ avel no. ponto f (a). Ent˜ ao g◦f : U → RP é derivável no ponto a, com (g◦f )′ (a) = g ′ (f (a))·f ′ (a) : RM → RP .. Defini¸c˜ ao 2.2. Seja E um espa¸co vetorial real. Suponha que esteja definida em E uma fun¸caõ k · k : E → R, tal que: (i). kuk ≥ 0, para todo u ∈ E e kuk = 0 se, e somente se, u = 0;. (ii) kαuk = |α|kuk, para todo u ∈ E e para todo α ∈ R; (iii) ku + vk ≤ kuk + kvk, para todo u, v ∈ E. Nestas condi¸co˜es a fun¸caõ k · k é chamada de norma e (E, k · k) é um espa¸co normado. A seguir apresentamos as defini¸co˜es segundo [14] sobre equivalência das normas, Espa¸co de Banach e dual de um espa¸co normado..

(16) 14. Defini¸c˜ ao 2.3. Duas normas k · k1 e k · k2 em um espa¸co E s˜ ao equivalentes, se existem α, β > 0 tal que αkxk1 ≤ kxk2 ≤ βkxk1 , para todo x ∈ E. Observa¸c˜ ao 2.1. As normas k · k1 e k · k2 são equivalentes se, e somente se, a aplica¸caõ identidade de (E, k · k1 ) em (E, k · k2 ) é um isomorfismo isométrico. Defini¸c˜ ao 2.4. Seja E um espa¸co vetorial normado. Dessa forma, dizemos que E é um espa¸co de Banach, quando E é completo. Defini¸c˜ ao 2.5. Seja E um espa¸co normado. Definimos por E ∗ , o espa¸co dual de E. Os elementos de E ∗ s˜ ao chamados funcionais lineares. Se λ ∈ E ∗ ent˜ ao, kλkE ∗ = sup |λ(x)| = sup λ(x). kxk≤1. kxk≤1. Teorema 2.3. (Corol´ ario 1.2 - [5], p´ ag. 03) Seja G ⊂ E um subespa¸co linear. Se. g : G → R é um funcional cont´ınuo e linear, ent˜ ao existe f ∈ E ∗ que estende g e tal que kf kE ∗ = sup |g(x)| = kgkG∗ para todo x ∈ G. kxk≤1. Defini¸c˜ ao 2.6. Seja E um espa¸co de Banach. Dizemos que uma sequência {un }∞ n=1 ⊂ E. converge fracamente para u ∈ E, escrevendo un ⇀ u, se hu∗ , un i → hu∗ , ui para cada funcional linear limitado u∗ ∈ E ∗ .. Teorema 2.4. (Proposi¸c˜ ao 3.5, (iii) - [5], p´ ag. 58) Sejam E um espa¸co de Banach e (un ) uma sequência em E. Se un ⇀ u na topologia fraca de E, ent˜ ao (kun k) é limitada e temos que kuk ≤ lim inf kun k. n→∞. Teorema 2.5. (Teorema 3.18 - [5], p´ ag. 69) Sejam E um espa¸co de Banach reflexivo e (xn ) uma sequência limitada em E, ent˜ ao existe uma subsequência (xnk ) de (xn ) que converge na topologia fraca de E. Teorema 2.6. (Lema de Lions - [9], p´ ag. 116) Seja r > 0 e p ≤ s < p∗ . Se (un ) é limitada em W 1,p (RN ) e se. sup. Z. B(y,r). ent˜ ao un → 0 em L (R ) para p < t < p∗ . t. N. |un |s dx → 0,.

(17) 15. Defini¸c˜ ao 2.7. Seja 1 ≤ p < ∞. O espa¸co Lp consiste de todas as classes de equivalência p1 Z Z p p |f | dµ . [f ] tal que |f | dµ < ∞, cuja norma é definida por kf k0,p = Teorema 2.7. (Desigualdade de Minkowski - [4], p´ ag. 57) Seja f, g ∈ Lp com 1 ≤ p ≤ ∞. Ent˜ ao, kf + gk0,p ≤ kf k0,p + kgk0,p . A combina¸caõ entre os três próximos teoremas são os resultados mais utilizados no decorrer deste trabalho e essenciais em várias demonstra¸cões. Teorema 2.8. (Desigualdade de H¨ older - [5], p´ ag. 92) Sejam f ∈ Lp e g ∈ Lq , com 1≤p≤∞e. 1 p. +. 1 q. = 1. Ent˜ ao f g ∈ L1 e Z. |f g| ≤ kf k0,p kgk0,q .. Teorema 2.9. (Teorema da Convergˆ encia Dominada de Lebesgue - [5], p´ ag. 90) Seja (fn ) uma sequência de fun¸co˜es em L1 que satisfaz: (i) (ii). fn (x) → f (x) q.t.p. em Ω;. Existe uma fun¸caõ g ∈ L1 tal que para todo n, |fn (x)| ≤ g(x), q.t.p. em Ω.. Ent˜ ao f ∈ L1 e kfn − f k0,1 → 0.. Teorema 2.10. (Teorema 4.9 - [5], p´ ag. 94) Seja (fn ) uma sequência de fun¸co˜es em Lp e seja f ∈ Lp tal que kfn − f k0,p → 0. Ent˜ ao existe uma subsequência (fnk ) e uma fun¸caõ h ∈ Lp tal que: (i) (ii). fnk (x) → f (x) q.t.p. em Ω; |fnk (x)| ≤ h(x), q.t.p. em Ω.. Defini¸c˜ ao 2.8. Sejam 1 ≤ p < ∞ e Ω um subconjunto aberto em RN . Dizemos que. f : Ω → R é localmente integrável em Lp (Ω), e denotamos por f ∈ Lploc (Ω), se f é uma fun¸caõ mensurável e para qualquer compacto K ⊂ Ω Z |f (x)|p dx < ∞. K. Teorema 2.11. (Proposi¸c˜ ao 1.8 - [10], p´ ag. 03) Seja 1 ≤ p < q ≤ ∞. Ent˜ ao Lqloc (Ω) ⊂ Lploc (Ω) ⊂ Lp (Ω)..

(18) 16. 2.2. Espa¸cos de Sobolev. Defini¸c˜ ao 2.9. Seja p ∈ R com 1 ≤ p ≤ ∞. Definimos o Espa¸co de Sobolev de ordem 1 em RN por, W. 1,p. N. (R ) =. . ∂ϕ p N u ∈ L (R ); ∈ L (R ), i = 1, ..., n , ∂xi p. N. (2.1). ∂ϕ denota a derivada fraca de u, isto é, ∂xi Z Z ∂u ∂ϕ dx = − ϕ dx u ∂xi R ∂xi R. onde para cada u ∈ W 1,p (RN ),. para todo ϕ ∈ C0∞ (RN ).. 2.2.1. Imers˜ oes de Sobolev Antes de enunciarmos os teoremas das imersões cont´ınuas e compactas de Sobolev,. necessitamos primeiramente definir o que vem ser uma imersão cont´ınua e uma imersão compacta. Sendo assim, de [16], segue suas respectivas defini¸co˜es: Defini¸c˜ ao 2.10. Sejam E e F espa¸cos de Banach, com E ⊂ F e i : E → F a inje¸caõ canônica de E em F, que a cada elemento x ∈ E fazemos corresponder i(x) = x como elemento de F. Dizemos que a imers˜ ao de E em F é cont´ınua quando existe uma constante C > 0, tal que kxkF ≤ CkxkE , para todo x ∈ E. Defini¸c˜ ao 2.11. Sejam E e F espa¸cos de Banach, com E ⊂ F . Dizemos que E est´ a compactamente imerso em F se as seguintes condi¸co˜es s˜ ao satisfeitas: (i) Existe uma constante C > 0, tal que kxkF ≤ CkxkE , para todo x ∈ E. (ii) Qualquer sequência limitada em E é pré-compacta em F. As imersõe cont´ınuas e compactas de E em F são denotadas, respectivamente, c. por E ֒→ F e E ֒→ F . Agora enunciaremos os teoremas sobre imersões cont´ınuas e, em seguida, o Teorema das Imersões Compactas, de acordo com [5]..

(19) 17. Teorema 2.12. (Sobolev, Gagliardo, Nirenberg - [5], p´ ag. 278) Seja 1 ≤ p < N . Ent˜ ao W 1,p (RN ) ֒→ Lp (RN ), onde p∗ é dado por ∗. 1 1 1 = − ∗ p p N. e existe uma constante C = C(p, N ) tal que kuk0,p∗ ≤ Ck∇uk0,p para todo u ∈ W 1,p (RN ). Corol´ ario 2.1. (Corol´ ario 9.10 - [5], p´ ag. 281) Seja 1 ≤ p < N . Ent˜ ao, W 1,p (RN ) ֒→ Lq (RN ), para todo q ∈ [p, p∗ ] com imers˜ ao cont´ınua. Corol´ ario 2.2. (Corol´ ario 9.11 - [5], p´ ag. 281) Seja p = N . Ent˜ ao, W 1,p (RN ) ֒→ Lq (RN ), para todo q ∈ [N, ∞) com imers˜ ao cont´ınua. Teorema 2.13. (Morrey - [5], p´ ag. 278) Seja p > N . Ent˜ ao W 1,p (RN ) ֒→ L∞ (RN ) com com imers˜ ao cont´ınua. Além disso, para todo u ∈ W 1,p (RN ), temos |u(x)u(y)| ≤ C|x − y|α k∇uk0,p q.t.p. x, y ∈ RN , onde α = 1 −. N p. e C é uma constante (dependendo somente de p e N).. Teorema 2.14. (Rellich–Kondrachov - [5], p´ ag. 285) Suponha que Ω ⊂ RN seja limitado e de classe C 1 . Ent˜ ao as seguintes imers˜ oes s˜ ao compactas:  c   W 1,p (Ω) ֒→ Lq (Ω), para todo q ∈ [p, p∗ ), onde p1∗ = p1 − N1 se p < N ;   c W 1,p (Ω) ֒→ Lq (Ω), para todo q ∈ [p, +∞), se p = N ;    c  W 1,p (Ω) ֒→ C(Ω), se p > N . c. Em particular, W 1,p (Ω) ֒→ Lp (Ω) com a imers˜ ao compacta para todo p (e para todo N)..

(20) 18. 2.2.2. Propriedades do Espa¸co de Sobolev Os espa¸cos de Sobolev gozam de algumas propriedades que são essenciais para a. demonstra¸co˜es de alguns resultados nos próximos cap´ıtulos. Teorema 2.15. (Teorema 3.2 - [1], p´ ag. 45) W 1,p (RN ) é um espa¸co de Banach. Teorema 2.16. (Teorema 3.5 - [1], p´ ag. 47) W 1,p (RN ) é separável, se 1 ≤ p < ∞ e é reflexivo e uniformemente convexo se 1 < p < ∞. Teorema 2.17. (Teorema 2.2.1 - [12], p´ ag. 47) C0∞ (RN ) é denso em W 1,p (RN ).. 2.3. Funcionais Diferenci´ aveis Os resultados a seguir serão utilizados para provar que o funcional energia I,. associado ao problema, é de classe C 1 , encontrado no apêndice B. Defini¸c˜ ao 2.12. Seja I : U → R, onde U é um subconjunto aberto de um espa¸co de. Banach E. O funcional I é Gâteaux diferenci´ avel, com f ∈ E ′ em u ∈ U se, para todo h ∈ E,. 1 I(u + th) − I(u) − hf, thi = 0 t→0 t. lim. A derivada de Gâteaux em u é denotado por I ′ (u).. Defini¸c˜ ao 2.13. Seja I : U → R, onde U é um subconjunto aberto de um espa¸co de Banach E. O funcional I é Fréchet diferenci´ avel, com f ∈ E ′ em U se, 1 I(u + h) − I(u) − hf, hi = 0. h→0 khk lim. Teorema 2.18. (Proposi¸c˜ ao A.1 - [15], p´ ag. 48) Se I tem derivada de Gâteaux cont´ınua em E ent˜ ao I ∈ C 1 (E, R). Teorema 2.19. (Lema 2.24 - [1], p´ ag. 34) Se p ∈ [1, ∞) e a, b ≥ 0, ent˜ ao: (a + b)p ≤ 2p−1 (ap + bp ). Teorema 2.20. (Lema A.1 - [18], p´ ag. 95) Para todo y, z ∈ RN e β, β ∈ R temos: (i). Se p ∈ [2, ∞), ent˜ ao vale:

(21) p−2

(22)

(23) |z| z − |y|p−2 y

(24) ≤ β|z − y|(|z| + |y|)p−2 ;.

(25) 19. (ii). Se p ∈ (1, 2], ent˜ ao vale:

(26) p−2

(27)

(28) |z| z − |y|p−2 y

(29) ≤ β|z − y|p−1 ..

(30) 3 ESTUDO DO PROBLEMA (P) Neste cap´ıtulo, investigaremos a existência de solu¸caõ de uma equa¸caõ envolvendo o operador p-Laplaciano com crescimento subcr´ıtico. Mais precisamente, estudaremos o seguinte problema:.   −∆ u + V (x)|u|p−2 = h(u), em RN p  u ∈ W 1,p (RN ),. (P). em que V : RN → R é uma fun¸caõ Hölder localmente cont´ınua, limitada que satisfaz: (V1 ) existe α ≥ 0 tal que V (x) ≥ α > 0, x ∈ RN ; (V2 ) V(x)=V(x + y) para todo x ∈ RN , y ∈ ZN . A fun¸caõ h(t) ∈ C(R+ , R) satisfaz as seguintes condi¸co˜es: (H1 ) h(t) = 0 para todo t ≤ 0; (H2 ) lim+ |t|→0. h(t) = 0; |t|p−2 t. (H3 ) Existe C > 0 e q ∈ (p, p∗ ) tal que |h(t)| ≤ C(|t|p−1 + |t|q−1 ), para todo t ∈ R+ ; Z t H(t) (H4 ) lim h(s)ds; = +∞, H(t) = |t|→+∞ |t|p 0 (H5 ) Para α > 0 dado por (V1 ) existe L > p e σ ∈ 0, Lp − 1 α , tal que th(t) − LH(t) ≥ −σ|t|p , para todo t 6= 0.. Observamos que das hipóteses (H2 ) e (H3 ) temos que para algum δ > 0, existe Cδ tal que: |H(t)| ≤ δ|t|p + Cδ |t|q para todo t ∈ R+ .. (3.1). Um exemplo de fun¸cão que satisfaz as hipóteses acima é dada por h(t) = tq−1 , com q ∈ (p, p∗ ). Vale ressaltar que a fun¸caõ f (t) = tq−1 + ǫ(1 + cost)tr−1 , com L < q < p∗ ≤ r satisfaz (H5 ) mas não satisfaz a condi¸caõ (AR)..

(31) 21. Proposi¸c˜ ao 3.1. kuk =. Z. p. p. (|∇u| + V (x)|u| )dx RN. p1. é norma em W 1,p (RN ).. Demonstra¸ c˜ ao: De fato, para cada u ∈ W 1,p (RN ) temos kuk ≥ 0 e Z. kuk = 0 ⇔. p. p. (|∇u| + V (x)|u| )dx RN p. p1. =0. ⇔ |∇u| + V (x)|u|p = 0 q.t.p. Como por (V1 ), V (x) > 0, segue que |∇u|p = 0 e |u|p = 0 q.t.p. Logo, u = 0 q.t.p.. (3.2). Seja u ∈ W 1,p (RN ) e λ ∈ R, então kλuk. p. = = =. Z Z Z. = λ. p. p. p1. p. p1. (|∇(λu)| + V (x)|λu| )dx RN p. RN. p. p. (λ |∇u| + V (x)λ |u| )dx p. p. p. λ (|∇u| + V (x)|u| )dx RN. Z. p. p. (|∇u| + V (x)|u| )dx RN. p1. p1. = λkuk.. (3.3). Agora, sejam u, v ∈ W 1,p (RN ), então pela desigualdade de Minkowski, temos Z p (|∇(u + v)|p + V (x)|u + v|p )dx ku + vk = N ZR Z p = |∇u + ∇v| + V (x)|u + v|p dx N N R Z R V (x)|u + v|p dx = k∇u + ∇vkp0,p + N R Z p ≤ (k∇uk0,p + k∇vk0,p ) + V (x)|u + v|p dx (3.4) RN. Observamos que: Z. Z. RN. ≤. Z. RN. =. Z. RN. p. V (x)|u + v| dx = RN. V (x)|u + v| · |u + v|p−1 dx V (x)|u + v|p−1 · (|u| + |v|)dx Z p−1 V (x)|u + v| |u| dx + V (x)|u + v|p−1 |v| dx. (3.5) RN.

(32) 22. Tomando q > 1 tal que p1 + 1q = 1 temos (p − 1)q = p, e assim |u + v|p−1 ∈ Lq (RN ). De fato, Z. (|u + v|. p−1 q. ) dx. RN. 1q. =. Z. p. RN. |u + v| dx. 1q. < ∞. 1. Notamos também que podemos reescrever V (x) como o produto de V (x) p e 1. V (x) q , isto é: 1. 1. V (x) = V (x) p · V (x) q . Utilizando a desigualdade de Hölder em cada uma das parcelas do segundo membro de (3.5), obtemos: Z V (x)|u + v|p−1 |u| dx RN Z 1 1 = V (x) p |u|V (x) q |u + v|p−1 dx RN. ≤. Z. =. Z. p1 Z · V (x) |u| dx 1 p. RN. p. p1 Z V (x)|u| dx ·. RN. V (x) |u + v| p. p. RN. 1 q. V (x)|u + v| dx RN. p−1 q. dx. 1q. 1q. (3.6). e Z. RN. V (x)|u + v|p−1 |v| dx. =. Z. ≤. Z. =. Z. 1. RN. 1. V (x) p |v|V (x) q |u + v|p−1 dx 1 p. p. V (x) |v| dx. RN. p. V (x)|v| dx RN. p1 Z. p1 Z. 1 q. V (x) |u + v|. RN. p. V (x)|u + v| dx RN. p−1 q. 1q. dx. 1q (3.7). .. Somando (3.6) e (3.7), e substituindo em (3.5) obtemos Z V (x)|u + v|p dx RN. ≤. Z. V (x)|u|p dx RN. p1. +. Z. V (x)|v|p dx RN. Agora, dividindo ambos os membros de (3.8) por Z. p. V (x)|u + v| dx RN. p1. ≤. Z. Z p. V (x)|u + v|p dx RN. p. V (x)|u + v| dx RN. V (x)|u| dx RN. p1 Z. p1. +. Z. 1q p. . (3.8). vem que. V (x)|v| dx RN. 1q. p1. ..

(33) 23. Assim, Z. p. RN. V (x)|u + v| dx ≤. Z. p. V (x)|u| dx RN. Substitindo (3.9) em (3.4), obtemos Z p p ku+vk ≤ (k∇uk0,p +k∇vk0,p ) +. p1. p. V (x)|u| dx RN. +. p1. Z. +. p. V (x)|v| dx RN. Z. p1 p. p. V (x)|v| dx RN. (3.9). .. p1 p. . (3.10). Para facilitar os cálculos e a fim de simplificar a nota¸caõ, vamos chamar p1 Z Z p1 p p ¯ ¯ V (x)|v| dx . Vu = V (x)|u| dx e Vv = RN. RN. Consideremos a = (k∇uk0,p , V¯u ) e b = (k∇vk0,p , V¯v ), onde a, b ∈ R2 munido da 1. norma p em R2 , isto é, se ς = (x, y), então kςkp = (|x|p + |y|p ) p . Notamos o seguinte:. ka + bkp = k (k∇uk0,p , V¯u ) + (k∇vk0,p , V¯v ) kp = k (k∇uk0,p + k∇vk0,p , V¯u + V¯v ) kp

(34) p

(35) 1 =

(36) k∇uk0,p + k∇vk0,p

(37) + |V¯u + V¯v |p p .. (3.11). Aplicando a desigualdade de Minkowski em (3.11), temos ka + bkp ≤ kakp + kbkp = k(k∇uk0,p , V¯u )kp + k(k∇vk0,p , V¯v )kp. 1 1 = (k∇ukp0,p + |V¯u |p ) p + (k∇vkp0,p + |V¯v |p ) p p p p 1 p 1 ≤ ∇u 0,p + V¯u p + ∇v 0,p + V¯v p .. (3.12). Usando (3.12), (3.11), e elevando ambos os membros a p, obtemos (k∇uk0,p + k∇vk0,p )p + (V¯u + V¯v )p p 1 p p 1 ≤ (k∇ukp0,p + V¯u ) p + (k∇vkp0,p + V¯v ) p .. (3.13). Desta forma, de (3.10) e (3.13), temos p 1 p p 1 (k∇ukp0,p + V¯u ) p + (k∇vkp0,p + V¯v ) p p1 Z Z p p p = k∇uk0,p + V (x)|u| dx + k∇vk0,p +. ku + vkp ≤. . RN. = (kuk + kvk)p ,. p. V (x)|v| dx RN. p1 p.

(38) 24. o que implica que ku + vk ≤ kuk + kvk.. (3.14). Portanto, de (3.2), (3.3) e (3.14) segue que k · k é uma norma em W 1,p (RN ). Sabemos que a norma em W 1,p (RN ) é equivalente a Z p (|∇u|p + V (x)|u|p ) dx, kuk = RN. pois, da defini¸caõ de norma em Lp (RN ) e da hipótese (V1 ) temos, Z p (|∇u|p + V (x)|u|p ) dx kuk = N ZR (|∇u|p + α|u|p ) dx ≥ N ZR Z p = |∇u| + α|u|p dx N N RZ ZR |u|p dx |∇u|p + α = N N R p Rp = ∇u 0,p + α u 0,p . Tomando K1 = min{1, α} obtemos. p p kukp ≥ K1 ∇u 0,p + u 0,p p = K1 u 1,p .. Consequentemente,. kuk ≥ K2 kuk1,p ,. 1 p. (3.15). onde K2 = K1 é uma constante que independe de u. Novamente pela defini¸caõ de norma em Lp (RN ) e agora pela limita¸cão de V (x) temos, kuk. p. Z. (|∇u|p + V (x)|u|p ) dx Z Z p |u|p dx |∇u| + sup V (x) ≤ RpN RN p. = ∇u 0,p + sup V (x) u 0,p . =. RN. Tomando K3 = max{1, sup V (x)} obtemos. p p kukp ≤ K3 ∇u 0,p + u 0,p p = K3 u 1,p ..

(39) 25. Consequentemente, kuk ≤ K4 kuk1,p ,. 1. (3.16). onde K4 = K3p > 0 é uma constante que independe de u. Portanto, de (3.15) e (3.16) segue a equivalência das normas.. 3.1. Formula¸c˜ ao Variacional O principal objetivo desta se¸caõ é garantir a existência de solu¸caõ fraca para o. problema (P ). Para isso, fazemos a seguinte defini¸caõ. Defini¸c˜ ao 3.1. Dizemos que u ∈ W 1,p (RN ) é solu¸caõ fraca de (P ) se Z Z p−2 p−2 (|∇u| ∇u∇v + V (x)|u| uv) dx − h(u)v dx = 0 RN. (3.17). RN. para todo v ∈ W 1,p (RN ). A equa¸caõ (3.17) é chamada formula¸caõ fraca do problema (P ). Veja o apêndice A para maiores detalhes. Seguindo o método variacional, associamos ao problema (P ) o seguinte funcional I : W 1,p (RN ) → R, definido por Z Z 1 p p I(u) = (|∇u| + V (x)|u| )dx − H(u) dx, p RN RN Z u h(s) ds. em que H(u) =. (3.18). 0. Além disso, temos que I ∈ C 1 (W 1,p (RN ), R) e sua derivada de Gâteaux é dada por: ′. hI (u), vi =. Z. (|∇u| RN. p−2. ∇u∇v + V (x)|u|. p−2. uv) dx −. Z. h(u)v dx,. (3.19). RN. para todo u, v ∈ W 1,p (RN ) (veja os detalhes no Apêndice B). Portanto, cada ponto cr´ıtico de I é uma solu¸caõ fraca do problema (P ).. 3.2. Existˆ encia de Solu¸c˜ ao. Defini¸c˜ ao 3.2. Seja (E, k · kE ) um espa¸co de Banach com seu espa¸co dual (E ∗ , k · kE ∗ ). e I ∈ C 1 (E, R). Para c ∈ R, dizemos que I satisfaz a condi¸caõ de Cerami no n´ıvel c,.

(40) 26. denotado por (C)c , se para alguma sequência (un ) ⊂ E, quando n → ∞, com I(un ) → c, kI ′ (un )kE ∗ (1 + kun kE ) → 0,. (3.20). existe uma subsequência que converge fortemente em E. A sequência (un ) acima é chamada sequência de Cerami. Tendo o conhecimento da defini¸cão acima, o resultado de existência de solu¸cão será obtido por base na versão do Teorema do Passo da Montanha, que garante a existência de uma sequência de Cerami a n´ıvel do passo da montanha. O teorema a seguir pode ser visto em [6]. Para maiores detalhes sobre o Teorema do Passo da Montanha, veja [21]. Teorema 3.1. Seja E um espa¸co de Banach real e suponha que I ∈ C 1 (E, R) satisfa¸ca a condi¸caõ max{I(0), I(d)} ≤ α < β ≤ inf I(u),. (3.21). kuk=r. para algum α < β, ρ > 0 e d ∈ E com kdkE > ρ. Seja c ≥ β caracterizada por: c = inf max I(γ(t)),. (3.22). γ∈Γ 0≤t≤1. onde Γ = {γ ∈ C 0 ([0, 1], E), γ(0) = 0, γ(1) = d} é o conjunto de caminhos cont´ınuos ligando 0 e d. Ent˜ ao, existe uma sequência de Cerami de I com o n´ıvel do passo da montanha c ≥ β.. 3.2.1. Geometria do Passo da Montanha. Lema 3.1. Assumindo que V e h satisfa¸cam (V1 ) e (H1 ) − (H5 ), respectivamente, ent˜ ao qualquer sequência de Cerami {un } associada ao funcional I é limitada em W 1,p (RN ).. Demonstra¸ c˜ ao: Seja L dado em (H5 ), assim LI(un ) e hI ′ (un ), un i são, tais que: Z Z 1 p p LI(un ) = L H(un ) dx |∇un | + V (x)|un | dx − p RN RN Z Z L p p H(un ) dx (3.23) (|∇un | + V (x)|un | )dx − L = p RN RN e hI (un ), un i =. Z. RN. =. Z. RN. ′. (|∇un |. p−2. p−2. ∇un ∇un + V (x)|un | un un ) dx − Z p p h(un )un dx. (|∇un | + V (x)|un | )dx − RN. Z. h(un )un dx RN. (3.24).

(41) 27. Subtraindo (3.23) de (3.24) e usando (H5 ), obtemos: Z Z L p p ′ H(un )un dx (|∇un | + V (x)|un | ) dx − L −1 LI(un ) − hI (un ), un i = p RN RN Z h(un )un dx + N R Z L p = − 1 kun k + (h(un )un − LH(un )) dx p RN Z L p σ|un |p dx − 1 kun k − ≥ p RN Z L p |un |p dx. (3.25) − 1 kun k − σ = p N R Como V (x) ≥ α > 0, decorre que kun k. p. = ≥. Z Z. p. Z. RN. |∇u| dx +. RN. V (x)|un |p dx. Z. |un |p dx.. ≥ α. RN. RN. V (x)|un |p dx. Logo, −. Z. RN. 1 |un |p dx ≥ − kun kp . α. (3.26). Substituindo (3.26) em (3.25), vem que: . L σ LI(un ) − hI (un ), un i ≥ − 1 kun kp − kun kp p α σ L kun kp . −1− = p α ′. (3.27). Seja (un ) uma sequência de Cerami, o que implica, pela Defini¸cão 3.2, que I(un ) = c + on (1) e kI ′ (un )k⋆ (1 + kun k) = on (1). Dessa forma: LI(un ) − hI ′ (un ), un i ≤ Lc + on (1),. (3.28). tomemos C2 = Lc + on (1). Assim, de temos que LI (un ) − hI ′ (un ), un i é limitada. Desta (3.27) e (3.28), L σ forma, tomando −1− = C1 , temos que: p α C2 ≥ LI(un ) − hI ′ (un ), un i ≥ C1 kun kp o que implica C2 ≥ C1 kun kp ..

(42) 28. Logo, kun kp ≤. C2 C1. Portanto, (un ) é limitada em W 1,p (RN ).. . Lema 3.2. Suponha que V e h satisfa¸cam (V1 ) e (H1 ) − (H4 ), respectivamente. Ent˜ ao, I possui a geometria do Passo da Montanha. Demonstra¸ c˜ ao: De (3.1), temos que Z Z 1 p p I(u) = (|∇u| + V (x)|u| ) dx − H(u) dx p RN N R Z 1 p (δ|u|p + Cδ |u|q ) dx kuk − ≥ p N R Z Z 1 p p ≥ kuk − δ |u| dx − Cδ |u|q dx. p N N R R. (3.29). Pelas imersões cont´ınuas de Sobolev (Corolário 2.1) temos kuk0,p ≤ Ck∇uk0,p e kuk0,q ≤ Ck∇uk0,p . Assim, por (V1 ), temos: Z Z p1 p |u| dx ≤ C1 RN. ≤ C1. Z. p. RN. |∇u| dx. p1. p. p. (|∇u| + V (x)|u| ) dx RN. p1. = C1 kuk.. (3.30). e Z. q. RN. |u| dx. 1q. ≤ C2. Z. ≤ C2. Z. p. RN. |∇u| dx p. p1 p. (|∇u| + V (x)|u| ) dx RN. p1. = C2 kuk. Da´ı, tomando C1p = α e C2q = β, em seguida, somando (3.30) e (3.31), obtemos Z Z p |u|q dx ≤ αkukp + βkukq . |u| dx + RN. RN. Multiplicando (3.32) por (−1) e substituindo em (3.29) vem que: 1 kukp − αδkukp − βCδ kukq p 1 q−p p . − αδ − βCδ kuk = kuk p. I(u) ≥. (3.31). (3.32).

(43) 29. Escolhendo 0 < δ <. 1 , existem dois n´ umeros positivos ρ e b tais que: pα 1 ρ = kuk e b = − αδ ρp − βCδ ρq p. satisfazendo b = inf I(u) > I(0) = 0. kuk=ρ. Por (H4 ), para algum v ∈ W 1,p (RN ) com kvk = 1, temos: Z 1 1 I(tv) p lim = lim ktvk − H(tu) dx |t|→∞ |t|p p |t|→∞ |t|p RN Z 1 |t|p kvkp H(tv) − dx = lim |t|→∞ p |t|p |t|p RN Z H(tv) 1 p dx kvk − = lim |t|→∞ p |t|p RN Z 1 H(tv) p = lim − lim |v| dx |t|→∞ p |t|→∞ RN |t|p |v|p Z H(tv) p 1 |v| dx, − lim = p |t|→∞ RN |tv|p logo. I(tv) → −∞, quando |t| → +∞. |t|p. Portanto, existe d = tv satisfazendo kdk > ρ e I(d) < 0 = I(0), para |t| suficiente-. mente grande.. 3.3. . Resultado Principal. Teorema 3.2. Assumindo que V e h satisfazem (V1 ), (V2 ) e (H1 )−(H5 ), respectivamente. Ent˜ ao (P) tem solu¸caõ positiva tal que kukp ≤. Lpcα Lα − pα − pσ. onde α e σ s˜ ao dados por (V1 ) e (H5 ), respectivamente e c é o n´ıvel minimax associado a (P). Demonstra¸ c˜ ao: Como, pelo Lema 3.2, o funcional I satisfaz a geometria do Passo da Montanha, temos, pelo Teorema 3.1, que existe uma sequência de Cerami. Suponhamos que (un ) ⊂ W 1,p (RN ) seja essa sequência..

(44) 30. Pelo Lema 3.1, (un ) é limitada em W 1,p (RN ) e como W 1,p (RN ) é reflexivo, pelo Teorema 2.5, podemos extrair uma subsequência, que ainda denotaremos por (un ), tal que un ⇀ u em W 1,p (RN ) para algum u ∈ W 1,p (RN ). Como un ⇀ u em W 1,p (RN ), temos pelo Teorema das Imersões Compactas de c. Sobolev, que para todo q ∈ [1, p∗ ), W 1,p (Ω) ֒→ Lq (Ω), em que Ω ⊂ RN é limitado. Logo,. un → u em Lqloc (RN ) para todo q ∈ [1, p∗ ) e assim, pelo Teorema 2.11, un → u em Lploc (RN ). A menos de subsequência e pelo Teorema 2.10, existem fun¸co˜es f (x), g(x) ∈ Lp (F) onde F : supp v, tal que: ∇un (x) → ∇u(x) q.t.p. em F quando n → ∞. (3.33). un (x) → u(x) q.t.p. em F, quando n → ∞. (3.34). |∇un (x)| ≤ g(x) q.t.p. em F.. (3.35). |un (x)| ≤ f (x) q.t.p. em F.. (3.36). e. Da´ı, por (3.33) e (3.34) obtemos, |∇un (x)| → |∇u(x)| q.t.p. em F.. (3.37). |un (x)| → |u(x)| q.t.p. em F.. (3.38). e. Consideremos v ∈ C0∞ (RN ) e observemos que Z ′ ′ (|∇un |p−2 ∇un − |∇u|p−2 ∇u)∇v dx hI (un ) − I (u), vi = N RZ V (x)(|un |p−2 un − |u|p−2 u)v dx + N ZR − (h(un ) − h(u))v dx. RN. (3.39).

(45) 31. Para analisarmos as convergências faremos as seguinte desigualdades: Z

(46)

(47)

(48) (|∇un |p−2 ∇un − |∇u|p−2 ∇u)∇v

(49) dx RN Z

(50)

(51)

(52)

(53)

(54) |∇un |p−2 ∇un − |∇u|p−2 ∇u

(55)

(56) ∇v

(57) dx = N ZR

(58)

(59)

(60)

(61)

(62)

(63)

(64) |∇un |p−2 ∇un

(65) +

(66) |∇u|p−2 ∇u

(67)

(68) ∇v

(69) dx ≤ N ZR (|∇un |p−1 + |∇u|p−1 )|∇v| dx = N ZR

(70)

(71)

(72) (|∇un |p−1 + |∇u|p−1 )∇v

(73) dx. ≤. (3.40). RN. p. p. Observe que (|∇un |p−1 + |∇u|p−1 ) ∈ L p−1 (RN ). De fato, se |∇un |p−1 ∈ L p−1 (RN ) p. e |∇u|p−1 ∈ L p−1 (RN ) temos, respectivamente, Z. RN. (|∇un |. p−1. ). p p−1. dx. e Z. (|∇u|. p−1. RN. ). p p−1. dx. p−1 p. p−1 p. =. =. Z Z. p. |∇un | dx. RN. p. RN. |∇u| dx. p−1 p. p−1 p. <∞. < ∞.. p. p. Como L p−1 (RN ) é um espa¸co vetorial normado, segue que (|∇un |p−1 + |∇u|p−1 ) ∈ p. L p−1 (RN ). Logo, (|∇un |p−2 ∇un − |∇u|p−2 ∇u) ∈ L p−1 (RN ). Desta forma, podemos aplicar a desigualdade de Hölder em (3.40) e assim, Z |(|∇un |p−2 ∇un − |∇u|p−2 ∇u|)∇v| dx RN. Z p1 p−1 p p · |∇v| dx ≤ ||∇un | ∇un − |∇u| ∇u| dx N N R R. = |∇un |p−2 ∇un − |∇u|p−2 ∇u 0, p · ∇v 0,p . Z. p−2. p p−1. p−2. p−1. Combinando (3.33) e (3.37), obtemos (|∇un |p−2 ∇un − |∇u|p−2 ∇u) → 0 q.t.p. em F.

(74)

(75) Como

(76) |∇un |p−2 ∇un − |∇u|p−2 ∇u

(77) ≤ (|∇un |p−1 + |∇u|p−1 ) segue de (3.35) que

(78)

(79)

(80) |∇un |p−2 ∇un − |∇u|p−2 ∇u

(81) ≤ g(x)p−1 + |∇u|p−1 ,. (3.41).

(82) 32. assim

(83)

(84) p

(85) |∇un |p−2 ∇un − |∇u|p−2 ∇u

(86) p−1 ≤. g(x)p−1 + |∇u|p−1 p. p p−1 p. p. ≤ 2( p−1 −1) g(x)(p−1)· p−1 + |∇u|(p−1)· p−1 1. = 2 p−1 (g(x)p + |∇u|p ). . ≤ C(g(x)p + |∇u|p ). Da´ı,

(87)

(88) p

(89) |∇un |p−2 ∇un − |∇u|p−2 ∇u

(90) p−1 ≤ C(g(x)p + |∇u|p ) ∈ L1 (F).. (3.42). Desta forma, a partir de (3.41) e (3.42) podemos aplicar o Teorema da Convergência Dominada, logo Z. RN. (|∇un |p−2 ∇un − |∇u|p−2 ∇u)∇v dx → 0 quando n → ∞.. (3.43). Do fato de V (x) ser limitado, temos: Z

(91)

(92)

(93) V (x)(|un |p−2 un − |u|p−2 u)v

(94) dx RN Z ≤ | sup V (x)(|un |p−2 un − |u|p−2 u)v| dx. N ZR | sup V (x)|(|un |p−2 un | − |u|p−2 u||v| dx = N ZR ≤ | sup V (x)|(|un |p−2 |un | + |u|p−2 |u|)|v| dx N ZR | sup V (x)|(|un |p−1 + |u|p−1 )|v| dx. =. (3.44). RN. p. p. Observe que |un |p−1 + |u|p−1 ∈ L p−1 (RN ). Logo, V (x)(|un |p−2 un − |u|p−2 u) ∈. L p−1 (RN ). Desta forma, aplicando a desigualdade de Hölder em (3.44) temos, Z |V (x)(|un |p−2 un − |u|p−2 u)v| dx RN. ≤. Z. RN. | sup V (x)(|un |. = sup |V (x)|. Z. RN. (|un |. p−2. p−2. un − |u|. un − |u|. p−2. p−2. u)|. u). p p−1. p p−1. p−1 Z p dx ·. p−1 Z p dx ·. p. RN. |v| dx p. RN. |v| dx. p1. p1. Combinando (3.34) e (3.38), obtemos (|un |p−2 un − |u|p−2 u) → 0 q.t.p. em F.. (3.45).

(95) 33.

(96)

(97) Como

(98) |un |p−2 un − |u|p−2 u

(99) ≤ |un |p−1 − |u|p−1 segue de (3.36) que

(100)

(101)

(102) |un |p−2 un − |u|p−2 u

(103) ≤ f (x)p−1 + |u|p−1 q.t.p. em F.. Assim,.

(104)

(105) p p

(106) |un |p−2 un − |u|p−2 u

(107) p−1 ≤ (f (x)p−1 + |u|p−1 ) p−1 p. p. p. ≤ 2 p−1 −1 f (x)p−1· p−1 + |u|p−1· p−1 1. ≤ 2 p−1 (f (x)p + |u|p ).. . Da´ı,

(108)

(109) p

(110) |un |p−2 un − |u|p−2 u

(111) p−1 ≤ C(f (x)p + |u|p ) ∈ L1 (F).. (3.46). Então, como V (x) é limitada, de (3.45) e (3.46) podemos aplicar o Teorema da Convergência Dominada, logo Z V (x)(|un |p−2 un − |u|p−2 u)v dx → 0 quando n → ∞.. (3.47). RN. Do fato de un → u q.t.p. em F e da continuidade de h, segue que h(un ) · v → h(u) · v q.t.p em F.. (3.48). De (3.1), temos que: |h(un ) · v| = |h(un )| · |v| ≤ C(|un |p−1 + |un |q−1 ) · |v|. (3.49). e pelo Teorema 2.10, existe uma fun¸cão g ∈ Ls (F) com s ∈ (p, p∗ ) tal que |un | ≤ g(x) em F.. (3.50). Substituindo (3.50) em (3.49), segue que: |h(un )| · |v| ≤ C(g(x)p−1 + g(x)q−1 ) · |v| = Cg(x)p−1 |v| + Cg(x)q−1 |v|. Aplicando a desigualdade de Hölder para: •. 1 r. +. 1 p. = 1, com p > 1, temos Z. Cg(x) RN. p−1. |v| dx ≤. Z. = C. (|Cg(x)|. ) dx. RN. Z. < ∞.. p−1 r. p. (|g(x)| ) dx RN. r1 Z. r1 Z. p. RN. |v| dx p. RN. |v| dx. p1. p1 (3.51).

(112) 34. •. 1 s. +. 1 q. = 1, com q ∈ (p, p∗ ), temos Z. Cg(x). q−1. RN. |v| dx ≤. Z. = C. (|Cg(x)|. q−1 s. ) dx. RN. Z. (|g(x)|q ) dx RN. 1s Z. 1s Z. RN. q. RN. |v| dx. |v|q dx. 1q. 1q. < ∞.. (3.52). Desta forma, de (3.51) e (3.52) segue que (g(x)p−1 |v| + g(x)q−1 |v|) ∈ L1 (RN ) e acrescentando a isso o resultado (3.48), temos, pelo Teorema da Convergência Dominada, que Z (h(un ) − h(u)) v dx → 0, quando n → ∞. (3.53) RN. De (3.39), (3.43), (3.47) e (3.53) segue que hI ′ (un ) − I ′ (u), vi → 0 quando n → ∞ ou, em outras palavras, hI ′ (un ), vi → hI ′ (u), vi.. (3.54). Como (un ) é sequência de Cerami, temos, pela Defini¸caõ 3.2, que I ′ (un ) → 0. Em particular, temos que hI ′ (un ), vi → 0.. (3.55). Por (3.54), (3.55) e pela unicidade do limite segue que I ′ (u) = 0. Da´ı, hI ′ (u), vi = 0, para todo v ∈ C0∞ (RN ). Como C0∞ (RN ) é denso em W 1,p (RN ) (Teorema 2.17), logo hI ′ (u), vi = 0 para todo v ∈ W 1,p (RN ).. (3.56). Portanto, u é solu¸caõ fraca de (P). Além disso, notamos que: Z Z Z p−2 − p−2 − ′ − h(un )u− V (x)|un | un un dx − |∇un | ∇un ∇un dx + I (un )(un ) = n dx N RN RN ZR Z p p = |∇u− V (x)|u− n | dx + n | dx =. RN p ku− nk .. RN. (3.57). + em é limitada e como Assim, do fato de (un ) ser limitada, segue que u− n = un − un tamb´ − ′ I ′ (un ) → 0 temos de (3.57) que ku− n k → 0, assim, un → 0 e, a continuidade de I e I ,. nos permite considerar sequências de Cerami não negativas a partir de agora, isto é, dada.

(113) 35. uma sequência de Cerami (un ), podemos considerar que un (x) ≥ 0 q.t.p. em RN , para todo n. Falta mostrar que u 6≡ 0. Com base em [9] e [19] vejamos o seguinte lema: Lema 3.3. Seja I o funcional associado a (P) e (un ) uma sequência de Cerami para I com un ⇀ 0. Ent˜ ao somente uma das alternativas ocorre: (i) un → 0 em W 1,p (RN ); ou (ii) Existem uma sequência (yn ) ⊂ RN e constantes R > 0, η > 0 tais que Z |un |p dx > η > 0. lim inf n→∞. BR (yn ). Demonstra¸ c˜ ao: Suponha que (ii) não ocorre. Assim, para todo R > 0, temos Z |un |p dx = 0. lim sup n→∞. BR (yn ). Pelo Lema 3.1 a sequência (un ) é limitada, da´ı pelo Lema de Lions (Teorema 2.6) segue que un → 0 em Lr (RN ), r ∈ (p, p∗ ).. (3.58). De (3.1) temos que h(un ) ≤ δ|un |p−1 + Cδ |un |q−1 , assim, h(un )un ≤ δ|un |p−1 un + Cδ |un |q−1 un ≤ δ|un |p + Cδ |un |q .. (3.59). Integrando em ambos os lados de (3.59) obtemos, a partir de (3.58), que: Z Z lim sup h(un )un dx ≤ lim sup (δ|un |p + Cδ |un |q )dx N N n→∞ n→∞ R R Z Z p |un |q dx |un | dx + Cδ lim sup = δ lim sup N N n→∞ n→∞ R ZR p = δ lim sup |un | dx. (3.60) n→∞. RN.

(114) 36. Como δ > 0 pode ser escolhido arbitrariamente pequeno e a sequência (un ) ⊂. W 1,p (RN ) é limitada, obtemos:. lim. n→∞. Z. h(un )un dx = 0. (3.61). RN. Como (un ) é uma sequência de Cerami, temos, pelo Lema 3.1, que (un ) é limitada. Assim, pela Defini¸caõ 3.2, tem-se que I ′ (un )un = on (1). Mas, Z Z ′ p p I (un )un = (|∇un | − V (x)|un | )dx − h(un )un dx RN RN Z h(un )un dx. = kun kp −. (3.62) (3.63). RN. Logo, p. kun k =. Z. h(un )un dx + on (1),. (3.64). RN. o que implica, de (3.61), que a sequência (un ) converge forte a zero em W 1,p (RN ), ou seja, un → 0 em W 1,p (RN ) e portanto, (i) ocorre.. . Suponhamos por contradi¸cão que u ≡ 0. Assim, temos un → 0. Mas, pela continuidade do funcional I temos I(un ) → 0, contradizendo o fato de que I(un ) → c > 0. Segue do Lema 3.3 que (ii) acontece, isto é, existe uma sequência (yn ) ⊂ RN e constantes positivas R e η tais que lim inf n→∞. Z. BR (yn ). |un |p dx > η > 0.. Por (V2 ), podemos assumir, sem perda de generalidade, que yn ∈ ZN . De fato,. se yn = (yn1 , yn2 , ..., ynN ) ∈ RN , existe wni ∈ Z, 1 ≤ i ≤ N tal que |yni − wni | ≤ 21 . Agora qP √ N 1 2 N i − y i |2 ≤ N . Logo, |z considerando zn = (zn , zn , ..., zn ) ∈ Z, temos |zn − yn | ≤ n i=1 n 2. BR (yn ) ⊂ BR+ √N (zn ), pois se x ∈ BR (yn ) temos 2. |zn − x| ≤ |zn − yn | + |yn − x| <. √. N + R. 2. Portanto, lim inf n→∞. Z. p. B. √ R+ 2N. (zn ). |un | dx ≥ lim inf n→∞. Z. BR (yn ). |un |p > η > 0 para todo n ∈ N..

(115) 37. Suponhamos yn ∈ ZN definindo uñ (x) = un (x + yn ). Observe que {˜ un } é limitada. em W 1,p (RN ), pois k∇un k0,p = k∇˜ un k0,p e por (V2 ) novamente, temos Z Z Z p p V (z)|un (z)|p dz, V (x)|˜ un (x)| dx = V (z − yn )|un (z)| dz = RN. RN. RN. ou seja, k˜ un k = kun k, para todo n ∈ N. Desta forma podemos assumir uñ ⇀ u˜ em W 1,p (RN ) para algum u˜ ∈ W 1,p (RN ). A. menos de subsequência uñ → u˜ em Lploc (RN ) e uñ (x) → u˜(x) q.t.p. em RN . De (ii). do Lema 3.3, sabemos que u˜ 6= 0. Além disso, pela periodicidade de V, temos que. hI ′ (uñ ), uñ i = hI ′ (un ), un i e I(˜ un ) = I(un ). De fato, Z Z ′ p−2 p−2 h(˜ un )˜ u dx hI (˜ un ), uñ i = (|∇˜ un | ∇˜ u∇˜ u + V (x)|˜ un | uñ uñ ) dx − N N R R Z Z p−2 p−2 h(un )u dx (|∇un | ∇u∇u + V (x)|un | un un ) dx − = RN ′. RN. = hI (un ), un i e Z Z 1 p p I(˜ un ) = (|∇˜ un | + V (x)|˜ un | )dx − H(˜ un ) dx p RN N R Z Z 1 p p = H(un ) dx (|∇un | + V (x)|un | )dx − p RN RN = I(un ). Prosseguindo de maneira análoga aos cálculos anteriores, obtemos que {˜ un } é uma sequência de Cerami de I, e hI ′ (˜ u), vi = hI ′ (u), vi = 0 para todo v ∈ W 1,p (RN ) com u˜ 6= 0.. (3.65). Logo, u˜ é uma solu¸caõ fraca não trivial de (P ). Finalmente, devemos verificar que kukp ≤. Lpcα . Procedendo como na Lα − pα − pσ.

(116) 38. limita¸caõ da sequência de Cerami do Lema 3.1, temos por (H5 ) e (V1 ) que Z Z L ′ p p LI(˜ un ) − hI (˜ un ), un i = −1 (|∇˜ un | + V (x)|˜ un | ) dx − L H(˜ un )˜ un dx p RN RN Z + h(˜ un )˜ un dx RN Z L p (h(˜ un )˜ un − LH(˜ un )) dx = − 1 k˜ un k − p RN Z L p − 1 k˜ un k − σ|˜ un |p dx ≥ p N R Z L p = − 1 k˜ un k − σ |˜ un |p dx p RN σ L − 1 k˜ un kp − k˜ un kp ≥ p α σ L k˜ un kp , (3.66) −1− = p α para todo n ∈ N. Assim, como I(un ) → c e I(un ) = I(˜ un ), temos que I(˜ un ) → c e de (3.65) tem-se Lc = lim inf (LI(˜ un ) − hI ′ (˜ un ), uñ i). n→∞. (3.67). Substituindo (3.66) em (3.67), obtemos L σ Lc ≥ lim inf k˜ u n kp −1 − n→∞ p α σ L kun kp −1 − = lim inf n→∞ p α Lα − pα − pσ = lim inf kun kp . n→∞ pα Logo, Lcpα ≥ lim inf kun kp . n→∞ Lα − pα − pσ. E pela semicontinuiadede fraca da norma (Teorema 2.4), segue que: Lcpα ≥ kukp . Lα − pα − pσ Portanto, kukp ≤. Lcpα . Lα − pα − pσ .

(117) A Formula¸ c˜ ao Fraca do Problema (P) Neste apêndice, nosso objetivo é obter a formula¸caõ fraca do problema (P ), vista no Cap´ıtulo 3, se¸caõ 3.1. Seja u uma solu¸caõ clássica do problema (P ), isto é, uma fun¸cão u ∈ C02 (RN ) que satisfaz a equa¸cão (P ) e considere a equa¸caõ −∆p u + V (x)|u|p−2 u = h(u).. (A.1). Multiplicando (A.1) por uma fun¸cão teste ϕ ∈ C0∞ (RN ) e integrando, em ambos os lados, em RN , obtemos: Z Z −∆p uϕ dx + RN. V (x)|u|. p−2. uϕ dx =. RN. Z. h(u)ϕ dx.. (A.2). RN. Observemos que, Z. RN. −∆p uϕ dx =. Z. RN. −div(|∇u|p−2 ∇u)ϕ dx. N X ∂ p−2 ∂u |∇u| ϕ dx − = ∂x ∂x i i RN i=1 N Z X ∂ p−2 ∂u |∇u| ϕ dx. = − ∂x N ∂xi i R i=1 Z. (A.3). Usando a integra¸caõ por partes em (A.3) e do fato de ϕ ∈ C0∞ (RN ), obtemos −. N Z X i=1. RN. N Z X ∂ p−2 ∂u p−2 ∂u ∂ϕ |∇u| ϕ dx = dx |∇u| ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi RN i=1 Z |∇u|p−2 ∇u∇ϕ dx. =. (A.4). RN. Logo, substituindo (A.4) em (A.2), segue que: Z Z Z p−2 p−2 V (x)|u| uϕ dx = |∇u| ∇u∇ϕ dx + RN. RN. para todo ϕ ∈ C0∞ (RN ). Pelo Teorema 2.17, segue que Z Z Z p−2 p−2 |∇u| ∇u∇ϕ dx + V (x)|u| uϕ dx = RN. RN. h(u)ϕ dx RN. h(u)ϕ dx. RN. (A.5).

(118) 40. para toda ϕ ∈ W 1,p (RN ). Observe que (A.5) é satisfeita por fun¸co˜es u ∈ W 1,p (RN ) que possuem proprie-. dades bem mais fracas (isto é, menos restritivas) que as fun¸cões u ∈ C02 (RN ), que são solu¸co˜es de (A.1). Por isso, dizemos que (A.5) é a formula¸cão fraca para o problema (P )..

(119) B Estudo do Funcional Associado a (P) Definamos o seguinte funcional I : W 1,p (RN ) → R por Z Z 1 p p H(u) dx, (|∇u| + V (x)|u| ) dx − I(u) = p RN RN Z u h(s)ds. com H(u) = 0. Verifiquemos que I está bem definido. De fato, seja u ∈ W 1,p (RN ) e Z  1   |∇u|p dx, (I) I1 (u) = p   N  ZR  V (x)|u|p dx, (II) I2 (u) = p1  Z RN      I3 (u) = H(u) dx (III) RN. Como u ∈ W 1,p (RN ) logo,. Z. RN. |∇u|p dx < ∞.. Tomando o módulo em (II), temos:

(120) Z

(121) Z

(122) 1

(123) 1 p |I2 (u)| =

(124)

(125) V (x)|u| dx

(126)

(127) ≤ |V (x)||u|p dx p RN p RN. e como V (x) é limitado, segue que,

(128) Z

(129) Z

(130)

(131) 1

(132) V (x)|u|p dx

(133) ≤ 1 sup |V (x)||u|p dx

(134) p RN

(135) p RN Z 1 |u|p dx < ∞, sup |V (x)| = p RN onde a u ´ltima desigualdade segue das imersões cont´ınuas de Sobolev. Logo, Z 1 V (x)|u|p < ∞. p RN Observe em (III), que por (H3 ) temos:

(136) Z

(137)

(138) Z Z u

(139) Z

(140)

(141)

(142)

(143)

(144)

(145)

(146) h(t)dt dx

(147)

(148) ≤

(149) N H(u)dx

(150) =

(151) N R. R. 0. RN.

(152) Z

(153)

(154)

(155). u 0. Analisaremos os seguintes casos de u da equa¸caõ (B.1):.

(156)

(157) h(t)dt

(158)

(159) dx.. (B.1).

(160) 42. Caso (i): u ≥ 0 Pela condi¸caõ (H3 ) segue-se:

(161) Z u

(162) Z u Z

(163)

(164)

(165)

(166) h(t)dt

(167) ≤ |h(t)|dt ≤

(168) 0. 0. u 0. C (|t|p−1 + |t|q−1 )dt, para todo t ∈ R+ ,. assim, obtemos:.

(169) Z

(170)

(171)

(172). Logo,. Caso (ii): u < 0.

(173) Z

(174)

(175)

(176). u 0. u 0.

(177) Z

(178)

(179) h(t)dt

(180) ≤. u. C (tp−1 + tq−1 )dt 0 p

(181) u t tq

(182)

(183) = C + p q

(184) 0 p u uq ≤ C + p q p q ≤ C (u + u )..

(185)

(186) h(t)dt

(187)

(188) ≤ C (|u|p + |u|q ), para todo q ∈ (p, p∗ ).. Pela condi¸caõ (H3 ) segue-se:

(189)

(190) Z u

(191) Z 0

(192)

(193)

(194)

(195)

(196)

(197)

(198)

(199) h(t)dt

(200)

(201) h(t)dt

(202) =

(203) −

(204) u 0 Z 0 |h(t)|dt ≤ u Z 0 C (|t|p−1 + |t|q−1 )dt, para todo t ∈ R+ , ≤ u. assim, obtemos:

(205) Z

(206)

(207)

(208). Logo,

(209) Z

(210)

(211)

(212). u 0. u 0.

(213) Z

(214)

(215) h(t)dt

(216) ≤. 0. C (tp−1 + tq−1 )dt u p

(217) 0 t tq

(218)

(219) = C + p q

(220) u (−u)p (−u)q + ≤ C p q p ≤ C ((−u) + (−u)q )..

(221)

(222) h(t)dt

(223)

(224) ≤ C ((−u)p + (−u)q ) ≤ C (|u|p + |u|q ),. para todo q ∈ (p, p∗ ).. Portanto, dos casos (i) e (ii), segue que:

(225) Z u

(226)

(227)

(228)

(229)

(230) ≤ C (|u|p + |u|q ), para todo q ∈ (p, p∗ ). h(t)dt

(231)

(232) 0. (B.2).

(233) 43. De (B.1) e (B.2), temos,

(234) Z

(235)

(236)

(237).

(238) Z

(239)

(240) H(u)dx

(241) ≤ C. RN. p. RN. |u| dx +. Z. q. RN. |u| dx. . e pelas imersões cont´ınuas de Sobolev, obtemos

(242)

(243) Z

(244)

(245)

(246) < ∞.

(247) H(u)dx

(248)

(249) N R. A proposi¸cão a seguir é o principal resultado deste apêndice. Proposi¸c˜ ao B.1. O funcional I é de classe C 1 (W 1,p (RN ), R) em W 1,p (RN ), com derivada de Gâteaux dada por ′. hI (u), vi =. Z. (|∇u| RN. p−2. ∇u∇v + V (x)|u|. p−2. uv) dx −. Z. h(u)v dx. (B.3). RN. para todo u, v ∈ W 1,p (RN ). Para provar a proposi¸caõ acima, faremos uso dos três lemas a seguir. Lema B.1. O funcional I1 é de classe C 1 (W 1,p (RN ), R) em W 1,p (RN ), com derivada de Gâteaux dada por hI1′ (u), vi. =. Z. RN. |∇u|p−2 ∇u∇v dx.. (B.4). Demonstra¸ c˜ ao: Afirma¸ c˜ ao 1: O funcional I1 é Gâteuax diferenci´ avel. Sejam u, v ∈ W 1,p (RN ). Definamos a seguinte fun¸cão: ϕ : (0, 1) → R. 1 t 7→ ϕ(t) = |∇u + t∇v|p p. Observe que ϕ(t) é claramente cont´ınua e diferenciável em (0, 1). Por defini¸caõ, temos. N N X X ∂u ∂v ∇u = e ∇v = . ∂xi ∂xi i=1 i=1. Da´ı, pelas propriedades de somatório, tem-se: N N N N N X X X X ∂v ∂v ∂u X ∂v ∂u ∂u . +t = + = +t t ∇u + t∇v = ∂xi ∂xi ∂xi i=1 ∂xi ∂xi ∂xi i=1 i=1 i=1 i=1.

(250) 44. Desta forma, |∇u + t∇v| =. X N . ∂u ∂v +t ∂xi ∂xi. 2 21. X N . ∂v ∂u +t ∂xi ∂xi. 2 21 ·p. i=1. o que implica p. |∇u + t∇v| =. i=1. ,. .. 2 p2 N 1 X ∂u ∂v 1 +t . Logo, ϕ(t) = |∇u + t∇v| = p p i=1 ∂xi ∂xi Agora, derivando ϕ(t), obtemos: 2 p−2 X N X N N 2 1 p X ∂u ∂v ∂v ∂v ∂u ϕ (t) = · · +t +t · 2 p 2 i=1 ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi i=1 i=1 2 21 ·(p−2) X X N N N N X ∂v ∂v ∂v ∂u 1 X ∂u · +t +t ·2 = 2 i=1 ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi i=1 i=1 i=1 ′. = |∇u + t∇v|p−2 · (∇u + t∇v) · ∇v.. (B.5). Logo, ϕ(t) é diferenciável em (0, 1). Do fato de ϕ ser cont´ınua e diferenciável, temos pelo Teorema do Valor Médio que existe θ ∈ (0, t), onde θ = ct com 0 < c < 1 tal que: ϕ(t) − ϕ(0) = ϕ′ (θ)(t − 0) = ϕ′ (θ) · t. Assim, tem-se que: 1 1 |∇u + t∇v|p − |∇u|p = |∇u + ct∇v|p−2 · (∇u + ct∇v)∇v · t p p 1 1 p p = |∇u + ct∇v|p−2 · (∇u + ct∇v) · ∇v. |∇u + t∇v| − |∇u| t p Tomando o limite em t, quando t → 0, na expressão (B.6) obtemos: 1 |∇u + t∇v|p − |∇u|p = |∇u|p−2 ∇u∇v. lim t→0 t p. (B.6). (B.7). Por outro lado, tomando o módulo em (B.6), pela desigualdade triangular e como.

(251) 45. 0 < ct < 1 tem-se:

(252)

(253)

(254) 1 |∇u + t∇v|p − |∇u|p

(255)

(256)

(257) =

(258) t

(259) p ≤.

(260)

(261)

(262) |∇u + ct∇v|p−2 · (∇u + ct∇v) · ∇v

(263)

(264)

(265)

(266) |∇u + ∇v|p−2 · (∇u + ∇v) · ∇v