ga-aula02-vetores

Combinação Linear

 Dados n vetores v₁, v₂,..., v_n e n escalares

a₁, a₂,..., a_n

 o vetor v = a₁v₁ + a₂v₂+ ... + a_nv_n, é a

combinação linear dos vetores v₁, v₂,..., v_n com coeficientes a₁, a₂,...,a_n

Exemplo 2

 Como w=0=0u + 0v, dizemos que 0 é

combinação linear de u e v, com coeficientes zeros

Exemplo 3

 Observando a figura, podemos escrever:

Exemplo 4

 Observe que o vetor AC = AB + AD possui

a mesma direção que a diagonal AC

 Se | AB| = | AD|, este paralelogramo será

Exemplo 4

 Sabe-se que em um losango ABCD, a

bissetriz do ângulo BÂD contém a

diagonal AC. Assim, o vetor AC = AB+ AD também possui a mesma direção da

Exemplo 4

 Se | AB| ≠ | AD|, o vetor AC não possui a

mesma direção da bissetriz de BÂD. Para obter um vetor que possua a mesma

direção da bissetriz de BÂD basta usar o vetor v = tAB°+ tAD° , t є R*

Exemplo 5

Exemplo 5

 AG = AB + BC + CG Dizemos então que

AG é combinação linear dos vetores AB, BC e CG

 Como BC = AD e CG = AE, então:

AG = AB+ AD+ AE. Assim, podemos também dizer que AG é combinação linear dos vetores AB, AD e AE

Paralelismo

 Definição: Os vetores v₁, v₂, ..., v_n são

colineares (paralelos), se possuem

representantes em uma mesma reta. Neste caso indicamos v₁ // v₂// v₃//...// v_n

 No exemplo 1, temos v // w, e no exemplo

2 temos w // u e w // v, embora u e v não sejam paralelos

Paralelismo

 Definição: Os vetores v₁, v₂, ..., v_n são

colineares (paralelos), se possuem

representantes em uma mesma reta. Neste caso indicamos v₁ // v₂// v₃//...// v_n

 No exemplo 1, temos v // w, e no exemplo

2 temos w // u e w // v, embora u e v não sejam paralelos

Propriedade 1

 Os vetores u e v são paralelos se, e somente

se, podemos escrever um deles como combinação linear do outro.

 Prova: Considere os seguintes casos:

 1) u = 0 = v; u = tv, tєR

 2) u =0 e v ≠ 0; temos u = 0 v

 3) u ≠ 0 e v ≠ 0. Como u // v, temos uº = ± vº . Daí,

| u | uº = ± | u | (v /| v |) , ou seja, u = ±(| u |/| v |) v. Assim, se u e v têm mesmo sentido podemos

escrever u = (| u |/| v |) v. E se u e v têm sentidos contrários temos u = -(| u |/| v |) v

 Por outro lado, suponha que podemos

escrever u como combinação linear de v, ou seja, u = tv.

 Pela definição de produto de um número

real por vetor, temos que u e v têm a mesma direção, logo são paralelos.

Vetores Coplanares

 Os vetores v₁, v₂,..., v_n são coplanares, se

possuem representantes em um mesmo plano

 Observe que a colinearidade de vetores é

um caso particular da coplanaridade de vetores

 Nos exemplos de 1 a 4, os vetores

Exemplo 4

 Observe que o vetor AC = AB + AD possui

a mesma direção que a diagonal AC

 Se | AB| = | AD|, este paralelogramo será

Exemplo 5

Propriedade 1

 Os vetores u, v e w são coplanares se, e

somente se, podemos escrever um deles como combinação linear dos outros.

Caso 1

 Um deles sendo o vetor nulo, digamos

u = 0

Caso 2

 Dois deles são paralelos, digamos u // v e

v ≠ 0

Caso 3

 Quaisquer dois vetores não paralelos

 Considere a figura, onde α é um plano que

 Tomemos OA= v, OB= u e OC= w.

Tracemos pelo ponto C uma reta paralela ao vetor OB= u,

 que intercepta a reta OA no ponto P.

 Como OP // OA e PC //OB temos: w = mv

+ nu, m,n R

 Por outro lado, suponhamos que w = mv +

nu, n,m R. Assim, pela definição de

adição de vetores, temos que u, v e w são coplanares.

Dependência Linear

 Um Vetor: v é linearmente dependente,

se v = 0

 Dois vetores: u e v são linearmente

dependentes se eles são paralelos

 Três vetores: u, v e w são linearmente

Dependência Linear

 Mais de três vetores do espaço (R3 ), são sempre linearmente dependentes

 Quando os vetores do espaço não são

linearmente dependentes (LD), dizemos

Exemplo

 1)AB é ?

 2)AB+BC+CA é ?

 3)AD e AE são ?

Exemplo

 1)AB é LI

 2)AB+BC+CA é LD

 3)AD e AE são LI

Exemplo

 5)AB, AD e AE são ?

 6)AE, AB e DC são ?

 7)AB, AD e FF são ?

Exemplo

 5)AB, AD e AE são LI

 6)AE, AB e DC são LD

 7)AB, AD e FF são LD

Propriedades - 1

 Se um vetor v é LI, então dado u // v,

temos que existe um único escalar m tal que u=mv

 Como v é LI e u // v pela propriedade 1

de Paralelismo, temos que u=mv

Propriedades - 2

 Se dois vetores v₁ e v₂ são LI, então dado

v coplanar com v₁ e v₂, temos que existe um único par de escalares (m, n), tal que v = mv₁ + nv₂

Propriedade – 2 (prova)

 Como v, v₁ e v₂ são coplanares e, v₁ e v₂

são LI, temos pela prova da propriedade 1 de vetores coplanares, que v= mv₁ + nv₂

 Para mostrar que esses escalares são

únicos, suponha que existam m’e n’, tais que: v= m’v₁+ n’v₂

Propriedade – 2 (prova)

 Se m – m’≠ 0 , podemos escrever

v₁= (n-n’)/(m-m’) v₂

 Daí, v₁ // v₂, o que contradiz o fato de v₁ e

v₂ serem LI. Logo, m – m’ = 0 , m = m’

Propriedade - 3

 Se três vetores v₁, v₂ e v₃ são LI, então

dado um vetor v qualquer, temos que

existe único trio de escalares (m, n, p), tal que v = mv₁+ nv₂+ pv₃

Propriedade – 3 (Prova)

 Suponha que v₁, v₂ e v₃ são LI, temos

então os seguintes casos:

 1) v=0. Logo, v= 0v₁+0v₂+0v₃

 2) v paralelo a um dos vetores, digamos

Propriedade – 3 (Prova)

 3) v coplanar com dois dos vetores,

digamos v, v₁ e v₂ são coplanares. Assim, v=mv₁+nv₂ = mv₁+ nv₂+ 0v₃

 4) v não é coplanar com quaisquer dois

Propriedade – 3 (Prova)

 α é o plano paralelo

ao plano OA₁A₂

passando por ponto A

 B é o ponto de

interseção da reta OA₃ com o plano α

 Temos:v = OA = OB +

 Como OB // v₃ r e BA é coplanar com v₁ e

v₂, temos: OB=pv₃, BA=mv₁+nv₂

 Logo v=mv₁+nv₂+pv₃

 Para provar que estes escalares são

únicos usamos a mesma metodologia da prova da propriedade 2

Base – Coordenadas de Vetor

 Dado um vetor v LI, dizemos que { v } é

uma base para o conjunto de vetores

paralelos a v

 Dados dois vetores v₁ e v₂ LI, dizemos que

{ v₁, v₂ } é uma base para o conjunto de

Base – Coordenadas de Vetor

 Dados três vetores v₁, v₂ e v₃ LI, dizemos

que { v₁, v₂ , v₃ } é uma base para o

conjunto de vetores do espaço ( R3)

 Dizemos que uma base é ortogonal,

quando seus vetores são ortogonais quando comparados dois a dois

Base – Coordenadas de Vetor

 Dizemos que uma base é ortonormal, se

ela for ortogonal e seus vetores unitários

 Costumamos representar uma base

ortonormal por { i , j, k}

 Fixada uma base { v₁,v₂,v₃} do espaço, pela

propriedade 3 de Dependência linear, todo vetor v, temos v = mv₁+ nv₂+ pv₃, onde m, n e p são únicos

Base – Coordenadas de Vetor

 Dizemos que mv₁ , nv₂ e pv₃ são as

componentes de v na direção dos vetores v₁,

v₂ e v₃, respectivamente

 Os escalares m, n e p são as coordenadas de

v em relação à base {v₁, v₂ , v₃}

 Geralmente, representamos o vetor v através de

Exemplo

 Considere o cubo e fixemos a base

Exemplo

 AB =1AB+ 0AC+ 0AE, daí AB = (1,0,0)

Exemplo

 Podemos concluir então que, dada uma

base qualquer {v₁,v₂,v₃}, as coordenadas desses vetores em relação a esta base são: v₁= (1,0,0), v₂ =(0,1,0) e v₃= (0,0,1)

Exemplo

 2)AF =1AB+ 0AC+ 1AE, daí AF = (1,0,1).

Observe que se a base considerada for {AB,AE,AC}, temos AF = (1,1,0)

Exemplo 2

 Consideremos v = (-1,1,1) em relação base

{AB,AC,AE} do exemplo anterior. Assim, v = -AB + AC + AE = AH

 Analogamente ao que foi feito para o conjunto

dos vetores no espaço, podemos fazer para conjuntos de vetores coplanares e colineares. Assim, um vetor num conjunto de vetores

coplanares tem duas coordenadas e um vetor num conjunto de vetores colineares tem uma coordenada

Propriedade 1

 Seja {v₁, v₂, v₃} uma base do espaço.

Considere os vetores u, v e w, dados por suas coordenadas em relação a esta base

 1) Se u=(a₁, a₂ , a₃), v=(b₁, b₂ , b₃) e t є R

então:

a) u = v  a₁=b₁, a₂ =b₂ e a₃=b₃

b) u + v = ( a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃) c) t u = (t a₁, t a₂ , t a₃ )

Propriedade 1 (prova)

Propriedade 1 (prova)

 De maneira análoga podemos mostrar os

itens b) e c)

 Observe que os vetores u = (0, 0, 0) e v =

( b1, b2 , b3) são LD, visto que o vetor nulo pode é combinação linear de

Propriedade 2

 Sejam u = ( a₁, a₂ , a₃) e v = (b₁, b₂, b₃)

vetores não nulos, u e v são LD se, e somente se, existe um t є R tal que :

 a₁ = t b₁  a₂ = t b₂  a₃ = t b₃

Propriedade 2 (prova)

 Se u e v são LD, então u // v . Como v é

LI, podemos escrever: u = t v , ou seja,

 a₁ = t b₁  a₂ = t b₂  a₃ = t b₃

Propriedade 2 (prova)

 Por outro lado, se existe t є R , tal que  a₁ = t b₁

 a₂ = t b₂  a₃ = t b₃

 então u = t v . Logo u // v e portanto u e v

Propriedade 3

 Três vetores u=(a₁, a₂, a₃), v=(b₁, b₂, b₃) e

Propriedade 3

 Esta propriedades pode ser demonstrada

através de propriedades de determinantes

 Concluímos que se t não existe na

propriedade 2, ou se Delta é diferente de zero, na propriedade 3, temos que os

Exercícios

 Considere u = 2i –j +2k, v= 5i +5j -2k e

w =3i +6j

 Verifique se os vetores são LD em cada

um dos itens

 u

 u e v

Exercício

Exercícios

 Considere u = 2i –j +2k, v= 5i +5j -2k e

w =3i +6j

 Verifique se os vetores são LD em cada

um dos itens

 u -> LI

 u e v -> LI  0 -> LD

Exercício

Exercício

 Considere o prisma, no qual a base é um

hexágono regular – Verdadeiro ou Falso

 FM pode ser escrito como

combinação linear de FA,FE e GM

 GM e 2AH são coplanares  F=E+LM

Sistemas de Coordenadas

Cartesianas

 Um sistema de coordenadas cartesianas

no espaço é um conjunto formado por um ponto O e uma base { v₁, v₂, v₃} e denotado por {O, v₁, v₂, v₃}

Sistema de coordenadas

 O ponto O é chamado origem do

sistema e os eixos que passam por O e

tem as direções de v₁, v₂ e v₃,

respectivamente, são chamados de eixo

Sistema de coordenadas

 Considere um sistema de coordenadas

cartesianas {O, v₁, v₂, v₃} e

 seja P um ponto arbitrário do espaço

 Chamamos coordenadas do ponto P em

relação ao sistema {O, v₁, v₂, v₃}, as

coordenadas do vetor OP

 Se OP = (a₁, a₂ , a₃), então P=(a₁, a₂ , a₃).  Os números a₁, a₂ , a₃ são denominados

abscissa, ordenada e cota do ponto P,

Exemplo

Propriedade 1

 Considere um sistema de coordenadas

{O, v₁, v₂ , v₃}, v = (a, b, c), P(x₁, y₁, z₁) e Q(x₂ , y₂ , z₂ ):

Propriedade 1 (prova)

 Escrevemos o vetor QP como

combinação linear dos vetores OQ e OP

 QP=-OQ+OP

 QP=-(x₂ , y₂ , z₂ )+ (x₁, y₁, z₁)  QP=(x₁-x₂, y₁-y₂, z₁-z₂ )

Propriedade 2

Propriedade 2 (Prova)

 Utilizando a definição de soma de um

ponto com um vetor, temos que PA=v

 Assim, o vetor

Propriedade 3

 O ponto médio de PQ é o ponto M dado

por

Propriedade 3 (prova)

 Escrevendo OM=OQ+QM

 OM= OQ+1/2QP

 Representando os vetores OQ e QP

através de suas coordenadas, obtemos:

 OM=(x

Exemplo 2

 Considere o paralelogramo ABCD, onde

A=(1,0,2), B=(1,-1,2), C(0,2,-2)

 Devemos determinar as coordenadas dos

vetores AB e BC, do vértice D e do ponto médio de AB

Exemplo 2

 Aplicando as propriedades temos:  AB = (1 -1, -1 - 0, 2 - 2) = (0,-1,0)  BC = (-1,3,-4)

 D = A + AD = A + BC = (0,3,-2)  M=(1, -1/ 2, 2)