Estudo das propriedades termodinâmicas do DNA via coeficientes de wavelets.

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Estudo das Propriedades Termodinâmicas do

DNA via Coeficientes de Wavelets

Adelson de Brito Sales

Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Física

Programa de Pós-Graduação em Ciências - Física de Materiais

Ouro Preto 2017

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Adelson de Brito Sales

Estudo das Propriedades Termodinâmicas do

DNA via Coeficientes de Wavelets

Dissertação de mestrado apresentada ao Programa de Pósgraduação em Ciências -Física de Materiais da Universidade Federal de Ouro Preto como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Ciências.

Área de concentração: Física de Materiais

Orientador: Romuel Figueiredo Machado

Ouro Preto 2017

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Catalogação: www.sisbin.ufop.br S321e Sales, Adelson de Brito .

Estudo das propriedades termodinâmicas do DNA via coeficientes wavelets [manuscrito] / Adelson de Brito Sales. - 2017.

60f.: il.: color; tabs.

Orientador: Prof. Dr. Romuel Figueiredo Machado.

Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Ouro Preto. Instituto de Ciências Exatas e Biológicas. Departamento de Física. Programa de Pós-Graduação em Ciências.

Área de Concentração: Física de Materiais.

1. Física estatística. 2. Transição de fase. 3. Wavelets (Matematica). I. Machado, Romuel Figueiredo . II. Universidade Federal de Ouro Preto. III. Titulo.

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Dedico este trabalho a minha família, minha esposa, aos professores, e aos colegas de sala pelo apoio, carinho

e dedicação. A Universidade Federal de Ouro Preto -UFOP, por me proporcionar a titulação de Mestre.

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Agradecimentos

A Deus por tudo. Aos meus pais Sebastião de Brito Sales (in memorian) e Santa de Jesus Gonçalves de Brito, e aos meus irmãos Adilson de Brito Sales e Alequisônia de Brito Sales, por todo apoio e incentivo.

À Minha esposa Juliana que soube entender o motivo de minha ausência durante a execução desse trabalho.

Ao professor Dr. Romuel Figueiredo Machado (orientador) pela atenção, pelo conhe-cimento compartilhado durante todo o período de orientação e por acreditar que eu seria capaz de realizar mais esta etapa da minha vida acadêmica.

Aos professores Dr. Gerald Weber e Dr. Julio Cesar Siqueira Rocha, por terem aceito participar da banca e contribuir para minha formação.

A todos os professores do Departamento de Física que muito contribuíram para minha formação.

À secretaria do PPG - FIMAT na pessoa da Mariana, pela atenção e pelo apoio que me ofereceu em todos os momentos que por mim foi solicitada.

Aos colegas de curso pela convivência agradável. Aos amigos, pelo incentivo, e por estarem sempre dispostos a discutir sobre algo relacionado a este trabalho.

A CAPES pelo apoio financeiro.

A Universidade Federal de Ouro Preto, pela estrutura oferecida, possibilitando-me a obtenção do título de mestre.

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“Os que se encantam com a prática sem a ciência são como os timoneiros que entram no navio sem timão nem bússola, nunca tendo certeza do seu destino." (Leonardo da Vinci)

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Resumo

Nas últimas décadas diversos modelos foram propostos para descrever a molécula de DNA, dentre eles se destaca o modelo de Peyrard-Bishop (PB). Neste trabalho utilizamos o modelo PB para investigar a separação das tiras da molécula sob aquecimento, fenô-meno conhecido como desnaturação térmica do DNA. Como o hamiltoniano do modelo é unidimensional, a função de partição pode ser calculada via integral de transferência. A expansão das autofunções do operador integral de transferência em termos de wavelets (box-splines) permitiu-nos mapear o problema original em um problema de autovalores e autovetores generalizado. Neste trabalho mostramos ainda que os coeficientes wavelets utilizados na análise de multirresolução podem ser usados como ferramentas para a carac-terização da desnaturação térmica do DNA. Pode-se obter a temperatura de desnaturação observada em experimentos através do monitoramento dos parâmetros do modelo que des-crevem a interação de empilhamento e o efeito do solvente. Obtivemos o comportamento do estiramento médio, (< 𝑦 >), em função da temperatura (𝑇 ), para os diferentes parâ-metros investigados. O estiramento médio pode sofrer uma transição abrupta ou suave a depender da escolha dos parâmetros. Neste trabalho relacionou-se o caráter abrupto ou suave da transição com a singularidade nas autofunções do operador de transferên-cia. Para obter este resultado utilizamos os coeficientes de wavelets atravésda expansão

box-spline e da análise de multirresolução.

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Abstract

In the last decades several models have been proposed to describe the DNA molecule, among them the Peyrard-Bishop model (PB). In this work we use the PB model to inves-tigate the separation of the strips of the molecule under heating, a phenomenon known as DNA thermal denaturation . Since its Hamiltonian is onedimensional the partition function can be calculated through transfer integral technique. By expanding transfer operator’s eigenfunctions in terms of wvelets (bix-splines) we can map the original pro-blem into a propro-blem of generalized eigenvalues and eigenvectors. In this work, we show that the multiresolution analysis can be used as a tool for a characterization of the ther-mal denaturation of DNA. A denaturation temperature observed in experiments can be obtained by monitoring the model parameters describing a stacking interaction and sol-vent effect. We have obtained the average stretching <y> as a function of temperature T for the different investigated parameters. The average stretch can undergo an abrupt or smooth transition depending on the choice of parameters. In this work the abrupt or smooth character of the transition was related to a singularity in the transfer operator’s eigenfunctions. We have used the wavelet coefficients through the spline-box expansion and the multiresolution analysis to obtain these results.

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Lista de ilustrações

Figura 1 – A estrutura em dupla hélice do DNA em uma representação atômica completa (esquerda) e esquematicamente (à direita). Figura retirada da referência [1]. . . 15 Figura 2 – (a) Um exemplo de nucleotídeo do DNA. (b) Uma vista esquemática

de uma cadeia de nucleotídeos ao longo de uma fita de DNA. Figura retirada da referência [1]. . . 16 Figura 3 – Purinas e pirimidinas. Figura retirada da referência [2]. . . 16 Figura 4 – Estrutura detalhada do polímero de polinucleotídeos. Figura retirada

da referência [3]. . . 17 Figura 5 – Curvas de medidas experimentais da densidade de absorção óptica para

pares de homopolímeros em função da temperatura. Figura retirada da referência [4]. . . 19 Figura 6 – Esquema do modelo dinâmico simplificado para a dinâmica não-linear

do DNA. Figura retirada da referência [1]. . . 20 Figura 7 – Esquema do potencial de Morse. Potencial usado para simular as

liga-ções de hidrogênio. . . 21 Figura 8 – Esquema para o potencial de Morse combinado com o potencial

Sol-vente. Potencial usado para simular as ligações de hidrogênio. Figura retirada da referência [5]. . . 22 Figura 9 – Primeira autofunção do operador de transferência para dois valores de

temperatura: 300 𝐾(esquerda) e 400 𝐾(direita).Valores dos parâmetros para os potenciais são:𝐷 = 0.04 𝑒𝑉 ,𝑎 = 4.45 ˚𝐴−1,𝑘 = 0.02 𝑒𝑉 ˚𝐴−2,𝛼 = 0.35 ˚𝐴−1 e 𝜌 = 0.5 . . . . 30 Figura 10 – Separação média entre as bases em função da temperatura para dois

valores diferentes do parâmetro 𝜌 do potencial de empilhamento, sem considerar a interação das bases com o solvente. Valores dos outros parâmetros são: 𝐷 = 0.04 𝑒𝑉 , 𝑎 = 4.45 ˚𝐴−1, 𝑘 = 0.02 𝑒𝑉 ˚𝐴−2 e 𝛼 = 0.35 ˚𝐴−1 . . . 31

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Figura 11 – Separação média entre as bases em função da temperatura para dois valores diferentes do parâmetro 𝜌 do potencial de empilhamento, consi-derando a interação das bases com o solvente. Valores dos outros parâ-metros são: 𝐷 = 0.04 𝑒𝑉 , 𝑎 = 4.45 ˚𝐴−1, 𝑘 = 0.02 𝑒𝑉 ˚𝐴−2 e 𝛼 = 0.35 ˚𝐴−1 32 Figura 12 – Alongamento médio dos pares de base < 𝑦 > versus Temperatura 𝑇

variando o Parâmetro 𝜆𝑠 para o potencial anarmônico de empilhamento. 33

Figura 13 – Alongamento médio dos pares de base < 𝑦 > versus Temperatura 𝑇 variando o parâmetro 𝜌 para o potencial anarmônico de empilhamento 34 Figura 14 – Separação média dos pares de base < 𝑦 > em função da temperatura

para 𝜌 = 2.5 e vários valores de 𝜆𝑠 . . . 35

Figura 15 – Curvas do comportamento de < 𝑦 > com o aumento da temperatura para dois valores distintos de 𝜆𝑠 . . . 36

Figura 16 – Maior coeficiente de wavelet 𝑑2𝑙calculado segundo (43) para dois valores

diferentes do parâmetro de anarmonicidade 𝜌 do potencial de empilha-mento e sem interação com o solvente. Valores dos outros parâmetros são: 𝐷 = 0.04 𝑒𝑉 , 𝑎 = 4.45 ˚𝐴−1, 𝑘 = 0.02 𝑒𝑉 ˚𝐴−2 e 𝛼 = 0.35 ˚𝐴−1 . . . . 38 Figura 17 – Maior coeficiente de wavelet 𝑑2𝑙calculado segundo (43) para dois valores

diferentes do parâmetro de anarmonicidade 𝜌 do potencial de empilha-mento e com interação com o solvente. Valores dos outros parâmetros são: 𝐷 = 0.04 𝑒𝑉 , 𝑎 = 4.45 ˚𝐴−1, 𝑘 = 0.02 𝑒𝑉 ˚𝐴−2 e 𝛼 = 0.35 ˚𝐴−1 . . . . 39 Figura 18 – Comportamento dos coeficientes wavelets máximos em função da

tem-peratura. . . 40 Figura 19 – Comportamento dos coeficientes wavelets máximos em função da

tem-peratura. . . 40 Figura 20 – Comportamento dos coeficientes wavelets máximos em função da

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Lista de tabelas

Tabela 1 – Parâmetros Utilizados e seus respectivos valores . . . 32 Tabela 2 – Avaliação quantitativa da temperatura média de desnaturação térmica

𝑇𝑚, através do modelo com interação do solvente e potencial

anarmô-nico para diferentes valores de 𝜆𝑠. . . 33

Tabela 3 – Avaliação quantitativa da temperatura média de desnaturação térmica para diferentes valores de 𝜌 e 𝜆𝑠= 0.1 𝑛𝑚 . . . . 34

Tabela 4 – Dados equivalentes à temperatura média de desnaturação do DNA . . 37 Tabela 5 – Coeficientes 𝑔[𝑛] para o modelo AM. . . . 37

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Sumário

1 INTRODUÇÃO . . . . 13

2 REFERENCIAL TEÓRICO . . . . 15

2.1 Aspectos Estruturais da Molécula de DNA . . . 15

2.2 Desnaturação Térmica . . . 18

2.3 O Modelo de Peyrard-Bishop . . . 19

3 INTEGRAL DE TRANSFERÊNCIA E WAVELETS . . . . . 23

3.1 Integral de Transferência . . . 23

3.2 Wavelets . . . 26

4 RESULTADOS . . . . 28

4.1 Autofunções . . . 28

4.2 Desnaturação térmica do DNA . . . 31

4.3 Coeficientes Wavelets . . . 37

5 CONCLUSÃO E PERSPECTIVAS FUTURAS . . . . 42

REFERÊNCIAS . . . . 43

APÊNDICES

46

APÊNDICE A – PROGRAMA PRINCIPAL . . . . 47

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13

Capítulo

1

Introdução

A molécula do DNA não é um objeto de estudo exclusivo dos biólogos, ela tem des-pertado o interesse de físicos, químicos, biofísicos dentre outros cientistas, devido a sua complexidade. Ela é a portadora de toda a nossa informação genética, e a responsável pelo desenvolvimento e funcionamento de todos os organismos vivos [6]. A descoberta da sua estrutura em dupla hélice foi realizada por um biólogo (Watson), dois físicos (Crick e Wilkins), e uma físico-química (Franklin) em 1953 [7, 8]. Estudos acerca da estrutura, estabilidade termodinâmica, dinâmica de mudanças conformacionais, dentre outros tem crescido exponencialmente, e o conhecimento acerca dessa molécula tão complexa tem impulsionado o desenvolvimento da indústria de biotecnologia e bioinformática [9]. Na nanotecnologia, O DNA tem sido objeto de estudo cada vez mais importante pela sua propriedade de automontagem [10], no desenvolvimento de nanodispositivos [11] e ainda para projetar memórias moleculares [12].

Neste trabalho estamos interessados na desnaturação térmica da molécula de DNA que consiste na separação das suas duas tiras sob aquecimento. Esse fenômeno ocorre quando a temperatura passa de um certo valor crítico 𝑇𝑚[13]. Esta temperatura é conhecida como

temperatura de melting e depende da composição dos pares de base. Sequências ricas em pares A-T tendem a ter uma temperatura de melting inferior à de sequências ricas em C-G, devido às diferenças nas ligações de hidrogênio [14, 15]. As aplicações biológicas do estudo do DNA na produção de sondas [16, 17], gene arrays [18, 19] e sequenciamento de DNA por reação de polimerase em cadeia (Polymerase Chain Reaction ou PCR) [20, 21], po-limorfismos de nucleotídeo único (single nucleotide polymorphisms ou SNP) [22], exigem um conhecimento preciso desta temperatura. Portanto cientistas experimentais e teóricos têm sido fascinados pelo fenômeno da desnaturação térmica do DNA desde a descoberta da sua estrutura em 1953 [23]. Experimentalmente, a temperatura de desnaturação 𝑇𝑚

é determinada por absorção óptica no ultra-violeta (UV). À medida que a temperatura aumenta as ligações de hidrogênio são rompidas e aumenta a absorção por UV [24], fenômeno observado em 1964 por Inman e Baldwin na faixa de temperatura entre 74∘C e 76∘_{C [4]. A transição observada era do tipo abrupta e desde então tornou-se um alvo}

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Capítulo 1. Introdução 14

para ser descrito por modelos teóricos.

Um dos modelos mais utilizados é o de Peyrard–Bishop (PB), proposto em 1989 para estudar a desnaturação térmica da molécula de DNA através da mecânica estatística [23]. O modelo-PB original fornece uma boa descrição da desnaturação térmica do DNA [1], entretanto a curva da transição de fase, que fornece o comportamento do parâmetro de ordem em função da temperatura, não é tão abrupta quanto a observada experimental-mente [25, 4]. Portanto diferentes mudanças neste modelo foram propostas com o intuito de melhorar a descrição da transição de fase da molécula de DNA. Uma delas foi a modifi-cação do potencial de interação de empilhamento [26], e outra foi a mudança do potencial de interação do solvente com as bases [5]. É importante ressaltar que o modelo PB não faz boa descrição de propriedades mecânicas tais como a flexibilidade microscópica do DNA.

Como o modelo PB é unidimensional a sua função de partição pode ser obtida através da técnica do operador integral de transferência [27]. A técnica (IT) consiste em encon-trar o maior autovalor e a autofunção associada de uma equação integral de Fredholm homogênea de segunda espécie, cujo núcleo pode ser expresso como uma expansão finita de núcleos separáveis, graças à forma do hamiltoniano de Peyrard-Bishop [23].

Neste trabalho utilizaremos wavelets para expandir as autofunções do operador inte-gral de transferência. Os coeficientes de wavelets, que serão utilizados como uma ferra-menta para monitorar a desnaturação térmica do DNA, podem ser obtidos através da análise de multirresolução. Verificaremos a eficiência deste método do ponto de vista nu-mérico, e sua capacidade de quantificar a localização das autofunções, que é o ingrediente principal na distinção entre transições suaves e abruptas.

No capítulo 2, apresentamos uma breve descrição da molécula de DNA, ressaltando seus aspectos estruturais, e o fenômeno da desnaturação térmica. Introduzimos também o modelo Peyrard-Bishop. No capítulo 3 tratamos da técnica da integral de transferência que foi utilizada neste trabalho para calcular a função de partição. Nesse capítulo discu-timos alguns conceitos básicos sobre wavelete e a transformada de wavelets. No capítulo 4 mostramos como as wavelets podem ser usadas na solução do modelo Peyrard-Bishop principalmente na caracterização da desnaturação térmica . As conclusões e perspectivas futuras são apresentadas no capítulo 5.

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15

Capítulo

2

Referencial Teórico

2.1 Aspectos Estruturais da Molécula de DNA

A molécula de DNA consiste de cadeias polinucleotídicas enroladas uma ao redor da outra formando uma estrutura de dupla hélice como mostra a figura 1 abaixo.

Figura 1 – A estrutura em dupla hélice do DNA em uma representação atômica completa (esquerda) e esquematicamente (à direita). Figura retirada da referência [1].

O modelo de preenchimento para a dupla hélice, na segunda figura, mostra os com-ponentes da molécula e suas posições relativas na estrutura helicoidal. Cada um dos monômeros que constituem a estrutura destes polímeros é um nucleotídeo que é com-posto de três elementos: um grupo fosfato 𝑃 𝑂−4, um anel de açúcar, isto é, um átomo cíclico de cinco grupos, e uma base que é um grupo orgânico complexo que pode ter um ou dois ciclos [1]. A espinha dorsal da molécula é formada por uma sequência de grupos fosfatos e açúcares, e esta é orientada, pois de um lado o açúcar do grupo fosfato é ligado a um átomo de carbono que não pertence ao anel do açúcar, enquanto no outro lado este é ligado a um átomo de carbono que faz parte de um anel de açúcar como mostrado na figura 2.

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Capítulo 2. Referencial Teórico 16

Figura 2 – (a) Um exemplo de nucleotídeo do DNA. (b) Uma vista esquemática de uma cadeia de nucleotídeos ao longo de uma fita de DNA. Figura retirada da refe-rência [1].

As bases no DNA são complexos orgânicos que se dividem em duas classes, purinas e pirimidinas [3]. As pirimidinas (citosina e timina) apresentam um anel, enquanto que as purinas (guanina e adenina) são derivadas de uma estrutura de anel duplo como estão mostradas na figura 3.

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Figura 4 – Estrutura detalhada do polímero de polinucleotídeos. Figura retirada da refe-rência [3].

Uma propriedade importante que levou à descoberta da dupla hélice do DNA é que as bases em cadeias diferentes tendem a se unir em pares através de pontes de hidrogênio. Somente dois tipos de emparelhamento são permitidos: A-T (Adenina-Timina) que são ligadas por duas pontes de hidrogênio e G-C (Guanina-Citosina) ligadas por três pontes de hidrogênio. Deve-se ter em mente que as pontes de hidrogênio são ligações frágeis quando comparadas às ligações covalentes nas fitas. Uma típica ligação covalente C-C, tem um comprimento de 1.45 Å, energia de 3.6 eV e pode ser alongada de 0.1 Åcom um custo de 0,14 eV. Por outro lado, uma típica ligação de hidrogênio, semelhante a uma ligação entre dois oxigênios em O-H...O, tem um comprimento de 2.75 Å, e uma energia de somente 0.3 eV a 0.26 eV, e pode ser alongada de 0.1 Å, gastando somente 0.004 eV.

As interações entre bases vizinhas ao longo de uma mesma cadeia tendem a formar uma pilha compacta devido à sobreposição das funções de onda de elétrons 𝜋 dos anéis das bases e a forças hidrofóbicas que impõem um alto custo energético à penetração da água entre as bases. Chamamos o efeito combinado dessas duas interações de interação de empilhamento (stacking interaction). Essa interação impõe uma distância bem definida

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entre a base e o eixo da hélice, dando origem a uma elevada rigidez da molécula ao longo do mesmo. Essa rigidez e o comprimento relativamente grande da fita faz com que uma estrutura em que os planos de bases vizinhas estejam rotacionados um relação ao outro produza um agrupamento mais compacto do que o caso em que planos sucessivos são simplesmente paralelos um ao outro. Esse deslocamento angular entre planos de bases sucessivas de 36∘ faz com que a molécula de DNA apresente uma periodicidade de dez pares de base a cada volta da hélice. No entanto, esses argumentos não são suficientes para determinar detalhes da estrutura, como por exemplo se a hélice é voltada à esquerda ou à direita (B-DNA). Na verdade ambas as situações podem ocorrer, mas a estrutura mais comum é a hélice à direita. Vale ressaltar que energias de empilhamento são altamente dependente das sequências de bases. Portanto, a estrutura helicoidal do DNA é uma consequência direta da geometria dos grupos e de suas interações.

2.2 Desnaturação Térmica

A separação das fitas da molécula de DNA, denominada desnaturação térmica, pode ocorrer quando a solução de DNA é aquecida acima de temperaturas fisiológicas (próximo a 100∘C) ou sob condições de pH elevado [3]. Todavia, a separação completa das fitas do DNA por desnaturação é um processo reversível, pois quando soluções aquecidas de DNA desnaturado são resfriadas lentamente, as fitas simples frequentemente encontram suas fitas complementares e restauram as duplas hélices regulares. Isso permite formar moléculas de DNA artificiais híbridas, fenômeno conhecido como hibridização.

A temperatura de desnaturação do DNA 𝑇𝑚 é característica para cada molécula e

é determinada, em grande parte, pelo seu conteúdo de pares G-C: quanto maior for este, maior será a temperatura na qual o DNA irá desnaturar. Como o DNA pode ser sintetizado é possível estudar homopolímeros, isto é, moléculas com somente um tipo de par [28]. Experimentalmente, a desnaturação térmica é detectada por um salto na curva de absorção de radiação ultravioleta em função da temperatura. Em 1964, Inman e Baldwin [4] obtiveram experimentalmente medidas da densidade óptica em função da temperatura para pares de homopolímeros, como mostra a figura 5.

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Figura 5 – Curvas de medidas experimentais da densidade de absorção óptica para pares de homopolímeros em função da temperatura. Figura retirada da referência [4].

Resultados típicos que indicam que a transição de fase é muito abrupta. Entretanto, a análise teórica encontra uma desnaturação que se estende ao longo de uma faixa de tem-peratura de 0.6𝑇𝑚 < 𝑇 < 𝑇𝑚 [28]. É importante ressaltar que o processo de desnaturação

do DNA é influenciado tanto por fatores internos relacionados a propriedades da cadeia, bem como por fatores externos tais como concentração de sais (força iônica) e pH, dentre outros [29].

2.3 O Modelo de Peyrard-Bishop

Modelos do tipo Peyrard-Bishop (modelos PB daqui em diante) simplificam a geo-metria da dupla hélice de DNA assumindo que as duas cadeias entrelaçadas podem ser descritas por uma única cadeia unidimensional. Cada par de base é representado como uma massa puntual nessa cadeia.

A interação entre as duas bases vizinhas na mesma cadeia é descrita por um potencial de empilhamento. A interação entre as duas bases de um par de bases (em cadeias opostas) é descrita pelo potencial de Morse, que leva em conta as ligações de hidrogênio, a repulsão dos grupos fosfato, bem como o solvente circundante. Um esquema deste modelo é apresentado na Figura- 6.

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Figura 6 – Esquema do modelo dinâmico simplificado para a dinâmica não-linear do DNA. Figura retirada da referência [1].

Os deslocamentos transversais dos nucleotídeos em relação à posição de equilíbrio são denotados 𝑦𝑛, sendo 𝑛 o enésimo par de bases. Um valor negativo de 𝑦𝑛 corresponde a

uma compressão da ligação entre as duas bases, enquanto que um valor positivo corres-ponde a uma distensão da mesma ligação. O modelo de Peyrard-Bishop (PB) é portanto unidimensional e é decrito pelo Hamiltoniano:

H =∑︁

n

Pn2

2m + W (yn, yn−1) + V (yn) (1)

onde 𝑝𝑛 = 𝑚𝑑𝑦_𝑑𝑡𝑛, 𝑚 é a massa reduzida de um par de base.

O potencial 𝑊 (𝑦𝑛, 𝑦𝑛−1) descreve a interação de empilhamento entre as bases

adja-centes ao longo da molécula do DNA descrita anteriormente. A expressão mais simples para 𝑊 (𝑦𝑛, 𝑦𝑛−1) é dada por

W (yn, yn−1) =

k

2(yn− yn−1)

2 ₍₂₎

que é válida para pequenos deslocamentos em relação à posição de equilíbrio em que

𝑦𝑛= 𝑦𝑛−1.

Essa aproximação harmônica seria boa se a interação de empilhamento (staking) fosse forte o suficiente para manter 𝑦𝑛 perto de 𝑦𝑛−1 em todos os momentos, o que não é

ver-dadeiro para o DNA, mas a aproximação harmônica permite cálculos mais fáceis, e é suficiente para obter alguns resultados interessantes, que estão de acordo com algumas observações experimentais [1, 30]. Como já discutido anteriormente, uma grande contri-buição para a interação de empilhamento vem da interação entre elétrons 𝜋 nos planos das bases [1, 28]. A redistribuição dos elétrons 𝜋 que ocorre quando ligações de hidrogênio são quebradas também contribui para este efeito.

(22)

Esta especificidade da interação de empilhamento pode ser melhor descrita através do modelo PBD (Peyrard-Bishop-Dauxois) [31] em que o potencial 𝑊 (𝑦𝑛, 𝑦𝑛−1) é dado por

𝑊 (𝑦𝑛, 𝑦𝑛−1) =

𝑘

2[1 + 𝜌𝑒

−𝛼(𝑦𝑛+𝑦𝑛−1)_](𝑦2

𝑛− 2𝑦𝑛𝑦𝑛−1𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑦𝑛−12 ) (3)

O potencial acima descreve o empilhamento anarmônico dos pares de base do DNA, onde

𝜌 e 𝛼 são parâmetros de ajuste do modelo. Nessa versão do potencial 𝑊 (𝑦𝑛, 𝑦𝑛−1) leva-se

em conta a redução da interação de empilhamento devido à abertura de um ou mais pares de base através do termo 𝜌𝑒−𝛼(𝑦𝑛+𝑦𝑛−1)_{[32, 30, 33].}

O potencial 𝑉 (𝑦𝑛), presente no Hamiltoniano do modelo, é denominado potencial de

Morse, e é dado por

𝑉 (𝑦𝑛) = 𝐷(𝑒−𝑎𝑦𝑛− 1)2, (4)

onde 𝐷 é o parâmetro que descreve a energia de dissociação do par de base e o inverso do parâmetro 𝑎 determina o alcance do potencial. Este potencial descreve a interação entre dois pares de base (pontes de hidrogênio), sua representação gráfica é apresentada na Figura- 7 abaixo.

Figura 7 – Esquema do potencial de Morse. Potencial usado para simular as ligações de hidrogênio.

(23)

Para o estudo da desnaturação térmica, o potencial de Morse é escolhido devido a sua aplicação na descrição de ligações químicas. Além disso, ele possui características inte-ressantes para o estudo desse tipo de sistema. Como mostrado na figura 7, esse potencial possui uma parte altamente repulsiva quando 𝑦𝑛 < 0. Essa característica corresponde ao

impedimento estérico que ocorre quando dois pares de bases sofrem compressão e se apro-ximam demais. No caso oposto, para altos valores de 𝑦𝑛, o potencial se torna constante

possibilitando grande separação entre os pares de bases quando o sistema adquire ener-gia suficiente para superar a barreira de potencial, o que causa a dissociação completa desses pares. Por fim, em 𝑦𝑛= 0, esse potencial apresenta um mínimo que representa a

separação de equilíbrio das bases [1].

Uma variante desse potencial [5] que descreve a interação das bases com o solvente e simula a formação das ligações de hidrogênio com o mesmo é dado por:

V (yn) = D(e−ayn − 1 )2 − fsD[tanh

(︂y

n

𝜆s

)︂

− 1 ]. (5)

O primeiro termo da equação acima é o potencial de Morse descrito anteriormente, já o segundo termo é o potencial solvente, e a combinação dos dois dá origem a uma barreira de altura e largura da ordem de 𝑓𝑠𝐷 e 𝜆𝑠 respectivamente. O potencial solvente simula a

formação de pontes de hidrogênio entre as bases e o solvente quando o comprimento das pontes entre as bases se torna muito maior que 𝜆𝑠. A quantidade 𝑓𝑠𝐷 representa o custo

energético deste processo.

Figura 8 – Esquema para o potencial de Morse combinado com o potencial Solvente. Potencial usado para simular as ligações de hidrogênio. Figura retirada da referência [5].

(24)

23

Capítulo

3

Integral de Transferência e Wavelets

3.1 Integral de Transferência

Nesta seção, mostraremos como a técnica do operador integral de transferência (IT) [34] pode ser usada no cálculo da função de partição canônica para modelos tipo PB que é dada por 𝑍 = ∫︁ ∏︁ 𝑖 exp[−𝛽𝐻(𝑝𝑖, 𝑦𝑖)]𝑑𝑝𝑖𝑑𝑦𝑖 (6) Onde 𝛽 = _𝑘1

𝐵𝑇 e condições periódicas de contorno são assumidas, isto é, 𝑦𝑁 +1 = 𝑦1 [34].

Integrando nos momentos, obtemos

𝑍 = ( √︁ 2𝜋𝑚𝑘𝐵𝑇 )𝑁𝑍𝑦 (7) com 𝑍𝑦 = ∫︁ 𝑑𝑦1𝑑𝑦2... 𝑑𝑦𝑛𝐾(𝑦1, 𝑦2)𝐾(𝑦2, 𝑦3) ... 𝐾(𝑦𝑛, 𝑦1) (8) e 𝐾(𝑦𝑖, 𝑦𝑖+1) = exp(−𝛽{𝑊 (𝑦𝑖, 𝑦𝑖+1)) + 1 2[𝑉 (𝑦𝑖) + 𝑉 (𝑦𝑖+1)]}) (9) que é o operador de transferência cujos autovalores 𝜆 e autofunções 𝜙(𝑥) são relacionados por ∫︁ +∞ −∞ 𝐾(𝑥, 𝑦)𝜙(𝑦)𝑑𝑦 = 𝜆𝜙(𝑥) (10) Se impusermos a condição ‖K (x, y)‖ ≡ ( ∫︁ ∫︁ [K (x, y)]2dx dy)12 < ∞, (11)

as autofunções satisfazem as condições de ortogonalidade:

∫︁ 𝜙𝑛(𝑥)𝜙𝑚(𝑥)𝑑𝑥 = 𝛿𝑛𝑚 (12) e +∞ ∑︁ −∞ 𝜙𝑛(𝑥)𝜙𝑛(𝑦) = 𝛿(𝑥 − 𝑦) (13)

(25)

Capítulo 3. Integral de Transferência e Wavelets 24

Dizemos nesse caso que o núcleo 𝐾(𝑥, 𝑦) é do tipo Hilbert-Schmidt [35]. Essas condições nos permitem expressar 𝐾(𝑥, 𝑦) como

𝐾(𝑥, 𝑦) =∑︁

𝑛

𝜆𝑛𝜙𝑛(𝑥)𝜙𝑛(𝑦) (14)

De (14), temos então para a função de partição

𝑍𝑦 = ∫︁ 𝑑𝑦1𝑑𝑦2... 𝑑𝑦𝑛 ∑︁ 𝑛 𝜆𝑛𝜙𝑛(𝑦1)𝜙𝑛(𝑦2) ∑︁ 𝑚 𝜆𝑚𝜙𝑚(𝑦2)𝜙𝑚(𝑦3) · · · ∑︁ 𝑝 𝜆𝑝𝜙𝑝(𝑦𝑁)𝜙𝑝(𝑦1) (15) Usando (12) obtemos 𝑍𝑦 = ∑︁ 𝑛 ∑︁ 𝑚 · · ·∑︁ 𝑞 ∑︁ 𝑝 𝜆𝑛𝜆𝑚· · · 𝜆𝑞𝜆𝑝𝛿𝑛𝑝𝛿𝑛𝑚· · · 𝛿𝑞𝑝. (16) e finalmente Zy = +∞ ∑︁ −∞ 𝜆N_n. (17)

Se ordenarmos os autovalores em ordem decrescente, no limite 𝑁 → ∞ a função de partição 𝑍𝑦 é dada simplesmente por

𝑍𝑦 = 𝜆𝑁1 . (18)

A partir da função de partição dada por (18) pode se obter algumas propriedades termodinâmicas para a molécula de DNA, tais como: Energia livre, 𝐹 , entropia, 𝑆 e calor específico. 𝐶𝑝: F = −kBTN ln 𝜆1 (19) S = − (︃ 𝜕𝐹 𝜕𝑇 )︃ 𝜆 (20) Cp = − T 𝜕2_F 𝜕T2 . (21)

Uma quantidade importante na descrição da desnaturação térmica é a separação média do 𝑗-ésimo par de base

¯ 𝑦𝑗 = 1 𝑍 ∫︁ 𝑦𝑗 ∏︁ 𝑖 exp[−𝛽𝐻(𝑝𝑖, 𝑦𝑖)]𝑑𝑝𝑖𝑑𝑦𝑖 = 1 𝑍𝑦 ∫︁ 𝑑𝑦1𝑑𝑦2... 𝑑𝑦𝑛𝑦𝑗𝐾(𝑦1, 𝑦2)𝐾(𝑦2, 𝑦3) ... 𝐾(𝑦𝑛, 𝑦1) (22) que se reduz a ¯ 𝑦𝑗 = 1 𝑍𝑦 ∑︁ 𝑛 𝜆𝑁_𝑛 ∫︁ 𝑦𝜙2_𝑛(𝑦)𝑑𝑦 (23) e é dada por ¯ 𝑦𝑗 = ¯𝑦 = ∫︁ 𝑦𝜙2₁(𝑦)𝑑𝑦 (24)

(26)

no limite 𝑁 → ∞. Observe que ¯𝑦 não depende de 𝑗 porque estamos tratando com

homopolímeros, isto é, os parâmetros que caracterizam os potenciais do hamiltoniano não variam ao longo da cadeia.

Precisamos determinar o maior autovalor 𝜆1 para o cálculo das propriedades

termodi-nâmicas a partir de (18) e as respectivas autofunções 𝜙1(𝑦) para o cálculo da separação

média, isto é, precisamos resolver a equação integral em (10). Se adotarmos um esquema gaussiano de integração numérica com 𝑀 pesos 𝑟𝑖 e abscissas 𝑥𝑖 [35], de (10) temos

𝑀 ∑︁ 𝑗=1 𝑟𝑗𝐾(𝑥𝑖, 𝑥𝑗)𝜑(𝑥𝑗) = 𝜆𝜑(𝑥𝑖) (25) ou na forma matricial KR𝜑 = 𝜆𝜑 (26)

onde K e R são matrizes 𝑀 × 𝑀 com elementos K𝑖𝑗 = 𝐾(𝑥𝑖, 𝑥𝑗) e R𝑖𝑗 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑟𝑖)

respectivamente e 𝜑 é uma matriz 𝑀 × 1 com elementos 𝜑𝑖 = 𝜙(𝑥𝑖). Temos então um

problema de autovalor e autovetor para a matriz KR que não é simétrica. Multiplicando os dois lados de (26) pela matriz R1/2 _{= 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑟}1/2

𝑖 ) obtemos

AΦ = 𝜆Φ (27)

com A = R1/2KR1/2_{simétrica e Φ = R}1/2_{𝜑. Podemos obter 𝜆 e Φ pelas técnica numéricas}

padrões e as autofunções avaliadas nas abscissas através de

𝜙𝑛(𝑥𝑖) = 𝑟 −1/2 𝑖 Φ 𝑖 𝑛, (28) Onde Φ𝑖

𝑛 é a componente 𝑖 do autovetor 𝑛 de A. Podemos expressar a separação média

¯

𝑦 em função das componentes Φ𝑖

𝑛 através de (24) como ¯ 𝑦 = 𝑀 ∑︁ 𝑖=1 𝑟𝑖𝑥𝑖𝜙1(𝑥𝑖)2 = 𝑀 ∑︁ 𝑖=1 𝑥𝑖(Φ𝑖1) 2 ₍₂₉₎

Uma vez que já obtivemos a função de partição do nosso sistema pela técnica de integral de transferência e a partir dela determinamos as propriedades termodinâmicas, podemos então avaliar o caráter da transição de fase em cada uma dessas propriedades para a molécula de DNA. Na próxima seção deste trabalho iremos mostrar uma ferramenta matemática utilizada neste para expandir as autofunções obtidos também pela técnica (IT), uma vez que a transição de fase pode ser caracterizada pela localização espacial dessas autofunções.

(27)

3.2 Wavelets

Uma wavelet (ondaleta) é uma função 𝜓 ∈ L2(ℜ) com valor médio nulo, isto é,

∫︁ +∞

−∞

𝜓(𝑡)𝑑𝑡 = 0 (30)

Além disso 𝜓 é normalizada (‖𝜓‖= 1) e centrada na vizinhança de 𝑡 = 0. Por meio de translações e dilatações de 𝜓 obtemos uma família de átomos tempo-frequência

𝜓𝑢,𝑠= 1 √ 𝑠𝜓( 𝑡 − 𝑢 𝑠 ) (31)

A transformada wavelet de 𝑓 ∈ L2(ℜ) no tempo 𝑢 e escala 𝑠 é

𝑊 𝑓 (𝑢, 𝑠) =< 𝑓, 𝜓𝑢,𝑠 >= ∫︁ +∞ −∞ 𝑓 (𝑡)√1 𝑠𝜓 * (𝑡 − 𝑢 𝑠 )𝑑𝑡. (32)

Qualquer função 𝑓 ∈ L2(ℜ) satisfaz

𝑓 (𝑡) = 1 𝐶𝜓 ∫︁ +∞ 0 ∫︁ +∞ −∞ 𝑊 𝑓 (𝑢, 𝑠)√1 𝑠𝜓( 𝑡 − 𝑢 𝑠 )𝑑𝑢 𝑑𝑠 𝑠2 (33) se 𝐶𝜓 = ∫︁ +∞ 0 | ^𝜓(𝜔)|2 𝜔 𝑑𝜔 < ∞, (34)

onde ^𝜓(𝜔) é a transformada de Fourier de uma função 𝜓 ∈ L2_{(ℜ) [36]. Se 𝑊 𝑓 (𝑢, 𝑠)}

é conhecida apenas para 𝑠 < 𝑠0, para recuperar a função precisamos de informações

complementares correspondentes a 𝑊 𝑓 (𝑢, 𝑠) para 𝑠 > 𝑠0. Essa informação é fornecida

pela função de escala 𝜑 cuja transformada de Fourier ^𝜑(𝜔) satisfaz

| ^𝜑(𝜔)|2 =

∫︁ ∞

1

| ^𝜓(𝑠𝜔)|2𝑑𝑠

𝑠 (35)

A aproximação de baixa frequência para 𝑓 na escala 𝑠 é

𝐿𝑓 (𝑢, 𝑠) =< 𝑓 (𝑡),√1

𝑠𝜑( 𝑡 − 𝑢

𝑠 ) > (36)

As transformadas de wavelet definidas acima são ferramentas essenciais para efetu-armos uma análise de multiresoluçao de um sinal 𝑓 (𝑥). O primeiro passo consiste em escrever 𝑓 (𝑥) como 𝑓 (𝑥) =∑︁ 𝑖 𝑎l [𝑖] 𝜑 𝑖l(𝑥), (37) onde 𝑎l [𝑖] = ⟨𝑓(𝑥)𝜑𝑖l(𝑥)⟩ = ∫︁ +∞ −∞ 𝑓 (𝑥)𝜑𝑖l(𝑥)𝑑𝑥 (38) e 𝜑il(x) = 1 √ 𝑙𝜑 (︃ x − il l )︃ , (39)

(28)

que é a contração por um fator de 𝑙 seguida por uma translação de um fator de 𝑖𝑙 de uma função 𝜑(𝑥) de suporte compacto (nulo fora de um intervalo [𝑥𝑎, 𝑥𝑏]). Funções deste

tipo são obtidas por 𝑝 − 1 convoluções da função1[0,1] consigo mesma. Uma convolução

(𝑝 = 2) fornece a função 𝜑(𝑥) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 𝑥 + 1, se −1 < 𝑥 < 0 1 − 𝑥, se 0 < 𝑥 < 1 0, caso contrário (40)

O conjunto {𝜑𝑖2𝑙(𝑥)}𝑖∈𝑍 forma um conjunto de bases ortonormais para L2(R). Quando

mudamos a resolução de l para 2l os novos coeficientes serão

𝑎_{2l [𝑖] =} ∞ ∑︁ 𝑛=−∞𝑎l [𝑛] ℎ [𝑛 − 2𝑖] (41) com ℎ [𝑛] = √1 𝜋 ∫︁ +𝜋 −𝜋 ^ 𝜑(2𝜔) ^ 𝜑(𝜔) exp(𝑖𝑛𝜔) (42)

onde ^𝜑(𝜔) é a transformada de Fourier de 𝜑(𝑥). Portanto os coeficientes ℎ [𝑛] são

deter-minados pela função de escala 𝜑(𝑥). Os detalhes perdidos devido à mudança a partir da resolução 𝑙 para mais grosseira 2𝑙 são dados pelos coeficientes

𝑑2𝑙[𝑖] = ⟨𝜓𝑖2𝑙(𝑥)𝑓 (𝑥)⟩ =

+∞

∑︁

𝑛=−∞

𝑎𝑙[𝑛]𝑔[𝑛 − 2𝑖], (43)

com 𝑔[𝑛] = (−1)1−𝑛 ˜_{ℎ[1 − 𝑛], com ˜}_{ℎ[𝑛] tal que} ^ ˜ h(𝜔) =√2 exp (︂−i𝜖𝜔 2 )︂ (︂ cos𝜔 2 )︂˜p × q−1 ∑︁ k=0 (︃ q − 1 + k k )︃_(︂ sin𝜔 2 )︂2k , (44)

onde 𝑞 = (𝑝 + ˜𝑝)/2 e ˜𝑝 é um parâmetro livre. Este parâmetro dá o número de momentos

nulos da função wavelet.

𝜓(𝑥) =√2

+∞

∑︁

𝑛=−∞

(−1)1−𝑛˜ℎ[1 − 𝑛]𝜑(2𝑥 − 𝑛). (45)

Esta função desempenha um papel essencial na análise de multirresolução, uma vez que o conjunto {𝜓𝑖2𝑙(𝑥)}𝑖∈𝑍 com 𝜓i2l(x) = 1 √ 2𝑙𝜓 (︂_x 2l − i )︂ , (46)

(29)

28

Capítulo

4

Resultados

4.1 Autofunções

Usaremos as ferramentas desenvolvidas no capítulo anterior para investigar o com-portamento das autofunções 𝜙(𝑥) do operador de transferência 𝐾(𝑥, 𝑦) relacionados por (10). O primeiro passo consiste em escrever 𝜙(𝑥) como

𝜙(𝑥) =∑︁

𝑖

𝑐𝑖𝜑𝑖𝑙(𝑥) (47)

com 𝜑𝑖𝑙 dada por (39) e 𝜑(𝑥) por (40). Substituindo (47) em (10) fornece 𝑀 ∑︁ 𝑖=1 𝑐𝑖 ∫︁ Λ𝑖 𝐾(𝑥, 𝑦)𝜑𝑖𝑙(𝑥)𝑑𝑦 = 𝜆 𝑀 ∑︁ 𝑘=1 𝑐𝑘𝜑𝑘𝑙(𝑥) (48)

onde Λ𝑖 é o suporte de 𝜑𝑖𝑙 e 𝑀 é o número mínimo de translações necessárias para cobrir

o domínio de 𝜙(𝑥). Multiplicando os dois lados de (48) por 𝜑𝑗𝑙(𝑥) e integrando sobre Λ𝑗

obtemos a equação matricial

Ac = 𝜆Bc. (49)

Os elementos da matriz c 𝑀 × 1 são os coeficientes 𝑐𝑖, isto é,

c = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑐1 𝑐2 .. . 𝑐𝑀 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .

Os elementos da matriz A 𝑀 × 𝑀 são dados por

𝐴𝑖𝑗 = ∫︁ Λ𝑗 ∫︁ Λ𝑖 𝜑𝑗𝑙(𝑥)𝐾(𝑥, 𝑦)𝜑𝑖𝑙(𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 (50)

enquanto que para a matriz B temos

𝐵𝑖𝑗 =

∫︁

Λ𝑖∩Λ𝑗

(30)

Capítulo 4. Resultados 29

Como Λ𝑖 é o intervalo fechado [(𝑖 − 1)𝑙, (𝑖 + 1)𝑙], a matriz B assume a forma simples

B = 1 6 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 4 1 0 · · · 0 1 4 1 · · · 0 .. . . .. ... ... ... 0 · · · 1 4 1 0 · · · 0 1 4 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (52)

Transformamos o problema original dado por (10) no problema de autovalor generalizado em (49). Podemos transformar este problema em um problema de autovalor simples por meio da decomposição de Cholesky [37] da matriz B dada por

B = LL𝑇 (53)

com L diagonal inferior (𝐿𝑖𝑗=0 para 𝑗 > 𝑖). Levando (53) em (49) obtemos o problema de

autovalor simples Cx = 𝜆x (54) com C = L−1A(L−1)𝑇 (55) e x = L𝑇c (56)

Na figura 9 a seguir apresentamos a autofunção 𝜙1(𝑥) calculada para duas

temperatu-ras diferentes para o modelo PB com potencial de Morse puro (4) e interação de empilha-mento anarmônica (3) com 𝜌 = 0.5. A autofunção para temperatura baixa distingue-se por duas razões: o seu caráter altamente localizado e a descontinuidade na primeira deri-vada para 𝑥 = 0.0, que é a separação de equilíbrio entre as bases. Tanto a singularidade quanto a localização estão ausentes para temperaturas acima da temperatura de transição (em torno de 350 𝐾 neste caso).

(31)

Figura 9 – Primeira autofunção do operador de transferência para dois valores de tem-peratura: 300 𝐾(esquerda) e 400 𝐾(direita).Valores dos parâmetros para os potenciais são:𝐷 = 0.04 𝑒𝑉 ,𝑎 = 4.45 ˚𝐴−1,𝑘 = 0.02 𝑒𝑉 ˚𝐴−2,𝛼 = 0.35 ˚𝐴−1 e

𝜌 = 0.5

Podemos quantificar a singularidade através dos coeficientes de wavelet em (43), pois se

∫︁

tk𝜓(t)dt = m1(k) = 0 , para k = 1 , 2 , ..., q − 1 (57)

𝑑2𝑙 será muito pequeno se 𝑙 for muito pequeno e 𝑓 (𝑥) for de classe 𝐶𝑘 com 𝑘 < 𝑞. A

escolha da função escala 𝜑 em (40) implica 𝑞 = 2 [36], de tal modo que 𝑑2𝑙 não nulo

indica que localmente 𝑓 (𝑥) não é de classe 𝐶1_{, isto é, não é continuamente diferenciável.}

Mas este é exatamente o tipo de singularidade apresentada pela autofunção 𝜙1(𝑥) para

temperaturas abaixo da temperatura de desnaturação, como pode ser visto da figura 9. Podemos portanto monitorar a transição (desnaturação) através dos coeficientes de wavelet 𝑑2𝑙.

(32)

4.2 Desnaturação térmica do DNA

É bastante conhecido o fato de que modelos do tipo PB com interação de empilhamento anarmônica (3) apresentam transições suaves para baixos valores do parâmetro 𝜌 (𝜌 < 1) e transições abruptas para valores altos (𝜌 > 1).

A figura abaixo mostra o comportamento do estiramento médio das bases em função da temperatura para dois valores distintos do parâmetro 𝜌 do potencial de empilhamento anarmônico.

Figura 10 – Separação média entre as bases em função da temperatura para dois valores diferentes do parâmetro 𝜌 do potencial de empilhamento, sem considerar a interação das bases com o solvente. Valores dos outros parâmetros são:

𝐷 = 0.04 𝑒𝑉 , 𝑎 = 4.45 ˚𝐴−1, 𝑘 = 0.02 𝑒𝑉 ˚𝐴−2 e 𝛼 = 0.35 ˚𝐴−1

Mostramos também o comportamento do estiramento médio dos pares de base em fun-ção da tempertatura para dois valores diferentes de 𝜌, neste caso considerando a interafun-ção das bases com o solvente, como mostra a figura 11.

(33)

Figura 11 – Separação média entre as bases em função da temperatura para dois valores diferentes do parâmetro 𝜌 do potencial de empilhamento, considerando a interação das bases com o solvente. Valores dos outros parâmetros são: 𝐷 = 0.04 𝑒𝑉 , 𝑎 = 4.45 ˚𝐴−1, 𝑘 = 0.02 𝑒𝑉 ˚𝐴−2 e 𝛼 = 0.35 ˚𝐴−1

Valores grandes do parâmetro 𝜆𝑠(𝜆𝑠 ∼ 1) em (5) produzem também transições

abrup-tas mesmo para a interação de empilhamento harmônica [5], portanto neste trabalho uti-lizamos os coeficientes de wavelet para analisar o efeito conjunto da anarmonicidade do potencial de empilhamento e da interação com o solvente.

Para todas as análises apresentadas neste trabalho utilizou-se o parâmetros apresen-tados na tabela 1. Os mesmos foram mantidos fixos variando apenas os parâmetros 𝜆𝑠 e

𝜌 com o intuito de verificar a influência dos mesmos no caráter da transição de fase da

cadeia de DNA. Estes parâmetros foram escolhidos tomando como referência os trabalhos na referências [34, 31, 5]

Tabela 1 – Parâmetros Utilizados e seus respectivos valores Parâmetro Valor 𝑘 0.04 𝑒𝑉 Å−2 𝐷 0.04 𝑒𝑉 𝑎 4.45 Å−1 𝛼 0.35 Å−1 𝑓𝑠 0.1 𝜃 0.01 𝑟𝑎𝑑

(34)

Em um primeiro momento variou-se o parâmetro 𝜆𝑠 de 0.1𝑛𝑚 a 0.5𝑛𝑚, a fim de

investigar o comportamento de < 𝑦 > com o aumento da temperatura para diferentes valores de 𝜆𝑠. A figura 12 mostra as curvas de desnaturação térmica para diferentes

valores de 𝜆𝑠 com𝜌 = 0.5.

𝜌 = 0.5

Figura 12 – Alongamento médio dos pares de base < 𝑦 > versus Temperatura 𝑇 variando o Parâmetro 𝜆𝑠 para o potencial anarmônico de empilhamento.

Valores da temperatura de desnaturação para diferentes valores de 𝜆𝑠 obtidos a partir

dessa figura 12 são mostrados na tabela 2.

Tabela 2 – Avaliação quantitativa da temperatura média de desnaturação térmica 𝑇𝑚,

através do modelo com interação do solvente e potencial anarmônico para diferentes valores de 𝜆𝑠. Para 𝜌 = 0.5 𝜆𝑠(𝑛𝑚) 𝑇𝑚(𝐾) 0.1 337.5 0.2 334.3 0.3 331.0 0.4 327.7 0.5 324.9 Elaborado pelo autor.

Nesta primeira análise observou-se uma transição de fase suave, e esta começa a ser observada a partir de 320K. Observa-se ainda que com 𝜌 = 0.5, a temperatura de des-naturação térmica está localizada na faixa entre 324.9K e 337.5K. Entretanto o valor

(35)

que está mais próximo ao encontrado na literatura é para 𝜆𝑠 = 0.1𝑛𝑚, onde obteve-se

𝑇 = 337.5𝐾, este valor é satisfatório e está de acordo com o valor apresentado nas

refe-rências [38, 29, 39].

Numa segunda análise investigou-se o comportamento do alongamento médio dos pares de base < 𝑦 > com o aumento da temperatura, mantendo-se fixo o valor de 𝜆𝑠= 0.1𝑛𝑚

e variando o parâmetro 𝜌 de 0.5 a 2.5 como mostra a figura 13.

𝜆𝑠 = 0.1𝑛𝑚

Figura 13 – Alongamento médio dos pares de base < 𝑦 > versus Temperatura 𝑇 variando o parâmetro 𝜌 para o potencial anarmônico de empilhamento

As respectivas temperaturas de desnaturação são mostradas na tabela 3

Tabela 3 – Avaliação quantitativa da temperatura média de desnaturação térmica para diferentes valores de 𝜌 e 𝜆𝑠= 0.1 𝑛𝑚 Para 𝜆𝑠 = 0.1 nm 𝜌 𝑇𝑚(𝐾) 0.5 337.5 1.0 304.3 1.5 287.2 2.0 276.1 2.5 269.1 Elaborado pelo autor.

(36)

Pode se verificar que a medida que o valor do parâmetro 𝜌 aumenta, a molécula apresenta temperatura de desnaturação cada vez menor, esse resultado mostra o caráter predominante da anarmonicidade do parâmetro 𝜌 do potencial anarmônico na transição de fase da molécula.

Podemos concluir até aqui que o valor do parâmetro 𝜆𝑠, para o qual a temperatura

de desnaturação é melhor representada de acordo com a literatura é 𝜆𝑠 = 0.1𝑛𝑚, onde

obteve-se 𝑇 = 337.5𝐾, o valor encontrado na literatura é de 340𝐾 [40, 29]. Entretanto quando comparamos as curvas das figuras 12 e 13, observa-se que no primeiro caso, onde manteve-se fixo o parâmetro 𝜌 = 0.5 e variou se 𝜆𝑠, a transição de fase ocorre de maneira

suave e a medida que aumenta-se o valor de 𝜆𝑠 o fenômeno passa a acontecer também para

temperaturas menores. Contudo observa-se que no segundo caso há uma mudança drástica no comportamento de < 𝑦 > a medida que que aumentamos o valor de 𝜌, observamos que a curva de desnaturação fica mais abrupta, diferente da primeira situação. Isto ocorre devido a anarmonicidade no potencial de empilhamento das bases.

Na figura 14 mostramos curvas da separação média < 𝑦 > em função da temperatura para 𝜌 = 2.5 e vários valores de 𝜆𝑠. Vemos claramente que a transição é abrupta para

qualquer valor de 𝜆𝑠 e que a faixa de temperaturas onde ocorre a transição é bem mais

estreita do que nos casos anteriores. Este resultado indica que a anarmonicidade do potencial é preponderante para o caráter da transição.

𝜌 = 2.5

Figura 14 – Separação média dos pares de base < 𝑦 > em função da temperatura para

(37)

Neste trabalho investigamos também o efeito conjunto dos parâmetros 𝜆𝑠 e 𝜌 na

tran-sição de fase da molécula de DNA. Inicialmente fixou-se dois valores para 𝜆𝑠, e variou-se

o parâmetro 𝜌, como pode ser observado nas figuras 15 (a) e 15 (b).

𝜆𝑠 = 0.2𝑛𝑚

(a) 𝜆𝑠 = 0.9𝑛𝑚

(b)

Figura 15 – Curvas do comportamento de < 𝑦 > com o aumento da temperatura para dois valores distintos de 𝜆𝑠

(38)

As figuras 15(a) e 15(b), apresentam as curvas de desnaturação térmica da molécula de DNA para dois valores distintos de 𝜆𝑠, um pequeno 𝜆𝑠 = 0.2𝑛𝑚 e um grande 𝜆𝑠 = 0.9𝑛𝑚.

Observa-se que transição de fase passa de suave a abrupta à medida que 𝜌 aumenta e que valores altos deste parâmetro produzem um decréscimo na temperatura de desnaturação. Os valores de 𝑇𝑚 para diferentes valores de 𝜌 nas duas situações são mostrados na tabela

4.

Tabela 4 – Dados equivalentes à temperatura média de desnaturação do DNA

𝜌 𝑇𝑚(𝐾) 𝜆𝑠 = 0.2𝑛𝑚 𝑇𝑚(𝐾) 𝜆𝑠 = 0.9𝑛𝑚 0.5 334.7 316.3 1.0 300.9 286.9 1.5 284.3 272.2 2.0 273.0 262.1 2.5 265.4 253.8

4.3 Coeficientes Wavelets

Neste trabalho utilizou-se os coeficiente de wavelet 𝑑2𝑙, dados pela equação 43, para

quantificar o comportamento do parâmetro de ordem, < 𝑦 >, em função da temperatura,

𝑇 , mostrados na seção anterior. Para obter esses coeficientes tudo que temos que fazer

é realizar a soma em (43) com os coeficientes 𝑎𝑙[𝑛] dados pelas respectivas componentes

do autovetor c em (56). Os coeficientes 𝑔[𝑛] para a nossa escolha de função de escala são mostrados na tabela 5 [41].

Tabela 5 – Coeficientes 𝑔[𝑛] para o modelo AM.

𝑛 𝑔[𝑛] -3,5 0.03314563036812 -2,4 0.06629126073624 -1,3 -0.17677669529664 0,2 -0.41984465132951 1 0.99436891104358

Investigamos o comportamento do maior coeficiente de wavelet 𝑑2𝑙 calculado segundo

(43) para dois valores diferentes do parâmetro 𝜌 da interação de empilhamento em (3) sem interação com o solvente como mostra a figura 16.

(39)

Figura 16 – Maior coeficiente de wavelet 𝑑2𝑙 calculado segundo (43) para dois valores

diferentes do parâmetro de anarmonicidade 𝜌 do potencial de empilhamento e sem interação com o solvente. Valores dos outros parâmetros são: 𝐷 = 0.04 𝑒𝑉 , 𝑎 = 4.45 ˚𝐴−1, 𝑘 = 0.02 𝑒𝑉 ˚𝐴−2 e 𝛼 = 0.35 ˚𝐴−1

Podemos ver da figura 9 que a descontinuidade na primeira derivada da autofunção desaparece para temperaturas altas, o que corresponde a um valor nulo de 𝑑2𝑙 pois a

a autofunção agora é de classe 𝐶1_{. Comparando as figuras 9 e 16 podemos ver que o}

caráter da transição (suave ou abrupta) está relacionado ao comportamento da transições suaves são caracterizadas pela queda suave do maior coeficiente 𝑑2𝑙 com a temperatura e

transições abruptas por um decaimento igualmente abrupto. Interpretamos esse resultado como uma persistência da singularidade a temperaturas altas para transições suaves e como um desaparecimento súbito da mesma para transições abruptas.

Neste trabalho investigou também o comportamento dos coeficientes wavelelets má-ximos 𝑑2𝑙, em função da temperatura, 𝑇 , para dois valores distintos do parâmetro de

anarmonicidade 𝜌 do potencial de empilhamento, contudo diferente do caso anterior, considerou-se a interação das bases com solvente através do potencial solvente, dado pela equação 5, como mostra a figura 17.

(40)

Figura 17 – Maior coeficiente de wavelet 𝑑2𝑙 calculado segundo (43) para dois valores

diferentes do parâmetro de anarmonicidade 𝜌 do potencial de empilhamento e com interação com o solvente. Valores dos outros parâmetros são: 𝐷 = 0.04 𝑒𝑉 , 𝑎 = 4.45 ˚𝐴−1, 𝑘 = 0.02 𝑒𝑉 ˚𝐴−2 e 𝛼 = 0.35 ˚𝐴−1

A figura 17 difere da figura 16 pela temperatura onde há o desaparecimento da singula-ridade, haja vista que, quando não considerou a interação do solvente o desaparecimento da singularidade foi observado em 𝑇 ≈ 337, 5 𝐾, para 𝜌 = 1.5, enquanto que na se-gunda situação, a temperatura para qual a singularidade desaparece abruptamente foi de 𝑇 ≈ 317, 5 𝐾, para o mesmo valor de 𝜌. Para valores pequenos do parâmetro de anarmonicidade do potencial de empilhamento, 𝜌 = 0.5 observou se que não há diferenças significativas na temperatura para qual a singularidade desaparece (suave, neste caso), no entanto há um aumento no caráter suave da curva.

Todavia as análises dos coeficientes de wavelets feitas até aqui confirmam os resulta-dos apresentaresulta-dos anteriormente, confirmando o caráter dominante da anarmonicidade do parâmetro 𝜌. Estudamos também o comportamento dos coeficientes 𝑑2𝑙[𝑖] máximos em

função da temperatura, mantendo fixo o parâmetro 𝜌 do potencial anarmônico (AM) e variou-se o parâmetro 𝜆𝑠. Mostramos nas figuras 18, 19 e 20 o coeficiente 𝑑2𝑙 para três

(41)

𝜌 = 0.5

Figura 18 – Comportamento dos coeficientes wavelets máximos em função da tempera-tura.

𝜌 = 1.0

(42)

A figura 19 mostra a maior coeficiente wavelet em função da temperatura para dife-rentes valores de 𝜆𝑠. Observou se que para valores baixos de 𝜌, há uma queda suave dos

coeficientes máximos, 𝑑𝑚𝑎𝑥, sinalizando uma persistência da singularidade e um eventual

achatamento da autofunção apresentada na figura 9 na região onde ocorre a transição de fase, esse resultado está de acordo com o que foi observado na referência [42].

𝜌 = 1.5

Por outro lado a queda abruta dos coeficientes 𝑑𝑚𝑎𝑥com a temperatura, mostrados na

Figura -20 para 𝜌 = 1.5 sinalizam um desaparecimento da singularidade, esse resultado mostra que os coeficientes 𝑑𝑚𝑎𝑥 são capazes de quantificar a singularidade observada na

figura 9, e ainda cabe ressaltar que a escolha dos parâmetros 𝜌 e 𝜆𝑠 influenciam no tipo

de transição. Todavia a anarmonicidade do parâmetro 𝜌 do potencial anarmônico de empilhamento é predominante e define melhor o caráter da transição se comparado ao parâmetro 𝜆𝑠 da interação com o solvente.

(43)

42

Capítulo

5

Conclusão e Perspectivas Futuras

Nesse trabalho investigou-se o efeito conjunto do potencial anarmônico de empilha-mento através do parâmetro 𝜌 e da interação do solvente com as bases através do parâ-metro 𝜆𝑠. Estes dois parâmetros parâmetros influenciam no tipo de transição de fase da

molécula, transição esta que está intimamente relacionada com a desnaturação térmica da molécula. Percebeu-se que para baixos valores de 𝜌 (potenciais quase harmônicos) obteve-se transições suaves e à medida que aumentou-se o valor do parâmetro 𝜆𝑠 a

tem-peratura de transição diminui significativamente. Quanto ao efeito conjunto do potencial de empilhamento e da interação do solvente observou-se que valores altos de 𝜌 combina-dos com valores baixos de 𝜆𝑠 apresentam transições abruptas. Pode-se concluir a partir

desse resultado que a anarmonicidade do parâmetro 𝜌 tem um efeito dominante sobre a interação com o solvente, dado pelo parâmetro 𝜆𝑠, na determinação do caráter da

tran-sição. Vale ressaltar também que o valor de 𝜌 determina a temperatura de desnaturação da molécula, enquanto que a mesma não é determinada pelo valor de 𝜆𝑠, como podemos

constatar a partir das figuras (12), (15(a) e 15(b)).

Quanto à localização das autofunções, constatamos que as wavelets são ferramentas bastante adequadas para esse tipo de estudo. Em trabalhos futuros pretendemos relacio-nar os coeficientes wavelets com a fração de ligações abertas, relacionando, portanto essa propriedade com a localização das autofunções. Pretendemos também analisar o espectro de coeficientes ao invés de somente o maior deles, bem como outros tipos de wavelets para detectar descontinuidades de ordem mais alta que possam diferenciar de forma mais acentuada as transições produzidas pelas diferentes versões do modelo.

(44)

43

Referências

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46

(48)

47

APÊNDICE

A

Programa principal

module g l o b a l ! r e a l : : t =345.0 ! Temperature ! i n t e g e r , p a r a m e t e r : : n=3 ,m=2**n−1 ! r e a l , d i m e n s i o n (m,m ) : : a , l ! i n t e g e r , p a r a m e t e r : : n=200 ! r e a l , d i m e n s i o n ( n ) : : x , w, d , e ! r e a l , d i m e n s i o n ( n , n ) : : k , v end module g l o b a l module sub u s e g l o b a l c o n t a i n s r e a l f u n c t i o n p h i l ( x , i , l ) r e a l : : x , l i n t e g e r : : i

i f ( x<i * l . and . x>=(i −1)* l ) th en p h i l=x/ l −i +1 e l s e i f ( x>=i * l . and . x<=( i +1)* l ) th en p h i l =1−x/ l+i e l s e p h i l =0.0 end i f p h i l=p h i l / s q r t ( l ) end f u n c t i o n r e a l f u n c t i o n kxy ( x l , y l , t )

(49)

APÊNDICE A. Programa principal 48

i m p l i c i t none

r e a l , i n t e n t ( i n ) : : x l , y l r e a l , i n t e n t ( i n ) : : t

r e a l : : w, morsex , morsey , beta , f s = 0 . 1 , lamb= 0 . 1 , r o l = 0 . 5 , a l f a =0.35 r e a l : : dmorse = 0 . 0 4 , k = 0 . 0 4 , kb = 0 . 0 0 0 0 8 6 1 7 , a =4.45

r e a l : : x , y , l i n f = −0.3 , l s u p =30.0 x=( l s u p − l i n f ) * x l+ l i n f

y=( l s u p − l i n f ) * y l+ l i n f b e t a =1/(kb* t )

w=0.5* k*(1+ r o l * exp(− a l f a * ( y+x ) ) ) * ( y*y−2*y*x+x*x )

morsex=dmorse * ( exp(−a *x ) −1)*( exp(−a *x)−1)− f s * dmorse * ( tanh ( x/ lamb ) −1) morsey=dmorse * ( exp(−a *y ) −1)*( exp(−a *y)−1)− f s * dmorse * ( tanh ( y/ lamb ) −1) kxy=exp(− b e t a * (w+ 0 . 5 * ( morsex+morsey ) ) ) * ( l s u p − l i n f ) ! * ( 1 0 0 . 3 )

! p r i n t * , kxy , t end f u n c t i o n

REAL FUNCTION pythag ( a , b ) REAL a , b ! , pythag

REAL absa , absb absa=abs ( a ) absb=abs ( b )

i f ( absa . g t . absb ) t hen

pythag=absa * s q r t ( 1 . + ( absb / absa ) * * 2 ) e l s e

i f ( absb . eq . 0 . ) then pythag =0.

e l s e

pythag=absb * s q r t ( 1 . + ( absa / absb ) * * 2 ) e n d i f e n d i f r e t u r n END f u n c t i o n SUBROUTINE e i g s r t ( d , v , n , np ) INTEGER n , np REAL d ( np ) , v ( np , np ) INTEGER i , j , k REAL p do 13 i =1 ,n−1

(50)

APÊNDICE A. Programa principal 49 k=i p=d ( i ) do 11 j=i +1 ,n i f ( d ( j ) . ge . p ) the n k=j p=d ( j ) e n d i f 11 c o n t i n u e i f ( k . ne . i ) the n d ( k)=d ( i ) d ( i )=p do 12 j =1 ,n p=v ( j , i ) v ( j , i )=v ( j , k ) v ( j , k)=p 12 c o n t i n u e e n d i f 13 c o n t i n u e r e t u r n END SUBROUTINE SUBROUTINE g a u l e g ( x1 , x2 , x , w, n ) INTEGER n REAL x1 , x2 , x ( n ) ,w( n ) DOUBLE PRECISION EPS PARAMETER (EPS=3.d−14) INTEGER i , j ,m DOUBLE PRECISION p1 , p2 , p3 , pp , x l , xm, z , z1 m=(n+1)/2 xm=0.5 d0 * ( x2+x1 ) x l =0.5 d0 * ( x2−x1 ) do 12 i =1 ,m z=c o s ( 3 . 1 4 1 5 9 2 6 5 4 d0 * ( i −.25 d0 ) / ( n+.5 d0 ) ) 1 c o n t i n u e p1 =1. d0 p2 =0. d0 do 11 j =1 ,n p3=p2 p2=p1