Capítulo 1. Complementos sobre Derivadas e Integrais - Parte 3

Capítulo 1. Complementos sobre Derivadas e Integrais - Parte 3

• Integração de Funções Racionais

• Decomposição de funções racionais em fracções parciais

• Cálculo dos coecientes usando o método Cover up de Heaviside

• Integração de funções racionais próprias.

Integração de Funções Racionais

Uma função racional é uma divisão de polinómiosp(x)/g(x).

x⁴

x²+ 2x+ 1 função racional imprópria: grau(p)≥grau(g) x

x²+ 2x+ 1 função racional própria: grau(p)< grau(g) A integração de uma função racionalR p(x)

q(x)dxconsiste em 3 etapas.

1. Dividirp(x)porq(x)se a função racional é imprópria, obtendo-se

p(x)

q(x) = Q(x) +R(x)

q(x), (1)

sendoQ(x)um polinómio eR(x)/q(x)uma função racional própria.

2. Decompôr em fracções parciais a função racional própriaR(x)/q(x), ou a funçãop(x)/q(x)se nenhuma divisão foi efectuada.

3. Integrar a expressão resultante no segundo membro de (1).

Decomposição de funções racionais em fracções parciais

Uma função racional própria pode ser decomposta numa soma de fracções parciais mais simples. Esta decomposição é útil para a integração de funções racionais. Dada a função racionalp(x)/q(x)na qualq(x) aparece factorizado em termos dos tipos(x−r)^k, ou(x²+bx+c)^s, ouan, sendoano coeciente da potência dexmais elevada emq(x), a sua decomposição em fracções parciais faz-se da forma seguinte.

Para cada factor do tipo(x−r)^k escrever a expressão

Ak

(x−r)^k + A_k−1

(x−r)^k−1+· · ·+ A1

x−r,

sendo osAsconstantes reais;

Para cada factor do tipo(x²+bx+c)^s, com raízes complexas conjugadas, escrever a expressão B_s+C_sx

(x²+bx+c)^s + B_s−1+C_s−1x

(x²+bx+c)^s−1 +· · ·+ B₁+C₁x x²+bx+c, sendo osBseCsconstantes reais.

Cada uma das funções que aparece nestas expressões designa-se por fracção parcial dep(x)/q(x).

Exemplos

1.

=

+

2.

=

+

+

+

3.

=

+

+

4.

=

+

+

Podemos usar esta decomposição para escrever uma função racional própria como uma soma de fracções parciais, e uma função racional imprópria como soma de um polinómio e de fracções parciais. As constantes As, Bs, Cs, etc, designam-se por coecientes da decomposição e são calculadas como mostra o exemplo seguinte.

Exemplo

Consideremos a função racional

p(x)

q(x) = 1 (x+ 1)(x−2).

Começamos por decompor a função racional numa soma de fracções parciais.

1

(x+ 1)(x−2) = A

x+ 1 + B

x−2 (2)

Calculam-se depois os coecientes A, B.

Começa-se por eliminar as divisões em (2), multiplicando ambos os membros pelo denominador do primeiro membro (x+ 1)(x−2). Obtém-se

1

(x+ 1)(x−2) = A

x+ 1 + B x−2

⇔1 =A(x−2) +B(x+ 1).

Expande-se o segundo membro desta igualdade e agrupam-se os coecientes de iguais potências dex.

1 = (A+B)x+B−2A

Fazendo 1 = 0x+ 1no primeiro membro e igualando os coecientes de iguais potências dexnos dois membros, obtemos o sistema de equações lineares











A+B= 0

−2A+B= 1 cuja solução éA=−1/3eB= 1/3.

(vericar que a decomposição é correcta, substituindo os valores deAeB na equação (2) e mostrando que se obtém uma identidade).

Cálculo dos coecientes usando o método Cover up de Heaviside

O cálculo dos coecientes pode ser abreviado usando o chamado método de "Cover up"¹, como se mostra a seguir.

1

(x+ 1)(x−2) = A

x+ 1 + B

x−2 (3)

1Oliver Heaviside, matemático e engenheiro (1850 1925), Inglaterra.

Para calcularA, elimina-se do denominador do primeiro membro o factor(x+ 1)("cover up- tapar) e na expressão restante substitui-sexpor−1 (o zero dex+ 1). O valor obtido é o valor deA.

1

−1−2 =−1 3 =A

Para calcular B procede-se da mesma forma, mas agora o factor tapado no denominador do primeiro membro é (x−2) e o valor que se substitui emxna expressão restante é 2(o zero dex−2).

1 2 + 1 =1

3 =B

A economia de cálculo deste processo resulta de não se multiplicar ambos os membros da expressão (3) pelo denominador do primeiro membro, mas apenas pelo factor que é tapado.

O método Cover up tem limitações. Por exemplo, no caso da decomposição x²+ 2

(x+ 1)³(x−2) = A

x+ 1 + B

(x+ 1)² + C

(x+ 1)³ + D

x−2, (4)

o método só permite calcularCeD. Para calcularCfaz-se no primeiro membro o cover up do factor(x+ 1)³ e calcula-se o valor da expressão restante parax=−1.

(−1)²+ 2

−1−2 =−1 =C

Para calcular D faz-se no primeiro membro o cover up do factor (x−2) e calcula-se o valor da expressão restante parax= 2.

(2)²+ 2 (2 + 1)³ =2

9 =D O cálculo dos coecientes restantes,AeB, faz-se da seguinte forma.

Substitui-se na expressão (4) C e D pelos valores obtidos, e passam-se para o primeiro membro as fracções parciais correspondentes.

x²+ 2

(x+ 1)³(x−2) + 1

(x+ 1)³ − 2/9

x−2 = A

x+ 1 + B (x+ 1)²

Tira-se partido de a igualdade anterior ser uma identidade (é válida para todos os valores dexque não anulam nenhum dos denominadores). Substituindo na igualdade anterior xpor dois valores distintos que não anulem os denominadores, obtemos duas equações lineares nas incógnitasA, B, que resolvemos

para obter estes coecientes. Substituindoxpor0obtemos

−1 + 1 + 1/9 =A+B ⇔A+B= 1/9, (5)

e substituindo xpor−2obtemos

A+B= 5/9. (6)

Ficamos assim com um sistema de duas equações lineares nas incógnitasAeB, cuja solução éA=−2/9 eB= 1/3.

Podemos nalmente escrever x²+ 2

(x+ 1)³(x−2) =− 2

9(x+ 1)+ 1

3(x+ 1)²− 1

(x+ 1)³ + 2 9(x−2).

Exercício

Determinar a decomposição em fraçcções parciais da função x⁴−2 (x²+x+ 1)x² Resp: _(x2+x+1)x^{x4−2 2} = 1−_x²₂ +²_x−_x2^1+3x_+x+1.

Observações

1. A decomposição de uma função racionalp(x)/q(x)em fracções parciais, sem o cálculo dos coecientes, é feita com base na factorização deq(x), ignorando p(x). O numeradorp(x)só é considerado no cálculo dos valores dos coecientes.

2. A fracção parcial correspondente a um termo quadráticox²+bx+c com raízes complexas, tem que ter no numerador uma expressão linearAx+B. De facto, bem que podemos escrever

2

x²+x+ 1 = A x²+x+ 1,

de que iria resultarA= 2, mas já não seria possível obter uma identidade entre os dois membros no caso

x

x²+x+ 1 = A x²+x+ 1.

3. A decomposição em fracções parciais correspondente a um termo quadráticox²+bx+ccom duas raízes reais, sejam elasx=rex=s, compreende duas fracções com denominador linear. Por exemplo

1

x²+bx+c = A

x−r + B

x−s. (7)

No entanto, poderiamos, também neste caso, usar o mesmo tipo de fracção parcial que usamos para termos quadráticos com raízes complexas.

1

x²+bx+c = Ax+B

x²+bx+c (8)

A razão por que não deve ser esta a opção, é que, para efeito de integração, é mais simples integrar o segundo membro de (7) do que integrar o segundo membro de (8).

Que tipos de integrais temos que resolver?

As fracções parciais que podem aparecer numa decomposição são dos quatro tipos seguintes:

tipo I: A

x−r tipo II: A

(x−r)^k tipo III: Ax+B

x²+bx+c tipo IV: Ax+B

(x²+bx+c)^k.

sendok≥2um inteiro positivo,A, B, constante reais, ex²+bx+cum polinómio com duas raízes complexas conjugadas. Sabendo integrar cada uma destas funções, podemos integrar qualquer função racional. Vamos resolver os casos I, II e III. Em anexo está resolvido um exemplo do caso IV.

Integrais do tipo I:

Z A x−rdx

A resolução deste tipo de integral é

Z A

x−rdx = Aln|x−r|+C.

Integrais do tipo II:

Z A (x−r)^kdx A resolução deste tipo de integral é

Z A

(x−r)^kdx = A Z

(x−r)^−kdx = (x−r)^−k+1

−k+ 1 +C Integrais do tipo III:

Z Ax+B x²+bx+cdx

Vamos resolver alguns integrais que nos vão ajudar a tratar este caso.

Exemplo 1.

Z 2x+ 4 x²+ 4x−8dx Este integral é do tipo

Z u⁰

udx = ln|u|+C.

Resolve-se da forma

Z 2x+ 4

x²+ 4x−8dx = ln|x²+ 4x+ 8|+C.

Os exemplos seguintes são casos particulares do integral Z u⁰

1 +u²dx = arctan(u) +C. (9)

Exemplo 2.

Z 1 1 +x²dx É um caso particular do integral (9), com u=x.

Z 1

1 +x²dx = arctan(x) +C

Exemplo 3.

Z 2 1 + 3x²dx.

Por ser 1 + 3x² = 1 + (√

3x)², obtemos um caso particular do integral (9), comu=√

3xeu⁰ =√ 3. Z 2

1 + 3x²dx = 2

Z 1 1 + (√

3x)²dx = 2

√3

Z √ 3 1 + (√

3x)²dx = 2

√3arctan(√

3x) +C

Exemplo 4.

Z 1 3 +x²dx Por ser

3 +x² = 3

1 + 1 3x²

= 3 1 + x

√ 3

2! ,

obtemos um caso particular do integral (9), comu=x/√

3 eu⁰= 1/√ 3. Z 1

3 +x²dx =

Z 1 3

1 +

√x 3

2dx = 1

√3

Z 1/√ 3 1 +

√x 3

²dx = 1

√3arctan x

√3

+C

Exemplo 5.

Z 1

3

4+ x+¹₂2dx (10)

Por ser

3 4+

x+1

2 ²

= 3

4 1 + 4 3

x+1

2 ²!

= 3 4 1 +

2

√3

x+1 2

²! ,

obtemos um caso particular do integral (9), comu= ^√2

3 x+¹₂eu⁰= ^√2

3. Podemos escrever Z 1

3

4+ x+¹₂²dx =

Z 1

3 4

1 +

√2

3 x+¹₂2dx = 2

√3

Z 2/√ 3 1 +

√2

3 x+¹₂²dx

= 2

√3arctan 2

√3

x+1 2

+C.

Exemplo 6.

Z 1 x²+x+ 1dx

Vamos reduzir este integral ao caso anterior. Efectua-se previamente uma transformação sobre a expressãox²+x+ 1, designada por completamento do quadrado. Trata-se de determinar as constantes aebtais que

x²+x+ 1 = (ax+b)²+c.

Expandindo o quadrado do binómio no segundo membro,

x²+x+ 1 = a²x²+ 2abx+b²+c,

obtemos a = 1 e b = 1/2 (igualámos os coecientes de iguais potências de x nos dois membros).² Substituindo estes valores de aeb na igualdade, temos

x²+x+ 1 = x²+x+1 4+c, e1 = 1/4 +c, ouc= 3/4. Finalmente

x²+x+ 1 =

x+1 2

² +3

4. O integral pode ser indicado da forma

Z 1

x²+x+ 1dx =

Z 1

3

4+ x+¹₂²dx e resolvido como se viu no exemplo 5 acima.

Vamos agora resolver um integral do tipoIII.

Exercício. Integral do tipo III

2Recordar que dois polinómios são idênticos se têm os mesmos coecientes das potências dexcom iguais expoentes.

Resolver o integral

I =

Z 4x−2

x²+x+ 4dx. (11)

Seguem-se os passos de resolução deste integral.

1. Escrever o integral (11) como uma soma de integrais.

I =

Z 4x−2

x²+x+ 4dx =

Z 4x

x²+x+ 4dx+

Z −2

x²+x+ 4dx. (12) 2. Resolver o primeiro integral do último membro de (12).

Z 4x

x²+x+ 4dx = 2

Z 2x

x²+x+ 4dx = 2

Z 2x+ 1−1 x²+x+ 4dx

= 2

Z 2x+ 1 x²+x+ 4dx+

Z −2 x²+x+ 4dx Substituindo esta expressão no último membro de (12), temos

I = 2

Z 2x+ 1 x²+x+ 4dx+

Z −2

x²+x+ 4dx+

Z −2 x²+x+ 4dx

= 2

Z 2x+ 1 x²+x+ 4dx+

Z −4

x²+x+ 4dx. (13)

Designando por I₁ o primeiro integral de (13), podemos escrever

I1 = 2

Z 2x+ 1

x²+x+ 4dx = 2 ln|x²+x+ 4|+C1, C1∈R.

3. O segundo integral na expressão (13), designemo-loI2, é do tipo indicado no exemplo 6 acima. Come- çamos por obter o completamento do quadrado do polinómio no denominador da função racional.

x²+x+ 4 = (ax+b)²+c =

x+1 2

² +15

4 O integralI₂ ca

I2 =

Z −4

15 4

1 +

√2

15 x+¹₂2dx = −16 15

Z 1

1 +

√2

15 x+¹₂²dx

ou

I₂ = − 8

√15

Z 2/√ 15 1 +

√2

15 x+¹₂²dx = − 8

√15arctan 2

√15

x+1 2

+C₂, C₂∈R.

4. O integral de (11) ca

I = I₁+I₂ = 2 ln(x²+x+ 4)− 8

√15arctan

2x+ 1

√15

+C.

ANEXO Integral do tipo IV (opcional)

Calcular o integral

Z 3x+ 1 (x²+ 5x+ 8)²dx.

Escrever o integral como a soma de dois integrais

I=

Z 3x

(x²+ 5x+ 8)²dx+

Z 1

(x²+ 5x+ 8)²dx. (14) Resolver parcialmente o primeiro dos dois integrais.

Z 3x

(x²+ 5x+ 8)²dx = 3

Z x

(x²+ 5x+ 8)²dx = 3 2

Z 2x

(x²+ 5x+ 8)²dx

= 3 2

Z 2x+ (5−5)

(x²+ 5x+ 8)²dx = 3 2

Z 2x+ 5

(x²+ 5x+ 8)²dx−3 2

Z 5

(x²+ 5x+ 8)²dx

= −3

2(x²+ 5x+ 8)⁻¹−15 2

Z 1

(x²+ 5x+ 8)²dx Substituir este resultado na expressão (14).

I=−3

2(x²+ 5x+ 8)⁻¹−13 2

Z 1

(x²+ 5x+ 8)²dx (15) O cálculo de Ica completo com a resolução do integral

I₂=

Z 1

(x²+ 5x+ 8)²dx. (16)

O integralI2 resolve-se da forma seguinte.

Efectuar o completamento do quadrado com o polinómio de segundo grau que aparece no deno-

minador.

x²+ 5x+ 8 = (x+ 5/2)²+ 7/4 Substituir esta expressão na fórmula (16).

I2=

Z 1

(7/4 + (x+ 5/2)²)²dx Para simplicar faz-se a substituiçãou=x+ 5/2, du=dx.

I2=

Z 1

(7/4 +u²)²du Modica-se a forma deI2.

I₂= 4 7

Z 7/4

(7/4 +u²)²du= 4 7

Z u²+ 7/4−u² (7/4 +u²)² du Escreve-se este integral como uma soma de integrais.

I₂=4 7

Z 1

7/4 +u²du−4 7

Z u²

(7/4 +u²)²du (17)

Primitiva-se por partes o segundo integral.

I3=

Z u²

(7/4 +u²)²du= Z

u u

(7/4 +u²)²du

f =u g⁰=u(u²+ 7/4)⁻² f⁰= 1 g=−1

2(u²+ 7/4)⁻¹ Fica

I₃=−u

2(u²+ 7/4)⁻¹+1 2

Z 1 7/4 +u²du.

Substitui-se esta expressão deI3 em (17)

I₂= 4 7

Z 1

7/4 +u²du+2

7u(u²+ 7/4)⁻¹−2 7

Z 1 7/4 +u²du

= 2 7

Z 1

7/4 +u²du+2 7

u u²+ 7/4

= 2 7

√2

7arctan 2u

√7

+2 7

u u²+ 7/4

= 2 7

√2

7arctan

2x+ 5

√7

+2 7

x+ 5/2 x²+ 5x+ 8

= 4

√

7³arctan

2x+ 5

√ 7

+ 2x+ 5 7x²+ 35x+ 56

Finalmente, substituindo esta expressão paraI₂ na equação (15), obtém-se

I=−3 2

1

x²+ 5x+ 8−13 2

√4

7³arctan

2x+ 5

√7

−13 2

2x+ 5

7x²+ 35x+ 56+C

=− 26

√

7³arctan

2x+ 5

√7

− 13x+ 43

7x²+ 35x+ 56+C

Bibliograa

1. Cálculo Diferencial e Integral, vol I, N. Piskounov.

2. Calculus, Howard Anton.