Aula: INDEPENDˆ ENCIA DE EVENTOS Ministrante Prof. Dr. Vladimir Belitsky,
IME-USP
15 de agosto de 2017
Independˆ encia. Defini¸c˜ ao formal 1/2.
Come¸co com a defini¸c˜ao, e logo em seguida pretendo demonstrar que ela ´e uma formaliza¸c˜ao fi´el daquilo que nossa intui¸c˜ao concebe como a independˆencia.
Defini¸c˜ao 1: SejamA eB dois eventos arbitr´arios definidos num mesmo experimento aleat´orio, tamb´em arbitr´ario. Ent˜ao diz-se que o eventoB n˜ao depende do eventoA, caso valer a igualdade entre a probabilidade deB e a probabilidade condicional deB dada a ocorrˆencia do eventoA, isto ´e, caso
IP B
= IP B
A
(1)
O verboindependerusa-se comumente como o sinˆonimo de “n˜ao depender”. J´a quando a igualdade (1) n˜ao vale, diz-se queB dependedeA.
Independˆ encia. Defini¸c˜ ao formal 2/2.
Aviso de imprortˆancia secund´aria: O eventoA da defini¸c˜ao precisa ter probabilidade n˜ao nula. No nosso curso, tais eventos n˜ao surgem; isso ´e natural. Mas no nosso patamar de
conhecimento ´e bom acordar que n˜ao se define a probabilidade condicional quando o condicionador ´e um evento de probabilidade nula.
Independˆ encia. Demonstra¸c˜ ao de que a concep¸c˜ ao intuitiva bate com a defini¸c˜ ao formal 1/6.
Considere o seguinte
Experimento aleat´orio: Jos´e lan¸ca uma moeda honesta e se essa der “cara”, ent˜ao ele decide que vai chover e sair´a de casa com guardachuva (no caso de “coroa” ele n˜ao levar´a guardachuva).
Um milessimo de segundo ap´os o t´ermino do experimento do Jos´e, Maria lan¸ca um dado equilibrado e, se esse mostrar “6” ela decide que vai chover e sair´a de casa com guardachuva (em qualquer outro resultado do dado, ela n˜ao levar´a guardachuva).
Independˆ encia. Demonstra¸c˜ ao de que a concep¸c˜ ao intuitiva bate com a defini¸c˜ ao formal 2/6.
Eis o que a sua intui¸c˜ao pensa:
A Maria sair de casa com guardachuva n˜ao depende do Jos´e sair de casa com guardachuva.
Eu introduzo a seguinte nota¸c˜ao
A= Jos´e sair de casa com guardachuva B = Maria sair de casa com guardachuva
e pe¸co de sua intui¸c˜ao expressar-se, agora e em tudo que se segue, com o uso desta nota¸c˜ao. Eis a resposta:
B independe deA
Independˆ encia. Demonstra¸c˜ ao de que a concep¸c˜ ao intuitiva bate com a defini¸c˜ ao formal 3/6.
Agora pe¸co `a sua intui¸c˜ao expressar a independˆencia alegada acima alegada sem usar a palavra “independente” (finjo que eu
desconhe¸co esse conceito).
Eis a resposta de sua intui¸c˜ao:
(*) saber queAocorreu ou n˜ao d´a nenhuma informa¸c˜ao sobre a ocorrˆencia ou n˜ao de B
Independˆ encia. Demonstra¸c˜ ao de que a concep¸c˜ ao intuitiva bate com a defini¸c˜ ao formal 4/6.
Agora recordo `a sua intui¸c˜ao que ela conhece os conceitos
“probabilidade” e “probabilidade condicional”, e que tais conceitos foram alinhados com a minha concep¸c˜ao de probabilidade e de probabilidade condicional, e pe¸co se expressar com o uso desses conceitos (j´a que alinhamento mencionada garante que irei
entender corretamente aquilo que a intui¸c˜ao dizer). Eis a express˜ao solicitada:
(1) A probabilidade deB ocorrer sabendo queA ocorreu ´e a mesma que a probabilidade de B ocorrer sem saber queAocorreu.
Independˆ encia. Demonstra¸c˜ ao de que a concep¸c˜ ao intuitiva bate com a defini¸c˜ ao formal 5/6.
Ap´os uma leve hesita¸c˜ao, sua intui¸c˜ao acrescenta o seguinte:
(2) A probabilidade deB ocorrer sabendo queA n˜ao ocorreu ´e a mesma que a probabilidade de B ocorrer sem saber queAn˜ao
ocorreu.
(3) A probabilidade deB n˜ao ocorrer sabendo queA ocorreu ´e a mesma que a probabilidade de B n˜ao ocorrer sem saber que A
ocorreu.
(4)A probabilidade deB n˜ao ocorrer sabendo queAn˜ao ocorreu ´e a mesma que a probabilidade deB n˜ao ocorrer sem saber que A
n˜ao ocorreu.
´E que sua intui¸c˜ao n˜ao sabe julgar se (1) – (4)sejam equivalentes entre si. Portanto, como a afirma¸c˜ao original(*) abranja 4 casos, ent˜ao a intui¸c˜ao decidiu emitir 4 express˜oes. Posteriormente, demonstrarei que(1) – (4)s˜ao equivalentes.
Independˆ encia. Demonstra¸c˜ ao de que a concep¸c˜ ao intuitiva bate com a defini¸c˜ ao formal 6/6.
Agora eu pego a express˜ao(1) e escrevo essa usando os s´ımbolos que foram introduzidos para os conceito de probabilidade e de probabilidade condicional. Aten¸c˜ao: eu n˜ao mudo nada! s´o re-escrevo usando os s´ımbolos matem´aticos. Eis o resultado:
IP[B] =IP[B A]
Concluindo: a express˜ao intuitiva de independˆencia ´e a express˜ao formal que determina a independˆencia via minha defini¸c˜ao formal (Defini¸c˜ao 1 da 1-a transparˆencia). Ponto final.
Independˆ encia. Ilustra¸c˜ ao por meio do Diagrama de Venn 1/1.
Veja o desenho na lousa que ilustra – via o diagrama de Venn – a posi¸c˜ao gen´erica de dois eventos B e Atais que B ´e independente deA.
Veja tamb´em o desenho que ilustra – via o diagrama de Venn – a posi¸c˜ao de eventosAe B que n˜ao tem intersec¸c˜ao. Observe que isso ´e diferente da posi¸c˜ao dos eventos independentes.
Veja tamb´em o desenho que ilustra que o evento “tudo” (ou
“sempre”) est´a independente de qualquer eventoA,
Independˆ encia. Mais sobre a rela¸c˜ ao entre a concep¸c˜ ao intuitiva e a defini¸c˜ ao formal 1/2.
O uso cotidiano/intuitivo do conceito de independˆencia bate SEMPRE com a defini¸c˜ao formal (a qual ´e IP[B
A] =IP[B]). O problema ´e que a demostra¸c˜ao da rela¸c˜ao pode ser trabalhosa devido `a dificuldade na revela¸c˜ao da presen¸ca de probabilidade em situa¸c˜oes cotidianas. Ainda mais: em muitos casos no cotidiano, o evento que n˜ao depende do outro ´e o evento “sempre”, que, conforme mostramos acima, de fato independe de qualquer outro evento.
Independˆ encia. Mais sobre a rela¸c˜ ao entre a concep¸c˜ ao intuitiva e a defini¸c˜ ao formal 1/2.
O pai da p´atria amada: “Independˆencia ou morte!”
Minha emregada dom´estica: “Independemente da previs˜ao de tempo, sempre levo guardachuva”.
Meu pior aluno: “´E uma ... de disciplina; vou reprovar indpendente se estudar ou n˜ao”.
Minha amada filinha: “Vou para Europa nas pr´oximas f´erias independentemente de sua concordˆancia”.
Minha (ainda) esposa: “O div´orcio vai acontecer independentemente se vocˆe desejar ou n˜ao!!!”
Um ministro do meu querido Brasil: “Pol´ıtica do Brasil independe da pol´ıtica dos Estados Unidos.”
Independˆ encia. Propriedades matem´ aticas 1/7.
Dois teoremas que v˜ao ajud´a-nos a chegar `a forma tradicional para a defini¸c˜ao de independˆencia.
Teorema 1(troca por complementar do evento condicionador):
SeB independe deA ent˜ao B independe deAc.
Teorema 2(troca de lugares):
SeB independe deA ent˜ao Aindepende deB.
Independˆ encia. Propriedades matem´ aticas 2/7.
Esta transparˆencia ´e para ser espreitada por um bom tempo at´e que seu interior concordar com o fato de que ser complicada e complexa, a demonstra¸c˜ao do Teorema 2 n˜ao tem como.
Tenho:
IP[B
A] =IP[B]
quero deduzir disso que IP[A
B] =IP[A]
Agora pode passar para a transparˆencia seguinte onde encontra-se a prova formal.
Independˆ encia. Propriedades matem´ aticas 3/7.
Tomo umB que n˜ao depende deA, fa¸co a seguinte conta IP
A B]
= IP A∩B IP
B usamos a f´ormula da probabilidade condicional
= IP A∩B IP
B IP
A IP
A = IP A∩B IP
A IP
A IP
B multiplicamos por 1 = IP A IP
A e remanejamos
= IP B
A
IP
B IP A
usamos a f´ormula da probabilidade condicional
=IP A
usamos a hip´otese queIP B
A
=IP B e concluo que ent˜aoA n˜ao depende deB.
Independˆ encia. Propriedades matem´ aticas 4/7.
Quanto `a demostra¸c˜ao do Teorema 1, esta n˜ao ´e mais complicada que a do Teorema 2, e tamb´em, usa os mesmos recursos. Eu n˜ao quero gastar tempo com a exposi¸c˜ao da demonstra¸c˜ao pois sua intui¸c˜ao j´a aceita a afirma¸c˜ao do Teorema 1 como algo natural (esse ´e a express˜ao(2) da independˆencia emitida pela sua intui¸c˜ao).
Independˆ encia. Propriedades matem´ aticas 5/7.
B independe deA
Teorema 1. &Teorema 2
B independe deAc A independe deB
Teorema 2↓ ↓Teorema 1
Ac independe deB Aindepende deBc
Teorema 1↓ ↓Teorema 2
Ac independe deBc Bc independe deA
Teorema 2& . Teorema 1
Bc independe deAc
Independˆ encia. Propriedades matem´ aticas 6/7.
O diagrama da transparˆencia anterior mostra que a rela¸c˜ao de independˆencia ´e sim´etrica. A defini¸c˜ao abaixo reflete esta simetria:
Defini¸c˜ao 2 (a defini¸c˜ao de independˆencia em seu formato matem´atico tradicional):
Diz-se que eventsAe B s˜ao independentes, caso IP
B ∩ A
=IP B
×IP A
(2)
Independˆ encia. Propriedades matem´ aticas 7/7.
As defini¸c˜oes 1 e 2 s˜ao equivalentes, fato decorrente da defini¸c˜ao da probabilidade condicional:
IP[B
A] = IP[B∩A]
IP[A]
(veja a demonstra¸c˜ao na lousa). Mas Defini¸c˜ao 2 possui a simetria intrinsica da independˆencia j´a embutida em sua formula¸c˜ao. ´E por isto, que ´e mais usada.
´E ´obvio (como consequˆencia dos argumentos at´e o momento apresentados) que a f´ormula da Defini¸c˜ao 1 poderia ter sido qualquer outra do tipo, por exemplo,
IP[Bc] = IP[Bc A]
Independˆ encia. Exerc´ıcio 1 1/3.
Trˆes moedas honestas s˜ao lan¸cadas em sequencia (suponha, para a simplifica¸c˜ao da tarefa da constru¸c˜ao do modelo probabil´ıstico para esse exemplo, que a primeira moeda ´e branca, a segunda ´e cinza e a terceira – preta). Considere dois eventos:
A=“obter uma “cara” (h) e uma “coroa” (t) nos dois primeiros lan¸camentos, em qualquer ordem”,
e
B=“obter duas “caras” nos dois ´ultimos lan¸camentos”.
Verifique seA eB s˜ao eventos s˜ao idependentes.
Independˆ encia. Exerc´ıcio 1 2/3.
Por m´etodo de diagrama de ´arvore, tempos Ω:
{(h→h →h),(t →h→h),(h→t →h),(h →h →t), (t →t →h),(t→h →t),(h→t→t),(t →t →t)}, e temos que a probabilidade de qualquer realiza¸c˜ao de Ω ´e 1/8.
Para saber se os eventos s˜ao independentes temos que confirmar que
IP[A∩B] =IP[A]×IP[B]. (3) Observando o espa¸co amostral temos que
A={(t→h →h),(h →t →h),(t→h →t),(h→t→t)}, B={(h→h →h),(t →h→h)} e, consequentemente,
A∩B={(t →h→h)}. A partir das probabilidades atribuidas e da defini¸c˜ao de probabilidade para eventos, calculamos:
IP[A] = 4
8, IP[B] = 2
8 e IP[A∩B] = 1 8
e como 4/8×2/8 = 1/8, ent˜ao a iguladade (3) est´a confirmada, o que significa que os eventosA eB s˜ao independentes.
Independencia. Exerc´ıcio 1 3/3 (a solu¸c˜ ao ERRADA!).
Por m´etodo de diagrama de ´arvore, tempos Ω:
{(h→h →h),(t →h→h),(h→t →h),(h →h →t), (t →t →h),(t→h →t),(h→t→t),(t →t →t)}, e temos que a probabilidade de qualquer realiza¸c˜ao de Ω ´e 1/8.
Para saber se os eventos s˜ao independentes temos que confirmar que
IP[A∩B] =IP[A]×IP[B]. (4) Observando o espa¸co amostral temos que
A={(t→h →h),(h →t →h),(t→h →t),(h→t→t)}, B={(h→h →h),(t →h→h)}. A partir das probabilidades atribuidas e da defini¸c˜ao de probabilidade para eventos, calculamos:
IP[A] = 4
8, e IP[B] = 2
8. IP[A∩B] = 1 8 Agora calcularemosIP[A∩B] (aqu´ı est´a o erro):
IP[A∩B] =IP[A]×IP[B] = 48 ×28 = 18. Como 1/8 = 4/8×2/8, ent˜ao a iguladade (4) est´a confirmada, o que significa que os eventosAe B s˜ao independentes.
Independˆ encia para mais que dois eventos 1/2.
Os eventos de uma cole¸c˜ao chamam-seindependentesse, ao tomar qualquer dois subcole¸c˜oes da cole¸c˜ao que n˜ao tenham eventos comuns, as intersec¸c˜oes das subcole¸c˜ao forem independentes.
Por exemplo, se alguem lhe disse queA,B,C,D,E,F s˜ao independentes, ent˜ao vocˆe tem, segundo a defini¸c˜ao, que, por exemplo,
IP[(A∩C)∩(B∩E∩F)] = IP[A∩C]×IP[B∩E∩F] IP[A∩C] = IP[A]×IP[C]
IP[A∩B∩C ∩D∩E ∩F] = IP[A]×IP[B]×
×IP[C]×IP[D]×IP[E]×IP[F] N˜ao haver˜ao neste curso necessidades que exijam um
aprofundamento maior no presente assunto. Tb n˜ao ser´a cobrado em exerc´ıcios e provas.
Independˆ encia para mais que dois eventos 2/2.
Vocˆe pode ter curiosidade de saber se
quando um eventoB independe de um outro eventoA, e esse, por sua vez, independe de um terceiroC, ser´a queB e C sejam obrigados a serem independentes
ent˜ao saiba que a resposta ´e “n˜ao” e a demostra¸c˜ao est´a na lousa (por diagrama de Venn).
Independˆ encia como consequencia de estrutura de exprimento aleat´ orio 1/6.
Na parte de nosso curso que trata da Estata´ıstica, n˜ao vamos VERIFICAR a independencia entre eventos. Vamos aproveitar das propriedades decorrentes da independˆencia, sendo que a presen¸ca desta GARANTIDA pela estrutura dos experimentos aleat´orios considerados.
A Propriedade da transparˆencia seguinte formula a garantia, e o exemplo subsequente esclarece os conceitos e o fenˆomeno.
Independˆ encia como consequencia de estrutura de exprimento aleat´ orio 2/6.
PROPRIEDADE que garante independˆencia: Suponha que num experimento aleat´orio sequencial,
(i) as descri¸c˜oes de cada etapa n˜ao usam nem etapas anteriores nem seus resultados.
Suponha que no modelo probabil´ıstico de tal experiemento aleat´orio foram definidos dois eventos, Ae C, da maneira tal que
(ii) n˜ao h´a nenhuma etapa do experimento aleat´orio que entra na descri¸c˜ao deAe deC ao mesmo tempo.
Ent˜aoA eB s˜ao eventos independentes.
Independˆ encia como consequencia de estrutura de exprimento aleat´ orio 3/6.
Exemplo. Trˆes moedas honestas s˜ao lan¸cadas em sequencia (suponha, para a simplifica¸c˜ao da tarefa da constru¸c˜ao do modelo probabil´ıstico para esse exemplo, que a primeira moeda ´e branca, a segunda ´e cinza e a terceira – preta). Considere dois eventos:
A=“obter uma “cara” (h) e uma “coroa” (t) nos dois primeiros lan¸camentos, em qualquer ordem”,
e
C=“obter “cara” no ´ultimo (terceiro) lan¸camento”.
Verifique seA eC s˜ao eventos s˜ao idependentes.
Independˆ encia como consequencia de estrutura de exprimento aleat´ orio 4/6.
No exemplo com trˆes moedas,
a condi¸c˜ao (i) est´a satisfeita, pois na primeira etapa, lan¸ca-se uma moeda, na segunda etapa, lan¸ca-se outra moeda, mas ela ´e a mesma para todo e qualquer resultado poss´ıvel da primeira etapa, e na terceira, ´ultima etapa, lan¸ca-se uma terceira moeda, tamb´em sempre, quer dizer, para qualquer combina¸c˜ao dos resultados vistos nas duas primeiras etapas;
a condi¸c˜ao (ii) est´a satisfeita, pois o eventoA foi descrito por resultados das primeiras duas moedas, enquento que o eventoC foi descrito por resultados da terceira moeda.
De acordo com a PROPRIEDADE acima formulada,Ae C devem sair independentes. Nos pretendemos confirmar tal independˆencia usando a defini¸c˜ao.
Independˆ encia como consequencia de estrutura de exprimento aleat´ orio 5/6.
Por m´etodo de diagrama de ´arvore, tempos Ω:
{(h→h →h),(t →h→h),(h→t →h),(h →h →t), (t →t →h),(t→h →t),(h→t→t),(t →t →t)}, A={(t→h →h),(h →t →h),(t→h →t),(h→t→t)}, C ={(h →h →h),(t →h→h),(t →t →h),(h→t →h)}e, consequentemente,A∩C ={(t→h→h),(t →t→h)}. A partir das probabilidades atribuidas e da defini¸c˜ao de probabilidade para eventos, calculamos:
IP[A] = 4
8, IP[C] = 4
8 e IP[A∩C] = 2 8, e como 4/8×4/8 = 2/8, ent˜ao os eventos A eC s˜ao independentes.
Independˆ encia como consequencia de estrutura de exprimento aleat´ orio 6/6.
Se vocˆe analisar a raz˜ao por tr´az da igualdade que acarretou a independˆencia, vocˆe vai descobrir a id´eia da demostra¸c˜ao da PROPRIEDADE gen´erica. Mas isso ´e desnecess´ario no ˆambito da disciplina.
