O Método do Lugar das Raízes - Exemplos

O M´ etodo do Lugar das Ra´ızes - Exemplos

Newton Maruyama

Departamento de Engenharia Mecatrˆonica - EPUSP

29 de setembro de 2008

1 Revis˜ao: Resposta transit´oria de sistemas de 2a.

ordem

2 Exemplos de Projetos

Newton Maruyama O M´etodo do Lugar das Ra´ızes - Exemplos

Sistemas de segunda ordem

Suponha o seguinte sistema de 2a. ordem:

G(s) = ω

s(s + 2ζω

) .

Um sistema de controle em malha fechada com G(s) (veja Figura 1) pode ser descrito como:

Y (s)

R(s) = G(s)

1 + G(s) = ω

s

+ 2ζω

s + ω

.

Figura: Sistema de 2a. ordem em malha fechada.

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Os p´ olos em malha fechada (veja Figura 2) s˜ ao dados por:

s = −σ ± jω

,

onde σ ´ e a atenuac ¸˜ ao do sistema e ω

´ e a freq¨ uˆ encia natural amortecida.

As seguintes relac ¸˜ oes podem ser definidas:

ω

= ω

q

1 − ζ

, σ = ζω

,

cos β = σ ω

= ζ.

Figura: P´olos complexos e grandezas associadas.

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A resposta transit´ oria deste sistema assume

diferentes comportamentos de acordo com o valor

do coeficiente de amortecimento ζ (veja Figura 3):

Resposta a degrau

Sistema sub-amortecido(0< ζ <1):

y(t)=1−exp^−ζωnt q1−ζ²

sin



ωdt+tan⁻¹

q1−ζ² ζ



,t≥0.

Sistema com amortecimento cr´ıtico(ζ=1)::

y(t)=1−exp^−ωnt(1+ωnt),t≥0.

Sistema superamortecido(ζ >1):

y(t)=1+ 1

2q

ζ²−1(ζ+q

ζ²−1)

exp^−(ζ+

√ζ²−1)ωnt−

1 2q

ζ²−1(ζ−q

ζ²−1)

exp^−(ζ−

√

ζ²−1)ωnt,t≥0.

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Para este sistema de 2a. ordem ´ e poss´ıvel estabelecer uma relac ¸˜ ao entre as grandezas que especificam a resposta transit´ oria a degrau e os p´ olos do sistema.

A resposta transit´ oria a degrau para este sistema

(veja Figura 4) pode ser caracterizado pelas

seguintes grandezas:

O tempo de subida t

´ e aqui definido como o tempo que o sistema demora para subir de 0 e 100% do valor final:

t

= π − β ω

.

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O instante do pico t

se refere ao instante da ocorrˆ encia do primeiro pico do sobresinal:

t

= π ω

.

O m´ aximo sobresinal ´ e definido da seguinte forma:

M

= y(t

) − y( ∞ )

y (∞) × 100 % , e pode ser calculado da seguinte forma:

M

= exp

−

√

1−ζ2

! π

.

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O tempo de acomodac ¸˜ ao t

´ e definido como o

instante de tempo tal que o sinal de erro passa a ser menor que um determinado valor percentual, em geral, definido como 2% ou 5%.

O tempo de acomodac ¸˜ ao t

´ e em geral aproximado atrav´ es das seguintes equac ¸˜ oes:

Crit´erio de 2%:

t_s= 4

ζω_n . (1)

Crit´erio de 5%:

ts= 3

ζω .

Estas aproximac ¸˜ oes podem fornecer erros

significativos como pode ser observado na Figura 5 que ilustra a variac ¸˜ ao de t

em func ¸˜ ao de ζ.

Figura: Tempo de acomodac¸˜aotsem func¸˜ao deζ.

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Podemos observar que o tempo de acomodac ¸˜ ao t

varia de forma discont´ınua. Para o crit´ erio de 2%, por exemplo, t

varia aproximadamente da seguinte forma:

3T <ts<4T para 0.3< ζ <0.7, 3T <t_s<6T para 0.7< ζ <1.0.

Lugares geom´ etricos

Figura: (a) Lugar geom´etrico paraωn=cte- (b) Lugar

geom´etrico para ζ=cte- (c) Lugar geom´etrico paraσ =cte- (d) Lugar geom´etrico paraωd =cte.

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Tempo de Subida t

O tempo de subida t

n˜ ao possui um lugar geom´ etrico trivial, mas ´ e usualmente aproximado por:

t

› 1.8 ω

. (2)

Ou seja, o tempo de subida t

´ e inversamente

proporcional a freq¨ uˆ encia natural n˜ ao amortecida ω

.

Entretanto esta equac ¸˜ ao ´ e bastante aproximada mesmo

para sistemas de 2a. ordem sem zeros.

Exemplo 5.1

Deseja-se projetar um controlador H(s) para o sistema ilustrado na Figura

onde a planta ´ e dada por:

G(s) = 0.5 s(s + 3) .

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O controlador H(s) deve ser tal que garanta as seguintes especificac ¸˜ oes:

1

Erro estacion´ ario e

= 0 para entrada a degrau;

2

Tempo de assentamento t

< 4seg (crit´ erio de 2%);

3

M´ aximo sobresinal M

< 5 % .

Qual controlador ?

O primeiro passo para o projeto ´ e a escolha da estrutura do controlador (P, PI, PD, PID, etc.). Sabemos que para satisfazer a condic ¸˜ ao do erro estacion´ ario e

basta utilizar um controlador proporcional H(s) = K

j´ a que o sistema G(s) j´ a possui um integrador 1/s.

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Podemos calcular o erro estacion´ ario atrav´ es da seguinte forma:

e

= lim

t→∞

e(t) = lim

s→0

sE (s),

= lim s 1

1 + G(s)H(s) R(s),

= lim s s(s + 3) s(s + 3) + 0.5K

1 s ,

= lim

s→0

s(s + 3) s(s + 3) + 0.5K

,

= 0.

Conclu´ımos ent˜ ao que o erro estacion´ ario e ´ e nulo

Agora devemos escolher K

de tal forma que satisfac ¸a as condic ¸˜ oes do tempo de assentamento t

e do m´ aximo sobresinal M

. Para um controlador H(s) = K

, a func ¸˜ ao de transferˆ encia do sistema de controle em malha fechada pode ser escrito como:

Y (s)

R(s) = 0.5K

s

+ 3s + 0.5K

,

o que ´ e equivalente ao sistema de 2a. ordem padr˜ ao:

Y (s)

R(s) = ω

s

+ 2ζω

s + ω

.

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Para um sistema de 2a. ordem padr˜ ao as especificac ¸˜ oes transit´ orias de m´ aximo sobresinal M

e do tempo de assentamento t

estabelecem um lugar geom´ etrico no plano s.

O tempo de assentamento t

(crit´ erio de 2%) ´ e dado aproximadamente por:

t

= 4 ζω

,

Como deseja-se que t

< 4seg ent˜ ao:

t

< 4seg ⇒ 4

ζω

< 4 ⇒ ζω

> 1.

como σ = ζω

ent˜ ao:

σ > 1.

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Para o m´ aximo sobresinal devemos ter:

M

< 5 %

M

= exp

−

√

1−ζ2

! π

< 0.05 ⇒

−ζπ

p

1 − ζ

< −2.99 ( × − 1) ⇒ ζπ

p

1 − ζ

> 2.99 ⇒ ζ

p

1 − ζ

> 0.95 ⇒

ζ

> 0.48 ⇒

o que resulta em ζ < −0.69 e ζ > 0.69. Entretanto, sabemos que necessariamente ζ > 0 ent˜ ao ficamos somente com ζ > 0.69.

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Sabemos que:

cos β = ζ,

onde β ´ e o ˆ angulo descrito por uma reta que cruza o p´ olo complexo e a origem do sistema de coordenadas e o eixo real (contado a partir do sentido anti-hor´ ario) Veja Figura 2. Para

ζ = 0.69 ⇒ β = 0.8092rad = 46.37

. Ent˜ ao, como:

ζ > 0.69 ⇒

β < 46.37

.

O lugar geom´ etrico no plano s onde est˜ ao as ra´ızes do sistema em malha fechada que satisfazem as

especificac ¸˜ oes de t

< 4seg e M

< 0.05 ´ e dado pela intersecc ¸˜ ao das seguintes regi˜ oes:











σ > 1 e

β < 46.37

.

A Figura 7 ilustra o lugar geom´ etrico definido por estas condic ¸˜ oes.

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σ >1 σ <1

β <46.37^o

Figura: Lugar geom´etrico resultante det_s<4segeM_p <5%.

O lugar geom´ etrico definido acima, define uma regi˜ ao no plano s, tal que a ocorrˆ encia dos p´ olos do sistema de 2a. ordem padr˜ ao nesta regi˜ ao, define um sistema que satisfaz as especificac ¸˜ oes de tempo de assentamento t

e m´ aximo sobresinal M

. Se pudermos simultaneamente definir o valor do coeficiente de amortecimento ζ e da freq¨ uˆ encia natural n˜ ao amortecida ω

, podemos alocar os p´ olos em qualquer local.

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Entretanto, para o nosso sistema, s´ o podemos variar o

ganho K

, o que limita a regi˜ ao poss´ıvel para se alocar

os p´ olos. Desta forma, os poss´ıveis valores para os

p´ olos que satisfazem as especificac ¸˜ oes compreeendem

a intersecc ¸˜ ao entre o lugar geom´ etrico definido acima e

o lugar das ra´ızes do sistema.

A Figura 8 ilustra o lugar geom´ etrico e o lugar das ra´ızes do sistema em func ¸˜ ao de K

.

Root Locus

Real Axis

Imag Axis

−3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

3 2.5 2 1.5 1 0.5

0.985

0.94

0.86 0.76 0.64 0.5 0.34 0.16

0.985 0.94

0.86 0.76 0.64 0.5 0.34 0.16

ζ=0.69

ζ=0.69 ζ>0.69

ζ>0.69

Kp=4.5

β<46.37^o

σ>1 σ<1

Figura: Lugar das ra´ızes e lugar geom´etrico paratseMp.

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Atrav´ es do grafico ilustrado na Figura 8 podemos escolher um p´ olo do sistema e consequentemente calcular o valor de K

associado.

Qualquer p´olo ?

Lembre-se que podemos escolher qualquer p´ olo, desde

que o p´ olo associado tamb´ em pertenc ¸a a regi˜ ao que

permitida. Desta forma, o trecho do lugar das ra´ızes

[ −3, 2] n˜ ao pode ser escolhido j´ a que a escolha do p´ olo

neste trecho implica em escolher o outro p´ olo associado

no trecho [ −1, 0] que n˜ ao pertence ` a regi˜ ao permitida.

Por exemplo, podemos escolher o p´ olo duplo s = −1.5.

Utilizando a condic ¸˜ ao de m´ odulo, obtemos:

|G(s)H(s) | = 1 ⇒

K

0.5 s(s + 3)

= 1 ⇒ K

= |s||s + 3|

0.5

⇒

K

= | − 1.5|| − 1.5 + 3|

0.5 ⇒

K

= 4.5

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Com esta escolha de K

= 4.5 o sistema de controle em malha fechada pode ser escrito como:

Y (s)

R(s) = ω

s

+ 2ζω

s + ω

= 2.25

s

+ 3s + 2.25 .

onde ζ = 1 e ω

= 1.5.

A resposta a degrau do sistema em malha fechada ´ e ilustrado na Figura 9. Podemos observar que o tempo de assentamento t

= 3.87seg e o m´ aximo sobresinal M

= 0 % .

Se calcularmos o tempo de assentamento t

pela Equac ¸˜ ao 1 obtemos:

t

= 4 ζω

= 2.67seg.

A Equac ¸˜ ao 1 fornece portanto valores muito diferentes para ζ = 1.0.

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Step Response

Time (sec)

Amplitude

0 1 2 3 4 5 6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

System: s3 Settling Time: 3.89

M_p=0%

Exemplo 5.2

Deseja-se projetar um controlador H(s) para um sistema onde a planta ´ e dada por:

G(s) = 0.5 (s + 3) .

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O controlador H(s) deve ser tal que garanta as seguintes especificac ¸˜ oes:

1

Erro estacion´ ario e

= 0 para entrada a degrau;

2

Tempo de assentamento t

< 4seg (crit´ erio de 2%);

3

M´ aximo sobresinal M

< 5 % .

O primeiro passo para o projeto ´ e a escolha da estrutura do controlador (P, PI, PD, PID, etc.). Sabemos que para satisfazer a condic ¸˜ ao do erro estacion´ ario e

´ e

necess´ ario a inserc ¸˜ ao de um integrador 1/s em malha aberta j´ a que o sistema G(s) ´ e um sistema de 1a.

ordem. Desta forma, vamos escolher um controlador proporcional-integral PI:

H(s) = K

1 + 1

T

s

.

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Podemos calcular o erro estacion´ ario atrav´ es da seguinte forma:

e

= lim

t→∞

e(t ) = lim

s→0

sE (s),

= lim s 1

1 + G(s)H(s) R(s),

= lim

s→0

T

s(s + 3)

T

s(s + 3) + 0.5K

(T

s + 1) ,

= lim

s→0

0 0 + 0.5K

= 0.

Conclu´ımos ent˜ ao que o erro estacion´ ario e

´ e nulo

para uma entrada degrau caso seja adotado um

Para este caso, a func ¸˜ ao de transferˆ encia em malha aberta ´ e dada por:

G(s)H(s) = K

0.5(T

s + 1) T

s(s + 3) ,

Os p´ olos e o zero em malha aberta s˜ ao dados por:

p´ olos em malha aberta: s = 0, s = −3;

zero em malha aberta: s = −1/T

.

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A func ¸˜ ao de transferˆ encia do sistema de controle em malha fechada ´ e dada por:

Y (s)

R(s) = G(s)H(s)

1 + G(s)H(s) = 0.5K

(T

s + 1) T

s(s + 3) + 0.5K

(T

s + 1)

= 0.5K

T

(s +

i

) s

+ (3 + 0.5K

)s +

i

.

A adic ¸˜ ao de um zero em malha aberta pode provocar uma mudanc ¸a significativa de

comportamento do sistema em relac ¸˜ ao ao sistema de 2a. ordem.

Desta forma, n˜ ao podemos utilizar as equac ¸˜ oes para o tempo de subida t

, tempo de assentamento t

, instante do pico t

e o m´ aximo sobresinal M

de maneira precisa.

Muitas vezes, para efeito de projeto utilizamos as equac ¸˜ oes do sistema padr˜ ao, mas devemos nos lembrar que o efeito do zero adicional pode ser significativo.

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O controlador PI possui dois parˆ ametros, o ganho

proporcional K

e o tempo integral T

. O lugar das ra´ızes

´ e obviamente constru´ıdo em func ¸˜ ao de um ´ unico

parˆ ametro. Desta forma, vamos escolher um valor para

T

e construir o lugar das ra´ızes em func ¸˜ ao de K

.

Qual o valor de T

que devemos escolher ?

Para mostrar como a escolha de T

influencia a soluc ¸˜ ao para este problema vamos escolher dois valores para T

e construir o lugar das ra´ızes para estes valores.

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Escolha 1

Vamos escolher inicialmente fazer T

= 0.5. Com esta escolha o zero s = −1/T

estar´ a entre os dois p´ olos de malha aberta. Para este caso, a malha aberta pode ser escrita como:

G(s)H(s) = 0.25s + 0.5

0.5s

+ 1.5s

O lugar das ra´ızes para este sistema ´ e ilustrado na Figura 10

Root Locus

Real Axis

Imag Axis

−5 −4.5 −4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

5 4 3 2 1

0.99

0.96

0.91 0.84 0.74 0.6 0.42 0.22

0.99 0.96

0.91 0.84 0.74 0.6 0.42 0.22

K_p=5.5, s=−1.2 K_p=5.5, s=−4.54

ζ=0.69

ζ=0.69 ζ>0.69

ζ>0.69

σ<1 σ>1

Figura: Lugar das ra´ızes paraT_i =0.5.

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Vamos escolher no lugar das ra´ızes o ponto s = −1.2 que resulta no valor de K

= 5.5. A outra raiz

correspondente a K

= 5.5 ´ e s = −4.54.

O sistema de controle em malha fechada pode ser escrito como:

Y (s)

R(s) = 1.375s + 2.75

s

+ 5.75s + 5.5 .

A resposta a degrau para este sistema ´ e ilustrada na Figura 11. Note que o tempo de acomodac ¸˜ ao

t

= 2.72seg e o m´ aximo sobresinal M

= 0 % .

Step Response

Time (sec)

Amplitude

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

From: r

To: y

System: T_r2y Settling Time: 2.72

M_p=0%

Figura: Resposta a degrau do sistema em malha fechada.

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Para efeito de comparac ¸˜ ao, vamos analisar o comportamento do sistema de 2a. ordem padr˜ ao

equivalente. O sistema de 2a. ordem padr˜ ao equivalente

´ e aquele que tem o mesmo denominador, ou seja, Y (s)

R(s) = ω

s

+ 2ζω

s + ω

= 5.5

s

+ 5.75s + 5.5 .

Para este sistema, o coeficiente de amortecimento ζ = 1.22 e a freq¨ uˆ encia natural n˜ ao amortecida ω

= 2.35. Utilizando a f´ ormula para o tempo de acomodac ¸˜ ao temos:

t

= 4 ζω

= 4

1.22 × 2.35 = 1.4seg.

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A resposta a degrau para este sistema est´ a ilustrada na

Figura 12. Note que o valor do tempo de assentamento

t

´ e igual a 3.48seg e o m´ aximo sobresinal M

= 0 % .

Desta forma, conclu´ımos que a equac ¸˜ ao para o c´ alculo

do tempo de assentamento t

n˜ ao vale neste caso, e que

o sistema padr˜ ao possui o tempo de assentamento para

resposta a degrau bastante diferente do sistema em

malha fechada projetado.

Step Response

Time (sec)

Amplitude

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

System: s10 Settling Time: 3.48

Mp=0%

Figura: Resposta a degrau do sistema padr˜ao.

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Escolha 2

Vamos escolher agora T

= 0.2, logo 1/T

= 5. Desta forma, o zero s = −1/T

est´ a ` a esquerda dos p´ olos em malha aberta s = 0, s = −3. A malha aberta para esta escolha de T

´ e dada por:

G(s)H(s) = 0.1s + 0.5

0.2s

+ 0.6s

O lugar das ra´ızes em conjunto com o lugar geom´ etrico para t

< 4seg e M

< 5 % est´ a ilustrado na Figura 13.

Note que agora, o lugar das ra´ızes descreve um c´ırculo aonde est˜ ao contidos os p´ olos conjugados complexos.

Podemos por exemplo, escolher os p´ olos s = −1.94 ± j0.79 que correspondem ao ganho K

= 1.75.

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Root Locus

Real Axis

Imag Axis

−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0

−3

−2

−1 0 1 2 3

0 8 6 4 2

0.994

0.975

0.935 0.88 0.8 0.66 0.48 0.25

0.994 0.975

0.935 0.88 0.8 0.66 0.48 0.25

X X

O

+

+

β<46.37^o ζ>0.69

ζ>0.69 s=−1.94+0.79 Kp=1.75

s=−1.94+0.79 K_p=1.75

σ>1 σ<1

A func ¸˜ ao de transferˆ encia em malha fechada resultante pode ser escrita como:

Y (s)

R(s) = 0.175s + 0.875 s

+ 3.875s + 4.375 .

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A resposta a degrau para este sistema ´ e ilustrada na Figura 14. Note que o tempo de acomodac ¸˜ ao

t

= 2.13seg e o m´ aximo sobresinal M

= 0 % .

Step Response

Amplitude

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

System: s3 Settling Time: 2.13

Para efeito de comparac ¸˜ ao, vamos analisar o comportamento do sistema de 2a. ordem padr˜ ao

equivalente. O sistema de 2a. ordem padr˜ ao equivalente

´ e dado por:

Y (s)

R(s) = ω

s

+ 2ζω

s + ω

= 4.375

s

+ 3.875s + 4.375 . Para este sistema, o coeficiente de amortecimento ζ = 0.93 e a freq¨ uˆ encia natural n˜ ao amortecida ω

= 2.1. Utilizando a f´ ormula para o tempo de acomodac ¸˜ ao t

temos:

t

= 4 ζω

= 4

0.93 × 2.1 = 2.05seg.

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A resposta a degrau para este sistema est´ a ilustrada na Figura 62. Note que o valor do tempo de assentamento t

´ e igual a 2.4seg e o m´ aximo sobresinal M

= 0.05 % . Neste caso, a equac ¸˜ ao para o calculo do tempo de assentamento t

tamb´ em n˜ ao fornece um valor preciso.

Entretanto, o sistema projetado e o sistema padr˜ ao

possuem tempo de assentamento t

relativamente

pr´ oximos.

Resposta a degrau do sistema padr˜ ao.

Step Response

Time (sec)

Amplitude

0 1 2 3 4 5 6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

System: s10 Settling Time: 2.4

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