(d) Para todo a R, se a > 1 então 1/a < 1.

(1)

Funda¸cão Centro de Ciências e Educa¸cão Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educa¸cão Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro

2o EP 2012/2 E. A. Real Semana 2 - Notas de Aula 02 Vers˜ao Tutor Coord.: C. Vinagre & H. Clark

Exerc´ıcio 1 Estude asNotas de Aula 2 - NA 2e mostre que s˜ao verdadeiras as afirma¸c˜oes abaixo:

(a) Existem números reais x, y que satisfazem a igualdade |x+y| = |x|+|y|. Por que isto não contraria a Proposi¸cão conhecida como “desigualdade triangular”?

(b) Existem três números irracionais que pertencem ao intervalo [0,1] ={x∈R: 0≤x≤1}. Solu¸cões poss´ıveis: (a) Por exemplo, tomando-se x = y = 2 obtém-se que |x+y| = |2 + 2| = 4 = |2|+|2|. A desigualdade triangular afirma que “para cada par de números x, y ∈ R, vale

|x+y| ≤ |x|+|y|”. Ou seja, vale|x+y|< |x|+|y|ou |x+y|=|x|+|y|, o que engloba a situa¸cão acima. Notar ainda que, pela desigualdade triangular, fica garantido ainda que não existem números reaisx, y tais que|x+y|>|x|+|y|.

(b)√

2/2, 0,121121112111121111121111112. . . , π/4, qualquer decimal não periódica, são exemplos de números irracionais que pertencem ao intervalo [0,1].

Exerc´ıcio 2 Diga se são verdadeiras ou falsas as afirma¸cões abaixo. Justifique suas respostas, provando as afirma¸cões verdadeiras e dando um contra-exemplo para as falsas.

(a) Para todos a, b∈R, se a≤bentãoa < b. (b) Para todos a, b∈R, se a < b entãoa≤b. (c) Para todo a∈R, se a̸= 0 então1/a <1. (d) Para todo a∈R, se a >1 então1/a <1.

(e) 1 é uma cota superior para o intervalo [0,3/2) ={x∈R: 0≤x <3/2}. (f ) Entre dois números reais existe um número racional.

(g) Entre dois n´umeros reais existe um n´umero irracional.

(h) {1/n: n∈N}= (0,1]. (¹) (i) {1/n: n∈N} ⊆(0,1].

Solu¸cão(no caso das afirma¸cões falsas, outroscontra-exemplos podem também funcionar):

(a)A afirma¸cão é falsa pois, por exemplo, para a=b= 3 tem-se que 3≤3 mas não vale 3<3, pois vale 3 = 3.

(b)Afirma¸cão verdadeira pela defini¸cão da rela¸cãomenor ou igual: a≤bsignificaa < b oua=b(²) Portanto, basta que uma destas situa¸cões ocorra para que já se possa afirmar quea≤b.

1Lembre: DadosA, Bconjuntos, tem-se que: A⊆B (Aestá contido em B) quando todo elemento deAé elemento deB. Portanto,A*B quando existe um elemento deAque não é elemento deB. A=B quandoA⊆B eB⊆A.

2Aten¸cão: Em Matemática, o conectivo “ou” é usado num sentido “não-exclusivo”, como na defini¸cão da união de dois conjuntos: x∈A∪B significax∈Aoux∈B, sendo que não fica exclu´ıda a possibilidade de um mesmo elemento xpertencer aos dois conjuntosAeB.

(2)

(c)Falsa. Por exemplo, a= 1/2̸= 0 e 1/(1/2) = 2>1 .

(d)Verdadeira. Por hip´otese: a∈R, a > 1. Assim,a > 0, donde a̸= 0, pela tricotomia. Portanto, 1/aexiste e vale 1/a >0. Comoa >1 e 1/a >0 ent˜ao (1/a)a >(1/a)1 e da´ı 1>1/a.

(e)Falsa, pois por exemplo, existe 5/4∈[0,3/2) e 1<5/4. Logo, 1 não é cota superior de [0,3/2) . (f )e (g) são verdadeiras pelo Teorema da Densidade (ver Notas de Aula 2).

(h) Falsa, pois os conjuntos são diferentes: existem elementos de (0,1] que não são elementos de {1/n: n∈N}: por exemplo, 2/3∈(0,1] e 2/3∈ {/ 1/n: n∈N}.

(i)A afirma¸c˜ao ´e verdadeira pois para todon∈N, 1/n∈(0,1].

Exerc´ıcio 3 Sejam x, y∈R.

(a) Mostre que |x−1|+|x−2| ≥1;

(b) Seϵ >0´e n´umero real e |x−y|< ϵ, mostre que |y| −ϵ <|x|<|y|+ϵ.

Prova: (a) Pode-se analisar os quatro casos poss´ıveis (como quase sempre que se trabalha com módulo): x−1 ≥0 e x−2 ≥0, oux−1 ≥0 e x−2<0, ou x−1 <0 e x−2≥0 ou x−1<0 e x−2<0. Em cada caso, calcula-se o valor de |x−1|+|x−2|e verifica-se que a expressão obtida é

≥1, considerando-se as restri¸c˜oes sobre x.

Uma outra maneira é atentar para a forma das expressões dentro do módulo e usar resultados já provados: de fato, sex∈R,

|x−1|+|x−2|=|x−1|+|2−x| ≥ |(x−1) + (2−x)|=|1|= 1.

A desigualdade est´a provada.

(b)Como

|x|−|y|

≤ |x−y|e por hip´otese|x−y|< ϵ,ent˜ao

|x|−|y|

< ϵ.Da´ı, usando as propriedades de módulo e as propriedades algébricas dos números reais tem-se as seguintes equivalências:

|x| − |y|

< ϵ⇔ −ϵ <|x| − |y|< ϵ⇔ |y| −ϵ <|x| − |y|+|y|< ϵ+|y| ⇔ |y| −ϵ <|x|< ϵ+|y|

Exerc´ıcio 4 Mostre, justificando detalhadamente cada passagem do seu racioc´ınio que:

(a) Sen∈N ent˜ao

2n²+ 3 4n²+ 2− 1

2 < 1

4n; (b) Para todo n∈N,

1 + 2×10ⁿ 5 + 3×10ⁿ − 2

3 < 7

10ⁿ.

Sugest˜ao - Desenvolva o termo `a esquerda de cada desigualdade.

Prova: (a)Sejan∈R.Ent˜ao

2n²+ 3 4n²+ 2− 1

2 =

4n²+ 3−4n²−2 2(4n²+ 2)

=

1 2(4n²+ 2)

= 1

2(4n²+ 2). (⋆)

Na última igualdade acima eliminou-se o módulo pois o quaciente é positivo. Agora, como caso particular do Exerc´ıcio 1 (e) do EP 1 tem-se as seguintes desigualdades:

1

2(4n²+ 2) ≤ 1

4n²+ 2 ≤ 1 4n² ≤ 1

4n. Desta desigualdade e de (⋆) tem-se o resultado desejado

(3)

(b)Sejan∈N. Tem-se por argumenta¸c˜ao similar ao item(a)que:

1 + 2×10ⁿ 5 + 3×10ⁿ −2

3 =

−7 3(5 + 3×10ⁿ)

= 7

3(5 + 3×10ⁿ) < 7

(5 + 3×10ⁿ) < 7

3×10ⁿ < 7 10ⁿ

Exerc´ıcio 5 Indique em cada item, caso existam, o supremo e o ´ınfimo dos seguintes conjuntos:

(a) A={x∈R; 1< x≤3}= (1,3].

(b) B ={x∈R; 5< x}= (5,∞).

(c) C ={1/(2n+ 1); n∈N}. (d) [−√

2, π]∩Q.

Solu¸c˜ao - (a) supA= 3 e infA= 1.

(b) Não existe supremo de B, poisB não é limitado superiormente. infB = 5.

(c) C = {1/(2n + 1); n ∈ N} = {1/3,1/5,1/7,1/9, . . . ,1/201, . . . ,1/2001, . . . ,1/20001, . . .}. O supC = 1/3 e o infC= 0.

(d) supD=π e infD=−√ 2

Exerc´ıcio 6 Justifique as afirma¸c˜oes abaixo com base nas defini¸c˜oes:

(a) 2 ´e uma cota superior do conjunto A={−3,−2,−1,0,1},pois . . . complete!

(b) 0 n˜ao ´e uma cota superior do conjunto A={−3,−2,−1,0,1},pois . . . complete!

(c) 2 ´e uma cota superior do conjunto A= (0,2),pois . . . complete!

(d) 1 n˜ao ´e uma cota superior do conjunto A= (−1,2), pois. . . complete!

(e) (−2,2)∩Q´e um conjunto limitado, pois . . . complete!

Respostas - (a) 2 é uma cota superior do conjuntoA={−3,−2,−1,0,1},pois todos os elementos deA são menores que 2 (logo todos os elementos deA são menores que ou iguais a 2).

(b) 0 n˜ao ´e uma cota superior do conjuntoA={−3,−2,−1,0,1},pois existe o elemento 1 deAque

´e maior que 0.

(c) 2 é uma cota superior do conjuntoA= (0,2),pois 2 é maior que todos os elementos do conjunto (intervalo)A (logo, 2 é maior que ou igual a qualquer elemento de A). Note que 2∈/ A. Neste caso, 2 = supA mas 2 não é o elemento máximo deA - que por sinal, não existe.

(d) 1 n˜ao ´e uma cota superior do conjuntoA= (−1,2),pois, por exemplo, existe 3/2∈Ae 1<3/2.

(e) (−2,2)∩Q´e um conjunto limitado, pois tem cota superior (por exemplo, 2) e cota inferior, por exemplo, -2.

Exerc´ıcio 7 Considere C ={

2n+4

n+1 ; n∈N}

. Mostre que infC = 2.

Sugestão: Use a Propriedade Arquimediana na forma “para todo número real x existe n∈N tal que n > x” para mostrar que 2é a maior das cotas inferiores de C.

Demonstra¸c˜ao - (i)Deve-se mostrar primeiro que 2 ´e uma cota inferior para C. Ou seja, 2n+ 4

n+ 1 ≥2 para todo n∈N. (1)

(4)

Para isso, seja um naturaln. ´E claro que

2n+ 2≤2n+ 4 (2)

Por (2) e por propriedades j´a provadas sobre n´umeros reais, tem-se que (³) : 2(n+ 1)≤2n+ 4 ∴ 2≤ 2n+ 4

n+ 1 pois n+ 1>0.

Assim, mostrou-se que para um natural n arbitr´ario, vale 2 ≤ ²nⁿ+1⁺⁴. Como trabalhou-se com um naturalnarbitr´ario, pode-se afirmar que vale 2≤ ²nⁿ+1⁺⁴ para todo naturaln, como se queria mostrar.

Aten¸cão: como descobrir que se deve come¸car com a afirma¸cão (2)? Primeiro, é preciso entender e saber escrever que se quer provar a afirma¸cão (1). Feito isto, no rascunho, faz-se uma conta “de trás para frente”, que não aparece na demonstra¸cão, até se obter uma desigualdade que se saiba que é verdadeira:

2≤ 2n+ 4

n+ 1 ⇔2(n+ 1)≤2n+ 4⇔2n+ 2≤2n+ 4.

Neste caso (aten¸cão!), todas as afirma¸cões são equivalentes e na demonstra¸cão deverão aparecer as implica¸cões no sentido inverso - vide acima.

(ii)Deve-se mostrar agora que 2 é a maior das cotas inferiores de C. Para isto, mostra-se que se bé um número real maior que 2 entãob não é uma cota inferior para C. Seja então b∈R tal queb >2.

Ent˜ao ⁴⁻_b₋₂^b ∈R, poisb−2̸= 0. Ora, pela Propriedade Arquimediana acima enunciada, existen₀ ∈N tal que

n₀ > 4−b

b−2. (∗)

Da´ı, usando as propriedades alg´ebricas deR, tem-se

∴ n0(b−2)>4−b pois b−2>0.

∴ n₀b−2n₀ >4−b.

∴ n₀b+b >2n₀+ 4.

∴ b(n0+ 1)>2n0+ 4.

Comon₀+ 1>0, pode-se escrever

b > 2n₀+ 4 n0+ 1 .

Assim, existe um elemento ²_nⁿ₀⁰₊₁⁺⁴ ∈ C tal que ²_nⁿ₀⁰₊₁⁺⁴ < b. Logo b não é cota inferior para C. Fica provado então que para todo número realb >2, bnão é uma cota inferior para C. Logo, das etapas (i) e (ii)conclui-se que 2 = infC

Importante: Para descobrir a desigualdade em (∗), basta fazer no rascunho uma “conta de trás para frente” para achar um número da forma x= ²_nⁿ₀⁰₊₁⁺⁴ ∈C tal que b > x. Esta conta não aparece na demonstra¸cão e se faz da seguinte forma:

Rascunho: Procura-sen₀∈N tal que ²_nⁿ⁰⁺⁴

0+1 < b sabendo-se que b >2. Ora:

b > 2n₀+ 4 n₀+ 1 |{z}⇔

n0+1>0

n₀b+b >2n₀+ 4⇔n₀b−2n₀ >4−b⇔n₀(b−2)>4−b |{z}⇔

b−2>0

n₀> 4−b b−2. Conclui-se por aqui que n0 > ⁴⁻_b₋₂^b serve para o problema. A propriedade Arquimediana garante que esten₀ existe (deve-se notar que na última passagem, o fato de ser b >2é fundamental e isto deverá ser ressaltado na demonstra¸cão). Fim do rascunho.

3O s´ımbolo∴significa e deve ser lido como “ent˜ao”ou “logo”.

(5)

Observa¸cão: Você deverá ser capaz de identificar o supremo deste conjunto e demons- trar a sua afirma¸cão.

Exerc´ıcio 8 Considere C = {4n/(2n+ 1); n∈N}. Mostre, por meio da Defini¸c˜ao 2.4 das NA 2, quesupC= 2.

Demonstra¸cão- (i) 2 é uma cota superior de C, pois para todo n∈N, 4n <4n+ 2 = 2(2n+ 1) e como 2n+ 1>0 então para todo n∈Ntem-se que ₂_n⁴ⁿ₊₁ <2. Portanto, 2 é uma cota superior para C.

(ii)Resta mostrar que 2 é a menor das cotas superiores. Para fazer isto, por meio da Defini¸cão 2.4 das NA 2 (veja a condi¸cão (S2) desta defini¸cão e compare com o que está escrito em (⋆) abaixo), deve-se considerar:

c∈R, c <2 e mostrar que existe pelo menos um n0 ∈N tal que c < 4n₀

2n₀+ 1. (⋆) Sendoc <2 ent˜ao ₂₍₂₋^c _c₎ = ₄₋₂^c _c ∈R.Da´ı e da Propriedade Arquimediana existe um n0 ∈Ntal que

n0> c

4−2c. (∗)

Da´ı, usando as propriedades alg´ebricas deR (e como 4−2c >0, j´a quec <2), tem-se

∴ c <(4−2c)n₀.

∴ c <4n₀−2n₀c .

∴ c+ 2n₀c <4n₀.

∴ (1 + 2n₀)c <4n₀.

∴ c < 4n₀ 1 + 2n₀. Assim, existe um elemento ₁₊₂⁴ⁿ⁰_n

0 ∈Ctal que ₁₊₂⁴ⁿ⁰_n

0 > c. Logocnão é cota superior paraC. Portanto, está provado que para todo número real c <2 tem-se que c não é uma cota superior para C. Logo, das etapas(i) e (ii)conclui-se que 2 = supC

Aten¸c˜ao: Tal como no Exerc´ıcio anterior, para descobrir on₀ da desigualdade (∗) faz-se no rascunho:

contas “de trás para frente”, que não aparece na demonstra¸cão. Note, a seguir, que a última desigualdade de (⋆) determina (∗) por meio das propriedade algébricas deR. De fato,

c < 4n₀

2n0+ 1 ⇔ 2n₀c+c <4n₀ ⇔ c <4n₀−2n₀c ⇔ c < n₀(4−2c) ⇔ n₀ > c 4−2c. O s´ımbolo ⇔ (de equivalência) acima significa que todas as etapas são revers´ıveis, isto é: do primeiro enunciado pode-se chegar ao último e vice-versa, que é como aparece na demonstra¸cão. Isto

´e bastante importante neste exerc´ıcio.

Observa¸cão: Você poderá ser solicitado a provar, tanto o Exec´ıcio 7 quanto o 8, por meio do Lema 2.1 das NA 2. Veja como seria a demonstra¸cão do Exerc´ıcio 8 (fica com mais uma tarefa fazer o Exerc´ıco 7):

Note que o item (S1) da Defini¸c˜ao 2.4 e do Lema 2.1 s˜ao iguais. Assim, basta mostrar o item (S2’) do Lema 2.1

Para mostrar que 2 ´e a menor das cotas superiores, deve-se mostrar que para todo n´umero real ϵ >0, existec∈C tal que 2−ϵ < c.

(6)

Seja ent˜aoϵ >0. A Propriedade Arquimediana acima, garante que existen₀ ∈N tal que n₀> 2−ϵ

2ϵ . (∗∗)

Da´ı, usando as propriedades alg´ebricas deR, tem-se

∴ 2−ϵ <2n0ϵ .

∴ 2−2n₀ϵ−ϵ <0.

∴ 4n₀+ 2−2n₀ϵ−ϵ <4n₀.

∴ 2(2n0+ 1)−ϵ(2n0+ 1)<4n0.

∴ (2−ϵ)(2n₀+ 1)<4n₀. Como 2n0+ 1>0 ent˜ao 2−ϵ < 4n0

2n₀+ 1. Assim, existe c= ₂_n⁴₀ⁿ₊₁⁰ ∈Ctal que 2−ϵ < c. Isto diz que nenhum número menor do que 2 é cota superior de C, ou seja, que 2 é a menor das cotas superiores deC.

Pelo Lema 2.1(i) fica provado que 2 = supC O rascunho para achar (∗∗):

Procura-se n0 ∈Ntal que 2−ϵ < 4n0

2n₀+ 1. Da´ı, usando as propriedades alg´ebricas deR, tem-se

(2−ϵ)(2n₀+ 1)<4n₀ ⇔ 2(2n₀+ 1)−ϵ(2n₀+ 1)<4n₀ ⇔ 4n₀+ 2−2n₀ϵ−ϵ <4n₀

⇔ 2−ϵ−2n₀ϵ <0 ⇔ 2−ϵ <2n₀ϵ ⇔ n₀ > 2−ϵ 2ϵ .