COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 3ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROF. WALTER TADEU
www.professorwaltertadeu.mat.br Esferas – 2013 - GABARITO
1. (FUVEST) Uma superfície esférica de raio 13cm é cortada por um plano situado a uma distância de 12cm do centro da superfície esférica, determinando uma circunferência. O raio dessa circunferência é:
a) 1cm b) 2cm c) 3cm d) 4cm e) 5cm Solução. Utilizando a Relação de Pitágoras, temos:
12 r 169 144 r 25 5cm r132 2 2 2 .
2. Uma esfera cuja superfície tem área igual a 676cm2 é cortada por um plano situado a uma distância de 12cm do seu centro, determinando um círculo. Nessas condições, determine:
a) a área deste círculo;
Solução. A área da superfície da esfera é calculada com a fórmula A = 4R2, onde R é o raio da esfera.
O raio do círculo é r.
2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 2
cm 25 )5.(
r.
) círculo (A) iii
cm 5 25 r 144 169 r 12 r 13) ii
cm 13 R 169 4 R
R 676 676 R 676 4 ) esfera (A
R 4 ) esfera )i (A
.
b) o comprimento da circunferência máxima dessa esfera;
Solução. A circunferência máxima é a que possui o raio com mesma medida do raio da esfera.
cm 26 ) 13 ( 2 R 2 ) máximo (
C .
c) o volume do cone reto cujo vértice é o centro da esfera e a base é o círculo determinado pela intersecção do plano com a esfera.
Solução. O cone possui como base o círculo determinado pelo plano secante e como altura a distância do plano secante ao centro da esfera.
2 3
cm 100 ) 4 ).(
25 3 (
) 12 .(
) 5 ) ( cone (
V
.
3. Uma firma de arquitetura apresentou a maquete de uma construção na forma de uma semiesfera. Nessa maquete, o diâmetro da semiesfera é 20cm. Sabendo que a escala utilizada foi 1:400, responda: ( = 3,14) a) Qual a área da superfície dessa construção?
Solução. Calculando o raio da construção, temos:
2 2
2 2
m 10048 ) 1600 )(
14, 3.(
2 ) 40 (2 R 2 2
R ) 4 semiesfera (
Área )ii
m 40 cm 4000 ) 10 ).(
400 ( ) maquete (R ).
400 ( ) construção (R
400 ). 1 construção (R
) maquete (R
cm 10 ) maquete (R )i
.
b) Qual o volume dessa construção?
Solução. O volume será a metade do volume da esfera.
3 3
3
cm 133973 3
) 128000 )(
14 , 3 ( 3
) 64000 ( 2 3
) 40 ( 4 2 1 3
R 4 2 ) 1 construção (
V
.
4. (UFJF) Duas esferas são concêntricas, a menor tem 19cmde raio. A área da secção feita na esfera maior por um plano tangente a esfera menor é de 81cm2. Calcule:
a) o raio da esfera maior;
Solução. O raio da secção é r. Será calculado com a área da secção. O raio da esfera menor é a distância entre o plano tangente e o centro.
Aplicando a relação de Pitágoras, temos:
19 9 19 81 100 10 cm
R)ii
cm 9 81 r 81 r 81 r r
) ção (sec A
81 ) ção (sec )i A
2 2
2 2
2
.
b) o volume da esfera maior.
Solução. Utilizando a fórmula, temos:
3 3 3
esfera cm
3 4000 3
) 1000 ( 4 3
) 10 ( 4 3
R ) 4 maior (
V
.
5. (UNITAU) Uma esfera esta inscrita em um cubo de aresta 4cm. Calcule a área da superfície esférica e o volume da esfera.
Solução. O diâmetro da esfera possui a mesma medida da aresta do cubo. Temos:
3 3
3
2 2
2
3 cm 32 3
) 8 ( 4 3
) 2 ( 4 3
R V 4
) ii
cm 16 ) 4 ( 4 ) 2 ( 4 R 4 Área ) i
cm 2 R 4 R 2
.
6. (UFRGS) Uma panela cilíndrica de 20cm de diâmetro está completamente cheia de massa para doce, sem exceder a sua altura, que é 16cm. O número de doces em formato de bolinhas de 2cm de raio que se podem obter com toda a massa é:
a) 300 b) 250 c) 200 d) 150 e) 100
Solução. O volume de doce da panela do cilindro será o mesmo da soma dos volumes das bolinhas.
150 )3).(
32 50(
. 3 1600 3 32 ) 1600 bolinhas ( Número 3 cm
32 3
)2(
4 3 ) R4 bolinha (V)ii
cm 1600 )16.(
)10(
h.R ) doce (V)i
cm 10 R cm 20 ) panela ( Diâmetro
3 3 3
3 2
2
.
7. (PUC) Tem-se um recipiente cilíndrico, de raio 3cm, com água. Se mergulharmos inteiramente uma bolinha esférica nesse recipiente, o nível da água subirá cerca de 1,2cm. O raio da bolinha vale, aproximadamente:
a) 1 cm b) 1,5 cm c) 2 cm d) 2,5 cm e) 3 cm Solução. O volume de água que sobe no cilindro corresponde ao volume da bolinha.
2 1,8 4 R
R 4,32 3 8,10
R4 3
) R4 bolinha (V
cm 8,10 )2,1(
9) 2,1.(
)3(
h.R ) sobe (V
3 3 3
3
3 2
2
.
8. (UFMG) Na figura, ABC é um quadrante de circulo de raio 3cm e ADEF é um quadrado, cujo lado mede 1cm. Considere o sólido gerado pela rotação de 360°, em torno da reta AB, da região hachurada na figura.
Esse sólido tem um volume de:
a) 14cm3 b) 15cm3 c) 16cm3 d) 17cm3 Solução. Após a rotação foi gerado um sólido cujo volume será a diferença entre os volumes da semiesfera e do cilindro indicados na figura.
17 18 ) sólido (V )1.(
)1(
h.
R ) cilindro (V
3 18 )27 (2 3
)3(
. 4 2 ) 1 semiesfera (V
2 2
3
.
9. (UEL) Um cilindro circular reto e uma esfera são equivalentes (mesmo volume). Se o raio da esfera e o raio de base do cilindro tem medida 1, calcule a área lateral desse cilindro.
Solução. Igualando os volumes temos:
3 8 3 ).1.( 4 2 h.R.
2 ) cilindro ( A)ii
3 h 4 3 h. 4 h.
h.) 1(
) cilindro (V
3 4 3
)1(
) 4 esfera )i (V
lateral
2 3
.
10. Um frasco de perfume de forma esférica, com raio de 4cm, contém perfume em 1/4 de seu volume total.
Se uma pessoa utilizar, todos os dias, 2mL, do perfume, das alternativas abaixo, a que indicará o maior período de tempo de duração do perfume será:
a) 16 dias b) 31 dias c) 26 dias d) 54 dias e) 43 dias Solução. Calculando o volume do frasco e do perfume no interior dela, aproximando = 3, temos:
dias mL2 32 .mL dia 3
)3.(
64 dia/
mL2 3 mL 64 Período 3 mL
64 3 . 256 4 ) 1 frasco 4 (V.
) 1 perfume (V
3 mL cm 256 3 256 3
)64(
4 3
)4(
) 4 frasco
(V 3
3
.
11. (ITA) Um cone circular reto tem altura 12cm e raio da base 5cm. Quanto mede o raio da esfera inscrita nesse cone, em centímetros?
Solução. Calculando a geratriz do cone e observando a semelhança dos triângulos OBD e CTD são semelhantes, temos:
3 cm 10 18 R 60 60 R 18 R 5 60 R 5 13 R 13
R )12 ii
cm 13 169 25
144 )
5 ( ) 12 ( g )
i 2 2
.
12. (MACK) Qual a razão entre a área lateral do cilindro equilátero e a superfície esférica nele inscrita?
Solução. No cilindro equilátero a altura é igual ao diâmetro da base que é também o diâmetro da esfera. Temos:
R 1 4
R 4 )
esfera (
A
) cilindro (
: A Razão )
iii
R 4 ) esfera (
A ) ii
R 4 ) R 2 ( R 2 Rh 2 ) cilindro (
A ) i
2 2 laterak
2
2 laterak
.
