UFPE — MA989 — 2011.2 — PROF. FERNANDO J. O. SOUZA LISTA DE EXERC´ICIOS 05 – v. 1.1

(1)

UFPE — MA989 — 2011.2 — PROF. FERNANDO J. O. SOUZA LISTA DE EXERC´ ICIOS 05 – v. 1.1

Assuntos: A axiom´atica de Zermelo-Fraenkel (ZF); propriedades de conjun- tos e opera¸c˜oes com eles em ZF.

Nota¸ c˜ ao: Nesta lista, os conectivos (operadores) conjun¸c˜ao (“e”), disjun-

¸cão (“ou”), disjun¸cão exclusiva e nega¸cão (“não”), e as constantes “falso” e

“verdadeiro” serão denotados, respectivamente, por: ∧, ∨, ˙ ∨, ¬, F e V , res- pectivamente). A expressão “tal que” será denotada por “:” em proposi¸cões lógicas e predicados, e por “|” entre o elemento genérico de um conjunto (ou classe) e um predicado que especifica os elementos de tal conjunto (ou classe) por compreensão (damos um exemplo no próximo parágrafo).

Obs. Dados um conjunto X e um predicado unário P (x) livre em x, deno- taremos o subconjunto de X determinado por P (x) indistintamente por {x ∈ X|P (x)} e {x|(x ∈ X) ∧ P (x)}, sendo esta segunda nota¸cão um caso particular (compreensão restrita ou especifica¸cão) daquela usada na teoria ingênua dos conjuntos (compreensão irrestrita ou abstra¸cão), a qual pode re- sultar num conjunto em ZF ou não: {x|P (x)}. Em caso negativo, tal objeto não existe em ZF, embora possa existir em outras teorias dos conjuntos.

De volta a ZF, o subconjunto de X determinado por P (x) está bem definido porque sua existência é garantida pelo esquema axiomático de com- preensão restrita, e sua unicidade

¹

´e provada da seguinte forma: dados dois subconjuntos S

1

e S

2

de X determinados por P (x), temos que:

∀x, (x ∈ S

1

⇐⇒ (x ∈ X) ∧ P (x) ⇐⇒ x ∈ S

2

) .

Logo, as pertinˆencia a S

1

e a S

2

se equivalem. Do axioma da extens˜ao, S

1

= S

2

. Q.E.D.

Em alguns dos exerc´ıcios nesta lista, pedimos que se demonstrem unici- dades de conjuntos. Em geral, a ideia ´e usar o axioma da extens˜ao.

1

Isto leva `a unicidade de subconjuntos como: a diferen¸ca A\B e a diferen¸ca sim´etrica

A△B; a interse¸c˜ ao de F; o conjunto dos n´ umeros naturais extra´ıdo do conjunto I, cuja

existência é garantida pelo axioma do infinito; as rela¸cões em um conjunto A, isto é, os

subconjuntos de A × A, fixada uma constru¸c˜ ao do produto cartesiano; as rela¸c˜oes de A

em B, isto ´e, os subconjuntos de A × B .

(2)

Quest˜ ao 1. Sejam A, B e C conjuntos, e F e G conjuntos de conjuntos.

1.a. Recordar que: existe um conjunto (conjunto vazio ∅ ) ao qual nenhum elemento pertence (todo elemento n˜ao pertence) pelo axioma do conjunto vazio; existe um conjunto {A, B} := {x|(x = A) ∧ (x = B)} (par desor- denado) pelo axioma do par desordenado; e que a uni˜ ao da fam´ ılia F de conjuntos ´e ∪F ≡ [

F∈F

F := {x|∃F ∈ F : x ∈ F } e existe pelo axioma da união. Demonstrar que: o conjunto vazio ∅ é ´ unico; o par desordenado {A, B } é ´ unico; a união ∪F é ´ unica; e ∪ ∅ = ∅ ;

1.b. A união de dois conjuntos é definida como A ∪ B := ∪{A, B }. De- monstrar que A ∪ B pode ser descrita por compreensão irrestrita como A ∪ B := {x|(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}, e que a disjun¸cão ∨ é comutativa e associativa. Concluir, disto, que {A, B} = {B, A}, e que a união de dois conjuntos é comutativa e associativa;

1.c. Provar que B ⊆ A = ⇒ (B ∪ C) ⊆ (A ∪ C) e B ⊆ A ⇐⇒ B ∪ A = A.

Desta equivalˆencia, concluir que A ∪ A = A = A ∪ ∅ ; 1.d. A interse¸c˜ao de dois conjuntos pode ser definida como:

A ∩ B := {x|(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}, isto ´e, A ∩ B = {x ∈ A|x ∈ B}.

Demonstrar que a conjun¸cão ∧ é comutativa e associativa. Concluir, a partir disto, que a interse¸cão de dois conjuntos é comutativa e associativa;

1.e. Provar que B ⊆ A = ⇒ (B ∩ C) ⊆ (A ∩ C) e B ⊆ A ⇐⇒ B ∩ A = B.

Desta equivalˆencia, concluir que A ∩ A = A e A ∩ ∅ = ∅ ;

1.f. Recordar que a interse¸cão de uma fam´ılia F não-vazia de conjuntos é de- finida por compreensão irrestrita por: ∩F ≡ \

F∈F

F := {x|∀F ∈ F , x ∈ F }.

Fixado X ∈ F , consideremos o subconjunto I

X

= b {x ∈ X|∀F ∈ F , x ∈ F }.

Consideremos tamb´em o subconjunto J = b {x ∈ ∪F |∀F ∈ F , x ∈ F }.

Demonstrar que I

X

e J são iguais à interseçcão ∩F, ou seja:

∀x, (x ∈ I

X

⇐⇒ x ∈ J ⇐⇒ ∀F ∈ F , x ∈ F ) , independente da escolha de X.

Obs. Logo, ∩F pode ser definida como subconjunto por compreens˜ao res- trita (e o fizemos de duas maneiras !) e, portanto, est´a bem definida em ZF;

1.g. Demonstrar que A ∩ B do Item 1.d ´e igual a ∩{A, B};

1.h. Demonstrar que a disjun¸cão ∨ é distributiva com rela¸cão à conjun¸cão

∧ e vice-versa. Disto, concluir que a uni˜ao de dois conjuntos e a interse¸c˜ao

de dois conjuntos são distributivas uma com rela¸cão à outra;

(3)

1.i. Provar as seguintes formas de distributividade, assumindo F 6= ∅ 6= G:

A ∩ [

F∈F

F

!

= [

F∈F

(A ∩ F ); [

F∈F

F

!

∩ [

G∈G

G

!

= [

F∈F,G∈G

(F ∩ G);

A ∪ \

F∈F

F

!

= \

F∈F

(A ∪ F ); e \

F∈F

F

!

∪ \

G∈G

G

!

= \

F∈F,G∈G

(F ∪ G).

1.j. Consideremos R(A) = b {x ∈ A|x / ∈ x}. Demonstrar que R(A) ∈ / A e, disto, que n˜ao existe um conjunto U ao qual todos os conjuntos pertencem.

Nota¸ c˜ ao. Dados os conjuntos X e Y , denotamos:

X − Y ≡ X\Y := {x ∈ X|x / ∈ Y } = {x|(x ∈ X) ∧ ¬(x ∈ Y )} (diferen¸ ca entre X e Y );

X△Y := (X\Y ) ∪ (Y \X) (diferen¸ ca sim´ etrica entre X e Y );

P (X) := {S|S ⊆ X} (conjunto das partes de X), que existe em ZF pelo axioma do conjunto das partes;

(uni˜ ao disjunta de X e Y ) X ⊔ Y := X ∪ Y quando os conjuntos são disjuntos, isto é, a condi¸cão X ∩ Y = ∅ é verdadeira. Em geral, se F é um conjunto de conjuntos dois a dois disjuntos, então dizemos que a união ∪F

´e uma uni˜ ao disjunta, e a denotamos por ⊔F ≡ G

F∈F

F ;

Quest˜ ao 2. Sejam A, B e C conjuntos, e F um conjunto (fam´ılia) n˜ao-vazio de conjuntos.

2.a. Demonstrar que: A\A = ∅ = ∅ \A; A\ ∅ = A; e (A\B )\B = A\B.

Concluir, dando contraexemplos, que a diferen¸ca de conjuntos não é uma opera¸cão comutativa nem associativa. Ela tem elemento neutro ?

2.b. Demonstrar que a nega¸cão ¬, a conjun¸cão ∧ e a disjun¸cão ∨ satisfazem as leis de De Morgan: dadas proposi¸cões ou predicados P e Q, temos que

¬(P ∧ Q) = ¬P ∨ ¬Q e ¬(P ∨ Q) = ¬P ∧ ¬Q. Diretamente disto, concluir que A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C) e A\(B ∩ C) = (A\B ) ∪ (A\C);

2.c. Demonstrar que A\ [

F∈F

F = \

F∈F

(A\F ) e A\ \

F∈F

F = [

F∈F

(A\F );

2.d. Demonstrar que A△ ∅ = A e que △ é uma opera¸cão comutativa. Ela é

associativa ? Ela tem elemento neutro ?

(4)

2.e. Provar que: A = (A ∩ B) ⊔ (A\B); A ∪ B = ⊔{A\B, A ∩ B, B\A};

(A ∪ B)\B = A\B; A△B = (A ∪ B)\(A ∩ B); e B ⊆ A = ⇒ A△B = A\B;

2.f. Demonstrar que A△B = ∅ ⇐⇒ A ∪ B = A ∩ B ⇐⇒ A = B. Da´ı, concluir que A△A = ∅ ;

2.g. Provar que: A△B = A△C = ⇒ B = C; A∩(B△C) = (A∩B)△(A∩C);

e (A ∪ B)△(A ∪ C) = (B△C)\A. Provar, por contraexemplo, que este ´ ul- timo pode ser diferente de A ∪ (B△C);

2.h. Demonstrar que P(A) ´e ´ unico (e, portanto, est´a bem definido em ZF);

2.i. Descrever, por extens˜ao, P ( ∅ ) e P ({ ∅ }). Eles s˜ao iguais ?

2.j. Qual é a rela¸cão de continência entre P (A ∩ B) e P (A) ∩ P(B) ? Em geral, ⊆, ⊇ ou = ? Se não for a igualdade, dar um contraexemplo para ela ! 2.k. Repetir o item anterior para a rela¸cão entre P (A ∪ B) e P (A) ∪ P(B).

2.l. Dada uma fam´ılia de conjuntos indexada por N , F = {F

n

}

n∈N

, conside- remos a familia G = {G

n

}

n∈N

definida por recurs˜ao a curso de valores como:

G

0

= F

0

; e,

∀n ∈ N , G

_S(n)

= F

_S(n)

\ [

n

=0

G



. Demonstrar que ∪F = ⊔G (disjunta !)

Nota¸ c˜ ao. Dados os conjuntos X e Y , denotamos:

(X, Y )

W

= b { {{X}, ∅ }, {{Y }} } (par ordenado de Wiener); e (X, Y )

K

= b { {X}, {X, Y } } (par ordenado de Kuratowski).

Quest˜ ao 3. Sejam A, B, C e D conjuntos.

3.a. Descrever, por extens˜ao, ( ∅ , ∅ )

W

e ( ∅ , ∅ )

K

. Eles s˜ao iguais ? 3.b. Demonstrar que (A, B )

K

= (C, D)

K

⇐⇒ ((A = C) ∧ (B = D));

3.c. Demonstrar que (A, B)

W

= (C, D)

W

⇐⇒ ((A = C) ∧ (B = D));

3.d. Consideremos a seguinte classe (produto cartesiano de pares ordenados de Wiener) dada por compreens˜ao irrestrita: W

A,B

= b

(a, b)

_W

a ∈ A, b ∈ B . Construir, a partir de A e B, um conjunto X (em ZF) do qual W

A,B

´e sub- conjunto

²

.

2

Disto, temos a boa defini¸c˜ ao de W

A,B

em ZF : dados A e B, existe um ´ unico subcon-

junto W

A,B

= {x ∈ X |a ∈ A, b ∈ B : x = (a, b)

W

}.

(5)

Quest˜ ao 4. Consideremos as duas vers˜oes do axioma do infinito abaixo:

(Na axiom´atica de Zermelo) Existe I

Z

tal que ∅ ∈ I

Z

e ∀X ∈ I

Z

, {X} ∈ I

Z

; (Na axiom´atica ZF, produzindo um sistema de Peano tal que N ´e o ordinal de von Neumann) Existe I

V

tal que ∅ ∈ I

V

e ∀X ∈ I

V

, (X ∪ {X}) ∈ I

V

. 4.a. Assumindo a primeira vers˜ao, demonstrar que (N

Z

, 0

Z

, S

Z

) constitui um sistema de Peano, onde:

• N

Z

:= ∩F , onde F ´e a fam´ılia dos subconjuntos C de I

Z

tais que:

∅ ∈ C e ∀X ∈ C, {X} ∈ C;

• 0

Z

:= ∅ ; e

• S

Z

´e a restri¸c˜ao S|

NZ

da fun¸c˜ao S a N

Z

, onde S : I

Z

−→ I

Z

X 7−→ S (X) = {X};

4.b. Assumindo a segunda vers˜ao, demonstrar que (N

V

, 0

V

, S

V

) constitui um sistema de Peano, onde:

• N

V

:= ∩F, onde F ´e a fam´ılia dos subconjuntos C de I

V

tais que:

∅ ∈ C e ∀X ∈ C, (X ∪ {X}) ∈ C;

• 0

V

:= ∅ ; e

• S

V

´e a restri¸c˜ao S|

NV

de S a N

V

, onde S : I

V

−→ I

V

X 7−→ S (X) = X ∪ {X}.

Quest˜ ao 5. Sejam (N, 0, S) e (N

^′

, 0

^′

, S

^′

) sistemas de Peano, e h : N −→ N

^′

o ´ unico isomorfismo de sistemas de Peano de N em N

^′

. Consideremos as adi¸c˜oes + e +

^′

, as multiplica¸c˜oes · e ·

^′

, e as rela¸c˜oes de ordem ≤ e ≤

^′

des- tes sistemas de Peano, respectivamente. Demonstrar que h preserva adi¸c˜ao, multiplica¸c˜ao, unidade e ordem estrita. Mais precisamente, demonstrar que: