DERIVADAS E DIFERENCIAIS
DE ORDEM SUPERIOR À 1ª
- Acetatos de apoio às aulas de Matemática – FCA2 / FCA3 / GA6 -
Sofia Lopes Portela DMQ – ISCTE-IUL
Ano lectivo 2010/11
Sofia Lopes Portela – DMQ – ISCTE-IUL (Ano lectivo 2010/11 – Matemática – Apontamentos) 2
1. DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR À PRIMEIRA
Seja
f ( x , y )
Derivadas de 1ª ordem
∂
∂
∂
∂
y f x
f ;
Derivadas de 2ª ordem
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
x y
f y
x f y
f x
f
2 22 2 2
2
;
;
;
Derivadas de 3ª ordem
; ⋯
;
;
;
23 2
3 3
3 3
3
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
y x
f y
x f y
f x
f
Teorema de Schwartz
Se todas as derivadas mistas de segunda ordem, excepto uma, são contínuas num ponto, a restante derivada mista também o é nesse ponto.
Função de classe C r
Uma função definida num conjunto aberto A, diz-se de classe C r em A, se existem e são contínuas no conjunto A todas as suas derivadas parciais até à ordem r.
Exercícios: 1, 4, 17 (pag. 28 e 31)
2. DERIVAÇÃO DE FUNÇÕES COMPOSTAS PARA ORDENS SUPERIORES À PRIMEIRA
Exercícios: 1, 2 (pag. 31)
3. DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR À PRIMEIRA
Diferencial de 2ª ordem
2 2
2
f ( x , y ) f ' '
2( x , y ) dx 2 f ' ' ( x , y ) dx dy f ' '
2( x , y ) dy
d =
x+
xy+
yDiferencial de 3ª ordem
3 2 2 3
3 3 2 2 3
( , ) ''' ( , ) 3 ''' ( , ) 3 ''' ( , ) ''' ( , )
x x y xy y
d f x y = f x y dx + f x y dx dy+ f x y dx dy + f x y dy
Exercícios: 1, 2, 6 (pag. 33)
Sofia Lopes Portela – DMQ – ISCTE-IUL (Ano lectivo 2010/11 – Matemática – Apontamentos) 4
4. DETERMINANTES FUNCIONAIS
Matriz Jacobiana
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
n m m
m
n n
x f x
f x f
x f x
f x f
x f x
f x f
J
⋯
⋮
⋱
⋮
⋮
⋯
⋯
2 1
2 2
2 1
2
1 2
1 1
1
Jacobiano
É o determinante da matriz Jacobiana (se for quadrada).
Matriz Hessiana
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
2 2
2 2
1 2
2 2 2
2 2
1 2
2
1 2
2 1
2 2
1 2
n n n
n n
x f x
x f x
x f
x x
f x
f x
x f
x x
f x
x f x
f
H
⋯
⋮
⋱
⋮
⋮
⋯
⋯
Hessiano
É o determinante da matriz Hessiana.
Exercícios: 2, 3 g), 6 a), b) (pag. 34 a 36)
5. EXERCÍCIOS DE EXAMES
Seja g(x,y) uma função de ℜ2 →ℜ, positivamente homogénea de grau 1 e de classe C2 em todo o seu domínio.
a) Mostre que a derivada dirigida de g no ponto (x,y) e na direcção do vector )
, (x y u =
é:
2 2
) , ) (
, ( '
y x
y x y g
x g u
= +
b) Mostre que xg''x2+(x+y)g''xy+yg''y2 =0
Exame 21/06/2003
