DEPARTAMENTO DE F´ISICA
PROGRAMA DE P ´OS-GRADUAC¸ ˜AO EM F´ISICA
M ´ARCIO GOMES VIANA
CAMPO ESCALAR COMPLEXO NUM CEN ´ARIO DE
RANDALL-SUNDRUM
CAMPO ESCALAR COMPLEXO NUM CEN ´ARIO DE RANDALL-SUNDRUM
Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Pro-grama de P´os-Gradua¸c˜ao em F´ısica da Uni-versidade Federal do Cear´a, como requisito parcial para a obten¸c˜ao do T´ıtulo de Mes-tre em F´ısica. ´Area de Concentra¸c˜ao: F´ısica da Mat´eria Condensada.
Orientador: Prof. Dr. Ricardo Renan Lan-dim de Carvalho
CAMPO ESCALAR COMPLEXO NUM CEN ´ARIO DE RANDALL-SUNDRUM
Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Pro-grama de P´os-Gradua¸c˜ao em F´ısica da Uni-versidade Federal do Cear´a, como requisito parcial para a obten¸c˜ao do T´ıtulo de Mes-tre em F´ısica. ´Area de Concentra¸c˜ao: F´ısica da Mat´eria Condensada.
Aprovada em 06/10/2016
BANCA EXAMINADORA
Prof. Dr. Ricardo Renan Landim de Carvalho Universidade Federal do Cear´a (UFC)
Prof. Dr. Ivan Carneiro Jardim Universidade Regional do Cariri (URCA)
Biblioteca do Curso de F´ısica
A000p Viana, M´arcio Gomes.
CAMPO ESCALAR COMPLEXO NUM CEN ´ARIO DE RANDALL-SUNDRUM / M´arcio Gomes Viana. – Fortaleza, 2016.
51.:il.
Disserta¸c˜ao (mestrado) - Universidade Federal do Cear´a, Centro de Ciˆencias, Departamento de F´ısica, Fortaleza, 2016.
´
Area de Concentra¸c˜ao: F´ısica da Mat´eria Condensada Orienta¸c˜ao: Prof. Dr. Ricardo Renan Landim de Carvalho
1. Relatividade Geral.. 2. Randall-Sundrum.. 3. Dimens˜oes Extras.. 4. Campo Escalar Complexo.. 5. Branas.. I. T´ıtulo.
Agrade¸co primeiramente a DEUS, j´a que Ele colocou pessoas t˜ao especiais ao meu lado, sem as quais certamente n˜ao teria conseguido!
A minha querida esposa, Djane Santos, por ser t˜ao importante na minha vida. Por estar sempre ao meu lado, pondo-me para cima e fazendo acreditar que posso mais do que imagino. Devido a sua companhia, amizade, paciˆencia, compreens˜ao, apoio, alegria e amor, este trabalho pˆode ser concretizado. Obrigado por ter feito do meu sonho o nosso sonho!
A meus pais, Manoel Viana e Maria do Socorro, meu infinito agradecimento. Por sempre acreditaram em minha capacidade. Isso s´o me fortaleceu e fez com que eu desse o meu melhor. Obrigado pelo amor incondicional a mim dedicado!
A Meus irm˜aos, Marcelo, Marcos e Kenia, pois, sempre se orgulharam de mim e confiaram em meu trabalho. Obrigado pela confian¸ca!
A Meu sobrinho, Heitor Viana, por toda alegria que vocˆe trouxe a minha vida! A meus av´os, Jacinto e Rita. Primos e tios. Em especial ao tio Alfredo e a tia Maria de Lourdes, que vibraram comigo, desde a aprova¸c˜ao. Obrigado pela for¸ca!
Agrade¸co tamb´em a minhas cunhadas Camyla e Ildamara, meu cunhado Ju-nior, pelo incentivo e apoio. Obrigado pela torcida!
Aos meus amigos do CREU, Raul, Rodrigo, Francisco Emmanoel, Emanuel Wendel, Jason e Wendel Macedo. Pela ajuda nos momentos que mais precisei. Vocˆes foram fundamentais para essa vit´oria. Obrigado pela Amizade!
Ao professor Dr. Ricardo Renan Landim de Carvalho, pela orienta¸c˜ao e pelo voto de confian¸ca depositado em mim desde o primeiro momento.
Ao professor Dr. Geov´a Maciel Alencar pela disponibilidade em me ajudar. A meus amigos do mestrado, pelos momentos compartilhados , especialmente David Herman, que se tornaram verdadeiras amigos. Obrigado por dividir comigo as ang´ustias e alegrias. Foi bom poder contar com vocˆes!
A coordena¸c˜ao do Programa de P´os-gradua¸c˜ao em F´ısica da UFC pela log´ıstica no desenvolvimento desse trabalho.
Aos demais professores e funcion´arios do Departamento da F´ısica da UFC que participaram diretamente ou indiretamente.
Nesse trabalho ´e analisado como se comporta o campo escalar complexo em um cen´ario de Randall-Sundrum (RS). O modelo RS ´e um modelo de dimens˜oes extras, que resolve de maneira satisfat´oria o problema da hierarquia de Higgs. Esse problema diz respeito `a grande discrepˆancia entre `as escalas de massa gravitacional e eletrofraca. Os resultados obtidos s˜ao fundamentados em uma geometria n˜ao-fatoriz´avel do tipo Anti-de-Sitter. Ser´a feita uma revis˜ao sobre Relatividade Geral e Espa¸co-tempo Anti-de-Sitter. Ser´a visto a constru¸c˜ao dos Modelos de RS-I e RS-II, bem como o c´alculo das conex˜oes, atrav´es do s´ımbolo de Christoffel, tensor de Ricci, escalar de Ricci e tensor de Einstein. Por fim, estudamos a localiza¸c˜ao da carga e da corrente do campo complexo na brana.
In this work is analysed how is the behavior of the complex scalar field in the Randall-Sundrum RS scenery. The RS model is a model of extra dimension, that solves satisfac-torily the problem of the Higgs hierarchy. The problem is related to the big discrepancy between the gravitational and eletroweak scales of mass. The obtained results are based in a not factorable geometry of the Anti-de-Sitter type. We will do a review about general relativity and spacetime anti-de-sitter. We will see the construction of the models RS-I and RS-II, as well how the calculus of conections, through the Christoffel symbol, Ricci tensor, Ricci scalar and Einsteins tensor. Finally, we study the localization of the charge and current of the complex field in a brane.
Figura 1 – OrbifoldS1/Z2. Adaptado de [19]. . . 17
Figura 2 – Randall-Sundrum setup. Adaptado de [19]. . . 17
Figura 3 – O comportamento do fator de warp no modelo RS-II . . . 20
1 INTRODUC¸ ˜AO . . . 10
2 RELATIVIDADE GERAL . . . 13
2.1 Espa¸co-tempo Anti-de-Sitter . . . 15
3 MODELOS DE RANDALL-SUNDRUM . . . 16
3.1 O Modelo RS-I . . . 16
3.2 A M´etrica . . . 19
3.3 O Modelo de RS-II . . . 20
3.4 Conex˜oes . . . 21
3.5 Tensor de Ricci . . . 23
3.6 Escalar de Curvatura de Ricci . . . 25
3.7 Tensor de Einstein . . . 25
3.8 A M´etrica Conformalmente Plana . . . 27
3.9 Localiza¸c˜ao do Campo Gravitacional . . . 29
3.10 Equa¸c˜ao Tipo-Schrodinger . . . 32
3.11 Resolvendo a Equa¸c˜ao tipo Schrodinger no caso do modo zero 35 4 CAMPO ESCALAR COMPLEXO . . . 37
4.1 Revis˜ao sobre campo escalar complexo num espa¸co curvo . . . 37
4.2 Campo escalar complexo num cen´ario de Randall-Sundrum . 39 4.3 Estudo da localiza¸c˜ao da carga e da corrente . . . 47
5 CONCLUS ˜AO . . . 50
1 INTRODUC¸ ˜AO
Intera¸c˜oes fundamentais na natureza s˜ao descritas at´e o presente momento pelo Modelo Padr˜ao de Part´ıculas (MPP) e a Teoria da Relatividade Geral (TRG), ambas descritas em quatro dimens˜oes. Com o passar dos anos, v´arios f´ısicos te´oricos observaram que essas teorias mostravam-se incompletas. Isso despertou no meio acadˆemico grande motiva¸c˜ao, gerando uma quantidade de publica¸c˜oes que visavam a solu¸c˜ao de problemas apresentadas por tais teorias [1]. Um tipo de modelo que explica v´arios aspectos onde a Teoria Quˆantica de Campos (TQC) falha ´e o modelo de dimens˜oes extras.
O objetivo central dos modelos de dimens˜oes extras ´e considerar o universo de quatro dimens˜oes como uma hiper superf´ıcie chamada de 3-brana, que est´a inserida no espa¸co-tempo (4+d)- dimensional chamado de bulk, onde d ´e o n´umero de dimens˜oes extras, incorporada em v´arias superf´ıcies multidimensional. De acordo com a Relatividade Geral a gravidade ´e geom´etrica, e por isso deve ser estendida por todo o espa¸co-tempo. Apesar de n˜ao existir nenhuma evidˆencia experimental de que nosso universo possua mais do que quatro dimens˜oes, isto n˜ao limita o n´umero de dimens˜oes do nosso universo. Segundo Zwiebach [2] elas pode ser manifestadas somente em uma alta escala de energia. Estudar F´ısica de Altas Energias com o aux´ılio de dimens˜oes extras pode tamb´em ser o caminho para unificar a gravidade com as outras for¸cas fundamentais [3].
O pioneirismo no contexto de teorias com dimens˜ao superior, ocorreu por volta de 1920 com Theodor Kaluza e Oscar Klein (KK) na tentativa de unifica¸c˜ao da Gravita¸c˜ao com o Eletromagnetismo [4]. A teoria por eles proposta considerava um espa¸co com cinco dimens˜oes, sendo quatro espaciais e uma temporal. Para explicar o fato de n˜ao existir nenhum efeito detectado que revele a existˆencia dessas dimens˜oes extras, o modelo de KK leva em conta a considera¸c˜ao de que a dimens˜ao extra era compacta. Embora esse modelo fosse completamente inovador a teoria de Kaluza-Klein apresentava certos problemas. Dentre eles pode-se destacar fato do da falta de estabilidade do raio da dimens˜ao extra. e tamb´em a presen¸ca de um campo escalar na teoria quadrimensional que entra em contradi¸c˜ao com as equa¸c˜oes de Maxwell [5].
trˆes tipos de dimens˜oes espaciais: a dimens˜ao orbifold, 3 dimens˜oes espaciais n˜ao com-pactasque correspondem `as 3 coordenadas espaciais ordin´arias e, finalmente,6 dimens˜oes adicionais, que podem ser compactificadas na forma usual deKaluza-Klein, isto ´e, em um raio do tamanho do comprimento de Planck (≈ 10−33cm). Conhecida atualmente como
Teoria de Cordas.
A Teoria de Cordas, foi inicialmente estabelecida para descrever intera¸c˜oes for-tes tendo uma escala hadrˆonica da ordem de GeV definida pela tens˜ao da corda. Foi ent˜ao que se procurou relacionar tal modo com o gr´aviton, substituindo ent˜ao, a escala hadrˆonica pela escala de Planck gravitacionalMP l = 10−19GeV. A partir desta substitui¸c˜ao, a teoria de cordas foi ent˜ao a primeira fus˜ao da teoria gravitacional com a mecˆanica quˆantica. As dimens˜oes adicionais s˜ao regularmente microsc´opicas devido a escala natural de compri-mento ser da ordem da escala de Planck, em torno de 10−33cm, o que infelizmente torna dif´ıcil a viabilidade experimental da teoria.
O conceito de dimens˜oes extras microsc´opicas foi usado posteriormente por Arkani-Harmed, Dimopoulos e Dvali (ADD) [8], baseado na ideia formulada em 1983 por Rubakov e Shaposhnikov [9], para calcular o tamanho permitido para dimens˜oes extras, tendo como principal prop´osito solucionar oproblema da hierarquia. Esse problema diz respeito `a grande discrepˆancia entre `as escalas de massa gravitacional e eletrofraca,
MP l = 1019 GeV e MEf = 103GeV, respectivamente. A escala de Planck ´e definida pela equivalˆencia entre a massa e energia a partir da massa de Planck, que por sua vez ´e representada pela unidade de massa no sistema natural de unidades. Mais precisamente o valor de massa ´e dado por mp =
p
~c/G ≃1,2209×1019GeV/c2, onde c ´e velocidade da luz no v´acuo, G a constante gravitacional e ~ ´e a constante de Planck reduzida. A escala eletrofraca por sua vez ´e determinada por v = (GF
√
2)1/2, onde G
F ´e a constante de Fermi.
discreto. Os mesmos autores publicaram um segundo artigo, no qual conjecturaram que a intera¸c˜ao gravitacional ´e a ´unica que pode existir fora do mundo observ´avel, o que obriga as demais intera¸c˜oes ficarem confinadas nas quatro dimens˜oes. Esse modelo ´e conhecido comomodelo Randall-Sundrum tipo 2, que ´e simplesmente representado por RS-2 [13].
Esses trabalhos introduziram na F´ısica de Altas energias, o que atualmente chama-se localiza¸c˜ao de campos. Diz-se que uma representa¸c˜ao do grupo de Lorentz ´e localizado. De uma certa forma isso ´e logico, pois de acordo com o modelo RS, somente a gravidade pode propaga-se na dimens˜ao extra, ent˜ao a contribui¸c˜ao dos campos nessa dimens˜ao deve desaparecer e reduzir-se a que ´e observado no modelo padr˜ao.
2 RELATIVIDADE GERAL
A intera¸c˜ao gravitacional ´e de car´ater universal, isto ´e, todos os corpos mas-sivos est˜ao sujeitos a ela. Albert Einstein (1879-1955) foi um dos pioneiros a formular uma teoria para a gravita¸c˜ao compat´ıvel com a relatividade especial e que no limite da mecˆanica cl´assica, recupera a equa¸c˜ao de Poisson. A Teoria da Relatividade Geral (TRG) ´e uma teoria relativ´ıstica para o campo gravitacional formulada por Einstein por volta da segunda d´ecada do s´eculo XX. Essa teoria relaciona mat´eria-energia com a geometria do espa¸co-tempo de uma forma bastante peculiar. Ela permite determinar a m´etricagµν de onde se obt´em a informa¸c˜ao geom´etrica (campo gravitacional) produzida por uma distribui¸c˜ao de mat´eria-energia. Para construir tal teoria, Einstein baseou-se em uma ob-serva¸c˜ao, que posteriormente se tornou um princ´ıpio, chamado princ´ıpio da equivalˆencia. Basicamente esse princ´ıpio diz que todas as leis da F´ısica se reduzem localmente `a relati-vidade especial, atrav´es de uma escolha adequada do sistema de referˆencia [14].
Na TRG a geometria do espa¸co-tempo ´e modificada pela existˆencia de mat´eria-energia gerada por campos que podem ser acoplados com a gravidade, atrav´es doTensor Energia-Momento M´etrico. Dado uma a¸c˜ao que representa uma certa teoria de campo
D-dimensional
Smat=
Z
ΩL
mat√−gdDx. (2.1)
O tensor energia-momento fica definido como [15]
δSmat=− 1 2
Z
Ω
TM NδgM N√−gdDx. (2.2) onde g ´e o determinante da m´etrica e gM N ´e a inversa da m´etrica em D dimens˜oes.
Uma simetria essencial para a a¸c˜ao da mat´eria ´e a invariˆancia por difeomor-fismo (transforma¸c˜oes gerais de coordenadas) xM → x′M. Considere a transforma¸c˜ao infinitesimal
na conserva¸c˜ao do tensor energia momento
∇NTM N = 0. (2.4)
Pode-se ent˜ao dizer que a conserva¸c˜ao do tensor energia-momento ´e uma consequˆencia direta da exigˆencia de que os sistemas f´ısicos existam, independente da escolha do sistema de coordenadas.
Uma vez dado uma teoria que descreve a mat´eria, como relacion´a-la com a geometria do espa¸co-tempo? Nesse caso deve-se construir uma a¸c˜ao que possa ser aco-plada com a mat´eria, que seja invariante por difeomorfismos, e que forne¸ca a informa¸c˜ao geom´etrica do espa¸co atrav´es do c´alculo de varia¸c˜oes; para obter a equa¸c˜ao que descreve a dinˆamica geom´etrica, ou seja, a dinˆamica degM N [15]. A a¸c˜ao que descreve a dinˆamica da m´etrica foi proposta por David Hilbert (1862-1943), conhecida como a¸c˜ao de Einstein-Hilbert. Se o espa¸co tempo em sua forma fundamental possuir D dimens˜oes, tal a¸c˜ao ´e definida como
SEH =MD−2
Z
Ω
R√−gdDx, (2.5)
onde M fornece a escala de energia da gravita¸c˜ao em D dimens˜oes. Para o caso qua-drimensional a escala de energia ´e chamada de escala de Planck e tˆem-se que MD−2 =
M2
P l = 1/16πG sendo que G ´e a constante da gravita¸c˜ao universal de Newton. Ω ´e a variedade que representa o espa¸co-tempo, √−gdDx´e o elemento de volume invariante e
R´e o escalar de Ricci, que ´e dado por
R=gM NRM N, (2.6)
eRM N ´e o tensor de Ricci, dado por [16]
RM N =∂LΓLM N−∂NΓLM L+ ΓPM NΓLLP −ΓPLMΓLN P, (2.7) onde ΓA
BC ´eo S´ımbolo de Christoffel. Esses objetos, n˜ao tensoriais, podem ser escritos em fun¸c˜ao da m´etrica como [17]
ΓABC = 1 2g
AP(∂
campo de Einstein
RM N− 1
2gM NR=κ (D)T
M N, (2.9)
onde define-se κ(D)= 1/2MD−2.
2.1 Espa¸co-tempo Anti-de-Sitter
O Espa¸co-tempo de Anti-de-Sitter (AdS) ´e um espa¸co maximalmente sim´etrico, isto ´e, as coordenadas temporais e espaciais est˜ao em p´e de igualdade, de assinatura Lo-rentziana (-,+,+...,+), mas com constante de curvatura negativa. ´E o an´alogo Lorentziano do espa¸co de Lobachevski, cuja assinatura ´e Euclidiana [18] e sua vers˜ao 5-dimensional ´e a arena do modelo Randall-Sundrum [12].
O espa¸co Anti-de-Sitter de assinatura (p, q) pode ser incorporado isometricamente no espa¸coRp,q+1 com coordenadas (x1, ..., xp, t1, ..., tq+1) e m´etrica
ds2 = p
X
i=1
dx2 i −
q+1
X
j=1
dt2 j
p
X
i=1
x2i −
q+1
X
j=1
t2j =−R2. (2.10)
O AdS5 ´e o background do modelo Randall-Sundrum, que pode ser considerado como uma subvariedade de um espa¸co pseudo-euclidiano de 6 dimens˜oes, descrito como:
ds2 = −dx20+ 4
X
i=1
dx2i −dz2
−x20+ 4
X
i=1
x2i −z2 =−R2. (2.11)
Portanto, a distˆancia entre dois pontos nesse espa¸co ´e invariante sobre um transforma¸c˜ao do tipo x′µ= Λµ
3 MODELOS DE RANDALL-SUNDRUM
Nesse capitulo faremos uma pequena abordagem sobre os modelos Randall-Sundrum, RS-I e RS-II, bem como a m´etrica usada no modelo. Feito isto calcularemos as conex˜oes existentes atrav´es do simbolo de Chistoffel, o tensor de Ricci, o escalar de Ricci e o tensor de Einstein. Tornar a m´etrica proposta pelo modeloRS conformalmente plana, para posteriormente calcular os modos massivos. Em seguida, localizar o Campo Gravitacional, por fim, resolver a equa¸c˜ao tipo Schrodinger.
3.1 O Modelo RS-I
O fato de n˜ao ser poss´ıvel (at´e agora) observar as dimens˜oes extras, n˜ao quer dizer que elas n˜ao existam. Pode-se pensar nelas como muito pequenas e enroladas, ou seja, compactas. Uma forma de justificar esse pensamento reside no fato que a escala de compactifica¸c˜ao teria que ser menor do que a escala eletrofraca que governa o Modelo Padr˜ao de Part´ıculas (MP) [12].
Lisa Randall e Raman Sundrum (RS) propuseram em 1999 um modelo que resolveu o problema da hierarquia de Higgs. Esse problema diz respeito a grande dis-crepˆancia entre as escalas de energia do MP, que ´e da ordem de 103GeV e a de Planck, que ´e a escala de energia na qual os fenˆomenos de gravidade quˆantica s˜ao predominantes, da ordem de 1019GeV [3].
O modelo Randall-Sundrum tipo I (RS-I), ´e constru´ıdo em 5 dimens˜oes (D=5) onde s´o existe uma ´unica dimens˜ao extra compacta representada por uma circunferˆencia parametrizada por um ˆangulo φ definida no intervalo −π ≤ φ ≤ π, da forma rcφ, onde rc ´e o chamado raio de compactifica¸c˜ao. Exatamente em φ = 0 e φ = π exis-tem duas hipersuperf´ıcies quadrimensionais chamadas 3-branas que modelam um defeito topol´ogico no bulk. A dimens˜ao extra ´e orientada por um grupo de simetriaZ2 = (−1,1) transformando-a no que os matem´aticos chamam de orbifold S1/Z2, atrav´es da identi-fica¸c˜ao (xµ, φ)∼(xµ,−φ), como ilustrado na figura 1. As duas 3-branas representam dois mundos distintos a uma distˆancia L = πrc, e sobre uma delas repousa o MP governado pela intera¸c˜ao eletrofraca. Todo esse aparato fica imerso em um espa¸co 5-dimensional chamadobulk, como ilustrado na figura 2.
As condi¸c˜oes de contorno impostas sobre a m´etrica de fundo do Bulk s˜ao
onde gvis
µν(xµ) ´e a m´etrica especificada sobre a brana vis´ıvel (onde se encontra o modelo padr˜ao) e gocu
µν ´e a m´etrica especificada sobre a outra brana, que est´a ’oculta’, e gµν com
µ, ν = 0,1,2,3. Esse modelo parte da hip´otese de que todos os campos do modelo padr˜ao se encontram confinados sobre a brana vis´ıvel, e somente a gravidade pode se propagar nas demais dimens˜oes, uma vez que ela ´e intr´ınseca ao espa¸co-tempo.
Figura 1: OrbifoldS1/Z
2. Adaptado de [19].
Figura 2: Randall-Sundrum setup. Adaptado de [19].
A a¸c˜ao cl´assica que descreve o modelo deve conter a gravidade dilu´ıda no bulk, e a a¸c˜ao dos campos em cada brana. Primeiro escreve-se a a¸c˜ao da gravidade em cinco dimens˜oes usando (2.5) acrescida de um termo com uma constante cosmol´ogica negativa 5-dimensional, da forma
Sg =M3
Z
d5x√−g(R−2Λ) =M3
Z
d4x
Z π
−π
dimens˜oes. As a¸c˜oes das branas v´ısivel e oculta s˜ao quadrimensionais, dadas respectiva-mente por
Svis = −Vvis
Z
d4x√−gvis, (3.3)
Socu = −Vocu
Z
d4x√−gocu. (3.4) ondegvisegocus˜ao as m´etricas quadrimensionais induzidas sobre as branas v´ısivel e oculta, respectivamente. As quantidadesVvis e Vocu s˜ao as constantes cosmol´ogicas (tens˜oes) nas branas. A a¸c˜ao do modelo RS-I ´e ent˜ao
S=Sg+Socu+Svis. (3.5) A princ´ıpio o modelo foi constru´ıdo especificamente para a gravidade pura, dessa forma n˜ao acrescenta-se mat´eria nas branas (Lvis=Locu = 0). A varia¸c˜ao da a¸c˜ao gravitacional em rela¸c˜ao a m´etrica do bulk se torna
δSg =M3
Z
d4x
Z π
−π
dφ√−g(GM N + ΛgM N)δgM N. (3.6) onde GM N ´e o tensor de Einstein definido como [15]
GM N =RM N− 1
2gM NR. (3.7)
A a¸c˜ao variada das branas, com rela¸c˜ao a mesma m´etrica do bulk, pode ser escrita como:
δSb = 1 2
Z
d4x
Z π
−π
dφ[Vocu√−gocuδ(φ)gµνocu+Vvis√−gvisδ(φ−π)gµνvis]δ µ
MδNν, (3.8) que comparada com a defini¸c˜ao padr˜ao do tensor-energia momento produz:
TM N =− 1
√
−g[Vocu √
−gocuδ(φ)gocuµν +Vvis√−gvisδ(φ−π)gvisµν]δ µ Mδ
ν
N. (3.9) Ent˜ao as equa¸c˜oes de Einstein se tornam
GM N+ ΛgM N =−
(−g)−1/2 2M3 [Vocu
√
3.2 A M´etrica
Uma vez determinadas as equa¸c˜oes de campo, deve-se determinar a m´etrica que as resolve. Geralmente em gravita¸c˜ao, a m´etrica quadrimensional gµν ´e fun¸c˜ao das coordenadas do espa¸co-tempo xµ. Quando acrescenta-se uma dimens˜ao extra, a m´etrica 5-dimensional passa a depender dessa inclus˜ao, ou seja, tem-se agora gM N =gM N(x, φ). Ent˜ao o elemento de linha 5-dimensional pode ser escrito como
ds2 = gM NdxMdxN
= ¯gµν(x)dxµdxν + 2gφµ(x, φ)dφdxµ+gφφ(φ)dφ2. (3.11) onde ¯gµν ´e a m´etrica quadrimensional independente da dimens˜ao extra. No entanto pode-se pensar em uma m´etrica que fospode-se composta separadamente por um termo que s´o de-penda das quatro coordenadas do espa¸co-tempo usuais e outro termo que dede-penda somente da dimens˜ao extra. Para isso deve-se impor que gφµ(x, φ) = 0, porque a brana possuir uma simetria de paridade (xµ → −xµ) de forma que
ds2 = ¯gµν(x)dxµdxν +gφφ(φ)dφ2. (3.12) Isso significa que a variedade 5-dimensional do modelo pode ser escrita como um produto direto entre a variedade do espa¸co-tempo quadrimensionalM(4) e o orbifold
M(5) =M(4)⊗S1/Z2. (3.13) Quando isso ´e poss´ıvel o espa¸co em quest˜ao possui uma geometriafatoriz´avel. Por outro lado se n˜ao for poss´ıvel escrever a m´etrica de uma variedade como (3.13), ent˜ao ela possui uma m´etrican˜ao-fatoriz´avel.
O ansatz proposto pelo modelo RS-I que resolve as equa¸c˜oes de Einstein (3.10) deve preservar a invariˆancia de Poincar´e, ser est´atica, e em cima da brana vis´ıvel ela deve se tornar a m´etrica de Minkowski quadrimensional. A m´etrica proposta foi do tipo n˜ao-fatoriz´avel da forma
ds2 =e−2σ(φ)ηµνdxµdxν +rc2dφ2, (3.14) onde ηµν =diag(−1,1,1,1) ´e em 4D a m´etrica de Minkowski.
est´a de acordo com a hip´otese do modelo visto na se¸c˜ao anterior. 3.3 O Modelo de RS-II
´
E de se observar que, as dimens˜oes do mundo em que vivemos n˜ao s˜ao compac-tas. E mantendo a mesma hip´otese do modelo RS-I, o Modelo Padr˜ao n˜ao ir´a se propagar ao longo da dimens˜ao extra. Dessa maneira, ´e preciso fazer uma pequena mudan¸ca no modelo proposto anteriormente, considerando que a quinta dimens˜ao seja n˜ao-compacta. Dessa forma origina-se omodelo Randall-Sundrum tipo II (RS-II) [13]. Esse novo modelo ´e bastante similar ao primeiro, exceto pelo fato de tomarmos como dimens˜ao extra, uma coordenada n˜ao-compacta y. A a¸c˜ao do modelo ´e [13]
S=M3
Z
d4x
Z πrc
0
dy√−g(R−2Λ)−Vocu
Z
d4x√−gocu−Vvis
Z
d4x√−gvis. (3.15) Realizando o mesmo procedimento do primeiro modelo, exeto pelo fato de trocarmos a posi¸c˜ao das branas vis´ıvel (y= 0) e oculta (yc =πrc), as equa¸c˜oes de Einstein para esse modelo se tornam
GM N+ ΛgM N =−
(−g)−1/2 2M3 [Vvis
√
−gvisδ(y)gµνvis+Vocu√−gocuδ(y−yc)gocuµν]δ µ
MδνN.(3.16) Considerando tamb´em uma simetria de orbifold, mas agora com y → −y, a solu¸c˜ao para as equa¸c˜oes de Einstein ´e
ds2 =e−2k|y|ηµνdxµdxν +dy2. (3.17) A geometria continua sendo AdS5, podemos ver o comportamento do fator de warp na figura (3). Al´em disso as rela¸c˜oes entreVvis e Vocu (o “fine tuning”) ficam invertidas,
Vvis =−Vocu = 12M3k e Λ =−6k2. (3.18)
Figura 3: O comportamento do fator de warp no modelo RS-II
quadrimen-sional, resolvendo tamb´em o problema da hierarquia. No entanto esse modelo ser´a usado para determinar os modos gravitacionais. Nesse trabalho estudaremos a localiza¸c˜ao da carga e da corrente do campo escala complexo usando, como base, o modelo RS-II. 3.4 Conex˜oes
Nesta sec¸c˜ao iremos calcular todas as conex˜oes existentes no modelo RS, atrav´es do simbolo de Christoffel. O c´alculo das conex˜oes ser˜ao de grande importˆancia para posteriormente calcularmos o tensor de Ricci, o escalar de Ricci e por fim o tensor de Einstein.
Dada a m´etrica do modelo RS [12] por
gM N = e
2A(y)ηµν 0
0 1
!
, (3.19)
E a m´etrica inversa
gM N =
e−2A(y)η µν 0
0 1
!
, (3.20)
onde e−2A(y) ´e conhecido como fator de warp. Usando a equa¸c˜ao (2.8) temos: Para A=5, B=5 e C=5
Γ555=g5P (∂5gA5+∂5g5A−∂Ag55), onde P s´o pode ser 5. Logo
Γ555 = 1 2g
55(∂
5g55+∂5g55−∂5g55) = 0. (3.21) Para B=5 e C=5
ΓA55 = 1 2g
AP(∂
5g5P +∂5gP5−∂Pg55), usando P=5, teremos
ΓA55= 1 2g
A5(∂
5g55+∂5g55−∂5g55) = 0. (3.22) Para A=5 e C=5
Γ5B5 = 1 2g
5P (∂
Bg5P +∂5gBP −∂PgB5), onde P s´o pode ser 5. Logo
Γ5B5 = 1 2g
55(∂
Dai Γ5
µ5 = 0 e consequentemente Γ55µ = 0, pois B s´o pode ser µ. Para A=µ, B=ν e C=5
Γµν5 = 1 2g
µP(∂
νg5P +∂5gνP −∂Pgν5), usando P=ρ temos
Γµν5 = 1 2g
µρ(∂
νg5ρ+∂5gνρ−∂ρgν5), Γµν5 = 1
2g µρ(∂
5gνρ), Γµν5 = 1
2e
2A(y)ηµρ∂
5 e−2A(y)ηνρ
,
Γµν5 = 1 2e
2A(y)ηµρη
νρ(−2)e−2A(y)A′(y).
Γµν5 =−A′(y)δνµ. (3.24) Por consequˆencia:
Γµ5ν =−A′(y)δνµ. (3.25) Adotando A=5 teremos
Γ5BC = 1 2g
5P[∂
BgCP +∂CgAP −∂PgBC], o valor de P s´o pode ser 5, pois g55= 1. Logo
Γ5BC = 1 2g
55[∂
BgC5+∂Cg5B−∂5gBC]. Agora usando B=µ e C=ν obtemos
Γ5µν = 1
2.1 [∂µgν5+∂νg5µ−∂5gµν],
onde usamosg55 = 1. Com isso os dois primeiros termos valem zero. Dai Γ5µν =−1
2∂5 e
−2A(y)η µν
,
Γ5µν =−1
2(−2)A
′(y)e−2A(y)η µν,
Γ5µν =A′(y)e−2A(y)ηµν. (3.26) Ou
Para A=µ, B=ν e C=ρ teremos Γµνρ= 1
2g µP(∂
νgρP +∂ρgνP −∂Pgνρ). Observando P s´o pode serγ, logo
Γµνρ= 1 2g
µγ(∂
νgργ +∂ρgνγ−∂γgνρ) = 0. (3.28) ´
E nulo pois gµν ´e fun¸c˜ao s´o da dimens˜ao extra.
Com isso concluirmos que as ´unicas conex˜oes existentes s˜ao: (3.24), (3.25) e (3.27). 3.5 Tensor de Ricci
Em geometria diferencial, o tensor de curvatura de Ricci, ou simplesmente
tensor de Ricci, ´e um tensor bivalente, obtido como um tra¸co do pleno tensor de curvatura. Usando um sistema de coordenadas naturais, o tensor de Ricci ´e igual a [17]
RAB =∂PΓPAB −∂BΓPAP + ΓPRPΓRAB−ΓPRBΓRAP. (3.29) Para A=5 e B=5 teremos
R55=∂PΓP55−∂5ΓP5P + ΓPRPΓR55−ΓPR5ΓR5P,
R55 =∂P(0)−∂5[−A′(y)]δµµ+ ΓPRP.0−[−A′(y)] [−A′(y)]δνµδµν,
R55=A′′(y)(D−1)−A′2(y)(D−1). (3.30) Ou
R55 = (D−1)
A′′(y)−A′2(y)
, (3.31)
onde δµ
µ =D−1, e D ´e o n´umero de dimens˜oes. Para cinco dimens˜oes D= 5, temos:
R55= 4
A′′(y)−A′2(y)
. (3.32)
Para A=5 eB =µ teremos
R5µ=∂PΓP5µ−∂µΓP5P + ΓPRPΓR5µ−ΓPRµΓR5P,
R5µ=∂P
−A′(y)δP µ
−∂µ
−A′(y)δP P
+ ΓP RP
−A′(y)δR µ
−ΓP Rµ
−A′(y)δR P
,
Pois A’(y) s´o depende da dimens˜ao extra, por consequˆenciaRµ5 = 0. ParaA=µe B =ν.
Rµν =∂PΓPµν−∂νΓPµP + ΓPRPΓRµν −ΓRνPΓPµR. (3.34) Observando que o segundo termo ´e nulo e resolvendo os outros termos separa-dos, teremos
∂PΓPµν =∂5Γ5µν +∂λΓλµν,
∂PΓPµν =∂5 A′(y)ηµνe−2A(y)
,
∂PΓPµν =ηµν
A′′(y)e−2A(y)−2A′2(y)e−2A(y)
,
∂PΓPµν =ηµνe−2A(y)
A′′(y)−2A′2(y)
. (3.35)
Resolvendo o terceiro termo da equa¸c˜ao (3.34) teremos ΓPRPΓRµν = Γ5R5ΓRµν + ΓλRλΓRµν,
ΓPRPΓRµν = Γλ5λΓ5µν+ ΓλρλΓρµν =−A′(y)δλλA′(y)ηµνe−2A(y),
ΓP
RPΓRµν =−A′2(y)Dηµνe−2A(y), (3.36) ondeδλ
λ =D,e D ´e o n´umero de dimens˜oes. Agora Resolvendo o quarto termo da equa¸c˜ao (3.34) teremos
ΓRνPΓPµR = ΓRν5ΓµR5 + ΓRνλΓλµR = Γ5ν5Γ5µ5+ Γλν5Γ5µλ+ Γνλ5 Γλµ5+ ΓρνλΓλµρ.
Observando que o primeiro e o quarto termo da equa¸c˜ao acima s˜ao nulos, e separando os temos que sobraram teremos
Γλν5Γλµν =−A′(y)δλνA′(y)ηµλe−2A(y)=−A′2(y)ηµνe−2A(y), Γ5νλΓλµ5 =A′(y)ηνλe−2A(y)(−A′(y))δµλ =−A′2(y)ηνµe−2A(y), Logo:
Γλν5Γ5µλ+ Γ5νλΓλµ5 =−2A′2(y)ηµνe−2A(y). (3.37) Juntando as equa¸c˜oes (3.35) ,(3.36) e (3.37) teremos
Rµν =ηµνe−2A(y)
A′′(y)−2A′2(y)
Rµν =ηµνe−2A(y)
A′′(y)−DA′2(y)
. (3.38)
Para D=4
Rµν =ηµνe−2A(y)
A′′(y)−4A′2(y)
. (3.39)
Ou
Rµν =gµν
A′′(y)−4A′2(y)
, (3.40)
onde gµν =ηµνe−2A(y).
3.6 Escalar de Curvatura de Ricci
O escalar de curvatura de Ricci R pode ser expresso facilmente em termos do tensor m´etrico gµν(e suas derivadas primeiras) que define a geometria da superf´ıcie ou variedade riemanniana, cuja a curvatura escalar pretendemos encontrar, usando a conven¸c˜ao de soma de Einstein. O escalar de curvatura de Ricci ´e dado por
R=gM NRM N.
R =g55R55+gµνRµν + 2g5µR5µ,
R=D
A′′(y)−A′2(y)
+e−2A(y)ηµνηµνe2A(y)
A′′(y)−DA′2(y)
,
onde ηµνηµν =D, n´umero de dimens˜oes.
R=D
2A′′(y)−(D+ 1)A′2(y)
. (3.41)
Para D=4, teremos
R= 8A′′(y)−20A′2(y). (3.42) 3.7 Tensor de Einstein
O tensor de Einstein(tamb´em conhecido por tensor de tra¸co revertido de Ricci),´e usado para expressar a curvatura de uma variedade de Riemann. Em Relati-vidade Geral, o tensor de Einstein aparece nas equa¸c˜oes de campo de Einstein para a gravita¸c˜ao descrevendo a curvatura do espa¸co-tempo. O tensor de Einstein ´e definido da seguinte forma [17]
Gµν =Rµν− 1
sendo Rµν o tensor de Ricci, gµν o tensor m´etrico e R o escalar de Ricci. Usando as equa¸c˜oes (3.38) e (3.41), obtemos
Gµν =gµν
A′′(y)−DA′2(y)
− 1
2gµνD
2A′′(y)−(D+ 1)A′2(y)
,
Gµν =gµν
A′′(y)−DA′2(y)−DA′′(y) + (D+ 1)D
2 A
′2(y)
,
Gµν =gµν
A′′(y)(1−D) + D(D−1)
2 A
′2(y)
,
Gµν =gµν(D−1)
D
2A ′2(y)
−A′′(y)
. (3.44)
Para D=4, temos
Gµν =gµν(4−1)
4 2A
′2(y)
−A′′(y)
,
Gµν =gµν
6A′2(y)−3A′′(y)
. (3.45)
Calculando agoraG55, fica
G55 =R55− 1
2g55R. (3.46)
G55=D
A′′(y)−A′2(y)
− 1
2D
2A′′(y)−(D+ 1)A′2(y)
,
G55 =D
A′′(y)−A′2(y)−A′′(y) + (D+ 1)
2 A
′2(y)
,
G55=D
(D−1)
2 A
′2(y)
. (3.47)
Para D=4 temos
G55 = 6A′2. (3.48)
A componente 55 da equa¸c˜ao de Einstein pode ser dada ent˜ao por
G55 = 6A′2 = − Λ 2M3.
Nota-se que uma solu¸c˜ao real para que A exista, ´e somente se a constante cosmol´ogica 5D for negativa Λ, o que significa que o espa¸co entre as branas ´e anti-de Sitter, notado por
chamamos deK2, logo:
A′2 = −Λ 12M3 ≡K
2. (3.49)
3.8 A M´etrica Conformalmente Plana
Para entender como funciona o modelo Randall-Sundrum,e posteriormente cal-cular os modos massivos, primeiro temos que encontrar express˜oes explicitas, que corres-pondem a pequenas flutua¸c˜oes,hM N(x, y) em torno da m´etrica [19]. Isto ser´a alcan¸cado atrav´es do c´alculo das solu¸c˜oes de Einstein linearizadas. Assim, no caso de uma simples brana, a solu¸c˜ao para a m´etrica ´e
ds2 =e−2k|y|η
µνdxµdxν +dy2. (3.50)
ds2 = e
−2k|y|η
µνdxµdxν 0
0 dy2
!
. (3.51)
Nesse modelo, a dimens˜ao y n˜ao ´e compacta, mas mesmo assim temos uma escala de Planck finita e perfeitamente definida. ´E conveniente trabalhar com uma m´etrica conformalmente plana, isto ´e, uma m´etrica proporcional ao espa¸co plano. Para conseguir isso, temos que definir uma nova vari´avel z(dimens˜ao extra) relacionada com y atrav´es de:
dy2 =e−2k|y|dz2. (3.52) A integra¸c˜ao desta equa¸c˜ao produz uma constante, que foi ajustada de modo a ter o valor zero de y correspondente ao valor zero de z. O resultado fica
k|z|=ek|y|−1. (3.53) Isolando a parte de y e elevando ao quadrado temos
e−2k|y| = 1
(1 +k|z|)2. (3.54) Substituindo esse valor no equa¸c˜ao (3.52) temos
ds2 =e−2k|y|ηµνdxµdxν +e−2k|y|dz2
ds2 =e−2k|y|(η
ds2 = 1
(1 +k|z|)2 ηµνdx
µdxν +dz2
. (3.55)
Onde podemos escrever da seguinte forma:
ds2 =e−2A(z)ηM NdxMdxN. (3.56) Onde usamos a nota¸c˜aox5 =z. A fun¸c˜ao A(z) ´e dada por
e−2A(z)= 1
(k|z|+ 1)2. (3.57) Logo:
A(z) = ln(k|z|+ 1). (3.58)
Com objetivos futuros, iremos calcular a primeira e segunda derivada da fun¸c˜ao.
A′(z) = sgn(z)k
k|z|+ 1. (3.59)
A′2(z) = k 2
(k|z|+ 1)2. (3.60) onde a fun¸c˜ao sgn(z) ´e afun¸c˜ao sinal e possui as seguintes propriedades:
sgn′(z) = 2δ(z). (3.61)
sgn2(z) = 1. (3.62)
Invocando a equa¸c˜ao (3.57) e ajustando, temos que, eA(z) = k|z|+ 1. logo podemos escrever:
eA(z)A′(z) =sgn(z)k. (3.63) Elevando ao quadrado e lembrando das propriedades da fun¸c˜ao sinal (3.61) e (3.62), temos
k2 =A′2e2A(z). (3.64) Calculando agora a segunda derivada, temos
Comosgn′(z) = 2δ(z) teremos
A′′(z) = 2kδ(z)
k|z|+ 1 −
k2
(k|z|+ 1)2. (3.65) 3.9 Localiza¸c˜ao do Campo Gravitacional
Nesta sec¸c˜ao iremos localizar o campo gravitacional nobackground descrito na sec¸c˜ao anterior. Para isso n´os devemos considerar apenas pequenas flutua¸c˜oes do campo, com isto, n´os devemos nos preocupar, na equa¸c˜ao de Einstein, s´o com termos lineares, ou seja, precisamos da lineariza¸c˜ao da equa¸c˜ao de Einstein.
Para manter os c´alculos o mais conciso poss´ıvel e simples, vamos usar uma f´ormula sobre a m´etrica conformalmente plana. Especificamente, se algum gM N ´e uma transforma¸c˜ao conforme de outra m´etrica ˜gM N, por exemplo
gM N =e−2A(z)˜gM N. (3.66) Em seguida o respectivo tensor de Einstein.
GM N(gM N) = ˜GM N(˜gM N) + (D−2)
h
˜
∇MA∇˜NA+ ˜∇M∇˜NA+
−g˜M N
˜
∇R∇˜RA− (D2−3)∇˜RA∇˜RA
i
, (3.67)
ondeD´e o n´umero de dimens˜oes do espa¸co-tempo. No presente caso a m´etrica perturbada tem a seguinte forma
gM N =e−2A(z)(ηM N +hM N). (3.68) e
gM N =e2A(z)(ηM N +hM N). (3.69)
Como o modelo Randall-Sundrum trabalha com uma dimens˜ao extra, no caso teremos 5 dimens˜oes (D=5), e levando em conta o simbolo de Christoffel contido no interior das derivadas covariantes, temos
GM N = ˜GM N+ 3
h
∂MA∂NA+
∂M∂NA−Γ˜RM N∂RA
−g˜M N
∂R∂RA−Γ˜RPR ∂PA−∂RA∂RA
i
. (3.70)
Lembrando que gM N =e−2A(z)(ηM N+hM N) e gM N =e2A(z)(ηM N +hM N), teremos ˜
ΓRM N = 1 2 η
RP +hRP
[∂M(ηN P +hN P) +∂N(ηP M +hP M)−∂P (ηM N+hM N)].(3.71) Como a equa¸c˜ao que queremos ´e linear, os termos de segunda ordem s˜ao nulos ηM Nη
M N = 0 , hM Nh
M N = 0 , Logo
˜
ΓRM N = 1 2
ηRP∂MhN P +ηRP∂NhP M −ηRP∂PhM N
. (3.72)
E por fim
˜
ΓRM N = 1 2
∂MhRN +∂NhRM −∂RhM N
, (3.73)
onde usamosηN P para subir o ´ındice. ´
E particularmente conveniente trabalhar com um gauge em que as pequenas flutua¸c˜oes n˜ao tˆem qualquer componente extra e dimens˜ao transversal. hM5 = 0, ∂µhµν = 0 e
ηµνh
µν =hµµ= 0 (tra¸co).
Onde o n´umero de componentes ´e dado pela equa¸c˜ao (2s+ 1),onde s ´e o spin, comos = 2, produzimos 5 componentes. Dai verificamos que ele possui 10 condi¸c˜oes, se reduzirmos o n´umero de componentes de 15 para 5, conforme for apropriado em spin-dois em 5 dimens˜oes. Com essa fixa¸c˜ao de gauge o segundo simbolo de Christofell na equa¸c˜aoGM N desaparece, considerando que o primeiro termo se reduz a ∂5hµν
2 , dado que se ´e contra´ıdo com ∂RA , cuja ´unica componente n˜ao nula ´e ∂5A. Calculando a express˜ao do tensor de Einstein para flutua¸c˜oes em torno da m´etrica plana.
GM N = ˜GM N+ 3
h
∂MA(z)∂NA(z) +∂M∂NA(z)−Γ˜RM N∂RA(z)
−g˜M N
∂R∂RA(z)−Γ˜RRP∂PA(z)−∂RA(z)∂RA(z)
i
. (3.74)
Lembrando que ˜ ΓR
RP∂PA(z) = ˜ΓRR5∂5A(z) = 1 2 ∂Rh
R
5 +∂5hRR−∂RhR5
= 0. (3.75)
˜
ΓRM N∂RA(z) = ˜ΓRµν∂RA(z) = ˜Γ5µν∂5A(z) = 1 2 ∂µh
5
ν +∂νh5µ−∂5hµν∂5A(z)
. (3.76)
assim
˜ Γ5
µν∂5A(z) = − 1 2h
′
e
˜
GM N =− 1 2∂R∂
Rh
µν → G˜µν =− 1 2∂R∂
Rh
µν. (3.78)
A componenteµν do tensor linearizado de Einstein nesse gauge, ´e ent˜ao dado por
GM N = G˜M N+ 3
h
∂MA(z)∂NA(z) +∂M∂NA(z)−Γ˜RM N∂RA(z)− ˜
gM N
∂R∂RA(z)−Γ˜RRP∂PA(z)−∂RA(z)∂RA(z)
i
,
Gµν = G˜µν+ 3
h
∂µA∂νA(z) +∂µ∂νA(z)−Γ˜µνR∂RA(z)−˜gµν ∂R∂RA(z)− ˜
ΓR
RP∂PA(z)−∂RA(z)∂RA(z)
i
,
Gµν =− 1 2∂R∂
Rh µν+ 3
h
−Γ˜5µν∂5A(z)−g˜µν ∂5∂5A(z)−∂5A(z)∂5A(z)
i
,
Gµν =− 1 2∂R∂
Rh µν −3
−12h′µνA′(z)
−3˜gµν A′′(z)−A′2(z)
,
Gµν =− 1 2∂R∂
Rh µν +
3 2h
′
µνA′(z)−3 (ηµν+hµν) (A′′(z)−A′(z)), (3.79) onde ˜gµν = (ηµν +hµν).
Por outro lado, temos que calcular o tensor Energia-Momento para a m´etrica perturbada. Voltando a express˜ao dos termos da a¸c˜ao para as branas, temos que ter cuidado com o fato de que na m´etrica conformalmente plana, os determinantes das m´etricas induzidas nas membranas, agora est˜ao relacionadas com o determinante da m´etrica completa, dada por
g =gig55=gie−2A(zi). (3.80) A componenteµν do tensor Energia-Momento multiplicado pela constante de Newton em 5 dimens˜oes ´e ent˜ao:
k2Tµν = 1 2M3
−Λ−λ1eA(z)δ(z)
gµν. (3.81)
Paragµν =e−2A(z)(ηµν +hµν) E substituindo na equa¸c˜ao acima temos:
k2Tµν = 1 2M3
−Λe−2A(z)−λ1e−A(z)δ(z)
(ηµν+hµν). (3.82) Onde: − Λ
2M3 = 6A′ 2 ,λ
Substituindo esses valores teremos
k2Tµν =
−2MΛ3e−2A(z)− λ1
2M3e
−A(z)δ(z)
(ηµν+hµν),
k2Tµν =
6A′2e−2A(z)−6ke−A(z)δ(z)
(ηµν +hµν),
k2Tµν = 6A′2e−2A(z)−6kδ(z)e−A(z)(ηµν+hµν). (3.83) Usando agora a equa¸c˜ao (3.49) e (3.65) e substituindo esses valores na equa¸c˜ao (3.83), temos
k2Tµν =
6k2e−2A(z)−6kδ(z)e−A(z)
(ηµµ+hµν),
k2Tµν =
6A′2−3A′′(z)−3A′2
(ηµµ+hµν),
k2Tµν = 3A′2(z)−3A′′(z)(ηµµ+hµν),
k2Tµν =−3
A′′(z)−A′2(z)
(ηµµ+hµν). (3.84) Agora comparamo as equa¸c˜oes (3.79) e (3.84)
Gµν =k2T µν.
−12∂R∂Rhµν+ 3 2h
′
µνA′(z)−3(ηµν+hµν)(A′′(z)−A′2(z)) = −3(ηµν+hµν)(A′′(z)−A′2(z)). Conclu´ımos ent˜ao que:
−12∂R∂Rhµν+ 3 2h
′
µνA′(z) = 0. (3.85) Esta ´e a equa¸c˜ao de Einstein linearizada definida para o modelo RS-II ao sofrer pequenas flutua¸c˜oes. O passo seguinte ´e fazer com que a equa¸c˜ao 3.85 se torne uma equa¸c˜ao tipo Schrodinger.
3.10 Equa¸c˜ao Tipo-Schrodinger
Uma maneira elegante de resolver a equa¸c˜ao (3.85) ´e reescrevˆe-la na forma de uma Equa¸c˜ao tipo Schrodinger. Como ponto de partida, a fim de livrar-nos das primeiras derivadash′
µν, fazendo o seguinte redimensionamento. ˜
hµν →eαAhµν
e
˜
h′µν =αA′eαAh
com α constante. Resolvendo o lado esquerdo da equa¸c˜ao (3.85) na parte da dimens˜ao extra temos
−12∂5∂5(eαA˜hµν) =− 1 2∂5
αA′eαAhµν+eαAh′µν
,
=−1 2
αA′′eαAhµν +αA′h′µνeαA+α2A′2eαAhµν +αA′eαAh′µν+eαAh′′µν
,
−12∂5∂5˜hµν =− 1 2e
αA
αA′′hµν+αA′h′µν+α2A′2hµν+αA′h′µν+h′′µν
. (3.86) Agora resolvendo a parte espa¸co-tempo temos
−1
2∂λ∂ λ˜h
µν =− 1 2∂λ∂
λ eαAh µν
=−1 2e
αA ∂
λ∂λhµν
, (3.87)
onde λ representa a parte espa¸co-tempo.
Agora resolvendo o outro termo da equa¸c˜ao (3.85) temos 3
2A ′h′
µν = 3 2A
′
αA′eαAhµν+eαAh′µν
,
3 2A
′h′ µν =
3 2e
αA
αA′2h
µν+A′h′µν
. (3.88)
Juntando agora as equa¸c˜oes (3.86),(3.87) e (3.88) teremos
−12eαA
αA′′hµν+αA′h′µν+α2A′2hµν+αA′h′µν+h′′µν
−12eαA ∂λ∂λhµν
+
+3 2e
αA
A′2αhµν +A′h′µν
= 0. (3.89)
−12∂λ∂λhµν− 1 2∂5∂
5h µν +
3 2 −α
A′h′µν+
+
3 2α−
1 2α
2
A′2−1
2αA ′′
hµν = 0. (3.90)
Escolhendoα= 32, a fim de que o coeficiente deh′
µν desapare¸ca, assim ficaremos com uma equa¸c˜ao tipo Schrodinger. Teremos ent˜ao
−12∂R∂Rhµν +
3 2x 3 2 − 1 2 3 2 2 A′′
hµν = 0,
−1
2∂R∂ Rh µν+ 9 4 − 9 8
A′2− 3
4A ′′
−12∂R∂Rhµν+
9 8A
′2
− 34A′′
hµν = 0. (3.91)
Executando agora uma decomposi¸c˜ao de Kaluza-Klein
hµν(x, z) = ∞
X
n=0
hnµν(x)ψn(z). (3.92)
Substituindo na equa¸c˜ao (3.91) teremos
−1
2∂5∂ 5h
µν− 1 2∂λ∂
λh µν + 9 8A ′2 −3 4A ′′
hµν = 0,
−12∂5∂5hµνn (x)ψn(z)− 1 2∂λ∂
λhn
µν(x)ψn(z) +
9 8A
′2
−34A′′
hnµν(x)ψn(z) = 0,
−12hnµν(x)∂5∂5ψn(z)− 1
2ψn(z)∂λ∂ λhn
µν(x) +
9 8A
′2
−34A′′
hnµν(x)ψn(z) = 0. Dividindo tupo porhn
µν(x)ψn(z),
−12ψ 1
n(z)
∂5∂5ψn(z)− 1 2
1
hn µν
∂λ∂λhnµν(x) +
9 8A
′2
− 34A′′
= 0.
Dividindo por 1 2
−ψ 1
n(z)
∂5∂5ψn(z)− 1
hn µν(x)
∂λ∂λhnµν(x) +
9 4A
′2
− 32A′′
= 0,
−ψ 1
n(z)
∂5∂5ψn(z) +
9 4A
′2
− 32A′′
= 1
hn µν(x)
∂λ∂λhnµν(x) = m2n. (3.93)
Resolvendo teremos
∂λ∂λhnµν(x) =hnµν(x)m2n, (3.94) ou
hnµν(x) = ∂λ∂λhnµν(x) =m2nhnµν. (3.95) onde =∂µ∂µ (Box). A equa¸c˜ao (3.95) ´e conhecida como equa¸c˜ao de Klein-Gordon. Resolvendo a outra equa¸c˜ao temos
−ψ 1
n(z)
∂5∂5ψn(z) +
9 4A
′2
− 32A′′
Por fim:
ψ′′n(z)−
9 4A
′2
− 32A′′
ψn(z) =−m2nψn(z). (3.96) Esta ´e uma equa¸c˜ao tipo Schrodinger com potencial, dado por
V(z) = 9 4A
′2(z)
− 32A′′(z). (3.97) Invocando as equa¸c˜oes (3.60) e (3.65) temos
V(z) = 9k 2
4(k|z|+ 1)2 − 3 2
2kδ(z)
k|z|+ 1 −
k2 (k|z|+ 1)2
,
V(z) = 9k 2
4(k|z|+ 1)2 − 3 2
2kδ(z)
k|z|+ 1
+ 3k 2 2(k|z|+ 1)2,
V(z) = 15k 2 4(k|z|+ 1)2 −
3kδ(z)
k|z|+ 1, (3.98)
onde V(z) ´e o potencial em termos de δ e|z|, cujo a forma desse gr´afico ´e um vulcano. 3.11 Resolvendo a Equa¸c˜ao tipo Schrodinger no caso do modo zero
Invocando a equa¸c˜ao (3.96) temos
ψ′′n(z)−
9 4A
′2
− 32A′′
ψn(z) = −m2nψn(z).
No caso do modo zero temosm= 0. Supondo uma solu¸c˜ao do tipo ψ =eλA temos
ψ′ =λA′eλA, ψ′′ =λA′′eλA+λ2A′2eλA =eλA λA′′+λ2A′2
. (3.99) Dai temos
ψn′′+
3 2A
′′− 9 4A
′2
ψn= 0. Substituindo os valores de (3.99) obtemos
λA′′eλA+λ2A′2eλA+
3 2A
′′−9 4A
′2
eλA = 0.
Por fim
A′′
λ+3 2
+A′2
λ2− 9
4
Concluirmos ent˜ao queλ=−32, eψ =e−3 2A(z). Integrando temos
Z
d5x√−ghµνhµν(x, z), (3.101)
Z
dzψ2
Z
d4x√−g˜h
µν(x) ˜h˜µν(x). (3.102) Lembrando que: ds2 =e−2A(z)g
M NdxMdxn e que g = ˜ge−10A(z), temos
Z
dzψ2
Z
d4x√−g˜hµν(x)hµν(x),
Z
e−3A(z)dz
Z
d4xp−e−10A(z)g˜˜h
µν(x) ˜hµν(x),
Z
e−8A(z)dz
Z
d4xp−˜g˜hµν(x) ˜hµν(x). (3.103) Onde: A= ln(k|z|+ 1). Assim
Z
e−8 ln(k|z|+1)dz =
Z
eln(k|z|+1)−8dz =
Z
(k|z|+ 1)−8dz
Z +∞
−∞
(k|z|+ 1)−8dz = 2
Z ∞
0
(k|z|+ 1)−8dz
Z +∞
−∞
(k|z|+ 1)−8dz =−2(k|z|+ 1)− 7
7k +
2
7k. (3.104)
4 CAMPO ESCALAR COMPLEXO
Nesse cap´ıtulo iremos fazer uma revis˜ao sobre campo escalar complexo, para posteriormente aplicar-lo em um cen´ario de Randall-Sundrum. Feito isto, estudaremos a carga e a corrente do campo escalar complexo na brana.
4.1 Revis˜ao sobre campo escalar complexo num espa¸co curvo
Os campos escalares possuem duas componentes reaisφ1 eφ2, o qual, podemos descrever como [22]
φ= (φ1+iφ2)/
√
2, (4.1)
φ∗ = (φ1−iφ2)/
√
2, (4.2)
e uma vez que a a¸c˜ao ´e real, temos
S=
Z
(∂Mφ) ∂Mφ∗
−m2φ∗φ√
−gdDx=
Z
L√−gdDx. (4.3) Comoφ eφ∗ s˜ao independentes, as equa¸c˜oes de Euler-Lagrange
√ −g∂L
∂φ −∂M
√
−g ∂L
∂(∂Mφ)
= 0, (4.4)
produz as duas equa¸c˜oes de Klein-Gordon.
(+m2)φ= 0, (4.5)
(+m2)φ∗ = 0. (4.6)
onde = √1 −g∂M
√
−g∂M
.
A lagrangiana ´e invariante sob uma transforma¸c˜ao
φ→e−iΛφ, φ∗ →eiΛφ∗, (4.7) onde Λ ´e uma constante real. Isto ´e conhecido como uma transforma¸c˜ao de gauge do primeiro tipo. Na sua forma infinitesimal ´e
e ent˜ao
δ(∂Mφ) =−iΛ∂Mφ, δ(∂Mφ∗) = iΛ∂Mφ∗. (4.9) Uma vez que a transforma¸c˜ao (4.7) n˜ao envolve o espa¸co-tempo. O Teorema de Noether, d´a uma corrente conservada, a partir da equa¸c˜ao dada por
JM = ∂L
∂(∂Mφ)
(−iφ) + ∂L
∂(∂Mφ∗)
(iφ∗). (4.10) Substituindo a lagrangiana de (4.3) em (4.10) temos
JM =i(φ∗∂Mφ−φ∂Mφ∗). (4.11) Segue-se imediatamente a partir de (4.5) e (4.6) que essa corrente tem divergˆencia nula e ´e conservada:
∂M √−gJM
= 0. (4.12)
A carga conservada ´e definida pela equa¸c˜ao
Q=
Z √
−gJ0dV, (4.13)
onde dv´e o elemento de volume espacial.
Q=i
Z
φ∗∂φ ∂t −φ
∂φ∗
∂t
√
−gdV. (4.14)
Esta quantidade real ´e identificada como carga el´etrica. Vamos, portanto, fazer algumas observa¸c˜oes:
(1) ´E uma quantidade conservada: dQ/dt = 0.
(2) Ele cont´em nenhuma men¸c˜ao de e, a carga do pr´oton. (3) ´E uma quantidadecl´assica.
(4) N˜ao ´e integr´avel, ou quantizada. Em outras palavas, ele n˜ao leva em conta o fato de que as taxas reais el´etricas parecem ser m´ultiplos de uma quantidade base.
(5) Onde φ´e real, φ=φ∗, Q= 0, e n˜ao existe uma quantidade conservada.
Λ, que deve executar a mesma rota¸c˜ao em todos os outros pontos ao mesmo tempo. Se tomarmos esta interpreta¸c˜ao f´ısica seriamente, vemos que ´e imposs´ıvel de realizar, uma vez que contradiz com a letra e o espirito da relatividade, segundo a qual deve haver um atraso de tempo minimo igual ao tempo da viagem da luz. Para contornar este problema, simplesmente abandona a existˆencia de que Λ ´e uma constante, e escreve como uma fun¸c˜ao arbitraria do espa¸co-tempo, Λ(xµ). Isso ´e chamado de transforma¸c˜ao de gauge ’Local’, uma vez que difere claramente, pois ´e de ponto a ponto. ´E tamb´em chamada de
transforma¸c˜ao de gauge de segundo tipo. [22]
4.2 Campo escalar complexo num cen´ario de Randall-Sundrum
Feito as observa¸c˜oes da sec¸c˜ao anterior, agora podemos usar a equa¸c˜ao de movimento para formar uma equa¸c˜ao do tipo Schrodinger, e por fim, calcular o Campo escalar complexo num cen´ario Randall-Sundrum.
Lembrando que:
gM N =e2A(z)ηM N, g
M N =e−2A(z)ηM N, φ =φ(x, z), e √−g =e−5A(z) Partindo da a¸c˜ao do campo escalar complexo sem massa
S =
Z
d5x√−g∂Mφ∂Mφ∗, (4.15) obtemos a equa¸c˜ao de movimento
1
√ −g∂M
√
−ggM N∂Nφ
= 0. (4.16)
Substituindo explicitamente a m´etrica
∂M
e−5A(z)e2A(z)ηM N∂Nφ
= 0, ∂Me−3A(z)ηM N∂Nφ = 0,
∂M
e−3A(z)∂Mφ
= 0, ∂µ
e−3A(z)∂µφ
+∂5
e−3A(z)∂5φ
= 0, e−3A(z)∂µ∂µφ+∂5
e−3A(z)(φ)′
= 0, e−3A(z)∂µ∂µφ+
e−3A(z)(φ)′′
= 0, e−3A(z)φ+
e−3A(z)(φ)′′
= 0,
ou
φ+e3A(z)
e−3A(z)(φ)′′
Usando separa¸c˜ao de vari´aveis na forma
φ(x, z) = Φ(x)ǫ(z). (4.18) Dai teremos
Φ(x)ǫ(z) +e3A(z)
e−3A(z)[Φ(x)ǫ(z)]′′
= 0. ǫ(z)Φ(x) +e3A(z)he−3A(z)ǫ′(z)i′Φ(x) = 0.
Dividindo tudo por Φ(x)ǫ(z), obtemos
Φ(x) Φ(x) +
e3A(z)
e−3A(z)ǫ′ (z)′
ǫ(z) = 0.
Como as fun¸c˜oes j´a est˜ao separadas, podemos igualar a uma constante. Assim
e3A(z)
e−3A(z)ǫ′ (z)′
ǫ(z) =−
Φ(x) Φ(x) =m
2. (4.19)
Do qual, obtemos as seguintes equa¸c˜oes
(+m2)Φ(x) = 0, (4.20)
e
e3A(z)he−3A(z)ǫ′(z)i′ =−m2ǫ(z). (4.21) Supondo que ǫ(z) =f(z)ψ(z), ent˜ao
ǫ′(z) =f′(z)ψ(z) +f(z)ψ′
(z). (4.22)
ǫ′′(z) =f′′(z)ψ(z) +f′(z)ψ′(z) +f′(z)ψ′(z) +f(z)ψ′′(z),
ǫ′′(z) = f′′(z)ψ(z) + 2f′(z)ψ′(z) +f(z)ψ′′(z). (4.23) Substituindo (4.22) e (4.23) em (4.21), obtemos
e3A(z)h−3A′(z)e−3A(z)ǫ′+e−3A(z)ǫ′′(z)i=−m2ǫ∗(z), −3A′(z)ǫ′(z) +ǫ′′(z) = −m2ǫ(z),
Dividindo toda equa¸c˜ao por f(z). Obtemos
ψ′′(z) +ψ′(z)
−3A′(z) + 2f′(z)
f(z)
+ψ(z)
m2− 3A′(z)f′(z) f(z) +
f′′(z)
f(z)
= 0. (4.24) A principio queremos uma equa¸c˜ao tipo Schrodinger, entretanto, temos que impor a condi¸c˜ao que o termo da primeira derivada tem que ser nulo, assim
3dA(z)
dz = 2
df(z)
dz
1
f(z). Integrando
Z 3
2dA(z) =
Z df(z)
f(z),
f(z) = e32A(z). (4.25)
f′(z) = 3 2A
′(z)e3 2A(z),
f′′(z) = 9 4A
′2(z)e3
2A(z)+ 3 2A
′′(z)e3 2A(z).
Dai conclu´ımos que
ǫ(z) = e32A(z)ψ(z). (4.26) Calculando
f′(z)
f(z) = 3 2
A′(z)e3/2A(z)
e3/2A(z) = 3 2A
′(z). (4.27)
f′′(z)
f(z) =
9
4A′
2(z) + 3 2A′′(z)
e3/2A(z)
e3/2A(z) = 9 4A
′2(z) + 3 2A
′′(z). (4.28)
Substituindo as equa¸c˜oes (4.27) e (4.28) na equa¸c˜ao (4.24), temos
ψ′′(z) +ψ(z)
−92A′2(z) + 9 4A
′2(z) + 3 2A
′′(z)
=−m2ψ(z)
ψ′′(z)−ψ(z)
9 4A
′2(z)
−3
2A ′′(z)
=−m2ψ(z). (4.29) Ou
ψ′′(z) +ψ(z)
m2− 9
4A
′2(z) + 3 2A
′′(z)
Comoφ(x, z) = Φ(x)ǫ(z), eǫ(z) =e32A(z)ψ(z) Logo
φ(x, z) =e32A(z)Φ(x)ψ(z). (4.31) Agora iremos resolver a equa¸c˜ao (4.30). Primeiro teremos que invocar as equa¸c˜oes (3.60) e (3.65)
A′2(z) = k 2 (k|z|+ 1)2.
A′′(z) = 2kδ(z)
k|z|+ 1 −
k2 (k|z|+ 1)2.
No primeiro momento iremos calcular o potencial fora da origem. Logo o termo comδ(z) na equa¸c˜ao (3.65) ´e nulo. Agora substituirmos na equa¸c˜ao (4.30) obtemos
ψ′′(z) +
m2− 15k
2 4(k|z|+ 1)2
ψ(z) = 0. (4.32) Essa ´e uma fun¸c˜ao do tipo Bessel. Sua Forma Alg´ebrica ´e [24]
W′′+
λ2−V
2 −1 4
x2
W = 0. (4.33)
Cuja Solu¸c˜ao ´eW =x12ζ V(λx)
Comparando as equa¸c˜oes (4.32) e (4.33), temos
m2 =λ2 →λ =m, k2
(k|z|+ 1)2 = 1
x2 →x=|z|+ 1
k,
V2− 1
4 = 15
4 →V = 2.
W =ψ∗.
Logo, a solu¸c˜ao geral fica
ψm =an
r
|z|+ 1
kY2
m
|z|+1
k
+bn
r
|z|+1
kJ2
m
|z|+ 1
k
, (4.34)
ondeY2(m(|z|+1k)) e J2(m(|z|+1k)) s˜ao as fun¸c˜oes de Bessel de primeiro tipo e segundo tipo de ordem 2.
Param = 0 teremos o modo zero dado por
Figura 4 – O cen´ario do modelo de p-brana de codimens˜ao 1.
Adaptado de [19]
Podemos melhor compreender os modos de Kaluza-Klein para estudar os limi-tes dos argumentos, pequenos e grandes, das fun¸coes de Bessel. [13]
Para pequenos mk (|z|+ 1) temos
Jν(w) =
w
2
ν (−1)k
Γ(k+ 1)Γ(ν+k+ 1)
w
2
2k
. (4.36)
Usando w=mx, k = 0, ν = 2, obtemos
J2(mx)≈mx 2
2 (−1)0
Γ(0 + 1)Γ(2 + 0 + 1)
mx
2
2.0
J2(mx)≈ m 2x2 4
1 Γ(1)Γ(3)
J2(mx)≈ m 2
|z|+1 k
2
4
1 1.2. Ondex= |z|+ 1k
, Γ(1) = 1 e Γ(3) = 2. Finalmente
J2(m(|z|+ 1/k))≈ m 2
|z|+ 1k2
8 . (4.37)
Calculando agoraY2 temos
Yν(mx) =− 1
πΓ(ν)
1 2x
−ν
Usando x=
|z|+1k
e ν= 2 obtemos
Y2
m
|z|+ 1
k
≈ −π1Γ(2)
"
2
m |z|+ 1 k #2 Y2 m
|z|+1
k
≈ − 4
πm2 |z|+ 1 k
2 −
1
π, (4.39)
onde Γ(2) = 1. Portanto para satisfazer a condi¸c˜ao de contorno de contorno impl´ıcito na fun¸c˜ao potencialδ na brana emz = 0.
Para pequenos m(relevante em longas distˆancias) devemos escolher uma combina¸c˜ao li-near,
ˆ
ψn≈
|z|+ 1
k
12
anJ2
mn
|z|+ 1
k
+bnY2
mn
|z|+ 1
k
. (4.40) Ondean e bn s˜ao os coeficientes.
Chamando de U =|z|+k1 com z →0, teremosU = 1k dai dudz = 1 ou U′ = 1.
ψm =U 1 2[a
nJ2(mU) +bnY2(mU)],
ψ′m = 1 2U
′U−1 2 [a
nJ2(mU) +bnY2(mU)] +U 1 2
anU′
dJ2
dU(mU) +bnU
′dY2
dU (mU)
.(4.41)
J2(mU)≈ m 2U2
8 →
dJ2
dU(mU) =
m2U′U 4 ,
Y2(mU)≈ − 4
m2πU2 − 1
π →
dY2
dU (mU) =
8U′
m2πU3,
ψm′∗ = 1 2U
′U−1 2
an
m2U2 8
−bn
4
m2πU2 + 1
π
+U′U12
an
m2U′U 4
+bn
8U′
m2πU3
,
ψm′∗ = 1 2U
′U−1 2
an
m2U2 8
−bn
4
m2πU2 + 1
π
+U′2U12
an
m2U 4
+bn
8
m2πU3
.
Agora usando a condi¸c˜ao de contorno,ψ′
m(0) =−32kψm(0) para z →0, teremos 1
2
1
k
−12
"
an
m2 8k2
−bn
4
m2π 1 k 2 + 1 π !# + 1 k 12 an
m2(1/k) 4
+bn
8
m2π(1/k)3
,
=−3
2k(1/k) 1/2
an
m2 8k2
−bn
4k2
m2π + 1 π , 1 2 + 3 2 an
m2 8k2
−bn
4k2
m2π + 1
π
+k−1/2k−1/2
an m2 4k
+bn
8k3
m2π
2
an
m2 8k2
−bn
4k2
m2π + 1
π
+k−1
an m2 4k
+bn
8k3
m2π
= 0,
an
m2 4k2
−bn
8k2
m2π + 2
π
+an
m2 4k2
+bn
8k2
m2π
= 0.
dai
an= 4k2
m2πbn. Conclus˜ao
ψm =
|z|+ 1
k
1/2
4k2
m2πbnJ2
m
|z|+ 1
k
+bnY2
m
|z|+ 1
k
.
E finalmente
ψm ≈Nm
|z|+ 1
k
1/2
4k2
m2πJ2
m
|z|+ 1
k
+Y2
m
|z|+ 1
k
, (4.42) onde Nn ´e a constante de normaliza¸c˜ao. O coeficiente na frente de J2 foi determinado usando a condi¸c˜ao de contorno e a express˜ao assint´otica das fun¸c˜oes de Bessel.
Na aproxima¸c˜ao de pequenos argumentos mn(z)≪ 1., temos que a fun¸c˜ao o coeficiente deY2 ≪J2. Como o valor da constantek ´e da ordem da escala de Planck e o fator sobre a brana |z|+ 1k1/2
´e mantido fixo, uma vez que os autovalores de massa s˜ao da ordem de TeV a observa¸c˜ao de ressonˆancias individuais dos primeiros modos podem ser poss´ıveis em aceleradores de part´ıculas no futuro. [24]
As ressonˆancias do primeiro e segundo modos de KK s˜ao bem definidas e podem ser vistas individualmente, em oposi¸c˜ao dr´astica fenomenologia do cen´ario ADD, que prever efeitos coletivos, dada a pequenez da divis˜ao dos modos de KK.
Para grandes argumentos (mz), temos
Jν(x)≈
r
2
πxcos
x− π
4 −
V π
2
. (4.43)
J2(mz)≈
r
2
zmπ cos
mz−π
4 − 2π
2
.
Usando x = mz e V = 2 temos
J2(mz)≈
r
2
zmπ cos
mz−π
4 − 2π 2 . Ajustando temos √
zJ2(mz)≈
r
2
mπcos
mz− 5π
4
![Figura 2: Randall-Sundrum setup. Adaptado de [19].](https://thumb-eu.123doks.com/thumbv2/123dok_br/15351835.562374/18.892.235.722.287.969/figura-randall-sundrum-setup-adaptado-de.webp)
