Função Exponencial e Progressões Geométricas

(1)

Função Exponencial e

Progressões

Geométricas

(2)

Uma função f:ℝ→ℝ

^*₊

chama-se função exponencial quando existe um número real a, com a > 0 e a ≠ 1, tal que f(x) = a

^x

, para todo x

∈ ℝ.

Uma função f:ℝ→ℝ

^*₊

chama-se função exponencial quando existe um número real a, com a > 0 e a ≠ 1, tal que f(x) = a

^x

, para todo x

∈ ℝ.

Quando a > 1, f é crescente. Quando 0 <

a < 1, f é decrescente.

Exemplos:

Definição de uma função

exponencial

(3)

Exemplo 1

Uma piscina tem capacidade para 100m³ de água.

Quando a piscina está completamente cheia, é colocado 1kg de cloro na piscina. Água pura (sem coloro) continua a ser colocada a uma vazão

constante, sendo o excesso de água eliminado

através de um ladrão. Depois de 1h, um teste revela que ainda restam 900g de cloro na piscina.

a)

Que quantidade de cloro restará na piscina 10h após sua colocação?

b)

E após meia hora de aplicação?

c)

E após t horas?

(4)

Seria uma representação razoável?

(5)

Veja...

(6)

(7)

(8)

Teorema importante:

(9)

Exemplo 2:

Uma pessoa tomou 60mg de uma certa medicação.

A bula do remédio informava que sua meia-vida era de seis horas. Como o paciente não sabia o significado da palavra, foi a um dicionário e encontrou a seguinte definição:

Meia-vida: tempo necessário para que uma grandeza (física, biológica) atinja metade de seu valor inicial.

a) Após 12 horas da ingestão do remédio, qual é a quantidade do remédio ainda presente no organismo?

b) E após 3 horas da ingestão do remédio?

c) E após t horas de sua ingestão?

(10)

Outras situações onde o modelo exponencial é adequado

 Evolução de um capital sob juros compostos (constante);

 Desintegração radioativa;

 Crescimento populacional.

(11)



Uma PG é constante quando

q

= 1 ou quando

a₁

= 0 e

q

é um valor constante



Uma PG é estacionária quando a

₁

≠ 0 e q = 0



Uma PG é oscilante quando a

₁

≠ 0 e q < 0



Uma PG é crescente quando

a₁

> 0 e

q > 1 ou quando a₁

<

0 e 0 < q < 1



Uma PG é decrescente quando

a₁

> 0 e 0 <

q < 1 ou

quando a

₁

< 0 e q > 1

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando-se o anterior por uma constante q chamada razão da PG.

Definição de uma progressão

geométrica

(12)

Termo Geral da PG

a

_n

= a

₁

∙ q

^{n - 1}

, com n ∈ ℕ*

(13)

Exemplo 3

Em uma progressão geométrica, o

quinto termo vale 5 e o oitavo

termo vale 135. Quanto vale o

sétimo termo dessa progressão?

(14)

• Soma dos n termos de uma PG:

• Soma dos termos de uma PG infinita:

�

_�

= �

_�

. ( �

^�

− � ) ( � − � )

�

_∞

= �

_�

( � − � )

(15)

Exemplo 4

Diz a lenda, que o inventor do xadrez pediu

como recompensa 1 grão de trigo pela

primeira casa, 2 grãos de trigo pela

segunda, 4 pela terceira e, assim por diante,

sempre dobrando a quantidade a cada nova

casa. Como o tabuleiro de xadrez tem 64

casas, o número de grãos pedidos pelo

inventor é a soma dos 64 primeiros termos

da progressão geométrica 1, 2, 4, .... O valor

dessa soma é:

(16)

Exemplo 5

Calcule o limite da progressão

geométrica ½ + ¼ + 1/8 + 1/16 + ...

(17)

Comparação

Uma função f:ℝ → ℝ

^*₊

chama-se função exponencial quando existe um número real a, com a > 0 e a ≠ 1, tal que f(x) = a

^x

, para todo x ∈ ℝ.

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando-se o anterior por uma constante q chamada razão da PG. Conforme termo geral: a

_n

= a

₀

∙ q

ⁿ

, com n ∈ ℕ. (com o primeiro termo sendo a

₀

)

X

(18)

Note:

f(x) = b ∙ a ^x a _n = a ₀ ∙ q ⁿ

f(x) = a

_n

b = a

₀

a = q

x = n

(19)

CUIDADO!

 Na função exponencial, o termo geral vale para todo x ∈ ℝ

 Na progressão geométrica, o termo geral

vale para todo n ∈ ℕ, uma vez que

estamos considerando uma PG cujo

primeiro termo é a

₀

.

(20)

Exemplo 5

Um terreno foi comprado por um investidor por R$ 10000,00. O investidor espera uma valorização de 20% ao ano.

a) Determine a lei de formação da função (ou o termo geral da PG).

b) Sete anos após a compra, qual será o valor do terreno?

c) Em quanto tempo o terreno dobrará de valor?

d) Construa os gráficos com os valores

obtidos.

(21)

Exercícios

(22)

1) Um decrescimento mensal de 5% gera um decrescimento anual de quanto?

2) Um carro novo custa R$ 18 000,00 e, com 4 anos de uso, vale R$ 12 000.

Supondo que o valor decresça a uma taxa anual constante, determine o valor do carro com 1 ano de uso.

3) A soma de três números em progressão

geométrica é 19. Subtraindo-se 1 ao

primeiro, eles passam a formar uma

progressão aritmética. Calcule-os.

(23)

4) Estima-se que a população de uma cidade cresça 2% a cada 5 anos. Qual é o crescimento estimado para um período de 20 anos? E em um período de t anos?