Exerc´ıcio: (5)A propriedadeZ{xk+m}=zmX(z)−zmx0−zm−1x1

Transformada-z

Defini¸c˜ao: atransformada-z, Z{xk}, de uma sucess˜ao(x0,x1,x2, . . .)

´e afun¸c˜aoX(z) =

+∞

X

k=0

xk

z^k

Exemplo: Z{2^k}=X(z) =

+∞

X

k=0

2^k z^k =

+∞

X

k=0

2 z

k

= 1

1−²_z = z z−2, para

²_z

<1, ou seja, para |z|>2 Paraa∈C\ {0} tem-seZ{a^k}= z

z−a, para|z|>|a|

Mas ent˜ao, d da

z z−a

=

+∞

X

k=0

ka^k−1

z^k , ou seja,Z{ka^k−1}= z (z−a)²

Z{a^k}= z

z−a, Z{ka^k−1}= z (z−a)², Z{αxk+βyk}=αZ{xk}+βZ{yk} Exerc´ıcios:

Z{a^k}= z

z−a, Z{ka^k−1}= z (z−a)², Z{sin(kω)}=Z

1

2i (e^iω)^k −(e^−iω)^k

= zsinω z²−2zcosω+ 1

Z{αxk+βy_k}=αZ{xk}+βZ{yk}, Z{k^mx_k}=

−z d dz

m

X(z)

Ainversa da transformada-ztransforma fun¸c˜oes complexas em sucess˜oes.

Em teoria, para obter a transformada-z inversa de uma fun¸c˜ao basta desenvolvˆe-la numa s´erie de Laurent centrada em z = 0, mas na pr´atica tenta-se decompor a fun¸c˜ao em parcelas que estejam na coluna da direita da tabela de transformadas-z, num processo que lembra o c´alculo de primitivas.

Exerc´ıcio:

A propriedadeZ{xk+m}=z^mX(z)−z^mx0−z^m−1x1−. . .−zx_m−1 (deslocamento `a esquerda) permite aplicar a transformada-z `a resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes de diferen¸cas.

Exerc´ıcios:

Exerc´ıcios:

P´olo de ordemm: Res(f,zj) = lim

z→zj

1 (m−1)!

d^m−1 dz^m−1

(z−zj)^mf(z)

Exerc´ıcios:

P´olo de ordemm: Res(f,zj) = lim

z→zj

1 (m−1)!

d^m−1 dz^m−1

(z−zj)^mf(z)

Exerc´ıcio (2^a frequˆencia, 2016):