TE-281 Modelagem Numérica Aplicada à Nanofotônica Aula AGO 2018

• MISCELÂNEA:

• Lista de Exercícios #01: resolução até 1 fs atrás

TE-281

Modelagem Numérica Aplicada à Nanofotônica

Aula 03 – 13 AGO 2018

• RESUMO:

• Guia Slab Simétrico: Abordagem por Óptica Eletromagnética

• Equivalência entre Óptica Eletromagnética e Geométrica

• Visão Pictorial do Guiamento

• Velocidade de Fase (v_p) versus Velocidade de Grupo (v_g)

• Propriedades dos Modos: Caso Geral e Slab Simétrico

• Confinamento Óptico

• Leitura sugerida:

• Fundamentals of Optoelectronics, C. R. Pollock, Capítulos 1 e 2

TE-281

Modelagem Numérica Aplicada à Nanofotônica

Aula 03 – 13 AGO 2018

Equações de Maxwell

Óptica Eletromagnética

J =  E

Fonte: Wikipedia

Equação de Onda (Helmholtz)





















 





 - 



































t t H D

E B B D

J

 

 





 0

0

0

0 0





 

   

 

0 0

0

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2

2 2

te, Similarmen

homogêneo e

escalar

  - 



  - 

























 -

















 - 

 















 

 -











t t

E E

E

t t

z y

x

H H E E

E zˆ yˆ

xˆ E

E E

E

E E H

 

 













 













^r,  ^{. .}

, ,

;

r k

, e e c c

E t

E

z y x t i

E E

t j j

i i

i i







  - 





- 



 



0 2 2

2 0

Onda plana em meio dielétrico (homogêneo e isotrópico)

Guia Slab Simétrico - Óptica Eletromagnética

Fonte: ELEMENTS OF PHOTONICS, Volume II, Iizuka, Capítulo 9, Wiley (2002)

   













  - 



-

z y x i

H E

c c e

e x t

z x

t

t z j j i

i

i i

, ,

,

. ,

,

0

0 , 2 2 2







 



 

Modo óptico em guia slab (homogêneo e isotrópico)



















  - 





-

 

 



 



 

 























-

  - 





 

 

-



 



  - 







z y x

y z

x

x y

z

z y x

y z

x

x y

z

E n y j

H x

H

E n x j

H H j

E n j

H y j

H

t

H y j

E x

E

H x j

E E j

H j

E y j

E

t

2 0

2 0

2 0

0 0

0





















H D E B

 

 









0

 

 y

 i

z x

y z

x

y H H H E E

E , , TM : , ,

:

TE ^;

Dois conjuntos de soluções independentes

d/2

d/2

Condições de Contorno

Condições de contorno para interfaces dielétricas

Condição para modo guiado (energia finita): lim E,H = 0

x  ± 

2 1

2 1

2 2

1 1

2 2

1 1

0 0

t t

t t

n n

n n

H t H

E t E

H H

E E



 

 







  - 



























H D E B B D

 

 













Guia Slab – Solução Guiada TE



















-

 

 



 

 -

 



-



 -



y z

x

y z

z y

y x

x y

E n x j

H H j

x j E

H H

x j E

E H

H j

E j

2 0

0 0

0 0

1





 



 



   

 

0 0 0

2 2

2 2 0

2

0 2 2 2

0 2

0

















 -

 







  - 



-

k

E n

x k E

c c e

x e t E

z x E

t E E

y y

t j z y j

y

y y

. . ,

, ^,

  ^{j k n x j k n x}

y x C e C e

E _,0  ₁. ^{02 2- 2}  ₂. ^{- 02 2- 2} Solução Genérica:

Solução Guiada Adequada:

(A Solução Genérica também leva à mesma solução, porém, após

muito mais trabalho)

 

 

   

 

2 2 2 0 2

2 2

1 2 0

2 2

0

2 ,

2 2

, 2

,

n k n

k

x d De

x d x d

C x

B

x d Ae

x E

x d x d

y

-

 -

















-



-











 - -

















;

sin

, cos

Usarei E_y para encontrar todos os campos

 

 

   

 

 

 

   

 

2 0

0 2 1

2 1

2 1 2

1

2 0

0 2 1

2 1

2 1 2

1

0 0 0 0

2 0 2

2 1 0 2

2 0 2

2 0 1 2

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2

2 ,

2 2

, 2

, 1

2

,

2 2

, 2

,

2 2

0 0

2 2

0

























-





 



 







 















































 

 - 

-

 -



 

 - 





 



 







 















































 

 - 





 

 - 

































































































 

 - 



 

 - 





 



 



 

 - 



 

 - 



 

 - 



 

 - 



 

 - 















 



 



 



 



 

 - 



 



 

 -

















 



 



 

 - 

 -



 



 



 



 



















-



-





 -

 -



















-



-











 - -

 - -



 

 







 

 









































































 











d D

C A d

d

d D

B A d

d

D C B A

d d

d d

d d

d d

C d B d

D

C d B d

D x d

C d B d

A

C d B d

A x d

x d e

D

x d x d

C x B

x d e

A j

x H x d

De

x d x d

C x B

x d Ae

x E

x d x d

z x d

x d

y

tan cos

sin

tan sin

cos

cos sin

sin cos

cos sin

sin cos

cos sin

sin cos

cos sin

sin cos

cos sin

sin

cos _,

,

I II III IV

I+III (IV-II)/

I-III (IV+II)/

Modo com simetria par (C = 0):

Modo com simetria ímpar (B = 0):

 



^



^ _

 

-



 2 2 d d tan

Equação tan

Característica

Guia Slab Simétrico – Solução Guiada TE

Guia Slab Simétrico – Modos Guiados

d/2

d/2

Elements of Photonics, K. Iizuka, Volume II, Wiley Interscience, 2002.

 

 

   

 

2 2 2 0 2

2 2

1 2 0

2 2

0

2 ,

2 2

, 2

,

n k n

k

x d De

x d x d

C x

B

x d Ae

x E

x d x d

y

-

 -

















-



-











 - -

















; sin

, cos

Fonte: Fundamentals of Photonics, Saleh & Teich, Capítulo 8, Wiley (2007)

 

  ^{ }

 

  ^{ }

 

  ^{ }

 

  ^{ }

 x E  x H

x d d e

x d x d

x d d e

j E x

H x d

d e

x d x d

x d d e

E x

E

y x

x d x d

z x d

x d

y

0 0

0

2 2

0 0 0

2 2

0 0

2 2 ,

2 2

,

2 , 2

2 2 ,

2 2

,

2 , 2

, ,

, ,

sin sin sin

cos cos cos

































-

















-

 -



 -

 -



















-

 -









 - -

 - -

Modo com simetria par: ^tan



^{ d} ₂



^{ } _

210 ⁶ 110 ⁶ 0 110 ⁶ 210 ⁶

1 0 1 1

1 - Ey x( ,even0,even0) Hzz x( ,even0,even0) Ey x( ,even1,even1) Hzz x( ,even1,even1)

3 10 ^-6 3

- 10^-6

h -

2

h 2

x

Guia Slab Simétrico – Solução Guiada TE



^{ d} ₂



^{ - } _

Modo com simetria ímpar: tan

 

  ^{ }

 

  ^{ }

 

  ^{ }

 

  ^{ }

 ^{x E}  ^x

H

x d d e

x d x d

x d d e

j E x

H x d

d e

x d x d

x d d e

E x

E

y x

x d x d

z x d

x d

y

0 0

0

2 2

0 0 0

2 2

0 0

2 2 ,

2 2

,

2 , 2

2 2 ,

2 2

,

2 , 2

, ,

, ,

cos cos cos

sin sin sin

































-

















-

 -

























-

 -

-









 - -

 - -

210 ⁶ 110 ⁶ 0 110 ⁶ 210 ⁶

1 0.5 0 0.5 1 1

1 - Ey x( ,odd0,odd0) Hzz x( ,odd0,odd0) Ey x( ,odd1,odd1) Hzz x( ,odd1,odd1)

3 10 ^-6 3

- 10^-6

h -

2

h 2

x

Guia Slab Simétrico – Solução Guiada TE

Guia Slab Simétrico – Animação Paramétrica

Aproximação Gaussiana

n₁ n₂

n₁ n₂

Guia Slab Simétrico - Equivalência entre Óptica Eletromagnética e Geométrica

NOTA: O método geométrico não é, de fato, totalmente baseado na óptica geométrica – a fase _r associada à reflexão decorre de análise baseada na óptica eletromagnética.

Fonte: Fundamentals of Photonics, Saleh & Teich, Capítulo 8, Wiley (2007)

   

...

, , cos

2 1 0

2 2

2 _{1 1}



 -

m

m d

k  _r 

Condição de

Ressonância Transversal

TE TM

   

 

     

 

     



















 - -

 -







 



 -





















 -

 



 



 -

2 1

2 2 2 1 2

1 2 2 2

2 2

2

2 1 2 0

2 2

1 2

1 2 0 2

1 2 2

1 0 1

2 2 1

m

1 2 1

: que Lembrar

2 1 0

; 2 1

2 TE Modo

n n n n

n n

k

k n

k k

n k k

m d m

k

c c

c c

c





 



 



















 

sin cos

sin sin

sin

sin sin

...

, sin ,

sin sin tan

Fonte: Fundamentals of Photonics, Saleh & Teich, Capítulo 8, Wiley (2007)











-

 -



c

c  



 



2

2 ¹

Guia Slab Simétrico – Eletromagnética vs Geométrica

   

 

     

 

     



















 - -

 -



 



 



 -



















 -

 



 



 -

2 1

2 2 2 1 2

1 2 2 2

2 2

2

2 1 2 0

2 2

1 2

1 2 0 2 2

1 0 1

2 2 1

m

1 2 1

: que Lembrar

2 1 0

; 2 1

2 TE Modo

n n n n

n n

k

k n

k n

k k

m d m

k

c c

c c

c





 



 



















 

sin cos

sin sin

sin

sin sin

...

, sin ,

sin sin tan

Guia Slab Simétrico – Eletromagnética vs Geométrica

     



 











 

 

 



 















 



-

 



 



 





 

 - 





 







 

 - 





 



 -



 



 -

 



 



 -

 



 





-  -



 - - -

 - -

 



 



 



 





2 2

1 2

2 2

2 2 2 2

2 2

1 2 1

2 ²

2 2

2 2 0 2 2

2 1 2 0 2

2 2 2 0 2 1 2 0

2 1 2 0 2 2 1

2 2 2 1

1

d d

d d d

d d

d

n k n

k n

k n k n

k n

n n k d

d

tan tan

sin cos cos

sin tan

tan

sin tan

tan

Solução Par (m é par) Solução Ímpar

(m é ímpar)











-

 -



c

c  



 

 2 2 ¹

 Representação gráfica mostra, simultaneamente, a projeção vetorial dos vetores de onda e do caminho óptico.

 Exemplo genérico:

 



  5 2

5 2 2

1 1

1    L  

L L L

k /

 

              



_  Lsin  k₁sin Lsin  k₁L sin ² 12

 

              



_  Lcos  k₁cos Lcos  k₁L cos ²  42



 27



Comentário: representação de Vetor de Ondas

Visão Pictorial do Guiamento

Fonte: ELEMENTS OF PHOTONICS, Volume II, Iizuka, Capítulo 10, Wiley (2002)

H_z

H_x E_y

TE TM

Slab

Canal (3D)

Coffee Break Coffee Break

Propriedades Gerais dos Modos

 Cada autovalor  (constante de propagação) corresponde a um modo distinto, com sua respectiva distribuição espacial de campos e polarização.

 Valores discretizados de  correspondem a modos guiados (k₀n₁ >  > k₀n₂), enquanto que valores contínuos de  correspondem a modos de radiação (0 <  < k₀n₂).

 Os modos de propagação (guiados ou de radiação) são ortogonais entre si:

_ij: Delta de Kroenecker Campos normalizados

 Alguns modos podem ser degenerados, ou seja, podem ter o mesmo autovalor , mas apresentar diferentes distribuições espaciais e/ou polarizações de campos.

 O conjunto de todos os modos de propagação (guiados + de radiação) de um sistema (guia de onda) formam uma base completa, isto é, qualquer distribuição contínua de campo eletromagnético pode ser descrita por meio do somatório ponderado dos modos que formam essa base.

    _ij

Area

j

i x y z  x y z dA  

 ^{E , , H * , ,}

  é chamado de coeficiente de decaimento do campo evanescente (fora do núcleo).

 (1/) é chamado de comprimento característico do decaimento do campo – é uma figura-de-mérito que permite estimar a região de influência dos campos evanescentes.

 O guia de onda Slab Simétrico não apresenta ponto-de-corte para o modo guiado de menor ordem (válido para ambas as polarizações), ou seja, haverá sempre ao menos um modo guiado, qualquer que seja o conjunto de parâmetros físicos.

 Considerando-se a propagação óptica na direção z, a componente de fluxo de potência óptica (vetor de Poynting) é reativa (imaginária) na direção x (evanescente) e real na direção z (propagante).

Propriedades do Slab Simétrico

 

 E H

S  