FF-289 Introdução à Fotônica Parte II: Aula OUT 2018

• MISCELÂNEA:

• Aulas Canceladas: 22 OUT (CBEB) & 12 NOV (LAOP)

• Atividade de Estudo Dirigido e/ou Lista de Exercícios

• Cálculos no MathCAD: MathCAD-Treino.xmcd

• RESUMO:

• Guia de ondas tipo Slab simétrico

• Abordagem por Óptica Eletromagnética

• Equivalência entre Óptica Eletromagnética e Geométrica

• Velocidade de Fase (v _p ) versus Velocidade de Grupo (v _g )

• Visão Pictorial do Guiamento

• Propagação da Luz em Guias de Ondas:

• Propriedades dos Modos: Caso Geral e Slab Simétrico

• Confinamento Óptico

• Influência do Contraste de Índices em Guias de Ondas

FF-289 – Introdução à Fotônica

Parte II: Aula 02 – 08 OUT 2018

Equações de Maxwell

Óptica Eletromagnética

J =  E

Fonte: Wikipedia

Equação de Onda (Helmholtz)

 







 











 





 - 



































t t H D

E B B D

J

 

 





 0

0

0

0 0





 

   

 

0 0

0

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2

2 2

te, Similarmen

homogêneo e

escalar

  - 



  - 

























 -

















 - 

 







 







 

 -











t t

E E

E

t t

z y

x

H H E E

E zˆ yˆ

xˆ E

E E

E

E E H

 

 













 













 ^{r ,}  ^{. .}

, ,

;

r k

,

e e c c

E t

E

z y x t i

E E

t j j

i i

i i







  - 





- 



 



0 2 2

2

0

Onda plana em meio dielétrico

(homogêneo e isotrópico)

Guia Slab Simétrico - Óptica Eletromagnética

Fonte: ELEMENTS OF PHOTONICS, Volume II, Iizuka, Capítulo 9, Wiley (2002)

   

 











  - 



-

z y x i

H E

c c e

e x t

z x

t

t z j j i

i

i i

, ,

,

. ,

,

0

0 , 2 2 2







 



 

Modo óptico em guia slab (homogêneo e isotrópico)



















  - 





-

 

 



 



 

 























-

  - 





 

 

-



 



  - 







z y x

y z

x

x y

z

z y x

y z

x

x y

z

E n y j

H x

H

E n x j

H H j

E n j

H y j

H

t

H y j

E x

E

H x j

E E j

H j

E y j

E

t

2 0

2 0

2 0

0 0

0





















H D E B

 

  







0

 

 y



i

z x

y z

x

y

H H H E E

E , , TM : , ,

:

TE ^;

Dois conjuntos de soluções independentes

d/2

d/2

Condições de Contorno

Condições de contorno para interfaces dielétricas

Condição para modo guiado (energia finita): lim E,H = 0

x  ± 

2 1

2 1

2 2

1 1

2 2

1 1

0 0

t t

t t

n n

n n

H t H

E t E

H H

E E



 

 







  - 



























H D E B B D

 

 













Guia Slab – Solução Guiada TE



















-

 

 



 

 -

 



-



 -



y z

x

y z

z y

y x

x y

E n x j

H H j

x j E

H H

x j E

E H

H j

E j

2 0

0 0

0 0

1





 



 



   

 

0 0 0

2 2

2 2 0

2

0 2 2 2

0 2

0

















 -

 







  - 



-

k

E n

x k E

c c e

x e t E

z x E

t E E

y y

t j z y j

y

y y

. . ,

,

^,

 

^{j k n x j k n x}

y

x C e C e

E

_,0



₁

.

^{02 2-}

^

²



₂

.

^{- 02 2-}

^

²

Solução Genérica:

Solução Guiada Adequada:

(A Solução Genérica também leva à mesma solução, porém, após

muito mais trabalho)

 

 

   

 

2 2 2 0 2

2 2

1 2 0

2 2

0

2 ,

2 2

, 2

,

n k n

k

x d De

x d x d

C x

B

x d Ae

x E

x d x d

y

-

 -

















-



-











 - -

















;

sin

,

cos

Usarei E

_y

para encontrar todos os campos

 

 

   

 

 

 

   

 

2 0

0 2 1

2 1

2 1 2

1

2 0

0 2 1

2 1

2 1 2

1

0 0 0 0

2 0 2

2 1 0 2

2 0 2

2 0 1 2

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2

2 ,

2 2

, 2

, 1

2

,

2 2

, 2

,

2 2

0 0

2 2

0

























-





 



 







 















































 

 - 

-

 -



 

 - 





 



 







 















































 

 - 



 

 - 

































































































 

 - 



 

 - 



 



 



 

 - 



 

 - 



 

 - 



 

 - 



 

 - 















 



 



 



 



 

 - 



 



 

 -

















 



 



 

 - 

 -



 



 



 



 



















-



-





 -

 -



















-



-











 - -

 - -



 

 







 

 









































































 











d D

C A d

d

d D

B A d

d

D C B A

d d

d d

d d

d d

C d B d

D

C d B d

D x d

C d B d

A

C d B d

A x d

x d e

D

x d x d

C x B

x d e

A j

x H x d

De

x d x d

C x B

x d Ae

x E

x d x d

z x d

x d

y

tan cos

sin

tan sin

cos

cos sin

sin cos

cos sin

sin cos

cos sin

sin cos

cos sin

sin cos

cos sin

sin

cos _,

,

I II III IV

I+III (IV-II)/

I-III (IV+II)/

Modo com simetria par (C = 0):

Modo com simetria ímpar (B = 0):

 

 ^  ^{ } _

 

-



 2 2 d d tan

Equação tan

Característica

Guia Slab Simétrico – Solução Guiada TE

Guia Slab Simétrico – Modos Guiados

d/2

d/2

Elements of Photonics, K. Iizuka, Volume II, Wiley Interscience, 2002.

 

 

   

 

2 2 2 0 2

2 2

1 2 0

2 2

0

2 ,

2 2

, 2

,

n k n

k

x d De

x d x d

C x

B

x d Ae

x E

x d x d

y

-

 -

















-



-











 - -

















; sin

,

cos

Fonte: Fundamentals of Photonics, Saleh & Teich, Capítulo 8, Wiley (2007)

 

  ^{ }

 

  ^{ }

 

  ^{ }

 

  ^{ }

  x E   x H

x d d e

x d x d

x d d e

j E x

H x d

d e

x d x d

x d d e

E x

E

y x

x d x d

z x d

x d

y

0 0

0

2 2

0 0 0

2 2

0 0

2 2 ,

2 2

,

2 , 2

2 2 ,

2 2

,

2 , 2

, ,

, ,

sin sin sin

cos cos cos

































-

















-

 -



 -

 -



















-

 -









 - -

 - -

Modo com simetria par: ^tan  ^{ d} ₂  ^{ } _

210 ⁶ 110 ⁶ 0 110 ⁶ 210 ⁶

1 0 1 1

1 - Ey x( ,even0,even0) Hzz x( ,even0,even0) Ey x( ,even1,even1) Hzz x( ,even1,even1)

3 10 ^-6 3

- 10^-6

h -

2

h 2

x

Guia Slab Simétrico – Solução Guiada TE

 ^{ d} ₂  ^{ - } _

Modo com simetria ímpar: tan

 

  ^{ }

 

  ^{ }

 

  ^{ }

 

  ^{ }

  ^{x E}   ^x

H

x d d e

x d x d

x d d e

j E x

H x d

d e

x d x d

x d d e

E x

E

y x

x d x d

z x d

x d

y

0 0

0

2 2

0 0 0

2 2

0 0

2 2 ,

2 2

,

2 , 2

2 2 ,

2 2

,

2 , 2

, ,

, ,

cos cos cos

sin sin sin

































-

















-

 -

























-

 -

-









 - -

 - -

210 ⁶ 110 ⁶ 0 110 ⁶ 210 ⁶

1 0.5 0 0.5 1 1

1 - Ey x( ,odd0,odd0) Hzz x( ,odd0,odd0) Ey x( ,odd1,odd1) Hzz x( ,odd1,odd1)

3 10 ^-6 3

- 10^-6

h -

2

h 2

x

Guia Slab Simétrico – Solução Guiada TE

Guia Slab Simétrico – Animação Paramétrica

Aproximação Gaussiana

n₁ n₂

n₁ n₂

12

Guia Slab Simétrico - Equivalência entre Óptica Eletromagnética e Geométrica

NOTA: O método geométrico não é, de fato, totalmente baseado na óptica geométrica – a fase  _r associada à reflexão decorre de análise baseada na óptica eletromagnética.

Fonte: Fundamentals of Photonics, Saleh & Teich, Capítulo 8, Wiley (2007)

   

...

, , cos

2 1 0

2 2

2

_{1 1}



 -

m

m d

k  

_r



Condição de

Ressonância Transversal

TE

TM

   

 

     

 

     

 







 









 - -

 -



 



 



 -















 

 



 -

 



 



 -

2 1

2 2 2 1 2

1 2 2 2

2 2

2

2 1 2 0

2 2

1 2

1 2 0 2

1 2 2

1 0 1

2 2 1

m

1 2 1

: que Lembrar

2 1 0

; 2 1

2 TE Modo

n n n n

n n

k

k n

k k

n k k

m d m

k

c c

c c

c





 



 



















 

sin cos

sin sin

sin

sin sin

...

, sin ,

sin sin tan

Fonte: Fundamentals of Photonics, Saleh & Teich, Capítulo 8, Wiley (2007)

 



 





-

 -



c

c

 



 



2

2

¹

Guia Slab Simétrico – Eletromagnética vs Geométrica

 Representação gráfica mostra, simultaneamente, a projeção vetorial dos vetores de onda e do caminho óptico.

 Exemplo genérico:

 



  5 2

5 2 2

1 1

1

   L  

L L L

k /

 

                  





_

 L sin  k

₁

sin L sin  k

₁

L sin

²

 1  2

 

                  





_

 L cos  k

₁

cos L cos  k

₁

L cos

²

 4  2



 27



Comentário: representação de Vetor de Ondas

   

 

     

 

     

 







 









 - -

 -



 



 



 -













 

 



 -

 



 



 -

2 1

2 2 2 1 2

1 2 2 2

2 2

2

2 1 2 0

2 2

1 2

1 2 0 2 2

1 0 1

2 2 1

m

1 2 1

: que Lembrar

2 1 0

; 2 1

2 TE Modo

n n n n

n n

k

k n

k n

k k

m d m

k

c c

c c

c





 



 



















 

sin cos

sin sin

sin

sin sin

...

, sin ,

sin sin tan

Guia Slab Simétrico – Eletromagnética vs Geométrica

     



 











 

 

 



 















 



-

 



 



 



 

 

 - 



 

 





 

 

 - 



 

 



 -

 

 



 -

 



 



 -

 



 





-  -



 - - -

 - -

 



 



 

 

 





2 2

1 2

2 2

2 2 2 2

2 2

1 2 1

2

²

2 2

2 2 0 2 2

2 1 2 0 2

2 2 2 0 2 1 2 0

2 1 2 0 2 2 1

2 2 2 1

1

d d

d d d

d d

d

n k n

k n

k n k n

k n

n n k d

d

tan tan

sin cos cos

sin tan

tan

sin tan

tan

Solução Par (m é par) Solução Ímpar

(m é ímpar)











-

 -



c

c

 



 



2 2 ¹

Fonte: Fundamentals of Photonics, Saleh & Teich, Capítulo 8, Wiley (2007)

 

   

2 2 0

1 1 0

2 2

0 1 1

0 1 1

1

;

...

2 , 1 , 0

; 2 2

sin 2

cos

n c c

n c c

m c m

d n

m d

k c k n

k k

r r z











 -







 











 



















 













Velocidade de Fase: v

_f

=  / 

Índice Efetivo: n

_eff

= c

₀

/v

_f

=  /k

₀

= n

₁

cos(  ) n

_eff

= n

₁

n

_eff

= n

₂

Velocidade de Grupo: v

_g

=   /  Índice de Grupo: n

_g

= c

₀

/v

_g

β: constante de propagação do modo

Diagrama de Dispersão

“tradicional” (  vs β)

₁

Modo TE

Guia Slab Simétrico – Eletromagnética vs Geométrica

Velocidade de Fase (v _p ) & Velocidade de Grupo (v _g )

 Velocidade de fase: veloc. de uma frente de onda com fase constante:

E(z,t) = E ₀ cos(  t −  z);

(  t −  z) =  ₀ = cte  d  ₀ =  dt −  dz = 0

 v _p = dz/dt =  /  = c/n _eff

 Velocidade de grupo: velocidade da propagação do envelope (envoltória) de um pacote de ondas.

E(z,t) = E ₀ [cos(  ₁ t −  ₁ z)+cos(  ₂ t −  ₂ z)]

= E ₀ {cos[(  +  )t −(  +  )z] + cos[(  −  )t −(  −  )z]}

= 2E ₀ cos(  .t −  .z) cos(  .t −  .z) v _g =  / 

FONTE: Optical Filter Design and Analysis, C. K. Madsen And J. H.

Zhao, John Wiley & Sons, Inc., 1999

v

_g

= d  /d  = (d  /d  )

^-1

= [d (n

_eff

 /c)/d  ]

^-1

= c / (n

_eff

+  dn

_eff

/d  )

= c / {n

_eff

+ (2c/  )[(dn

_eff

/d  )/(d  /d  )]}

= c / (n

_eff

−  dn

_eff

/d  ) = c / n

_g

Visão Pictorial do Guiamento

Fonte: ELEMENTS OF PHOTONICS, Volume II, Iizuka, Capítulo 10, Wiley (2002)

H

_z

H

_x

E

_y

TE TM

Slab

Canal (3D)

Coffee Break

20

Propriedades Gerais dos Modos

 Cada autovalor  (constante de propagação; k

₀

.n

_eff

) corresponde a um modo distinto, com sua respectiva distribuição espacial de campos e polarização.

 Valores discretizados de  correspondem a modos guiados (k

₀

n

₁

>  > k

₀

n

₂

), enquanto que valores contínuos de  correspondem a modos de radiação (0 <  < k

₀

n

₂

).

 Os modos de propagação (guiados ou de radiação) são ortogonais entre si:



_ij

: Delta de Kroenecker Campos normalizados

 Alguns modos podem ser degenerados, ou seja, podem ter o mesmo autovalor  , mas apresentar diferentes distribuições espaciais e/ou polarizações de campos.

 O conjunto de todos os modos de propagação (guiados + de radiação) de um sistema (guia de onda) formam uma base completa, isto é, qualquer distribuição contínua de campo eletromagnético pode ser descrita por meio do somatório ponderado dos modos que formam essa base.

   

_ij

Area

j

i

x y z  x y z dA  

 ^{E  , , H }

^*

^{, ,}

21

  é chamado de coeficiente de decaimento do campo evanescente (fora do núcleo).

 (1/  ) é chamado de comprimento característico do decaimento do campo – é uma figura-de-mérito que permite estimar a região de influência dos campos evanescentes.

 O guia de onda Slab Simétrico não apresenta ponto-de-corte para o modo guiado de menor ordem (válido para ambas as polarizações), ou seja, haverá sempre ao menos um modo guiado, qualquer que seja o conjunto de parâmetros físicos.

 Considerando-se a propagação óptica na direção z, a componente de fluxo de potência óptica (vetor de Poynting) é reativa (imaginária) na direção x (evanescente) e real na direção z (propagante).

Propriedades do Slab Simétrico





 E H

S   

22

Guia Slab Simétrico – Modos de Propagação



Modos de Propagação (Radiação/Guiados): toda e qualquer solução do sistema de equações diferenciais (equação de onda) associado, considerando-se as condições de contorno impostas.



Modos de Radiação: Número infinito de soluções

 contínuo (0 <  < k

₀

n

₂

):

(Exemplo Caso TE)



Modos Guiados: Número finito de soluções

 discreto (k

₀

n

₁

>  > k

₀

n

₂

):

(Exemplo Caso TE)  

 

   

 















-



-











 - -

2 ,

2 2

, 2

,

2 2

0

x d De

x d x d

C x

B

x d Ae

x E

x d x d

y







 sin

,

cos

 

   

   

   







 





-





-













2 ,

2 2

, 2 ,

0

x d x

F x

E

x d x d

D x

C

x d x

B x

A x

E

_y













sin cos

sin cos

sin cos

,

2 2 2 0 2

2 2

1 2 0 2

2 2 2

0

n k n k n

k -  -  -

     

 ; ;