ALGORITMO EVOLUTIVO MULTIOBJETIVO PARA O DESPACHO ECONÔMICO E AMBIENTAL

ALGORITMO EVOLUTIVO MULTIOBJETIVO PARA O DESPACHO ECONÔMICO E AMBIENTAL

Elizete de Andrade Amorim¹

LABSEEL - Departamento de Engenharia Elétrica Universidade Federal de Mato Grosso do Sul - UFMS

Endereço da Instituição elizete.amorim@gmail.com

Flávio G. M. Lima¹ , Selma H. M. Hashimoto¹, José R. S. Mantovani²

1LABSEEL - Departamento de Engenharia Elétrica – UFMS

2 LAPSELL – Departamento de Engenharia Elétrica – FEIS – UNESP flima@ieee.org, mant@dee.feis.unesp.br

RESUMO

Neste artigo apresenta-se o desenvolvimento de um algoritmo evolutivo multiobjetivo (AEMO) para a solução do problema de despacho de potência ativa e reativa e minimização da emissão de gases poluentes (DEA). O DEA é modelado como um problema de otimização não-linear restrito, multiobjetivo, com variáveis de controle contínuas e discretas, em que o custo do combustível, os impactos ambientais e as perdas são tratados como objetivos competindo entre si. O AEMO implementado explora um mecanismo de preservação da diversidade para evitar a convergência prematura e torná-lo capaz de encontrar um conjunto de soluções não-dominadas diversificadas.

Adicionalmente, um mecanismo de decisão baseado na teoria dos conjuntos fuzzy é empregado para extrair a melhor solução compromisso do conjunto de Pareto. Para validar o algoritmo proposto ele foi testado utilizando o sistema de potência IEEE 30 barras. Os resultados obtidos com os testes demonstram que o método é eficiente para resolver o problema de DEA e capaz de gerar um conjunto de soluções não-dominadas diversificadas e de excelente qualidade.

PALAVRAS CHAVE. Algoritmo Evolutivo Multiojetivo. Despacho Econômico e Ambiental.

Conjuntos Fuzzy. Metaheurística

ABSTRACT

This works presents the development of a multiobjective evolutionary algorithm (MOEA) for problem of environmental and economic power dispatch (EED) problem. The EED is modeled as a nolinear constrained multiobjective optimization problem, with discrete and continuous control variables, in that the fuel cost, environmental impacts and losses are handled as competing objectives among themselves. The MOEA implemented employs a diversity-preserving mechanism to overcome the premature convergence and capable of finding widely different nondominated solutions. Moreover, fuzzy set theory is proposed to extract the best compromise solution of the Pareto set. To validate the proposed algorithm it was applied to the IEEE 30 test system. The results showed that the method is efficient for solving EED problem and capable of obtained a diversity Pareto-optimal set.

KEYWORDS. Multiobjective Evolutionary Algorithm. Environmental and economic power dispatch. Metaheuristic.

1. Introdução

O despacho econômico (DE) é o estudo da alocação ótima de demandas preestabelecidas entre as unidades geradoras de um sistema elétrico de potência. Este problema possui o objetivo de minimizar o custo da produção de energia elétrica através da otimização da distribuição da produção entre os geradores e da utilização eficiente dos recursos energéticos. Além desses objetivos é indispensável que as condições de operação sejam satisfeitas.

O planejamento e a operação dos sistemas elétricos, tradicionalmente, são realizados com o intuito de se obter o menor custo de geração sem considerar os níveis de emissão de gases produzidos e, portanto, sem levar em consideração os custos sociais devido à contaminação do meio ambiente. Mas devido a crescente preocupação mundial sobre a poluição ambiental causada por unidades de produção baseadas em combustível fóssil e o cumprimento das normas ambientais dos últimos anos o controle de emissão de gases tem recebido atenção a nível mundial.

Várias estratégias para a redução de emissões atmosféricas têm sido propostas e discutidas na literatura (El-Keib et al. (1994), Talaq et al. (1994)). Estas estratégias incluem a instalação de equipamentos de controle para a redução da emissão, a utilização de combustível de baixa emissão, a troca dos queimadores de combustível por outros mais limpos, e o despacho de emissões. As primeiras três opções requerem a instalação e/ou alteração de equipamentos e envolvem investimentos de capital considerável, e assim podem ser vistos como um investimento a longo prazo. O despacho de emissão é uma alternativa atraente a curto prazo, pois tanto os custos de emissão como o combustível podem ser minimizados simultaneamente, sem a necessidade de se dispor de capital.

Nos últimos anos, diferentes técnicas têm sido publicadas na literatura por diferentes autores e referenciada como problema de despacho econômico e ambiental (DEA), destacando-se Dhillon et al. (1993), Srinivassan et al. (1994), Abido (2001), Abido (2003), Zhao et al. (2005), entre outros. Em Dhillon et al. (1993) o DEA é convertido em um problema de otimização mono- objetivo através da combinação linear dos diferentes objetivos como uma soma ponderada. Este método permite obter um conjunto de soluções não-dominadas (Pareto-ótima) através da variação dos pesos, mas este método requer que a fronteira de Pareto-ótima seja convexa e exige múltiplas execuções, isto é, o número de execuções depende do número de soluções não-dominadas preestabelecido. Em Srinivassan et al. (1994) o custo de geração e a emissão de gases são tratados simultaneamente como objetivos competitivos e resolvido através uma técnica de otimização multiobjetivo fuzzy. Entretanto, o algoritmo não fornece nenhuma estrutura sistemática para direcionar a busca em direção à fronteira de Pareto-ótima e as soluções encontradas são sub-ótimas. Em Abido (2001) e Abido (2003) o DEA é tratado como um problema de otimização multiobjetivo e revolvido através dos algoritmos evolutivos baseados na teoria de Pareto. No trabalho Abido do ano de 2001 propõe-se a uma aproximação baseada no algoritmo Strength Pareto Evolutionary (SPEA) e no trabalho publicado no ano de 2003 propõe- se a solução através de uma aproximação baseada no algoritmo Nondominated Sorting Genetic Algorithm (NSGA). Os testes realizados com os algoritmos evolutivos multiobjetivos demonstraram que estes métodos podem encontrar um conjunto de soluções não dominadas bem distribuído e apresentam boa diversidade.

O DEA é um problema de otimização não-linear restrito e a presença de restrições de diversas naturezas introduz uma complexidade adicional para sua solução através dos algoritmos evolutivos (AEs), pois os operadores originais de busca destes algoritmos não garantem a obtenção de soluções viáveis. Estudos sobre o desenvolvimento e uso dos AEs são recentes, e de acordo com Lenive (1997), a solução de problemas desta classe limita o uso dos AEs em sua forma original principalmente pelo fato de não existir a garantia de que a factibilidade será mantida após a recombinação e mutação. Na literatura existem alguns procedimentos que podem ser adotados para tratar os problemas restritos, tais como: técnicas de penalização, reparação de

soluções infactíveis, tratamento por múltiplos objetivos, operadores modificados e modificação da formulação do problema (Reeves, C. R. (1997)).

Neste trabalho, para a solução do problema de DEA é desenvolvido um algoritmo evolutivo multiobjetivo (AEMO) baseado na teoria de Pareto (Deb et al. 2000) que explora um mecanismo de preservação da diversidade para evitar a convergência prematura do algoritmo e soluções ótimas locais. Além disso, para extrair a melhor solução compromisso do conjunto Pareto-ótimo utiliza-se um mecanismo de decisão baseado na teoria do conjunto fuzzy (Dhillon et al. (2002)).

Visando-se atender as restrições físicas e operacionais, sem comprometer a qualidade das soluções encontradas as infactibilidades ocorridas no conjunto de restrições de desigualdades são tratadas como funções objetivo do problema. Para validar a eficiência do modelo e da técnica de solução apresentam-se os resultados obtidos com o sistema teste IEEE-30 (Alsac e Stott (1974)).

2. Nomenclatura e

i j : Índices das barras e linhas de transmissão, respectivamente.

e

N G : Conjuntos de barras e de geradores do sistema.

2_i, 1_ie 0_i

C C C : Coeficientes de custo do i-ésimo gerador.

, , , e

i i i i i

γ β α ξ λ : Coeficientes de emissão de gases.

gie gi

P Q : Potências ativa e reativa gerada pelo i-ésimo gerador.

PLi e QLi : Potências ativa e reativa demandada pela i-ésima barra.

(

^{, ,}

)

i

P Vθ t : Injeção líquida de potência ativa na barra i.

(

^{, ,}

)

i

Q V θ t : Injeção líquida de potência reativa na barra i.

min e max

gi gi

P P : Capacidades mínima e máxima da geração de potência ativa no i-ésimo gerador.

min e max

gi gi

Q Q : Capacidades mínima e máxima da geração de potência reativa no i-ésimo gerador.

i e i

V θ : Magnitude de tensão e ângulo de fase na barra i.

ti : i-ésimo transformador com controle automático de taps.

Hi

S : Banco de capacitor/reator shunts na i-ésima barra.

min e max

i i

V V : Limites inferior e superior da magnitude de tensão na i-ésima barra.

Sij : Fluxo potência aparente sobre a linha ij.

max

Sij : Capacidade máxima de fluxo potência aparente sobre a linha ij.

min

ti e t_i^max : Limites inferior e superior do i-ésimo transformador com controle automático de taps.

min Hi

S e SH^maxi : Limites inferior e superior do capacitor/reator shunts na i-ésima barra.

gref

P : Potência ativa gerada na barra slack.

max gref

P : Capacidade máxima de geração de potência ativa na barra slack.

∆uD : Tamanho do passo de discretização.

min Di

u e uD^max_i : Limites inferior e superior das variáveis discreta.

Prmine _Pr^max : Limites inferior e superior referentes à taxa de recombinação.

PmminePm^max : Limites inferior e superior referentes à taxa de mutação.

ig : Índices das gerações.

nmax : Número máximo de gerações.

( )

min

fi x : Valor mínimo da i-ésima função objetivo.

( )

max

fi x : Valor máximo da i-ésima função objetivo.

3. Formulação do Problema

O problema de despacho econômico clássico consiste em determinar um conjunto de variáveis ótimas de estado e controle da rede elétrica, a partir dos dados de carga e dos parâmetros do sistema elétrico de potência. Se na formulação deste problema adicionam-se restrições ambientais para reduzir a poluição atmosférica

Este problema é caracterizado matematicamente como um problema de otimização não-linear restrito, não-convexo e de grande porte (com milhares de variáveis e restrições), com variáveis contínuas e discretas. As infactibilidades no conjunto de restrições de desigualdades são tratadas como funções objetivo do problema e, consequentemente, o problema de DEA pode ser matematicamente formulado como:

Objetivos

1. Minimização do custo de operação: Esta função objetivo reflete o aspecto econômico do sistema elétrico e na prática representa o índice a ser otimizado no despacho econômico de usinas térmicas, onde cada unidade termoelétrica geradora é representada por uma curva de custo de geração em função da potência ativa gerada. O custo total da geração termoelétrica é obtido através de uma função quadrática como:

2

1 2_i( _gi) 1_i( _gi) 0_i i G

f C P C P C

∈

=

∑

+ + ($/h) (1)

2. Minimização da emissão de gases poluentes: A função de emissão de gases pode ser representada como a soma de todos os tipos de emissão considerados, tais como, dióxido de carbono, dióxido de enxofre, óxidos de nitrogênio, monóxido de carbono e dióxido de nitrogênio.

( ) ( )

2 2

2 10 _{i gi i gi i i}exp _{i gi}

i G

f ⁻ γ P β P α ξ λ P

∈

 

=

∑

 + + +  (ton/h) (2)

3. Minimização das perdas de potência ativa: Este objetivo visa diminuir o valor das perdas no sistema e, determinar a geração de potência reativa (ou nível de tensão gerada) e os taps dos transformadores com comutação sob carga de forma a resultar em uma operação mais econômica. É importante enfatizar, que o efeito da minimização deste índice no custo de geração de potência ativa é considerado de segunda ordem. A minimização das perdas de potência ativa nas linhas de transmissão pode ser expressa como:

(

^{2 2}

)

3 2 cos

lossk ij i j i j ij

k NL k NL

f P g v v v v θ

∈ ∈

=

∑

=

∑

+ − (MW) (3)

Funções objetivo referentes às restrições de desigualdades violadas 1. Potência ativa gerada

{

^max

}

4 0,

ref ref

g g

f = Min P − P (4)

2. Potência reativa gerada

5 gi

i G

f Min Q

∈

=

∑

∆ (5)

Em que

min min

max max

, ,

0, caso contrário

gi gi gi gi

gi gi gi gi gi

Q Q Q Q

Q Q Q Q Q

 − <

∆ =  − >



3. Magnitude de tensão

6 _i i N

f Min V

∈

=

∑

∆ (6)

Em que

min min

max max

, ,

0, caso contrário

i i i i

i i i i i

V V V V

V V V V V

 − <

∆ =  − >



4. Fluxo de potência nas linhas de transmissão

7

, ij i j N

f Min S

∈

=

∑

∆ (7)

Em que

max, max

0, caso contrário

ij ij ij ij

ij

S S S S

S  − >

∆ = 

 Restrições

As restrições do problema de DEA são as restrições de fluxo de carga:

(

^{, ,}

)

⁰

gi Li i

P −P − P θ V t = (8)

(

^{, ,}

)

i ⁰

gi Li i H

Q −Q − Q θ V t + S = (9)

4. Princípio da Otimização Multiobjetivo

Um problema de otimização multiobjetivo é caracterizado pela otimização simultânea de várias funções objetivo com diferentes soluções ótimas (Deb et al. (2000)). Geralmente, as funções objetivo de um problema de otimização multiobjetivo são não-comensuráveis e conflitantes entre si e por esta razão não existe uma única solução que seja ótima simultaneamente para todos os objetivos e sim um conjunto de soluções compromisso denominado conjunto eficiente ou Pareto-ótimo.

Para um problema de otimização multiobjetivo com Nobj funções objetivo (f_i) para serem minimizadas simultaneamente, a solução x₁ domina a solução x₂ se as condições abaixo são satisfeitas:

1. ^{∀ ∈i}

{

^{1,2, , Nobj}

}

^{: f xi}

^{( )}

^{1 < f xi}

^{( )}

^{2 (10)}

2. ^{∃ ∈j}

{

^{1, 2, , Nobj}

}

^{: f xj}

^{( )}

^{1 ≤ f xj}

^{( )}

^{2 (11)}

Se qualquer uma das condições acima é violada, a solução x₁ não domina a solução x₂. Se a solução x₁ domina solução x₂, então x₁ é denominada solução não dominada. As soluções que são não-dominadas sobre todo o espaço de busca são chamadas soluções Pareto-ótimas e constituem o conjunto Pareto-ótimo ou a fronteira de Pareto-ótima.

5. Metodologia Proposta

Para solução do DEA tratado como um problema de otimização multiobjetivo propõe-se um AEMO baseado em um procedimento de ordenação dos pontos candidatos a serem pontos eficientes da população (Srinivas. e Deb (1995)). A diferença desta implementação em relação a um algoritmo genético simples está no modo com que o operador de seleção é realizado. Tanto o operador de recombinação quanto o operador de mutação são os usuais dos algoritmos genéticos.

Antes do procedimento de seleção ser aplicado, a população é ordenada com base no nível de não-dominância dos indivíduos, isto é, todas as soluções não-dominadas da população corrente recebem valores altos de aptidão. Esta aptidão é a mesma para todos os indivíduos não- dominados, garantindo assim que todos possuam um mesmo potencial reprodutivo.

Para manter a diversidade da população as soluções não-dominadas compartilham os seus valores de aptidão segundo suas distâncias Euclidianas (Zitzler e Thiele (1999)). Finalmente, divide-se o valor da aptidão de cada indivíduo pelo contador de nichos que é proporcional ao número de vizinhos ao seu redor. Este procedimento proporciona a coexistência de pontos ótimos múltiplos na população. O pior valor de aptidão compartilhada na solução da primeira fronteira não-dominada é então armazenado para uso posterior. Depois que o compartilhamento é executado e que as aptidões são modificadas os indivíduos não-dominados são ignorados temporariamente para processar os demais membros da população. O procedimento para determinar novas soluções não-dominadas (segundo nível) é novamente executado, sendo que agora eles recebem um valor de aptidão um pouco menor que o pior valor de aptidão compartilhada no nível anterior. Uma vez mais o procedimento de compartilhamento é executado entre as soluções não-dominadas do segundo nível e as novas aptidões são calculadas como antes. Este processo é continuado até que todos os membros da população tenham um valor de aptidão compartilhado.

Os algoritmos multiobjetivos fornecem um conjunto de soluções aceitáveis de grande dimensão. Tais soluções estão distribuídas em diversas fronteiras, e conforme já mencionado, todos os pontos em uma fronteira particular possuem o mesmo grau de dominância, sendo os pontos da primeira fronteira os mais aptos, porque estão associados aos pontos dominantes da população.

Na solução do DEA é desejável encontrar uma solução para o qual os valores de todas as funções objetivo são considerados aceitáveis pelo projetista ou decisor. Para determinar uma solução particular, a cada geração as soluções não-dominadas pertencentes à primeira fronteira de Pareto-ótima são analisadas em relação ao despacho econômico de potência ativa e a função objetivo referente às infactibilidades das restrições de desigualdade. Para esta finalidade aplica-se um mecanismo de decisão, baseado na teoria dos conjuntos fuzzy. Este mecanismo é detalhado nas próximas seções.

Para gerar um conjunto suficientemente diversificado de soluções não-dominadas e obter um bom desempenho, na solução do DEA, o algoritmo proposto combina algumas estratégias, tais como:

• Codificação das variáveis de controle em base real;

• Elitismo;

• Desacoplamento implícito das variáveis do problema;

• Seleção e recombinação simultaneamente;

• Redução do conjunto de Pareto através de clustering;

• Preservação da diversidade.

5.1. Codificação e população inicial

Devido às características físicas do problema, para se obter um desempenho satisfatório do AEMO sob os aspectos da eficiência computacional e qualidade das soluções otimizadas fornecidas pelo algoritmo, é necessário gerar uma população inicial de boa qualidade. Os indivíduos (cromossomos) que compõem a população são formados por 4 subconjuntos de variáveis, representadas pelas variáveis de controle contínuas (uC_i ) e discretas (uD_i) conforme apresentado na Fig. 1.

Subconjunto 1

... ... ... ...

g1

P P_gi V₁ V_i t₁ t_i SH₁ S_Hi

Subconjunto 2 Subconjunto 3 Subconjunto 4 Variáveis de controle contínuas

( )

^uCi Variáveis de controle discretas

( )

^uDi

Fig. 1: Estrutura do cromossomo da população.

A potência ativa gerada (P_gi) e as magnitudes de tensões (V_i ) são tratadas como variáveis de

controle contínuas e geradas de forma aleatória satisfazendo seus respectivos limites mínimos e máximos. A potência ativa gerada total deve suprir as demandas das cargas e as perdas ativa do sistema. Visando-se satisfazer esta condição, para cada gerador é gerado um valor aleatório que representa a sua geração de potência ativa e que deve estar dentro dos seus limites preestabelecidos de geração. Desta forma, somando as propostas de potência ativa gerada de cada gerador e um valor aproximado de estimativa para as perdas ativa do sistema deve se ter a capacidade total de geração da rede. A diferença entre esta soma e a demanda total com as perdas deve ser suprida pela barra de referência.

Os transformadores com controle automático de taps (t_i) e os bancos de capacitores e reatores shunts (S_{H i}) são representados por valores discretos como segue:

Seja n_i número aleatório inteiro no intervalo

[

^{0, ,} Ki

]

e

max min

int ^{Di Di}

i D

u u

K =  − ∆u  , então os valores discretos são dados por:

( )

min

i i

D D i D

u =u + ⋅ ∆n u ∀ ∈i N (12)

Tanto as variáveis contínuas, quanto as variáveis discretas são codificadas em base real satisfazendo suas respectivas regiões de factibilidade. As vantagens deste sistema de codificação são armazenar uma maior quantidade de informações que a codificação binária para um cromossomo com a mesma dimensão e trabalhar com a representação real das variáveis do problema.

A partir das variáveis de controle contínuas e discretas estabelecidas para cada indivíduo calculam-se as restrições de fluxo de carga (8) e (9). Estas restrições são resolvidas através do Método de Newton (Monticelli, (1983)) e posteriormente calculam-se as funções objetivo.

5.2. Elitismo

A estratégia elitista, dentro do contexto multiobjetivo, deve ser expandida para o conjunto das soluções não-dominadas da população corrente. Este procedimento é fundamental na resolução de problemas multiobjetivos, uma vez que a solução destes problemas é na verdade um conjunto de soluções – fronteira de Pareto-ótima. Após a classificação da população os pontos pertencentes à primeira fronteira

( )

F1 são retirados da população e armazenados em um subconjunto elitista (E), para que sejam utilizados no processo de recombinação com o objetivo de aumentar a pressão de seleção e ao mesmo tempo acelerar a convergência do algoritmo.

5.3. Desacoplamento implícito das variáveis de controle

A estratégia de desacoplamento implícito tem por objetivo contemplar a solução de problemas que apresentam variáveis de controle conflitantes entre si. Na metodologia proposta as violações das restrições de desigualdades são tratadas como funções objetivo do problema e, ao atualizar um determinado conjunto de variáveis de controle através de recombinação ou mutação, um objetivo é melhorado em detrimento de outros. Desta forma, ao se sortear os indivíduos para executar a recombinação ou mutação, deve-se verificar qual dos objetivos está sendo contemplado e efetuar a recombinação ou mutação considerando apenas o(s) subconjunto(s) de variáveis de controle que interferem diretamente neste(s) objetivo(s).

5.4. Operadores genéticos

Seleção e recombinação: O procedimento de seleção adotado é o de torneio, na qual algumas soluções são aleatoriamente escolhidas da população e, com base em algum critério, a solução vencedora é então selecionada. Normalmente, o critério utilizado pela maioria dos algoritmos evolutivos mono-objetivo é o valor da função de aptidão, já para os algoritmos evolutivos

multiobjetivos alguma estratégia de nicho é empregada de forma a modificar as aptidões reais dos indivíduos conforme a densidade de vizinhos no seu entorno.

O procedimento de torneio empregado é efetuado diretamente sobre as ordens (fronteiras) recebidas pelos indivíduos, deste modo, os indivíduos são selecionados não só pelas suas aptidões, mas sim pelas suas aptidões dentro do contexto multiobjetivo de dominância. Além disso, este procedimento é realizado em conjunto com o operador de recombinação de um único ponto.

Seja

{ }

^Npop o número máximo de indivíduos da população e

{ }

^M um conjunto que contém as soluções

{

^{M M N/ ∈ popeM E∉}

}

a serem utilizadas nos processos de seleção e recombinação, como segue:

i. Selecionar por torneio um indivíduo pai, P1, do subconjunto M;

ii. Selecionar aleatoriamente o segundo pai, P2, do subconjunto E;

iii. Selecionar aleatoriamente um dos objetivos do problema e iniciar o processo de recombinação;

iv. Gerar um número aleatório ^r∈

[ ]

^0,1. Se ^r < ^Pr (Pr é a probabilidade de recombinação), então obter aleatoriamente o ponto de recombinação. Caso contrário, voltar ao passo i;

v. Se o objetivo escolhido no passo iii se referir ao custo da geração, então a recombinação de um único ponto será realizada considerando todos os subconjuntos de variáveis de controle (Figura 1). Caso contrário, o desacoplamento implícito das variáveis do problema será realizado;

vi. Repetir os passos de i à v até que a nova população possua o número de indivíduos predefinido.

Mutação: A mutação é um operador de grande importância para a solução de problema do mundo real, pois introduz, aleatoriamente, novas informações na população, prevenindo a convergência prematura do algoritmo. A seqüência deste procedimento é descrita abaixo:

i. Gerar um número aleatório m∈

[ ]

^0,1;

ii. Se ^{m < Pm} (Pm é a probabilidade de mutação), então selecionar aleatoriamente um dos objetivos do problema, para realizar a mutação. Caso contrário, voltar ao passo i;

iii. Se o objetivo escolhido no passo ii for diferente do custo da geração, então deve-se realizar o desacoplamento implícito das variáveis do problema. Caso contrário, a mutação será efetuada em todos os subconjuntos das variáveis de controle (Figura 1);

iv. Selecionar o ponto de mutação para a variável que sofrerá mutação;

v. Trocar o valor atual da variável selecionada por um valor gerado, aleatoriamente, no domínio desta variável;

vi. Repetir os passos i à v até que a nova população tenha o número de indivíduos predefinido.

5.5. Redução do conjunto de Pareto

Em alguns problemas o conjunto Pareto-Ótimo pode ser extremamente grande. Nestes casos, a redução do conjunto de soluções não-dominadas sem a degradação das características da fronteira Pareto-ótima é indispensável. Neste trabalho, para a redução do número de soluções contidas no conjunto Pareto–ótimo utilizou-se a técnica denominada clustering (Morse (1980)). Esta técnica particiona o conjunto de soluções dominantes em N grupos (clusters) de acordo com a proximidade das soluções. Para cada cluster, seleciona-se uma solução representativa (centróide)

e as soluções restantes são descartadas. A distância entre quaisquer dois elementos do conjunto de soluções não-dominadas é encontrada através da distância euclidiana (Zitzler e Thiele (1999)).

5.6. Preservação da diversidade

Geralmente para preservar a diversidade da população em algoritmos evolutivos multiobjetivos utiliza-se a técnica de niching (Deb et al. (2000)). A técnica de niching consiste na divisão da população em espécies (que reúnem indivíduos com características semelhantes) para reduzir a competição por recursos e criar subpopulações estáveis, cada uma delas concentrada em um nicho do espaço de busca.

Neste trabalho, um esquema de niching utilizando o mecanismo de sharing foi adicionado ao método proposto. O mecanismo de sharing trabalha alterando a função de avaliação de cada elemento da população de acordo com o número de indivíduos semelhantes a ele na população (Mathfound (2000)). Porém, ao contrário do esperado, seus resultados não melhoraram significativamente a diversidade das soluções não dominadas encontradas. Dessa forma, para preservar a diversidade na população, além do mecanismo de sharing utilizaram-se as taxas de recombinação e mutação atualizadas de forma adaptativa, como segue:

( )

max max min

Pr= Pr − ig Pr⋅ − Pr  nmax (13)

(

^{max min}

)

Pm= Pmmim+ ig Pm⋅ − Pm  nmax (14)

5.7. Melhor solução compromisso

Os conjuntos fuzzy são definidos através de equações denominadas funções de pertinência (µ_i ). Estas funções representam o grau de pertinência no conjunto fuzzy usando valores 0 e 1. Os valores das funções de pertinência indicam o grau de satisfação das funções objetivos do problema. A equação abaixo expressa a função de pertinência que é definida como em Dhillon et al. (1993).

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

min max max

min max

max min

1

0 , 1,

i i

i i i obj

i i

i i i

i i

f x f x

f x f x i N

f x f x

f x f x f x

f x f x

µ

 ≤



=  ≥ =

 −

 ≤ ≤

 −



 (15)

Seja N_dom o número de soluções não-dominadas da primeira fronteira de Pareto, então, para cada solução não-dominada k (k N∈ _dom) a função de pertinência é normalizada como:

1

1 1

dom

Nobj k

k i i

N Nobj

k i

k i

µ µ

µ

=

= =

=

∑

∑ ∑

⁽¹⁶⁾

A melhor solução compromisso é dada por ^{γ =max}

{ }

^{µk , k=1, 2, , Ndom.}

Para estabelecer os valores de fi^min

( )

x e fi^max

( )

x , Inicialmente, as funções objetivo referentes aos custos de operação e minimização das perdas nas linhas de transmissão são otimizadas individualmente para obter os pontos extremos da curva de Pareto e avaliar a diversidade das soluções de Pareto-ótima. Para as funções objetivo referentes às restrições de desigualdade os valores mínimos são considerados iguais a zero e os valores máximos são iguais a soma das infactibilidades obtidas nas simulações do fluxo de carga convencional (método de Newton).

6. Resultados e Discussões

O AEMO desenvolvido foi aplicado ao sistema teste IEEE-30 (Alsac e Stott (1974)). Este

sistema possui 30 barras, 41 linhas e os dados necessários para analisar o despacho econômico e ambiental são expostos nas Tabelas 1 e 2, respectivamente.

T^ABELA 1

Dados da função de custo dos geradores

Geradores C P2_i( _gi)²+C P1_i( )_gi + C0_i ($ / h) ^max Pgi

(MW)

min

Pgi

N⁰ Barra C_2i C_1i C_0i (MW)

1 1 10 200 100 150 5

2 2 10 150 120 150 5

3 5 20 180 40 150 5

4 8 10 100 60 150 5

5 11 20 180 40 150 5

6 13 10 150 100 150 5

TABELA 2

Dados da função de emissão de gases

Geradores ¹⁰⁻²

(

^{γi giP2+βiPgi+ αi}

)

^+ξexp

(

^{λi giP}

)

N⁰ Barra γi β_i αi ξi λ_i

1 1 6,490 - 5,554 4,091 2,0e-4 2,857

2 2 5,638 - 6,047 2,543 5,0e-4 3,333

3 5 4,586 - 5,094 4,258 1,0e-6 8,000

4 8 3,380 - 3,550 5,426 2,0e-3 2,000

5 11 4,586 - 5,094 4,258 1,0e-6 8,000

6 13 5,151 - 5,555 6,131 1,0e-5 6,667

Adotou-se Vi^min=^0,95pu para todas as barras do sistema e Vi^max=^1,10pu para as barras de geração (2, 5, 8, 11 e 13) e para as demais barras Vi^max=^{1, 05}pu. Os tamanhos dos passos para a discretização dos transformadores com controle automático de taps e capacitores/reatores shunt são ∆u_D=0,01pu e ∆u_D=0,02pu respectivamente. Os limites mínimo e máximo dos transformadores com controle automático de taps são 0,9 pu e 1,1 pu. Os limites mínimo e máximo da probabilidade de recombinação são Pr^min=0,001 e Pr^max=0,9, respectivamente. Os limites mínimo e máximo da probabilidade de mutação são Pm^min= 0,01 e Pm^max=0,5, respectivamente.

A melhor solução compromisso e a distribuição das soluções não-dominadas da fronteira de Pareto-ótima utilizando o AEMO proposto são apresentadas na Figura 2. Nesta figura pode-se verificar com precisão a relação entre o custo da geração de potência ativa, a emissão de gases poluentes e as perdas nas linhas de transmissão. Como os três objetivos em questão são conflitantes a tentativa de se obter um ponto de operação com um custo menor resulta em um aumento na emissão de gases poluentes e das perdas nas linhas de transmissão.

A melhor solução compromisso pertencente ao conjunto de soluções não-dominadas da fronteira de Pareto-ótima é mostrada de forma detalhada na Tabela 3.

Para fins de comparação, na tabela 3 são apresentados os resultados obtidos neste trabalho e os resultados apresentados em dois trabalhos da literatura. Nas simulações com o algoritmo PSO (Zhao et al. (2005)) o DEA é tratado como um problema de otimização multiobjetivo, no qual os custos da geração, emissão de gases e perdas são minimizados simultaneamente. Os resultados obtidos com o algoritmo SPEA (Abido (2003)) referem-se caso 3, no qual se consideram todas as restrições do problema a emissão e os custos de geração são minimizados simultaneamente.

Analisando os resultados apresentados na tabela 3, observa-se que o AEMO convergiu para uma solução de boa qualidade superando os algoritmos PSO e SPEA. Para o algoritmo SPEA (Abido (2003)) adotou-se os números máximos de indivíduo na população e de gerações iguais a 200 e 500, respectivamente. Enquanto para o AEMO proposto adotou os números máximos de

indivíduo na população e de gerações iguais a 90 e 100, respectivamente.

O AEMO implementado convergiu para soluções de boa qualidade, ou seja, alteraram-se os controles de potência reativa disponíveis, melhorando o perfil de tensão. Ressalta-se que as magnitudes de tensões permaneceram dentro dos limites estabelecidos para todas as barras (referência, geração e carga). As restrições referentes aos fluxos de potência nas linhas de transmissão e à capacidade de geração de potência ativa foram devidamente atendidas em todas as simulações realizadas.

Fig. 2: Fronteira de Pareto-ótima e melhor solução compromisso.

Tabela 3: Resultados da melhor solução compromisso obtidos com os algoritmos PSO, SPEA e AEMO.

Potência ativa gerada e custos de geração

PSO SPEA AEMO

1

Pg 0,3976 0,4797 0,2105

2

Pg 0,4181 0,5386 0,3467

3

Pg 0,6440 0,6711 0,7741

4

Pg 0,7515 0,5317 0,7059

5

Pg 0,4462 0,1257 0,5226

6

Pg 0,4897 0,5301 0,3029

Custo ($/h) 614,91 651,63 614,15

Emissão (ton) 0,2081 0,2047 1,8804

Perdas (MW) 2,8865 - 0,2075

Tempo

Computacional - - 8 s

7. Conclusões

Neste trabalho o problema de despacho econômico e ambiental foi abordado como um problema de otimização multiobjetivo e resolvido através de um algoritmo evolutivo baseado na teoria de Pareto. Os resultados demonstram que a metodologia proposta é eficiente para resolver

problemas de otimização multiobjetivos que envolvem um grande número de variáveis discretas e várias restrições. As soluções não dominadas na fronteira de Pareto são bem distribuídas e apresentam diversidade satisfatória. Além disso, a metodologia não impõe nenhuma limitação quanto ao número de funções objetivo, sendo assim, o aumento do número de funções objetivo podem ser consideradas de forma simples e eficiente na metodologia proposta.

Agradecimentos

Os autores agradecem o suporte financeiro da Fundação de Apoio ao Desenvolvimento e Tecnologia do Estado de Mato Grosso do Sul - FUNDECT e CNPq (Processo: 350226/2007-5).

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