Matemática. Permutação simples e com repetição. Teoria. Fatorial (!) m ( m 1) ( m 2) m! = 0! = 1 para m 2

Permutação simples e com repetição

Objetivos

Resolver problemas de contagem utilizando permutação simples e com repetição, bem como saber quando aplicar cada uma. Compreender a aplicação dos fatorais nos cálculos que envolvem permutação.

Se liga

Para esta aula, é necessário que você conheça o Princípio Multiplicativo. Para relembrá-lo, clique aqui. Ou, caso não seja direcionado, procure na biblioteca pela aula “Análise Combinatória: PFC, Arranjo e Permutação”

Curiosidade

A palavra permutar significa ato ou efeito de permutar, troca. Isso possui relação com o fato de que, aqui, trocamos os elementos de uma sequência de lugar.

Teoria

Fatorial (!)

O fatorial é uma operação aplicada apenas a números naturais e é definido da seguinte maneira:

( 1) ( 2) ... 3 2 1

! 0! 1 para m 2

1! 1

m m m m

 −  −    



= = 

 =

Ou seja, o fatorial de um número é o produto dele pelo antecessor e assim sucessivamente, até que o antecessor seja 1.

Ex.:

2! = 2 ∙ 1 = 2 3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6

5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120 6! = 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 720 7! = 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 5.040 8! = 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 40.320

Permutações

• Ideia central: posicionamento em sequência de alguns objetos, ordenação de alguns objetos. Dado um conjunto com 𝑛 elementos distintos, chama-se permutação dos 𝑛 elementos todas as diferentes sequências desses elementos.

• Logo, utilizamos esse princípio em situações em que a ordem dos objetos importa e todos eles serão usados.

Permutação Simples:

• Todos objetos são distintos entre si.

• 𝑃_𝑛= 𝑛!

Exemplo: De quantos modos 5 indivíduos podem se organizar em fila?

Por se tratar de uma fila, a ordem em que os indivíduos são dispostos afeta a fila formada. Como todos os cinco indivíduos (objetos) se organizarão na fila e todos são distintos entre si, temos uma permutação simples e há 𝑃5= 5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120 formas de organizar esses indivíduos em fila.

Obs.: Caso queira se desapegar da fórmula, pense que para o primeiro lugar da fila há 5 pessoas que podem tomá-lo; 4 pessoas para o segundo lugar; 3 para o terceiro; 2 para o quarto; e resta 1 pessoa para se alocar no último lugar da fila. Pelo Princípio Multiplicativo, há 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120 formas de organizar esses indivíduos em fila.

Permutação com Repetição:

• Permite que tenha objetos idênticos.

• 𝑃_𝑛^{𝛼,𝛽,…}= ^𝑛!

𝛼!𝛽! …

Exemplo: Quantos são os anagramas da palavra bicicleta?

Anagrama é qualquer forma de embaralhar as letras da palavra original, mesmo que esse embaralhamento não produza sentido. Isto é, usaremos todas as letras que estão a nossa disposição (todos os objetos serão usados na composição do anagrama, sem deixar nenhum de fora). A ordem das letras é relevante, pois é por meio dessas ordens distintas que são formados novos anagramas, e há duas repetições: a letra “b” aparece duas vezes, tal como a letra “i”. Assim, temos um problema de Permutação com Repetição. Como há 9 letras no total dessa palavra, teremos:

P

₉^2,2

=

^9!

2!∙2!

=

9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1

2∙1∙2∙1

= 90.720

anagramas

Obs.: Caso queira se desapegar da fórmula, podemos pensar que, caso as letras fossem todas distintas entre si, teríamos, pelo Princípio Multiplicativo, 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 anagramas. Entretanto, as permutações entre as duas letras “b” são indiferentes, uma vez que tais letras são iguais. Logo, a cada 2 ∙ 1 = 2 permutações entre elas, só uma deve ser contabilizada. O mesmo vale para as duas letras “i”, de modo que o número de anagramas totais será 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1

2 ∙ 2 = 90.720 anagramas.

Exercícios de fixação

1.

Calcule o número de anagramas da palavra CARROSEL.

2.

Calcule o número de anagramas da sequência de letras 𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷.

3.

Em uma estante há oito livros, todos distintos entre si, dos quais 3 são de matemática, 2 são de química e os demais são de física.

a) De quantas formas os livros de matemática podem permutar entre si?

b) E os de química?

c) E os de física?

d) Considere agora que reunimos os livros em três grupos: um com os livros de matemática, um com de química e um com os de física. De quantas formas esses três grupos podem permutar entre si?

e) Use os resultados anteriores para resolver ao seguinte problema: de quantas formas podemos organizar esses livros na estante, de modo que livros de uma mesma disciplina fiquem juntos?

4.

A partir da palavra DESCOMPLICA, faça o que se pede (se necessário, utilize uma calculadora):

a) Calcule o número de anagramas das suas vogais. Isto é, de EOIA.

b) Chamemos o bloco de vogais de 𝑋. Isto é 𝑋 = EIOA. Calcule o número de anagramas de DSCMPLC𝑋.

c) Use os resultados anteriores para resolver o seguinte problema: qual o número de anagramas da palavra DESCOMPLICA em que as vogais estão juntas?

d) Calcule o número total de anagramas da palavra DESCOMPLICA.

e) Use os resultados anteriores para resolver o seguinte problema: qual o número de anagramas da palavra DESCOMPLICA de modo que as vogais não estejam todas juntas?

5.

Sobre a palavra PERMUTA, faça o que se pede:

a) Calcule o número de anagramas dessa palavra que começam com a letra A.

b) Calcule o número de anagramas dessa palavra que começam com a letra E.

c) Listam-se todos os anagramas dessa palavra em ordem alfabética. Assim, o primeiro da lista é o anagrama AEMPRTU, o segundo é AEMPRUT, e assim sucessivamente. Use os resultados anteriores para determinar qual é o 1.441º anagrama dessa lista.

Exercícios de vestibulares

1.

O número de candidatos inscritos para realização do último vestibular de verão, em um determinado curso, corresponde ao número de anagramas da palavra VESTIBULAR que começam por VE e terminam por AR. Esse número é igual a:

a) 120 b) 240 c) 360 d) 540 e) 720

2.

A figura mostra a planta de um bairro de uma cidade. Uma pessoa quer caminhar do ponto A ao ponto B por um dos percursos mais curtos. Assim, ela caminhará sempre nos sentidos “de baixo para cima”

ou “da esquerda para a direita”. O número de percursos diferentes que essa pessoa poderá fazer de A até B é:

a) 95040 b) 40635 c) 924 d) 792 e) 35

3.

Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa escolher uma senha composta por quatro caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As letras e os algarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe que o alfabeto é composto por vinte e seis letras e que uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha.

Disponível em: www.infowester.com. Acesso em: 14 dez. 2012.

O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site é dado por a)

10

²

. 26

²

b)

10

²

. 52

²

c)

10

²

. 52

²

.

^4!

2!

d)

10

²

. 26

²

.

^4!

2! .2!

e)

10

²

. 52

²

.

^4!

2! .2!

4.

O setor de recursos humanos de uma empresa vai realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato um número, colocar a lista de números em ordem numérica crescente e usá-la para convocar os interessados. Acontece que, por um defeito do computador, foram gerados números com 5 algarismos distintos e, em nenhum deles, apareceram dígitos pares. Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número 75 913 é

a) 24 b) 31 c) 32 d) 88 e) 89

5.

Um grupo é formado por oito homens e cinco mulheres. Deseja-se dispor essas oito pessoas em uma fila, de modo que as cinco mulheres ocupem sempre as posições 1, 2, 3, 4 e 5, e os homens as posições 6, 7 e 8.

Quantas formas possíveis de fila podem ser formadas obedecendo a essas restrições?

a) 56 b) 456 c) 40.320 d) 72.072 e) 8.648.640

6.

Seja 𝑛 a quantidade de anagramas da palavra FILOSOFIA que possuem todas as vogais juntas. Temos que 𝑛 vale:

a) 1.800 b) 3.600 c) 4.800 d) 181.440 e) 362.880

7.

Quantos anagramas é possível formar com a palavra CARAVELAS, não havendo duas vogais consecutivas e nem duas consoantes consecutivas?

a) 24 b) 120 c) 480 d) 1920 e) 3840

8.

Três amigos, André, Bernardo e Carlos, moram em um condomínio fechado de uma cidade. O quadriculado representa a localização das ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho nesse condomínio, em que nos pontos A, B e C estão localizadas as casas de André, Bernardo e Carlos, respectivamente.

André deseja deslocar-se da sua casa até a casa de Bernardo, sem passar pela casa de Carlos, seguindo ao longo das ruas do condomínio, fazendo sempre deslocamentos para a direita (→) ou para cima (↑), segundo o esquema da figura. O número de diferentes caminhos que André poderá utilizar para realizar o deslocamento nas condições propostas é

a) 4 b) 14 c) 17 d) 35 e) 48

9.

A vendedora de roupas está arrumando as cabines da vitrine de uma loja. Ela deve pendurar 5 camisas, 3 bermudas e 2 casacos na vitrine, de modo que cada peça fique uma ao lado da outra sem sobreposição. Quantas são as disposições possíveis nessa arrumação, de modo que as peças de um mesmo tipo fiquem sempre juntas, lado a lado na vitrine?

a) 20 b) 1201 c) 1440 d) 4320 e) 8640

10.

Se somarmos todos os números obtidos, permutando-se os algarismos em 1234, o resultado obtido é igual a

a) 54.320 b) 55.990 c) 59.660 d) 66.660 e) 69.960

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Gabaritos

Exercícios de fixação 1. 𝟐𝟎. 𝟏𝟔𝟎 anagramas.

Como essa palavra possui 8 letras ao todo, das quais duas são iguais a 𝑅, temos um total de 𝑃₈²=^8!

2!= 20.160 anagramas.

2. 𝟑𝟓 anagramas.

Como essa sequência possui 7 letras ao todo, das quais três são iguais a 𝐶 e quatro são iguais a 𝐷, temos um total de 𝑃₇^3,4= ^7!

3! ⋅ 4!= 35 anagramas.

3.

a) Como são três livros de matemática, eles podem permutar entre si de 3! = 6 formas.

b) Como são dois livros de química, eles podem permutar entre si de 2! = 2 formas.

c) Como são três livros de física, eles podem permutar entre si de 3! = 6 formas.

d) Como são três blocos de livro: M, Q e F, esses blocos podem permutar entre si de 3! = 6 formas.

e) Para responder a esse problema, devemos calcular de quantas formas os blocos M, Q e F podem permutar entre si e como os livros de cada bloco podem permutar entre si. Usando os resultados anteriores e o Princípio Multiplicativo, concluímos que há 6 ⋅ 2 ⋅ 6 ⋅ 6 = 432 formas de organizar os livros.

4.

a) Como temos quatro vogais distintas, elas podem permutar de 4! = 24 formas.

b) Como temos 8 letras em DSCMPLC𝑋, com repetição de duas letras 𝐶, temos 𝑃₈²=^8!

2!= 20.160 formas.

c) Para calcular esse número de anagramas, utilizamos o princípio multiplicativo a partir dos dois exercícios anteriores, chegando a um total de 24 ⋅ 20.160 = 483.840 anagramas.

d) Como DESCOMPLICA tem 11 letras, com repetição de duas letras 𝐶, temos 𝑃112 =^11!

2! = 19.958.400 anagramas.

e) Se do total de 19.958.400 anagramas, 483.840 possuem as vogais juntas, 19.958.400 − 483.840 = 19.474.560 não possuem todas as vogais juntas.

5.

a) Excluindo a letra A, que deve ocupar o primeiro lugar, restam 6 letras distintas. Assim, temos 6! = 720 anagramas.

b) Excluindo a letra E, que deve ocupar o primeiro lugar, restam 6 letras distintas. Assim, temos 6! = 720 anagramas.

c) A partir dos itens anteriores, descobrimos que existem 720 anagramas começando com a letra A e 720 começando com a letra E. Esses são os 720 + 720 = 1.440 primeiros anagramas quando listados em ordem alfabética. Assim, o próximo anagrama começa com a letra M. Concluímos que o 1.441º anagrama é MAEPRTU.

Exercícios de vestibulares 1. E

Permutando as letras S, T, I, B, U, L, temos, uma permutação simples:

P6 6! 6.5.4.3.2.1 720

VE _ _ _ _ _ _ AR

= = =

2. D

D = para direita C = para cima

Em qualquer caminho mais curto, a pessoa terá que se deslocar 7 vezes para a direita e 5 vezes para cima, em qualquer ordem.

Exemplo: DDCDCDDCCDCD

Logo, o número de percursos será dado por: P₁₂^7,5 =^12!

7!5!= 792 3. E

Existem 10 ⋅ 10 = 10² maneiras de escolher dois algarismos e 52 ⋅ 52 = 52² maneiras de escolher as letras.

Definidos os caracteres da senha, podemos dispô-los de P₄^(2,2)= ^4!

2!2! modos. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é 10²⋅ 52²⋅ ^4!

2!2!

4. E

Começando com 1: 4! = 24 Começando com 3: 4! = 24 Começando com 5: 4! = 24 Começando com 71: 3! = 6 Começando com 73: 3! = 6 Começando com 751: 2! = 2 Começando com 753: 2! = 2 O próximo será 75913

Logo, 24 + 24 + 24 + 6 + 6 + 2 + 2 + 1 = 89 (octogésima nona posição) 5. C

Permutando as mulheres nas cinco primeiras posições, temos:

P5 = 5! = 120

Calculando todas as sequências de três homens possíveis, escolhidos em um total de 8, temos:

8 x 7 x 6 = 336.

Portanto, o número de formas possíveis de fila que podem ser formadas obedecendo a essas restrições é:

P = 120 x 336 = 40320

6. A

Considerando todas as vogais como uma única letra, segue que a resposta é dada por 𝑃₅⁽²⁾⋅ 𝑃₅^(2, 2)=^5!

2!⋅ ^5!

2! ⋅2!= 60 ⋅ 30 = 1.800.

7. C

A palavra CARAVELAS possui 5 consoantes e 4 vogais, e a única configuração possível dos anagramas que apresenta as vogais e consoantes alternadas será dada abaixo, em que CO é uma consoante e VO é uma vogal.

CO VO CO VO CO VO CO VO CO

Temos então 5 consoantes distintas e 4 vogais, sendo 3 repetidas. Logo, o número N de anagramas pedido será dado por:

𝑁 = 𝑃₅⋅ 𝑃₄³= 5! ⋅^4!

3!= 480 8. C

Qualquer caminho de 𝐴 até 𝐵 deve ter 3 “passos” para cima e 4 “passos” para a direita. Assim, o número de caminhos de 𝐴 até 𝐵 corresponde ao número de anagramas da palavra 𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷. Ou seja.

• Número de caminhos de 𝐴 até 𝐵 = 𝑃₇^3,4= ^7!

3! ∙ 4!= 35.

Para ir de 𝐴 até 𝐵, passando por 𝐶, é um caminho do tipo 𝐴 − 𝐶 − 𝐵.

Para ir de 𝐴 até 𝐶, devemos percorrer 2 “passos” para direita e 2 “passos” para cima. Ou seja, um total de:

𝑃₄^2,2= 4!

2! ∙ 2!= 6

Para ir de 𝐶 até 𝐵, devemos percorrer 2 “passos” para direita e 1 “passo” para cima. Ou seja, um total de:

𝑃₃^2,1= 3!

2! ∙ 1!= 3

• Número de caminhos de 𝐴 até 𝐵, passando por 𝐶 = 6 ∙ 3 = 18.

Como:

Caminhos totais = Caminhos por C + Caminhos que não passam por C Vale dizer que

Caminhos que não passam por C = Caminhos totais − Caminhos por C E temos então 35 − 18 = 17 caminhos.

9. E

Supondo que as peças de um mesmo grupo (camisas, bermudas e casacos) sejam distinguíveis, há P5 = 5! = 120 maneiras de arrumar as camisas, P3 = 3! = 6 modos de arrumar as bermudas e P2 = 2! = 2 maneiras de arrumar os casacos. Além disso, ainda podemos arrumar os 3 grupos de P3 = 3! = 6 modos.

Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue que o resultado pedido é 120 x 6 x 2 x 6 = 8640.

10. D

A soma dos 4 algarismos será sempre 10. Pode-se agrupar as permutações em grupos de 4, como o exemplo a seguir. Como são no total 24 possíveis permutações, há 6 grupos de 4. Logo, pode-se calcular:

1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3

⏟

1 1 1 1 0

⟩ ⇒ 6 variações⇒ 6 ⋅11110 = 66660