Exercícios sobre Geometria Espacial: Pirâmides e troncos

Exercícios sobre Geometria Espacial: Pirâmides e troncos Exercícios

1.

Um grupo de amigos decidiu acampar em local próximo a uma das cachoeiras da cidade de Bonito.

Planejam utilizar uma barraca feita de tecido impermeável no formato de pirâmide regular quadrangular, com medidas da aresta de base de 2 m e altura 2 m.

Considerando que a barraca deve isolar o grupo de toda umidade, inclusive a proveniente do solo, quantos metros quadrados de tecido são necessários?

a) 4√3 b) 4(√3 + 1) c) 4(1 + 4√5) d) 4√5 e) √80 + 4

2.

A medida da altura de uma pirâmide é 10m e sua base é um triângulo retângulo isósceles cuja medida da hipotenusa é 6m. Pode-se afirmar corretamente que a medida do volume dessa pirâmide, em m³ é igual a

a) 60 b) 30 c) 15 d) 45

3.

Um recipiente tem a forma de pirâmide regular de base hexagonal, como mostra a figura. Sabe-se que FE = 80 cm e que a distância do vértice Q ao plano que contém a base hexagonal FAMERP é igual a 30 cm.

A área de cada face externa lateral desse recipiente, em cm², é igual a a) 150√21

b) 200√21 c) 120√21 d) 180√21 e) 100√21

4.

Em uma pirâmide regular, a base é um quadrado de lado q. Sabendo que as faces laterais dessa pirâmide são triângulos equiláteros, pode-se afirmar que o seu volume é

a) 𝑞³√2 b) 𝑞³√2

6

c) 𝑞√2 2

d) 𝑞³√3 6

e) 𝑞³√3 3

5.

Temos, ao lado, a planificação de uma pirâmide de base quadrada, cujas faces laterais são triângulos equiláteros. Qual é o volume dessa pirâmide?

a) ¹⁶₃√3 𝑐𝑚³ b) 16√3 𝑐𝑚³ c) 32 𝑐𝑚³ d) ³²₃ √2 𝑐𝑚³ e) ⁶⁴₃ 𝑐𝑚³

6.

Uma peça de madeira tem a forma de uma pirâmide hexagonal regular com 21 cm de altura. Essa peça é seccionada por um plano paralelo à base de forma que o volume da pirâmide obtida seja 8/27 do volume da pirâmide original.

A distância (em cm) da base da pirâmide até essa secção é um número:

a) Fracionário b) Primo c) Múltiplo de 3 d) Quadrado perfeito e) Múltiplo de 2

7.

Em uma folha de papel, desenha-se um hexágono regular ABCDEF de lado 3 cm e inscrito em uma circunferência de centro O. O hexágono é recortado, e, em seguida, faz-se um recorte no raio 𝑂𝐵̅̅̅̅. A partir do recorte no raio, o pedaço de papel será usado para formar uma pirâmide de base quadrangular e centro O. Tal pirâmide será feita com a sobreposição e a colagem dos triângulos OAB e OCD, e dos triângulos OAF e OBC.

O volume da pirâmide formada após as sobreposições e colagens, em cm³, é igual a a) 3√2

b) 3√3 c) 4√2 d) ^9√2

2 e) ^9√3

2

8.

Considere um tronco de pirâmide regular, cujas bases são quadrados com lados medindo 4 cm e 1 cm.

Se o volume deste tronco é 35 cm², então a altura da pirâmide que deu origem ao tronco é:

a) 5 cm b) 5/3 cm c) 20/3 cm d) 20 cm e) 30 cm

9.

Um copo exótico de vidro, em uma festa, era uma pirâmide invertida de base pentagonal regular de 9 cm de altura. Esse copo continha uma bebida que ocupava 8 cm de altura. Um dos convidados fechou a base pentagonal do copo e o virou de cabeça para baixo. A nova altura h da bebida, em cm, em relação a base pentagonal satisfaz:

a) 2,9 ≤ ℎ ≤ 3,0 b) 3,8 ≤ ℎ ≤ 4,0 c) 4,8 ≤ ℎ ≤ 4,9 d) 5,8 ≤ ℎ ≤ 6,0 e) 6,1 ≤ ℎ ≤ 6,2

10.

Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura.

Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela?

a) 156 cm³ b) 189 cm³ c) 192 cm³ d) 216 cm³ e) 540 cm³

Gabaritos

1. E

O apótema da base da pirâmide mede 1 m, pelo Teorema de Pitágoras, segue que o apótema da pirâmide é:

(𝑎_𝑝)²= 1²+ 2² 𝑎_𝑝= √1 + 4 = √5

Portanto, sabendo que a área total da pirâmide é dada pela soma da área da base com a área lateral.

Temos:

𝐴𝑡= 𝐴𝑏+ 4 ∙ 𝐴𝑙

𝐴𝑡= 2²+ 4 ∙2 ∙ √5 2 𝐴_𝑡= 4 + 4√5 𝑚²

Podemos escrever 4√5 como √5 ∙ 4²= √5 ∙ 16 = √80 Portanto:

𝐴_𝑡= 4 + √80 𝑚² 2. B

Desde que a medida da altura de um triângulo retângulo isósceles corresponde à metade da medida da hipotenusa, segue que o resultado é

1 3∙1

2∙ 6 ∙ 3 ∙ 10 = 30 𝑚³ 3. B

O segmento FE corresponde ao diâmetro do círculo circunscrito à base. Logo, segue que o lado do hexágono mede ⁸⁰₂ = 40 𝑐𝑚. Ademais, o apótema da base mede ^40√3₂ = 20√3 𝑐𝑚.

Considerando o triângulo retângulo cujos catetos são a altura da pirâmide e o apótema da base, e cuja hipotenusa é o apótema, A, da pirâmide temos

𝐴²= 30²+ (20√3)²→ 𝐴²= 2100 → 𝐴 = 10√21 𝑐𝑚.

Portanto, 1

2∙ 40 ∙ 10√21 = 200√21 𝑐𝑚² 4. B

Sabemos que para calcular o volume da pirâmide, fazemos 𝑉 =^𝐴𝑏₃^∙ℎ Temos que como a base é um quadrado de lado q, então 𝐴𝑏 = 𝑞² Para acharmos a altura da pirâmide, faremos Pitágoras onde ℎ_𝑡²= ℎ²+ (^𝑞

2)², onde ℎ𝑡 é a altura do triângulo equilátero da face lateral.

ℎ_𝑡=𝑞√3 2

Portanto, temos (𝑞√3

2 )

2

= ℎ²+𝑞² 4

𝑞²∙ 3 4 −𝑞²

4 = ℎ² 2𝑞²

4 = ℎ² 𝑞²

2 = ℎ² ℎ = √𝑞²

2 = 𝑞

√2

Racionalizando, temos ℎ =𝑞√2

Portanto, 2 𝑉 =𝐴_𝑏∙ ℎ

3

𝑉 =

𝑞²∙ (𝑞√2 2 )

3 =𝑞³√2 2 ∙1

3=𝑞³√2 6 5. D

Observe a figura:

ℎ =𝐿√3

2 → ℎ =4√3

2 → ℎ = 2√3

Observe a figura:

ℎ²= 𝐻²+ 𝑟²→ (2√3)²= 𝐻²+ 2²→ 𝐻²= 12 − 4 → 𝐻²= 8 → 𝐻 = 2√2 𝑐𝑚 Portanto,

𝑉_𝑝𝑖𝑟=𝐿²× 𝐻

3 =4²× 2√2

3 =32√2 3 𝑐𝑚³

6. B

Temos que 𝑉_𝑀

𝑉𝑚

= (𝐻 ℎ)

3

𝑉𝑀

8 27∙ 𝑉𝑀

= (21 ℎ)

3

→27 8 = (21

ℎ)

3

→ √27 8

3

=21 ℎ →3

2=21

ℎ → ℎ = 14 𝑐𝑚 Portanto, a distância solicitada é:

𝑑 = 𝐻 − ℎ → 𝑑 = 21 − 14 = 7 𝑐𝑚 E 7 é um número primo.

7. D

Calculando, temos

𝑙 = 3

𝑂𝑀 =𝑙√3 2 =3√3

2 E 𝐺𝑀 =³₂ Temos 𝑂𝑀²= 𝑂𝐺²+ 𝐺𝑀² (3√3

2 )

2

= 𝑂𝐺²+ (3 2)

2

27

4 = 𝑂𝐺²+9 4 𝑂𝐺²=27

4 −9 4 𝑂𝐺²=18

4 𝑂𝐺 = √18

4 =√18 2 =3√2

2 𝑉 =𝐴𝑏∙ ℎ

3

𝑉 =3²∙3√2 2

3 = 9 ∙3√2 2 ∙1

3=9√2 2 𝑐𝑚³

8. C

Como a pirâmide menor e a maior são semelhantes, vem que 𝑣

𝑉= (ℎ 𝐻)

3

→𝑣 𝑉= (1

4)

3

→𝑣 𝑉= 1

64→ 𝑣 = 𝑉 64

Sendo v o volume da pirâmide menor e V o volume da pirâmide que deu origem ao tronco.

além disso, como o volume do tronco é 35 cm³, temos 𝑉 − 𝑣 = 35 ↔ 𝑉 − 𝑉

64= 35 ↔ 𝑉 =320 9 𝑐𝑚³ Portanto,

320 9 =1

3∙ 4²∙ 𝐻 → 𝐻 =20 3 𝑐𝑚

9. A

Do enunciado, temos:

Sendo 𝑉𝑏 𝑒 𝑉_𝑐, respectivamente, o volume da bebida e do copo, por semelhança, vem:

{ 𝑉𝑏

𝑉_𝑐 = (8 9)

3

𝑉𝑐− 𝑉𝑏

𝑉_𝑐 = (9 − ℎ 9 )

3→ 1 − (8 9)

3

= (9 − ℎ 9 )

3

→ ℎ = 9 − √217³ ≅ 2,99

Sendo assim: 2,9 ≤ ℎ ≤ 3,0

10. B

Podemos perceber que por conta dos 3 espaçamentos de 1 cm, temos que a altura da pirâmide é 19-3= 16 cm, portanto:

ℎ 16=1,5

6 ↔ ℎ = 4 𝑉 =1

3∙ 6²∙ 16 −1

3∙ (1,5)²∙ 4 = 192 − 3 = 189 𝑐𝑚³