Explicando o Temperamento Igual YUVAL NOV

Explicando o Temperamento Igual

YUVAL NOV

(*) Texto traduzido do Inglês na íntegra por Noenio Spinola, com autorização do autor. Para comparação ou para ativar algum link inativo na versão em PDF

visite o site de Yuval Nov:

http://www.yuvalnov.org/temperament/

Em dezembro de 1717 um jovem músico chamado Johann Sebastian Bach chegou à cidade alemã de Köthen. Durante os seis anos que passou como diretor musical da corte de Leopoldo, o príncipe local, Bach perdeu sua primeira esposa, casou com a segunda, teve dois de seus vinte filhos mas completou, também, o primeiro volume do Cravo Bem Temperado - uma coleção de 24 prelúdios e fugas que muitos consideram entre as maiores peças musicais de todos os tempos.

Como o título de seu Cravo Bem Temperado sugere, Bach compôs para instrumentos com teclados afinados (ou temperados - termos que vou usar de forma alternada abaixo, embora não sejam exatamente a mesma coisa) de uma certa forma. Essa forma foi considerada revolucionária naqueles tempos. Por quê existe mais de uma forma de afinar um teclado? Neste artigo vou tentar responder a essa pergunta, e, em particular, descrever como os instrumentos modernos são afinados.

O que é uma nota musical?

Notas musicais são oscilações periódicas na pressão do ar, que sentimos com o ouvido. Se fizermos um gráfico da pressão do ar em função do tempo em que uma nota musical é tocada, vamos ter algo com uma forma de onda (waveform) que se repete, como essas três:

A onda de cima - (sinusoidal) a mais simples das três - foi criada por um computador, e pode ser ouvida no Exemplo 1:

Essa forma de onda corresponde a uma função matemática básica chamada SINE (Sinusoidal – em forma de sino) e talvez por isso soa como “sintética”, ou “um tédio”. Ondas de instrumentos musicais reais são muito mais complexas, como a de uma guitarra…

(Exemplo 2 - http://www.yuvalnov.org/temperament/Guitar_A.mp3), …ou a terceira, de um piano:

(Exemplo 3 - http://www.yuvalnov.org/temperament/Piano_A.mp3).

Todas as três formas de onda são periódicas: são feitas de uma unidade básica que se repete sempre e sempre. Diferem somente na forma de sua unidade básica. Essas diferenças na forma são o principal fator (embora não seja o único) que determina o

TIMBRE da nota (a “cor do som”) e por seu intermédio podemos reconhecer a diferença

entre um violino ou um trompete, por exemplo.

O número de ciclos que uma onda completa por segundo é chamado de FREQUÊNCIA e a unidade usada para medir as frequências é chamada HERTZ (abreviada para Hz). Quanto mais alta é a frequência, mais curta é a unidade básica e a nota correspondente tem o que chamamos de um tom (pitch) mais alto.

As três notas que ouvimos tem a mesma frequência (440Hz) e os músicos chamam essa frequência de “A” (LA). Por razões históricas criou-se o costume de afinar os instrumentos com base nessa nota A(LA) e, portanto, vamos ver o número 440 muitas e muitas vezes neste artigo. No melhor dos casos, o ouvido humano pode detectar notas cuja frequência fica entre 20 e 2.000Hz. Infelizmente isso diminui significativamente à medida que se envelhece, e o limite superior cai abaixo de 10.000Hz depois dos 55 anos de idade. Em comparação, o alcance da audição de um rato é de 1.000 a 91.000 Hz, e o do elefante vai de 16 a 12.000Hz.

Intervalos Musicais

Algumas combinações de notas agradam ao ouvido humano e outras não. O matemático grego Pitágoras…

(http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Pythagoras.html)

… é muitas vezes citado como descobridor de que essas combinações agradáveis ao ouvido obedecem a uma regularidade matemática. Ele descobriu que duas notas tocadas em conjunto serão percebidas como “altamente agradáveis ao ouvido” se a relação numérica entre suas frequências for de 1:2 ou 2:3.

(Exemplo 4 - http://www.yuvalnov.org/temperament/Octave.mp3).

O intervalo entre duas notas cuja relação (ratio) de frequências é de 2:3 é chamado de quinta perfeita e pode ser ouvido no Exemplo 5 (as frequências são de 440 e 660Hz.) (Exemplo 5 http://www.yuvalnov.org/temperament/Just_Fifth.mp3)

Pitágoras e seus discípulos desenvolveram toda uma teoria conectando números, notas musicais e rotação de planetas. Grande parte dessa teoria é atualmente descartada como simples misticismo, mas aquelas que lidam com a regularidade matemática por trás das notas musicais constituem hoje em dia, 2.500 anos depois de sua formulação, a base por trás da teoria musical.

O que é uma MELODIA?

Uma sequência de notas, tocadas uma depois da outra, é chamada de melodia. Ouça a melodia curtinha do Exemplo 6.

(Exemplo 6 - http://www.yuvalnov.org/temperament/ABC_A.mp3).

Ela é construída a partir de três notas, cujas frequências são 440, 660 e 733,3 Hz ( A2 A2 E3 F#3 F# E3).

Ouça, agora, o Exemplo 7 cujas frequências são 550, 825 e 916.6 Hz.

(Exemplo 7 - http://www.yuvalnov.org/temperament/ABC_C_sharp.mp3).

Será esta a mesma melodia? Embora as duas melodias tenham usado notas totalmente diferentes, reconhecemos facilmente que essa “é, realmente, a mesma melodia”.

O que nos fez achar que essa é “realmente, a mesma melodia” ? A palavra-chave é uma vez mais a “ratio” (relação). Verifica-se que o ouvido humano e o cérebro reconhecem duas sequências de notas como “a mesma melodia” quando as mesmas relações (ratio) entre as frequências de suas notas são mantidas. E isso é de fato exatamente o que aconteceu: em ambas as melodias a ratio entre a primeira e a segunda nota é 2:3 e a ratio entre a primeira e a terceira nota é 3:5.

A OITAVA

Se ouvirmos uma melodia tocada ao mesmo tempo em duas escalas diferentes (a segunda escala escolhida arbitrariamente) o resultado vai soar desajustado para o ouvido, como no Exemplo 8.

(Exemplo 8: http://www.yuvalnov.org/temperament/ABC_A_and_C_sharp.mp3)

Nesse exemplo a melodia com as frequências de 440, 660 e 733.3Hz foi tocada em conjunto com outra com as notas com frequências de 550, 825 e 916 Hz. Mas, se duas melodias forem tocadas exatamente uma oitava à parte (ou seja, a frequência das notas é exatamente o dobro da outra - Exemplo 9 ) o resultado vai parecer rico e agradável ao ouvido.

(Exemplo 9: http://www.yuvalnov.org/temperament/ABC_Octave.mp3).

As frequências de uma melodia aqui são 440, 660 e 733.3Hz e, da outra, 880, 1320 e 1466.6 Hz.

O ouvido humano trata as notas que ficam uma oitava à parte como “a mesma coisa”, de uma forma muito forte, tanto que os músicos dão às notas o mesmo nome. Lembre que a nota com a frequência de 440Hz é chamada LA (A); esse é de fato também o nome da nota com a frequência uma oitava acima (880Hz), uma oitava abaixo (220Hz) etc. Como as notas exatamente uma oitava à parte - ou, mais precisamente, um número inteiro de oitavas à parte - tem uma relação muito forte entre si, compositores e arranjadores com frequência duplicam a melodia original, tocando em paralelo uma cópia dela, uma oitava acima (ou abaixo) , algumas vezes com instrumentos musicais diferentes. Isso cria um efeito rico de “densidade” como pode ser visto nos Exemplos

10 e 11:

(Exemplo 10: http://www.yuvalnov.org/temperament/Yes_Owner_Of_A_Lonely_Heart.mp3 )

(Exemplo 11: http://www.yuvalnov.org/temperament/Mozart_Serenade.mp3 )

O PROBLEMA DO TEMPERAMENTO - Que notas deveríamos escolher?

Diferentes Instrumentos musicais produzem notas de formas também diferentes. De um violino, p.ex., mesmo com uma corda só, pode-se produzir um número infinito de notas. O tom (PITCH) de uma nota é determinado pelo ponto em que a violinista coloca o dedo no pescoço, e uma vez que ele é liso, a violinista pode colocar seu dedo em qualquer lugar que queira e infinitamente produzir muitas notas diferentes.

acrescentar 660Hz à cesta, pois vimos que a relação entre 440 e 660 é 3:2; em outras palavras: 660 é uma quinta perfeita acima de 440; queremos tocar quintas perfeitas, então 660 deve ser acrescentado à nossa cesta. Acima de 660 se encontra outra

quinta perfeita em 990; essa frequência está fora do nosso alcance, mas uma oitava

abaixo está 495, que está dentro (e queremos poder tocar oitavas) então acrescentamos 495 à cesta também. Outra quinta perfeita acima de 495 é 742.5, que acrescentamos em seguida, etc.

Pode ser demonstrado matematicamente (como?) …

Como:

A prova é por contradição. Suponha que voltamos a 440 depois de, digamos, n passos e que em r desses n desses passos tivemos de dividir por 2 a frequência obtida, de forma a ficar dentro do alcance de 440-880 (como fizemos quando substituímos 990 por 495).

Essa situação é descrita pela equação:

que pode ser escrita como:

Isso, porém, é uma contradição do Teorema Fundamental da Aritmética (Fundamental Theorem of Arithmetic ) também

conhecido como teorema da fatoração única (unique factorization theorem) segundo o qual (resumidamente) todo número inteiro positivo só pode ser descrito como um produto de números primos.

(https://pt.wikibooks.org/wiki/Teoria_de_números/Números_primos#Teorema_da _exist.C3.AAncia_de_fatora.C3.A7.C3.A3o) (APLICATIVO).

… que se procedermos dessa forma nunca iremos fechar o “loop” (movimento circular) e voltar à letra A (LA) (ou seja, chegar à frequência de 440Hz) e, portanto, iremos precisar de um número infinito de notas no espaço desejado. Esse é um problema difícil e gerações de musicólogos debateram com veemência como resolver, propondo vários meios de afinar o teclado. Sem entrar em muitos detalhes, devo dizer que os teclados antigos em geral eram afinados de certa forma que permitiam produzir um certo número exato de intervalos pitagóricos mas, como consequência disso, não era possível tocar a mesma melodia em diferentes claves (ou seja, transpor melodias).

A solução: temperamento igual

A solução moderna para o problema do temperamento sacrifica a capacidade de tocar intervalos pitagóricos precisos, em troca da capacidade de transpor perfeitamente. A

Suponha que desejamos dividir a oitava entre 440 e 880 em dois intervalos musicais iguais. Vimos antes que o tamanho do intervalo musical é a ratio entre as

frequências de suas duas notas, então estamos procurando um número entre 440 e

880, de tal modo que a ratio entre esse número e 440 seja a mesma ratio entre 880 e esse número.

Um cálculo rápido mostra… (como?)

Como:

Vamos chamar a frequência que estamos procurando de

x

. A equação que precisamos para resolver é

e a solução é:

Observe que a ratio entre

x

e 440 - que é a mesma ratio entre 880 e

x -

é a raiz quadrada de 2.

…que a frequência da nota no meio dessa oitava é 440 vezes a raiz quadrada de 2 (440x1.41421356237=622.253967444) ou seja 622.25Hz, e que a ratio desejada é a raiz quadrada de 2. Da mesma forma, se quisermos dividir a mesma oitava em três intervalos iguais vamos ver (como?) que a ratio da frequência entre duas notas adjacentes é a raiz cúbica de 2.

Como:

Seja

v

a ratio entre duas notas adjacentes na partição. Isso significa que a frequência da terça parte do caminho entre 440 e 880 é 440

v

;

a frequência a duas terças partes do caminho é

440

v

2

; e a frequência no fim do caminho é

440

v

3

_.

Contudo, também sabemos que a frequência no fim do caminho é 880; então, resolvendo a equação

Então, na terça parte do caminho entre 440 e 880 existe a frequência 440 vezes a raiz cúbica de 2 (440x1,25992104989=554,36) ou seja 554,37Hz, e a duas terças parte do caminho há essa última frequência, vezes (de novo) a raiz cúbica de 2 (554,37x1,25992104989=698,46243243 ) ou seja 698,46Hz.

Usando esse método podemos dividir a oitava em quatro, cinco ou qualquer outro número de intervalos iguais. É importante entender que uma vez com a oitava dividida de certa forma, imediatamente pegamos também as frequências das notas nas oitavas adjacentes - quando dividimos a oitava em três intervalos iguais, por exemplo, as frequências que vamos ter na oitava entre 880 e 1760 são simplesmente duas vezes as frequências que acabamos de encontrar, ou seja: 880, 1108.73, 1369.91 e 1760Hz. A principal vantagem de dividir a oitava em intervalos iguais é que isso nos permite

transpor perfeitamente: uma vez garantindo que a ratio entre notas adjacentes na

partição é constante, podemos pegar qualquer melodia que possa ser tocada no teclado que criamos, multiplicar suas frequências por essa constante e gerar outra melodia que pode ser tocada em outro teclado; dessa forma, mantemos a ratio entre as frequências das melodias, e temos “a mesma melodia”, só que em uma escala diferente.

A desvantagem desse método é que ele só nos permite tocar intervalos pitagóricos exatos - a oitava. Pode ser demonstrado (como?)

que não importa em quantos

intervalos musicais dividirmos o espaço entre 440 e 880, a partição nunca irá

incluir a frequência 660, que, como você lembra, é uma quinta perfeita acima de

440.

Como:

A prova é uma vez mais por contradição. Suponhamos que a nota

k-

ésima

numa partição da oitava dentro de

m

intervalos

é exatamente 660. A ratio entre as freqüências de duas

notas adjacentes é a raiz

m

de 2, de forma que:

Essa equação pode ser escrita assim:

e então:

mas a última equação contradiz novamente o Teorema

Fundamental da Aritmética.

cuidadosa da oitava num número “certo” de intervalos musicais iguais, vai incluir

uma frequência muito próxima de 660, tão próxima que teremos muita

dificuldade para distinguir entre as duas.

Em quantos intervalos, então, pode ser feita a partição de uma oitava? O

número mágico que aparece é 12. Se dividirmos a oitava entre 440 e 880 em 12

intervalos musicais iguais (caso em que a ratio entre notas adjacentes é a 12

a

raiz de 2) as frequências resultantes serão:

440.00, 466.16, 493.88, 523.25, 554.37, 587.33, 622.25, 659.26, 698.46, 739.99, 783.99, 830.61, 880.0.

Como se esperava, 660 não está entre essas frequências, mas 659.26, que é

só um pouquinho abaixo, está. No Exemplo 12 podemos ouvir duas notas, uma

depois da outra;

(Exemplo 12: http://www.yuvalnov.org/temperament/E_Eql_and_E_Just.mp3 )

…você pode dizer qual é a mais baixa.

(a resposta está aqui - http://www.yuvalnov.org/temperament/answer.html).

Podemos encontrar nesta lista também substitutos muito próximos - embora não

tanto - para outras frequências da cesta de frequências que construímos acima.

Esse método de afinamento, em que a oitava é dividida em 12 intervalos

musicais iguais, é chamado de temperamento igual e, no início do século XX,

quase completamente se sobrepôs a uma vasta quantidade de outros métodos

de afinamento que foram propostos ao longo da história. Ao contrário do que

comumente se acredita, esse método não é o que foi usado por Bach para

compor seu Cravo Bem Temperado. Bach, provavelmente inspirado pelo músico

Andreas Werckmeister, na realidade dividiu a oitava em 12 intervalos musicais,

mas esses intervalos eram ligeiramente diferentes uns dos outros; esse método

foi considerado inovador em sua época, já que estava entre os poucos que

permitiam uma razoável (embora não perfeita) transposição de qualquer melodia

em outras onze teclas.

Para experimentar as diferenças, ouça as primeira quatro barras do primeiro

prelúdio do Cravo Bem Temperado no temperamento pitagórico, também

chamado justo.

(Exemplo 13 -

www.yuvalnov.org/temperament/Prelude_C_Just.mp3).

Temperamento segundo Werckmeister…

(Exemplo 14 -

http://www.yuvalnov.org/temperament/Prelude_C_Werckmeister.mp3)

… e Temperamento Igual

clave em que o temperamento pitagórico soa melhor. Se tocarmos as mesmas

quatro barras em outra clave, o temperamento pitagórico (Exemplo 16) vai soar

muito pior do que…

(Exemplo 16 - http://www.yuvalnov.org/temperament/Prelude_F_sharp_Just.mp3)

…no caso de usar (Exemplo 17) o temperamento de Werckmeister

(Exemplo 17 -

http://www.yuvalnov.org/temperament/Prelude_F_sharp_Werckmeister.mp3)

…ou no caso de usar (Exemplo 18) o temperamento igual

(Exemplo 18 -

http://www.yuvalnov.org/temperament/Prelude_F_sharp_Equal.mp3)

Coda

Como a partição da oitava de Bach não era completamente igual, algumas

pessoas acham que cada uma de suas escalas tem uma “cor” diferente, que se

perde nos instrumentos musicais contemporâneos; assim, dizem, é melhor tocar

as peças nos instrumentos que existiam quando elas foram compostas. Esses

não são os únicos insatisfeitos com o temperamento igual: para a intrincada

música árabe, não basta uma partição em 12 intervalos; sendo assim, partiram

em 24 intervalos iguais; algumas pessoas acham que a música ocidental

também deveria evoluir em direções microtonais, partindo a oitava em 31

intervalos, o que soa assim…

( http://www.xs4all.nl/~huygensf/snd/track05.mp3 ) (página não encontrada

substituída por):

http://www.huygens-fokker.org/snd/Badings-string4tet-4-2.mp3

…enquanto outros dizem que deveríamos usar a tecnologia para voltar ao puro temperamento Pitagórico.

E então, o que o futuro reserva? Profecia, como todos sabem, é uma tarefa difícil, mas parece que muito provavelmente a situação atual vai continuar - o temperamento igual irá dominar, mas métodos competitivos encontrarão apoio fora das correntes musicais predominantes.

(O autor agradece a Alon Amit por sua ajuda preparando os gráficos e exemplos de sons)

Então, o que é um Tom, um Semitom etc?

meio-degrau ou meio-tom. No temperamento igual, quando doze intervalos são iguais, duas notas ficam um semitom à parte se as suas frequências forem a 12araiz de 2, ou aproximadamente 1,05946.

Um tom é o intervalo musical entre duas notas que têm exatamente uma outra nota entre eles, em uma partição de oitavas em doze intervalos. No temperamento igual, um tom é exatamente duas vezes um semitom, e duas notas estão portanto um tom à parte se a relação (ratio) entre suas frequências for a 6a _{raiz raiz de 2 (que é a 12}a

raiz de 2 ao quadrado) ou cerca de 1,1225.

Da mesma forma, uma oitava é de fato um intervalo de seis tons, e uma quinta perfeita é um intervalo de três tons e meio - a frequência 659.26, que é uma quinta perfeita acima de 440 no temperamento igual é a sétima frequência depois de 440 na lista de frequências que vimos no artigo, assim ela é sete semitons, ou três e meios tons acima de 440.

Vai daí que uma oitava é igual a seis tons, e corresponde a uma relação (ratio ) de frequência de 1:2; então pro que seu nome deriva do latim octo, significando oito? Da mesma forma, o que é que o número cinco tem a ver com a quinta perfeita? Se você quiser saber a resposta, clique aqui: (página em construção).

Eu deliberadamente não usei os termos “tom” e “semitom” na explanação sobre o temperamento igual, pois acho que numa primeira leitura eles confundem mais do que ajudam; de alguma forma, paradoxalmente, isso é particularmente verdadeiro para aqueles que de fato conhecem alguma teoria musical. É importante entender que um semitom no temperamento igual em geral é diferente de um semitom em outros temperamentos. Além disso, mesmo dentro de um determinado temperamento, algumas vezes acontece que dois tons não são o mesmo! (Você pode saber mais sobre isto aqui) (Página em construção). A maior parte dos músicos que acreditam que entendem bem o que são um semitom e um tom, na realidade não têm consciência do fato de que esses termos não são bem definidos, em certo sentido, e é por isso que eu preferi não usa-los na explicação principal.

Para ter condição de discutir com mais precisão as notas e os temperamentos, os musicólogos inventaram o termo cent. Um cent é a centésima parte de um semitom - é o intervalo que teríamos se partíssemos a oitava em 1.200 intervalos musicais iguais, e portanto corresponde à relação (ratio ) da 1.200a

raiz de dois entre as frequências de duas notas.

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Título original:

Explaining the Equal Temperament Fonte:

http://www.yuvalnov.org/temperament/ Site:

Este artigo foi originalmente publicado (http://www.haayal.co.il/story?id=1777) na edição Hebraica da revista Haayal Hakore (http://www.haayal.co.il) o melhor site Hebraico, segundo o autor.

Dr. Yuval Nov

Departamento de Estatística

Universidade de Haifa

Sala 8064, Edifício Rabin

Monte Carmel, Haifa, Israel 31905

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