Dinâmica das Máquinas

Dinâmica das Máquinas

Princípio do trabalho virtual

Prof. Juliano G. Iossaqui

Engenharia Mecânica

Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR)

Objetivos

1 _{Princípio do trabalho virtual}

Representação da energia potencial de forças conservativas Princípio do trabalho virtual com múltiplos graus de liberdade

Representação da energia potencial de forças conservativas

A expressão do trabalho virtual para este sistema de forças é dada por δW = ~F1·δ~r1+ ~F2·δ~r2+ . . . + ~f1·δ~R1+ ~f2·δ~R2+ . . .

Para cada força conservativa existe uma função potencial V , tal que fj = −∇Vj onde ∇ = ∂∂x~i + ∂ ∂y~j + ∂ ∂z~k.

Em termos da função potencial, o trabalho virtual de uma força conservativa é δWj = (−∇Vj) · δ~Rj= −  ∂Vj ∂x~i + ∂Vj ∂y~j + ∂Vj ∂z ~k  ·_{δx~i+ δy~j + δz~k} = − ∂Vj ∂x δx+ ∂Vj ∂y δy+ ∂Vj ∂z δz  = −δVj

Com isso, a expressão do trabalho virtual pode ser reescrita da seguinte forma

δW =X i ~ Fi·δ~ri− X j δVj

Representação da energia potencial de forças conservativas

Vg= MgY

onde Y é a distância acima de uma referência arbitrariamente escolhida. Aplicando o operador δ, obtém-se

δVg =

dVg

dY δY = Mg δY

A função potencial para uma mola com rigidez k, deslocamento S e comprimento não deformado S0é dada por

Ve=

1

2k(S − S0)

2

Aplicando o operador δ, obtém-se δVe=

dVe

Representação da energia potencial de forças conservativas

A coordenada X em função da coordenada generalizada θ pode ser escrito como X = L sen θ =⇒ δX = L cos θδθ

A coordenada S em função da coordenada generalizada θ pode ser escrito como S = 2L cos θ =⇒ δS= −2L sen θδθ

Se o comprimento não deformado da mola é S0, então

Ve=

1

2k(S − S0)

2 _{=⇒ δV}

Representação da energia potencial de forças conservativas

Exemplo

Desprezando a massa dos elos, a expressão do trabalho virtual é dada por δW = −PδX − δVe = 0

Substituindo δX , δVe e δS na expressão do trabalho virtual, tem-se

δW = −PL cos θδθ − K (S − S0)(−2L sen θδθ)

= [−PL cos θ + 2K (S − S0)L sen θ]δθ

A condição de equilíbrio é dada por

−PLcos θ + 2K (S − S0)L sen θ = 0

Substituindo S na condição de equilíbrio, tem-se P= 2K (2L cos θ − S0) tg θ

Exercício

Exercício 1

O mecanismo de 4 barras está submetido a uma força P e preso por uma mola de rigidez k conforme mostrado na figura. Determine o ângulo θ para o equilíbrio. A mola não está deformada quando θ = 0. Despreze a massa dos elos.

k θ θ P L L L L

Exercício

Exercício 2

Considere um mecanismo submetido a um momento M conforme mostrado na figura. Determine a condição para o equilíbrio para o mecanismo. O

comprimento não deformado da mola é S0. Despreze a massa dos elos.

w X Y S M Yw g K A 3C 3_C C

Princípio do trabalho virtual com múltiplos graus de liberdade

Considere um sistema com N1 graus de liberdade associados com as

coordenadas generalizadas q1, q2, . . . , qN1.

As posições de cada ponto de aplicação de carga podem ser expressas como ~r1= ~r1(q1, q2, . . . , qN1)

~r2= ~r2(q1, q2, . . . , qN1)

..

. ...

A expressão do trabalhao virtual para as cargas externas é dada por δW = ~F1·δ~r1+ ~F2·δ~r2+ . . . = ~F1·  δ~r1 δq1 δq1+ δ~r1 δq2 δq2+ . . . + δ~r1 δqN1 δqN1  + ~F2·  δ~r2 δq1 δq1+ δ~r2 δq2 δq2+ . . . + δ~r2 δqN1 δqN1  + . . . = δq1  ~ F1· δ~r1 δq1 + ~F2· δ~r2 δq1 + . . .  + δq2  ~ F1· δ~r1 δq2 + ~F2· δ~r2 δq2 + . . .  + . . . δqN1  ~ F1· δ~r1 δqN1 + ~F2· δ~r2 δqN1 + . . . 

Princípio do trabalho virtual com múltiplos graus de liberdade

A expressão do trabalho virtual é dada por

δW = P1δq1+ P2δq2−F δX

A posição X pode ser descrita pela equação X= Cq1+ Bq2 B+ C O deslocamento virtual δX é δX = C + Cδq1+ B + Cδq2

Princípio do trabalho virtual com múltiplos graus de liberdade

Exemplo

Substituindo δX na expressão do trabalho virtual, obtém-se δW =  P1−F C B+ C  δq1+  P2−F B B+ C  δq2

Os coeficientes de δq1 e δq2devem ser zeros, então

P1= F

C

B+ C P2= F B B+ C

Forças generalizadas

Considere forças externas ~Fi aplicadas em locais definidos pelos vetores posições

~ri e momentos ~Cj agindo sobre os ângulos Aj.

O trabalho virtual deste sistema de forças é dado por

δW =X i ~ Fi·δ~ri+ X j ~ Cj·δ~Aj

Todas as posições são funções da coordenada generalizada q, então δ~ri=

d~ri

dqδq e δ~Aj = d ~Aj

dq δq

Aplicando esses deslocamentos virtuais na expressão de trabalho virtual, tem-se

δW = δq X i ~ Fi d~ri dq + X j ~ Cj d ~Aj dq ! | {z } Q

Forças generalizadas

O trabalho virtual do mecanismo biela-manivela é dado por δW = C δq + F δX

= C δq + FdX dqδq = δq(C + FKx)

Dessa forma, a força generaliza é dada por Q= C + FKx