IFBA
Probabilidade e Estat´ıstica
Vers˜ao 1Allan de Sousa Soares
Gradua¸c˜ao: Licenciatura em Matem´atica - UESB Especiliza¸c˜ao: Matem´atica Pura - UESB
Mestrado: Matem´atica Pura - UFMG
Vit´oria da Conquista - BA 2015
Aula 16
0.1
Distribui¸
c˜
ao Normal de Gauss
Nesta parte abordaremos a distribui¸c˜ao Normal de Gauss, considerada a distribui¸c˜ao mais importante da prob-abilidade cuja aplicprob-abilidade engloba uma s´erie de fenˆomenos.
Seja X uma v.a. cont´ınua. Dizemos que X tem dis-tribui¸c˜ao normal se sua fdp ´e dada por:
f (x) = 1 σ√2πe −1 2( x−µ σ ) 2 , −∞ < x < ∞ Seu gr´afico ´e dado por:
Contudo, a distribui¸c˜ao de Gaus apresenta certa dificul-dades no c´alculo de probabilidades, isto ´e, a integral
P (a < x < b) = Z b a f (x)dx = Z b a 1 σ√2πe −1 2( x−µ σ ) 2 dx apresenta grandes dificuldades em seus c´alculos, sendo necess´ario a aplica¸c˜ao de s´eries.
0.2
Distribui¸
c˜
ao Normal Padr˜
ao
Seja Z uma v.a. tal que: Zi=
Xi− µ
σ
em que X ´e uma v.a. normal com m´edia µ e variˆancia σ2.
Temos que E(Z) = E X − µ σ = 1 σE(X − µ) = E(X) − E(X) σ = 0 V ar(Z) = V ar X − µ σ = 1 σ2V ar(X−µ) = V ar(X) σ2 = 1
Assim, podemos definir, f (x) = 1 σ√2πe −1 2( X−µ σ ) 2 Note que Zi= Xi− µ σ ⇒ dz = 1 σdx donde, ϕ(z) = √1 2πe −1 2z 2
Seu gr´afico ´e dado por:
Note que:
I) ϕ(z) ´e sim´etrica em rela¸c˜ao `a origem.
II) ϕ(z) possui um m´aximo em z = 0. Neste caso, ϕ(z = 0) = 0, 39.
III) ϕ(z) possui uma ass´ıntota horizontal, isto ´e, limz−→±∞ϕ(z) = 0.
IV) Possui inflex˜oes em z = −1 e z = 1.
0.3
Uso da Tabela de Distribui¸
c˜
ao
Normal Padr˜
ao
Agora veremos como calcular as probabilidades sub a curva normal por meio da utiliza¸c˜ao da tabela associada `
a distribui¸c˜ao padronizada.
Para tanto, utilizaremos a tabela de Faixa Central. Ela oferece a ´area sob a curva normal padr˜ao entre z = 0 e qualquer valor positivo z1, isto ´e,
P (0 < z < z1)
Usando a simetria da distribui¸c˜ao normal padr˜ao pode-mos calcular probabilidades como
P (z1< z < 0)
Exemplo 1. Determine as probabilidades: a) P (0 < z < 1)
b) P (−2, 55 < z < 1, 2) c) P (z < 1, 93)
Solu¸c˜ao: Em cada situa¸c˜ao precisamos de um desenho para facilitar. Depois utilizamos a tabela em anexo. a)
Para se obter a probabilidade basta obtermos os valores correspondentes `a abscissa de z na tabela em anexo. As-sim, temos P (0 < z < 1) = 0, 3413 b) Analogamente, P (−2, 55 < z < 1, 2) = P (−2, 55 < z < 0)+P (0 < z < 1, 2) = P (0 < z < 2, 55) + P (0 < z < 1, 2) = = 0, 3849 + 0, 4946 = 0, 8795 c) Analogamente, P (z > 1, 93) = 0, 5 − P (0 < z < 1, 93) = 0, 5 − 0, 4732 = 0, 0268
Exemplo 2. Os pesos de alunos de uma determinada es-cola s˜ao normalmente distribu´ıdas com m´edia 48, 0 kg e desvio padr˜ao 7, 3 kg. Determine a probabilidade de um aluno medir:
a) entre 40, 0 e 60, 0 kg.
b) menos que 30, 0 ou mais que 65, 0 kg. Solu¸c˜ao:
a) Inicialmente devemos transferir o problema para a forma padr˜ao µz= 0 e σz1= 1. Isto ´e, z1= X − µ σ = 40, 0 − 48, 0 7, 3 = −1, 10 z2= X − µ σ = 60, 0 − 48, 0 7, 3 = 1, 64 Assim, P (40 < x < 60) = P (−1, 10 < z < 1, 64) = = P (0 < z < 1, 10) + P (0 < z < 1, 64) = 0, 3643 + 0, 4495 = 0, 8138
b) Analogamente (fa¸ca o desenho e as contas), temos P (x < 30, 0 ou x > 65, 0) = P (z < −2, 47 ou z > 2, 33) =
= P (z < −2, 47) + P (z > 2, 33) =
= (0, 5 − P (0 < z < 2, 47)) + (0, 5 − P (0 < z < 2, 33)) = = 1 − P (0 < z < 2, 47) − P (0 < z < 2, 33) =
= 1 − 0, 4932 − 0, 4901 = 0, 0167
Observa¸c˜ao 3. Supondo uma distribui¸c˜ao normal quais os percis separam os valores menores que x + nσ, onde n varia no conjunto {−3, −2, −1, 1, 2, 3}. Usando a forma padronizada, temos que
P (x < x − 3σ) ⇒ P (z < −3) = 0, 0013 P (x < x − 2σ) ⇒ P (z < −2) = 0, 0228 P (x < x − σ) ⇒ P (z < −1) = 0, 1587 P (x < x + σ) ⇒ P (z < 1) = 0, 8413 P (x < x + 2σ) ⇒ P (z < 2) = 0, 9772 P (x < x + 3σ) ⇒ P (z < 3) = 0, 9987 ou melhor, P (x − 3σ < x < x + 3σ) ⇒ P (−3 < z < 3) = 0, 9974 P (x − 2σ < x < x + 2σ) ⇒ P (−2 < z < 2) = 0, 9544 P (x − σ < x < x + σ) ⇒ P (−1 < z < 1) = 0, 6826 Portanto, conhecendo-se a m´edia e o desvio padr˜ao de uma amostra (adequamente escolhida) podemos estimar se esta ´
e ou n˜ao normal observando as devidas porcentagens de elememntos em cada regi˜ao.
Exemplo 4. Estude a amostra a seguir com base na Ob-serva¸c˜ao 3. 47,0 48,5 49,7 51,4 51,9 54,7 55,4 57,4 58,0 59,2 59,9 60,4 61,2 61,2 61,8 62,4 63,2 63,2 63,2 63,2 64,4 65,2 67,5 69,3 69,9 70,2 70,4 77,3 78,4 78,9
com x = 62, 8 e S ≈ σ = 10, 1. Solu¸c˜ao: Note que
i) P (62, 8 − 10, 1 < x < 62, 8 + 10, 1) = P (52, 7 < x < 72, 9) = P (54, 7 ≤ x ≤ 77, 3) = 22 30 = 0, 7333 Eσ= 0, 7333 − 0, 6826 0, 6826 ≈ 7, 4% ii) P (62, 8−2·10, 1 < x < 62, 8+2·10, 1) = P (42, 6 < x < 83) = P (47, 0 ≤ x ≤ 78, 9) = 30 30 = 1 E2σ = 1 − 0, 9544 0, 9544 ≈ 4, 8% iii) P (62, 8−3·10, 1 < x < 62, 8+3·10, 1) = P (32, 5 < x < 93, 1) = P (47, 0 ≤ x ≤ 78, 9) = 30 30 = 1 E3σ= 1 − 0, 9974 0, 9974 ≈ 0, 26%
Assim, podemos tomar como erro o maior dos erros, isto ´
e, a curva se dista de uma curva normal em 7, 4% aprox-imadamente.
Poder´ıamos tamb´em usar os quartis, decis ou percis para estimarmos o quanto uma distribui¸c˜ao qualquer se aprox-ima de uma curva normal. Por exemplo, em se tratando de uma distribui¸c˜ao normal, a tabela nos d´a que Q1 est´a
associado ´a abscissa z = 0, 67, isto ´e P (x < Q1) = P (z < −0, 67).
Usando a rela¸c˜ao entre Z e X, temos que Q1− µ
σ = −0, 67 ⇒
Q1− 62, 8
7, 3 = 0, 67 ⇒ Q1= 57, 9 Observando a distribui¸c˜ao temos que
Q1=
55, 4 + 57, 4
2 = 56, 4
E =56, 4 − 57, 9
56, 4 ≈ 2, 7%.
Contudo, saber se um a distribui¸c˜ao tem um car´ater nor-mal ´e mais complicado. Costuma-se ent˜ao recorrer aos chamados testes de normalidade (Unidade 3).
0.4
Exerc´ıcios
1) Seja z uma v.a. com distribui¸c˜ao normal padronizada. Determine:
a) P (−1, 48 < z < 2, 05) b) P (z > 1, 08)
c) P (|z| < 0, 5) d) P (|z| > 0, 3)
2) A dura¸c˜ao de um certo componente eletrˆonico tem m´edia 850 dias e desvio-padr˜ao 45 dias. Supondo tratar-se de uma distribui¸c˜ao normal, determine:
a) a probabilidade de uma pe¸ca durar menos que 750 dias. b) a dura¸c˜ao de tal sorte que este componente apresente uma probabilidade de defeito inferior a 10%. (Dica: Uma margem de defeito baixa est´a ligada `a uma dura¸c˜ao baixa.) c) o mesmo que o anterior, por´em, com uma probabilidade de defeito inferior a 1%.
3) Parte 1: Usando os quartis Q1, Q2e Q3estime qual das
distribui¸c˜oes a seguir apresenta uma curva mais pr´oxima da curva normal exata.
32,0 41,5 42,7 53,4 54,9 55,7 55,4 58,4 59,0 61,2 61,9 62,4 63,2 64,2 64,8 65,4 65,6 66,8 67,2 67,2 68,4 69,2 70,5 72,3 74,9 79,2 80,4 82,3 83,4 87,9 36,0 44,5 46,7 50,4 51,9 54,7 55,4 57,4 58,0 59,2 59,9 60,4 61,2 61,2 61,8 62,4 63,2 63,2 63,2 63,2 64,4 65,2 69,5 70,3 70,9 71,2 82,4 89,3 90,4 94,9 Dica: Repita o que foi feito na Observa¸c˜ao 3.
Parte 2: Pesquise sobre testes de normalidades e compare com as conclus˜oes obtidas na Parte 1. (Unidade 3)
REPOSTAS:
1) a) 0, 9104 b) 0, 1401 c) 0, 3830 d) 0, 7642. 2) a) 0, 0132 b) 792, 4 horas c) 745, 15 horas 3) Resposta aberta. Consulte o professor.
