Procedimento de redução do concreto ao abstrato e ascensão do abstrato ao concreto no processo de ensino e aprendizagem do conceito teórico de fração

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DO CONCEITO TEÓRICO DE FRAÇÃO 1

Maria Aparecida Cardoso Nunes Garcia 2

Josélia Euzébio da Rosa 3 Resumo: O conteúdo e método de ensino, que se desenvolve na escola, determina o pensamento

a ser ampliado pelos estudantes: empírico ou teórico. Despertar o desejo pela apropriação dos conceitos em nível teórico foi o desafio que assumimos na presente pesquisa. A partir da docência no estágio, investigamos as possibilidades de aplicação de uma situação desencadeadora de aprendizagem por meio do procedimento de redução do concreto ao abstrato e ascensão do abstrato ao concreto com estudantes do quarto ano do Ensino Fundamental I sobre o conceito de fração. A pesquisa é sustentada no método do materialismo histórico dialético, mais especificamente, sobre duas de suas categorias: o abstrato e o concreto. A fonte de dados é a experiência da docência transcorrida durante o estágio supervisionado com estudantes do quarto ano do Ensino Fundamental, na cidade de Tubarão em uma escola da Rede Estadual de Ensino. Os dados da pesquisa foram organizados em três cenas, as quais foram extraídas da experiência do estágio mediante registro fílmico e fotográfico: Cena 1 - Concreto ponto de partida; Cena 2 – Abstração; e Cena 3 - Concreto ponto de chegada. Os resultados indicam o potencial do movimento entre abstrato em concreto, no procedimento de redução do concreto ao abstrato e ascensão do abstrato ao concreto, desde que o fio condutor desse movimento seja a relação universal do conceito em estudo.

Palavras-chave: Ensino e Aprendizagem. Redução do concreto ao abstrato. Ascensão do

abstrato ao concreto.

1 Introdução

Na estrutura curricular vigente em nosso país, na segunda etapa dos anos iniciais do Ensino Fundamental I (4º e 5º anos), o conteúdo de matemática é ampliado em relação ao ciclo alfabetizador. Apresentam-se as primeiras noções de fração, no entanto há um abismo entre o que é ensinado e o que é compreendido. Esse conteúdo é abordado, geralmente, no

1_{Artigo apresentado ao Curso de Pedagogia da Universidade do Sul de Santa Catarina como requisito para a} conclusão da Unidade de Aprendizagem Conclusão dos Processos Investigativos.

2_{Acadêmica do Curso de Pedagogia da Universidade do Sul de Santa Catarina – UNISUL. E-mail:} cidahgarcia@hotmail.com.

3_{Licenciada em Matemática - Universidade do Extremo Sul Catarinense - UNESC. Mestre e doutora em Educação} – Universidade Federal do Paraná - UFPR. Professora do Curso de Pedagogia e do Mestrado em Educação da Universidade do Sul de Santa Catarina – UNISUL. E-mail: joselia.euzebio@yahoo.com.br.

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último bimestre no ano letivo e o foco é apenas para a repetição vazia de conteúdo teórico, através de exercícios, sem a preocupação com a revelação e a internalização da essência do conceito (SANTOS, 2017).

Os números racionais estão presentes em uma diversidade de contextos do cotidiano e são operacionalizados com base no senso comum, nos limites do conhecimento empírico. Despertar o interesse do estudante para a apropriação dos conceitos em nível teórico é um desafio que implica, entre outros, na superação das limitações impostas pelo conhecimento empírico. Para tal, é necessário promover mudanças no modo de organização do ensino vigente em nosso país (HOBOLD, 2014; SILVEIRA, 2015; CRESTANI, 2016; GALDINO, 2016; MATOS, 2017; FONTES, 2019; ISIDORO, 2019). Se não ocorrer tal superação, continuaremos com a falsa impressão de que a apropriação efetivamente ocorreu. Nunes e Bryant (1997, p.191) argumentam que:

Com as frações as aparências enganam. Às vezes as crianças parecem ter uma compreensão completa das frações e ainda não a têm. Elas usam os termos fracionários certos; falam sobre frações coerentemente, resolvem alguns problemas fracionais; mas diversos aspectos cruciais das frações ainda lhes escapam. De fato, as aparências podem ser tão enganosas que é possível que alguns alunos passem pela escola sem dominar as dificuldades das frações, e sem que ninguém perceba

Embora a constatação de Nunes e Bryant seja de 1997, ainda se faz presente entre nós. Isso foi perceptível nas observações do Estágio Supervisionado no 4º e 5º ano, nas aulas de matemática de uma escola da Rede Estadual de Ensino localizada no município de Tubarão. A fração estava se tornando um pesadelo em sala, tanto para as crianças quanto para a professora. O conteúdo teria que ser ultrapassado, mas a cada dificuldade que surgia, o processo de ensino e aprendizagem de fração era interrompido. A professora recuava para as dificuldades dos alunos e o conceito de fração era retomado em outro dia, contudo as limitações persistiam E, consequentemente, nem a sistematização com base na teoria empírica do pensamento era concluída.

A abstração do conceito de fração era apresentada a partir de uma representação visual direta. Não havia movimento entre concreto e abstrato, tratava-se de uma relação direta da representação visual, estaticamente dada, na sua condição singular com a representação abstrata, portanto, empírica.

A partir da realidade observada, tínhamos o desafio: como planejar o conceito de fração, para aquela turma, de modo que possibilitasse a reflexão sobre sua origem e desenvolvimento? Em busca de respostas a esse questionamento, decidimos desenvolver na docência de estágio, nas horas correspondentes a matemática, uma situação desencadeadora

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elaborada por Manoel Oriosvaldo de Moura (Prof. Ori), na forma de história virtual do conceito, com o título de Cordasmil (MOURA, 2015). Queríamos superar a relação empírica entre abstrato e concreto desenvolvida até então na turma. Portanto, outra inquietação persistia: como desenvolver uma situação desencadeadora de aprendizagem, em sala de aula, por meio do procedimento de redução do concreto ao abstrato e ascensão do abstrato ao concreto?

Concomitante ao estágio, estávamos pensando o projeto que gerou a presente investigação. Diante da problemática na qual vivenciávamos, delimitamos o problema de pesquisa: “Quais as possibilidades de desenvolvimento de uma situação desencadeadora de aprendizagem por meio do procedimento de redução do concreto ao abstrato e ascensão do abstrato ao concreto com estudantes do quarto ano do Ensino Fundamental I sobre o ensino e aprendizagem do conceito de fração”?

Portanto, a docência de estágio constitui o contexto no qual emergem os dados da presente investigação, cujo objetivo foi investigar as possibilidades de desenvolvimento de uma situação desencadeadora de aprendizagem mediante procedimento de redução do concreto ao abstrato e ascensão do abstrato ao concreto com estudantes do quarto ano do Ensino Fundamental I sobre o conceito de fração.

Para responder ao problema e atingir o objetivo proposto, delineamos as seguintes ações de pesquisa:

- Estudo do movimento conceitual matemático correspondente ao processo de resolução do problema desencadeador proposto na história virtual de Cordasmil a partir da sistematização apresentada por Santos (2017);

- Estudo do processo de operacionalização do procedimento de redução do concreto ao abstrato e ascensão do abstrato ao concreto na especificidade do ensino proposto por Davýdov (1982); - Desenvolvimento de uma situação desencadeadora de aprendizagem com estudantes do quarto ano do Ensino Fundamental;

- Transcrição e análise da experiência de docência.

A pesquisa é sustentada no método do materialismo histórico dialético, mais especificamente, sobre duas de suas categorias: abstrato e concreto. Em concernência com método de pesquisa, não apresentaremos no presente artigo o referencial teórico separado da análise de dados, mas em unidade.

Os dados consistem nas manifestações orais e gestuais ocorridas no desenvolvimento da situação desencadeadora de aprendizagem. Esses foram capturados por máquina fotográfica e filmadora e organizados em três cenas que constituem o episódio referente à experiência no estágio com o ensino de matemática:

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1) Concreto ponto de partida; 2) Redução do concreto ao abstrato; 3) Ascensão do abstrato ao concreto.

É importante ressaltar que tanto a docência do estágio quanto a presente pesquisa foram pensadas no contexto do grupo de pesquisa Teoria do Ensino Desenvolvimental na Educação Matemática (TedMat/Unisul). Assim sendo, as reflexões estão sustentadas em um coletivo que muito nos ajudou na compreensão dos fundamentos teóricos e metodológicos aqui assumidos.

2 Apresentação e análise dos dados

Apresentaremos, a seguir, o procedimento de redução do concreto ao abstrato e ascensão do abstrato ao concreto no desenvolvimento da situação desencadeadora de aprendizagem intitulada, por Moura (2015), Cordasmil. Exporemos esse episódio através de três cenas: Cena 1 - Concreto ponto de partida; Cena 2 - Redução do concreto ao abstrato; Cena 3 - Ascensão do abstrato ao concreto.

2.1 Cena 1 - concreto ponto de partida

Estava previsto em nosso planejamento de estágio que, no segundo dia de docência, abordaríamos o conceito de fração. Naquela manhã, chegamos na sala antes das crianças e organizamos as carteiras, uma ao lado da outra, em formato de meia lua. Ao iniciarmos a aula, não mencionamos que seria sobre matemática, tampouco que introduziríamos o conceito de fração. Falamos sobre o Rio Nilo e suas cheias, para que as crianças compreendessem o contexto histórico e geográfico que inspirou o professor Manoel Oriosvaldo de Moura a elaborar a situação desencadeadora de aprendizagem, na forma de uma história virtual, intitulada Cordasmil.

Na sequência, trazemos a situação desencadeadora de aprendizagem.

2.1.1 Situação desencadeadora de aprendizagem

Inicialmente, apresentamos a história Cordasmil, a qual foi utilizada como situação desencadeadora de aprendizagem.

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Figura 1 - História Cordasmil

Cordasmil

Cordasmil é um estirador de cordas encarregado pelo Faraó para medir os terrenos, que foram distribuídos aos súditos para o cultivo, às margens do rio Nilo. Ele mede apenas a lateral dos terrenos, pois a medida de frente, que corresponde à margem do rio, é fixa. O que lhe interessa mesmo é o quanto o Nilo tem de terra cultivável às suas margens, pois os impostos serão cobrados tendo em vista esta porção de terra. Ao medir a lateral do terreno de Unopapiro, o estirador contou n (número de cordas) cordas inteiras, mas percebeu que sobrava um tanto dessa lateral em que não cabia uma corda inteira. Sabendo que o Faraó exigirá uma representação da medida do terreno de Unopapiro, de que modo deverá proceder Cordasmil para transmitir, ao Faraó, a dimensão da lateral do terreno medido? Como proceder para representar a parte que não é uma corda inteira? Qual sua proposta para Cordasmil resolver este problema? Faça uma representação de uma situação que possa ter sido vivenciada por Cordasmil e ilustre a sua solução.

Fonte: Moura, 2015.

Após a distribuição da história virtual, anteriormente apresentada na forma impressa, com a ajuda de uma das estudantes, iniciamos a leitura. Primeiro, as crianças leram a história individualmente e, em seguida, uma das crianças leu em voz alta. Assim que leram, colocamos no chão, ao centro da sala (ao centro da meia lua formada pelas carteiras), uma cartolina marrom (terreno), uma cartolina azul (rio), um pedaço de fita (corda) e iniciamos as reflexões sobre a história.

A seguir, apresentamos os flashes que compõem a primeira cena (Cena 1) captados por meio de filmadora, máquina fotográfica e gravador de voz. Os flashes consistem nas manifestações orais e gestuais dos estudantes (E) e da pesquisadora (P). Para preservar a identidade das crianças, identificá-las-emos pela primeira letra da palavra estudante, seguida de um número aleatório: E1, E2... e a letra P para indicar a fala da pesquisadora.

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2.1.2 Flashes que constituem a cena 1

F1/C1⁕ P: – Quem é que mede lá na história? F2/C1⁕ E2: – O Cordasmil.

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F4/C1⁕ E1: – A lateral.

F5/C1 ⁕ P: – Como o Cordasmil iria medir esse terreno se, naquela época, não tinha metro

e nem fita métrica?

F6/C1 ⁕ E7: – Ele podia usar os pés e as mãos.

F7/C1 ⁕ P: – Mas quantos pés e quantas mãos ele teria que contar até medir o terreno inteiro? F8/C1 ⁕ E8: – Ele podia usar uma corda.

F9/C1 ⁕ P: – Isso mesmo. Quem quer vir medir o terreno?

F10/C1 ⁕ E8 e E9 vão até o centro da sala, medem o terreno (Figura 2) e concluem: Deu duas

cordas!

F11/C1 ⁕

Figura 2 – Medição do terreno com a unidade de medida básica

Fonte: Acervo do Grupo de Pesquisa Teoria do Ensino Desenvolvimental (TedMat) da Universidade do Sul de Santa Catarina – UNISUL, 2019.

F12/C1 ⁕ P: – E se acontecer de o rio encher? (Enquanto falamos avançamos com a cartolina

azul sobre a marrom).

F13/C1 ⁕ As crianças conversam entre si, todas ao mesmo tempo, não é possível transcrever

as falas.

F14/C1 ⁕ P: – Quanto que vai dar pessoal?

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F16/C1 ⁕ P: – E agora? Como é que Cordasmil vai fazer para contar para o faraó esse novo

resultado?

F17/C1 ⁕ E6: – Tem 1 e 10.

F18/C1 ⁕ E11: – Não, tem 1 e 20.

F19/C1 ⁕ P: – Será? E8 e E9 mostrem para os amigos. Deu uma corda inteira e... F20/C1 ⁕ E8: – E sobrou isso (Figura 3).

F21/C1 ⁕

Figura 3 – Limitações da unidade de medida básica para concluir a medição

F22/C1 ⁕ P: – Como a gente vai fazer para medir esse terreno e contar para o faraó a medida

certa?

F23/C1 ⁕ E8 e E9 dobram a corda ao meio. F24/C1 ⁕ E12: – Se dobrar mais uma vez?

F25/C1 ⁕ As crianças conversam todas ao mesmo tempo e mais alguns estudantes se dirigem

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Figura 4 – Subdivisão da unidade de medida básica: origem da unidade de medida intermediária

F27/C1 ⁕ Na sequência, E12 entrega a corda dobrada em três partes iguais para as meninas. Enquanto uma realiza nova medição, a outra faz as marcas com a caneta na cartolina marrom (Figura 5).

F28/C1 ⁕

Figura 5 – Medição por meio da unidade de medida intermediária: modelação objetal

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Durante o experimento objetal de medição, as crianças sentiram o mesmo desejo que a humanidade sentiu quando criou o conceito de fração e isso aconteceu porque a situação desencadeadora de aprendizagem desenvolvida com as crianças contemplava a gênese do conceito de fração, ou seja, a sua essência. Além disso, a necessidade levou a humanidade à sua construção: “foram aparecendo os problemas e as necessidades humanas em determinada atividade e [...] os homens foram elaborando as soluções ou sínteses no seu movimento lógico-histórico.” (MOURA et al., 2010, p. 222). Como afirma Santos (2017, p. 29):

O conteúdo sobre fração traz uma história. Este é produto de uma necessidade histórica da humanidade. Dessa forma, o ensino de fração tem duplo aspecto, histórico e lógico. O par lógico-histórico é o critério para a sistematização do conhecimento a ser apropriado pelo estudante.

A partir do movimento lógico-histórico, conduzimos as reflexões das crianças, de modo que sentissem, durante a ação de medição, a necessidade de uma unidade de medida intermediária. Isto se deu pelo fato de que, no momento, a unidade de medida básica não coube um número inteiro de vezes na lateral do terreno (F12/C1 e F12/C1).

Considerando a corda como unidade de medida básica (1 unidade), o resultado não pode ser expresso por um número natural. Faz-se necessária outra unidade de medida: a unidade de medida intermediária. Ela resulta de um fragmento da corda. Só assim será possível expressar a medição exata da lateral do terreno. (SANTOS, 2017, p. 40).

Para tentar resolver o problema de Cordasmil, os E8 e E9 dobraram a corda ao meio

(F23/C1). A alternativa foi insuficiente, mas ali ocorreu a primeira transformação da unidade de medida básica em intermediária. Ao constatar que o problema não estava resolvido, E12

pergunta: “Se dobrar mais uma vez?” (F24/C1).

Depois que dividiram a corda em três partes iguais (F26/C1), utilizaram uma destas partes na medição, como unidade de medida intermediária, ou seja, o experimento objetal, do modo como conduzimos, possibilitou a revelação dos elementos que constituem a relação universal do conceito de fração: “unidade de medida básica (uma corda inteira), unidade de medida intermediária (fragmento da corda) e o total de unidades de medida intermediária (medida da lateral do terreno)” (SANTOS, 2017, p. 38). Como diz Freitas (2016, p. 9):

[...] a fração surge diante do problema de medição que se manifesta na relação em que a unidade não cabe quantidade de vezes inteira na grandeza a ser medida. Tal impossibilidade gera a necessidade de um novo método de medição, a ser modelado e apropriado pelos estudantes [...]

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O processo de modelação da relação universal do conceito de fração foi iniciado pelas próprias crianças, de forma autônoma, quando registraram na cartolina as marcas do terreno (F28/C1). Isso se deu porque, o experimento objetal, quando adequadamente conduzido, possibilita não apenas a revelação dos elementos que constituem a relação universal do conceito de fração, como, também, sua interconexão.

Desse modo, considerar o concreto sensorial como ponto de partida para introdução de conceitos científicos que possibilitam o desenvolvimento do pensamento teórico dos estudantes, requer a revelação e modelação, no experimento objetal, da relação universal, nuclear, essencial do conceito em estudo, porém, trata-se apenas de um ponto de partida. É preciso ir além, superar o plano objetal mediante sucessivas abstrações, tal como procedemos na cena 2.

2.2 Cena 2 - redução do concreto ao abstrato

Após a medição do terreno no plano objetal, iniciamos o processo de abstração. Fizemos na lousa dois segmentos de reta para representar o resultado da primeira medição (duas cordas) e começamos as reflexões sobre a segunda medição, na qual não coube um número de cordas inteiras. Na transcrição da cena dois, a seguir apresentada, a letra C indica resposta coletiva.

2.2.1 Flashes que constituem a cena 2

F1/C2 ⁕ P: – Se uma corda inteira é uma medida básica que eu represento assim (um

segmento de reta), vou ter que dividir a minha medida básica em quantas partes?

F2/C2 ⁕ E12: – Em três partes.

F3/C2 ⁕ P: – Quer dizer que aqui eu também vou dividir em três partes? F4/C2 ⁕ C: – Sim.

F5/C2 ⁕ P: Essa medida que dividimos vamos chamar de medida intermediária. Quantas

vezes a medida intermediária coube dentro do pedaço do terreno que não cabia uma corda inteira?

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F7/C2 ⁕ P: – Vamos contar comigo então. F8/C2 ⁕ C: – Uma, duas, três.

F9/C2 ⁕ P: – Se o segundo segmento eu dividi em três partes, no primeiro eu também posso

fazer o mesmo?

F10/C2 ⁕ C: – Pode.

F11/C2 ⁕ P: – Posso dizer que cada parte vale um terço (1

3)?

F12/C2 ⁕ C: – Sim.

F13/C2 ⁕ P: – Se aqui eu tenho um terço (1

3), aqui vou ficar com dois terços ( 2

3), pois eu

tenho duas partes de três e aqui eu tenho três terços (3

3). Quanto é três dividido por três?

F14/C2 ⁕ C: – Um.

F15/C2 ⁕ P: – Aqui nos três terços (3

3), que vocês me disseram que vale um, representa

quantas cordas?

F16/C2 ⁕ C: – Uma.

F17/C2 ⁕ P: E, depois, eu tenho quantos terços? (Figura 6). F18/C2 ⁕

Figura 6 – Modelação gráfica

F19/C2 ⁕ C: – Quatro terços (4 3), cinco terços ( 5 3) e seis terços ( 6 3).

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F20/C2 ⁕ P: – Quanto é 6 dividido por 3? F21/C2 ⁕ E2: – Dois.

F22/C2 ⁕ P: – Então, aqui, nós teríamos duas cordas inteiras, como tínhamos a primeira vez

que medimos o terreno. Mas, agora, como vamos fazer, pois não temos duas cordas inteiras? Quanto mede o terreno?

F23/C2 ⁕ E12: – Uma corda inteira, mais dois terços (2

3) da corda.

F24/C2 ⁕ P: – Eu posso dizer que o terreno mede cinco terços (5

3) ?

F25/C2 ⁕ C: – Pode.

F26/C2 ⁕ P: – Cada parte dessa que dividimos vou representar pela letra T e a corda inteira

pela letra E. Quanto é E dividido por T (𝐸

𝑇)?

F27/C2 ⁕ C: – Três.

F28/C2 ⁕ P: – E pode ficar assim também E=3T? F29/C2 ⁕

Figura 7 – Modelação literal

F30/C2 ⁕ C: – Pode.

Tínhamos o planejamento de estágio para ser cumprido e o experimento objetal demorou um pouco mais que o previsto. Desse modo, tivemos que, na cena 2, otimizar as

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reflexões, mas, mesmo assim, tentamos garantir o envolvimento das crianças no movimento de ascensão para o abstrato. Conforme nos ensina Kopnin (1978, p. 158):

O conhecimento não pode passar imediatamente do sensorial-concreto ao concreto pensado. Esse caminho, como todos os outros, é complexo e contraditório. Para atingir a concreticidade autêntica, o conhecimento perde temporariamente a concreticidade em geral e passa ao seu próprio oposto: ao abstrato.

Diferentemente do ensino tradicionalmente desenvolvido no Brasil, a representação abstrata da fração está diretamente ligada à sua representação concreta, por meio de pizzas, chocolates, entre outros (SANTOS, 2016). Na situação desencadeadora que apresentamos, a representação abstrata não é de uma imagem diretamente dada, mas de uma relação que dá origem a todos os números no campo dos reais: (𝐸

𝑇 = 𝑛 ), onde E representa a grandeza a ser

medida, T a unidade de medida e n o resultado da medição (F25/C2 e E=3T).

Procedemos à ascensão do concreto ao abstrato por meio das modelações gráfica (F18/C2) e literal (F28/C2) da relação universal revelada e já modelada no plano objetal (F28/C1). Nesse movimento, seguimos a unidade entre o lógico e o histórico, ao contemplarmos “[...] a gênese e o desenvolvimento do conceito de fração, na inter-relação das significações aritméticas, algébricas e geométricas a partir da grandeza comprimento.” (ISIDORO, 2019, p. 26).

Com o modelo literal (F25/C2 e E=3T), atingimos a abstração máxima da relação universal revelada no plano objetal. Durante o processo de abstração, consideramos as transformações dos modelos de objetal para gráfico e de gráfico para literal. O movimento de abstrações sucessivas teve sua origem no plano sensorial, na experiência com o objeto, até atingir a abstração máxima, válida para a medição de qualquer terreno, com qualquer corda.

Após as reflexões no plano abstrato, retomamos o concreto ponto de partida para averiguar as respostas das crianças ao Cordasmil. Como seriam as respostas? Com base no experimento objetal, desenvolvido com cartolinas e corda? Ou baseado na relação universal, revelada durante o experimento e, posteriormente, modelada? As respostas aos questionamentos são apresentadas na sequência.

2.3 Cena 3 - ascensão do abstrato ao concreto

Após atingirmos a abstração máxima da relação universal (F28/C2), retomamos a situação desencadeadora de aprendizagem: qual sua proposta para Cordasmil resolver este problema? Sugerimos que apresentassem suas propostas individualmente e por escrito.

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Entregamos para cada criança um recorte retangular para representar o terreno e um pedaço de barbante para representar a corda, objetivando verificar se responderiam ao Cordasmil com base no resultado específico de sua medição ou se apresentariam respostas mais gerais, válidas para qualquer terreno. É importante lembrar que a história não apresentava valores específicos para as medidas, estas surgiram durante o experimento de medição.

Dos 30 estudantes, 22 apresentaram respostas singulares, válidas apenas para o seu terreno e 8 apresentaram respostas mais gerais, válidas para a medição de qualquer terreno. Na sequência, mostramos as respostas de E8, E13, e E11, as quais representam o teor das produções

da turma.

E8 realizou a medição do terreno que recebeu e obteve sete terços de corda como

resultado e escreveu sua resposta ao Cordasmil (Figura 8):

Figura 8 – Resposta apresentada por E8

Fonte: Acervo do Grupo de Pesquisa Teoria do Ensino Desenvolvimental (TedMat) da Universidade do Sul de Santa Catarina - UNISUL, 2019.

A resposta de E8 representa o teor das vinte e duas respostas singulares

apresentadas. Nesses casos, não houve generalização da relação universal revelada e abstraída. Tratou-se apenas da reprodução do caso dado, como se o problema de Cordasmil fosse exatamente igual ao seu. É uma generalização empírica, não vai além da aparência, não adentra na essência. Apenas oito estudantes foram além do seu exemplo singular, deste modo, a título de exemplificação, apresentaremos as respostas de E11 (Figura 9) e E13 (Figura 10).

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Fonte: Acervo do Grupo de Pesquisa Teoria do Ensino Desenvolvimental (TedMat) da Universidade do Sul de Santa Catarina - UNISUL, 2019.

E11 fala da sua medição, mas generaliza ao responder para Cordasmil e E13 já parte da

situação vivenciada virtualmente por Cordasmil, em seu caráter geral (Figura 10).

Fonte: Acervo do Grupo de Pesquisa Teoria do Ensino Desenvolvimental (TedMat) da Universidade do Sul de Santa Catarina -UNISUL, 2019.

Tanto a resposta de E13 quando de E11 são de caráter mais geral. Trata-se de uma

resposta concreta, que expressa “o conhecimento mais profundo e substancial dos fenômenos da realidade, pois reflete com o seu conteúdo não as definibilidades exteriores do objeto em sua relação imediata, acessível à contemplação viva”, mas sua relação interna (KOPNIN, 1978, p. 162). E8, por sua vez, respondeu com base em uma situação isolada, portanto, empírica

(DAVÝDOV, 1982).

Mas, o que pode ter gerado esse resultado? Por que dos 30 estudantes, apenas 8 adentraram na essência do problema, enquanto 22 apresentaram respostas de teor empírico? Dentre as infinitas possibilidades de respostas, temos duas que se complementam: pode ter sido em função do pouco tempo que tivemos para o procedimento de redução do concreto ao abstrato, atrelado ao fato de as crianças estarem habituadas a exporem respostas singulares. Se tivéssemos mais tempo, poderíamos ter solicitado que cada criança fizesse a representação gráfica da sua medição singular e a respectiva representação literal. Também, após essas

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representações, cada criança poderia mostrar no coletivo como ficou suas representações gráfica e literal. A partir das apresentações, elaboraríamos uma representação literal, na forma geral, válida para todas as representações apresentadas pelas crianças. Talvez, a partir desse novo movimento de redução do concreto ao abstrato, elas expusessem respostas mais gerais no momento de responder ao Cordasmil.

Como se tratava de uma experiência de estágio, tínhamos que dar continuidade ao planejamento com as outras aéreas de conhecimento, por isso, concluímos a parte relacionada à matemática com a sensação de incompletude. Sentíamos a necessidade de continuidade, de novos microciclos de redução do concreto ao abstrato e ascensão do abstrato ao concreto, inclusive a partir da medição de outras grandezas, a fim de garantir a apropriação, por todos, da essência do conceito de fração em seu caráter geral, passível de ser aplicada nas diversas situações singulares que podem ser resolvidas por meio da fração.

3 Considerações finais

Os estudantes iniciam o Ensino Fundamental abertos para o novo, no entanto quem define quais as características desse novo será o sistema educacional vigente (DAVÝDOV, 1982). No Brasil, historicamente, o modo de organização de ensino, em geral, há predomínio do conhecimento empírico (HOBOLD, 2014; SILVEIRA, 2015; CRESTANI, 2016; GALDINO, 2016; MATOS, 2017; FONTES, 2019; ISIDORO, 2019). Portanto, um professor que teve toda a sua Educação Básica e Superior sustentada no empirismo, vai apresentar e desenvolver o que com seus estudantes? É hora de interromper esse ciclo e de levar o novo para a sala de aula em nível teórico. Para tanto, faz-se necessário elaborar e desenvolver, em sala de aula, situações desencadeadoras de aprendizagem. Situações que propiciem a revelação dos elementos que constituem o conceito.

Ao desenvolvermos a situação desencadeadora, na docência do estágio, os estudantes sentiram a mesma necessidade que a humanidade vivenciou para criar o conceito de fração. Por meio da ação investigativa, levantaram hipóteses, testaram e encontraram a solução, coletivamente, durante o desenvolvimento do experimento objetal de medição, portanto, no concreto ponto de partida. A partir daí, prosseguimos para as sucessivas abstrações desenvolvidas pela humanidade, até atingir a abstração máxima, mas em nível teórico.

O processo de redução do concreto ao abstrato ocorreu de forma sincronizada, ou seja, a essência das ações desenvolvidas no plano objetal foram reproduzidas no plano abstrato mediante elementos algébricos, geométricos e aritméticos. Foi assim que concluímos o

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movimento de redução do concreto (experimento objetal da medição) ao abstrato (representação no quadro, por meio de símbolos).

O movimento de ascensão do abstrato ao concreto ocorreu durante a escrita da carta ao Cordasmil por oito estudantes que se orientaram pelas reflexões abstratas e apresentaram respostas mais gerais. Contudo, vinte e dois dos trinta estudantes não percorreram esse movimento, não captaram o movimento entre geral e particular subjacente ao procedimento desenvolvido.

Diante dos resultados obtidos, faz-se necessário a realização de novos experimentos didáticos, com tempo maior de duração. Isto é preciso para ampliar os microciclos de redução e ascensão, pois uma única situação desencadeadora de aprendizagem ou tarefa não é suficiente para garantir a apropriação de um conceito ou sistema conceitual. Tal desafio fica como sugestão para futuras pesquisas.

Agradecimentos

Primeiramente, а Deus, que permitiu que tudo isso acontecesse ао longo da minha vida е não somente nestes anos como universitária, mas em todos os momentos. És o maior mestre que alguém pode conhecer.

Agradeço ao meu esposo, Hélio, e minha filha, Vitória, por todo apoio dado nos momentos que precisei para concluir a graduação e na escrita deste artigo.

Aos amigos que estavam presentes e apoiando diante das dificuldades.

A professora Dra. Josélia Euzébio da Rosa, pela orientação, oportunidade е apoio na elaboração deste trabalho.

Aos grupos de estudo TEDMAT, GEPEMACH e GEPAPE que me oportunizaram participar, sendo de extrema importância para a escrita deste artigo.

Referências

CRESTANI, S. Organização do ensino de matemática na perspectiva do desenvolvimento

do pensamento teórico: uma reflexão a partir do conceito de divisão. 2016. 124 f.

Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade do Sul de Santa Catarina, Tubarão, 2016.

DAVÝDOV, V. V. Tipos de generalización en la enseñanza. 3. ed. Habana: Editorial Pueblo y Educación, 1982.

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DAVÝDOV, V. V. La enseñanza escolar y el desarrollo psíquico: investigación psicológica teórica y experimental. Moscú: Progreso, 1988.

DAVÍDOV, V. V.; SLOBÓDCHIKOV, V. I. In: MUDRIK, A. La enseñanza que desarrolla

en la escuela del desarrollo; en La educación y la enseñanza: una mirada al futuro.

Progreso, Moscú, 1991. p. 118 – 144.

DAVÍDOV, V. V. Análisis de los principios didácticos de la escuela tradicional y posibles principios de enseñanza en el futuro próximo. In: SHUARE, M. La psicología Evolutiva y

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histórico-cultural. 2016. 110f. Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade do Sul de Santa Catarina, Tubarão, 2016.

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MOURA, M. O. et al. Atividade orientadora de ensino: unidade entre ensino e aprendizagem.

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(21)

Anexos

Anexo A – Termo de consentimento para os pais

Senhores pais e/ ou responsáveis

Solicito, por meio deste, a sua autorização para realização de uma pesquisa, onde seu filho (a)____________________________________________________________será participante. A pesquisa tem como objetivo analisar o conhecimento dos alunos do 4° ano

do ensino fundamental sobre fração.

O presente estudo será realizado no dia 30/10/2018, no período vespertino. A pesquisa será realizada através de docência e observação da turma onde seu filho está inserido, através de entrevistas com os estudantes, registros escritos e fotográficos das produções dos estudantes. Destaca-se que a realização deste estudo é condição para a pesquisadora realizar a coleta de dados para o Trabalho de Conclusão de Curso de Pedagogia na Universidade do Sul de Santa Catarina.

Ao final da pesquisa, a pesquisadora coloca-se à disposição da instituição e demais interessados para socializar os resultados da pesquisa.

Afirmo, desde já, que a identidade dos participantes e da escola será mantida em sigilo e os dados obtidos durante a pesquisa serão utilizados para fins de estudo.

Obrigada pela colaboração.

MARIA APARECIDA CARDOSO NUNES GARCIA Pesquisadora responsável

De acordo: _______________________________________________________ Assinatura dos pais ou responsáveis

(22)

Anexo B – Termo de consentimento para a professora

UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA CURSO DE PEDAGOGIA

TERMO DE CONSENTIMENTO

Prezada professora

Solicito, por meio deste, a sua colaboração para realização de uma pesquisa na escola sob sua responsabilidade. A pesquisa tem como objetivo analisar o conhecimento dos

alunos do 4° ano do ensino fundamental sobre fração.

O presente estudo será realizado no dia 30/10/2018, no período vespertino. A pesquisa será realizada através de docência e observação da turma investigada, através de entrevistas com os estudantes, registros escritos e fotográficos das produções dos estudantes. Destaca-se que a realização deste estudo é condição para a pesquisadora realizar a coleta de dados para o Trabalho de Conclusão de Curso de Pedagogia na Universidade do Sul de Santa Catarina.

Ao final da pesquisa, a pesquisadora coloca-se à disposição da instituição para socializar os resultados da pesquisa.

_________________________________________________________________ Pesquisadora responsável

De acordo: ________________________________________________________ Assinatura da professora

(23)

Anexo C – Termo de consentimento para a diretora

UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA CURSO DE PEDAGOGIA

TERMO DE CONSENTIMENTO

Prezado (a) diretor (a)

Solicito, por meio deste, a sua colaboração para realização de uma pesquisa na escola sob sua responsabilidade. A pesquisa tem como objetivo analisar o conhecimento dos

alunos do 4° ano do ensino fundamental sobre fração.

O presente estudo será realizado no dia 30/10/2018, no período matutino. A pesquisa será realizada através de docência e observação da turma investigada, através de entrevistas com os estudantes, registros escritos e fotográficos das produções dos estudantes. Destaca-se que a realização deste estudo é condição para a pesquisadora realizar a coleta de dados para o Trabalho de Conclusão de Curso de Pedagogia na Universidade do Sul de Santa Catarina.

Ao final da pesquisa, a pesquisadora coloca-se à disposição da instituição para socializar os resultados da pesquisa.

________________________________________________________________ Pesquisadora responsável

De acordo: ________________________________________________________ Assinatura e carimbo da direção da escola