Fração, Potenciação, Radiciação, Matrizes e Sistemas Lineares - Ozias Jr.

Conjuntos Números naturais, N: {0,1,2,3,..} Números inteiros, Z: {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} Números racionais, Q: {..., -3,565656..., -2, 0, 1,888..., 3,...} Números irracionais: I: {… , √3, √5, 𝜋, 𝑒1, …} Números complexos, C: {..., √−9, √−4, 𝑖2,....} Frações A, b, c e d ∈ 𝑅 Soma de Frações

(Na soma de frações tira-se o MMC, divide-se o número encontrado pelo denominador e multiplica-se pelo numerador).

𝑎 𝑏+ 𝑏 𝑑 = 𝑎𝑑+𝑏𝑑 𝑏𝑑 𝑎 𝑏− 𝑏 𝑑 = 𝑎𝑑−𝑏𝑑 𝑏𝑑 Multiplicação de Frações

(Na multiplicação de frações, multiplica-se o de cima (numerador) com o de cima (numerador) e o de baixo (denominador) com de baixo (denominador)). (𝑎 𝑏) ∗ ( 𝑏 𝑑) = 𝑎𝑏 𝑏𝑑

Divisão de Frações

(Na divisão de frações, conserva-se a primeira fração e multiplica-se pelo inverso da segunda. Também pode-se multiplicar cruzado, ou multiplica-se os números de fora

(Numerador) ∗ (Denominador) e depois os números de dentro (Denominador)(Numerador). 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 = (𝑎 𝑏) ∗ ( 𝑑 𝑐) = 𝑎𝑑 𝑏𝑐 Ou 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 = 𝑎𝑑 𝑏𝑐 Ou 𝑎 𝑏 ÷ 𝑐 𝑑 = 𝑎𝑑 𝑏𝑐 Potenciação 𝑎𝑚 ∗ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 22∗ 23 = 22+3 = 25 𝑎𝑚 𝑎𝑛 = 𝑎 𝑚−𝑛 24 22 = 2 4−2 _{= 2}2 (𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚∗𝑛 (22₎2 _{= 2}2∗2 _{= 2}4 √𝑎𝑛 𝑚 = 𝑎 𝑛 𝑚 _√23 _{= 2} 1 3

𝑎−𝑛 = 1 𝑎𝑛 2−1 = 1 2 (𝑎 𝑏) −𝑛 = (𝑏 𝑎) 𝑛 (2 3) −1 = (3 2) (𝑎 ∗ 𝑏)𝑛 _{= 𝑎}𝑛 _{∗ 𝑏}𝑛 _{(2 ∗ 3)}2 _{= 2}2_{∗ 3}2 _{= 4 ∗ 9 = 36} (𝑎 𝑏) 𝑛 =𝑎𝑛 𝑏𝑛 ; 𝑐𝑜𝑚 𝑏 ≠ 0 (2 3) 2 = 2 2 32 = 4 9 Exemplos

20 = 1 (Todo número elevado a zero é igual a um, menos o zero)

21 = 2 (Todo número elevado a um é igual a ele mesmo)

(−2)3 = (−2) ∗ (−2) ∗ (−2) = −8 (O sinal de negativo está incluso na multiplicação)

(−2)2 _{= (−2) ∗ (−2) = 4 (O sinal de}

negativo está incluso na multiplicação)

−22 = −(2 ∗ 2) = −4 (O sinal de negativo não está incluso na

multiplicação)

−(2)2 = −((2) ∗ (2)) = −4 (O sinal de negativo não está incluso na

multiplicação) −23 = −(2 ∗ 2 ∗ 2) = −8 (O sinal de

negativo não está incluso na multiplicação)

−(2)3 = −((2) ∗ (2) ∗ (2)) = −8 (O sinal de negativo não está incluso na multiplicação)

Radiciação √𝑎𝑝 𝑛 = 𝑎𝑝𝑛 √23 2 _{= 2}2₃ √𝑎 ∗ 𝑏 𝑛 = √𝑎𝑛 ∗ √𝑏𝑛 √2 ∗ 3 = √2 ∗ √3 = √6 √𝑎 𝑏 𝑛 = √𝑎 𝑛 √𝑏 𝑛 √2 3 = √2 √3 ( √𝑏𝑛 )𝑚 = (𝑏𝑛1₎ 𝑚 = 𝑏𝑛1∗𝑚 _{= 𝑏} 𝑚 𝑛 _(√5)2 _{= (5}12₎ 2 = 512∗2 _{= 5} 2 2 _{= 5} √ √𝑏𝑚 𝑛 = 𝑚∗𝑛√𝑏 √√23 = √23∗2 = √26 Soma de Raízes 1º - √3 + 4√3 − 2√3 = (1 + 4 − 2)√3 = 3√3 2º - 4√2 − 2√2 + 3√5 − 6√5 = (4 − 2)√2 + (3 − 6)√5 = 2√2 − 3√5 Divisão de Raízes √4 √81= √22 √92 = 2 9 4 √3= 4 √3∗ √3 √3 = 4√3 √3 ∗ 3 = 4√3 √9 = 4√3 3 𝑥 √𝑥3 4 = 𝑥 √𝑥3 4 ∗ √𝑥 √𝑥 = 𝑥√𝑥 √𝑥3_{∗ 𝑥} 4 = 𝑥√𝑥 √𝑥4 4 = 𝑥√𝑥 𝑥 = √𝑥 𝑥 √𝑥 = 𝑥 √𝑥∗ √𝑥 √𝑥 = 𝑥√𝑥 √𝑥 ∗ 𝑥 = 𝑥√𝑥 √𝑥2 = 𝑥√𝑥 𝑥 = √𝑥

Matrizes

[

𝑎 𝑏 𝑐

𝑑 𝑒 𝑓

𝑔 ℎ 𝑖

] ; é uma matriz 3x3, ou seja, com três linhas

(𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑖 𝑜𝑢 𝑚 ) e três colunas

(𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑗 𝑜𝑢 𝑛). É chamada de matriz quadrada.

[

𝑎 𝑏

𝑐 𝑑

𝑒 𝑓

]; é uma matriz 3x2, ou seja, com três linhas

(𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑖 𝑜𝑢 𝑚) e duas colunas

(𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑗 𝑜𝑢 𝑛).

[𝑎_𝑒 𝑏_{𝑓 𝑔}𝑐 𝑑_ℎ]; é uma matriz 2x4, ou seja, com duas linhas

(𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑖 𝑜𝑢 𝑚) e quatro colunas (𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑗 𝑜𝑢 𝑛). Soma de Matrizes [1 2 3 4] + [ 3 2 1 4] = [ 1 + 3 2 + 2 3 + 1 4 + 4] = [ 4 4 4 8] [ 1 0 −2 0 −1 1 2 −4 3 ] − [ 2 −3 4 −1 0 1 3 8 −7 ] = [ 1 − 2 0 − (−3) −2 − 4 0 − (−1) −1 − 0 1 − 1 2 − 3 −4 − 8 3 − (−7) ] = [ −1 3 −6 1 −1 0 −1 −12 10 ]

Obs: Só é possível a soma de matrizes quando as mesmas são iguais, por exemplo, uma matriz 2x2 soma-se somente com outra matriz 2x2, uma matriz 3x1 soma-se somente com outra matriz 3x1, e etc.

Multiplicação de Matrizes Teorema de Laplace [0 1 1 0] ∗ [ 4 7 2 3] = [ 0 ∗4+ 1 ∗2 0 ∗7+ 1 ∗3 1 ∗4+ 0 ∗2 1 ∗7+ 0 ∗3] = [ 2 3 4 7] [ 1 −1 2 2 3 4 ] ∗ [1 2 3 4 −5 1] = = [ 1 ∗1+ (−1) ∗4 1 ∗2+ (−1) ∗ (−5) 1 ∗3+ (−1) ∗1 2 ∗1+ 2 ∗4 2 ∗2+ 2 ∗ (−5) 2 ∗3+ 2 ∗1 3 ∗1+ 4 ∗4 3 ∗2+ 4 ∗ (−5) 3 ∗3+ 4 ∗1 ] = [ −3 7 2 10 −6 8 19 −14 13 ]

Obs: Para saber qual vai ser a quantidade de linhas e colunas que resultara na multiplicação de duas matrizes, por exemplo, na multiplicação de uma matriz 3x2 por uma matriz 2x3, pega-se o primeiro número (que representa a quantidade de linhas) da primeira matriz (3) e pega-se o segundo número (que representa a quantidade de colunas) da segunda matriz (3). Logo, resultará em uma matriz 3x3.

Matriz Transposta A = [𝑎 𝑏 𝑐 𝑑] ; A t _{= [}𝑎 𝑐 𝑏 𝑑] B = [𝑎_𝑑 𝑏_𝑒 𝑐_𝑓]; Bt _{= [} 𝑎 𝑑 𝑏 𝑒 𝑐 𝑓 ] C = [1 3 5 7]; Ct _{= [} 1 3 5 7 ] D = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ]; Dt _{= [} 1 4 7 2 5 8 3 6 9 ]

Obs: Para transformar uma matriz qualquer em uma matriz transposta, troca-se as linhas por colunas e vice-versa.

Determinante de uma Matriz

(Só é possível encontrar o determinante de matrizes quadradas, por exemplo uma matriz 2x2, 3x3, 4x4 e assim por diante).

A = [ a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 ]

(Uma matriz também pode ser representada com as letras a e seguidas por

dois números, o primeiro número representa a linha (𝒊) e o segundo representa a coluna (𝒋). Por exemplo, a11 quer dizer, 1ª linha e 1ª coluna,

já o a21 quer dizer 2ª linha e 1ª coluna. É de extrema importância saber

disso, pois será necessário esse entendimento para compreender como funciona o teorema de Laplace).

Encontrando o determinante de uma matriz 2x2:

A = [1 2 3 4] DetA =|1 2 3 4| = (1)(4) − ((2)(3)) = 4 − 6 = −2 B = [ 5 6 −7 −2] DetB = | 5 6 −7 −2| = (5)(−2) − ((6)(−7)) = −10 − (−42) = −10 + 42 = 32

(Multiplica-se os números da diagonal principal ↘ e subtrai-se com a multiplicação dos números da diagonal secundaria ↙).

Encontrando o determinante de uma matriz 3x3: A = [ 1 −2 3 −1 2 −9 0 8 5 ] DetA = | 1 −2 3 −1 2 −9 0 8 5 | 1 −2 −1 2 0 8 = ((1)(2)(5)) + ((−2)(−9)(0)) + ((3)(−1)(8)) − ((−2)(−1)(5)) − ((1)(−9)(8)) − ((3)(2)(0)) =10+ 0−24− (10) − (−72) − (0) = −24+72 = 48 B = [ 1 2 3 1 0 1 0 1 0 ] DetB = | 1 2 3 1 0 1 0 1 0 | 1 2 1 0 0 1 = ((1)(0)(0)) + ((2)(1)(0)) + ((3)(1)(1)) − ((2)(1)(0)) − ((1)(1)(1)) − ((3)(0)(0)) = 0+0+3+0−1−0 = 2 (Copia-se as duas primeiras colunas e depois multiplica-se a diagonal principal e subtrai-se com a multiplicação da diagonal secundaria).

Encontrando o determinante de uma matriz 4x4:

(Para encontrar o determinante de uma matriz 4x4 ou superior a isso, usamos o Teorema de Laplace ou a Regra de Chió).

Teorema de Laplace

(No teorema de Laplace, escolhe-se a coluna ou linha com mais zeros ou uns possíveis e acha-se o determinante das matrizes 3x3. No final substitui-se os valores de cada determinante na formula (I), onde os mesmos serão multiplicados por cada número da

linha ou coluna escolhida).

A =[ 1 2 3 2 0 1 1 0 1 0 1 1 2 1 1 1 ]; A = [ a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 ]

Usaremos essa formula (I): DetC = (0)*A21 + (1)*A22 + (1)*A23 + (0)*A24 D22 =[ 1 2 3 2 0 1 1 0 1 0 1 1 2 1 1 1 ] A22 = (−1)2+2*D22 = (−1)4∗ | 1 3 2 1 1 1 2 1 1 | 1 3 1 1 2 1 = ((−1)(−1)(−1)(−1)) ∗ (((1)(1)(1)) + ((3)(1)(2)) + ((2)(1)(1)) − ((3)(1)(1)) − ((1)(1)(1)) − ((2)(1)(2))) = (1) ∗ (1+6+2−3−1−4) = 9−8 = 1 D23 =[ 1 2 3 2 0 1 1 0 1 0 1 1 2 1 1 1 ] A23 = (−1)2+3*D23 = (−1)5_{∗ |}1₁ 2 2_{0 1} 2 1 1 | 1 2 1 0 2 1 = ((−1)(−1)(−1)(−1)(−1)) ∗ (((1)(0)(1)) + ((2)(1)(2)) + ((2)(1)(1)) − ((2)(1)(1)) − ((1)(1)(1)) − ((2)(0)(2))) = (−1) ∗ (0+4+2−2−1−0) = (−1) ∗ (6−3) = (−1) ∗ (3) = −3

Substituindo esses dois valores na formula (I), temos;

DetC = (0)*A21 + (1)*(1) + (1)*(-3) + (0)*A24

DetC = 0+1-3+0 DetC = -2

Regra de Chió

(Na regra de Chió escolhe-se uma linha e uma coluna. Entretanto, o primeiro elemento/número ou pivô, tem que ser igual a um (1). Caso o primeiro elemento não seja igual a um (1), pode-se escalonar a matriz, para

se obter o número um na primeira posição).

A =[ 1 2 3 2 0 1 1 0 1 0 1 1 2 1 1 1 ]; DetA = | 1 2 3 2 0 1 1 0 1 0 1 1 2 1 1 1 | = | 1 − (2)(0) 1 − (3)(0) 0 − (2)(0) 0 − (2)(1) 1 − (3)(1) 1 − (2)(1) 1 − (2)(2) 1 − (3)(2) 1 − (2)(2) | = | 1 1 0 −2 −2 −1 −3 −5 −3 | 1 1 −2 −2 −3 −5 = ((1)(−2)(−3)) + ((1)(−1)(−3)) + ((0)(−2)(−5)) − ((1)(−2)(−3)) − ((1)(−1)(−5)) − ((0)(−2)(−3)) = 6+3+0− (6) − (5) −0= 9−11 = −2 Matriz Inversa

(Antes de encontrar a matriz inversa de uma matriz qualquer, você deve primeiro encontrar o determinante da mesma. Se o determinante for igual a

zero, a matriz não é invertível, ou seja, não tem inversa).

Inversa de uma Matriz 2x2

A = [1 2 4 8] DetA = |1 2

B = [7 2 3 −5] DetB = |7 2

3 −5| = (7) ∗ (−5) − (2) ∗ (3) = −35 − 6 = −41 é diferente de zero, logo a matriz B é invertível.

Para encontrar a matriz inversa (B-1_{) de B, basta trocar a posição dos}

números da diagonal principal ↘, trocar os sinais dos números da diagonal secundaria ↙ e dividir tudo pelo determinante. Isso só funciona com

matrizes 2x2. B-1 = [7 2 3 −5] = [ −5 −2 −3 7 ] = [ −5 −41 −2 −41 −3 −41 7 −41 ] = [ 5 41 2 41 3 41 − 7 41 ]

Inversa de uma Matriz 3x3

C = [ 1 1 1 2 3 1 4 9 1 ] DetC = | 1 1 1 2 3 1 4 9 1 | 1 1 2 3 4 9 = ((1)(3)(1)) + ((1)(1)(4)) + ((1)(2)(9)) − ((1)(2)(1)) − ((1)(1)(9)) − ((1)(3)(4)) = 3+4+18−2−9−12 =

25−23 = 2 é diferente de zero, logo a matriz é invertível.

Para encontrar a matriz inversa (C-1) de C, será usada essa formula: A*A-1 _{= I, essa formula quer dizer que se multiplicarmos uma matriz}

C*C-1 = I [ 1 1 1 2 3 1 4 9 1 ] ∗ [ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 ] = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ]

Fazendo a multiplicação das matrizes, vamos obter o seguinte sistema:

[ 𝑎 + 𝑑 + 𝑔 𝑏 + 𝑒 + ℎ 𝑐 + 𝑓 + 𝑖 2𝑎 + 3𝑑 + 𝑔 2𝑏 + 3𝑒 + ℎ 2𝑐 + 3𝑓 + 𝑖 4𝑎 + 9𝑑 + 𝑔 4𝑏 + 9𝑒 + ℎ 4𝑐 + 9𝑓 + 𝑖 ] = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] Sistema (1); 𝑎 + 𝑑 + 𝑔 = 1 2𝑎 + 3𝑑 + 𝑔 = 0 4𝑎 + 9𝑑 + 𝑔 = 0 Sistema (2); 𝑏 + 𝑒 + ℎ = 0 2𝑏 + 3𝑒 + ℎ = 1 4𝑏 + 9𝑒 + ℎ = 0 Sistema (3); 𝑐 + 𝑓 + 𝑖 = 0 2𝑐 + 3𝑓 + 𝑖 = 0 4𝑐 + 9𝑓 + 𝑖 = 1

Para encontramos os valores de a, b, c, d, e, f, g, h e i, vamos precisar escalonar os sistemas, de modo que a última linha sobre somente uma variável. E a equação se tornará triangular superior.

Começando pelo 1º Sistema, temos; L = (linha).

𝑎 + 𝑑 + 𝑔 = 1 2𝑎 + 3𝑑 + 𝑔 = 0 4𝑎 + 9𝑑 + 𝑔 = 0

Temos que zerar o 2𝑎, logo 𝐿2 = 2(𝐿1) − 𝐿2. 2𝑎 + 2𝑑 + 2𝑔 = 2 −2𝑎 − 3𝑑 − 𝑔 = 0 0 − 𝑑 + 𝑔 = 2 𝑎 + 𝑑 + 𝑔 = 1 0 − 𝑑 + 𝑔 = 2 4𝑎 + 9𝑑 + 𝑔 = 0

Temos que zerar o 4𝑎, logo 𝐿3 = 4(𝐿1) − 𝐿3. 4𝑎 + 4𝑑 + 4𝑔 = 4 −4𝑎 − 9𝑑 − 𝑔 = 0 0 − 5𝑑 + 3𝑔 = 4 𝑎 + 𝑑 + 𝑔 = 1 0 − 𝑑 + 𝑔 = 2 0 − 5𝑑 + 3𝑔 = 4

Temos que zerar o −5𝑑, logo 𝐿3 = −5(𝐿2) + 𝐿3.

5𝑑 − 5𝑔 = 10 −5𝑑 + 3𝑔 = 4 0 + 0 − 2𝑔 = −6

O sistema ficou assim, depois de escalonado; 𝑎 + 𝑑 + 𝑔 = 1 (I)

0 − 𝑑 + 𝑔 = 2 (II) 0 + 0 − 2𝑔 = −6 (III)

Como ficou apenas uma variável na última linha (L3), podemos resolver mais facilmente o sistema.

(III) −2𝑔 = −6 −𝑔 = −6 2 (−1) 𝑔 = 3 (II) – 𝑑 + 𝑔 = 2 −𝑑 + 3 = 2 −𝑑 = 2 − 3 −𝑑 = −1 (−1) 𝑑 = 1 (I) 𝑎 + 𝑑 + 𝑔 = 1 𝑎 + 1 + 3 = 1 𝑎 = 1 − 4 𝑎 = −3 Logo 𝑔 = 3, 𝑑 = 1 𝑒 𝑎 = −3

Resolvendo o 2º Sistema, temos;

𝑏 + 𝑒 + ℎ = 0 2𝑏 + 3𝑒 + ℎ = 1 4𝑏 + 9𝑒 + ℎ = 0

Temos que zerar o 2𝑏, logo 𝐿2 = 2(𝐿1) − 𝐿2. 2𝑏 + 2𝑒 + 2ℎ = 0 −2𝑏 − 3𝑒 − ℎ = −1 0 − 𝑒 + ℎ = −1 𝑏 + 𝑒 + ℎ = 0 0 − 𝑒 + ℎ = −1 4𝑏 + 9𝑒 + ℎ = 0

Temos que zerar o 4𝑏, logo 𝐿3 = 4(𝐿1) − 𝐿3. 4𝑏 + 4𝑒 + 4ℎ = 0 −4𝑏 − 9𝑒 − ℎ = 0 0 − 5𝑒 + 3ℎ = 0 𝑏 + 𝑒 + ℎ = 0 0 − 𝑒 + ℎ = −1 0 − 5𝑒 + 3ℎ = 0

Temos que zerar o −5𝑒, logo 𝐿3 = −5(𝐿2) + 𝐿3.

5𝑒 − 5ℎ = 5 −5𝑒 + 3ℎ = 0

O sistema ficou assim, depois de escalonado; 𝑏 + 𝑒 + ℎ = 0 (I) 0 − 𝑒 + ℎ = −1 (II) 0 + 0 − 2ℎ = 5 (III) (III) −2ℎ = 5 −ℎ = 5 2 (−1) ℎ = −5 2 (II) −𝑒 + ℎ = −1 −𝑒 −5 2= −1 −𝑒 = −1 +5 2 −𝑒 = 3 2 𝑒 = −3 2 (I) 𝑏 + 𝑐 + ℎ = 0 𝑏 −3 2− 5 2= 0 𝑏 = 3 2+ 5 2 𝑏 = 8 2 𝑏 = 4 Logo ℎ = −5 2, 𝑒 = − 3 2 𝑒 𝑏 = 4 Resolvendo o 2º Sistema, temos;

𝑐 + 𝑓 + 𝑖 = 0 2𝑐 + 3𝑓 + 𝑖 = 0 4𝑐 + 9𝑓 + 𝑖 = 1

Temos que zerar 2𝑐, logo 𝐿2 = 2(𝐿1) − 𝐿2. 2𝑐 + 2𝑓 + 2𝑖 = 0 −2𝑐 − 3𝑓 − 𝑖 = 0 0 − 𝑓 + 𝑖 = 0 𝑐 + 𝑓 + 𝑖 = 0 0 − 𝑓 + 𝑖 = 0 4𝑐 + 9𝑓 + 𝑖 = 1

Temos que zerar 4𝑐, logo 𝐿3 = 4(𝐿2) − 𝐿3.

4𝑐 + 4𝑓 + 4𝑖 = 0 −4𝑐 − 9𝑓 − 𝑖 = −1

𝑐 + 𝑓 + 𝑖 = 0 0 − 𝑓 + 𝑖 = 0 0 − 5𝑓 + 3𝑖 = −1

Temos que zerar −5𝑓, logo 𝐿3 = −5(𝐿2) + 𝐿3.

5𝑓 − 5𝑖 = 0 −5𝑓 + 3𝑖 = −1

0 − 2𝑖 = −1

O sistema ficou assim, depois do escalonamento; 𝑐 + 𝑓 + 𝑖 = 0 (I) 0 − 𝑓 + 𝑖 = 0 (II) 0 + 0 − 2𝑖 = −1 (III) (III) −2𝑖 = −1 −𝑖 = −1 2 (−1) 𝑖 =1 2 (II) – 𝑓 + 𝑖 = 0 −𝑓 +1 2= 0 −𝑓 = −1 2 (−1) 𝑓 = 1 2 (I) 𝑐 + 𝑓 + 𝑖 = 0 𝑐 +1 2+ 1 2 = 0 𝑐 = −1 2− 1 2 𝑐 = −2 2 𝑐 = −1 Logo 𝑖 = 1 2, 𝑓 = 1 2𝑒 𝑐 = −1

Portanto a matriz inversa (C-1_{) de C é;}

C-1 _{= [} −3 4 −1 1 −3 2 1 2 3 −5 2 1 2 ]

Sistema Linear

(Um sistema linear pode ser resolvido isolando uma das variáveis e substituindo-a nas outras equações, ou pode também ser resolvido

usando-se escalonamento). A)

– 𝑥 − 4𝑦 = 0 (I) 3𝑥 + 2𝑦 = 5 (II)

Isola-se a primeira a variável x da equação (I).

(I) – 𝑥 − 4𝑦 = 0 −𝑥 = 4𝑦 (−1) 𝑥 = −4𝑦 (III)

Após isolar o x, substitua-o na e equação (II). (II) 3𝑥 + 2𝑦 = 5 3(−4𝑦) + 2𝑦 = 5 −12𝑦 + 2𝑦 = 5 −10𝑦 = 5 −𝑦 = 5 10 (−1) 𝑦 = −1 2

Em seguida substitua o valor de y na equação (III). (III) 𝑥 = −4𝑦 𝑥 = −4 (−1 2) 𝑥 = 4 2 𝑥 = 2 Portanto 𝑥 = 2 𝑒 𝑦 = −1 2. Para

saber se os valore estão corretos, substitua-os na equação (I) e (II).

(I) – 𝑥 − 4𝑦 = 0 −2 − 4 (−1 2) = 0 −2 +4 2 = 0 −2 + 2 = 0 0 = 0 é verdadeiro (II) 3𝑥 + 2𝑦 = 5 3(2) + 2 (−1 2) = 5 6 −2 2= 5 6 − 1 = 5 5 = 5 é verdadeiro B) 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0 (I) 𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 1 (II) 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4 (III) Usaremos o método de

escalonamento para resolver esse sistema. Temos que zerar o x da equação (II), logo 𝐿2 = 𝐿1 − 𝐿2.

𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0 0 + 2𝑦 + 𝑧 = −1 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4

Agora temos que zerar o x da equação (III), logo 𝐿3 = 𝐿1 − 𝐿3.

𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0 0 + 2𝑦 + 𝑧 = −1 0 − 𝑦 − 2𝑧 = −4

Vamos zerar o –y da equação (III), logo 𝐿3 = 2(𝐿3) − 𝐿2.

𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0 (I)

0 + 2𝑦 + 𝑧 = −1 (II)

0 + 0 − 3𝑧 = −9 (III)

Obtemos um sistema triangular superior, onde a última variável (z) está isolada.

(III) −3𝑧 = −9 −𝑧 = −9 3 (−1) 𝑧 = 3 (II) 2𝑦 + 𝑧 = −1 2𝑦 + 3 = −1 2𝑦 = −1 − 3 2𝑦 = −4 𝑦 = −4 2 𝑦 = −2 (I) 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0 𝑥 − 2 − (3) = 0 𝑥 − 5 = 0 𝑥 = 5 Portanto 𝑥 = 5, 𝑦 = −2 𝑒 𝑧 = 3

Para saber se os valores estão corretos, substitua-os nas equações originais (I), (II) e (III).

(I) 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0 5 − 2 − (3) = 0 5 − 5 = 0 0 = 0 é verdadeiro (II) 𝑥 − 𝑦 − 2𝑦 = 1 5 − (−2) − 2(3) = 1 5 + 2 − 6 = 1 7 − 6 = 1 1 = 1 é verdadeiro (III) 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4 5 + 2(−2) + 3 = 0 8 − 4 = 4 4 = 4 é verdadeiro 1

1 _{Esse documento foi feito para ajudar ou tirar dúvidas sobre os respectivos assuntos}

abordados, fique a critério do leitor/estudante corrigir erros ou acrescentar mais exemplos ou assuntos.