4.1. ESPERANÇA x =, x=1

(1)

4.1 Esperan¸ca

Certamente um dos conceitos mais conhecidos na teoria das probabilidade é a esperan¸ca de uma variável aleatória, mas não com esse nome e sim com os nomes de média ou valor esperado. Durante todo este estudo consideraremos X uma variável aleatória qualquer com fun¸cão de distribui¸cão FX.

Estender o conceito de centro de massa para distribui¸cões mais gerais é poss´ıvel, embora conte com algumas sutilezas matemáticas: não é claro que o centro de massa existirá se X assumir infinitos valores, sejam estes enumeráveis ou não.

Se, por exemplo,

P (X = x) = 6 π2_x2,

para x = 1, 2,_{· · · temos que}

µ = 6 π2 ∞ ∑ x=1 1 x =∞, isto seguindo o desenvolvimento no Exemplo 4.1.

Defini¸cão 4.1. Suponha X uma variável aleatória não negativa com fun¸cão de distribui¸cão FX. A esperan¸ca, média ou valor esperado de X, denotado

por E(X), ´e deﬁnido como E(X) =

∫ _∞

0

[1− FX(x)] dx, (4.1)

quando a integral esteja bem deﬁnida.

Observemos que uma variável aleatória X é não negativa se X(w) ≥ 0, ∀w ∈ Ω. Nesta situa¸cão FX(x) = 0, para todo x < 0. Ainda observamos que

E(X) = ∫ _∞ 0 [1− FX(x)] dx = ∫ _∞ 0 P (X > x) dx· (4.2) Na Defini¸cão 4.1 com a frase quando a integral esteja bem definida que-remos dizer que a integral em (4.1) ou em (4.2) possa ser calculada, sendo o resultado finito ou não.

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Teorema 4.1. Se a variável aleatória X assume somente valores inteiros não negativos, então

E(X) = ∞ ∑ n=0 P (X > n) = ∞ ∑ n=1 P (X ≥ n)· (4.3)

Demonstra¸cão. Consideramos valores inteiros não negativos 1, 2, 3,· · · . Então P (X > n) = P (X ≥ n + 1), portanto ∞ ∑ n=0 P (X > n) = ∞ ∑ n=0 P (X ≥ n + 1) = ∞ ∑ n=1 P (X ≥ n)·

Sabemos que no caso discreto a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao pode ser escrita como Logo,

Exemplo 4.2. Dizemos que uma variável aleatória tem distribui¸cão uni-forme discreta nos primeiros N números naturais se

P (X = n) = 1

N, n = 1, 2,· · · , N·

Esta é uma situa¸cão de variável aleatória discreta positiva, então

N ∑ n=1 P (X ≥ n) = 1 + P (X ≥ 2) + P (X ≥ 3) + · · · + P (X ≥ N) = 1 + N− 1 N + N _{− 2} N +· · · + 1 N = N N + N − 1 N + N − 2 N +· · · + 1 N· Do qual obtemos que E(X) = N + 1

2 .

Vamos agora fornecer uma forma n˜ao intuitiva de calcular o valor esperado para o caso de X geral.

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Teorema 4.2. Seja X uma variável aleatória definida integrável com fun¸cão de distribui¸cão FX. Então E(X) = ∫ _∞ 0 [1_{− F}X(x)] dx− ∫ 0 −∞ FX(x) dx· (4.4)

Demonstra¸cão. Caso a variável aleatória assuma somente valores positivos, a expressão em (4.4) coincide com a expressão em (4.1) da defini¸cão de es-peran¸ca de X.

Vejamos como calcular a integral em (4.4).

Teorema 4.3 (Cálculo da esperan¸ca no caso discreto). Seja X uma variável aleatória discreta assumindo valores x1, x2,· · · com probabilidades p1, p2,· · · .

Ent˜ao a esperan¸ca de X calcula-se como E(X) = ∞ ∑ i=1 xiP (X = xi) = ∞ ∑ i=1 xipi, (4.5)

quando a s´erie ´e convergente.

Demonstra¸cão. Sabemos que no caso discreto a fun¸cão de distribui¸cão pode ser escrita como

FX(x) = ∞

∑

i=1

piδ(x− xi)·

Este valor está bem definido quando a soma não depende da ordem dos termos, em particular quando a série converge absolutamente, isto é, quando ∑_∞

i=1|xi|P (X = xi) <∞.

Exemplo 4.3 (Cálculo da esperan¸ca no caso absolutamente cont´ınuo). Seja X uma variável aleatória absolutamente cont´ınua, isto é, X tem fun¸cão de

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E(X) = ∫ _∞

−∞

xfX(x) dx, (4.6)

quando a integral ´e ﬁnita.

Teorema 4.4. Seja X uma variável aleatória definida no espa¸co de probabi-lidade (Ω,_{F, P ). Suponhamos que o momento de X de ordem t exite. Então} existem os momentos de X de ordem 0 < s < t.

Demonstra¸cão. Seja X uma variável cont´ınua com fun¸cão de densidade f (x). Temos então E(|X|s_{) =} ∫ {w∈Ω:|x|s_≥1}|x|f(x) dx + ∫ {w∈Ω:|x|s_>1_}|x|f(x) dx ≤ P (|X|s _{≤ 1) + E(|X|}t_{) <}_∞·

Demonstra¸c˜ao similar pode ser realizada no caso de X discreta.

4.1.1 Propriedades da esperan¸ca

Teorema 4.5. Seja X uma variável aleatória integrável que satisfaz P (X _≥ 0) = 1. Então E(X)≥ 0.

Demonstra¸c˜ao. Exerc´ıcio.

Teorema 4.6. Seja X uma variável aleatória. Se X = c, ou seja, X(ω) = c, para todo ω∈ Ω. Então E(X) = c.

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Esta propriedade pode ser traduzida de várias maneiras. Uma é que a esperan¸ca de uma constante é ela própria ou que a esperan¸ca de uma variável determin´ıstica (degenerada) é ela própria.

Teorema 4.7. Sejam X e Y duas variáveis aleatórias. Se X _{≤ Y então} E(X)≤ E(Y ).

Demonstra¸cão. Para esta propriedade ser válida basta que as esperan¸cas estejam bem definidas e, com isto, queremos dizer que alguma das esperan¸cas seja finita, ou E(X) =_{−∞ ou E(Y ) = +∞. Se Y ≤ z então X ≤ z, logo}

{ω ∈ Ω : Y (ω) ≤ z} ⊆ {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ z}·

Portanto, FY(z) ≤ FX(z) e 1− FY(z) ≥ 1 − FX(z). Pela propriedade em

(4.4), E(Y ) = ∫ _∞ 0 [1_{− F}Y(z)] dz − ∫ 0 −∞ FY(z) dz ≥ ∫ _∞ 0 [1_{− F}X(z)] dz − ∫ 0 −∞ FX(z) dz = E(X)·

Exemplo 4.4. Sejam X ∼ U(0, 1) e Y = min(X, 1/2), logo Y ≤ X. Ent˜ao

E(Y ) = ∫ y dFY(y) = ∫ 1/2 0 y.1 dy + ∫ 1 1/2 1 2P{Y = 1/2} dy = 1 8+ 1 2P{X ≥ 1/2} = 1 8+ 1 4 = 3 8 < 1 2 = E(X)·

Teorema 4.8. Se E(X) = 0 e P (X ≥ 0) = 1 ent˜ao P (X = 0) = 1.

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A moda é outra caracter´ıstica numérica das variáveis aleatórias e define-se unicamente para distribui¸cões discretas ou absolutamente cont´ınuas da seguinte forma.

Defini¸cão 4.2 (Moda). A moda de una variável aleatória ou de sua distri-bui¸cão, discreta o absolutamente cont´ınua, é aquele ponto onde a fun¸cão de densidade tem um máximo local.

Por exemplo, se X é una variável aleatória discreta com valores x1 <

x2 < . . . com probabilidades respectivas p1, p2, . . . ent˜ao X tem uma moda

no ponto xk se pk−1 ≤ pk≥ pk+1. ´E evidente que podem existir v´arias modas

para uma mesma variável aleatória. Quando a moda é única se dize que a distribu¸cão é unimodal, e quando há várias modas se dize que é multimodal.

(7)

4.2 Variˆ

ancia

Um valor central é importante porém, pouco informa se não consideramos alguma medida de quão dispersos estiverem os valores da variável ao redor dele. A utilidade do valor esperado, como uma previsão para o resultado de um experimento, é maior quando o resultado não é provável que se afaste demasiado do valor esperado. Nesta se¸cão, vamos introduzir uma medida deste desvio, chamado variância. Então, a variância de uma variável aleatória é uma medida do grau de dispersão dos diferentes valores assumidos pela variável. Sua defini¸cão é a seguinte.

Se E(Xn_{) existe para algum inteiro positivo n, chamaremos E(X}n_{) o}

n-´esimo momento de X na origem. Se E_|Xα_{| < ∞ para algum n´umero real}

positivo α, o α-´esimo momento absoluto de X ser´a calculado como E_|X|α_.

Utilizaremos a seguinte nota¸c˜ao

mn= E(Xn)

e

βα = E(|X|α)·

Defini¸cão 4.3. Sejam k um número inteiro positivo e c uma constante. Se a esperan¸ca E(X−c)k_{existe o chamaremos de momento de ordem k no ponto c.}

Escolhendo c = E(X) = µ, o qual existe dado que E|X|k _<_{∞, chamaremos}

E(X_−µ)k _{o momento central do ordem k ou momento de ordem k na m´edia.}

Escrevemos

µk= E(X − µ)k· (4.7)

Se conhecermos os coeﬁcientes m1,· · · , mk podemos calcular µ1,· · · , µk

e reciprocamente. Temos que µk = E(X− µ)k = mk− ( k 1 ) µmk−1+ ( k 2 ) µ2mk−2− · · · + (−1)kµk e mk = E(X− µ + µ)k= µk+ ( k 1 ) µµ_k−1+ ( k 2 ) µ2_µ k−2+ µk

(8)

Defini¸cão 4.4 (Variância). A variância de uma variável aleatória X, deno-tada por Var(X), define-se como a esperan¸ca a seguir, caso exista,

Var(X) = E_{{[X − E(X)}2]_}· (4.8)

Observemos que se E(X2_{) existe, a variˆancia ´e momento de ordem 2 na}

m´edia.

Quando X é discreta com fun¸cão de probabilidade P (X) e esperan¸ca finita µ a variância de X, quando existe, se calcula como

Var(X) =∑

x

(x_{− µ)}2P (X = x)_·

Se X é absolutamente cont´ınua com fun¸cão de densidade f (x) e esperan¸ca finita µ, então a variância de X, quando existe, é calculada como

Var(X) = ∫ _∞

−∞

(x− µ)2_{f (x) dx}_·

Observemos que, para qualquer variável aleatória X, temos que Var_{{X} ≥ 0.} A variância denota-se regularmente pelo s´ımbolo σ2_{. `}_{A raiz quadrada positiva}

de Var(X) se le conhece como desvio padrão e se denota por σ. Novamente há situa¸cões nas quais a variância não é finita, e nestas situa¸cões se disse que a variável aleatória não tem variância. Observe que para calcular a variância é necessário conhecer primeiro a esperan¸ca. Uma observa¸cão também é que, em geral, Var(X + Y )_{̸= Var(X) + Var(Y ). Para ver isto, podemos escolher} Y = X, com Var(X)̸= 0 e verificamos a não igualdade.

Teorema 4.9. Seja X uma variável aleatória tal que E(X2_{) seja finita.}

Ent˜ao

Var(X) = E(X2)_{− E}2(X)_·

Demonstra¸c˜ao. Observemos que

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Exemplo 4.5. Seja X uma variável aleatória com fun¸cão de probabilidade Bernoulli(θ). Encontremos Var(X). Sabemos que E(X) = θ, então devemos calcular E(X2_).

E(X2) = 02P (X = 0) + 12P (X = 1) = θ, logo E(X2_{) = θ e, portanto, Var(X) = θ}_{− θ}2 _{= θ(1}_{− θ).}

4.2.1 Propriedades da variˆ

ancia

Teorema 4.10. Seja X uma variável aleatória constante, isto é, X = c sendo c uma constante real qualquer. Então Var(X) = 0.

Demonstra¸c˜ao. Sabemos que E(X) = c, ent˜ao

Var(X) = E[(X _{− c)}2] = E(0) = 0_·

Teorema 4.11. Seja X uma variável aleatória qualquer. Então, para todo a, b∈ R, temos que Var(X + b) = Var(X) e Var(aX + b) = a2_Var(X).

Demonstra¸c˜ao. Sabemos que E(aX + b) = a E(X) + b, ent˜ao

Var(aX + b) = E[aX + b− a E(X) − b]2 _{= E}_{a2_[X _{− E(X)]}2_}

= a2_Var(X)_·

Exemplo 4.6. Assumiremos que E|X|2 _<_{∞ e deﬁnamos}

Z = X√− E(X) Var(X) =

X_{− µ} σ ·

Percebemos então que E(Z) = 0 e Var(Z) = 1. Chamaremos Z de variável aleatória padronizada.

(10)

Teorema 4.12. Seja X uma variável aleatória qualquer. Então Var(X)≤ E(X− c)2_{, para qualquer c}_{̸= E(X).}

Demonstra¸c˜ao. Temos que