Cálculo ADS Notas de aula

(1)

C´

alculo Diferencial e Integral

Notas de Aula

Luciano O. Condori

1

S˜ao Paulo, 24 de fevereiro de 2013.

1

(2)

Luciano O. Condori

Pref´

acio

Este texto corresponde às notas de aula da disciplina Cálculo Diferencial e Integral . Ele não é completo e pode conter erros. Será feito um esfor¸co para disponibiliza¸cão de notas de aula durante todo o semestre. No entanto, recomenda-se que as mesmas sejam complementadas com a leitura das referências indicadas, bem como através da solu¸cão de exerc´ıcios. Fazemos notar que estas notas estão ainda sendo trabalhadas e alguns cap´ıtulos e se¸cões podem vir a ser alterados, corrigidos ou acrescidos de material. Além disso, novos cap´ıtulos serão escritos.

Corre¸cões e sugestões são bem-vindas!. O autor agradece a todos os que apresentarem sugestões e corre¸cões.

Luciano O. Condori 24 de fevereiro de 2013

(3)

´

_Indice

1 Conjuntos num´ericos 1

1.1 O corpo ordenado completoR. . . 2

1.2 Divisibilidade emZ. . . 3

1.2.1 N´umeros primos . . . 3

1.2.2 M´aximo Divisor Comum . . . 3

1.2.3 M´ınimo Multiplo Comum . . . 4

1.3 Transforma¸cão de fra¸cões em números decimais . . . 4

1.4 Transforma¸cão de números decimais em fra¸cões . . . 4

1.5 Opera¸c˜oes com fra¸c˜oes . . . 5

1.5.1 Igualdade de fra¸c˜oes . . . 5

1.5.2 Adi¸c˜ao e subtra¸c˜ao . . . 5

1.5.3 Multiplica¸c˜ao . . . 5

1.5.4 Divis˜ao . . . 6

1.6 Cálculo do valor de expressões numéricas . . . 6

1.7 Potencia¸c˜ao . . . 6

1.7.1 Potˆencia com expoente inteiro . . . 6

1.7.2 Potˆencia com expoente racional . . . 7

1.8 Express˜oes Alg´ebricas . . . 7

1.8.1 Valor numérico de expressões algébricas . . . 8

1.8.2 Algumas classes de express˜oes alg´ebricas . . . 8

1.8.3 Opera¸cões com expressões algébricas . . . 9

1.9 Produtos not´aveis . . . 10

1.10 Fatora¸c˜ao . . . 10

1.11 Simplifica¸c˜ao . . . 11

(4)

Cap´ıtulo 1

Conjuntos num´

ericos

Os primeiros números conhecidos pela humanidade são os chamados números naturais, denotado porN, usado para indicar uma contagem ou uma ordem. Assim, N ={0,1,2,3,4,· · ·} e N∗ ={1,2,3,4,· · ·} indica o conjunto dos números naturais sem o zero.

No conjunto dos n´umeros naturais introduzimos duas opera¸c˜oes fechadas

adi¸c˜ao + : N_×N_→N e multiplica¸c˜ao ·: N_×N_→N

(x, y)7−→x+y (x, y)7−→x·y

satisfazendo os seguintes axiomas:

A1. Associatividade: (x+y) +z=x+ (y+z),∀x, y∈N

A2. Comutatividade: x+y=y+x,∀x, y∈N

A3. Elemento neutro: existe 0 emN(denominado “zero”), tal quex+ 0 =x,∀x∈N

M1. Associatividade: (x·y)·z=x·(y·z),∀x, y, z∈N

M2. Comutatividade: x·y=y·x,∀x, y∈N

M3. Elemento neutro: existe 1∈N(denominado ”um”), tal que 1·x=x,∀x∈N

D. Axioma da Distributividade: x·(y+z) =x·y+x·z,∀x, y, z∈N

Asubtra¸cãode números naturais “minuendo - subtraendo= diferen¸ca”, nem sempre é poss´ıvel em

N. Quando o subtraendo é maior que o minuendo, não temos solu¸cão no conjunto dos números Naturais.

Adivis˜ao exataq(quociente) de dois n´umeros NaturaisD(Dividendo) ed(divisor), denotado por

D

d =q, é uma opera¸cão inversa à da multiplica¸cão, permite encontrar o quociente desconhecidoqtal que

D=dq.

A divisão de números naturais nem sempre é exata tendo um restor, neste caso temos o algoritmo da divisãoD=dq+r.

A potencia¸c˜ao an _{de dois n´}_{umeros naturais} _a _{(base e n˜}_{ao zero) e} _n _{(expoente) ´e um produto}

abreviado denfatores iguais `a a, assiman₌_a

·a·a· · ·a·a

| {z }

n₋vezes

.

Aradicia¸cãoé o processo inverso da potencia¸cão pelo qual dado dois números naturaisn(´ındice) e

a(radicando) devemos determinar um numero naturalb(raiz en´esima) tal quebn₌_a_{. Representamos a}

opera¸cão de radicia¸cão da forma √na=b. Em geral, √nanão pertence ao conjunto dos números naturais.

Além dos números naturais, existem certos conjuntos numéricos que devido às propriedades das opera¸cões entre seus elementos, recebem nomes especiais, dentre estes temos:

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Cap´ıtulo1. Conjuntos num´ericos 1.1 O corpo ordenado completoR Luciano O. Condori

• O conjunto dos n´umeros inteirosZ={0,±1,±2,±3,±4,· · ·}. • O conjunto dos n´umeros racionais Q={a

b/a, b∈Z, b6= 0}.

S˜ao exemplos de n´umeros racionais−3 5,−

9 2,+

8

3,(0,666...),(1,333...).

• O conjunto dos números irracionais I é formado por números que não podem ser representados por uma fra¸cão do tipo a

b ∈ Q com b 6= 0, tais como

√

2 = 1,41421356..., √5 = 2,23606797...,

π= 3,14159265...ee= 2,71828182....

• O conjunto dos n´umeros reaisR=Q_∪I. Observamos queN_⊂Z_⊂Q_⊂ReI_⊂R.

A seguir apresentaremos os axiomas, defini¸c˜oes e propriedades referentes ao conjunto dos n´umeros reais.

1.1 O corpo ordenado completo

R

No conjunto dos n´umeros reais introduzimos duas opera¸c˜oes fechadas

adi¸c˜ao + : R_×R_→R e multiplica¸c˜ao ·: R_×R_→R

(x, y)7−→x+y (x, y)7−→x·y

satisfazendo os seguintes axiomas:

A1. Associatividade: (x+y) +z=x+ (y+z),∀x, y ∈R

A2. Comutatividade: x+y=y+x,∀x, y∈R

A3. Elemento neutro: existe 0 emR(denominado “zero”), tal que x+ 0 =x,∀x∈R

A4. Sim´etrico: para cada elementox∈Rexiste−x∈R(oposto), tal quex+ (−x) = 0,∀x∈R

M1. Associatividade: (x·y)·z=x·(y·z),∀x, y, z∈R

M2. Comutatividade: x·y=y·x,∀x, y∈R

M3. Elemento neutro: existe 1∈R(denominado ”um”), tal que 1·x=x,∀x∈R

M4. Inverso multiplicativo: para cadax∈Rcomx6= 0, existe um inversox−1_∈_R_{tal que}_x_·_x−1_{= 1.}

Observamos quex−1 _ser´_{a denotado por} 1 x.

D. Axioma da Distributividade: x·(y+z) =x·y+x·z,∀x, y, z∈R

Exemplo 1.1.1 4₅(2−0,5) = 0,8·1,5 = 1,2 ou efetuar 4₅(2−0,5) = 4₅(2−12) = 4 5 ·

3 2 =

12

10 = 1,2.

Retomaremos as opera¸c˜oes com fra¸c˜oes mais adiante.

Defini¸c˜oes 1.1.2 usando os axiomas anteriores podemos definir:

• Subtra¸cão: sejama, b∈R, a diferen¸ca entreaeb, denotada pora−b, é definida pora−b=a+(−b) • Divisão: sejam a, b ∈R com b 6= 0, o quociente da divisão de a porb, é definido por a

b =a· 1 b.

Observamos que fra¸c˜ao a

b denotaa÷b.

• Distributividade da divis˜ao: sejam x, y, z∈Rcomz6= 0. Ent˜ao,(x±y)÷z=x÷z±y÷z

Ou,

(x±y)

z = x z ±

(6)

Cap´ıtulo1. Conjuntos num´ericos 1.2 Divisibilidade emZ Luciano O. Condori

Proposi¸c˜ao 1.1.3 vejamos alguma propriedades dos n´umeros reais:

• Regra da balan¸ca: sejama, b, c∈Rcoma=b, ent˜aoa+c=b+ce a·c=b·c

• Regras para o cancelamento: se a+b=c ent˜ao a=c−b

Analogamente, se a·b=c comb6= 0, ent˜ao a=c· 1 b

• Regra do fator nulo: a·0 = 0·a= 0,∀a∈R

• Regra do produto nulo: a·b= 0, ent˜ao oua= 0 oub= 0 • Regras de sinal: sejama, b∈R, ent˜ao

−(−a) =a −a b =

a

−b =− a b

(−a)b=−(ab) =a(−b)

(−a)(−b) =ab −a

−b = a b

1.2 Divisibilidade em

Z

Defini¸c˜ao 1.2.1 Um inteirob divide um inteiro a, denotado por b|a, quando existe um n´umero inteiro

m tal quea=b·m. Se b6= 0 (e somente neste caso), dizemos tamb´em quea´e divis´ıvel porb.

Quandob|adizemos também que aé um múltiplo de b ou quebé um divisor dea. No caso em que

b n˜ao dividea escrevemosb6 |a.

Teorema 1.2.2 (Teorema do algoritmo da divisão em Z): se a e b são inteiros, e b 6= 0, então existem inteiros q er tais quea=bq+r com0 ≤r <|b|. Os inteiros q e r, nas condi¸cões acima, são ´

unicos. Os inteirosqer s˜ao chamados, respectivamente, de quociente e resto da divis˜ao euclidiana dea

porb.

1.2.1 N´

umeros primos

Um número inteirop∈Zé um número primo se, e somente se,

p6= 0, p6= 1, p6=−1 ep=ab implica quea=±1 oub=±1 Exemplos de n´umeros primos temos: 2, 3, 5, 7, 11, etc.

1.2.2 M´

aximo Divisor Comum

Sejama, becnúmeros inteiros não nulos, dizemos que cé um divisor comum deaeb se,c|aec|b. Denotando-se D(a, b) como sendo o conjunto de todos os divisores comum de a e b, denomina-se Máximo Divisor Comum deaeb, denotado pormdc(a, b) ao seguinte conjunto:

mdc(a, b) = max{c/c∈D(a, b)} Exemplo 1.2.3 calcular o MDC dos n´umeros 12 e 18.

Inicialmente decompomos estes n´umeros em seus fatores primos: 12 = 22_·₃1 _e_{18 = 2}1_·₃2_.

Assim, os divisores de 12 e 18:

D(12) ={1,2,3,4,6,12} D(18) ={1,2,3,6,9,18}

Agora, podemos exibir o conjunto dos divisores D(12,18) ={1,2,3,6}, assim,

mdc(12,18) = max{c/c∈D(12,18)}= max{2,3,6}= 6

(7)

Cap´ıtulo1. Conjuntos numéricos 1.3 Transforma¸cão de fra¸cões em números decimais Luciano O. Condori

Outra forma, seria pegar o produto dos fatores em com´um de 12 e 18 com menor expoente:

mdc(12,18) = 21·31 Ou ainda, usando fatores primos omdc(12,18)seria:

12 , 18 2

6 9 3

2 3

1.2.3 M´ınimo Multiplo Comum

Sejam a, bec números inteiros não nulos, dizemos quecé um múltiplo comum deaebse,a|ceb|c. Denotando-seM(a, b) como o conjunto de todos os múltiplos comuns positivos deaeb, denomina-se M´ınimo Múltiplo Comum deaeb, denotado por

mmc(a, b) = min{c/c∈M(a, b)} Exemplo 1.2.4 calcular o MMC dos n´umeros 12 e 18.

Inicialmente decompomos estes n´umeros em seus fatores primos: 12 = 22·31 e18 = 21·32. Assim, os m´ultiplos de 12 e 18:

M(12) ={12,24,36,48,60,72,84,· · ·} M(18) ={18,36,54,72,90,108,· · ·} Agora, podemos exibir o conjunto dos multiplos M(12,18) ={36,72,· · ·}, e portanto

mmc(12,18) = min{c/c∈M(12,18)}= min{36,72,· · ·}= 36

Outra forma, seria pegar o produto dos fatores em com´um de 12 e 18 com maior expoente:

mdc(12,18) = 22·32 Ou ainda, usando fatores primos ommc(12,18)seria:

12 , 18 2

6 9 2

3 3 3

1 1 3

Observa¸c˜ao 1.2.5 Se a, b∈Nent˜ao ab=mmc(a, b)mdc(a, b).

1.3 Transforma¸

c˜

ao de fra¸

c˜

oes em n´

umeros decimais

Dividindo, de modo usual, o numerador pelo denominador, transformar cada uma das fra¸cões seguintes em números decimais. Caso a divisão não seja exata, prosseguir até a quarta casa decimal.

1) 4₅ = 0,8 2) ₂₀1 = 0,05 3) 8₃ = 2,6666 4) 1₃= 0,3333 5) 23₄₄ = 0,5227 6) 10

13 = 0,7692 7) 16

43 = 0,3720 8) 15

35 = 0,4285 9) 140

154= 0,9090 10) 29 145= 0,2

1.4 Transforma¸

c˜

ao de n´

umeros decimais em fra¸

c˜

oes

Seja x= 0, QP um número decimal onde P denota a parte per´ıodica eQ a parte não per´ıodica de x. Denotaremos por |P| e|Q|o número de d´ıgitos de cada parte.

(8)

Cap´ıtulo1. Conjuntos numéricos 1.5 Opera¸cões com fra¸cões Luciano O. Condori

Regra 1. sex= 0, P ent˜aox= P 9· · ·9 | {z } |P|−vezes

.

Exemplo 1.4.1 0,525252...= 0,52 =52₉₉. Regra 2. sex= 0, QP ent˜ao

x= ₉_{· · ·}QP₉−Q | {z }0| {z }· · ·0

|P| −vezes

7 7 ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣

|Q| −vezes

g

◆◆_◆◆ ◆◆

◆◆_◆

Exemplo 1.4.2 0,32444...= 0,324 = 324−32

900 =

292 900 =

73 225.

1.5 Opera¸

c˜

oes com fra¸

c˜

oes

1.5.1 Igualdade de fra¸

c˜

oes

Sejama, b, c, d∈Zcomb6= 0 ed6= 0. Ent˜ao

a b =

c

d ⇔ad=bc

Observa¸c˜ao 1.5.1 Seb6= 0 ec6= 0 ent˜ao a b =

ac bc e

a b =

a÷c b÷c.

Exemplo 1.5.2 temos que 4₅ =12₁₅ pois4·15 = 5·12

1.5.2 Adi¸

c˜

ao e subtra¸

c˜

ao

Para somar ou subtrair fra¸c˜oes, usamos o menor m´ultiplo comum(MMC).

Exemplo 1.5.3 Efetuar 1₂+3₅ −61. Neste caso,mmc(2,5,6) = 30, assim:

1 2 + 3 5− 1 6 =

15 + 18−5

30 =

14 15

1.5.3 Multiplica¸

c˜

ao

Sejam a b e

c

d duas fra¸c˜oes. Ent˜ao

a b × c d = ac bd

Regras de sinal: sejama, b∈R, ent˜ao

−(−a) =a

(−a)b=−(ab) =a(−b) (−a)(−b) =ab

Exemplo 1.5.4 Efetuar 3 4×

2

6. Neste caso, temos:

3 4 × 2 5 = 6 20= 3 10

(9)

Cap´ıtulo1. Conjuntos numéricos 1.6 Cálculo do valor de expressões numéricas Luciano O. Condori

1.5.4 Divis˜

ao

Sejam a b e

c

d duas fra¸c˜oes. Ent˜ao

a b ÷ c d= a b c d =a b × d c = ad bc

Regras de sinal: sejama, b∈R, ent˜ao −a

b = a

−b =− a b

−a

−b = a b

Exemplo 1.5.5 Efetuar 1 2÷

3

4. Neste caso, temos:

1 2 ÷ 3 4 = 1 2 3 4 = 1 2 × 4 3 = 4 6 = 2 3

1.6 C´

alculo do valor de express˜

oes num´

ericas

Para calcularmos corretamente o valor de expressões numéricas, basta obedecer atentamente à prioridade dos sinais indicativos de prioridades (parênteses, colchetes e chaves) e das opera¸cões matemáticas.

Prioridades dos Sinais Prioridades das Opera¸cões 1. ( ) Eponencia¸cão e logaritma¸cão 2. [ ] Potenci¸cão e radica¸cão 3. { } Multiplica¸cão e Divisão 4. Adi¸cão e Subtra¸cão

Exemplo 1.6.1 Calcular o valor da expressão2 +{5[3−(5−10) + 1] + 4} −3. Resolu¸cão: Seguindo as prioridades dos sinais e opera¸cões temos:

2 +{5[3−(5−10) + 1] + 4} −3 = 2 +{5[3−(−5) + 1] + 4} −3 = 2 +{5[3 + 5 + 1] + 4} −3 = 2 +{5[9] + 4} −3

= 2 +{45 + 4} −3 = 2 + 49−3 = 48

1.7 Potencia¸

c˜

ao

1.7.1 Potˆ

encia com expoente inteiro

Sejaa∈Rem, n∈Zcomm >0 en >0. Ent˜ao: • an₌_a

·a· · · ·a·a

| {z }

n₋vezes

• a0_{= 1}_{, a}₆_{= 0}

• a−n₌ 1 an, a6= 0

(10)

Cap´ıtulo1. Conjuntos numéricos 1.8 Expressões Algébricas Luciano O. Condori

• an

am =a

n−m_{, a}₆_{= 0}

• (an₎m₌_anm

• (ab)n ₌_an_bn

• (a b)

n₌ an

bn, b6= 0

• (−1)n₌

1 se n ´e par −1 se n ´e impar

Exemplo 1.7.1 Calcular o valor da seguinte express˜ao2−3_{+ (}₋₄₎−5_.

Resolu¸c˜ao: Usando as propriedades da potencia¸c˜ao temos:

2−3_{+ (}₋₄₎−5 ₌ 1 23 +

1 (−4)5 =

1 8+

1 [(−1)4]5 =

1 8+

1 (−1)5₄5 =

1 8+

1

−45 =

1 8+

1

−1024 = 1 8−

1 1024 =

128−1 1024 =

127 1024

= 0,1240

1.7.2 Potˆ

encia com expoente racional

Sejaa∈Ren∈Zcoma >0 en >0. Ent˜ao, √n

a=b⇔bn₌_a_.

• Sea >0 en >0 um inteiro impar. Ent˜ao, √n

−a=−√n

a. • Sea >0 em, n >0 inteiros. Ent˜ao, √n

am₌_am n.

• √n

ab= √n

a√n

b. • pn a

b = n √_a n √ b.

• (√n

a)m₌ √n

am_.

• mp√n

a= mn√

a.

Observa¸c˜ao 1.7.2 Sen for par ea <0, a express˜ao √n

an˜ao representa um n´umero real. Por exemplo √−46∈Re √4

−166∈R.

Exemplo 1.7.3 Calcular o valor da seguinte express˜ao(−27)−2 3.

Resolu¸c˜ao: Usando as propriedades da potencia¸c˜ao temos:

(−27)−23 = 1

(−27)23

= 1

(√3

−27)2 =

1 (−3)2 =

1 9

1.8 Express˜

oes Alg´

ebricas

Expressão algébrica é uma expressão matemática composta por números, letras, opera¸cões e poss´ıvelmente sinais indicativos de prioridade.

Exemplo 1.8.1 considere a seguinte express˜ao alg´ebrica x7_y2_{+ 5}_xy3₊_x₋₂_y₊_xy₋₁₀

(11)

1.8.1 Valor num´

erico de express˜

oes alg´

ebricas

Calcular o valor numérico de uma expressão algébrica consiste em substituir o valor da variávelx pelo valor solicitado na questão e efetuar as opera¸cões indicadas.

Para evitar confu¸cão entre opera¸cões, recomendamos que a substitui¸cão de xpelo valor numérico seja feita entre parênteses.

Exemplos 1.8.2 valor num´erico de express˜oes algebricas:

1. calcular o valor de f(x) = 3x+ 1 parax=−2 Resolu¸c˜ao: f(−2) = 3(−2) + 1 =−6 + 1 =−5. 2. calcular o valor de f(x) =x2

−1

x+1 parax= 3.

Resolu¸c˜ao: f(3) = (3)₍₃₎₊₁2−1 = 9−1

4 =

8 4 = 2

1.8.2 Algumas classes de express˜

oes alg´

ebricas

1. Monômio: é uma expressão algébrica que não contém opera¸cões de adi¸cão e nem subtra¸cão.

−25ax2yz

| {z }

Coeficiente

8

q q q q q q q q q q q

Parte Literal

g

◆◆ ◆◆_◆◆

◆◆ ◆◆_◆

Exemplo 1.8.3 temos os seguintes monˆomios: x2_,₅_x,₋_x2_y,₁₀_.

(a) Monˆomios semelhantes: s˜ao os que possuem exatamente a mesma parte literal.

Exemplo 1.8.4 s˜ao exemplos de monˆomios semelhantes: 3a2_x_e₅_a2_x_,₂_a2_b2_c _e₉_a2_b2_c_.

(b) Soma e/ou subtra¸cão de monômios semelhantes: efetua-se a soma e/ou diferen¸ca dos coeficientes seguido da parte literal do binômio.

Exemplo 1.8.5 efetuar as seguintes opera¸c˜oes de binˆomios: 1. 5a2_b2_c_{+ 7}_a2_b2_c_{= 12}_a2_b2_c

2. 5a2_b2_c₋₇_a2_b2_c₌₋₂_a2_b2_c

2. Binômio: é uma soma ou diferen¸ca de dois monômios.

Exemplo 1.8.6 temos os seguintes Binˆomios: x2₋₅_{x, y}₋₉_{x, q}₋₂_.

3. Trinômio: é uma soma ou diferen¸ca de três monômios.

Exemplo 1.8.7 temos os seguintes Trinˆomios: x2−5x+ 10,−x3

3 −9x−5, p+q−2.

4. Polinômio: é uma soma ou diferen¸ca de mais que três monômios.

Exemplo 1.8.8 temos os seguintes Polinˆomios:

x4−x3+x2−5x+ 10, x7−4x5−x

3

3 −9x−5, x

2_y_{+ 3}_xy

(12)

1.8.3 Opera¸

c˜

oes com express˜

oes alg´

ebricas

Levaremos em conta as seguintes observa¸c˜oes:

1. Toda subtra¸c˜ao ´e uma soma:

a−b=a+ (−b) Trocamos o sinal da express˜aobpara efetuar a soma coma. 2. Somar os binˆomios semelhantes (as familias).

3. Para multiplicar expressões algébricas, devemos multiplicar cada monômio da primeira expressão por cada monômio da segunda expressão.

4. Para dividirmos expressões algébricas, devemos colocá-las na forma de fra¸cão e simplificar a ex-pressão obtida.

Exemplo 1.8.9 efetuar a seguinte opera¸c˜ao (x5₋₃_x2_{+ 2)}₋₍₄_x5₊_x3₋₄_x2_{+ 2)}_.

Resolu¸c˜ao: usando as opera¸c˜oes por familias temos:

+1x5 ₋₃_x2 ₊₂

+ −4x5₋_x3 ₊₄_x2 ₋₂

−3x5₋_x3 ₊_x2

Exemplo 1.8.10 efetuar a seguinte opera¸cão(4a+b)(9a−7b+ 2). Resolu¸cão: usando as opera¸cões por familias temos:

9a −7b +2 × 4a +b

36a2 ₋₂₈_ab ₊₈_a

+9ab −7b2 ₊₂_b

36a2 ₋₁₉_ab ₊₈_a ₋₇_b2 ₊₂_b

Exemplo 1.8.11 efetuar a seguinte opera¸c˜ao(5x3_{+ 4}₋₃_x₎_÷₍_x2₋_x_{+ 1)}_.

Resolu¸c˜ao: usamos o mesmo raciocinio feito entre n´umeros: 5x3_{+ 0}_x2₋₃_x_{+ 4} _x2₋_x_{+ 1}

−5x3_{+ 5}_x2₋₅_x ₅_x_{+ 5}

5x2₋₈_x_{+ 4}

−5x2_{+ 5}_x₋₅

−3x−1 Assim,

(5x3−3x+ 4) = (x2−x+ 1)(5x+ 5) + (−3x−1) Ou,

5x3_{+ 4}₋₃_x

x2₋_x_{+ 1} = 5x+ 5 +

(−3x−1)

x2₋_x_{+ 1}

Exemplos 1.8.12 Efetue as seguintes opera¸c˜oes:

1. (5x−3x2_{) + (4}₋₅_x₎₋₍₆_x2₋₄_x₋_{5) + (4}₋₄_x₎

(13)

Cap´ıtulo1. Conjuntos num´ericos 1.9 Produtos not´aveis Luciano O. Condori

2. (3x2₋₄_x_{+ 5)(}_x2₋₆_x_{+ 4)}

3. (3x−6y)(x2₋_y2₎

4. (8x4_{+ 16}_x₋₂₁₋₂_x3₋_x2₎_÷₍₂_x2₋_{3 +}_x₎

5. (x3₋₁₎_÷₍_x₋₁₎

6. (x3_{+ 1)}_÷₍_x_{+ 1)}

1.9 Produtos not´

aveis

Alguns produtos s˜ao dignos de memoriza¸c˜ao. Temos as seguintes identidades:

1. (x±a)2₌_x2_±₂_xa₊_a2

2. (x±a)3₌_x3_±₃_x2_a_{+ 3}_xa2_±_a3

3. (x+a)(x−a) =x2₋_a2

Observa¸c˜ao 1.9.1 Se a6= 0ent˜ao(x+a)n ₆₌_xn₊_an_{, para}_{n >}₁_.

Exemplos 1.9.2 Desenvolver os produtos indicados:

1. (5x+ 3)2_{= (5}_x₎2_{+ 2(5}_x_{)(3) + 3}2_{= 25}_x2_{+ 30}_x_{+ 9}

2. (2x−5)2_{= (2}_x₎2₋₂₍₂_x_{)(5) + (5)}2_{= 4}_x2₋₂₀_x_{+ 25}

3. (3x−1)(3x+ 1) = (3x)2₋₍₁₎2_{= 9}_x2₋₁

4. (x−2)3

5. (4x2_{+ 5)}2

1.10 Fatora¸

c˜

ao

Uma expressão matemática está fatorada quando está escrita na forma de uma multiplica¸cão.

Exemplo 1.10.1 são exemplos de fatora¸cão: 2x,4x2y, x(2 +y)e (3x+ 2)(2y+ 5). Temos os seguintes casos de fatora¸cão:

Caso 1. Evidência: consiste em colocar em evidência os fatores comuns com menor expoênte em todas as parcelas da parte literal dos monômios e é tirado o MDC dos coeficiêntes numéricos.

Exemplo 1.10.2 fatorar a express˜ao: 6x2_y_{+ 12}_x3_y2₋₃_x2_y2

Resolu¸cão: o mdc(6,12,3) = 3 as partes literais comuns são x2y, assim o fator comum é 3x2y. Consequêntemente, temos

6x2y+ 12x3y2−3x2y2= 3x2y(2 + 4xy−y) Caso 2. a2_{+ 2}_ab₊_b2_{= (}_a₊_b₎2_.

Exemplo 1.10.3 fatorar a express˜ao: x2_{+ 6}_xy_{+ 9}

(14)

Cap´ıtulo1. Conjuntos num´ericos 1.11 Simplifica¸c˜ao Luciano O. Condori

Fatorar a express˜ao: x2 ₊₆_xy ₊₉

↓ ↓

Observe que (x)2 ₍₃₎2 _e ₂₍_x_{)(3) = 6}_x

Ent˜ao, x2_{+ 6}_xy_{+ 9 = (}_x_{+ 3)}2

Caso 3. a2₋₂_ab₊_b2_{= (}_a₋_b₎2_.

Exemplo 1.10.4 fatorar a express˜ao: 9x2₋₆_xy₊_y2

Resolu¸cão: Devemos identificara,b e2ab da fórmula. Fatorar a expressão: 9x2 ₋₆_xy ₊_y2

↓ ↓

Observe que (3x)2 ₍_y₎2 _e ₂₍₃_x₎₍_y_{) = 6}_xy

Ent˜ao, 9x2₋₆_xy₊_y2_{= (3}_x₋_y₎2

Caso 4. a2₋_b2_{= (}_a₊_b₎₍_a₋_b_).

Exemplo 1.10.5 fatorar a express˜ao: 4x2₋₉_y2

Resolu¸cão: Devemos identificaraeb da fórmula. Fatorar a expressão: 4x2 ₋ ₉_y2

↓ ↓

Observe que (2x)2 ₍₃_y₎2

Ent˜ao, 4x2₋₉_y2_{= (2}_x_{+ 3}_y₎₍₂_x₋₃_y₎

1.11 Simplifica¸

c˜

ao

S´o podemos simplificar uma fra¸c˜ao quando o numerador e o denominador estiverem fatorados e apresen-tarem pelo menos um fator comum.

Exemplo 1.11.1 Simplificar a express˜ao: x2

−9 x2₋_6x+9.

Resolu¸c˜ao: fatorando o numerador e denominador temos:

x2₋₉

x2₋₆_x_{+ 9} =

x2₋₃2

x2₋₂_·_x_·_{3 + 3}2 =

(x+ 3)(x−3) (x−3)2 =

(x+ 3)(x−3) (x−3)(x−3) =

(x+ 3) (x−3) Exemplo 1.11.2 Efetue

2

x2₋₁−

5x4

x2_{+ 2}_x_{+ 1}

Resolu¸c˜ao: observamos que o mmc(x2₋₁_{, x}2_{+ 2}_x_{+ 1) = (}_x₋₁₎₍_x_{+ 1)}2 _{e efetuamos a soma das}

fra¸c˜oes.

Exemplo 1.11.3 Efetue

2

x+

1

x2−

x x3₋₂_x2 +

3

x2₋₂_x

(15)

(16)

Referˆ

encias Bibliogr´

aficas

[1] FLEMMING, D. M., GONÇ ALVES, M. B.: Cálculo A: Fun¸cões, Limite, Deriva¸cão e Integra¸cão. 6a Edi¸cão Ampliada. Pearson Prentice Hall, 2006.

[2] HAZZAN, S; MORETTIN, P; BUSSAB, W.Introdu¸cão ao Cálculo para Administra¸cão, Economia. Saraiva, 2009.

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[4] Swokowski, E. W.: C´alculo com Geometria Anal´ıtica. Volume I e II, Ed. Makron Books, 1995.

[5] Guidorizzi, H. L.: Um Curso de C´alculo. Volume I, Ed. LTC, 2000.

[6] Boulos, P.: C´alculo Diferencial e Integral. Volume I e II, Ed Makron Books 1999.

[7] Silva, E. M.; Silva, E. M.; Silva, S. M.: Matem´atica B´asica para Cursos Superiores. Ed. Atlas 2002.

[8] Stewart, J.: C´alculo. Volume I, Ed Pioneira/Thomson Learning, 2005.