Competição entre anisotropias perpendiculares em bicamadas de CoCrPt/Ni resolvida por ressonância ferromagnética

Instituto de Física "Gleb Wataghin"

Gabriel Soares

Competição entre anisotropias perpendiculares

em bicamadas de CoCrPt/Ni resolvida por

ressonância ferromagnética

CAMPINAS 2015

Ficha catalográfica

Universidade Estadual de Campinas Biblioteca do Instituto de Física Gleb Wataghin

Valkíria Succi Vicente - CRB 8/5398

Soares, Gabriel,

So11c SoaCompetição entre anisotropias perpendiculares em bicamadas de

CoCrPt/Ni resolvida por ressonância ferromagnética / Gabriel Soares. – Campinas, SP : [s.n.], 2015.

SoaOrientador: Fanny Béron.

SoaDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de

Física Gleb Wataghin.

Soa1. Ferromagnetismo. 2. Ressonância ferromagnética. 3. Filmes finos. I.

Béron, Fanny,1980-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Física Gleb Wataghin. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Perpendicular anisotropy competition in CoCrPt/Ni bilayers

resolved by ferromagnetic resonance

Palavras-chave em inglês:

Ferromagnetism

Ferromagnetic resonance Thin films

Área de concentração: Física Titulação: Mestre em Física Banca examinadora:

Fanny Béron [Orientador] Luiz Guilherme Costa Melo Ricardo Rodrigues Urbano

Data de defesa: 27-11-2015

Programa de Pós-Graduação: Física

monstro. Quando se olha muito tempo para um abismo, o abismo olha para você."(NIETZSCHE, F. Beyond Good and Evil. New York: Dover Publications Inc., 1997)

Em primeiro lugar gostaria de agradecer ao Dr. David Navas por disponibilizar as amostras, me receber atenciosamente na Universidade do Porto, em Porto, Portugal, além das valiosas discussões indispensáveis para a construção deste trabalho. Gostaria também de agradecer ao Prof.Dr. Flávio César Guimarães Gandra por disponibilizar seus equipamentos de medida, juntamente com a didática necessária e discussões de instru-mentação sobre as medidas em cavidade. Agradeço também ao Prof.Dr.Ricardo Urbano e Ms.Guilherme Gorgen Lesseux por disponibilizar e acompanhar as medidas extras re-alizadas no EPR-Bruker. Gostaria de agradecer também ao Dr. Sergiy Bunyayev por disponibilizar o experimento de varredura em frequência com o VNA, e respectivas discus-sões sobre instrumentação e análise de dados. Também gostaria de agradecer as valiosas discussões sobre ressonância ferromagnética com o Dr.Massimo Pasquale e Dra.Ambra Caprile, os quais me receberam no Istituto Nazionale di Ricerca Metrologica, em Turim, Itália. Gostaria de agradecer também o Prof.Dr.Rafael Morales, responsável pelo pro-jeto FP7-PEOPLE-2012-IRSES, Coupling effects in magnetic patterned nanostructures, financiado por Community Research and Development Information Service (CORDIS) de la Comisión Europea, pela bolsa necessária para os estágios mencionados. A CAPES pelo financiamento da bolsa de mestrado.

Gostaria de agradecer ao Prof.Dr.Kleber Pirota, por ter me iniciado cientificamente no LMBT durante a graduação e discussões durante o mestrado; e a minha orientadora Profa.Dra.Fanny Beron, pela paciência; em suma, a todos os professores que contribuíram direta ou indiretamente pela minha formação.

Aos meus colegas e ex-colegas de laboratório: Luiz, Muraca, Marlene, Peterson, Mu-rilo, Karol, Maria, Luis, Juan, Cintia e Roman, pelo apoio, discussões e momentos de descontração.

Ao Chico pelas longas noites de estudo, cerveja e debates filosóficos, recorrentes desde o início da graduação. Aos meus ex-colegas de república: Baiano, Japonês e Dantas, que me aguentaram reclamando e bagunçando a casa repetidamente (e pelas cervejas também é claro). Ao Thiago, por ter me abrigado em sua casa durante os últimos meses que estive sem bolsa, companhia e infinidade de galhos quebrados.

Finalmente, gostaria de agradecer a minha família pela minha criação e oportunidades de estudo, sem eles nunca teria chegado até aqui.

Desde a descoberta dos filmes finos magnéticos com anisotropia perpendicular, ou PMAs (Perpendicular Magentic Anisotropy, em inglês), se tornou possível aumentar dras-ticamente a densidade de dados em discos rígidos. Uma maneira de continuar a incre-mentar a densidade final de dados seria desalinhar o eixo de anisotropia uniaxial e o campo magnético de escrita. Para isso, necessita-se de materiais com anisotropia magné-tica intermediária, i.e, na qual o seu eixo fácil está entre a longitudinal ao plano e a sua perpendicular. A situação ótima seria com o eixo fácil a 450_{, teoricamente dobrando a}

densidade final. No entanto, fabricar grãos ou filmes com esta propriedade não é viável do ponto de vista industrial. Todavia, bicamadas podem ser utilizadas para imitar este comportamento, onde um filme com anisotropia longitudinal é depositado sobre um PMA. Além do mais, esta abordagem apresenta a possibilidade de maior velocidade de escrita. Bicamadas de CoCrPt/Ni podem ser utilizadas para este propósito, com a camada de CoCrPt como PMA e a de Ni com anisotropia longitudinal.

O experimento de ressonância ferromagnética permite, a priori, resolver as contri-buições de anisotropia de cada camada no sistema de bicamadas, juntamente com os mecanismos de amortecimento magnético. O objetivo principal desta dissertação de mes-trado é introduzir os conceitos de experimentação e teoria desta técnica, e aplicá-los nas bicamadas de CoCrPt/Ni. Neste trabalho foram utilizados filmes já depositados por

sput-tering com 10 nm de Co66Cr22Pt12, seguidos de 5 a 40 nm de Ni, para investigar o efeito

da camada com anisotropia longitudinal sobre o PMA. Um outro conjunto de amostras contém um espaçador de Ti entre as camadas magnéticas, a fim de se estudar a interação na interface entre elas.

Os experimentos de ressonância foram realizados em varredura de frequência num ana-lisador de rede vetorial com campos magnéticos aplicados longitudinais ou perpendicula-res e numa cavidade de banda X (9,54GHZ) em função da orientação do campo aplicado. Foi verificado qualitativamente o decréscimo da energia de anisotropia longitudinal com menores espessuras de Ni nas bicamadas. No entanto, não foi possível observar a linha de absorção da camada de CoCrPt, e consequentemente, encontrar unequivocamente as constantes de anisotropia do sistema, muito menos confirmar o comportamento multiaxial encontrado. Não obstante, foi confirmado a natureza de curto alcance da interação entre as camadas. Nova experimentação em outras bandas de frequência é necessária, afim de identificar a absorção do CoCrPt. Uma perspectiva futura interessante é o estudo da largura de linha e o amortecimento magnético do sistema devido a interação envolvida.

Palavras-chave: Ferromagnetismo, anisotropia magnética, filmes finos, ressonância

Since the advent of perpendicular magnetic anisotropy media, or PMAs, it was possible to greatly enhance the data density of hard drives. A method to push forward the data density increase is to misalign the anisotropy and applied field axes. This can be achieved by tilted media, i.e., in which the anisotropy axis lays somewhere between in-plane (IP) and out-of-plane (OOP). The optimal condition is with the axis tilted by 450. However,

produce this kind of material is not practible at industrial scale. Thus, composite media can be used to mimic this behavior, where an in-plane anisotropy media is deposited on top of a PMA. Nonetheless, this approach allows to reach faster switching rates. CoCrPt/Ni bilayers may be used for this purpose, with the CoCrPt serving as the PMA and the Ni as the IP anisotropy layer.

The ferromagnetic resonance experiment (FMR) can be used to obtain information about the magnetic anisotropy, being able to characterize its constant for each layer in the bilayer system, together with the damping mechanisms. Therefore, the main goal of this master thesis is to introduce the FMR theory and experimentation and apply them in this system. The used films were already deposited by sputtering with 10 nm of Co.66Cr.24Pt12

under a 5 to 40 nm Ni layer. Another set of samples with a Ti layer between the magnetic layers provides information of the interface coupling.

The FMR experiments were partly performed in a broadband vector network analyzer (VNA) with applied magnetic fields IP or OOP, and in a X-band (9,54 GHz) cavity as function of the orientation of the applied magnetic field. It was qualitatively verified a decrease of the longitudinal magnetic anisotropy energy as a function of the Ni thickness in the bilayer system. However, the CoCrPt single layer absorption could not be observed, making it impossible to unequivocally identify each anistropy constant. Nonetheless, the short-range nature of the coupling was confirmed. Further experimentation in higher frequencies is needed in order to find the CoCrPt absorption. Also, promising effects in the damping mechanism due to the coupling are expected.

Keywords:

1 Introdução 11

2 Ressonância ferromagnética 14

2.1 Fenomenologia . . . 15

2.1.1 Introdução histórica . . . 15

2.1.2 Ressonância eletrônica de spin (ESR) . . . 15

2.1.3 Ressonância ferromagnética . . . 17

2.2 Formulação teórica . . . 18

2.2.1 Equação de Landau-Lifshitz-Gilbert . . . 18

2.2.2 Susceptibilidade magnética próxima a ressonância . . . 20

2.2.3 Fórmula geral para frequência de ressonância - Método de Smit-Beljers 25 2.2.4 Energia livre magnética . . . 28

2.2.5 Ressonância ferromagnética de um filme com anisotropia uniaxial . 33 3 Métodos experimentais 40 3.1 Experimento de FMR em cavidade (reflexão) . . . 41

3.1.1 Blocos de operação . . . 41

3.1.2 Potência absorvida e a susceptibilidade magnética . . . 41

3.1.3 Leitura do módulo de tensão . . . 44

3.1.4 Cavidade ressonante e a onda perturbativa estacionária . . . 45

3.1.5 Montagem experimental . . . 46

3.1.6 Exemplo de medida . . . 47

3.2 Experimento de FMR com analisador de rede vetorial (varredura de frequên-cia e campo aplicado) . . . 48

3.2.1 Analisador de rede vetorial . . . 50

3.2.2 Guia de onda coplanar . . . 51

3.2.3 Parâmetros de espalhamento . . . 52

3.2.4 Tratamento de dados . . . 53

4 Revisão bibliográfica 59 4.1 Anisotropia magnética uniaxial em filmes finos . . . 59

4.1.1 Filmes de CoCrPt . . . 60

4.2 Bicamadas com anisotropia perpendicular . . . 60

4.2.1 Sistema CoCrPt/Ni . . . 61

4.3 Ressonância ferromagnética e bicamadas com anisotropia perpendicular . . 64

5 Resultados Experimentais 66 5.1 Medidas de FMR com VNA . . . 66

5.1.1 Filmes de Ni . . . 67

5.1.2 Filmes de CoCrPt . . . 69

5.1.3 Bicamadas CoCrPt/Ni . . . 70

5.1.4 Bicamadas com espaçador . . . 72

5.2.1 Evolução das espessuras . . . 76 5.2.2 Anisotropia uniaxial . . . 77

6 Conclusões e perspectivas 81

Capítulo 1

Introdução

Uma preocupação recorrente na indústria de armazenamento de dados é a crescente demanda por dispositivos com maior densidade de informação digital possível. A tecnolo-gia mais usada é a gravação magnética em discos rígidos, onde os dados são armazenados em filmes finos ferromagnéticos com espessura nanométrica. Os materiais ferromagnéticos apresentam a propriedade de estabilizar regiões de magnetização (com sentidos diferentes) sem campo aplicado, conhecidas como domínios, e a informação é então traduzida a partir da transição de sua orientação magnética [1]. Para escrever o bit de informação, aplica-se um campo magnético local, de maneira a alterar apenas a orientação da magnetização do respectivo domínio. Em seguida, para ler o bit, precisa-se encontrar uma forma de detetar a direção dessa magnetização. A descoberta do fenômeno da magnetorresistência gigante (Giant magneto resistance, em inglês), foi um grande avanço na década de 1990 e permitiu um aumento exponencial na densidade, quando o gargalo estava em detetar o sinal magnético proveniente de domínios cada vez menores. Já na década de 2000, a próxima grande dificuldade encontrada foi em continuar a reduzir o tamanho do domínio [2].

O formato de um ferromagneto influencia na qual direção preferencial é a sua magne-tização, ou seja, a anisotropia de forma magnética. No caso de filmes finos policristalinos, eles preferem formar seus domínios de maneira que a magnetização fique paralela ao plano do filme - neste caso a tecnologia é conhecida como escrita longitudinal. Consequente-mente, quanto menor for o tamanho deste domínio, maior a densidade de informação que pode ser armazenada. No entanto, existe um limite de quão pequeno pode ser o domínio de maneira que ele permaneça termicamente estável, dependendo da competição entre a energia de agitação térmica e a de anisotropia magnética. A energia de anisotropia de forma depende diretamente da magnetização de saturação, que por sua vez é uma pro-priedade intrínseca do material. Portanto, ela se torna o principal limitador em reduzir o tamanho do domínio e consequentemente a densidade de dados final.

Uma maneira de continuar a aumentar a densidade magnética é a introdução de fil-mes com anisotropia magnética perpendicular ao plano do filme (Perpendicular Magnetic

cristalina, juntamente com efeitos de superfície, vencem a anisotropia de forma. Com isso é possível controlar a intensidade da energia de anisotropia final, obtendo valores superio-res aos superio-respectivos devido à geometria do material. Ligas de CoCrTa, CoCrPt, CoCrPtTa são comunmente utilizadas para este tipo de aplicação [3]. No entanto, os PMAs também trazem uma grande desvantagem, que é a baixa tolerância ao desalinhamento entre o eixo de anisotropia perpendicular e o campo magnético local de escrita. Por exemplo, com uma variação de 2% no alinhamento, o campo aplicado necessário para inverter o sentido da magnetização do domínio aumenta entre 8% a 10% [4].

Uma das soluções promissoras propostas para aumentar a tolerância em respeito ao alinhamento é fabricar filmes com eixo de anisotropia a 450_{. Como fabricá-los em}

labo-ratório já apresenta uma série de dificuldades técnicas, consequentemente eles não são viáveis em escala industrial. Para contornar esse fato, foi proposto sobrepor dois filmes, um PMA e um com anisotropia longitudinal. Como será visto mais adiante, a combinação de duas anisotropias uniaxiais (com apenas uma direção preferencial) não resulta em uma intermediária, mas o conjunto pode apresentar propriedades magnéticas de interesse ao problema, de maneira a resolver a questão do alinhamento [4].

O Laborátorio de Materiais e Baixas Temperaturas (LMBT), do qual sou estudante, participou em 2012 de um trabalho de colaboração internacional em bicamadas de Co-CrPt/Ni (o CoCrPt é um PMA). Nosso grupo realizou medidas de caracterização mag-netostática (ciclos de histerese) de onde foram retiradas as primeiras estimativas para as constantes de anisotropia. No entanto, a obtenção da constante de anisotropia através deste tipo de caracterização não é tão precisa, uma vez que a modelagem fisíca associ-ada assume uma série de aproximações (para mais detalhes, ver [5]). Por não depender dessas aproximações, a ressonância ferromagnética é uma ferramenta mais adequada para esse tipo de caracterização. Além do mais, a estimativa é obtida através da medida das duas camadas em conjunto, ausentando informações locais independentes e a natureza da interação entre elas [6]1_.

Neste trabalho foram realizadas medidas de ressonância ferromagnética nestas mesmas bicamadas. Escolhemos essa técnica justamente por apresentar mais detalhes das propri-edades de anisotropia e interações na interface entre os dois filmes. Os objetivos desta dissertação consistem em estudar a teoria e experimentação da ressonância ferromagnética e então caracterizar as anisotropias das bicamadas e a interação na interface.

No capítulo 2 será descrita a teoria de ressonância ferromagnética, com as soluções da equação de dinâmica da magnetização. O capítulo 3 é composto das técnicas

experimen-1_{Formalmente, o tratamento adequado para este tipo de problema é mais conhecido como ressonância}

de ondas de spin. Para este trabalho, as equações e métodos experimentais são equivalentes, e mais interessantes do ponto de vista didático.

tais utilizadas, incluindo a conexão com a teoria da ressonância ferromagnética, a qual demanda alguns conceitos a partir das equações de Maxwell. No capítulo 4 será descrito o conjunto de amostras, sua fabricação e parâmetros estruturais. No capítulo 5 os re-sultados serão analisados, confrontando os dados experimentais obtidos com os conceitos abordados nos capítulos 2 e 3.

Capítulo 2

Ressonância ferromagnética

Ressonância ferromagnética (FMR1_{) é a absorção de radiação eletromagnética por um}

espécime ferromagnético sob um campo magnético aplicado, induzindo uma precessão coerente dos seus momentos magnéticos. Classicamente, se a frequência da radiação for a mesma que a precessão natural do momento magnético sob o campo aplicado, os dois sistemas entram em ressonância. Isso faz com que a energia da radiação seja absorvida pelos momentos magnéticos do material, aumentando a amplitude de sua precessão. Do ponto de vista quântico, o campo aplicado remove a degenerescência entre os estados de energia relativos aos números quânticos orbitais e magnéticos. Se a radiação tiver energia adequada, ela pode ser absorvida gerando transições entre esses estados.

No caso de um material ferromagnético, deve se tomar o cuidado de considerar as con-sequências de campos magnéticos locais sob o campo aplicado externo. Seria como se, na prática, o material não sofresse somente o torque do campo magnético aplicado externo, mas também de seus campos internos. A soma vetorial dos campos magnéticos internos e externos é chamada de campo efetivo. Não obstante, ele define a diferença mais básica entre a ressonância eletrônica de spin (ESR2_{) e a FMR. A obtenção do campo}

magné-tico efetivo - ou mais precisamente - o gradiente da densidade de energia livre magnética em relação à magnetização - permite averiguar diversas propriedades magnéticas do es-pécime, tais como: a magnetização de saturação, o fator giromagnético e as constantes de anisotropia. Outro ponto extremamente interessante é o estudo da largura de linha da absorção. Ela está diretamente ligada ao amortecimento magnético, o qual provém principalmente de mecanismos de grupo do material, juntamente com uma contribuição intrínseca. Os processos físicos do amortecimento intrínseco são temas de debate desde sua primeira proposição aos dias de hoje [7]–[11].

Neste capítulo, inicio com a fenomenologia da FMR, tanto do ponto de vista quân-tico quanto clássico. Posteriormente, a teoria será desenvolvida a partir das soluções da equação de dinâmica de magnetização, focando nos efeitos da anisotropia uniaxial. A abordagem será do ponto de vista clássico sempre que possível, e dado a natureza

fe-1_{Ferromagnetic resonance, em inglês.}

nomenológica das equações, a atenção será centrada de maneira mais intuitiva do ponto de vista físico/experimental. Este capítulo é baseado no livro Ferromagnetic Resonance, editado por Vosovskii [12].

2.1

Fenomenologia

2.1.1

Introdução histórica

Os primeiros registros de absorção de microondas numa amostra ferromagnética são da década de 1910 por magnetologistas russos. V.K. Arkhad’yev, em uma série de estu-dos entre 1911 e 1913, observou absorções de ondas de rádio (comprimento de onda em centímetros) em fios de ferro e níquel e a mudança na sua magnetização. Neste momento, as bandas de absorção foram interpretadas como uma resposta ressonante de momentos magnéticos elementares ao campo de radiofrequência aplicado. Em 1923, Ya. G. Dorf-mann sugeriu qualitativamente a influência do efeito Zeeman4 em separar dois estados

de energia; em 1926 a questão de campos magnéticos perturbativos perpendiculares e paralelos ao campo fixo aplicado foi atacada por N.S. Akulov. Com a equação de magne-todinâmica de L.D. Landau e L.M. Lifshitz (1935), foi possível modelar uma teoria geral para cristais ferromagnéticos uniaxiais em um campo alternado e investigar o efeito de ressonância. E.K. Zavoiskii (1944) descobriu experimentalmente o fenômeno da ESR, e em seguida ele e D. Griffiths (1946) investigaram os materiais ferromagnéticos: Fe, Ni e Co. Os campos de ressonância encontrados de 2 a 6 vezes maiores que os calculados teo-ricamente motivaram C. Kittel (1946 e 1947) e Polder (1949) a desenvolver e generalizar o fenômeno a partir da equação de Landau-Lifshitz da magnetodinâmica.

Desde então inúmeros trabalhos foram feitos e continuam sendo realizados sobre a dinâmica de magnetização e FMR, inclusive abrindo campos de estudo a outros fenômenos semelhantes, como a geração de ondas de spin e sua propagação, com alta aplicabilidade tecnológica (spintrônica, magnônica).

2.1.2

Ressonância eletrônica de spin (ESR)

Quando submetido a um campo magnético aplicado H, a degenerescência dos níveis de energia de um átomo - relativos aos seus números quânticos orbital 𝑙 e magnético 𝑚 - é quebrada. Esse fenômeno, conhecido por efeito Zeeman, é de suma importância para compreender a ressonância ferromagnética (figura 2.1). Os níveis de energia criados são

3_{De caráter não rigoroso do ponto de vista de história da física, uma vez que os artigos originais não}

foram estudados, devido à disponibilidade e língua original. O objetivo é descrever rapidamente a linha do tempo em que os conceitos mais importantes da FMR foram introduzidos na comunidade cientifica [12]. Todas as datas são referentes a data de publicação dos artigos originais.

𝐸𝑖 e 𝐸𝑘 - multipletos Zeeman - no caso relativos ao elétron com valores de 𝑚 = ±1/2. A

energia Δ𝐸𝑖𝑘, consequentemente a frequência 𝜔𝑖𝑘, que uma onda eletromagnética necessita

para induzir transições entre esses níveis (i, k) deve ser:

¯ℎ𝜔𝑖𝑘 = 𝐸𝑖− 𝐸𝑘 = Δ𝐸𝑖𝑘 (2.1.1)

e para o efeito Zeeman:

Δ𝐸𝑖𝑘 = 𝑔𝜇𝐵Δ𝑚𝑖𝑘𝐻 (2.1.2)

onde ¯ℎ = 1, 054571 × 10−34 _{J.s é constante de Planck, 𝑔 é o fator de Landé}5, Δ𝑚

𝑖𝑘 é a

diferença entre os números quânticos i e k do multipleto, e 𝜇𝐵 = 9, 274009 × 10−24 J/T

é o magneton de Bohr. Isolando 𝜔𝑖𝑘, encontramos a frequência necessária a induzir a

transição:

𝜔𝑖𝑘 = 𝑔𝜇𝐵

¯ℎ Δ𝑚𝑖𝑘𝐻 (2.1.3)

Levando em consideração os valores das constantes, e os típicos valores de campo 𝜇0𝐻

(0, 1 a 3 T), encontramos frequências da ordem de GHz (10−9 _s-1). Δ𝑚

𝑖𝑘 pode assumir

valores ±1 e 0: transições do tipo Δ𝑚𝑖𝑘 = 0 têm polarizações na mesma direção que

o campo aplicado 𝐻, e |Δ𝑚𝑖𝑘|= 1 perpendiculares a esse campo. Portanto, um campo

magnético alternado induzido pela onda eletromagnética deve ser perpendicular ao campo aplicado para realizar transições entre os multipletos Zeeman.

𝑔𝜇𝐵

¯ℎ Δ𝑚𝑖𝑘 é definido como o fator giromagnético 𝛾 do sistema atômico em questão,

e substituindo encontramos a relação entre a frequência de ressonância 𝜔𝑟𝑒𝑠 e o campo

aplicado:

𝜔𝑟𝑒𝑠 = 𝛾𝐻 (2.1.4)

Esta última relação é conhecida como a frequência de Larmor, e com ela é possível realizar experimentos varrendo o campo aplicado H para encontrar a frequência de res-sonância6_{. Experimentalmente, expõe-se a amostra a uma radiação eletromagnética, e}

quando encontrada a condição de ressonância do material em questão, os elétrons sofrem transições de estado, absorvendo a radiação.

A análise quântica do problema recém apresentada é importante para justificar a conservação de energia da onda perturbativa, bem como seu intervalo de frequência na ordem de GHz. A partir da próxima seção, será tratado apenas do ponto de vista clássico, sendo suas equações mais convenientes para se trabalhar experimentalmente.

5_{Relacionado a transferência de momentos mecânicos e magnéticos, definidos por experimentos}

giro-magnéticos. Para um elétron livre: 𝑔 = 2.

6_{O fator 𝛾 é utilizado para converter, nesse caso, entre frequência e campo de ressonância, o que for}

E H 1 2gµBH Ei= Ek= − 1 2gµBH hωik 0 ΔEik

Figura 2.1: Níveis de energia do multipleto Zeeman. Se uma onda eletromagnética per-turbativa tem energia Δ𝐸𝑖𝑘, o sistema tem transições entre os estados 𝐸𝑖 e 𝐸𝑘.

2.1.3

Ressonância ferromagnética

Em um material paramagnético (no caso, paramagnetismo de Pauli), o(s) elétron(s) desemparelhados contribuem para o momento magnético atômico e sofrem as transições de efeito Zeeman para a ressonância. Em materiais ferromagnéticos, os momentos atômicos vizinhos estão fortemente ligados devido a interação de troca proveniente dos elétrons da camada 3d para metais de transição, ou 4f para terras raras. Para eles, a equação da frequência de Larmor nem sempre é válida, pois efeitos do conjunto fazem com que o campo magnético exercido sobre a amostra e o aplicado não sejam necessariamente iguais. Inclusive, a própria orientação da média da magnetização pode não estar na mesma direção que o campo aplicado. Medir e modelar o campo efetivo permite encontrar e inferir sobre propriedades magnéticas desses materiais, tais como anisotropias e alterações no fator giromagnético.

Observando a questão do ponto de vista clássico, o elétron gira em torno do seu próprio eixo, gerando um momento magnético de spin. Se esse elétron sofresse um torque proveniente da interação entre o campo aplicado e seu momento magnético, ele precessiona ao redor deste campo. Introduzindo uma perturbação alternada na precessão, de maneira que seja com a mesma frequência com um campo magnético alternado perpendicular -os dois sistemas ressonam, absorvendo a energia da perturbação (figura 2.2a).

Caso o campo perturbativo seja uniforme pela amostra e se todos os momentos mag-néticos do material precessionam com a mesma fase, o fenômeno é conhecido como resso-nância ferromagnética 2.2b. Se por ventura o campo perturbativo não for mais uniforme, implicaria em diferenças de fase entre os momentos magnéticos vizinhos. Como há a interação de troca, essa diferença de fase pode ser coerente em determinadas condições,

h M x y z

H

a)

_b)

Figura 2.2: a) Precessão dos momentos magnéticos ⃗𝑀 ao redor do campo efetivo ⃗𝐻𝑒𝑓 e

perturbativo ⃗ℎ. b) Com campo perturbativo suficientemente uniforme (não apresentado), a precessão também é majoritariamente uniforme.

formando ondas de spin. Essas ondas podem ser estacionárias, e também fazem o sis-tema ressonar. O fenômeno em questão é conhecido como ressonância de ondas de spin, e foi proposto devido a descompensação entre spins vizinhos devido ao comprimento de penetração da onda eletromagnética em amostras ferromagnéticas metálicas [13].

Pelo resto da dissertação, será utilizada a explicação do ponto de vista clássico recém comentada. Com base na descrição fenomenológica, é mais intuitivo acompanhar a solução da equação de dinâmica de magnetização (Landau-Lifshitz-Gilbert) para a FMR a ser realizada na próxima seção (2.2).

2.2

Formulação teórica

2.2.1

Equação de Landau-Lifshitz-Gilbert

A equação de Landau-Lifshitz-Gilbert (LLG) descreve de maneira clássica/fenomeno-lógica o comportamento dos momentos magnéticos de uma amostra ferromagnética sob ação de um campo magnético aplicado externo. A dinâmica do momento magnético é descrita como uma precessão amortecida ao redor do eixo de campo efetivo. Essa equação foi primeiramente proposta por Landau e Lifshitz em 1935, com a adição de um termo de amortecimento puramente fenomenológico - um torque adicional na direção do eixo de precessão, em função de ⃗𝐻 e ⃗𝑀 - sem relação direta com primeiros princípios [7].

São atribuídos a ele diversos fenômenos de grupo, relativo a perdas por energia térmica, análogas a um arraste. Entre eles, vale citar: propagação de ondas de spin, presença de correntes parasitas, vibrações de rede e defeitos de ordem cristalina (inomogeneidades, tensões, impurezas).

num filme fino ferromagnético, e estudando o tempo de relaxação, encontrou valores de amortecimento muito mais altos do que poderia justificar pelos mecanismos físicos citados anteriormente. Este fato o motivou a procurar um novo termo, mas agora considerando a perda de energia em função do tempo, substituindo o anterior proposto por Landau e Lifshitz. As duas equações são equivalentes, com as devidas correções de constantes. Nesta seção será descrito a obtenção dessa equação, sendo uma tradução livre do artigo reeditado de Gilbert [8].

Da dinâmica clássica, a equação que descreve a rotação de um corpo rígido é:

⃗𝜏 = 𝑑⃗𝐿

𝑑𝑡 (2.2.1)

onde t é o tempo, ⃗𝜏 e ⃗𝐿 são o torque e o momento angular do espécime, definido como

⃗

𝐿= 𝐼 × ⃗𝜔, em que I é o tensor momento de inércia e ⃗𝜔 paralelo ao eixo de rotação.

Se ⃗𝐿 e ⃗𝜏 forem considerados como operadores de torque e momento angular quânticos no espaço de Hilbert, substituindo ⃗𝐿 por ⃗𝑆, o momento angular de rotação do elétron em torno do seu próprio eixo se torna:

⃗𝜏 = 𝑑 ⃗𝑆

𝑑𝑡 (2.2.2)

mas nos interessa a dinâmica da magnetização, e podemos utilizar a relação de proporci-onalidade ⃗𝑀 = 𝛾 ⃗𝑆 [14]: ⃗ 𝜏 = 𝑑 ⃗𝑀 𝑑𝑡 1 𝛾 (2.2.3)

Do outro lado, considerando o torque sofrido pela densidade de dipolos de momento magnético ⃗𝑀 sob ação do campo efetivo 𝐻𝑒𝑓 ser ⃗𝜏 = 𝜇0𝑀 × ⃗⃗ 𝐻𝑒𝑓 7 obtemos:

𝑑 ⃗𝑀

𝑑𝑡 = −𝛾𝜇0 ⃗

𝑀 × ⃗𝐻𝑒𝑓 (2.2.4)

O campo efetivo é encontrado a partir do gradiente da densidade de energia livre magné-tica F: ⃗ 𝐻𝑒𝑓 = − 1 𝜇0 ∇_𝑀⃗𝐹( ⃗𝑀) (2.2.5)

O termo de amortecimento adicionado na equação de movimento por Gilbert é − 𝛼

𝑀𝑠 ⃗ 𝑀 × 𝑑 ⃗𝑀

𝑑𝑡 , onde 𝛼 é o amortecimento magnético (adimensional). Consequentemente, chegamos

a equação de Landau-Lifshitz-Gilbert: 𝑑 ⃗𝑀 𝑑𝑡 = −𝛾𝜇0𝑀 × ⃗⃗ 𝐻𝑒𝑓 + 𝛼 𝑀𝑠 ⃗ 𝑀 × 𝑑 ⃗𝑀 𝑑𝑡 (2.2.6)

Para trabalhar com a FMR, é necessário encontrar duas soluções da equação de LLG. A primeira, relativa a absorção da onda eletromagnética perturbativa, é a variação da

7_𝜇

susceptibilidade magnética 𝜒 ou permeabilidade magnética 𝜇 = 1 + 𝜒 próxima a resso-nância. A outra solução, para acompanhar a evolução da frequência de ressonância em função do campo efetivo, que nos permite encontrar as propriedades magnéticas (fator giromagnético, constantes de anisotropia e amortecimento).

2.2.2

Susceptibilidade magnética próxima a ressonância

Já foi discutido na seção 2.1 a absorção da onda eletromagnética perturbativa pelo es-pécime magnético na ressonância de maneira qualitativa. É de suma importância entender de maneira quantitativa como se dá essa absorção, afim de obter o campo/frequência de ressonância nas medidas experimentais. Nesta seção, será realizada a dedução da equação de LLG para encontrar quantitativamente a expressão da absorção, em função da suscep-tibilidade magnética, uma vez que a potência absorvida é proporcional a permeabilidade magnética8_{. Os cálculos que serão apresentados a seguir foram baseados no capítulo 2 de}

[12].

Solução sem amortecimento magnético

Primeiramente, considerando um sistema sem amortecimento (𝛼 = 0) e sem efeitos de campo efetivo ( ⃗𝐻𝑒𝑓 = ⃗𝐻)9. A equação de LLG fica da forma:

𝑑 ⃗𝑀

𝑑𝑡 = −𝛾𝜇0 ⃗

𝑀 × ⃗𝐻 (2.2.7)

onde tem-se uma resposta da magnetização alternada ⃗𝑚(𝑡) devido a perturbação de campo

externo ⃗ℎ(𝑡), tornando os vetores de magnetização ⃗𝑀 e campo aplicado ⃗𝐻: ⃗

𝑀 = ⃗𝑀0+ ⃗𝑚(𝑡) (2.2.8)

⃗

𝐻= ⃗𝐻0+ ⃗ℎ(𝑡) (2.2.9)

onde ⃗𝑀0 e ⃗𝐻0 são a magnetização e campo aplicado. Substituindo os campos na equação

2.2.7:

𝑑 ⃗𝑀

𝑑𝑡 = −𝛾𝜇0[ ⃗𝑀0× ⃗𝐻0+ ⃗𝑀0× ⃗ℎ+ ⃗𝑚 × ⃗𝐻0+ ⃗𝑚 × ⃗ℎ] (2.2.10)

onde considera-se a amostra completamente saturada (𝑀0 ≈ 𝑀𝑠 e constante) e sob ação

de um campo perturbativo ⃗ℎ(𝑡) uniforme da forma exp [𝑖𝜔𝑡]. Como 𝐻𝑒𝑓 = 𝐻0, ⃗𝐻0 e ⃗𝑀0

estão paralelos entre si, então o primeiro termo do lado direito da equação desaparece. Linearizando o processo, ou seja, fazendo com que a perturbação seja de baixa amplitude e 𝑀0 ≈ 𝑀𝑠, o último termo se torna desprezível em uma aproximação de primeira ordem.

Fazendo ⃗ℎ⊥ ⃗𝐻0, a equação 2.2.10 se torna:

−𝑖𝜔 ⃗𝑚= ^𝑧 × [−𝜔𝑚⃗ℎ + 𝜔0𝑚⃗] (2.2.11)

8_{ver seção 3.1.2.}

com

𝜔𝑚 ≡+𝛾𝜇0𝑀0 (2.2.12)

𝜔0 ≡+𝛾𝜇0𝐻0 (2.2.13)

Resolvendo para ⃗ℎ, tem-se:

⎡ ⎣ ℎ𝑥 ℎ𝑦 ⎤ ⎦= 1 𝜔𝑚 ⎡ ⎣ 𝜔0 −𝑖𝜔 𝑖𝜔 𝜔0 ⎤ ⎦· ⎡ ⎣ 𝑚𝑥 𝑚𝑦 ⎤ ⎦ (2.2.14)

Do outro lado a susceptibilidade magnética 𝜒 é um tensor que relaciona a resposta da magnetização da amostra em função do campo aplicado. No caso de ferromagnetos, compreende principalmente a irreversibilidade do processo de magnetização. A suscepti-bilidade para um sistema ferromagnético é definida como:

⃗

𝑀 = ¯𝜒 ⃗𝐻 (2.2.15)

onde ¯𝜒 é conhecido como tensor de susceptibilidade de Polder: ¯𝜒 = ⎡ ⎣ 𝜒 𝑖𝜅 −𝑖𝜅 𝜒 ⎤ ⎦ (2.2.16)

o qual pode ser encontrado invertendo a equação 2.2.14:

𝜒= 𝜔0𝜔𝑚 𝜔2 0 − 𝜔2 (2.2.17) 𝜅= 𝜔𝜔𝑚 𝜔2 0 − 𝜔2 (2.2.18) Na ressonância, ou seja, quando a frequência de precessão do sistema é igual a de Larmor (𝜔 = 𝜔0), ambos 𝜒 e 𝜅 tendem a infinito. Isso acontece porque não há perdas

magnéticas, o que não é observado em um sistema real.

Solução com amortecimento magnético

Reescrevendo a equação de LLG considerando 𝛼 ̸= 0:

𝑑 ⃗𝑀 𝑑𝑡 = −𝛾𝜇0[ ⃗𝑀0× ⃗𝐻0+ ⃗𝑀0 × ⃗ℎ+ ⃗𝑚 × ⃗𝐻0+ ⃗𝑚 × ⃗ℎ] + ⃗ 𝛼 𝑀𝑠 [︃ ⃗ 𝑀 ×𝑑 ⃗𝑚 𝑑𝑡 + ⃗𝑚 × 𝑑 ⃗𝑚 𝑑𝑡 ]︃ (2.2.19) Após o mesmo raciocínio que levou a linearização da equação 2.2.11 (sem amortecimento), chega-se a:

observando que as equações 2.2.11 e 2.2.20 são iguais se substituído 𝜔0 → 𝜔0+ 𝑖𝜔𝛼, as

componentes do tensor susceptibilidade de Polder se tornam:

𝜒= (𝜔0+ 𝑖𝜔𝛼)𝜔𝑚

(𝜔0+ 𝑖𝜔𝛼)2− 𝜔2

(2.2.21)

𝜅= 𝜔𝜔𝑚

(𝜔0+ 𝑖𝜔𝛼)2− 𝜔2 (2.2.22)

Nos experimentos de FMR, utiliza-se um campo perturbativo com componente apenas numa direção, por exemplo ℎ𝑥. Assim, considera-se apenas os termos diagonais do tensor

¯𝜒. Separando 𝜒 em partes real (𝜒′_{) e imaginária (𝜒}′′_):

𝜒′ = 𝜔𝑚 𝜔0[2𝛼2𝜔2+ 𝜔02−(1 + 𝛼2) 𝜔2] 4𝛼2_𝜔2_𝜔2 0 + [(1 + 𝛼2) 𝜔2− 𝜔02] 2 (2.2.23) 𝜒′′ = 𝜔𝑚 𝛼𝜔[(1 + 𝛼2) 𝜔2+ 𝜔2 0] 4𝛼2_𝜔2_𝜔2 0 + [(1 + 𝛼2) 𝜔2− 𝜔02] 2 (2.2.24)

Experimentalmente, é medido indiretamente a permeabilidade magnética 𝜇, que está relacionada a susceptibilidade por ¯𝜇 = I + 𝜒10.

Largura de linha

A parte imaginária de 𝜒 com amortecimento tem a forma de uma distribuição, di-ferente de tender ao infinito como no caso sem amortecimento. Um conceito comum a distribuições é a largura de linha a meia altura ou Full Width at Half Maximum (FWHM), em inglês. Na ressonância, 𝜔 = 𝜔0/ √ 1 + 𝛼2 e o pico da absorção 𝜒′′ 𝑚𝑎𝑥 é: 𝜒′′_𝑚𝑎𝑥= 𝜔𝑚 2𝛼𝜔3 0 4𝛼2 𝜔40 (1+𝛼2₎ = 𝜔𝑚(1 + 𝛼2) 2𝛼𝜔0 (2.2.25)

É em seguida necessário encontrar as frequências para que 𝜒′′ _{= 𝜒}′′

𝑚𝑎𝑥/2: 𝛼𝜔[(1 + 𝛼2_{) 𝜔}2_{+ 𝜔}2 0] 4𝛼2_𝜔2_𝜔2 0+ [(1 + 𝛼2) 𝜔2− 𝜔02] 2 = 1 + 𝛼2 4𝛼𝜔0 (2.2.26) A última equação apresenta quatro soluções. No entanto, apenas duas são reais:11

𝜔1 = 𝛼2_𝜔 0 (1 + 𝛼2)2 + 𝜔2 0 1 + 𝛼2 − 𝛼𝜔0 1 + 𝛼2 (2.2.27) 𝜔2 = 𝛼2_𝜔 0 (1 + 𝛼2)2 + 𝜔2 0 1 + 𝛼2 + 𝛼𝜔0 1 + 𝛼2 (2.2.28)

A largura de linha a meia altura é, portanto: Δ𝜔 = 𝜔2− 𝜔1 =

2𝛼𝜔0

1 + 𝛼2 (2.2.29)

de onde se pode perceber a relação entre a largura de linha e a constante de amortecimento

𝛼. Como 𝛼 é sempre menor que um e positivo, a largura de linha cresce com ela.

10

I é a matriz identidade.

Comportamento da susceptibilidade

Para visualizar o comportamento da susceptibilidade, é mais conveniente trabalhar com ¯𝜒 sem termos cruzados, i.e., diagonalizando o tensor de Polder (autovalores Λ e autovetores ⃗𝐶):

⃗

𝐶 ·¯𝜒 = Λ · ⃗𝐶 (2.2.30)

Para encontrar os autovalores Λ±:

𝑑𝑒𝑡[¯𝜒 − Λ.𝐼] = 0 (𝜒 − Λ)2_{− 𝜅= 0 (2.2.31)} E então: Λ± = 𝜒 ± 𝜅 = (𝜔0− 𝑖𝜔𝛼)𝜔𝑚± 𝜔𝜔𝑚 (𝜔0− 𝑖𝜔𝛼)2− 𝜔2 = 𝜔𝑚[𝜔0− 𝑖𝜔𝛼) ± 𝜔] [(𝜔0− 𝑖𝜔𝛼) − 𝜔][(𝜔0− 𝑖𝜔𝛼) + 𝜔] = 𝜔𝑚 (𝜔0∓ 𝜔) − 𝑖𝜔𝛼 (2.2.32) Λ− não apresenta ressonância (𝜔0+ 𝜔 ̸= 0) e portanto, procura-se apenas o autovetor ⃗𝐶+

relacionado ao autovalor Λ+, o substituindo na equação 2.2.30 tem-se:

⃗ 𝐶+ = 1 √ 2 ⎡ ⎣ 1 𝑖 ⎤ ⎦ (2.2.33)

Aplicando a dependência temporal da forma exp[𝑖𝜔𝑡]:

⃗ 𝐶+ = √1 2 ⎡ ⎣ cos(𝜔𝑡) + 𝑖 sen(𝜔𝑡) −sen(𝜔𝑡) + 𝑖 cos(𝜔𝑡) ⎤ ⎦ (2.2.34)

As partes reais e imaginárias de 𝐶+ são similares, diferenciando-se apenas na fase, e a

segunda será desprezada. Fazendo ⃗ℎ = ℎ0𝑅𝑒[ ⃗𝐶+]:

⃗ 𝐶+ = ℎ0 √ 2 ⎡ ⎣ cos(𝜔𝑡) −sen(𝜔𝑡) ⎤ ⎦, (2.2.35)

finalmente pode-se escrever ¯𝜒 em sua forma linear e sem termos cruzados:

⃗

𝑚= ¯𝜒 · ⃗ℎ (2.2.36)

= ℎ0¯𝜒 · ⃗𝐶+

- 4 - 2 0 2 4 - 0.4 - 0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 χ_'+

(ω

− ω)/ωα

α

ω

/

ω

χ

Figura 2.3: Gráfico normalizado e centrado na ressonância das partes real (𝜒′

+) e

imagi-nária (𝜒′′

+) da susceptibilidade, em função da frequência. No gráfico está destacado pelas

linhas verticais a largura a meia altura (FWHM) da parte imaginária e sua correlação com a parte real.

Separando 𝜒+ em partes real e imaginária:

𝜒+= 𝜒′++ 𝑖𝜒 ′′ + (2.2.37) 𝜒′₊= 𝜔𝑚(𝜔0− 𝜔) (𝜔0− 𝜔)2+ 𝜔2𝛼2 (2.2.38) 𝜒′′₊= 𝜔𝑚𝛼𝜔 (𝜔0− 𝜔)2+ 𝜔2𝛼2 (2.2.39) Na figura 2.3 estão demonstradas as partes real e imaginária da susceptibilidade pró-xima a ressonância normalizadas. A parte imaginária está relacionada com a absorção, e a real com a dispersão do vetor de onda. É importante ressaltar que nos experimentos discutidos a seguir, a diagonalização não é válida, uma vez que o vetor ⃗ℎ utilizado não é autovetor de ¯𝜒. No entanto, as expressões obtidas para 𝜒+ são válidas se feita a

aproxi-mação para pequenas larguras de linha ((1+𝛼2)Δ𝜔2 _{≈ 𝜔}2

0). De fato, repetindo o processo

para encontrar a largura de linha para 𝜒+:

𝜒′′_{+𝑚𝑎𝑥} = 𝜔𝑚 𝜔0𝛼

e fazendo Δ𝜔 = 2(𝜔𝑟𝑒𝑠− 𝜔𝑖) 12, encontramos: 𝜒′′_{+𝑚𝑎𝑥} 2 = 𝜔𝑚 2𝜔0𝛼 = 𝜔𝑚𝛼𝜔 (Δ𝜔 2 )2+ 𝜔2𝛼2 ⇒ Δ𝜔 = 2√ 𝛼 1 + 𝛼2𝜔0 (2.2.41)

O estudo da largura de linha permite obter a constante de amortecimento magnético

𝛼, e a FMR é a principal ferramenta para essa caracterização. Uma vez obtido essa

constante, é possível relacioná-las a fenômenos magnéticos de conjunto do material, a fim de construir um modelo para as origens do amortecimento em cada caso. Em geral, provêm desde inomogeneidades - como defeitos cristalinos e impurezas - a desacoplamento dos spins.

A análise descrita nesta seção só é válida rigorosamente para sistemas não metálicos e isotrópicos. No caso de ferromagnetos, o campo efetivo deve ser considerado: por exem-plo, se a amostra tem um formato diferente de uma esfera, ele já induz uma série de efeitos que dependem de sua direção (anisotropias) e magnetização de saturação (campo desmagnetizante). Para considerar esses efeitos, a melhor maneira é obter como primeira aproximação a frequência de ressonância e a largura de linha com as expressões detalha-das nesta seção, e posteriormente estudar sua evolução em função de outros parâmetros (frequências de perturbação, magnitude e direção de campos aplicados).

2.2.3

Fórmula geral para frequência de ressonância - Método de

Smit-Beljers

O campo efetivo 𝐻𝑒𝑓 de uma amostra ferromagnética depende de diversos fenômenos

de grupo no material. Com isso em mente, é necessário obter uma fórmula geral da ressonância em função da densidade de energia livre magnética F. Assim, basta defini-la para o sistema a ser utilizado em questão, e encontrar a expressão da frequência de ressonância.

Como é de interesse uma expressão geral, é mais conveniente passar para coordenadas esféricas (figura 2.4): ^ 𝑒𝜌= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ sen𝜃 cos𝜑 sen𝜃 sen𝜑 cos𝜃 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ; 𝑒^𝜃 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ cos𝜃 cos𝜑 cos𝜃 sen𝜑 −sen𝜃 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ; 𝑒^𝜑= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ −sen𝜑 −cos𝜑 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ; (2.2.42)

Fixando as coordenadas de maneira que se movam com o vetor ⃗𝑀, com magnitude fixa

12_{A meia altura, 𝜔}

𝑖pode assumir dois valores, um antes e depois da ressonância. Os dois valores estão

ê_x êy êz θ φ êρ êφ êθ M

Figura 2.4: Coordenadas esféricas, móveis com a magnetização ⃗𝑀

(𝑀 ≈ 𝑀𝑠): ⃗ 𝑀 = 𝑀𝑠𝑒^𝜌 (2.2.43) e então, 𝑑 ⃗𝑀 𝑑𝑡 = 𝑀𝑠 𝑑𝑒^𝜌 𝑑𝑡 = 𝑀𝑠 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

˙𝜃 cos𝜃 cos𝜑 − ˙𝜑 sen𝜃 sen𝜑 ˙𝜃 cos𝜃 sen𝜑 − ˙𝜑 sen𝜃 cos𝜑

− ˙𝜃sen𝜃 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = 𝑀𝑠( ˙𝜃 ^𝑒𝜃+ ˙𝜑 sen𝜃 ^𝑒𝜑) (2.2.44)

Neste sistema de coordenadas, ⃗𝐻𝑒𝑓 = 𝐻𝜌𝑒^𝜌 + 𝐻𝜃𝑒^𝜃 + 𝐻𝜑𝑒^𝜑 e os produtos vetoriais se

tornam: ⃗ 𝑀 × ⃗𝐻𝑒𝑓 = 0 ^𝑒𝜌− 𝑀𝑠𝐻𝜑𝑒^𝜃+ 𝑀𝑠𝐻𝜃𝑒^𝜑 (2.2.45) ⃗ 𝑀 ×𝑑 ⃗𝑀 𝑑𝑡 = 0 ^𝑒𝜌− 𝑀𝑠sen𝜃 ˙𝜑 ^𝑒𝜃+ 𝑀𝑠˙𝜃 ^𝑒𝜑 (2.2.46)

Substituindo 2.2.45 e 2.2.46 na equação de LLG, encontra-se as equações de movimento: (1 + 𝛼2_{) ˙𝜃 = 𝛾(𝐻}

𝜑+ 𝛼𝐻𝜃) (2.2.47)

(1 + 𝛼2_{) sen𝜃 ˙𝜑 = −𝛾(𝐻}

𝜃+ 𝛼𝐻𝜑) (2.2.48)

O próximo passo é escrever o campo efetivo em função de F, lembrando que ⃗𝐻𝑒𝑓 =

− 1

𝜇0

∇_𝑀⃗𝐹( ⃗𝑀). Encontrando a posição de equilíbrio da magnetização ⃗𝑀(𝜃0, 𝜑0), i.e., o

mínimo de 𝐹 em respeito a 𝜃 e 𝜑: 𝐹𝜃 ≡ 𝜕𝐹 𝜕𝜃 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝜃=𝜃 0 = 0; 𝐹𝜑≡ 𝜕𝐹 𝜕𝜑 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝜑=𝜑 0 = 0 (2.2.49)

O campo perturbativo induz pequenas oscilações 𝛿𝜃 e 𝛿𝜑 ao redor desse equilíbrio, de forma que:

𝜃= 𝜃0+ 𝛿𝜃; 𝛿𝜃 << 𝜃0 (2.2.50)

𝜑 = 𝜑0+ 𝛿𝜑; 𝛿𝜑 << 𝜑0 (2.2.51)

Expandindo em primeira ordem a equação 2.2.49 ao redor da posição de equilíbrio 𝜃0 e

𝜑0 13:

𝐹𝜃(𝜃, 𝜑) = 𝛿𝜃𝐹𝜃𝜃 + 𝛿𝜑𝐹𝜃𝜑 (2.2.52) 𝐹𝜑(𝜃, 𝜑) = 𝛿𝜑𝐹𝜑𝜑+ 𝛿𝜃𝐹𝜃𝜑 (2.2.53)

Onde 𝐹𝜃𝜃, 𝐹𝜑𝜑 e 𝐹𝜃𝜑 são as derivadas duplas. Finalmente tem-se o campo efetivo 𝐻𝑒𝑓: 𝐻𝑒𝑓 = − 1 𝜇0 ∇_𝑀⃗𝐹( ⃗𝑀) = 1 𝜇0 𝜕𝐹 𝜕𝑀𝑠 ^ 𝑒𝜌+ 1 𝜇0 1 𝑀𝑠 𝜕𝐹 𝜕𝜃 + 1 𝜇0 ^ 𝑒𝜃+ 1 𝑀𝑠sen𝜃 𝜕𝐹 𝜕𝜑𝑒^𝜑 (2.2.54)

de onde obtêm-se as componentes nas direções ^𝑒𝜃 e ^𝑒𝜑:

𝐻𝜃 = 1 𝑀𝑠 𝐹𝜃 = 1 𝑀𝑠(𝛿𝜃𝐹 𝜃𝜃 + 𝛿𝜑𝐹𝜃𝜑) (2.2.55) 𝐻𝜑= 1 𝑀𝑠sen𝜃 𝐹𝜑 = 1 𝑀𝑠sen𝜃 (𝛿𝜑𝐹𝜑𝜑+ 𝛿𝜃𝐹𝜃𝜑) (2.2.56)

Substituindo 𝐻𝑒𝑓 nas equações de movimento (2.2.47 e 2.2.48):

−𝛾*−1𝑀𝑠sen𝜃0𝛿 ˙𝜃 = [𝐹𝜃𝜑+ 𝛼𝐹𝜃𝜃sen𝜃0]𝛿𝜃 + [𝐹𝜑𝜑+ 𝛼𝐹𝜃𝜑sen𝜃0]𝛿𝜑 (2.2.57)

𝛾*−1𝑀𝑠sen𝜃0𝛿 ˙𝜑 = [𝐹𝜃𝜃− 𝛼𝐹𝜃𝜑( sen𝜃0)−1]𝛿𝜃 + [𝐹𝜃𝜑− 𝛼𝐹𝜑𝜑( sen𝜃0)−1]𝛿𝜑 (2.2.58)

considerando:

𝛾* = 𝛾

1 + 𝛼2 (2.2.59)

sen𝜃 = sen(𝜃0+ 𝛿𝜃) ≈ sen𝜃0 (2.2.60)

Colocando as oscilações de maneira que 𝛿𝜃 = 𝛿𝜃′_{exp[𝑖𝜔𝑡] e 𝛿𝜑 = 𝛿𝜑}′_{exp[𝑖𝜔𝑡], suas}

deriva-das se tornam: ^𝛿𝜃 = 𝑖𝜔𝛿𝜃′exp[𝑖𝜔𝑡] e ^𝛿𝜑 = 𝑖𝜔𝛿𝜃′exp[𝑖𝜔𝑡]. Escrevendo as equações 2.2.57

e 2.2.58 na forma matricial: 0 =

⎡

⎣

[𝐹𝜃𝜑+ 𝛼𝐹𝜃𝜃sen𝜃0] + 𝑖𝜔𝛾*−1𝑀𝑠sen𝜃0 𝐹𝜑𝜑+ 𝛼𝐹𝜃𝜑sen𝜃0

𝐹𝜃𝜃 − 𝛼𝐹𝜃𝜑( sen𝜃0)−1 [𝐹𝜃𝜑− 𝛼𝐹𝜑𝜑( sen𝜃0)−1] − 𝑖𝜔𝛾*−1𝑀𝑠sen𝜃0 ⎤ ⎦· ⎡ ⎣ 𝛿𝜃′ 𝛿𝜑′ ⎤ ⎦ (2.2.61)

13_{Expansão em série de Taylor de duas dimensões: 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑓 (𝑎}

e o sistema tem solução não trivial se o determinante da matriz 2x2 for igual a zero:

[𝐹𝜃𝜑+ 𝛼𝐹𝜃𝜃sen𝜃0][𝐹𝜃𝜑− 𝛼𝐹𝜑𝜑( sen𝜃0)−1] − [𝐹𝜃𝜃 −[𝐹𝜃𝜃− 𝛼𝐹𝜃𝜑( sen𝜃0)−1][𝐹𝜑𝜑+ 𝛼𝐹𝜃𝜑sen𝜃0]+

+ 𝑖𝜔𝛾*−1

𝑀𝑠sen𝜃0[[𝐹𝜃𝜑− 𝛼𝐹𝜑𝜑( sen𝜃0)−1] − [𝐹𝜃𝜑+ 𝛼𝐹𝜃𝜃sen𝜃0]+

+ 𝜔2_[𝛾*−1_𝑀

𝑠sen𝜃0]2 = 0

= − (1 + 𝛼2_)[𝐹

𝜃𝜃𝐹𝜑𝜑− 𝐹𝜃𝜑2 ]] − 𝑖𝜔𝛾

*−1

𝑀𝑠sen2𝜃0𝛼[𝐹𝜃𝜃+ 𝐹𝜑𝜑( sen𝜃0)−2] + 𝜔2[𝛾*−1𝑀𝑠sen𝜃0]2 = 0

(2.2.62) Comparando com a equação secular 𝜔2_{− 𝑖𝜔Δ𝜔 − 𝜔}2

𝑟𝑒𝑠 = 0, identifica-se a fórmula geral para ressonância ferromagnética:

𝜔𝑟𝑒𝑠= 𝛾*(1 + 𝛼2)1/2 1 𝑀𝑠sen𝜃0 [𝐹𝜃𝜃𝐹𝜑𝜑− 𝐹𝜃𝜑2 ] 1/2 (𝜃=𝜃0,𝜑=𝜑0) (2.2.63) e a largura de linha: Δ𝜔 = 𝛼𝛾* 𝑀𝑠 [𝐹𝜃𝜃+ ( sen2𝜃0)−1𝐹𝜑𝜑](𝜃=𝜃0,𝜑=𝜑0) (2.2.64)

A partir destas equações gerais, tanto da ressonância quanto da largura de linha, é possível encontrar a expressão adequada para lidar com qualquer sistema magnético. Para tanto, é preciso definir a densidade de energia livre em questão, o que será feito na seção a seguir.

2.2.4

Energia livre magnética

Em um ferromagneto, o campo efetivo sentido na amostra depende de vários fenômenos de grupo, sendo o gradiente da densidade de energia livre total. Ele depende do estado da amostra, de suas anisotropias, suas propriedades elétricas e estruturais. Para tanto, deve-se identificar as contribuições de energia de cada fenômeno, e assim, de posse do campo efetivo, modela-se o sistema a ser estudado. As principais contribuições são:

𝐹 = 𝐹𝑍𝑒𝑒𝑚𝑎𝑛+ 𝐹𝑑+ 𝐹𝑐𝑟𝑖𝑠+ 𝐹𝑚−𝑠+ 𝐹𝑡𝑟𝑜𝑐𝑎+ 𝐹𝑃 𝐷 (2.2.65)

onde:

• 𝐹𝑍𝑒𝑒𝑚𝑎𝑛 é a energia dipolar, proveniente do torque entre o dipolo da magnetização

e o campo magnético aplicado;

• 𝐹𝑑 é a energia do campo desmagnetizante, induzindo uma anisotropia que depende

do formato da amostra;

• 𝐹𝑐𝑟𝑖𝑠 é a energia da anisotropia magnética induzida pela ordem cristalina;

• 𝐹𝑚−𝑠 é a energia da anisotropia proveniente das tensões internas do material, ou

• 𝐹𝑡𝑟𝑜𝑐𝑎 é a energia proveniente da inomogeneidade espacial da magnetização;

• 𝐹𝑃 𝐷 é a energia da descompensação entre os spins vizinhos dentro das paredes de

domínios.

Formalmente, as energias aqui descritas como 𝐹𝑍𝑒𝑒𝑚𝑎𝑛 e 𝐹𝑑 provém do mesmo fenômeno,

a interação da indução magnética 𝐵 com 𝐻. Igualmente, 𝐹𝑡𝑟𝑜𝑐𝑎 e 𝐹𝑃 𝐷 são consequências

da energia de troca entre os spins vizinhos. Apesar disso, separar as contribuições é mais conveniente do ponto de vista didático e de análise do sistema a ser estudados. No experimento da FMR, a amostra está (teoricamente) completamente saturada, implicando em 𝐹𝑃 𝐷 ≈0. A perturbação ⃗ℎ0é uniforme, resultando em 𝐹𝑡𝑟𝑜𝑐𝑎 ≈0. 𝐹𝑍𝑒𝑒𝑚𝑎𝑛é isotrópica,

e então resta descrever os termos de anisotropia.

Campo desmagnetizante - anisotropia de forma

Em um material ferromagnético, a magnetização é intensa o suficiente para gerar um campo interno (campo desmagnetizante), que é a resultante da soma das interações dipolares entre os seus momentos magnéticos. Para magnetizar o espécime, o campo magnético externo compete com o campo desmagnetizante, uma vez que estão em direções opostas. A variação da intensidade do campo desmagnetizante em relação a geometria é a causa da anisotropia de forma.

Rigorosamente, o campo desmagnetizante e a energia dipolar provêm do mesmo fenô-meno, i.e., o torque do campo magnético ⃗𝐻 com a indução magnética ⃗𝐵 = 𝜇0( ⃗𝐻+ ⃗𝑀).

O campo desmagnetizante ⃗𝐻𝑑é o campo entre os extremos do material, na orientação da

magnetização, com a amostra saturada. O formato do material é a principal variável em questão, que pode resultar em planos ou eixos nos quais existem concentrações diferentes de dipolos e consequentemente variando a intensidade de ⃗𝐻𝑑 (figura 2.5). Por exemplo,

numa esfera, todos os seus eixos geométricos são iguais, e ⃗𝐻𝑑 tem a mesma intensidade

em todas as direções. Num cilindro, ⃗𝐻𝑑 é menos intenso se tiver magnetizado ao longo

do eixo longitudinal, em comparação as outras direções. Já num filme, ⃗𝐻𝑑 é menos

in-tenso longitudinal ao seu plano. Quando ⃗𝐻𝑑 tiver sua menor intensidade, é mais fácil

magnetizar nessa direção, e é chamado de eixo/plano fácil.

O potencial magnetostático 𝜑𝑀(⃗𝑟) no ponto ⃗𝑟 de uma amostra ferromagnética é dada

por (ver figura 2.6):

𝜑𝑀(⃗𝑟) = − 𝜇0 4𝜋 ∫︁ 𝑉 ∇′ · 𝑀⃗(⃗𝑟 ′) |𝑟 − 𝑟′_|𝑑𝑉 ′₊ 𝜇0 4𝜋 ∮︁ 𝑆^𝑛 · ⃗ 𝑀(⃗𝑟′) |𝑟 − 𝑟′_|𝑑𝑆 ′ _(2.2.66)

Se a amostra está completamente saturada e for um elipsóide, ⃗𝑀 é uniforme em todos os

Hd

M

Hd

M

Figura 2.5: Seção transversal de um elipsoide de revolução magnetizado tanto na direção do seu eixo maior quanto menor. Se magnetizado no seu eixo mais longo (a esquerda), apresenta menos dipolos nas extremidades que se magnetizado no eixo menor (a direita).

O

dV'

r'

r

r-r'

P

dS'

Figura 2.6: Esquema dos vetores e elementos infinitesimais 𝑑𝑉′ _{e 𝑑𝑆}′ _{encontrados na eq.}

superfície (normal a superfície ^𝑛): 𝜑𝑀(⃗𝑟) = 𝜇0 4𝜋𝑀 ·⃗ ∮︁ 𝑆^𝑛 ⃗ 𝑀(⃗𝑟′) |𝑟 − 𝑟′_|𝑑𝑆 ′ _(2.2.67)

assim, o campo desmagnetizante pode ser definido como ⃗𝐻𝑑 = −∇𝜑𝑀 e depende

unica-mente do formato da amostra:

⃗

𝐻𝑑= − ¯𝑁 ⃗𝑀 (2.2.68)

onde ¯𝑁 é o tensor para elipsoides de rotação (com 𝑁𝑎+ 𝑁𝑏+ 𝑁𝑐 = 114):

𝑁 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑁𝑎 0 0 0 𝑁𝑏 0 0 0 𝑁𝑐 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (2.2.69) Por exemplo, numa esfera, 𝑁𝑎= 𝑁𝑏 = 𝑁𝑐= 1/3.

Como as amostras a serem trabalhadas são filmes finos, e considerando que a razão entre a espessura e o plano do filme se aproxima de zero, considera-se a aproximação para um elipsoide oblato (como um disco, mas sem bordas). Em coordenadas esféricas, a densidade de energia livre magnética 𝐹𝑑 se torna (com a normal do filme perpendicular

ao eixo azimutal): 𝐹𝑑 = − 𝜇0 2 𝑀 · ⃗⃗ 𝐻𝑑 = 𝜇0 2 𝑀 · ⃗⃗ 𝑁 · ⃗𝑀 = 𝜇0 2 𝑀𝑠2 [︁

sen𝜃 cos𝜑 sen𝜃 sen𝜑 cos𝜃]︁ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ sen𝜃 cos𝜑 sen𝜃 sen𝜑 cos𝜃 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = 𝜇0 2 𝑀𝑠2cos2𝜃 (2.2.70)

O mínimo de 𝐹𝑑se encontra em 𝜃 = 𝜋/2, ou seja, quando a magnetização se encontra

no plano do filme. Portanto, ao magnetizar a amostra longitudinalmente não há oposição do campo desmagnetizante. A situação oposta se dá quando 𝜃 = 0, em que o campo desmagnetizante é máximo, com a magnetização perpendicular ao plano do filme. Como os quatro quadrantes cartesianos são simétricos, ao trabalhar apenas com o primeiro, existe somente um máximo (eixo fácil) e um mínimo (eixo difícil). Por isso, dizemos que em relação a normal a amostra apresenta anisotropia de forma uniaxial. Usualmente, escreve-se a 𝐹𝑑 como:

𝐹𝑑𝑒𝑠𝑚𝑎𝑔 = 𝐾𝑓cos2𝜃 (2.2.71)

onde 𝐾𝑓 = 𝜇0𝑀𝑠2/2 é a constante de anisotropia de forma [5]. 14_{𝑎, 𝑏 e 𝑐 são as direções do elipsoide.}

Anisotropia cristalina

Em uma rede cristalina, identifica-se três tipos diferentes de acoplamento: spin-spin, órbita-rede e spin-órbita. O acoplamento spin-spin é devido a interação de troca entre spins vizinhos, e é isotrópico, uma vez que depende apenas da diferença de orientação entre eles. Portanto, não contribui para a anisotropia.

O campo elétrico total produzido por cada átomo interage com os seus vizinhos e se distorce. Este efeito é chamado de campo cristalino, concordando com a simetria da rede. Considerando uma rede cúbica, os campos elétricos de cada átomo se alongam na direção dos três eixos principais, por causa dos sítios em cada vértice. Isso faz com que as órbitas dos spins fiquem fortemente acopladas a rede (acoplamento órbita-rede). Se um campo magnético é aplicado, os spins estão livres para se orientarem na direção do campo magnético, mas os momentos magnéticos de suas órbitas estão presos a rede. Portanto, o momento angular orbital deixa de contribuir para a magnetização, e esse fenômeno é conhecido como quench do momento angular. No entanto, os spins na realidade não estão inteiramente livres para se alinhar com o campo magnético externo, já que estão também acoplados com suas órbitas (acoplamento spin-órbita). Consequentemente, para reorientar um spin com a aplicação de um campo magnético, ele deve ser forte o bastante para superar o acoplamento spin-órbita do sítio, o qual depende da simetria da rede.

Apesar de não restar muitas dúvidas sobre o papel principal do acoplamento spin-órbita na anisotropia cristalina, não é possível calculá-la por primeiros princípios, muito menos encontrar uma relação entre a densidade de spins e os eixos fáceis e difíceis de magnetização. Por exemplo: no ferro, com estrutura bcc (cúbico com corpo centrado), o eixo difícil é a direção de maior densidade atômica [111]; já no níquel fcc (cúbico com face centrada), a direção de maior densidade atômica é a [110], que não é o eixo mais difícil de magnetização. Assim, a anisotropia cristalina é tratada de maneira fenomenológica, como uma expansão de séries dos cossenos diretores, i.e., os cossenos (𝛼1, 𝛼2, 𝛼3) dos ângulos

entre a magnetização e os eixos do cristal:

𝐹𝑐𝑟𝑖𝑠= 𝐾0+ 𝐾1(𝛼12𝛼 2 2+ 𝛼 2 2𝛼 2 3+ 𝛼 2 3𝛼 2 1) + 𝐾2(𝛼21𝛼 2 2𝛼 2 3) (2.2.72)

onde 𝐾0, 𝐾1 e 𝐾2 são as constantes de anisotropia.

Um sistema com simetria hcp, ou pacote fechado hexagonal, apresenta eixos igual-mente difíceis no plano do hexágono e um eixo fácil (c) perpendicular (figura 2.7). Nesse caso, considera-se apenas um eixo fácil de anisotropia, ou seja, uma anisotropia uniaxial:

𝐹𝑐𝑟𝑖𝑠 = 𝐾0+ 𝐾1sen2𝜃+ 𝐾2sen4𝜃 (2.2.73)

Figura 2.7: Curvas de magnetização de um monocristal de Co hcp. Eixo difícil e fácil se encontram nas direções [1010] e [0001] respectivamente [5].

o eixo c é perpendicular; e se 𝐾1 <0 é paralelo ao plano [5]. A constante de anisotropia

uniaxial cristalina de primeira ordem (𝐾1) será utilizada no resto deste texto como 𝐾𝑢.

2.2.5

Ressonância ferromagnética de um filme com anisotropia

uniaxial

Para descrever o comportamento da FMR em um filme com anisotropia uniaxial, em relação ao plano do filme e com simetria em 𝜑 - ver figura 2.8 - aplica-se a fórmula geral da FMR (equação 2.2.63) com os termos de densidade de energia magnética para anisotropia uniaxial. Deve-se então levar em consideração os efeitos das anisotropias de forma (𝐾𝑓)

e cristalina uniaxial (𝐾𝑢). A densidade de energia livre então toma a forma: 𝐹 = −𝜇0𝑀 · ⃗⃗ 𝐻0+

1

2𝜇0𝑀𝑠2cos2𝜃+ 𝐾𝑢sen2𝜃 (2.2.74)

onde faz-se cos2_{𝜃 = 1 − sen}2_{𝜃 e consequentemente, é possível escrever as energias de}

anisotropia uniaxial em função de uma única constante 𝐾𝑒𝑓:

𝐹 = −𝜇0𝑀 · ⃗⃗ 𝐻+ 𝐾𝑒𝑓sen2𝜃 (2.2.75)

onde:

𝐾𝑒𝑓 = 𝐾𝑢− 1

2𝜇0𝑀𝑠2+ 𝐾𝑠 (2.2.76)

No entanto, deve se tomar com o fato que não necessariamente ⃗𝑀 é paralelo a ⃗𝐻0. Para

H x y z M θ φ θH

Figura 2.8: Coordenadas esféricas para filmes finos. Dois ângulos azimutais: 𝜃 e 𝜃𝐻,

relativos a orientação da magnetização e campo aplicado respectivamente.

a superfície. Assim, 𝜃 é o ângulo que ⃗𝑀 faz com o eixo ^𝑧, e respectivamente 𝜃𝐻 com ⃗𝐻

(figura 2.8). A energia do torque criado pelo campo externo (𝐹𝑍𝑒𝑒𝑚𝑎𝑛) se torna: 𝐹𝑍𝑒𝑒𝑚𝑎𝑛= −𝜇0𝑀 · ⃗⃗ 𝐻0

= −𝜇0𝑀𝑠[ sen𝜃 cos𝜑^𝑥 + sen𝜃 sen𝜑^𝑦 + cos𝜃^𝑧] · 𝐻0[ sen𝜃𝐻^𝑥 + 0^𝑦 + cos𝜃𝐻^𝑧]

= −𝜇0𝐻0𝑀𝑠[ sen𝜃𝐻sen𝜃 cos𝜑 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝐻cos𝜃] (2.2.77)

e a densidade de energia livre total:

𝐹 = −𝜇0𝐻0𝑀𝑠[ sen𝜃𝐻sen𝜃 cos𝜑 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝐻cos𝜃] + 𝐾𝑒𝑓sen2𝜃 (2.2.78)

De posse de 𝐹 , basta aplicar o método de Smit-Beljers descrito na seção 2.2.3 e encontrar a fórmula geral da ressonância ferromagnética. Começando pelas condições de equilíbrio: 𝜕𝐹 𝜕𝜑 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝜑=𝜑 0

= 𝜇0𝐻0𝑀𝑠[ sen𝜃𝐻sen𝜃 sen𝜑0] = 0 ⇒ 𝜑0 = 0 (2.2.79)

𝜕𝐹 𝜕𝜃 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝜃=𝜃 0

= −𝜇0𝐻0𝑀𝑠[ sen𝜃𝐻cos𝜃0cos𝜑0− cos𝜃𝐻 sen𝜃0] + 2𝐾𝑒𝑓sen𝜃0cos𝜃0 = 0 (2.2.80)

⇒ 𝜇0𝐻0[ sen𝜃𝐻cos𝜃0cos𝜑0 − cos𝜃𝐻sen𝜃0] =

2𝐾𝑒𝑓 𝑀𝑠 sen𝜃

0cos𝜃0

⇒ 𝐻0sen(𝜃𝐻 − 𝜃0) = 𝐻𝐴sen𝜃0cos𝜃0 (2.2.81)

onde é definido o campo de anisotropia 𝐻𝐴: 𝜇0𝐻𝐴≡

2𝐾𝑒𝑓 𝑀𝑠

A razão 𝐻0/𝐻𝐴 determina o ponto de saturação da magnetização da amostra, já que,

juntamente com a energia Zeeman (isotrópica) é o único fator de energia (anisotrópico) que é levado em consideração. Como nesse modelo simplificado não há formação de domínios, a inversão da magnetização se dá apenas pela rotação de um grande e único domínio. Com isso em mente, as diversas soluções da equação 2.2.81 devem ser avaliadas cuidadosamente, afim de terem seu sentido físico adequado.

Para aplicar na condição de ressonância e largura de linha, precisamos das segundas derivadas: 𝜕2_𝐹 𝜕𝜑2 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝜑=𝜑 0;𝜃=𝜃0

= 𝜇0𝐻0𝑀𝑠[ sen𝜃𝐻sen𝜃 cos𝜑]

⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝜑=𝜑 0;𝜃=𝜃0 = 𝜇0𝐻0𝑀𝑠[ sen𝜃𝐻sen𝜃0] (2.2.83) 𝜕2𝐹 𝜕𝜃2 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝜑=𝜑 0;𝜃=𝜃0

= −𝜇0𝐻0𝑀𝑠[− sen𝜃𝐻sen𝜃0cos𝜑 − cos𝜃𝐻 cos𝜃0] + 2𝐾𝑒𝑓cos2𝜃0 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝜑=𝜑 0 = 𝜇0𝐻0𝑀𝑠cos(𝜃𝐻 − 𝜃0) + 2𝐾𝑒𝑓cos2𝜃0 = 𝑀𝑠[𝜇0𝐻0cos(𝜃𝐻 − 𝜃0) + 𝜇0𝐻𝐴cos2𝜃0] (2.2.84) 𝜕2_𝐹 𝜕𝜃𝜕𝜑 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝜑=𝜑 0;𝜃=𝜃0 = 𝜕𝐹 𝜕𝜃 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝜃=𝜃 0

𝜇0𝐻0𝑀𝑠[ sen𝜃𝐻sen𝜃 sen𝜑]

⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝜑=𝜑 0 = 0 (2.2.85) agora substituindo na equação15 _2.2.63:

𝜔𝑟𝑒𝑠 = 𝛾*(1+𝛼2)1/2

√︁

[𝜇0𝐻0cos(𝜃𝐻 − 𝜃0) + 𝜇0𝐻𝐴cos2𝜃0] × [𝜇0𝐻0cos(𝜃𝐻 − 𝜃0) + 𝜇0𝐻𝐴cos2𝜃0]

(2.2.86) e a largura de linha:

Δ𝜔 = 𝛼𝛾*

𝑀𝑠[𝑀

𝑠[𝜇0𝐻0cos(𝜃𝐻 − 𝜃0) + 𝜇0𝐻𝐴cos2𝜃0] + 𝑀𝑠[𝜇0𝐻0cos(𝜃𝐻 − 𝜃0) + 𝜇0𝐻𝐴cos2𝜃0]]

= 𝛼𝛾*_[2𝜇

0𝐻0cos(𝜃𝐻 − 𝜃0) + 𝜇0𝐻𝐴cos2𝜃0+ 𝜇0𝐻𝐴cos2𝜃0]

= 𝛼𝛾*_[2𝜇

0𝐻0cos(𝜃𝐻 − 𝜃0) + 𝜇0𝐻𝐴(3 cos2𝜃0−1)] (2.2.87)

onde 𝜃0 é dado pela equação 2.2.81.

O primeiro experimento de FMR, foi realizado por D. Griffiths em uma cavidade res-sonante, numa montagem típica de ESR. O campo perturbativo dentro da cavidade é formado por uma onda estacionária, que depende do seu formato geométrico. Consequen-temente, a frequência é fixa, e o experimento permite varrer a intensidade de 𝐻0 e sua

15_{Aqui tem um artificio matemático. O termo 𝐹}

𝜑𝜑 é somado por 𝐹𝜃= 0: 𝐹𝜑𝜑= 𝐹𝜑𝜑 sen2_𝜃 0 + cos𝜃0 sen𝜃0 𝐹𝜃= 𝑀𝑠 𝐻0sen𝜃𝐻sen𝜃0 sen2_𝜃 0 + cos𝜃0 sen𝜃0

[−𝐻0𝑀0[ sen𝜃𝐻cos𝜃0− cos𝜃𝐻sen𝜃0] + 2𝐾𝑒𝑓sen𝜃0cos𝜃0] = 𝑀𝑠[𝐻0cos(𝜃𝐻−

θ0 ( 0 ) 0 20 40 60 80 θH(0) 0 20 40 60 80 Ca m p o d e r e ss o n â n ci a , μ0 Hre s (T ) 0.2 0.4 0.6 0.8

Ângulo de campo aplicado, θH (0)

0 20 40 60 80

θ z

x

y

Figura 2.9: Solução numérica do campo de ressonância em função da orientação de campo aplicado. No gráfico menor tem-se o ângulo de equilíbrio da magnetização em função da orientação de campo aplicado. 𝛾 = 29, 7 GHz/T e 𝜇0𝐻𝐴= −0, 5652 T

direção. Para tanto, precisamos inverter a equação 2.2.86:

𝐻𝑟𝑒𝑠 = − 1 8sec(𝜃𝐻 − 𝜃0) [︂ 2𝐻𝐴+ 6𝜇0𝐻𝐴cos2𝜃0+ + sec(𝜃𝐻 − 𝜃0) √︃ 2 cos2(𝜃 0− 𝜃𝐻)(3𝜇20𝐻𝐴2 + 32 𝜔 𝛾 2 + 𝜇2 0𝐻𝐴2( cos4𝜃0−4 cos2𝜃0) ]︂ (2.2.88) e resolvê-la juntamente com a condição de equilíbrio (equação 2.2.81):

𝐻𝑟𝑒𝑠sen(𝜃𝐻 − 𝜃0) = 𝐻𝐴sen𝜃0cos𝜃0 (2.2.89)

Nota-se que a condição de equilíbrio é uma função implícita, tornando-se impossível substituí-la diretamente nas equações de ressonância e largura de linha obtidas. Ajustar os mínimos quadrados neste cenário é particularmente difícil, uma vez que as constantes de interesse aparecem nas últimas três equações. Na figura 2.9 está ilustrada uma solução numérica adequada, para 𝛾 = 29, 7 GHz/T e 𝜇0𝐻𝐴 = −0, 5652 T. Vale ressaltar o

com-portamento de 𝜃0× 𝜃𝐻, onde os dois ângulos apenas são iguais nos limites de 00 e 900.

Estes valores foram encontrados para os filmes de 40 nm de Ni (mais detalhes na seção 5.1.1).

Para encontrar os parâmetros de fator giromagnético (𝛾) e anisotropia uniaxial (através de 𝐻𝐴), será utilizado experimentos nos quais a orientação de ⃗𝐻0 é fixa IP (𝜃𝐻 = 900)