INE Fundamentos de Matemática Discreta para a Computação

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INE5403

-

Fundamentos de Matemática

Discreta para a Computação

•

• 2) Fundamentos

2) Fundamentos

•

• 2.1) Conjuntos e Sub

2.1) Conjuntos e Sub

-

conjuntos

•

• 2.2) Números Inteiros

2.2) Números Inteiros

•

• 2.3) Funções

2.3) Funções

•

• 2.4) Seqüências e Somas

2.4) Seqüências e Somas

•

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Funções

•

• Def.Def.: Sejam A e B conjuntos não: Sejam A e B conjuntos não--vazios. Uma funçãovazios. Uma função f de A em B, f de A em B, denotada por f:A

denotada por f:A→_→B, B, éé uma uma relaçrelaçãoão de A em B tal que:de A em B tal que: –

– para todo apara todo a_∈_∈Dom(f), f(a) contDom(f), f(a) contéém m apenas um elementoapenas um elemento..

f

a _b=f(a)

B A

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Funções

f a B A NÃO é função: f B A Exemplo de função:

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Funções

•

• Observações:Observações: –

– Se aSe a_∉_∉Dom(f), então f(a)=Dom(f), então f(a)=_∅_∅ –

– Se f(a)={b}, escreveSe f(a)={b}, escreve--se f(a)=bse f(a)=b –

– A relaA relaçção f como definida acima pode ser escrita como o ão f como definida acima pode ser escrita como o conjunto dos pares:

conjunto dos pares:

{(a,f(a)) | a

{(a,f(a)) | a_∈_∈Dom(f)}Dom(f)} –

– o valor a é chamado de argumentoo valor a é chamado de argumento da função e f(a) é da função e f(a) é chamado de valor de f para o argumento a.

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Funções

•

• Exemplo1Exemplo1: Sejam A={1,2,3,4} e B={a,b,c,d} e seja: Sejam A={1,2,3,4} e B={a,b,c,d} e seja f={(1,a),(2,a),(3,d),(4,c)}

f={(1,a),(2,a),(3,d),(4,c)}

–

– Assim, os valores de f de x, para cada xAssim, os valores de f de x, para cada x_∈_∈A são:A são: f(1)={a}, f(2)={b}, f(3)={d}, f(4)={c}

f(1)={a}, f(2)={b}, f(3)={d}, f(4)={c}

–

– como cada conjunto f(x), para xcomo cada conjunto f(x), para x_∈_∈A, tem A, tem um um úúnico valornico valor, , então

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Funções

•

• Exemplo2Exemplo2: Sejam A={1,2,3} e B={x,y,z} e considere as relações: Sejam A={1,2,3} e B={x,y,z} e considere as relações R={(1,x),(2,x)} e S={(1,x),(1,y),(2,z),(3,y)}

R={(1,x),(2,x)} e S={(1,x),(1,y),(2,z),(3,y)}

Então:

–

– R é uma função com Dom(R)={1,2} e R é uma função com Dom(R)={1,2} e ImIm(R)={x}(R)={x} –

– S S não é uma funçãonão é uma função pois S(1)={x,y}pois S(1)={x,y}

•

• Exemplo3Exemplo3: Seja A um conjunto arbitrário não: Seja A um conjunto arbitrário não--vazio. A função vazio. A função

identidade de A

identidade de A, denotada por 1, denotada por 1_A_A, é definida por, é definida por 1

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Tipos especiais de funções

•

• Def.Def.: Uma função f de A em B é dita “um: Uma função f de A em B é dita “um--parapara--um” ou injetoraum” ou injetora se e somente se f(a)

se e somente se f(a) ≠_≠ f(b) sempre que a f(b) sempre que a ≠_≠ b.b. •

• Exemplo1Exemplo1: Determine se a função f de {a,b,c,d} em {1,2,3,4,5}, : Determine se a função f de {a,b,c,d} em {1,2,3,4,5}, com f(a)=4, f(b)=5, f(c)=1 e f(d)=3 é injetora.

com f(a)=4, f(b)=5, f(c)=1 e f(d)=3 é injetora.

a b c d 1 2 3 4 5

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Funções injetoras

•

• Exemplo2Exemplo2: Determine se a função f(x)=x: Determine se a função f(x)=x22_{, dos inteiros para os}_{, dos inteiros para os}

inteiros, é injetora.

Solução

Solução: A função f(x)=x: A função f(x)=x2 2 _{não é injetora}_{não é injetora}

–

– pois, por exemplo, f(1)=f(pois, por exemplo, f(1)=f(--1)=1, mas 1 1)=1, mas 1 _≠_≠ --11.. •

• Exemplo3Exemplo3: Determine se a função f(x)=x+1 é injetora.: Determine se a função f(x)=x+1 é injetora. Solução

Solução: A função f(x)=x+1: A função f(x)=x+1é injetoraé injetora. . –

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Tipos especiais de funções

•

• Def.Def.: Uma função f de A em B é chamada de sobrejetora: Uma função f de A em B é chamada de sobrejetora se e se e somente se para todo elemento b

somente se para todo elemento b∈_∈B hB háá um elemento um elemento aa∈_∈A com A com f(a)=b.

f(a)=b.

–

– Equivalentemente, f Equivalentemente, f éé sobrejetorasobrejetora se se ImIm(f)=B (inteiro)(f)=B (inteiro) •

• Exemplo1Exemplo1: Seja f a função de {a,b,c,d} em {1,2,3}, definida por : Seja f a função de {a,b,c,d} em {1,2,3}, definida por f(a)=3, f(b)=2, f(c)=1 e f(d)=3. Esta função é

f(a)=3, f(b)=2, f(c)=1 e f(d)=3. Esta função é sobrejetorasobrejetora??

a b c d 1 2 3

(10)

Funções

sobrejetoras

•

• Exemplo2Exemplo2: A função f(x) = x: A função f(x) = x22_,_,_{dos inteiros para os inteiros}_{dos inteiros para os inteiros}_{, é}_{, é}

sobrejetora

sobrejetora?? Solução

Solução: A função f: A função fnão é não é sobrejetorasobrejetora –

– pois, por exemplo, não há inteiro x que forneça xpois, por exemplo, não há inteiro x que forneça x22 ₌₌_-_-_1._1.

•

• Exemplo3Exemplo3: Determine se a função f(x)=x+1, dos inteiros para os : Determine se a função f(x)=x+1, dos inteiros para os inteiros, é

inteiros, é sobrejetorasobrejetora.. Solução

Solução: Esta função : Esta função é é sobrejetorasobrejetora, pois:, pois: –

(11)

Tipos especiais de funções

•

• Def.Def.: Uma função f é uma correspondência de um: Uma função f é uma correspondência de um--parapara--um, ou um, ou uma

uma função função bijetorabijetora, se ela for , se ela for injetorainjetora e e sobrejetorasobrejetora.. •

• ResumindoResumindo: Exemplos de diferentes tipos de correspondências:: Exemplos de diferentes tipos de correspondências:

a b c 1 2 3 4 a) Injetora, mas

não sobrejetora: b) Sobrejetora, _{mas não injetora:} c) Injetora e _sobrejetora: a b c 1 2 3 d a b c d 1 2 3 4

(12)

Tipos especiais de funções

•

• ResumindoResumindo: diferentes tipos de correspondências (continuação):: diferentes tipos de correspondências (continuação):

d) Nem injetora,

nem sobrejetora: e) Não é função:

a b c d 1 2 3 4 a b c 1 2 3 4

(13)

Tipos especiais de funções

•

• Def.Def.: Seja f:A: Seja f:A_→_→BB uma função bijetora. A uma função bijetora. A função inversa de f função inversa de f é é a função que associa a um elemento

a função que associa a um elemento bb∈_∈B o elemento B o elemento úúnico nico aa em A tal que f(a)=b.

em A tal que f(a)=b.

–

– A função inversa de f é denotada por fA função inversa de f é denotada por f--11_._.

–

– Portanto, fPortanto, f--11_{(b) = a quando f(a)=b.}_{(b) = a quando f(a)=b.}

–

(14)

Funções inversas

•

• Exemplo1Exemplo1: Seja f a função de {a,b,c} para {1,2,3} tal que : Seja f a função de {a,b,c} para {1,2,3} tal que f(a)=2, f(b)=3 e f(c)=1. Verifique se a função f é

f(a)=2, f(b)=3 e f(c)=1. Verifique se a função f é inversívelinversível e, em e, em caso afirmativo, determine a sua inversa.

caso afirmativo, determine a sua inversa.

•

• SoluçãoSolução: A função f é : A função f é inversívelinversível, pois é bijetora. A função f, pois é bijetora. A função f--11 _é_é

dada por:

f

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Funções inversas

•

• Exemplo2Exemplo2: Seja f a função de Z para Z com f(x)=x: Seja f a função de Z para Z com f(x)=x22_{. Esta função}_{. Esta função}

é

é inversívelinversível?? •

• SoluçãoSolução: :

-- Como f(Como f(--1)=f(1)=1, f não é injetora.1)=f(1)=1, f não é injetora.

-- Se uma fSe uma f--11 _{fosse definida, ela teria que associar dois}_{fosse definida, ela teria que associar dois}

elementos a 1

(16)

Composição de funções

•

• Def.Def.: Sejam:: Sejam: –

– g uma função do conjunto A para o conjunto B e g uma função do conjunto A para o conjunto B e –

– f uma função do conjunto B para o conjunto C. f uma função do conjunto B para o conjunto C. A

A composiçãocomposição das funções f e g, denotada por f das funções f e g, denotada por f oo g, é definida g, é definida

por:

(f

(f oog)(a) = f(g(a))g)(a) = f(g(a))

•

• ou seja, fou seja, foog é a função que associa ao elemento ag é a função que associa ao elemento a∈∈A o A o

elemento

(17)

Composição de funções

A B C g f a _g(a) _f(g(a)) fog

(18)

Composição de funções

•

• Exemplo1Exemplo1: :

-- Seja g a função do conjunto {a,b,c} para ele mesmo tal queSeja g a função do conjunto {a,b,c} para ele mesmo tal que g(a)=b, g(b)=c e g(c)=a

g(a)=b, g(b)=c e g(c)=a

-- Seja f a função do conjunto {a,b,c} para o conjunto {1,2,3} talSeja f a função do conjunto {a,b,c} para o conjunto {1,2,3} tal que f(a)=3, f(b)=2 e f(c)=1.

que f(a)=3, f(b)=2 e f(c)=1.

-- Determine a composição de f e g e a composição de g e f.Determine a composição de f e g e a composição de g e f. •

• SoluçãoSolução:: –

– A composição fA composição f oog é definida por:g é definida por:

(f

(f oog)(a) = f(g(a)) = f(b)=2g)(a) = f(g(a)) = f(b)=2

(f

(f oog)(b) = f(g(b)) = f(c)=1g)(b) = f(g(b)) = f(c)=1

(f

(f oog)(c) = f(g(c)) = f(a)=3g)(c) = f(g(c)) = f(a)=3

–

– Note que gNote que g oof não está definida, pois o contradomínio de f f não está definida, pois o contradomínio de f

não é um subconjunto do domínio de g.

(19)

Composição de funções

•

• Exemplo2Exemplo2: Sejam f e g as funções do conjunto dos inteiros para : Sejam f e g as funções do conjunto dos inteiros para o conjunto dos inteiros definidas por:

o conjunto dos inteiros definidas por:

f(x) = 2x + 3

g(x) = 3x + 2

Determine a composição de f e g e a composição de g e f.

• • SoluçãoSolução: : (f (f oog)(x) = f(g(x)) = f(3x+2) = 2.(3x+2) + 3 = 6x+7g)(x) = f(g(x)) = f(3x+2) = 2.(3x+2) + 3 = 6x+7 (g (g oof)(x) = g(f(x)) = g(2x+3) = 3.(2x+3) + 2 = 6x + 11f)(x) = g(f(x)) = g(2x+3) = 3.(2x+3) + 2 = 6x + 11

(20)

Funções

•

• Exemplo3Exemplo3: Seja A=Z, B=Z e C o conjunto dos inteiros pares. Seja : Seja A=Z, B=Z e C o conjunto dos inteiros pares. Seja f:A

f:A_→_→B e g:BB e g:B_→_→C definida porC definida por f(a)=a+1,

f(a)=a+1, para apara a_∈_∈AA g(b)=2.b,

g(b)=2.b, para bpara b_∈_∈BB Encontre

Encontre ggoof.f.

Solu

Soluççãoão: : ggoof(a) = g(f(a)) = g(a+1) = 2.(a+1)f(a) = g(f(a)) = g(a+1) = 2.(a+1) ⇒

(21)

Composição de funções

•

• Note que a composição de funções Note que a composição de funções não é comutativanão é comutativa.. •

• A composição de uma A composição de uma função e sua inversafunção e sua inversa, em qualquer , em qualquer ordem, leva à

ordem, leva à função identidadefunção identidade:: –

– Suponha que f é uma função bijetora de A para BSuponha que f é uma função bijetora de A para B –

– A função inversa reverte a correspondência da função original:A função inversa reverte a correspondência da função original: f

f--11_{(b)=a quando f(a)=b}_{(b)=a quando f(a)=b}

f(a)=b quando f

f(a)=b quando f--11_(b)=a_(b)=a

–

– Portanto:Portanto: (f

(f--11 _o_o _{f)(a) = f}_{f)(a) = f}--11_{(f(a)) = f}_{(f(a)) = f}--11_{(b) = a}_{(b) = a}

(f (f--11 _o_o _{f)(b) = f}_{f)(b) = f}--11_{(f(b)) = f}_{(f(b)) = f}--11_{(a) = b}_{(a) = b} – – Consequentemente,Consequentemente, f f--11 _o_o _{f = 1}_{f = 1} A A f f oo ff--11 = 1= 1 B B