Matemática Aplicada Nt Notas de aula

(1)

Matemática Aplicada

N t

d

l

Notas de aula

Problema de transporte e designação

Problema de transporte: motivação

origem 1 destino 1 d ti origem 2 destino 2 destino 3 3

(2)

Caracterização geral

¡

Dados:

¡

Dados:

A estrutura de fontes de produção (origensorigens); As disponibilidades nas origens (p g (ofertaoferta))

Os destinosdestinos para os quais o(s) produto(s) deve(m) ser dirigido(s);

id d d (dd dd ) As necessidades nos destinos (demandademanda) A rede de possíveis caminhos de transporte;

o objetivo do problema é determinar o carregamento da redeo objetivo do problema é determinar o carregamento da rede (quantidade a ser transportada de cada origem para cada destino) que minimiza o “custo total” de transporte.

¡

Função

Função transporte

transporte: levar o produto certo, no lugar certo

e no tempo certo.

Destino (j)

Origem (i)

C11 X11 =? a

₁

11

₁

b C₁₂ C₁₃ 11 a₁ b₁

2

C a₂ b₂

2

C₂₁ C₂₃ 2 2

3

b₃

Cij= “custo” de transporte da origem i para o destino j X_ij= quantidade transportada da origem i para o destino j

a_i= oferta na origem i b_i= demanda no destino j

(3)

Solução e variações

¡

A solução irá determinar o programa de transporte de

¡

A solução irá determinar o programa de transporte de

forma a satisfazer a demanda pelo produto (destinos) e

respeitar as capacidades das fábricas (origens).

¡

Variações: modelo de designação e modelo de

transporte com transbordo (rede)

transporte com transbordo (rede).

Particularidades

¡

Sistemas equilibrados

¡

Sistemas equilibrados

Oferta = Demanda

ªTudo o que é produzido nas fontes atende plenamente ao que é solicitado pelos destinos

solicitado pelos destinos

ªTodas as restrições serão de igualdade

¡

Sistemas não equilibrados

Oferta < Demanda

ªToda a oferta das origens será transportada, entretanto, não atenderá toda a demanda, resultando em falta de produtos nos dos destinos

ªNeste caso, as restrições de oferta serão de igualdade e de demanda desigualdade (≤)

Oferta > Demanda

ªToda a demanda dos destinos será atendida, entretanto, restarão produtos nas origens

ªNeste caso, as restrições de demanda serão de igualdade e de oferta de desigualdade (≤)

(4)

Exemplo genérico

¡ Determinar as quantidades a serem transportadas das fontes 1 e 2 ¡ Determinar as quantidades a serem transportadas das fontes 1 e 2 (origens) para os destinos 1, 2 e 3 de forma a minimizar os custos de transportes. X = ? Destino 1 b₁ F t 1 c₁₁ c X₁₁= ? X21= ? Destino 2 b₂ Fonte 1 Fonte 2 a₁ a₂ c₁₃c12 c₂₁ c₂₃ c₂₂ X₁₂= ? X₂₂= ? Destino 3 b₃ Fonte 2 a₂ c₂₃ X₁₃= ? X₂₃= ?

Testar a relação entre oferta e demanda

b b b a₁ + a₂ = b₁ + b₂ + b₃ SISTEMA EQUILIBRADO

é

Modelo genérico

¡ Variáveis de decisão ¡ Variáveis de decisão

X_ij = Quantidade transportada da origem i para o destino j

ªPara i = 1 2 e j = 1 2 3

ªPara i = 1, 2 e j = 1, 2, 3

¡ Função objetivo: minimizar o custo total de transporte

Z = C₁₁X₁₁+ C₁₂X₁₂+ C₁₃X₁₃+C₂₁X₂₁+ C₂₂X₂₂+ C₂₃X₂₃ Z = C₁₁X₁₁+ C₁₂X₁₂+ C₁₃X₁₃+C₂₁X₂₁+ C₂₂X₂₂+ C₂₃X₂₃ ¡ Restrições Fonte 1) X + X + X = a Fonte 1) X₁₁+ X₁₂+ X₁₃ = a₁ Fonte 2) X₂₁+ X₂₂+ X₂₃ = a₂ Destino 1) XDestino 1) X₁₁₁₁+ X+ X₂₁₂₁= b b₁₁ Destino 2) X₁₂+ X₂₂= b₂ Destino 3) X) ₁₃₁₃+ X₂₃₂₃= b₃₃ Não-negatividade) X_ij ≥ 0

(5)

Exemplo

¡ Determinar as quantidades a serem transportadas das fontes 1 e 2 ¡ Determinar as quantidades a serem transportadas das fontes 1 e 2 (origens) para os destinos 1, 2 e 3 de forma a minimizar os custos de transportes. Destino 1 20 X₁₁= ? _{Destino 1} ₂₀ Fonte 1 15 10 3 X₁₁ ? X21= ? X = ? Destino 2 10 5 12 7 X12= ? X₂₂= ? Destino 3 10 Fonte 2 25 9 7 X13= ? X₂₃₂₃= ?

Solução

Variáveis de decisão: X_ij = quantidade transportada da origem i para destino j para i = 1, 2 e j = 1, 2, 3 = ₁₁ + ₁₂ + ₁₃ + ₂₁ + ₂₂ + ₂₃ min z 10x 3x 5x 12x 7x 9x

Solução LINDO

+ + = 11 12 13 Sujeito a Fonte 1) x x x 15

Solução LINDO

Z = 340 Quantidades transportadas + + + + = + = 11 12 13 21 22 23 11 21 Fonte 1) 15 Fonte 2) 25 Destino 1) 20 x x x x x x x x Q p

(solução ótima possível) D O 1 2 3 Oferta + = + = 12 22 13 23 Destino 2) 10 Destino 3) 10 x x x x O 1 0 5 10 15 2 20 5 0 25 11 12 13 21 22 Não-negatividade)x x, ,x x, ,x ,x₂₃ ≥0 2 20 5 0 25 Demanda 20 10 10

(6)

Problema clássico - generalização

¡

m

fontes (origens) cada uma podendo fornecer a

¡

m

fontes (origens), cada uma podendo fornecer a

quantidade

a

_i

(i = 1, 2, ...,

m

) – disponibilidade das

fontes (oferta);

(

);

¡

n

depósitos (destinos), cada um podendo absorver a

quantidade

b

(j = 1 2

n

) – capacidade dos

quantidade

b

_j

(j = 1, 2, ...,

n

) – capacidade dos

depósitos (demanda);

é

¡

c

_ij

é o custo para se transportar uma unidade do

produto, da origem

i

para o destino

j

.

¡

Objetivo

Objetivo: determinar o número de unidades que devem

ser transportadas de cada origem (

i

) para cada destino

(

j

), de forma a minimizar o custo total de transporte.

Modelagem matemática

m n = =

=

∑∑

⋅

1 1

min

m n _ij _ij i j

z

c x

⎧

₌

⎪

∑

n ij i

x

a

=

⎪

=

⎪

∑

1 j j m

x

b

=

⎪

⎨

⎪

∑

1

sujeito a

i ij j m n

x

b

= =

⎪

=

⎪

∑

1 i 1 j i j

a

b

(equação de balanço)

⎪

_≥

⎩

x

ij

0

(7)

Métodos de resolução

¡

Para determinar a solução básica inicial viável:

Mét d d t t ( t d )

Método do canto noroeste (canto esquerdo) Método do mínimo custo

Método das aproximações de Vogel ¡

Para determinar a solução ótima:

¡

Para determinar a solução ótima:

Condição de otimalidade (variável que entra na base) Condição de viabilidade (variável que sai da base)

Exemplo 1: Oferta = Demanda

¡ Determinar as quantidades a serem transportadas das origens 1, 2 ¡ Determinar as quantidades a serem transportadas das origens 1, 2 e 3 para os destinos 1 e 2 de forma a minimizar os custos de transportes. A tabela a seguir apresenta os custos unitários de transportes entre as fontes e os destinos

transportes entre as fontes e os destinos.

Destino 1 2 Disponibilidades Origem 1 2 Disponibilidades 1 10 12 50 2 20 8 100 3 6 15 120 3 6 15 120 Necessidades 100 170 270 270

(8)

Solução

Min 10x11 + 12x12 + 20x21 + 8x22 + 6x31 + 15x32 Sujeito a O1) x11 + x12 = 50 O2) x21 + x22 = 100 O3) x31 + x32 = 120 D1) x11 + x21 + x31 = 100) D2) x12 + x22 + x32 = 170 Não-negatividade) xij>=0 z = 2300 D O 1 2 Disponibilidades 1 0 50 50 1 0 50 50 2 100 0 100 3 0 120 120 Necessidades 100 170 270 270

¡ No quadro de transporte a seguir são apresentados os custos

Exemplo 2: Oferta < Demanda

¡ No quadro de transporte a seguir são apresentados os custos unitários de transporte das origens para os respectivos destinos, bem como as necessidades dos destinos e as disponibilidades das origens Determinar o plano de transporte que minimiza o custo origens. Determinar o plano de transporte que minimiza o custo total das transferências.

Destino Origem 1 2 3 Disponibilidades 1 10 15 20 100 2 12 25 18 80 3 16 14 24 20 200 Necessidades 100 50 60 ₂₁₀200

(9)

Solução

Min 10X11 + 15X12 + 20X13 + 12X21 + 25X22 + 18X23 + 16X31 + 14X32+ 24X33 Sujeito a O1) X11 + X12 + X13 = 100 O2) X21 + X22 + X23 = 80 O2) X31 + X32 + X33 20 O2) X31 + X32 + X33 = 20 D1) X11 + X21 + X31 <= 100 D2) X12 + X22 + X32 <= 50 D3) X13 + X23 + X33 <= 60 z = 2690 D3) X13 + X23 + X33 <= 60 Não-negatividade) xij>=0 Destino Destino Origem 1 2 3 Disponibilidades 1 70 30 0 100 2 30 0 50 80 3 0 20 0 20 Necessidades 100 50 60 200 210

Exemplo 3: Oferta > Demanda

¡ Uma empresa distribuidora tem três depósitos que estocam

respectivamente 160, 200 e 100 unidades de um produto, e deve abastecer quatro clientes cujos pedidos são de 100, 80, 120 e 80 unidades respectivamente Os custos unitários de transporte dos unidades, respectivamente. Os custos unitários de transporte dos depósitos para os clientes estão na tabela fornecida. Determine o custo mínimo de transporte.

D O C1 C2 C3 C4 Disponibilidades D1 2,1 1,8 1,8 1,8 160 D2 1,5,5 2,4, 1,8,8 2,1, 20000 D3 2,4 1,5 2,4 1,8 100 460 Necessidades 100 80 120 80 460 380

(10)

Solução

MIN 2.1D1C1 + 1.8D1C2 + 1.8D1C3 + 1.8 D1C4 +1.5D2C1 + 2.4D2C2 + 1.8D2C3 + 2.1D2C4 + 2.4D3C1 + 1.5D3C2 + + 2.4D3C3 + 1.8D3C4 Sujeito a: D1) D1C1 + D1C2 + D1C3 + D1C4 <= 160 D2) D2C1 + D2C2 + D2C3 + D2C4 <= 200 D3) D3C1 + D3C2 + D3C3 + D3C4 <= 100 C1) D1C1 + D2C1 + D3C1 = 100 C2) D1C2 + D2C2 + D3C2 = 80 C3) D1C3 + D2C3 + D3C3 = 120) C4) D1C4 + D2C4 + D3C4 = 80 Não-negatividade) DiCj >=0 D z= 630 D O C1 C2 C3 C4 Disponibilidades D1 20 60 160 D2 100 100 200 D3 80 20 100 Necessidades 100 80 120 80 460 380

Problema da designação: motivação

homem 1 tarefa 1 t f 2 homem 2 tarefa 2 tarefa 3

(11)

Modelo de designação

¡

Trata-se de um caso particular do modelo de

transporte

¡

Este modelo procura representar situações onde se

faz necessário alocar recursos disponíveis para

atividades de interesse, de modo que alguma medida

de desempenho (em geral o custo total de

designação) do sistema modelado seja otimizada.

à

¡

As restrições envolvidas dizem respeito à utilização

total dos recursos e ao completo atendimento das

ti id d

i t t

atividades existentes.

Exemplos

Recurso Atividade Medida de desempenho

operários trabalhos tempo

caminhões rotas custo

máquinas locais movimentação de materiais

tripulações aviões ociosidade

vendedores áreas volume de vendas

(12)

Definições

M t i d

fi iê i

C

[ ]

t

t d

¡

Matriz de eficiência

C

= [

c

_ij

]:

c

_ij

representa o custo da

alocação do

i

-ésimo recurso para a

j

-ésima atividade

(

i

= 1, 2, ...,

m

e

j

= 1, 2, ...,

n

);

¡

Variáveis de decisão:

1 , se o recurso é designado à atividade

i

j

x

_{= ⎨}

⎧

0 , caso contrário

ij

x

_{= ⎨}

⎩

Modelo matemático – problema

clássico

=

∑∑

min

_ij _ij i j

z

c x

⎧

∑

₁

_d

_{1 2}

i j

j

⎧

₌

_…

⎪

₌

⎨

∑

1 para todo 1, 2, ,

sujeito a

1 para todo

1 2

ij i

x

j

n

x

=

i

=

…

m

⎨

⎪

⎩

∑

sujeito a

1 para todo 1, 2, ,

: binário

ij j ij

x

i

m

x

⎩

x

ij

: binário

(13)

Exemplo 1

S l ã d h

t

f

¡

Seleção de homens-tarefas

Trata-se de designar quatro operários para quatro tarefas, de maneira que o número total de homens hora seja mínimo maneira que o número total de homens-hora seja mínimo. Cada homem desempenha cada tarefa em um número de horas, conforme indica a matriz C a seguir:

horas, conforme indica a matriz C a seguir: Operário I II III IV I II III IV T f A 5 24 13 7 B 10 25 3 23 Tarefa C 28 9 8 5 D 10 17 15 3

Solução

MIN 5XA1 + 24XA2 + 13XA3 + 7XA4 + 10XB1 + 25XB2 + 3XB3 + 23XB4 + 28XC1 + 9XC2 + 8XC3 + 5XC4 + 10XD1 + 17XD2 + 15XD3 + 3XD4

SUJEITO A SUJEITO A

TAREFA A) XA1 + XA2 + XA3 + XA4 = 1 TAREFA B) XB1 + XB2 + XB3 + XB4 = 1 Solução z = 20 Tarefa Operário TAREFA B) XB1 + XB2 + XB3 + XB4 1 TAREFA C) XC1 + XC2 + XC3 + XC4 = 1 TAREFA D) XD1 + XD2 + XD3 + XD4 = 1 OPERARIO 1) XA1 + XB1 + XC1 + XD1 = 1 A 1 B 3 OPERARIO 1) XA1 + XB1 + XC1 + XD1 = 1 OPERARIO 2) XA2 + XB2 + XC2 + XD2 = 1 OPERARIO 3) XA3 + XB3 + XC3 + XD3 = 1 OPERARIO 4) XA4 + XB4 + XC4 + XD4 = 1 C 2 D 4 OPERARIO 4) XA4 + XB4 + XC4 + XD4 = 1

(14)

Exemplo 2

¡

Designação de vendedores a determinadas regiões

¡

Designação de vendedores a determinadas regiões

¡ O quadro a seguir representa as eficiências de quatro vendedores,

testados em quatro regiões. Os potenciais de vendas nas regiões sãoq g p g conhecidos. Designar um vendedor para cada região para maximizar o valor total das vendas.

O d bé i l d d ilh d i

¡ O quadro também apresenta o potencial de vendas em milhares de reais,

em cada região. Região Região 1 2 3 4 A 70 60 80 90 Vendedor B 70 80 70 90 C 60 90 60 70 D 70 80 70 80 D 70 80 70 80 Potencial 100 80 60 90

Solução

MAX 70XA1 + 48XA2 + 48XA3 + 81XA4 + 70XB1 + 64XB2 + 42XB3 + 81XB4 + 60XC1 +721XC2 + 36XC3 + 63XC4 + 70XD1 + 64XD2 + 42XD3 + 72XD4

ST

VEND A) XA1 + XA2 + XA3 + XA4 = 1 VEND B) XB1 XB2 XB3 XB4 1 Solução z = 271 vendedor Região 3 VEND B) XB1 + XB2 + XB3 + XB4 = 1 VEND C) XC1 + XC2 + XC3 + XC4 = 1 VEND D) XD1 + XD2 + XD3 + XD4 = 1 A 3 B 4 REGIAO 1) XA1 + XB1 + XC1 + XD1 = 1 REGIAO 2) XA2 + XB2 + XC2 + XD2 = 1 REGIAO 3) XA3 + XB3 + XC3 + XD3 = 1 C 2 D 1 REGIAO 3) XA3 + XB3 + XC3 + XD3 1 REGIAO 4) XA4 + XB4 + XC4 + XD4 = 1

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Exemplo 3: problema não equilibrado

com proibição

¡

Designação de máquinas-locais

¡

Designação de máquinas-locais

¡ Uma fábrica possui quatro locais (1, 2, 3, 4) para receber três máquinas novas (A B C) A máquina A não pode ser instalada no máquinas novas (A, B, C). A máquina A não pode ser instalada no local 4 por restrições físicas. O custo de instalação de uma máquina em cada local é apresentado a seguir, em mil reais. O objetivo é designar as novas máquinas aos locais disponíveis de modo a minimizar o custo total de instalação.

Local 1 2 3 4 Máquina A 5 1 3 X B 3 1 4 3 C 3 3 4 2 C 3 3 4 2

Solução

MIN 5XA1 + 1XA2 + 3XA3 + 3XB1 + 1XB2 + 4XB3 + 3XB4 + 3XC1 + 3XC2 + 4XC3 + 2XC4

ST

Solução z = 6

MAQ A) XA1 + XA2 + XA3 = 1 MAQ B) XB1 + XB2 + XB3 + XB4 = 1 MAQ C) XC1 XC2 XC3 XC4 1 Solução z = 6 Máquina Local A 2 MAQ C) XC1 + XC2 + XC3 + XC4 = 1 LOCAL 1) XA1 + XB1 + XC1 <= 1 LOCAL 2) XA2 + XB2 + XC2 <= 1 A 2 B 1 C 4 LOCAL 2) XA2 + XB2 + XC2 <= 1 LOCAL 3) XA3 + XB3 + XC3 <= 1 LOCAL 4) XB4 + XC4 <= 1 C 4